传统数学的千年等数和乘率之谜
数学史
五上:早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。
在我国古代，大约两千年前成书的《九章算术》中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。
一直到三百年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z 等字母代表未知数，才形成了现在的方程。
大约在两千年前，我国数学名著《九章算术》中的“方田章”就论述了平面图形面积的算法。
书中说：“方田术曰，广从步数相乘得积步。
”其中“方田”是指长方形田地，“广”和“从”是指长和宽，也就是说：长方形面积= 长×宽。
还说：“圭田术曰，半广以乘正从。
”就是说：三角形面积= 底×高÷2。
我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。
出入相补原理就是把一个图形经过分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。
如下图所示，它们显示了平面图形的转化。
五下：1、6 的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。
像6 这样的数，叫做完全数（也叫做完美数）。
28 也是完全数，而8 则不是，因为1+2+4 ≠8。
完全数非常稀少，到2004 年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了40 个完全数，其中较小的有6、28、496、8128 等。
2、为什么判断一个数是不是2 或5 的倍数，只要看个位数？为什么判断一个数是不是3 的倍数，要看各位上数的和？24 = 20 +（）2485= 2480 +（）20、2480 都是2 或5 的倍数，所以一个数是不是2或5 的倍数，只要看⋯24 = 2×10+4= 2×（9+1）+4= 2×9+（2）+（4）2485= 2×1000+4×100+8×10+5= 2×（999+1）+4×（99+1）+8×（9+1）+5= 2×999+4×99+8×9+（）+（）+（）+（）3、哥德巴赫猜想从上面的游戏我们看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3⋯⋯那么，是不是所有大于2 的偶数，都可以表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜想。
数学史5
祖冲之与祖暅
祖冲之(公元429—500)活跃于南 朝宋、齐两代，出生于历法世家 ，本人做过南徐州(今镇江)从事 史和公府参军，都是地位不高的 小官，但他却成为历代为数很少 能名列正史的数学家之一．祖冲 之曾在公元462年创制了当时最 为先进历法《大明历》。代表性 数学著作是《缀术》。
(一)圆周率 祖冲之关于圆周率的贡献记载在《 隋书》中，《隋书· 律历志》说：“ 祖冲之更开密法，以圆径一亿为一 丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五 厘九毫二秒七忽， 数三丈一尺四 寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在 盈肭二限之间”。 这就是说，祖冲之算出了圆周率数 值的上下限： 3.141 592 6<π<3.141 592 7．
贾宪时期，中国数学家们所处理的 方程系数都是正数．12世纪北宋学 者刘益首先突破了系数必须为正的 限制，在他所著的《议古根源》中 ，允许方程的系数为负数，并且也 不再像以往那样要求首项系数为1． 不过《议古根源》没有流传下来。 秦九韶在《数书九章》中，将增 乘开方法推广到了高次方程的一般 情形．他将自己的方法称为“正负 开方术”．
祖氏原理在西方文献中称“卡瓦 列里原理”，1635年意大利数学家 卡瓦列里独立提出，对微积分的建 立有重要影响． 刘徽和祖冲之父子的工作，思想 是很深刻的，它们反映了魏晋南北 朝时代中国古典数学中出现的论证 倾向，以及这种倾向所达到的高度 。这种高度是整个中国古代数学史 中论证数学的最高点。
3．2．3 《算经十书》
4 3 2 a0 x2 a1x2 a2 x2 a3 x3 a4
其中系数a0,a1,a2,a3,a4由下列增乘 程序来确定：
a0 =104 ×1= 104 a1 =104 ×3 ×4=12× 104 a2 =104 ×32 ×6=54×104 a3 =104 ×33 ×4=108×104 a4 =1336336-104×34×1=526336 即得到减根变换后的方程为
中国古代数学史
他创造割圆术，利用极限的思想证明圆的面积公式，并首次用 理论的方法算得圆周率157/50和3927/1250。他提出用无穷分 割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2 : 1， 解 决了一般立体体积的关键问题。
高次方程数值解法
把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数为负的情形） 解法的是刘益（12世纪中期）。《杨辉算法》中《田亩比类 乘除捷法》卷下介绍了原书中22个二次方程和1个四次方程， 后者是用增乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子。秦 九韶是高次方程解法的集大成者，他在《数书九章》中收集 了21个用增乘开方法解高次方程（最高次数为10）的问题。 为了适应增乘开方法的计算程序，秦九韶把常数项规定为负 数。他把高次方程解法分成各种类型，如：n次项系数不等 于1的方程，奇次幂系数均为零的方程，进行x=y+c代换后 常数项变号的方程与常数项符号不变而绝对值增大的方程等。 方程的根为非整数时，秦九韶采取继续求根的小数，或用减 根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子来表示根
