结构动力学 (邹经湘王本利王世忠著) 哈尔滨工业大学出版社课后答案

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结构动力学习题2..

结构动力学习题参考答案2.3一根刚梁AB ，用力在弹簧BC 上去激励它，其C 点的运动规定为Z （t ）,如图P2.3. 按B 点的垂直运动u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。

解：以在重力作用下的平衡位置作为基准点，则方程建立时不考虑重力。

根据达朗贝尔原理，通过对A 点取矩建立平衡方程，刚体上作用有弹簧弹力1s f ，2s f ，以及阻尼力D f ，惯性力2M 。

B 点的垂直位移是u ，则有几何关系知2/L 处的位移为2/u 。

根据位移图和受力图可得：02221=⨯-⨯+⨯+L f Lf L f M s D s I 其中.22221....221)(2123131uc f u z k f u k u R f umL L u mL M D s s I =-==⨯=== 代入○1式得： 0)(L 4141ML 3121...=--++L u z k u k u cL u 合并化简得：)(12)123(3M 4221...t Z k u k k u c u =+++2.5 系统如图P2.5 , 确定按下形式的运动方程：)(...t P ku u c u m u =++。

其中u 为E 点的垂直运动。

假定薄刚杆AE 的质量为M,其转动很小。

解：根据牛顿定律，运动几何关系，对B 点取矩得L uL m mL L u k L u c L L t f p 43)4(1214343854)(..22.0⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⨯⨯-⨯-⨯⨯化简合并得：)()()(845.,3,3,M 7)(845337......t P ku u c u m t P L t f P K k C c m L t f P ku u c u M u u O O =++=====++得令2.13 一根均匀杆，图P2.13 其单位体积质量密度ρ，并具有顶部质量M ，应用假定法L x x =()ψ来推导该系统轴向自由振动的运动方程。

假定=AE 常数。

结构动力学：Chapter_10(结构动力学)

= =
C1 sin ωt + C1ω cosωt
C2 cos
− C2ω
ωt
sin
ωt
得：⎧⎪C2 = y0
⎨ ⎪⎩C1
=
y0
ω
于是：
y=
y0
ω
sin ωt +
y0
cos ωt
进一步可确定式 y = C sin(ωt + φ) 中的C和φ
⎧ ⎪C = ⎪
C12 +C22 =
y02
+(
y0
ω
)2
⎨
⎪⎪⎩φ
第10章结构动力学
本章内容的基本要求
本章课程的任务是使学生了解和掌握结构的动力特性和动力响应的计算分析方法，具体为：
（1）掌握结构动力分析的基本方法，掌握单自由度及两自由度体系的自由振动及其在简谐荷载作用下的强迫振动的计算方法；
（2）了解阻尼的作用，了解频率的近似计算方法。
1/109
10-1 动力计算概述
φ
C2
C1
y
2π
ω
Cφ
C
φ
ωt
31/109
3、几个术语
（1）周期：振动一次所需的时间。
（2）工程频率
T = 2π ω
单位时间内的振动次数（与周期互为倒数）。
f=1= ω T 2π
（3）频率（圆频率）
旋转向量的角速度，即体系在2π秒内的振动次数。自由振动时的圆频率称为“自振频率”。
32/109
自振频率是体系本身的固有属性，与体系的刚度、质量有关，与激发振动的外部因素无关。
P(t)
固端弯矩 M = PL
自由端位移 w = Pδ1 δ1: 单位荷载下的位移

高等结构动力学答案

一、简答1、怎样从振动方程转化为状态方程？答：多自由度线性系统的振动方程Q Kq q C qM =++ （1） M ：质量矩阵，K ：刚度矩阵，C ：阻尼矩阵，Q ：广义力矢量Q M Kq M q C M q111---+--= （2）令BQ AX X+= （3）（2）式即可用（3）式来表示：Q M q q C M IKM q q ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---11100 （4）I ：单位矩阵即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q q X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=q q X ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--C M I K M A 110，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10M B 于是，二阶的振动方程就转化为一阶的状态方程了。

