离散型随机变量的数学期望教案

离散型随机变量的数学期望教案

教学目标：1使学生理解和掌握离散型随机变量的数学期望的定义，

2会掌握和应用数学期望的性质。

教学工具：多媒体。 一．复习

1.一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为

x1，x2，……，xi ，…，

X 取每一个值xi(i ＝1，2，…)的概率P(X ＝xi)＝pi ，则称下表 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，……，xi ，…，

为随机变量X 的概率分布，

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： (1)pi ≥0，i ＝1，2，...； (2)p1＋p2＋ (1)

2、什么叫n 次独立重复试验？

一般地，由n 次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与 ，每次试验中P(A )＝p ＞0。称这样的试验为n 次独立重复试验，也称伯努利试验。 3、什么叫二项分布？

若X ～B (n ，p) Cnk p k q n-k

二．引例，新课

1.全年级同学的平均身高是产u=

n

1（11n x +22n x +….+ m m n x ）

P=p(X=i x )=

n

n i ,i=1,2….n

把全年级的平均身高u 定义成X 的均值，记作E(X) E(X)= (11n x +22n x +….+ m m n x )/n EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 2.数学期望的定义

则称： E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X 的均值或数学期望。

它反映了离散型随机变量取值的平均水平。 3，举例

解：该随机变量X 服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7

三、数学期望的性质

得到结论（1） •

在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X ，X 的均值是多少？

如果随机变量X服从两点分布，

那么EX= p

（2）探究：若X~B(n，p)，则E(X)= ？

X 0 1 … k… n

P Cn0p0q n Cn1p1q n-1 … Cnk p k q n-k … Cnn p n q0

证明：∵P(X=k)= Cnk p k q n-k (∵k Cnk =n Cn-1k-1)

∴E( X) =0×Cn0p0q n+ 1×Cn1p1q n-1+ 2×Cn2p2q n-2 +

…+ k×Cnk p k q n-k+…+ n×Cnn p n q0

=np(Cn-10p0q n-1+ Cn-11p1q n-2+ … +

Cn-1k-1p k-1q(n-1)-(k-1) +…+ Cn-1n-1p n-1q0)

=np(p+q)n-1=np

若X～B (n，p)，则EX= n p

（3）超几何分布

举例

例、某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x 表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是

4

（结果用最简分数表示）

7

变式：一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。

四，例题应用

例1 甲击中目标的概率为1/2,如果击中，赢10分，否则输11分，用X表示他的得分，计算X的概率分布和数学期望。

解：｛X=10｝的充分必要条件是击中目标，所以p(X=10)=1/2=0.5

｛X=-11｝是｛X=10｝的对立事件，所以p(X=-11)=1- 0.5=0.5

X只取10和-11，所以

E(X)=10×p(X=10)+(-11 )×p(X=-11)

=10 ×0.5-11 ×0.5

=-0.5

例2.在只需回答“是”“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分，用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”“不是”，计算X的概率的分布和数学期望。

解：｛X=-1｝的充分必要条件是两次猜错，所以

p(X=-1)=1/4=0.25

｛X=0.3｝是｛X=-1｝的对立事件，所以p(X=0.3)=3/4=0.75

X只取-1和0.3，于是

E(X)=-1×p(X=-1)+(0.3 )×p(X=0.3)

=-1 ×0.25+0.3 ×0.75=-0.025

例3.甲乙比赛时，甲每局赢的概率是P=0.51，乙每局赢的概率是q=0.49，甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局。

解:用X表示10局中甲赢的次数，则X服从二项分布B（10，0.51）. E （X）=10 ×0.51=5.1 所以甲平均赢5.1局

用Y表示10局中乙赢的次数，则Y服从二项分布B（10，0.49）. E （Y）=10 ×0.49=4.9 所以乙平均赢4.9局

例4，袋中有3个红球，7个白球，从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几分，问平均得几分。

解：用X表示得分数，则X也是取到的红球数，X服从超几何分布H （10，3，5），于是

EX=n×M/N=5×3/10=1.5

所以平均得到了1.5分。

五．数学期望小结

EX表示X所表示的随机变量的均值；

EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn

为随机变量X的均值或数学期望。

两点分布：EX= p

二项分布：EX= n p

超几何分布

求数学期望时：

1.已知是两点分布，二项分布或超几何分布时，直接代用公式；

2.其它分布的随机变量，先画出分布列，在对应求值。