【小学奥数题库系统】1-3-5 换元法.教师版
小学奥数教程-换元法.教师版 (10) 全国通用(含答案)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，例题精讲教学目标换元法1-3-5.换元法.题库教师版page 1 of原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法(5年级培优)教师版
课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题 难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。
消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。
这种方法叫做消去法。
解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。
（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。
求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元 【知识点】换元法解题 【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=⨯（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。
每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=⨯+⨯÷⨯（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。
每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元 【知识点】等量代换 【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷⨯-（元）；2.01.01.0=+（元）。
学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。
大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷⨯+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。
【小学奥数题库系统】1-3-6 公式运用.教师版
(
) (
)
= 502 × (1012 − 2 × 512 ) = 12497500
【答案】 12497500 【例 4】 计算：
1 + 23 + 33 + ⋅ ⋅ ⋅ + 20063 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 【考点】公式法之求和公式 【难度】3 星
1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + 2006 【答案】 2013021
1-3-6.公式运用.题库 教师版
。
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【关键词】2007 年，西城实验 【解析】 原式 = 2003 × 2 + 2001 × 2 + + 3 × 2 + 1 × 2 = 2 × (1Байду номын сангаас+ 3 + 5 + + 2001 + 2003)
= 2 × (1 + 2003) × 1002 ÷ 2 = 2008008
4.
111 1 × 111 1 = 123 n 321 ，其中 n ≤ 9 ．
n个1 n个1
例题精讲
一、前 n 项和
【例 1】 12 + 32 + 52 + + 192 【考点】公式法之求和公式 【难度】2 星 【解析】 12 + 32 + 52 + + 192 = (12 + 22 + 32 + + 192 ) − (22 + 42 + + 182 ) 1 = × 19 × 20 × 39 − 4 × （ 12 + 22 + + 92） 6 1 = = 2470 − × 9 × 10 × 19 2470 − 285 = 2185 6 【答案】 2185
【小学奥数题库系统】1-3-1 定义新运算.学生版
2∗ = 1
1 1 2 + = ，求 1998 ∗ 1999 。 2 × 1 ( 2 + 1)(1 + A ) 3
1-3-1.定义新运算.题库
学生版
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【例 4】 [A]表示自然数 A 的约数的个数.例如 4 有 1,2,4 三个约数,可以表示成[4]=3.计算: . ([18] + [22]) ÷ [7] =
二
定义新运算分类
1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合
例题精讲
模块一、直接运算型
【例 1】 若 A * B 表示 ( A + 3B ) × ( A + B ) ，求 5 * 7 的值。
【巩固】 定义新运算为 a△b＝（a＋1）÷b，求的值。6
（3 △
△4 ）
1-3-1.定义新运算.题库
1-3-1.定义新运算.题库
学生版
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【巩固】 如果 a & b = a + b ÷ 10 ,那么 2 & 5 =
。
【例 7】
“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为 244041993088， 如果这个编码从左起的奇数位的数码不变， 偶数位的数码改变为关于 9 的补码， 例如：0 变 9，1 变 8 等，那么“华杯赛”新的编码是________.
