高等数学12数列极限含weierstrass定理以及单调递增

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高数上第一章§1.2.2数列极限的性质

（ 2 ） lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
解： lim [ 1+ 2 +L+ n − 1+ 2 +L+ ( n −1) ]
n→∞
n ( n + 1) n ( n −1) = lim 1 [ n 2 + n − n 2 − n ] ] = lim [ − n→∞ 2 2 2 n→∞
n→∞ n→ ∞
则 lim y n = a 。
n→∞
证明：∵ lim x n = lim z n = a ，∴ ∀ε > 0 ， ∃ N 1 , N 2 ∈ N + ，证明
n→∞ n→∞
夹逼定理在肯定 y n < ε ，从而 a − ε < x n ，当 n> N 1 时，有 xn{− a }收敛的同时也给出了其极 >
单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调增加（严格单调增加）和单调减少（严格单单调数列。调减少）的数列统称为单调数列调减少）的数列统称为单调数列。
定理3 单调有界原理）定理3（单调有界原理）：
单调增加（减少）有上（下）界的数列必定有极限。单调增加（减少）有上（界的数列必定有极限。
1 3 5 2n −1 2 4 6 2n 解：令 x = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ，y = ⋅ ⋅ ⋅(L)⋅ ， 2 4 6 2n 3 5 7 2n + 1
1 1 即 0< x < ，从而 0< x < 。 2n + 1 2n + 1 1 ∵ lim 0= 0 ， lim =0 ， n→∞ n→∞ 2n + 1

bolzano-weierstrass定理证明

Bolzano-Weierstrass定理是数学中的一个重要定理，它关于实数列的性质和极限的问题。

在本文中，我们将深入探讨Bolzano-Weierstrass定理的相关内容，包括其定义、历史背景、证明过程等方面，希望能够为读者提供全面而深入的理解。

一、Bolzano-Weierstrass定理的定义让我们来了解一下Bolzano-Weierstrass定理的定义。

Bolzano-Weierstrass定理是指任何有界的实数列都有收敛子列的定理。

对于任意一个有界的实数列，我们都能找到一个收敛的子列。

这个定理在数学分析中具有重要的意义，它为我们研究实数列的性质和极限提供了重要的理论支持。

二、Bolzano-Weierstrass定理的历史背景Bolzano-Weierstrass定理最早由19世纪的数学家Bolzano和Weierstrass独立提出并证明。

Bolzano是捷克著名的数学家，他在研究实数列的性质时发现了这一定理。

而后来的Weierstrass在他的研究中也得到了相似的结论。

这个定理通常被称为Bolzano-Weierstrass定理，以纪念这两位杰出的数学家。

三、Bolzano-Weierstrass定理的证明接下来，让我们来探讨一下Bolzano-Weierstrass定理的证明过程。

证明的关键在于利用了有界数列的性质，通过递归的方法构造出一个收敛的子列。

具体来说，我们可以按照如下步骤进行证明：1.我们假设给定一个有界的实数列{an}，即存在一个实数M，使得对于任意n，都有|an| <= M成立。

这个性质是Bolzano-Weierstrass定理证明的重要前提。

2.我们可以利用闭区间套定理来构造出一个递增的子列{an_k}。

具体地，我们可以按照如下步骤进行：a.首先将整个实数轴分成两个等长的闭区间[-M,M]和[-M/2,M/2]，并找出在这两个闭区间上出现频率无限的子列。

数列收敛性的判别准则

按照数列极限的定义证明。利用夹逼性证明。
最简单的思想是利用数列本身的性质证明数列极限的存在性
4
2.3 数列极限存在的判别准则
（1）单调有界准则（2）数列极限的归并原理（3） Weierstrass(维尔斯特拉斯)定理（4）柯西(Cauchy)收敛原理
5
（1）单调有界准则
e
(e 2.718281828459045
)
n n
11
EX 求 lim(1 1 )n .
n
n
求 lim( 3 n )2n . n 2 n
解 lim(1 1 )n lim(1 1 )n
n
n
n
n1
lim(1
1 1 )n1(1
1)
1. e
n n 1
n1
解
lim( 3 n )2n lim[(1 1 )n2 ]2(1 1 )4
10
Q
an
(1
1 )n n
1 1 1 (1 1) 1 (1 1)(1 2) (1 n 1).
2! n
n! n n
n
an
1
1
1 2!
L
1 n!
11 1 2
1 2n1
3
1 2n1
3,
{an } 是有界的 ;
{an }
是单调递增的有界数列
lim
n
an
存在.
记为
lim
1
1
n
lim(3
n
an ),
a2 3 a,
解得 a 1 13 , a 1 13Biblioteka 221 13
(舍去)
lim
n
an
2

