多元函数微分 ppt课件
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3.4多元函数的偏导数和全微分ppt课件
类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数.
如:
若
2z x2
可偏导,
则记
3z x3
x
2z x2
,
3z x2y
y
2z x2
,等等.
26
例1. 设z
x2 y2
x sin
y 3,求全部二阶偏导和
3z . x3
解:
z 2xy2 1 x
z 2x2 y cos y y
2z x2
2y2
2z y2
(x
x, y) x
f
(x,
y)
记作
fx(x, y),
z , x
z , x
fx (x, y). x
称为z 对自变量 x 的偏导函数(简称偏导数)
6
注
1.由偏导数定义知, 所谓 f (x, y) 对x 的偏 导数, 就是将 y 看作常数, 将 f (x, y) 看 作 一 元函数来定义的.因此,在实际计算时,
求 f 'x (x, y)时, 只须将 y 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
求 f 'y (x, y)时, 只须将 x 看作常数,用一元 函数求导公式求即可.
7
2.计算 f xx0 , y0
三种方法： (1) 用定义计算.
(2) 先计算 fxx, y, 再代值得 fxx0 , y0 ． (3) 先计算 f x, y0 , 再计算 fxx, y0 , 再
2 。 于是
x
fx(1,0) 2.
10
例2 求z x2 sin 2 y的偏导数.
解 z 2x sin 2 y x
z x2 cos 2 y 2 2x2 cos 2 y y
高数课件21多元函数微分学
设两点为 P( x1, x2,, xn ), Q( y1, y2,, yn ),
| PQ | ( y1 x1)2 ( y2 x2 )2 ( yn xn )2 .
特殊地当 n 1, 2, 3时，便为数轴、平面、空间
两点间的距离．
n维空间中邻域、区域等概念
邻域： U (P0 , ) P | PP0 | , P Rn
1
2
重点
多元函数基本概念，偏导数， 全微分，复合函数求导，隐函 数求导，偏导数的几何应用， 多元函数极值。
难点
复合函数求导，多元函数极值。
函数的微分法从一元函数发展到 二元函数本质
上要出现一些新东西，但 从二元函数到二元以上
函数则可以类推，
因此这里基
本上只讨论二元函数。
一、多元函数的概念
设P0 ( x0 , y0 )是xoy 平面上的一个点， 是某 一正数，与点P0 ( x0 , y0 )距离小于 的点P( x, y) 的全体，称为点P0 的 邻域，记为U ( P0 , ) ，
4、 x2 1 y ；
x
1 y
5、 ( x, y) 0 x2 y2 1, y2 4x ；
6、 ( x, y) x 0, y 0, x 2 y ；
7、( x, y) x 0, x y x
( x, y) x 0, x y x；
8、 ( x, y) y 2 2x 0 .
3 x2 y2 1 2 x2 y2 4
x y2 0
x
y2
f ( x, y) arcsin(3 x2 y2 ) x y2
例1 求 解 所求定义域为
的定义域．
设函数z f ( x, y)的定义域为D ，对于任意 取定的P( x, y) D，对应的函数值为 z f ( x, y)，这样，以x 为横坐标、y 为纵坐 标、z 为竖坐标在空间就确定一点M ( x, y, z)， 当x 取遍D 上一切点时，得一个空间点集 {( x, y, z) | z f ( x, y), ( x, y) D}，这个点集称
专升本(高数—)第五章多元函数微积分学PPT课件
第七节 二重积分的应用
*
2
考试点津：
• 本讲出题在18分—26分之间，本讲内容是 一元函数微分内容的延伸，一般在选择题、 填空题、解答题中出现。
• 本讲重点：
（1）二元函数的偏导数和全微分。
（2）二元函数的有关极值问题及应用。 （3）会计算二重积分
• 建议重点复习前几年考过的试题，把握考 试重心和知识点，重在模仿解题。
成人高考高数一辅导
•
College of Agriculture & Biological Engineering
*
1
第五章 多元函数微积分学 (11年考了22分）
第一节 多元函数、极限和连续 第二节 偏导数与全微分 第三节 二元函数的极值 第四节 二重积分的概念和性质 第五节 直角坐标系下二重积分的计算 第六节 极坐标系下二重积分的计算
可 以 证 明 ，一 元 函 数 关 于 极 限 的 运 算 法 则 仍 适 用 于 多 元 函 数 ，即 多 元 连 续 函 数 的 和 、差 、积 为 连 续 函 数 ，在 分 母 不 为 零 处 ，连 续 函 数 的 商 也 是 连 续 函 数 ，多 元 函 数 的 复 合 函 数 也 是 连 续 函 数 .由 此 还 可 得 出 如 下 结 论 ： 一 切 多 元 初等函数在其定义区域内是连续的.