【例 8】 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊= 羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼 在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另 一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思 是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它 便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是 从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△( 狼☆羊) ☆ 羊△(狼△ 狼)
小学奥数教师版-1-3-5 换元法
换元法教学目标对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．例题精讲【例1】计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b =-16611=⨯=【答案】16【巩固】11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯=【答案】【巩固】9计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】【巩固】0.054321计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____。
【小学奥数题库系统】1-1-1-3 整数四则混合运算综合.教师版
= 7 × 123456 = 864192
万位数字为 6 【答案】 6 【例 8】 计算： 113 × 5 − 37 × 15 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2 【题型】计算 【关键词】 2007 年，走美杯，初赛 【解析】 根据“一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变”的道理，进行适当变换，再提 取公因数，进而凑整求和． 原式 = 113 × 5 − 37 × 3 × 5 = 113 × 5 − 111 × 5 = (113 − 111) × 5 = 10 【答案】 10 【巩固】 计算： 9966 × 6 + 6678 × 18 【考点】四则混合运算之提取公因数 【难度】2 星 = 3322 × 3 × 6 + 6678 × 18 = (3322 + 6678) × 18 = 180000 【解析】 原式 【答案】 180000
二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响
⑴在“ + ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都不变； ⑵在“ − ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都改变，其中“ + ”号变成“ − ”号，“ − ”号变 成“ + ”号； ⑶在“ × ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ × ”、“ ÷ ”号都不变，但此时括号内不能有加减运算， 只能有乘除运算； ⑷在“ ÷ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ × ”、“ ÷ ”号都改变，其中“ × ”号变成“ ÷ ”号，“ ÷ ”号变 成“ × ”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
整数四则混合运算
教学目标
本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受 学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣
【小学奥数题库系统】1-2-2-1 分数裂项.学生版
【巩固】
3 6 5 7 9 11 13 + + + + + + 5 7 6 12 20 30 42
1 3 2 5 7 9 10 11 19 【巩固】计算： + + + + + + + + = 3 4 5 7 8 20 21 24 35
1 2 3 7 9 11 17 25 【巩固】 + + + + + + + 3 5 7 12 20 28 30 42
．
【例 8】
1 1 1 + + + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 7×8×9
【巩固】 计算：
1 1 1 + + + 1× 2 × 3 2 × 3 × 4 98 × 99 × 100
【巩固】 计算：
1 1 1 1 + + + + 1× 3 × 5 2 × 4 × 6 3 × 5 × 7 20 × 22 × 24
【例 14】
1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 3 − 1 5 − 1 7 − 1 9 − 1 11 − 1 13 − 1
2
.
1-2-2-1.分数裂项.题库
学生版
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【巩固】 计算： (1 −
1 1 1 1 1 1 ) × (1 − 2 ) × (1 − 2 ) × (1 − 2 ) × × (1 − 2 ) × (1 − 2 ) = 22 3 4 5 48 49
【例 2】
1 1 1 1 + + + + 1 1+ 2 1+ 2 + 3 1 + 2 + + 100
【小学奥数题库系统】1-1-1-3 整数四则混合运算综合.学生版
二、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响
⑴在“ + ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都不变； ⑵在“ − ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ + ”、“ − ”号都改变，其中“ + ”号变成“ − ”号，“ − ”号变 成“ + ”号； ⑶在“ × ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ × ”、“ ÷ ”号都不变，但此时括号内不能有加减运算， 只能有乘除运算； ⑷在“ ÷ ”号后面添括号或者去括号，括号内的“ × ”、“ ÷ ”号都改变，其中“ × ”号变成“ ÷ ”号，“ ÷ ”号变 成“ × ”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．
【巩固】 67 × 200 + 254 × 33 + 54 × 67 =
【巩固】 计算： 765 × 213 ÷ 27 + 765 × 327 ÷ 27
【例 12】 巧算： 75 × 45 + 17 × 25
【巩固】 计算： 53 × 57 − 47 × 43 =
． （4 级）
【例 13】 计算： 53 × 46 + 71 × 54 + 82 × 54
整数四则混合运算
教学目标
本讲主要是通过一些速算技巧，培养学生的数感，并通过一些大数运算转化为简单运算，让学生感受 学习的成就感，进而激发学生的学习兴趣
知识点拨
一、运算定律
⑴加法交换律： a + b = b + a 的等比数列求和 ⑵加法结合律： (a + b) + c =a + (b + c) ⑶乘法交换律： a × b = b × a ⑷乘法结合律： (a × b) × c =a × (b × c) ⑸乘法分配律： a × (b + c) = a × b + a × c （反过来就是提取公因数） ⑹减法的性质： a − b − c = a − (b + c) ⑺除法的性质： a ÷ (b × c) = a ÷ b ÷ c ( a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c ( a − b) ÷ c = a ÷ c − b ÷ c 上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．
小学奥数之换元法(教师版)
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】迎春杯
【解析】⑴该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 ， ，
有原式 ( ) ( )
⑵设 ，
原式
【答案】⑴ ⑵
【巩固】计算： =。
【考点】换元法【难度】2星【题型】计算
【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级
【解析】设 、 ，则有
10) 爱老婆要做到两个不要：不要问老婆能够为额做些什么，而要问额可以为老婆做些什么;不要问老婆喜欢些什么，老婆喜欢些什么对额而言应该是常识!
