【小学奥数题库系统】1-3-5 换元法.教师版

原式 = (1 + a ) × b − (1 + b ) × a = b + ab − a − ab = b − a = 【答案】
1 2008
1 2008
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 + + + × + + + − + + + + × + + 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 + + + = a， + + = b， 11 21 31 41 21 31 41
1 1 原式 = (a − ) × b − a × (b − ) 6 6 1 1 1 1 1 ( a − b) = × 1 = = ab − b − ab + = a 6 6 6 6 6
【答案】
1 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ) × ( + + + ) − (1 + + + + ) × ( + + ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 a = + + ，则原式化简为：(1+a )(a + )-a(1 + a+ )= 2 3 4 5 5 5 1 【答案】 5
1 1 原式 =A × B + − A + × B 13 13 1 1 1 1 1 1 = A× B + A − A× B − = B ( A − B) = × = 13 13 13 13 5 65 1 【答案】 65
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 计算 1 + + + + × + + + + − 1 + + + + + × + + + 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 1 + + + + = A， + + + = B 2 3 4 5 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 原式 = A × B + − A + × B = A × B + × A − A × B − × B = × A − × B = ×( A− B )= 6 6 6 6 6 6 6 6 1 【答案】 6
【例 3】 计算： 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 9 1 2 3 + + + + + + + + + × − 1 + + + + × + + + 2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10
三、换元思想
解数学题时， 把某个式子看成一个整体， 用另一个量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换 元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
例题精讲
【例 1】 计算： (1 +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ) × ( + + ) − (1 + + + ) × ( + ) 2 4 2 4 6 2 4 6 2 4 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 【解析】 令 1 + + + = a， + + = b ，则： 2 4 6 2 4 6
。
4 4 原式 =a × b + − a + × b 13 13 4 4 4 4 5 5 = a− b= ( a − b) = × = 13 13 13 13 12 39
【答案】
5 39
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1-3-5.换元法.题库
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【例 2】 计算： 1 + + + × + + + − 1 + + + × + + + 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007 2 【考点】换元法 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 ， b = + + + ， 【解析】 令 a = + + + 2 3 2007 2 3 2008
1 1 原式 = a ×b + − a + ×b 51 51 1 1 1 1 1 1 ( a − b) = × = = ab + a − ab − = b 51 51 51 51 11 561 1 【答案】 561
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 计算 （ + + + ） ×( + + + )− （ + + + + )×( + + ) 5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，清华附中 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 + + + = A， + + = B， 5 7 9 11 7 9 11
换元法
教学目标
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合， 更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的 小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元， 要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 3 of 5
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【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 1 1 t 1 1 1 2 3 9 1 【解析】 设 t = + + + + ，则有 t 2 + t × − (1 + t ) t − = t 2 + t − t 2 + t − − = 2 3 4 10 2 2 2 2 2 2 1 【答案】 2
1 2+ 3+ 4+ 1 1 1 1 + 2009 1 1+ 1+ 3+ 4+ + 1 1 1 1 1 2009
【例 4】 计算
+
【考点】换元法 【解析】 设 N= 3 + 4+ + 【答案】 1 1 1
【难度】4 星 . 原式=
【题型】计算
1 1 2+ N
378 378 378 621 378 原式 = a ×b + ( a − b) × = × = 9 −a + ×b = 207 207 207 126 207 ⑵9 【答案】⑴ 0.67
5 7 3 7 3 4 5 7 3 4 7 3 【巩固】 计算： ( + + )× + + − + + + × + = 12 32 17 32 17 13 12 32 17 13 32 17 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，第五届，走美杯，初赛，六年级 5 7 3 7 3 【解析】 设 a = + + 、b = + ，则有 12 32 17 32 17
378 621 378 378 378 原式 = = × = 9 a ×b + (a − b) × −a + ×b = 207 126 207 207 207 【答案】 9
1-3-5.换元ຫໍສະໝຸດ Baidu.题库 教师版 page 1 of 5
【巩固】 计算：( 0.1 + 0.21 + 0.321 + 0.4321 ) × ( 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321 ) − ( 0.1 + 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321 ) × ( 0.21 + 0.321 + 0.4321 ) 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 设 x = 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321 ， 0.21 + 0.321 + 0.4321 ， y = 原式 = ( 0.1 + x ) × y − ( 0.1 + y ) × x= 0.1 × ( y − x ) = 0.054321 【答案】 0.054321 【巩固】 计算下面的算式 ( 7.88 + 6.77 + 5.66 ) × ( 9.31 + 10.98 + 10 ) − ( 7.88 + 6.77 + 5.66 + 10 ) × ( 9.31 + 10.98 ) 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，希望杯，2 试 【解析】 换元的思想即“打包”，令 a = 7.88 + 6.77 + 5.66 ， = b 9.31 + 10.98 ，则原式= a × ( b + 10 ) − ( a + 10 ) ( ab + 10a ) − ( ab + 10b ) = ab + 10a − ab − 10b =10 × ( a − b ) ×b = = 10 × ( 7.88 + 6.77 + 5.66 − 9.31 − 10.98 ) = 10 × 0.02 = 0.2 【答案】 0.2 【巩固】 (1 + 0.12 + 0.23) × (0.12 + 0.23 + 0.34) − (1 + 0.12 + 0.23 + 0.34) × (0.12 + 0.23) = ____ 。 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，希望杯，第六届，六年级，二试 【解析】 设 0.12 + 0.23 = a ， 0.12 + 0.23 + 0.34 = b 原式 = (1 + a ) × b − (1 + b ) × a = b − a = 0.34 【答案】 0.34 【巩固】 计算：⑴ ( 1 + 0.45 + 0.56 ) × ( 0.45 + 0.56 + 0.67 ) − ( 1 + 0.45 + 0.56 + 0.67 ) × ( 0.45 + 0.56 ) 621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 ⑵ + + + + + + + + × − × 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 = a 0.45 + 0.56 ， b = 0.45 + 0.56 + 0.67 ， 有原式 = ( 1 + a ) ×b − ( 1 + b ) ×a = b + ab − a − ab = b − a = 0.67 739 458 621 739 458 ⑵ 设a = ，b + + + = 358 947 126 358 947
【巩固】 (1 +
621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 【巩固】 计算： + + + + + + + + × − × 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 621 739 458 739 458 【解析】 令 + + = a； + = b， 126 358 947 358 947