（4）最大值和最小值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大 值和最小值各一次．
（5）介值定理
在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的
函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．分
（一） 偏导数
1. 偏导数的定义
定义 设函数 z f (x, y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有 定义，当 y固定在 y0，而 x在 x0处有增量x时，相应地函 数有增量 f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )，如果极限
高等数学第五节多元复合函数与隐函数微分法ppt课件
x y
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
这就是说，不论x,y是自变量还是中间变量，其微 分形式不变，称为(二元函数)一阶微分的形式不变性.
20
例10 求下列函数的偏导数和全微分.
(1) z ( x y)exy
解 dz d[( x y)exy ] ( x y)de xy exyd( x y)
( x y)exy ( y dx x dy) exy(dx dy)
dz z du z dv dx u dx v dx
vuv1 1 uvlnv 1 x x x1 x xlnx
10
情形3 z f (x,v),v v(x, y) 则有
z f f v ; x x v x
z f v y v y
或者 z f (x, y,v),v v(x, y) 则有
z Fx ， z Fy . x Fz y Fz
dz z dx z dy x y
dz
Fx' Fz'
dx
Fy' Fz'
dy
所以
Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
dF( x, y, z) Fx'dx Fy'dy Fz'dz 0
33
例13 设隐函数 z z( x, y) 由 sin z x2 yz 0 确定，
12
课堂 设 z f (u, v, t) uv sint ，其中 u et ， 练习 v cost ，
求全导数 dz . dt
dz f du f dv f 解
dt u dt v dt t
vet usint cos t
et cos t et sint cos t
et (cos t sint ) cos t .
z f f v ; x x v x
8.3 多元函数的微分法
f 1 yx
y 1
2 x ( f 21 x ln x f 22 3 y )
(x
y 1
yx
y 1
ln x ) f1 yx 2 y 1 (ln x ) f 11
3 y 1
(3 y x
2x
y 1
ln x ) f12 6 xy 2 f 22
二 隐函数的微分法
解出
dy dx
,
dz dx
.
例11 设 y y ( x ), z z ( x ) 是由方程组
x2 y2 z2 1 2 x 3 y 3 z 6
所确定的隐函数，求
dy dx
,
dz dx
.
解 方程组两边对 x 求导得
dy dz 2 x 2 y dx 2 z dx 0 dy dz 23 3 0 dx dx
2
1 x
yx x y
2 2
,
所以
dy dx
Fx Fy
x y x y
.
F ( x, y, z ) 0
确定
z z ( x , y ), 求
z z , . x y
解法： 方程
F ( x, y, z ) 0
两边对 x 求导得
z x Fx Fz
Fx Fz
2
3
.
例10 设z z ( x , y ) 是由方程 z f ( x 2 y 3 z , xyz ) 所确定的隐函数，求
z z , . x y
解 令 F ( x , y , z ) f ( x 2 y 3 z , xyz ) z , 则
17-3——华东师范大学数学分析课件PPT
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
说明 (i) 函数在一点可微是方向导数存在的充分条 件而不是必要条件； (ii) 函数在一点连续同样不是方向导数存在的必要 条件, 当然也非充分条件 ( 对此读者应能举出反例 )．
定义2
若 f ( x, y, z) 在点 P0( x0 , y0 , z0 ) 存在对所有自变量 的偏导数, 则称向量 ( fx (P0 ), f y (P0 ), fz (P0 ))为函数 f 在点 P0 的梯度, 记作
(2)
其中 , 是 R2 中向量 l 的方向角．
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高等教育出版社
§3 方向导数与梯度
例 1 设 f ( x, y, z) x y2 z3, 求 f 在点 P0(1,1,1) 处
沿着指向点 P1(3, 1, 2) 方向的方向导数.
解 易见 f 在点 P0 可微. 故由
U (P0 ) R3 内有定义，l 为从点 P0 出发的射线.