12数列极限精品PPT课件

23
n
n
注意1. 数列对应着数轴上一个点列, 可看作一动点在数轴上依次取x1, x2, ···, xn, ···
x3 x1 x2 x4 xn
注意2. 数列是整标函数, 即定义在正整数集合Z+ 或自然集合N上的函数 xn = f (n).
三、数列的极限
观察数列
xn
1
n
当n→∞时的变化趋势
播放
得证
lim
n
xn
0.
利用定义验证数列极限, 遇到的不等式| xn–a |<
不易考虑时, 往往采用把 | xn–a | 适当放大的方法. 若
能放大到较简单的式子, 就能从一个比较简单的不等
式较容易寻找项数指标N. 放大的原则
① 放大后的式子较简单; ② 放大后的式子以0为极限.
例2:设xn
0,且 lim n
数n, 恒有| xn | M 成立, 则称数列{xn}为有界的, 否则
称数列{xn}为无界的.
例如,
数列 xn
n n1
有界,
数列
xn
2n
无界.
在数轴上, 对应于有界数列{xn}的点都必须落在闭区间[–M, M]上.
定理1: 收敛的数列必定是有界的.
证: 设
lim
n
xn
a , 由定义,
取
=1,
则
求的N不是唯一的. 用定义验证 xn 以 a 为极限时, 关键
在于设法由给定的 , 求出一个相应的 N, 使当 n>N时, 不等式| xn–a |< 成立。
四、数列极限的几何意义
若
lim
n
xn
a, 则 >0, N, 使得N项以后的所有项

Bolzano-Weierstrass定理

Bolzano-Weierstrass定理这个定理是从吴崇试⽼师的数学物理⽅法课⾥看到的，表述如下：有界的⽆穷（复数）序列⾄少有⼀个聚点。

序列的聚点定义为给定序列 $\{z_n\}$，若存在复数 $z$，对于任意给定的 $\varepsilon > 0$ 恒有⽆穷多个 $z_n$ 满⾜ $| z- z_n| < \varepsilon$，则称$z$ 为 $\{z_n\}$ 的⼀个聚点。

$\{z_n\}$ 有聚点等价于 $\{z_n\}$ 有收敛⼦列。

我们试图构造出 $\{z_n\}$ 的⼀个收敛⼦列。

先证明有界实数列满⾜ B-W 定理，即有界实数列必有收敛⼦列。

证明：设序列 $\{a_n\}$ 都落在 $[a,b]$ 中，将 $[a,b]$ 等分成 $[a, (a+b)/2]$ 和 $[(a+b)/2, b]$，其中必有⼀个区间含有⽆穷多项 $a_n$，记此区间为 $I_1$，在 $I_1$ 中选择⼀项 $a_{i_1}$；再将 $I_1$ 等分成两份，取其中含有⽆穷多项 $a_n$ 者记做 $I_2$，在 $I_2$ 中选取⼀项$a_{i_2}$ 使得 $i_2 > i_1$，如此进⾏下去。

令 $I_n = [ l_n, r_n]$ ，则 $\{l_n\}$ 递增有界，$\{r_n\}$ 递减有界，即⼆者都收敛；令 $l =\lim_{n\to\infty} l_n$，$r = \lim_{n\to\infty} r_n$；⼜ $\lim_{n\to\infty} r_n - l_n = \lim_{n\to\infty} (b-a)/2^n = 0 $，因⽽ $x = y$。

⼜ $a_{i_n} \in [l_n, r_n]$ ，由夹逼原理有 $\lim_{n\to\infty} a_{i_n} = x$，于是 $\{a_{i_n}\}$ 收敛。