对老婆煽情的话
1) 有你相伴，天空是蓝的，空气是甜的;有你相随，日子是乐的，生活是美的;有你相守，家庭是暖的，心里幸福的;老婆我爱你，最美的祝福送给你，愿幸福绕你身旁，快乐把你笼罩!
1) 有一种情，相濡以沫温馨处处在，有一种意，海枯石烂温暖处处开，有一颗心，沧海桑田温情永不变，有一句话，相知相守爱你一万年，老婆我爱你永不变!
2) 你好象生气了，我心里也不好受，如果是我酿成了此错，希望你能原谅，如果不能原谅，我自己也无法原谅自己了。
3) 你负责貌美如花，我负责赚钱养家，你负责轻松悠闲，我负责工作挣钱，你负责开心幸福，我负责操持家务，你负责快乐天天，我负责爱你永远!
7) 就数老婆好，美女都不要;打骂不还手，见面就告饶;化妆你称道，购物掏腰包;逛街不斜视，乖乖跟好了。
8) 孔雀最美，你是我的孔雀，我为你开屏;百灵最俏，你是我的百灵，我为你鸣叫。我的妻，爱你是我唯一的语言，疼你是我仅有的表现。愿我们幸福百年。
9) 浪漫在起舞，甜蜜在微笑;温馨在荡漾，喜悦在心头;内心在狂喜，心情在澎湃;真情在涌动，真爱在表白：老婆，爱你没商量，爱你永不变!
三、换元思想
小学奥数 换元法 精选例题练习习题(含知识点拨)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+) ⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
【小学奥数题库系统】1-3-2 多位数计算.教师版
⋅ ⋅ ⋅ 800 ⋅ ⋅ ⋅ 0 − 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8) ÷ 3 = 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8711 ⋅ ⋅ ⋅ 12 ÷ =( 88 = 3 296 ⋅ ⋅ ⋅ 296 ⋅ ⋅ ⋅ 037 2957 037 04
1-3-2.多位数计算.题库
教师版Biblioteka page 1 of 8原式 = 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8 × 99 ⋅⋅⋅9 ÷ 3 = 88 ⋅ ⋅ ⋅8× ⋅ ⋅ ⋅ 0 -1） ÷= 3 （88 ⋅ ⋅ ⋅ 800 ⋅ ⋅ ⋅ 0 - 88 ⋅ ⋅ ⋅ 8） ÷3 （1 00
2008个 9 2008个 9 2007 个 9 2007个0
原式 = 99 9800 01+199 9 = 100 0
2007 个 9 2007个0 2008个 9 4016 个 0
方法二： 观察一下你会发现， 两个乘数都非常大， 不便直接相乘， 其中 999 很接近 1 000 ， 于是我们采用添项凑整，简化运算。 原式 =（ = 99 ⋅ ⋅ ⋅ 9 00 ⋅ ⋅ ⋅ 0 − 99 ⋅ ⋅ ⋅ 9 + 100 ⋅ ⋅ ⋅ 0 + 99 ⋅⋅⋅9 100 0 −1 × 99 9 + 100 0 + 99 9 ）
【题型】计算
2 2 999 9 2 ＝ × 1000 0 − 1 2 × 222 222 2 × 222 2＝ × × 222 9 1998个9 1998个 2 9 1998个0 1998个 2 1998个 2 1998个 2 1 1 444 4 000 0 − 444 4 1000 0 − 1 4 ＝ × × 444 ＝ × 9 1998个 4 1998个0 9 1998个0 1998个 4 1998个 4 1 ＝ × 444 43555 56 、 9 1997 个 4 1997 个 5
【小学奥数题库系统】1-2-1-3 等差数列应用题.教师版
【例 1】 体育课上老师指挥大家排成一排，冬冬站排头，阿奇站排尾，从排头到排尾依次报数。
如果冬冬报17，阿奇报150，每位同学报的数都比前一位多7，那么队伍里一共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 首项=17，末项=150，公差=7，项数=（150-17）÷7+1=20【答案】20【例 2】 一个队列按照每排2，4，6，8人的顺序可以一直排到某一排有100人 ，那么这个队列共有多少人？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 （方法一）利用等差数列求和公式：通过例1的学习可以知道，这个数列一共有50个数，再将和为102的两个数一一配对，可配成25对．所以2469698100++++++ =2+10025=10325=2550××（）（方法二）根据12398991005050++++++= ，从这个和中减去1357...99+++++的和，就可得出此题的结果，这样从“反面求解”的思想可以给学生灌输一下，为今后的学习作铺垫．【答案】2550【例 3】 有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 也就是已知一个数列：3、5、7、9、11、13、15、…… ，求这个数列的第102项是多少？999是第几项？由刚刚推导出的公式——第n 项=首项+公差1n ×−（）， 所以，第102项321021205=+×=（-）；由“项数=(末项−首项)÷公差1+”，999所处的项数是： 999321996214981499−÷+=÷+=+=（）【答案】499【巩固】 有一堆粗细均匀的圆木，堆成梯形，最上面的一层有5根圆木，每向下一层增加一根，一共堆了28层．问最下面一层有多少根?【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 将每层圆木根数写出来，依次是：5，6，7，8，9，10，…可以看出，这是一个等差数列，它的首项是5，公差是1，项数是28．求的是第28项．我们可以用通项公式直接计算．解： 1(1)n a a n d =+−×5(281)1=+−×32=(根)故最下面的一层有32根．【答案】32【巩固】 建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？这堆砖共有多少块？【考点】等差数列应用题 【难度】2星 【题型】解答【解析】 项数=（2106-2）÷4+1=527，因此，层数为奇数，中间项为（2+2106）÷2=1054，数列和=中间项×项数=1054×527=555458，所以中间一层有1054块砖，这堆砖共有555458块。