任给 P( x, y, z) l U(P0 ), 记 | P0P |，若极限
f lim l lim
f (P) f (P0 )
0
0
存在, 则称此极限为函数 f 在点 P0 沿方向 l 的
方向导数, 记作 f l
,
f l
z P• P0 •
l
O
x y
y
由假设 f 在点 P0 可微，则有
x
图17 – 5
f (P) f (P0 ) fx (P0 ) x f y(P0 ) y
fz (P0 ) z o ( ). 上式左、右两边皆除以 , 并根据 (2) 式可得
数学分析 第十七章 多元函数微分学
高数二多元函数微分学课件
条件极值与无约束极值
条件极值
在给定附加条件下的极值问题，需要将条件转化为约束，然后求解无约束极值问题。
无约束极值
在没有任何限制条件下的极值问题，通常通过求导数并令其为零来找到可能的极值点，再 通过充分条件判断是否为真正的极值点。
解释
在实际问题中，常常会遇到附加条件的约束，如边界条件或特定条件。条件极值问题需要 将这些约束转化为数学表达形式，并求解对应的无约束极值问题。无约束极值问题则更常 见于未加任何限制的函数最优化问题。
答案解析
习题3答案解析
首先，根据全微分的定义，有$dz=u'dx+v'dy$。然后，将函数$z=x^2+y^2$代入全微分的定义中， 得到$dz=(2x)dx+(2y)dy=2xdx+2ydy$。最后，将点$(1,1)$代入全微分中，得到全微分为 $dz=(2cdot1)dx+(2cdot1)dy=2dx+2dy$。
答案解析
习题2答案解析
首先，根据题目给出的条件，有 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)}{x^2+y^2}=0$。然后， 利用极限的运算法则，得到 $lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(x,y)-f(0,0)}{x^2+y^2}=lim_{(x,y)to(0,0)}frac{f(0,0)}{x^2+y^2}=-f_{xx}(0,0)f_{yy}(0,0)$。最后，根据可微的定义，如果上述极限 存在且等于$f_{xx}(0,0)+f_{yy}(0,0)$，则函数$f(x,y)$ 在点$(0,0)$处可微。
偏导数与全微分的应用 在几何上，偏导数可以用来描述曲面在某一点的切线方向， 全微分可以用来计算函数在某一点的近似值。Fra bibliotek高阶偏导数
高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念 （二）向量值函数的极限和连续 （三）向量值函数的导数 （四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面 的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
邻域U(P, ), 使U(P, ) E为空集,则
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
称点P为E的 外点。
边界点的定义：
若点P的任意的邻域内,既有属于E的点
也 有 不 属 于E的 点, 则 称 点P是E的 边 界 点 。
边界的定义：
E的边界点的全体称为E的 边 界 。
3、聚点、孤立点
设E是一个平面点集
聚点的定义：
若点P的任意邻域都含有E的无穷多个点，
为P0的 邻域。
0
U(P0 , ) {( x, y) 0 ( x x0 )2 ( y y0 )2 2 }
为P0的 去心邻域。
2、内点、外点、边界点
设E是一个平面点集.
内点的定义：
若点P E,并且存在P点的一个
邻域U(P, ), 使U(P, ) E,则称点P
为E的内点。
外点的定义： 若点P E,并且存在P点的一个
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
例6、讨论下列函数的连续性
(1)、f
(
x,
y)
x
3 xy 2 2
y
2
x2 y2 0
解 0
x2 y2 0
当x 2 y 2 0时, f ( x, y) 3xy 是初等函数, x2 2y2
且 有 定 义, 连 续.
3kx 2
lim f ( x, y) lim
lim
x0
x2 2y4
02 2(1)4
. 2
y1
在有界闭区域上连续的多元函数的重要性质如下：
定理1、(最大最小值定理)
在有界闭区域D上连续的多元函数f , 在D上必有
最大值和最小值,亦即在D上有点P1和P2 , 使对D上任意
点P,恒有 f P1 f P f P2 , P D
多元函数微分学(省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件
i1
i 1
❖几何上看，C0(S)是凸集，且表示包含集合S最小凸集或是包 含集合S全部凸集交集.
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
16/311 6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Rn中凸集与凸集分离定理（续）
极点
定义4.1.11 设X Rn是凸集，称x X是X
极点，若对任意y，z X和
，定义
d(x, y)
n
(xi
yi )2
(x y) • (x y)
i1
则可验证映射d满足(M-1) (M-3)，故(R n，d)是一个度量空间．
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
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数学基础—几个空间
范数与赋范线性空间
设V是一个实线性空间，若V上实值函数‖.‖: x ‖x‖满足:
m
x
= (x1, x2, , xn)mlim xim
xi
i = 1，2，…，n．
❖定理 若
lim x m x lim y m y lim c m c
m
m
m
则
lim (c
m
m
x
m
ym)
cx
y
这里，m = 1，2，…，+ .