证毕。

再证明欧⽒空间 $\mathbb{R}^p$ 中的序列满⾜ B-W 定理，即$\mathbb{R}^p$ 中的有界序列必有收敛⼦列。

求数列极限的方法总结

求数列极限的方法总结一、引言数列是数学中重要的概念之一，它在各个领域中得到广泛应用。

而数列的极限是数列理论中至关重要的内容，它能够帮助我们了解数列的变化趋势，揭示其中的规律。

本文旨在总结求数列极限的方法，帮助读者更好地理解该概念并运用于实际问题中。

二、定理方法定理是数学推理中最为基础的工具，求解数列极限也不例外。

定理方法主要有两大类：Bolzano-Weierstrass定理和Sandwich定理。

1. Bolzano-Weierstrass定理Bolzano-Weierstrass定理是数学分析中重要的收敛性定理之一。

它指出，有界数列必有收敛子列。

基于这个定理，我们可以通过求解数列的子列来确定数列的极限。

具体的方法是先证明数列有界，再通过调整子列来找到极限值。

2. Sandwich定理Sandwich定理又称夹逼定理，它主要用于求解数列的极限问题。

该定理的主要思想是利用两个已知的数列来夹逼待求的数列，从而得到极限的性质。

通过确定夹逼数列的极限，我们可以推断出待求数列的极限。

三、递推方法递推方法是一种通过列举数列的前几项来找到规律，从而推导出极限的方法。

递推方法的优势在于简单直接，适用于某些具有显式递推关系的数列。

通过观察数列的前后项之间的关系，我们可以构造出递推公式，并逐步推导数列的极限。

四、级数方法级数方法是一种通过求解数列的部分和来找到极限的方法。

在数学分析中，级数被视为数列的极限问题，因此使用级数方法也是一种常见的求解数列极限的方法。

通过构造数列的部分和序列，并证明其有界性和单调性，我们可以用级数的收敛性来推导出数列的极限。

五、夹逼方法夹逼方法是一种通过构造一个上下界来确定数列的极限的方法。

该方法常用于数列存在极限值但难以直接求解的情况。

通过找到两个收敛数列，并证明它们分别是待求数列的上界和下界，我们可以推导出数列的极限。

六、求导法求导法是一种用微积分的方法求解数列极限的方法。

它基于导数的定义和微分运算的性质，通过数学推导来确定数列的极限。

高数D12数列的极限

(1

1n)
(1

n2)

n1!(1

1n)
(1
2 n
)
(1

nn1)
xn1
11
1 2!
(1

n11)

31! (1
n11)(1
n21)

大
大
(n11)!(1 n11)(1 n21)(1 nn1)
正
比较可知 xn xn1 ( n 1, 2, )
假设数列 xn 收敛 , 则有唯一极限 a 存在 .
取

1 2
, 则存在 N ,
使当 n
>N
时,有
a

1 2

xn

a

1 2
但因 xn交替取值 1 与－1 , 而此二数不可能同时落在
长度为
1
的开区间 (
a

1 2
,
a

1 2
)
内,
因此该数列发散
.
机动目录上页下页返回结束
2. 收敛数列一定有界.
数学语言描述: 0, 正整数 N, 当 n > N 时, 总有
An S
刘徽目录上页下页返回结束
定义: 自变量取正整数的函数称为数列, 记作
或
称为通项(一般项) .
若数列
及常数 a 有下列关系 :
当 n > N 时, 总有
则称该数列
的极限为 a , 记作
lim
n
n (1)n 1 n
0 , 欲使
即
只要
n

weierstress定理_理论说明

weierstress定理理论说明1. 引言1.1 概述Weierstrass定理是数学分析中的重要理论之一，它描述了连续函数在闭区间上可以通过多项式逼近的现象。

这个定理的发现和证明过程都非常复杂，但其结果对于数学的发展和应用有着深远影响。

1.2 文章结构本文将分为五个部分来详细探讨Weierstrass定理。

首先，在引言部分，我们将简要介绍该定理的概述、文章结构以及目的。

然后，在第二部分“Weierstrass 定理的基本内容”中，将详细解释Weierstrass函数的定义与性质，并介绍极限和连续的相关概念。

接下来，在第三部分“Weierstrass定理的证明过程”中，我们将讨论证明该定理所采取的基本思路与策略，并逐步展示详细证明步骤以及关键推导与技巧。

随后，在第四部分“Weierstrass定理的应用领域”中，将探讨该定理在微积分学、实分析和数学建模等领域中具体应用情况。

最后，在结论部分，总结本文涉及到的主要观点和结果，并指出Weierstrass定理在现实世界中的重要性。

1.3 目的本文旨在通过对Weierstrass定理的理论说明，帮助读者深入理解该定理的基本内容、证明过程和应用领域。

我们将尽力以清晰易懂且详细全面的方式阐述相关知识，希望读者能够从中获得对数学分析领域中这一经典定理的深入认识，并进一步探索其在实际问题解决中的广泛应用。

2. Weierstrass定理的基本内容:2.1 Weierstrass函数的定义与性质：Weierstrass函数是由3. Weierstrass定理的证明过程:3.1 基本思路与策略:Weierstrass定理的证明过程主要基于函数的连续性和极限的性质。