【小学奥数题库系统】1-2-2-3 通项归纳.教师版
【题型】计算
1-2-2-3.通项归纳.题库
教师版
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2× 2 3× 3 98 × 98 99 × 99 × ×× × (2 + 1) × (2 − 1) (3 + 1) × (3 − 1) (98 + 1) × (98 − 1) (99 + 1) × (99 − 1) 2 × 2 3× 3 4 × 4 5× 5 98 × 98 99 × 99 2 99 49 = × × × ×× × = × = 1 3 ×1 4 × 2 5 × 3 6 × 4 99 × 97 100 × 98 1 100 50 49 【答案】 1 50 原式 =
2 × 2 4 × 4 6 × 6 8 × 8 10 × 10 + + + + 1 × 3 3 × 5 5 × 7 7 × 9 9 × 11 【考点】通项归纳 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 n2 【解析】 （法 1） ：可先找通项 an = 1+ 2 1+ = = 2 (n − 1) × (n + 1) n −1 n −1 1 1 1 1 1 原式 = (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) + (1 + ) 1× 3 3× 5 5× 7 7×9 9 × 11 1 1 5 5 = 5 + × (1 − ) = 5 + = 5 2 11 11 11 2 8 8 18 18 32 32 50 50 （法 2） ：原式 = (2 − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) + ( − ) 3 3 5 5 7 7 9 9 11 6 10 14 18 50 6 5 = 2+ + + + − = 10 − 4 = 5 3 5 7 9 11 11 11 5 【答案】 5 11
【小学奥数题库系统】1-1-2-1小数加减法速算与巧算.学生版(可编辑修改word版)
小数加减法速算与巧算教学目标本讲知识点属于计算板块的部分，难度并不大。
要求学生熟记加减法运算规则和运算律，并在计算中运用凑整的技巧。
知识点拨一、基本运算律及公式一、加法加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变。
即：a＋b＝b＋a其中a，b 各表示任意一数．例如，7＋8＝8＋7＝15.总结：多个数相加，任意交换相加的次序，其和不变．加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再与第一个数相加，他们的和不变。
即：a＋b＋c＝（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）其中a，b，c 各表示任意一数．例如，5＋6＋8＝（5＋6）＋8＝5＋(6＋8).总结：多个数相加，也可以把其中的任意两个数或者多个数相加，其和不变。
二、减法在连减或者加减混合运算中，如果算式中没有括号，那么计算时要带数字前面的运算符号“搬家”．例如：a－b－c＝a－c－b，a－b＋c＝a＋c－b，其中a，b，c 各表示一个数．在加减法混合运算中，去括号时：如果括号前面是“＋”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号不变；如果括号前面是“－”号，那么去掉括号后，括号内的数的运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”．如：a＋（b－c）＝a＋b－ca－（b＋c）＝a－b－ca－（b－c）＝a－b＋c在加、减法混合运算中，添括号时：如果添加的括号前面是“＋”，那么括号内的数的原运算符号不变；如果添加的括号前面是“－”，那么括号内的数的原运算符号“＋”变为“－”，“－”变为“＋”。
如：a＋b－c＝a＋（b－c）a－b＋c＝a－（b－c）a－b－c＝a－（b＋c）二、加减法中的速算与巧算速算巧算的核心思想和本质：凑整常用的思想方法：1、分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．2、加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．3、数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．4、“基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注意把多加的数减去，把少加的数加上）例题精讲模块一：分组凑整思想【例1】91.5 + 88.8 + 90.2 + 270.4 + 89.6 + 186.7 + 91.8【巩固】2006＋200.6＋20.06＋2.006＋994＋99.4＋9.94＋0.994＝【例2】计算【例3】计算56.43＋12.96＋13.57－4.33－8.96－5.67【巩固】3.17 + 7.48 - 2.38 + 0.53 - 3.48 - 1.62 + 5.3【例4】计算1 + 0.99 - 0.98 - 0.97 + 0.96 + 0.95 - 0.94 - 0.93 + + 0.04 + 0.03 - 0.02 - 0.01模块二、加补凑整思想【例5】同学们，你们有什么好办法又快又准的算出下面各题的答案？