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
易验证Rn满足(I-1) (I-3), 故是一个内积空间, 称作Euclidean 空间
数理经济学（Mathematical Economics）, 刘树林, © 2005
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数学基础—几个空间
多元函数微积分(课件)
zx f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 ) ，
如果极限
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x0
x
存在，则称此极限为函数 z f (x, y) 在点 (x0, y0) 处对 x 的偏导数，记为
z
x (x0 , y0 ) 或 f x (x0 , y0 ) 。
求函数的二阶偏导数，并验证
2z x2
2z y2
0。
解 MATLAB求解代码如下：
程序运行结果为：
>>syms x y >>z = log(sqrt(x^2+y^2)) >>dz_dx2 = diff(diff(z,x),x) >>dz_dy2 = diff(diff(z,y),y) >>dz_dxdy = diff(diff(z,x),y) >>dz_dydx = diff(diff(z,y),x) >>a = simplify(dz_dx2+dz_dy2)
MATLAB求解代码如下：
z xy ln x 。 y
>>syms x y >>f = x^y; >>dfx = diff(f,x) >>dfy = diff(f,y)
17
第、 二节 偏导数与全微分
、
3．高阶偏导数
对于二元函数 z f (x, y) 来说，如果它的一阶偏导数 fx (x, y) 、 f y (x, y) 仍是关于每个自变 量的函数，并且一阶偏导数对每个自变量的偏导数存在，则称这个二元函数具有二阶偏导数。
12
目录
1
多元函数的概念、极限与连续性
《高等数学教学课件》高数-第八章-多元函数微分学
高数-第八章-多元函数微分学
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学概述 • 多元函数的导数与偏导数计算 • 多元函数微分学在几何上的应用 • 多元函数微分学在极值问题中的应
用
目
CONTENCT
录
• 多元函数微分学在约束最优化问题 中的应用
• 多元函数微分学在实际问题中的应 用
01
多元函数微分学概述
04
多元函数微分学在极值问题中的应用
极值的第一充分条件
总结词
极值的第一充分条件是多元函数微分 学中用于判断函数极值的重要定理。
详细描述
极值的第一充分条件表明，如果一个 多元函数在某一点的偏导数等于零， 并且这个点的海森矩阵（Hessian matrix）是正定的或负定的，那么这 个点就是函数的极值点。
多元函数的概念
80%
多元函数
设D是n维空间的一个区域，对D 中的任意点P，若存在实数x、y、 z...与之对应，则称f(x,y,z...)是D上 的多元函数。
100%
多元函数的定义域函数f(x Nhomakorabeay,z...)中所有自变量x、y 、z...的取值范围共同构成的集合 称为多元函数的定义域。
80%
多元函数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y)表 示曲面上的点P(x,y,f(x,y))的轨迹 。
偏导数的定义与性质
偏导数的定义
对于多元函数f(x,y,z...)，如果当 其他变量保持不变时，函数关 于某个特定变量的一阶导数存 在，则称这个导数为该函数在 该特定变量上的偏导数。
偏导数的几何意义
在三维空间中，二元函数f(x,y) 在点(x0,y0)处关于x的偏导数 表示曲面在点(x0,y0)处沿x轴 方向的切线斜率。
《多元函数微分学》PPT课件
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点：如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点：如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点：如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域： G G G
12
（3）Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域． x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
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•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
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• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
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• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
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第一节 多元函数的基本概念
第二节 偏导数
第三节 全微分
第六节 微分法在几何上的应用
第四节 多元复合函数的求导法则
第七节 方向导数与梯度
第五节 隐函数的求导公式
第八节 多元函数的极值及其求法
总习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
一.区域
二.多元函数概念
三.多元函数的极限
四.多元函数的连续性
习题
返回
第一节 多元函数的基本概念
在D上至少有一点 P 1 及一点 P 2 ，使得 f ( P1 ) 为最 大值而f ( P 2 ) 为最小值，即对于一切P∈D，有
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f(P 2)f(P)f(P 1) 性质2(介值定理) 在有界闭区域D上的多元 函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它 在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。 如果μ是函数在D上的最小值m和最大值M之间 的一个数，则在D上至少有一点Q，使得f(Q)=μ. *性质3(一致连续性定理) 在有界闭区域上 的多元连续函数必定在D上一致连续. 若f(P)在有界闭区域D上连续，那么对于任意 给定的正数ε，总存在正数δ，使得对于D上的
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2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个
点.如果存在点P的某一邻域U ( P ) 使U(P)E， 则称P为E的内点(图8-1).