2、流致结构振动的特点？答：①流致结构是相互作用的两个系统，它们之间的相互作用是动态的，其实是一个流固耦合的反馈系统。

②流体力将两个系统联系在一起，流场使结构产生运动，而结构的运动也对流场产生影响。

而作用在结构单位长度上的流体力可以分解成升力和阻力。

③涡激振动中当结构的固有频率和旋涡的发放频率接近时，会产生很严重的垂直于来流方向的横向振动，使涡旋增强，尾流沿跨长的相关性增大，阻力增加，频率锁定和失谐。

④跳跃振动是结构物在均匀流场下产生的一种与来流方向垂直的横向自激振动，是由某些非流线型剖面结构本身的运动使实际的来流方向发生变化而引起的。

跳跃振动的频率与结构系统的固有频率相同。

3、谱分析方法的含义？答：谱分析法，即由已知的海浪谱推求出作用于结构物上的波力谱，从而确定不同累计概率的波浪力的方法。

谱表征响应中各频率对整体响应能量的贡献。

在频域内描述随机振动，谱分析能够描述振动的频率结构，查明振动中包含哪些频率分量，以及哪些频率分量是主要的，频谱的峰值附近代表能量相对比较大的成分波。

谱函数以非随机函数的形式较全面地描述了随机载荷相对于频率的分布情况。

谱分析方法通过傅立叶变换可以把一个时域信号变换成频域信号，从而得到该信号两种等价的描述方式。

哈工大结构动力学第一讲概述

5%. 笔试: 60%. 总成绩: 100分. 助教:张瑀,徐训,黄艳霞。
加分情况
• • • • • 独到的作业形式与新颖的解题方法；对老师教学与学生学习的好建议；高质量的CAI与自学报告；好的问题。加分幅度视情况而定；
几点说明
• • • • • 按时保质保量完成作业, 双周交作业. 答疑时间: 周二下午 13:30 – 17:00 联系电话: 86283199 电子信箱: guangchun_zhou@ 办公室: 土木工程学院509室.
• 纸面作业: 20%、CAI作业: 15%.
作业做法: (1) 对各章全部作业题进行分类分析, 自主选择各个类别应做题数; (2) 不批改对错, 对错自行检验, 答案可以与老师和助教探讨; (3) 可以改造、自编作业题（酌情加分）；（4）CAI作业可以自行选择分析内容，但指定的须完成；（6）自学内容交报告。
违纪严重者,视情况取消考试资格
结构动力学入门问答
请简要回答下面问题: 1. 结构动力问题的特性体现在哪里（对比静力问题）？ 2. 怎样解决结构动力问题？ 3. 你认为学习结构动力学能带给你什么? 4. 你认为学好结构动力学最重要的什么？
Turkey_17-8-1999
India_26-1-2001
参考教材
• <结构动力学> 第二版(修订版), R.W.克拉夫著王光远译, 高等教育教育出版社, 2006. • <结构动力学> Anil K.Chopra, 谢礼立, 吕大刚等译, 高等教育教育出版社, 2007. • <结构动力学> 邹经湘主编 • <建筑结构振动计算续编> 郭长城编著
成绩组成
结构：建筑物中承受荷载起骨架作用的部分．几何性质，材料性质，支撑连接方式．动荷载：大小，方向，作用点随时间变化的荷载．其引起的结构中的质量效应（惯性力）不可忽视时．响应：位移，速度，加速度，内力，应力，应变等．规律：响应与荷载及结构性质的定量关系．

2016结构动力学(硕)答案

2016结构动力学(硕)答案D
叠加法只适用于线性体系的动力分析。

若体系为非线性，可采用逐步积分法进行反应分析。

1.什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？
答：动力自由度是指结构体系在任意瞬时的一切可能变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。