把你的好方法讲一讲！也当一次小老师！(1) 0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999 + 0.99999(2) 1.996 +19.97 +199.8(3) 0.7 + 9.7 + 99.7 + + 999999999.7【巩固】请你认真计算下面两道题看谁算得最准确（1）9.996＋29.98＋169.9＋3999.5（2）89＋899＋8999＋89999＋899999模块三、位值原理【例6】(123456789.987654321 + 234567891.198765432 + + 912345678.876543219) ÷ 9 【例7】124.68 + 324.68 + 524.68 + 724.68 + 924.68【巩固】325.24 + 425.24 + 625.24 + 925.24 + 525.24模块四、基准数思想【例8】计算0.9 + 0.99 + 0.999 + 0.9999 + 0.99999【巩固】1.996 + 19.97 + 199.8。
【小学奥数题库系统】1-2-2-1 分数裂项.教师版
【例 1】
1 1 1 + + ...... + 10 × 11 11 × 12 59 × 60 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 原式 = ( − ) + ( − ) + ...... + ( − ) = − = 10 11 11 12 59 60 10 60 12 1 【答案】 12
【例 5】 计算：
= 【解析】 原式
1 1 1 1 1 1 1 − − − + + + 4 1 × 3 3 × 5 3 × 5 5 × 7 2001 × 2003 2003 × 2005
1 1 1 1004003 = × − = 4 1 × 3 2003 × 2005 12048045
【巩固】 计算：
1 1 1 1 1 1 1 1 【例 4】 计算： ( + + + + + + + ) × 128 = 8 24 48 80 120 168 224 288 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，101 中学 1 1 1 1 【解析】 原式 =（ + + + + ） × 128 2× 4 4×6 6×8 16 × 18 1 1 1 1 1 1 1 = × （ − + − ++ − ） × 128 2 2 4 4 6 16 18 1 1 = （ − ） × 64 2 18 4 = 28 9 4 【答案】 28 9 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 + + _______ + + + + + = 6 12 20 30 42 56 72 90 【考点】分数裂项 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，第六届，走美杯，初赛，六年级 【解析】 根据裂项性质进行拆分为：
小学数学换元与代换练习题
小学数学换元与代换练习题标题：小学数学换元与代换练习题说明：以下是关于小学数学中的换元与代换的练习题，共计5个小节。
每个小节包含若干道题目，通过解题的方式帮助学生掌握换元与代换的基本概念及运用方法。
一、找规律1. 已知 a=2，b=5，请计算 a + b 的值。
2. 已知 c=3，d=4，请计算 c - d 的值。
3. 已知 e=7，f=9，请计算 e × f 的值。
4. 已知 g=12，h=3，请计算 g ÷ h 的值。
5. 已知 i=8，j=5，请计算 i 的平方与 j 之和的值。
二、换元计算1. 计算 x+3，当 x=4 时的值。
2. 计算 2y-5，当 y=7 时的值。
3. 计算 3a+4b，当 a=2，b=5 时的值。
4. 计算 5m-2n，当 m=3，n=8 时的值。
5. 计算 6p/q，当 p=9，q=2 时的值。
三、代换求解1. 若 a+b=10，且 a=3，请计算 b 的值。
2. 若 x-y=5，且 x=8，请计算 y 的值。
3. 若 2m+3n=12，且 m=2，请计算 n 的值。
4. 若 m/n=4/3，且 n=6，请计算 m 的值。
5. 若 2p-3q=1，且 p=4，请计算 q 的值。
四、综合应用1. 甲数是4，乙数是甲数的两倍，求乙数。
2. 一个数是3，另一个数比它大2，求另一个数。
3. 甲班有5个学生，乙班学生是甲班学生人数的3倍，求乙班学生的人数。
4. 甲桶有7升水，乙桶有甲桶水量的一半，求乙桶水量。
5. 若 a+b=10，b+c=12，求 a、b、c 的值。
五、解方程1. 请解方程 x+3=8。
2. 请解方程 2y-5=9。
3. 请解方程 3a+4b=18。
4. 请解方程 5m-2n=7。
5. 请解方程 6p/q=9。
注意：以上题目中，所有变量均为正整数，并且无需使用计算器。
所有题目均可通过代入法和运算法则直接计算出结果。
以上是关于小学数学换元与代换的练习题，希望能够帮助学生更好地理解和掌握这一知识点。
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法（5年级培优）教师版
五年级下册数学试题-奥数专题培优讲练：09消去法与换元法（5年级培优）教师版课堂目标：1、记住用消去法、换元法解题的题型；2、掌握用消去法及换元法解决实际问题重点：消去法、换元法解题难点：消去法解应用题的过程（消元的方法）换元法：有时候，题目中有两个有一定关联的数量，这两个数量给解题带来不便，我们要从中找到两种数量之间的联系，把两种数量转化成一种数量，从而帮助我们找到解题的方法。