西方数学的传入与中西数学的会通——明末至清末的 数学
1.西方初等数学的传入 2.西方数学传入的中断及传统数学著作的整理 3.近代数学的传入
西方数学的会通
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧 求正矢”和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但 没有证明。1800年前后，明安图、董祐诚、项名达各自依据 《数理精蕴》提出的“连比例”方法，对这些级数进行研究， 获得一些创造性结果。明安图著有《割圆密率捷法》4卷 （1774年由他的学生陈际新定稿），他除了证明杜德美传入 的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通 弦求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6 个新的公式。
2-1 刘徽
这题的答案《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四
《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元 的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是 我国古代解方程组的最早的方法。 多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)， 在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年) 的法国数学家布丢(Buteo)。至于线性方程组的一般理论直到18 世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E。Be－zout)建立。可见 《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就， 在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产。
（二）代数部分 《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先 进水平。 1．开平方和开立方 《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤 和现在的基本一样。所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广 章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千 二百二十五步。问为方几何”。“答曰：二百三十五步”。这里 所说的步是我国古代的长度单位。
第四章“少广”：已知面积、体积、求其一边长和径长等。 第五章“商功”：土石工程、体积计算。除给出了各种立 体体积公式外，还有工程分配方法。 第六章“均输”：合理摊派赋税。用衰分术解决赋役的合 理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法，构成了包括今天 正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理 论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。 第七章“盈不足”：即双设法问题。提出了盈不足、盈适 足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题，以及若干 可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是 处于世界领先地位的成果，传到西方后，影响极大。
关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为 法，子相乘为实，实如法而一”。 《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法 也很清楚。
中国古代数学史
刘微的逻辑思想和数学理论系统体系
数学定义；改变了对《九章算术》对概念约定俗成的做法，给数学概念以明确的定义。 数学证明：三段论，关系推理，假言推理，选言推理，联言推理，二难推理等重要的推理形式。
中国传统数学的高潮——唐中叶至元2.计算技术的改进和珠算的发明 3.勾股容圆
4开方数、正负数、方程术
开方数X*n=A(n>=2) a0x*n+a1x*(n-1)+……+a(n-1)x=A
正负数（+-a）-(+-b)=(+-(a-b))a>=b;(+-a)-(+-b)=(-+(b-a)),a<=b 方程数
中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学
赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推导的最早的数学家之一。他 在《周髀算经》书中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”是十分重 要的数学文献。在“勾股圆方图及注”中他提出用弦图证明勾股定理和解勾 股形的5个公式；在“日高图及注”中，他用图形面积证明汉代普遍应用的重 差公式，赵爽的工作是带有开创性的，在中国古代数学发展中占有重要地位。
盈不足数
3.面积、体积、勾股与测望
面积s=1/2lr=1/4ld 体积 V=1/3abh v=1/6abh;v=1/6[(2b1+b2)a1+(2b2+b1)a2)]h;v=1/36(l1l2+l1*2+l2*2)h 勾股定理与解勾股形(c+a):b=m:n(m表示勾弦并率，n表示股率） 勾股容方容圆 d=2ab/a+b+c
西方数学的会通