首先，我们需要构造一个Weierstrass函数来满足一些特定的条件。

然后，通过逐步逼近和密切估计的方法，我们可以证明该函数在闭区间上处处连续。

最后，利用收敛数列以及连续函数极限定理，我们可以得出Weierstrass定理成立的结论。

bolzano weierstrass定理证明

Bolzano-Weierstrass 定理是实分析领域中的一个非常重要的定理，它指出了有界数列必定存在收敛的子数列。

本文将从数学分析的角度，对Bolzano-Weierstrass 定理进行证明。

1. 定理陈述Bolzano-Weierstrass 定理又称柯西-波尔查诺定理，它的具体陈述如下：对于任意有界的实数数列 {an}，必存在收敛的子数列{a nk}，即存在一个收敛到某一实数极限的子数列。

2. 证明准备证明Bolzano-Weierstrass 定理需要借助实数的有界性和确界原理。

我们知道实数集合有上界和下界，对于有界数列而言，存在一个上确界和下确界。

接下来，我们将利用这一性质来证明Bolzano-Weierstrass 定理。

3. 证明过程假设 {an} 是一个有界数列，即存在M>0，使得|an|<M对任意n成立。

由确界性质知，存在点x0，使得x0是{an}的上确界。

根据上确界的定义，对于任意正数ε>0，存在数列中的某个数a n0，使得x0-ε <an0≤x0。

现在我们来构造一个收敛子数列。

首先考虑ε=1，根据上确界的定义，存在a n1，使得x0-1 <a n1≤x0。

接着考虑ε=1/2，存在 a n2，使得x0-1/2 <a n2≤x0。

依此类推，我们可以构造出一个递增的数列{a n1，a n2，a n3，…}，满足x0-1 <a n1≤x0<x0-1/2 <a n2≤x0<x0-1/3 <a n3≤x0<….由于{an}有界，这个递增数列也必定有界。

根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理的定义，存在一个实数x，使得x是递增数列的极限。

我们构造出了一个收敛的子数列{a nk}，它的极限即为x。

Bolzano-Weierstrass 定理得以证明。

4. 结论通过以上的严密证明过程，我们成功地证明了Bolzano-Weierstrass定理。

12数列的极限共57页

①图示: ln imxn =a
② N与e 的关系:
e 的任意小性，N 的存在性，
且N=N(e )不是唯一的，一般e 越小，N 越大.
xn
例如
a e1
ln i m xn=1(1n )n1 =1.
a e2
a
a e2
a e1 N 1
N2
n
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四、收敛数列的性质
ba ba
数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数 xn=f(n), nN .
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三、数列的极限观察{1数 (1列 )n1}当 n 时的变 . 化
n
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播放
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结束
数列极限的通俗定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛 a, 记为
1 , 2 , 3 , , n ;
234
n1
2, 4, 8, , 2n , ;
{ 1 } 1 , 1 , 1 , , 1 , ;
2n 2 4 8
2n
1, 1, 1, , (1)n1, .
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P28例4 证明 xn数 =(1)列 n1是发 . 散的
证
设 ln i m xn=a,
由定义, 对于e = 1, 2
即则 N n , 使当 N 时 ,x n 得 n 1 N (a 时 ,当有 1 2,a x n 1 1 2 a ) ,区1 2 间成长度,为立 1.