消去法：在较复杂的应用题中，有的包含着两个或两个以上要求的量，解答时，先想法消去一个要求的量，再求出另一个量，然后求出消去的量。
这种方法叫做消去法。
解题方法：利用条件简化法，设法将其中的一个未知量消去，先求出另一个未知量，进而求出消去的未知量。
（等量代换、加减消元法、列表法）【换元法解应用题】一张桌子的价钱等于4把椅子的价钱，买1张桌子和12把椅子共付288元。
求：一张桌子和一把椅子各多少元？【答案】72元；18元【知识点】换元法解题【难度】A 【出处】小学数学拓展学案【分析】椅子：()18412288=+÷（元），桌子：72418=?（元）3张桌子价钱等于7把椅子价钱。
每把椅子36元，买2张桌子和7把椅子共付多少钱？【分析】42073623736=?+?÷?（元）小华买了3支铅笔和6张图画纸，共付了1.2元，每支铅笔比每张图画纸贵0.1元。
每张图画纸多少元？每支铅笔多少元？【答案】0.1元；0.2元【知识点】等量代换【难度】B 【出处】小学数学拓展学案【分析】()()1.06331.02.1=+÷?-（元）；2.01.01.0=+（元）。
学校买来8块大黑板和12块小黑板共用去300元，一块大黑板的价钱比两块小黑板还要贵2.5元。
大黑板每块多少钱？小黑板每块多少钱？【分析】()[]()5.2221282125.2300=÷+÷÷?+（元）；()1025.25.22=÷-（元）【消去法解应用题】光明小学买水壶4只、水桶5个，共付出150.5元；实验小学买同样的水壶4只、水桶8个，共付出182元。
(小学奥数)换元法
對於六年級的同學來說，分數乘法算式的一些計算技巧必須開始掌握．這既與基礎課程進度結合，更是小學奧數經典內容．裂項、換元與通項歸納這三項內容，通稱“分數計算之三大絕招”．考察近年來的小升初計算部分，分數計算成為熱點．可以這麼說：“一道非常難的分數運算，要麼是裂項，要麼是換元，要麼是通項歸納．如果都不是，那它一定是比較簡單的分數小數混合運算．” 三、換元思想解數學題時，把某個式子看成一個整體，用另一個量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實質是轉化，將複雜的式子化繁為簡．【例 1】 計算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，則： 原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算例題精講教學目標換元法【解析】 設111234a =++，則原式化簡為：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15【巩固】 計算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=， 原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 計算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算【解析】 設0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 計算下麵的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+) 【考點】換元法 【難度】2星 【題型】計算 【關鍵字】希望杯，2試【解析】 換元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，則原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
五年级奥数.计算综合.公式、重要结论应用与换元法(C级).教师版
（1） 灵活运用平方和、立方和公式进行计算； （2） 了解等比数列；（3） 灵活运用等比数列求和公式进行计算。
【基本概念】等比数列——如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，这个数列就叫做等比数列(geometric progression)。
这个常数叫做等比数列的公比(common ratio)，公比通常用字母q 表示(q≠0)。
注：q =1时，an 为常数列。
【常用公式】 （1） 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=；（2） ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=； （3）()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=；（4） 等比数列求和公式：（1）0111111(1)1n n n a q S a q a q a qq --=++⋅⋅⋅+=-()1〉q ； （2）qq a qa q a q a S n n n --=+++=-1)1(1111101 ()1〈q 。
（5） 平方差公式：()()22a b a b a b -=+-；（6） 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++，()2222a b a ab b -=-+；用文字表述为：两数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，两条公式也可以合写在一起：()2222a b a ab b ±=±+．为便于记忆，可形象的叙述为：“首平方，尾平方，2倍乘积在中央”．考试要求知识结构公式、特殊结论应用与换元法（1） 平方和、立方和公式的灵活运用； （2） 等比数列公式的灵活运用。