静力自由度是指确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。

前者是由于系统的弹性变形而引起各质点的位移分量；而后者则是指结构中的刚体由于约束不够而产生的刚体运动。

三、计算（每题13分，共65分）
1. 图1所示两质点动力体系，用D’Alembert原理求运动方程。

图1
2.图2所示，一长为l，弯曲刚度为EI的悬臂
梁自由端有一质量为m的小球，小球又被
支承在刚度为k2的弹簧上，忽略梁的质
量，求系统的固有频率。

图2
3.图3所示，一重mg的圆柱体，其半径为r，在一半径为R的弧表面上作无滑动的滚动，求
在平衡位置(最低点)附近作微振动的固有频率。

图3
4.图4所示三层钢架结构，假定结构无阻尼，计算下述给定初始条件产生的自由振动。

初始条件
y(0)={0.060.050.04}m ẏ(0)= {0.0
0.30.0
}m/s
图
4
5.图5双杆均质，杆OA=21l，质量为1m,杆AB=22l，质量为
m,（OA以光滑铰链固定于O点，AB均2
质以光滑铰链与OA杆相连）。

B点受一水平常力P3向右作用，试求对应于广义坐标θ1和θ2的广义力Q1和Q2
图5。

结构动力学-1-print

§1.2 动荷载及其分类
一.动荷载的定义大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载周期非简谐荷载确定冲击荷载非周期突加荷载动荷载其他确定规律的动荷载风荷载地震荷载不确定其他无法确定变化规律的荷载
(t ) y P(t )
m
m(t ) P(t ) y
运动方程
P(t )
惯性力
m(t ) y
P(t ) [m(t )] 0 y
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
一、柔度法
P(t )
l
EI
m m(t ) y y(t )
=1
11
11[ P(t ) m(t )] y
1
y y1 11 12 P1 m1 0 1 (P 0 m ) 2 y2 y2 21 22 2 y (P m) y
11 1 / k1
当前结构动力学的研究内容为:
第一类问题：反应分析（结构动力计算）
输入（动力荷载）结构（系统）输出（动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别输入（动力荷载）输入（动力荷载）结构（系统）结构（系统）输出（动力反应）输出（动力反应）
第三类问题：荷载识别。
第四类问题：控制问题
1
m2 2 (t ) y
y P m y
荷载向量质量矩阵加速度向量
11

21

结构动力学-飞行器

版社，2006 • 刘晶波，结构动力学，机械工业出版社，2005
五、关于平时成绩、期末考试
1.考核方式：平时成绩＋期末考试（笔试）； 2．期末考试命题原则及内容分配比例：
单自由度系统（40分），多自由度系统（40分），基本
概念（20分)； 3．成绩评定及组成要素：平时成绩（含平时作业：15
分，试验5分）：20分；
4. 期末考试：笔试80分。
第一章单自由度振动系统
§1.1 结构动力分析中的自由度
一. 自由度的定义
确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二. 自由度的简化
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
m
1) 集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）
阻尼情况。
用哈密顿原理时和上两方法不同，不再考虑惯性力、阻
尼例和弹性恢复力等，它们通过能量变分来得到。
由哈密顿原理推得Lagrange方程
d dt
L qk
L qk
0(k
1,2
n)
L T V
4). 动力学三大定理
§1.3 建立运动方程的基本步骤
本课程用达朗泊尔原理通过列平衡方程得到运动方程
的“直接平衡法列”。平以衡下方讨程论中称一刚律度认为法系统的阻尼是等
效粘滞阻尼。直接平衡法列方程的一般步骤为： 1) 确定体系的自由度——质量独立位移数； 2) 建立坐标系，确定未知位移（坐标正向为正）； 3) 根据阻尼理论确定质量所受的阻尼力； 4) 根据达朗泊尔原理在质量上假想作用有惯性力（注意：
惯性力是实际的，但它不作用在质量上）； 5) 取质量为隔离体并作受力图； 6) 根据达朗泊尔原理列每一质量的瞬时动力平衡方程，