Levi单调收敛定理

（Levi 单调收敛定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，满足（1） 1,..)()(1≥≤+n E e a x f x f n n 于；（2）,..)()(lim E e a x f x f n n 于=∞→则⎰⎰=∞→EEn n dx x f dx x f )()(lim .证明因为)(x f n 是E 上非负可测函数（n ≥1），所以E x x x f n kk n ∈=∞→),(lim )()(ϕ，其中)}({)(x n k ϕ是单调增的非负简单函数列，于是⎰⎰∞→=En k k En dx x dx x f )(lim )()(ϕ ,令)}(,),(),(max{)()()2()1(x x x x k k k k k ϕϕϕψ = ,则对每个)(,1x k k ψ≥是E 上的非负简单函数，且 E x x x x k ∈≤≤≤≤,)()()(21 ψψψ ,E x k n x x k n k ∈≤≤≤),1(),()()(ψϕ ,又 E x x f x f x f x f x k k k ∈=≤),()}(,),(),(max{)(21 ψ , 所以 E x k n x f x x k k n k ∈≤≤≤≤,1),()()()(ψϕ, （1）从而dx x f dx x dx x Ek EEk n k ⎰⎰⎰≤≤)()()()(ψϕ .（2）固定n ，令∞→k ，由（1）和（2）式，有E x x f x f x x f k k k k n ∈=≤≤∞→∞→),()(lim )(lim )(ψ ,和dx x f dx x dx x f k Ek Ek k n E)(lim )(lim )(⎰⎰⎰∞→∞→≤≤ψ ,进一步，令∞→n ，则)(lim )(lim )(x x f x f k k n n ψ∞→∞→== ,及dx x dx x f k Ek En n )(lim )(lim ψ⎰⎰∞→∞→= .（3）于是，由非负可测函数勒贝格积分定义和（3）式，有⎰⎰∞→=En n Edx x f dx x f )(lim )( .定理3 （逐项积分定理）设)}({x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰∑⎰∑∞=∞==⎪⎭⎫⎝⎛En n E n n dx x f dx x f )()(11 .证明由定理1，对每个n ≥1⎰∑⎰∑===⎪⎭⎫⎝⎛Ek nn E n k k dx x f dx x f )()(11令 )}({,)()(1x S x f x S n nk k n 则∑==是非负可测函数列，且E x x S x S n n ∈≤+),()(1 ,E x x f x S n n n n ∈=∑∞=∞→1)()(lim ，由Levi 单调收敛定理知，dx x S dx x f n E n E n n )(lim )(1⎰⎰∑∞→∞==⎪⎭⎫⎝⎛ =⎰∑⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛==∞→∞→En k k n n En dx x f dx x S 1)(lim )(lim=()⎰∑⎰∑∞==∞→=Enn k Enk n dx x f dx x f 11)(lim .推论设{E n }是可测集列，互不相交， ∞==1n n E E 如果)(x f 是E 上的非负可测函数，则⎰∑⎰∞==En E ndx x f dx x f 1)()( .证明令)1(,),()()(≥∈=n E x x x f x f n E n χ，则 )(x f n 是E 上的非负可测函数，且 ∑∞==1)()(n n x f x f ,⎰⎰=EnEn dx x f dx x f )()( .由逐项积分定理知∑⎰⎰∑⎰∞=∞===11)()()(n EnEn n Edx x f dx x f dx x f .定理4 设)(x f 是E 上几乎处处有限的非负可测函数，),0[}{,+∞⊂+∞<n y mE ，满足)(,01∞→+∞→<<<<=n y y y y n n o其中 δ<-+n n y y 1，令,1,0],)(|[1=<≤=+n y x f y x E E n n n则)(x f 在E 上是勒贝格可积的充分必要条件是∑∞=∞<0n nn m Ey ,此时⎰∑=∞=→En n n dx x f mE y )(lim 0δ .证明不妨假设)(x f 在E 上处处有限，因为在E n 上，)0(,)(1≥<≤+n y x f y n n ，所以由定理1，对每个n ≥0，n n Enn n mE y dx x f mE y 1)(+≤≤⎰，由定理3的推论知，∑⎰⎰∞==0)()(n E Endx x f dx x f ,所以⎰∑∑∞=+∞=≤≤En n n n nnmE y dx x f mE y 010)(=∑∑∞=∞=++-01)(n n n n n n n mE y mE y y∑∞=+<0n n n mE y mE δ，因此结论成立.定理5（Fatou 定理）设{})(x f n 是E 上的非负可测函数列，则⎰⎰∞→∞→≤En n nE n dx x f dx x f)(lim )(lim .证明令1,),(inf )(≥∈=≥n E x x f x g k nk n ，则 g n (x)是E 上的非负可测函数，且E x x g x g n n ∈≤+),()(1，于是，由Levi 单调收敛定理知，⎰⎰⎰∞→∞→∞→==En n n E n n n Edx x g dx x g dx x f )(lim )(lim )(lim .因为 E x x f x g n n ∈≤),()(所以 dx x f dx x g En En ⎰⎰≤)()( ,从而⎰⎰∞→∞→≤En n n En dx x f dx x g )(lim )(lim ,因此，⎰⎰∞→∞→≤En n n n Edx x f dx x f )(lim )(lim .Fotou 定理中的严格不等式有可能成立，例如设⎪⎩⎪⎨⎧-∈∈=]1,0[]1,0[0]1,0[)(n x n x n x f n ，易知 )1(,1)(],1,0[,0)(lim ]1,0[≥=∈=⎰∞→n dx x f x x f n n n ,所以1)(lim 0)(lim ]1,0[]1,0[=<=⎰⎰∞→∞→x f dx x f n n n n。