【例 1】 计算：222012201125531012323111+⨯-⨯ 【考点】特殊结论应用 【难度】☆☆☆ 【题型】解答 【解析】原式=22201220111112310110123111+⨯⨯-⨯⨯=0 【答案】0。
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5 7 3 7 3 4 5 7 3 4 7 3 【巩固】 计算： ( + + )× + + − + + + × + = 12 32 17 32 17 13 12 32 17 13 32 17 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，第五届，走美杯，初赛，六年级 5 7 3 7 3 【解析】 设 a = + + 、b = + ，则有 12 32 17 32 17
1 1 原式 = (a − ) × b − a × (b − ) 6 6 1 1 1 1 1 ( a − b) = × 1 = = ab − b − ab + = a 6 6 6 6 6
【答案】
1 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + ) × ( + + + ) − (1 + + + + ) × ( + + ) 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 a = + + ，则原式化简为：(1+a )(a + )-a(1 + a+ )= 2 3 4 5 5 5 1 【答案】 5
1 2+ 3+ 4+ 1 1 1 1 + 2009 1 1+ 1+ 3+ 4+ + 1 1 1 1 1 2009
【例 4】 计算
+
【考点】换元法 【解析】 设 N= 3 + 4+ + 【答案】 1 1 1
【难度】4 星 . 原式=
【题型】计算
1 1 2+ N
1-3-5.换元法.题库 教师版 page 3 of 5
2
【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 1 1 t 1 1 1 2 3 9 1 【解析】 设 t = + + + + ，则有 t 2 + t × − (1 + t ) t − = t 2 + t − t 2 + t − − = 2 3 4 10 2 2 2 2 2 2 1 【答案】 2
1 1 原式 = a ×b + − a + ×b 51 51 1 1 1 1 1 1 ( a − b) = × = = ab + a − ab − = b 51 51 51 51 11 561 1 【答案】 561
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 计算 （ + + + ） ×( + + + )− （ + + + + )×( + + ) 5 7 9 11 7 9 11 13 5 7 9 11 13 7 9 11 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，清华附中 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 + + + = A， + + = B， 5 7 9 11 7 9 11
1 1 原式 =A × B + − A + × B 13 13 1 1 1 1 1 1 = A× B + A − A× B − = B ( A − B) = × = 13 13 13 13 5 65 1 【答案】 65
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 计算 1 + + + + × + + + + − 1 + + + + + × + + + 2 3 4 5 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 4 5 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 1 + + + + = A， + + + = B 2 3 4 5 2 3 4 5
原式 = (1 + a ) × b − (1 + b ) × a = b + ab − a − ab = b − a = 【答案】
1 2008
1 2008
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【巩固】 + + + × + + + − + + + + × + + 11 21 31 41 21 31 41 51 11 21 31 41 51 21 31 41 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 1 【解析】 设 + + + = a， + + = b， 11 21 31 41 21 31 41
1 1 1 1 1 1 1 1 原式 = A × B + − A + × B = A × B + × A − A × B − × B = × A − × B = ×( A− B )= 6 6 6 6 6 6 6 6 1 【答案】 6
【例 3】 计算： 9 1 2 3 9 1 1 2 9 2 3 9 1 2 3 + + + + + + + + + × − 1 + + + + × + + + 2 3 4 10 2 3 4 10 2 2 3 10 3 4 10
。
4 4 原式 =a × b + − a + × b 13 13 4 4 4 4 5 5 = a− b= ( a − b) = × = 13 13 13 13 12 39
【答案】
5 39
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1-3-5.换元法.题库