结构动力学-1-print-文档资料

平面上的一个质点 3)
y2
y1
W=2
计轴变时W=2 W=1 不计轴变时
2)
W=2
为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。
弹性支座不减少动力自由度
4)
y1
W=1
5) W=2
6)
y2
y1
W=2
7)
EI
W=1
自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。
8) 平面上的一个刚体
y2
11) W=1

y 1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3
10)
12)
m
EI
W=13
W=2
§1.5
体系的运动方程
要了解和掌握结构动力反应的规律，必须首先建立描述结构运动的（微分）方程。建立运动方程的方法很多，常用的有虚功法、变分法等。下面介绍建立在达朗伯尔原理基础上的 “动静法”。 m
[ P ( t ) m y ( t )] 11
P (t )
(t) m y
l
y ( t ) [ P ( t ) m y ( t )] 11
l3 11 3 EI
柔度系数
3 EI m y ( t ) 3 y ( t ) P ( t ) l
柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
i ( x ) ---基函数
a i ---广义坐标
3) 有限元法和静力问题一样，可通过将实际结构离散化为有限个单元的集合，将无限自由度问题化为有限自由度来解决。
m
三. 自由度的确定
广义坐标法：广义坐标个数即为自由度个数；

结构动力学习题答案

解：以 m1 − k 体系静平衡位置作为原点则 m1 , m2 共同作用的静平衡位置 u st = 碰撞之前 m2 的速度 v2 = m2 2 gh 碰撞之后：动量守恒
3.4
m2 g k
( m1 + m2 ) u (0) = m2 2 gh
即 u (0) =
i
i
m2 2 gh m1 + m2
动力方程： ( m1 + m2 )( u − ust )′′ + K ( u − ust ) = 0
5 .0 1 = u st 2ξ
(1)
当 w wn = 1 时，发生共振有： Rd 1 =
当 w wn = 1 10 时， Rd 1 =
0 .5 = u st
(1 − 0.1 ) + (2ξ × 0.1)
2 2
1
(2)
2
由式(1),(2)可以解得 ξ = 4.95%
3.6 解：
TR =
[1 − (w w ) ] + [2ξ w w ]
ii
ii
ii
ii
ii
δ Wp = −m2 g sin θ i Lδθ
虚功原理： δ Ws
+ δ WI + δ W D +δ W p = 0 得：
⎡ m1 + m2 ⎢ mL ⎣ 2
2.6 解：
ii ⎫ ⎧i⎫ m2 L ⎤ ⎧ 0 ⎫ ⎪ u ⎪ ⎡C 0 ⎤ ⎪ u ⎪ ⎡ k 0 ⎤ ⎧ u ⎫ ⎧ +⎢ ⎨ i ⎬+ ⎢ ⎨ ⎬=⎨ ⎬ ⎥ ⎥ 2 ⎥ ⎨ ii ⎬ m2 L ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 0 0 ⎦ ⎩θ ⎭ ⎩−m2 g sin θ i L ⎭ ⎩θ ⎭ ⎩θ ⎭

《结构力学习题集》结构动力计算与题解

第九章结构的动力计算一、是非题1、结构计算中，大小、方向随时间变化的荷载必须按动荷载考虑。

2、忽略直杆的轴向变形，图示结构的动力自由度为4个。

3、仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。

4、单自由度体系其它参数不变，只有刚度EI 增大到原来的2倍，则周期比原来的周期减小1/2。

5、图 a 体系的自振频率比图 b 的小。

l /2l /2l /2l /2(a)(b)6、单自由度体系如图，W =98.kN ，欲使顶端产生水平位移 ∆=001.m ，需加水平力 P =16kN ，则体系的自振频率 ω=-40s 1。