1701年法国人杜德美带来J.格雷果里的“弧求正弦”、“弧求正矢” 和I.牛顿的“圆径求周”三个无穷级数的公式，但没有证明。1800年前 后，明安图、董祐诚、项名达各自依据《数理精蕴》提出的“连比例” 方法，对这些级数进行研究，获得一些创造性结果。明安图著有《割 圆密率捷法》4卷 （1774年由他的学生陈际新定稿），他除了证明杜 德美传入的 3个公式外，还创造“弧求通弦”、“弧求正矢”、“通弦 求弧”、“正矢求弧”、“正弦求弧”、“正矢求弧” 6个新的公式。
古代数学的发展历程
古代数学的发展历程古代数学是人类探索数学知识的起始阶段，经历了漫长而辉煌的发展历程。
从原始社会的实用计数开始，到古代文明的几何和代数的发展，数学在不同文化和时期都发挥着重要作用。
本文将为您介绍古代数学的发展历程。
一、原始社会的数数和简单计算在原始社会，数数和简单计算是人们对周围世界进行认知和解决问题的基本手段。
人们以自然界中的事物为基础，使用简单的计数方法进行计数。
最早的计数方法是通过手指或物体的数量来表示。
例如，古代人们会用手指来计数，或者用贝壳、石头等物体进行计数。
这种原始计数方法的发展，为古代数学的起步奠定了基础。
二、古代数学的发源地：古埃及与古巴比伦古埃及和古巴比伦是数学的两个重要发源地。
古埃及的数学主要应用于土地测量、建筑施工等实际问题。
埃及人发展了一种基于几何的计算方法，使用简单的比例和三角形等几何概念进行测量和计算。
而古巴比伦的数学重点在于代数的发展。
巴比伦人创造了一种叫做“巴比伦数”的进位制，用以进行复杂的计算和代数问题的解决。
古埃及和古巴比伦的数学成就为后世的数学家提供了重要的启示。
三、古希腊数学的兴起与发展古希腊是数学史上的一个重要时期，许多杰出的数学家和思想家在这个时期涌现出来。
毕达哥拉斯学派是古希腊数学的重要代表。
毕达哥拉斯学派强调对几何学的研究，提出了很多几何定理，如毕达哥拉斯定理等。
另外，欧几里德的《几何原本》对几何学的发展做出了巨大贡献，奠定了几何学的基本原理和证明方法。
四、印度数学的贡献古印度数学在代数和算术方面有着独特的贡献。
印度人发展了一套完整的数字系统，使用10个数字进行计算，并发明了零的概念。
印度数学家还创造了一种叫做“算经”的数学文献，其中包含了关于代数、几何和三角学等方面的重要知识。
印度数学对后世的数学学科产生了深远的影响。
五、中国古代数学的独特之处中国古代数学的独特之处在于重视实际应用和工程问题的解决。
古代中国数学家在农业、水利和天文等领域的研究中，开展了大量的数学探索。
中国古代数学发展史
中国古代数学发展史中国传统数学的形成与兴盛：公元前1世纪至公元14世纪。
分成三个阶段：《周髀算经》与《九章算术》、刘徽与祖冲之、宋元数学，这反映了中国传统数学发展的三次高峰，简述9位中国科学家的数学工作。
第一次高峰：数学体系的形成秦始皇陵兵马俑（中国，1983），秦汉时期形成中国传统数学体系。
我们通过一些古典数学文献说明数学体系的形成。
1983－1984年间考古学家在湖北江陵张家山出土的一批西汉初年（即吕后至文帝初年，约为公元前170年前后）的竹简，共千余支。
经初步整理，其中有历谱、日书等多种古代珍贵的文献，还有一部数学著作，据写在一支竹简背面的字迹辨认，这部竹简算书的书名叫《算数书》，它是中国现存最早的数学专著。
经研究，它和《九章算术》（公元1世纪）有许多相同之处，体例也是“问题集”形式，大多数题都由问、答、术三部分组成，而且有些概念、术语也与《九章算术》的一样。
《周髀算经》（髀：量日影的标杆）编纂于西汉末年，约公元前100年，它虽是一部天文学著作（“盖天说”－天圆地方；中国古代正统的宇宙观是“浑天说”－大地是悬浮于宇宙空间的圆球，“天体如弹丸，地如卵中黄”），涉及的数学知识有的可以追溯到公元前11世纪（西周），其中包括两项重要的数学成就：勾股定理的普遍形式（中国最早关于勾股定理的书面记载），数学在天文测量中的应用（测太阳高或远的“陈子测日法”，陈子约公元前6、7世纪人，相似形方法）。
勾股定理的普遍形式：求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。
中国传统数学最重要的著作是《九章算术》（东汉，公元100年）。
它不是出自一个人之手，是经过历代多人修订、增补而成，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。
中国儒家的重要经典著作《周礼》记载西周贵族子弟必学的六门课程“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）中有一门是“九数”。
《九章算术》是由“九数”发展而来。
在秦焚书（公元前213年）之前，至少已有原始的本子。
神奇的数字
西西弗斯串在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。
著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。
什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这3个数组成下一个数字串235。
对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123。
对这个程序和数的"宇宙"来说，123就是一个数字黑洞。
是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。
例如：88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入"黑洞"了。
这就是数学黑洞"西西弗斯串"。