实数系的基本定理

a1
an1 an bn bn1
b1 。
显然 an 单调增加而有上界 b1 ， bn 单调减少而有下界 a1 ，由定理 2.4.1， an 与 bn 都收敛。设 lim an ，则
n
lim bn lim bn an an lim bn an lim an 。
实数系的基本定理
确界存在定理
Cauchy收敛原理
单调有界数列收敛定理
Bolzano—Weierstrass 定理闭区间套定理
定理 2.1.1 （确界存在定理——实数系连续性定理）非空有上界的数集必有上确界；非空有下界的数集必有下确界。证：
x R ，都可以表示成 x x x 1。
n, m N ：
xn a
于是

2
， xm a

2
，
xm xn xm a xn a 。
再证明充分性。先证明基本数列必定有界，取 0 1，因为 xn 是基本数列，所以 N 0 ，
n N0 ：
令 M max x1 , x2 ,
由此得到一个闭区间套 an , bn ，满足
an T , bn T ， n 1, 2,3,
。
由闭区间套定理，存在唯一的实数属于所有的闭区间 an , bn ，且
lim bn lim an 。现在说明是集合 T 的最小数，也就是集合 S 的
n n
an bn ， n 1,2,3,
令 n ，由极限的夹逼性得到
，
lim bn lim an ，
n n

高等数学数列极限的性质和运算法则

1 2 1 2n lim lim 2 2 n 2 n 1 1 2 n n n n 1 1 n n 1 . 2
18
1.2 数列极限的性质和运算法则
1 1 1 1 [ ]。（3） lim n 1 2 2 3 34 n( n 1) 1 1 1 解：∵ ， n( n 1) n n 1
ab yn 。则当 n N 时，有 x n 2
5
1.2 数列极限的性质和运算法则
推论 1 若 lim x n a ， lim y n b ，且 xn yn ，则 a b 。
n
n
推论 2 若 lim x n a ，且 a .2 数列极限的性质和运算法则
1.2.2. 数列极限的性质
性质 1（唯一性）若 { xn } 收敛，则其极限唯一。
性质 2（有界性）若 { xn } 收敛，则 { xn } 必有界，
即 M 0 ， n N , 有 xn M 。
性质 3（保序性）若 lim x n a ， li m yn b ，且 a b ，
n n
ab ∴ N 1 N ，使得当 n N 1 | x n a | 0 x n ， 2 ab yn ， ∴ N 2 N ，使得当 n N 2 | yn b | 0 2 令 N max{ N1 , N 2 } ，
1 1 1 1 ∴ 1 2 2 3 3 4 n( n 1)
1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 4 n n1
技巧
1 1 , n1
1 1 1 1 1 ∴ lim [ ] lim (1 )1。 n 1 2 2 3 34 n( n 1) n n1

高等数学1.2精讲----数列的极限2024.12.12

取 1 ,则 N , 当 n N 时,
xn a 1, 从而
xn a a 1 a
取 M max x1 , x2 , , xN ,1 a
则 xn M ( n 1 , 2 , ) . ∴收敛的数列必有界.
注: (1)有界的数列不一定收敛. 例如数列 (1 )n1
(2)无界的数列一定发散 .
)
xN2 a
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注意 ➢ 的任意性（1）的作用在于衡量 xn 与 a 的接近程度，只要求 0
（2）一经给出，暂看作是固定的，由其决定 N （3）也可用 2 ,3 , 2 代替，<号也可换成号，
➢N 的相应性
（1）N 与相关的，越小，N 越大，但 N 不是的函数
的一个动点，依次取数轴上的点 (2) 数列可看作是自变量取正整数的函数
(3) 数列的有界性：对于数列
如果存在正数
M，对于一切
都满足不等式
则称
数列
是有界的. 如果这样的M不存在，则称
数列
是无界的.
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3.数列的变化趋势——极限
观察数列
n
1 n1
n
当
n
时的变化趋势
后顺序，这样得到的一个数列称为原数列xn 的子数列，
简称子列.
设在数列xn 中，第一次抽取 xn1 ，第二次在 xn1 后
抽取 xn2，第三次在 xn2 后抽取 xn3 ，….这样无休止的抽取
下去，得到一个数列 xn1 , xn2 , xn3 , , xnk , 即子数列 xnk
注意：在子数列 xnk 中，一般项是 xnk ，是第k项，而