∆7、结构在动力荷载作用下，其动内力与动位移仅与动力荷载的变化规律有关。

8、由于阻尼的存在，任何振动都不会长期继续下去。

9、桁架 ABC 在 C 结点处有重物 W ，杆重不计，EA 为常数，在 C 点的竖向初位移干扰下，W 将作竖向自由振动。

AC10、不计阻尼时，图示体系的运动方程为：m m X X h EI EI EI EI X X P t 00148242424012312⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭+--⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎧⎨⎩⎫⎬⎭=⎧⎨⎩⎫⎬⎭()二、选择题1、图示体系，质点的运动方程为： A ．()()()y l Ps in my EI =-77683θ t /； B ．()()my EI y l Ps in /+=19273θ t ； C ．()()my EI y l Ps in /+=38473θ t ； D ．()()()y l Ps in my EI =-7963θ t / 。

ll0.50.52、在图示结构中，若要使其自振频率 ω增大，可以A ．增大 P ；B ．增大 m ；C ．增大 E I ； D ．增大 l 。

结构动力学2-1(运动方程的建立1)

22/43
2.2 运动方程的建立 2.2.2 虚位移原理
[可能位移；实位移；虚位移]
虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功总和恒等于零。虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移。设体系发生一个虚位移u，则平衡力系在u上做的总虚功为:
p(t )u f I u f Du f su 0
fD c 1 u fD (a ) fD ( b) u
f D cu
D — 表示阻尼（Damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient） — 质点的运动速度 u
11/43
2.1 基本概念
阻尼系数 c 的确定：不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸和材料的力学性质等来获得，因为c是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是通过结构原型振动试验的方法得到。
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
◆ 牛顿（Newton）第二定律 ◆ D’Alembert原理 ◆ 虚位移原理
◆ Hamilton原理 ◆ Lagrange方程
15/43
2.2 基本力学原理与运动方程的建立
运动方程：
描述结构中力与位移(包括速度和加速度)关系的数学表达式。（有时也称为动力方程）
D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力（包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力，则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡）。
p(t ) f I f D f s 0
f I mu
f D cu
f s ku
单质点体系的受力分析
粘性(滞)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种。

结构动力学1~15

《结构动力学》习题答案1~151． 1简述求多自由度体系时程反应的振型叠加法的主要步骤答1）建立多自由度体系的运动方程)()()()(t p t kv t v c t vm =++ 2）进行振型和频率分析对无阻尼自由振动，这个矩阵方程能归结为特征问题)(ˆ2t p vm k =-ω 由此确定振型矩阵φ和频率向量ω 3）求广义质量和荷载依次取每一个振型向量n φ，计算每一个振型的广义质量和广义荷载n T n nm Mφφ= )()(t p t p Tn n φ=4）求非耦合运动方程用每个振型的广义质量、广义力、振型频率n ω和给定的振型阻尼比n ξ就能写出每一个振型的运动方程2)(2)(ωωξ++t Y t Y n n n n nn nMt P t Y )()(=5）求对荷载的振型反应根据荷载类型，用适当的方法解这些单自由度方程，每一个振型的一般动力反应表达式用Duhamel 积分给出ττωτωξτωd t t P M t Y Dn n n tn nn n )(sin )](exp[)(1)(0---=⎰写出标准积分形式τττd t h P t Y n tn n )()()(0-=⎰式中)](exp[)(sin 1)(τωξτωωτ---=-t t M t h n n Dn nn n 10<<n ξ6）振型自由振动每一个振型有阻尼自由振动反应的通式为)exp[]sin )0()0(cos )0([)(t t Y Y t Y t Y n n Dn Dnnn n n Dn n n ωξωωωξω-++=7）求在几何坐标中的位移反应通过正规坐标变换求几何坐标表示的位移式)()()()(2211t Y t Y t Y t V n n φφφ+++=显然，它反映了各个振型贡献的叠加。