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 【例 2】 计算： 1 + + + × + + + − 1 + + + × + + + 2007 2 3 2008 2 2008 2 3 2007 2 【考点】换元法 【难度】3 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 ， b = + + + ， 【解析】 令 a = + + + 2 3 2007 2 3 2008
三、换元思想
解数学题时， 把某个式子看成一个整体， 用另一个量去代替它， 从而使问题得到简化， 这叫换元法． 换 元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
例题精讲
【例 1】 计算： (1 +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 3; + + ) × ( + ) 2 4 2 4 6 2 4 6 2 4 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 1 1 1 1 1 1 【解析】 令 1 + + + = a， + + = b ，则： 2 4 6 2 4 6
【巩固】 (1 +
621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 【巩固】 计算： + + + + + + + + × − × 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 621 739 458 739 458 【解析】 令 + + = a； + = b， 126 358 947 358 947
378 621 378 378 378 原式 = = × = 9 a ×b + (a − b) × −a + ×b = 207 126 207 207 207 【答案】 9
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【巩固】 计算：( 0.1 + 0.21 + 0.321 + 0.4321 ) × ( 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321 ) − ( 0.1 + 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321 ) × ( 0.21 + 0.321 + 0.4321 ) 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【解析】 设 x = 0.21 + 0.321 + 0.4321 + 0.54321 ， 0.21 + 0.321 + 0.4321 ， y = 原式 = ( 0.1 + x ) × y − ( 0.1 + y ) × x= 0.1 × ( y − x ) = 0.054321 【答案】 0.054321 【巩固】 计算下面的算式 ( 7.88 + 6.77 + 5.66 ) × ( 9.31 + 10.98 + 10 ) − ( 7.88 + 6.77 + 5.66 + 10 ) × ( 9.31 + 10.98 ) 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2007 年，希望杯，2 试 【解析】 换元的思想即“打包”，令 a = 7.88 + 6.77 + 5.66 ， = b 9.31 + 10.98 ，则原式= a × ( b + 10 ) − ( a + 10 ) ( ab + 10a ) − ( ab + 10b ) = ab + 10a − ab − 10b =10 × ( a − b ) ×b = = 10 × ( 7.88 + 6.77 + 5.66 − 9.31 − 10.98 ) = 10 × 0.02 = 0.2 【答案】 0.2 【巩固】 (1 + 0.12 + 0.23) × (0.12 + 0.23 + 0.34) − (1 + 0.12 + 0.23 + 0.34) × (0.12 + 0.23) = ____ 。 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】2008 年，希望杯，第六届，六年级，二试 【解析】 设 0.12 + 0.23 = a ， 0.12 + 0.23 + 0.34 = b 原式 = (1 + a ) × b − (1 + b ) × a = b − a = 0.34 【答案】 0.34 【巩固】 计算：⑴ ( 1 + 0.45 + 0.56 ) × ( 0.45 + 0.56 + 0.67 ) − ( 1 + 0.45 + 0.56 + 0.67 ) × ( 0.45 + 0.56 ) 621 739 458 739 458 378 621 739 458 378 739 458 ⑵ + + + + + + + + × − × 126 358 947 358 947 207 126 358 947 207 358 947 【考点】换元法 【难度】2 星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设 = a 0.45 + 0.56 ， b = 0.45 + 0.56 + 0.67 ， 有原式 = ( 1 + a ) ×b − ( 1 + b ) ×a = b + ab − a − ab = b − a = 0.67 739 458 621 739 458 ⑵ 设a = ，b + + + = 358 947 126 358 947