如果点集E的点都是内点，则 称E为开集.
如果点P的任一邻域内既有属
P
于E的点，也有不属于E的点，
E 图 8-1
则称P为E的边界点（图8-2）. 设D是开集.如果对于D内的
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三、多元函数的极限
二元函数 z f (x, y)当 x 0 , y y0,即
P(x,y) P 0(x0,y0)时的极限.
这里P P0 表示点 P
以任何方式趋于 P
，也就
0
是点 P 与点 P 0 间的距离趋于零，即
PP0 (xx0)2(yy0)2 0
定义2 设函数f(x,y)在开区域（或闭区域） 内有定义，P0 (x0,y0) 是D的内点或边界点如果 对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得 对于适合不等式
一、区域
1.邻域 设 P0(x0, y0) 是xOy平面上的一个点，δ是某一
正数.与点 P0 (x0, y0) 距离小于δ的点 P ( x, y ) 的全体 称为P 0 的邻域，记为U (P0 , )，即
U(P0,){PPP0 }
也就是
U (P 0 , ) { (x ,y) (x x 0)2 (y y 0 )2}
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0PP 0 (xx0)2(yy0)2
的一切点P(x,y)∈D，都有
f (x, y)A
成立，则称常A为函数f(x,y)当x x0 ，y y0 时的极限，记作
limf (x, y) A
xx0
或
f(x,y)A ( 0)
这里 P P0 .
例题
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四、多元函数的连续性
定义3 设函数f(x,y)在开区域(或闭区域)D
内有定义，P0 (x0 , y0 )是D的内点或边界点且 P0 D .
如果
xl im x0 f(x,y)f(x0,y0)
yy0
则称函数f(x,y)在点 P0 (x0, y0 )连续.
若函数f(x,y)在点 P0 (x0 , y0 )不连续，则称 P 0 为 函数f(x,y)的间短点.
任何两点，都可用折线连结起
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P E 图 8-2
来,而且该折线上的点都属于D, 则称开集D是连通的.
连通的开集称为区域或开区域. 开区域连同它的边界一起,称 为闭区域.
3.n维空间
设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
(x1,x2, ,xn)的全体为n维空间,而每个有序n元数 组 (x1,x2, ,xn)称为n维空间中的一个点,数 x i 称
函数
f
(x,
y)
x2
xy y2
,
x2
y2
0
0, x2 y2=0
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当x→0,y→0时的极限不存在，所以点(0,0)是 该函数的一个间断点.
函数
1 z sin
x2 y2 1
在圆周 x2 y2 1上没有定义，所以该圆周上各 点都是间断点，是一条曲线.
性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区 域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和 最小值.
教师 吴新生
第八章
多元函数微分法及其应用
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精品资料
你怎么称呼老师？
如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你是 否会认为老师的教学方法需要改进？
你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ 教师的教鞭
“不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我笨， 没有学问无颜见爹娘 ……”
“太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
zf(x ,y)或 zf(P )
点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z
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也称为因变量,数集
{zzf(x,y),(x,y)D }
称为该函数的值域.
把定义1中的平面点集D换成n维空间内的点集 D.则可类似的定义n元函数 uf(x1,x2, ,xn).当 n=1时，n元函数就是一元函数.当n≥2时n元函 数统称为多元函数.
例题
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第二节 偏导数
一.偏导数的定义及其计算方法
二.高阶偏导数
习题
返回
一、偏导数的定义及其计算方法
定义 设函数 z f (x, y) 在点 ( x0 , y 0 ) 的某 一邻域内有定义，当y固定在 y 0 而x固定在 x 0 处
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任意二点 P1 , P 2 ，只要当 P1 P2 时，都有
成立.
f(P1)f(P2)
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P 0 处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点函数值，即
Pli m P0 f(P)f(P0)
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为该点的第i个坐标,n维空间记为 n . n维空间中两点 P(x1,x2, ,xn)及 Q(y1,y2, ,yn)间
的距离规定为 P Q (y 1 x 1 )2 (y 2 x 2)2 (y n x n)2
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二、多元函数概念
例题 定义1 设D是平面上的一个点集.如果对于 每个点P=(x,y)∈D,变量z按照一定法则总有确 定的值和它对应,则称z是变量x、y的二元函数 (或点P的函数),记为