因此命名为振型叠加法。

8）弹性力反应抵抗结构变形的弹性力)()()(t Y k t kv t f s φ==当频率、振型从柔度形式的特征方程中求出时，可以采用另一种弹性力的表达式。

哈工大张金生结构动力学-1

三、例题例1. m
y (t )
P(t )
=1
δ 11
P(t )
l
y (t )
− m&&(t ) y
l
EI EI
2l 3 δ 11 = 3EI 3EI m&&(t) + 3 y(t) = P(t) y 2l
∆1P
P(t)
l 例2. l
EI
m y (t )
P(t )
l/2
EI
y (t ) − m&&(t ) y
EI = ∞
W=1
三. 自由度的确定 8) 平面上的一个刚体
11) W=1
y2
ϕ
y1 W=3
12)
9)弹性地面上的平面刚体 9)弹性地面上的平面刚体 W=3 10)
W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度为1的体系称作单自由度体系；自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。自由度无限多的体系为无限自由度体系。
二.动荷载的分类
简谐荷载周期确定非周期动荷载风荷载不确定地震荷载其他无法确定变化规律的荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。振动系统的基本参数：质量、阻尼、弹性。
铝质与有机玻璃试件的自由振动试验
二. 自由度的简化常用简化方法有：集中质量法，广义坐标法，有限元法。常用简化方法有：集中质量法，广义坐标法，有限元法。 1) 集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些几何点上，除这些点之外物体是无质量的。何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。度系统变成一有限自由度系统。

结构动力学习题解答(三四章)

第三章多自由度系统3.1试求图3-10所示系统在平衡位置附近作微振动的振动方程。

图３－１０解：〔1〕系统自由度、广义坐标图示系统自由度N=2，选x1、x2和x3为广义坐标；〔2〕系统运动微分方程根据牛顿第二定律，建立系统运动微分方程如下：;)(;)()(;)(34233332625323122222121111x K x x K x m x K x K x x K x x K xm x x K x K xm ---=------=---= 整理如下;0)(;0)(;0)(3432333332653212222212111=++-=-++++-=-++x K K x K xm x K x K K K K x K xm x K x K K xm 写成矩阵形式;000)(0)(0)(00000321433365322221321321⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+++--++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡x x x K K K K K K K K K K K K x x x m m m 〔1〕〔3〕系统特征方程设)sin(,)sin(,)sin(332211ϕωϕωϕω+=+=+=t A x t A x t A x 代入系统运动微分方程〔1〕得系统特征方程;000)(0)(0)(321234333226532222121⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---+++---+A A A m K K K K m K K K K K K m K K ωωω〔2〕〔4〕系统频率方程系统特征方程〔2〕有非零解的充要条件是其系数行列式等于零，即;0)(0)(0)(234333226532222121=-+---+++---+ωωωm K K K K m K K K K K K m K K展开得系统频率方程;0))(())(()))(())(()((21212323432223432265322121=-+--+--+-+++-+ωωωωωm K K K m K K K m K K m K K K K m K K进一步计算得;0;0)()())()(()))(())((())()()(()()()()())(()())(())(())()(())(())(()))(()()())((())(())(()))(())(()((02244662123432265324321236532214321231233224316532214332216321231232123232243226321421434322124321243165322165324323653221653243212121232343222343421221265322165322121212323432223432265322121==++++-+-+++++++++++-++-+++++++++++-=++-++--++++++-++++++++-++++-+++++=-+--+--+++-+++-++++=-+--+--+-+++-+a a a a K K K K K K K K K K K K K K m K K K K K K K K K K m m m K m K m m K K K K m m K K m m K K m m m m m K K K K m K K K K m m m m m K K m m K K K K K K m m m K K K K m K K K K K K m K K K K K K K K K K K K K K m K K K m K K K m K K m m K K m K K K K m K K K K K K m K K K m K K K m K K m K K K K m K K ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω (3)其中;3216m m m a -= ;)()()(316532214332214m m K K K K m m K K m m K K a +++++++=;))(())((36532214321231233222m K K K K K K K K K K m m m K m K a ++++-++-+=);()())()((21234322653243210K K K K K K K K K K K K K K a +-+-+++++=求解方程〔3〕得系统固有频率;)3,2,1(),,,,,,,,,(654321321==i K K K K K K m m m f i i ω 〔4〕〔5〕系统固有振型将系统固有频率代入系统特征方程〔2〕得系统固有振型，即各阶振型之比：)3(3)3(1)3(3)3(2)3(1)3(2)2(3)2(1)2(3)2(2)2(1)2(2)1(3)1(1)1(3)1(2)1(1)1(21,1;1,1,1,1A A A A A A A A A A A A ======γγγγγγ 〔5〕〔6〕系统振动方程)sin()sin()sin()sin()sin()sin(33)3(1)3(3)3(1)3(2)3(122)2(1)2(3)2(1)2(2)2(111)1(1)1(3)1(1)1(2)1(133)3(3)3(2)3(122)2(3)2(2)2(111)1(3)1(2)1(1321ϕωγγϕωγγϕωγγϕωϕωϕω+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧==+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧++⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧t A A A tA A A tA A A t A A A t A A A t A A A x x x 〔6〕在方程〔6〕中含有6个待定常数：)1(1A 、)2(1A 、)3(1A 、1ϕ、2ϕ和3ϕ。

结构动力学参考答案

.. .
m u + c u + ku = Pu (t ) 2.13 一根均匀杆，图 P2.13 其单位体积质量密度 ρ ，并具有顶部质量 M，应用假定法ψ ( x) = x L 来推导该系统轴向自由振动的运动方程。假定 AE = 常数。解：
.. 1 EA ( ρAL + M ) u + u = P(t ) 3 L
结构动力学习题参考答案
1
2.3 一根刚梁 AB，用力在弹簧 BC 上去激励它，其 C 点的运动规定为 Z（t）,如图 P2.3. 按 B 点的垂直运动 u 来确定系统的运动方程，假定运动是微小的。解： 4M u + 3c u + (3k1 + 12k 2 )u = 12k 2 Z (t )
.. .
4
4.17 在振动的结构上一个点，已知其运动为 Ζ = Ζ1 cos(Ω1t ) + Ζ 2 cos(Ω 2 t ) =
0.05 cos ( 60π t ) + 0.02 cos(120π t ) 。
（a）用一加速度计其阻尼因数 ξ = 0.70 和 20 KHz 共振频率来确定振动记录 w p (t ) 。 (b) 加速度计是否会引起有效幅值或相位畸变？解：（a） w p (t ) = w p1 (t ) + w p 2 (t ) = 6.339 × 10 −11 A1 cos 60π (t − 1.1145 × 10 −5 ) + 6.339 × 10 −11 A2 • cos 120π (t − 1.1146 × 10 −5 ) （b） w p (t ) = C[ A1 cos Ω1 (t − τ ) + A2 cos Ω 2 (t − τ )] A1 , A2 分别表示 Z1 , Z 2 的加速度幅值，所以输出 w p (t ) 与加速度输入成正比，所以不会发生幅值畸变或相位畸变。 5.2 运送一件仪器设备重 40 1b，是用泡沫包装在一容器内。该容器的有效刚度 k=100 1b/in，有效阻尼因数 ξ = 0.05 ，若整个容器和它的包装以垂直速度 V=150 in/s 碰撞在地面上，求泡沫包装在仪器设备的最大总应力。（如图 P5.2 所示）解： f max = 451.739 (1b) 6.5 例题 4.3 中的车辆，已知 k = 400 × 10 3 , m = 1200kg , ξ = 0.4。当满载时以

结构动力学-9(哈工大结构动力学)

X rt * rt e X e rX

运动方程的通解
y Bi X i e r t
i
4
i 1
2. 复模态的特性
（1）共轭性
（2）正交性
X m X 0 X k X 0
* T j * * i * T j * * i
y
*
y y
*
---状态向量
* *
k m y y 0
---状态方程
y
*
y y
* rt
X rt * rt e X e r X

X y re
设
m(m1 k ) s c as m(m1 k ) s
s
ci* X i cX i
T

s
as X i m(m
T 2 s * a M s i i

1
k ) s X i
s
m
T
X M
1
c mX M *
mX M C M X m
* 1 * * 1 T
* 1
M C M
* 1 *
* 1

* 2 n n / M n
* 211 / M 1
T
M M M X mX X M X m
* 1 1 * * 1 T
c (X T ) 1 c* X 1
X T
( X ) 1 ( X )T
1
X 2 X 3 X 4
1 i 1 . 984 e 1 i 0 . 504 e 1 i 0 . 504 e

结构动力学-1-print共30页

上的惯性力与外荷比不可忽视的荷载。自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分
析时仍视作静荷载。静荷只与作用位置有关，而动荷是坐
标和时间的函数。
二.动荷载的分类
确定动荷载
简谐荷载周期非简谐荷载
冲击荷载非周期突加荷载
其他确定规律的动荷载风荷载
不确定
地震荷载其他无法确定变化规律的荷载
§1.3 振动系统的力学模型及其分类
输入（动力荷载）
结构（系统）
输出（动力反应）
第二类问题：参数（或称系统）识别
输入（动力荷载）
结构（系统）
第三类问题：荷载识别。
输出（动力反应）
输入（动力荷载）
结构（系统）
输出（动力反应）
第四类问题：控制问题
输入（动力荷载）
结构（系统）
输出（动力反应）
控制系统（装置、能量）
实际结构都是无限自由度体系，这不仅导致分析困难，而且从工程角度也没必要。常用简化方法有：
集中质量法广义坐标法有限单元法
1) 集中质量法将实际结构的质量看成（按一定规则）集中在某些
几何点上，除这些点之外物体是无质量的。这样就将无限自由度系统变成一有限自由度系统。
m
2) 广义坐标法
y(x) aii(x) i1 n
m y (t)P(t) 运动方程
m
P (t)[m y (t) ]0
P(t) m y(t)
形式上的平衡方程，实质上的运动方程
惯性力
一、柔度法
P(t) m m y(t) =1 11 y(t)
l EI
1[1P(t)m y (t)]
P(t) m y(t)
l

2016结构动力学(硕)答案

《结构动力学》试题（硕）一、名词解释：（每题3分，共15分）约束动力系数广义力虚功原理达朗贝原理二、简答：（每题5分，共20分）1. 为什么说自振周期是结构的固有性质？它与结构哪些固有量有关？2. 阻尼对自由振动有什么影响？减幅系数的物理意义是什么？3. 简述用振型叠加法求解多自由度体系动力响应的基本原理及适用条件分别是什么？答：振型叠加法的基本原理是利用了振型的正交性，既对于多自由度体系，必有： 0T m n m φφ=，0T m n k φφ=（式中m φ、n φ为结构的第m 、n 阶振型，m 、k 为结构的质量矩阵和刚度矩阵）。

利用正交性和正规坐标，将质量与刚度矩阵有非对角项耦合的N 个联立运动微分方程转换成为N 个独立的正规坐标方程（解耦）。

分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加V=ΦY 即得出用原始坐标表示的反应。

由于在计算中应用了叠加原理，所以振型叠加法只适用于线性体系的动力分析。

若体系为非线性，可采用逐步积分法进行反应分析。

4. 什么是结构的动力自由度？动力自由度与静力自由度的区别何在？答：动力自由度是指结构体系在任意瞬时的一切可能变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。

静力自由度是指确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。

前者是由于系统的弹性变形而引起各质点的位移分量；而后者则是指结构中的刚体由于约束不够而产生的刚体运动。

三、计算（每题13分，共65分）1. 图1所示两质点动力体系，用D’Alembert 原理求运动方程。

图12.图2所示，一长为l，弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端有一质量为m的小球，小球又被支承在刚度为k2的弹簧上，忽略梁的质量，求系统的固有频率。

图23.图3所示，一重mg的圆柱体，其半径为r，在一半径为R的弧表面上作无滑动的滚动，求在平衡位置(最低点)附近作微振动的固有频率。

图34.图4所示三层钢架结构，假定结构无阻尼，计算下述给定初始条件产生的自由振动。

结构动力学 (邹经湘 王本利 王世忠 著) 哈尔滨工业大学出版社 课后答案

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