孔雀开屏数：（20＋25）的平方=2025类似的数还有两个：（30＋25）的平方=3025（98＋01）的平方=9801 与此相类似的还有：（2+4+0+1）的4次方=2401（5+1+2）的立方=512（8+1）的平方=81回归数英国大数学家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾经发现过一种有趣的现象:153=1^3+5^3+3^3371=3^3+7^3+1^3370=3^3+7^3+0^3407=4^3+0^3+7^3他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四（五,六）次幂之和的四（五,六）位数:1634=1^4+6^4+3^4+4^454748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6注:3位3次幂回归数又称位“水仙花数”像这种其值等于各位数字的n 次幂之和的n 位数,称为n 位n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数n 有回归数?这样的n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的n ,如果有回归数,那么有多少个回归数?1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使n 位数成为回归数的n 只有有限个.设An 是这样的回归数,即:An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n （其中0<=a1,a2,...an<=9）从而10^n-1<=An<=n9^n 即n 必须满足n9^n>10^n-1 也就是（10/9）^n<10n （1）随着自然数n 的不断增大,（10/9）^n 值的增加越来越快,很快就会使得（1）式不成立,因此,满足（1）的n 不能无限增大,即n 只能取有限多个.进一步的计算表明:（10/9）^60=556.4798...<10*60=600 （10/9）^61=618.3109...>10*61=610对于n>=61,便有（10/9）^n>10n由此可知,使（1）式成立的自然数n<=60.故这种回归数最多是60位数.迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:一位回归数:1,2,3,4,5,6,7,8,9二位回归数:不存在三位回归数:153,370,371,407四位回归数:1634,8208,9474五位回归数:54748,92727,93084六位回归数:548834七位回归数:1741725,4210818,9800817八位回归数:24678050,24678051但是此后对于哪一个自然数n （<=60）还有回归数?对于已经给定的n ,能有多少个回归数?最大的回归数是多少?3 153 370 371 4074 1634 8208 94745 54748 92727 930846 5488347 1741725 4210818 9800817 99263158 24678050 24678051 885934779 146511208 472335975 534494836 91298515310 467930777411 82693916578 44708635679 94204591914 32164049651 42678290603 40028394225 32164049650 4938855060612 无解13 无解0564240140138（只有广义解一组）14 2811644033596715 无解16 4338281769391371 433828176939137017 35641594208964132 21897142587612075 35875699062250035 233411150132317（广义解）18 无解19 4498128791164624869 4929273885928088826 3289582984443187032 151784154330750503920 14543398311484532713 6310542598859969391621 128468643043731391252 44917739914603869730722 无解23 21887696841122916288858 28361281321319229463398、27879694893054074471405 35452590104031691935943 27907865009977052567814数学黑洞6174数学黑洞是古希腊的一个国王偶然发现的。
古代的算术与数学发展野史
古代的算术与数学发展野史在古代，算术和数学是人类文明发展过程中极为重要的组成部分。
通过对数学基本理论的研究和实践，人类渐渐掌握了运算的方法和推理的技巧，不断推动着数学的进步。
本文将为大家带来古代算术与数学发展的野史，带领读者了解古代数学的兴衰沧桑。
一、古代算术的发展古代算术可追溯至公元前3000年的埃及和巴比伦。
埃及人将算术应用于土地测量和财务管理，巴比伦人则开始对数字和运算进行系统的研究。
1. 埃及古代算术埃及的古代算术主要以分数计算为主。
埃及人使用一系列特殊符号表示分数，并开发出了一套计数系统，其中以10为基数。
他们还发明了一种称为“埃及乘法”的方法，将两个数相乘转化为一系列分数的和，从而简化了乘法运算。
2. 巴比伦古代算术巴比伦的古代算术在埃及的基础上进一步发展。
巴比伦人将数值表示为组合符号，如斜线和凸出的圆圈。
他们发展了一套计数系统，以60为基数，这在代表时间的小时、分钟和秒钟中得到了延续。
此外，巴比伦人还提出了解方程和求未知数的方法，为后来的代数学奠定了基础。
二、古代数学的兴盛期1. 古希腊数学思想的兴起在古代数学领域，古希腊数学思想的兴起可谓给后世产生了深远影响。
毕达哥拉斯学派的毕达哥拉斯定理和对数学证明的要求，奠定了几何学和形式推理的基础。
欧几里德的《几何原本》成为古代数学的经典著作，形成了一套完整的几何学体系。
2. 古印度数学的繁荣时期古印度是数学发展的重要地区之一。
他们发展了现代算术中的十进制位制记数法，并且提出了负数、零以及二次方程的概念。
在印度数学家阿芮雅巴塔创作的《阿芮雅曼迦辛德》中，介绍了许多代数和几何问题的解法，为古代数学的发展做出了巨大贡献。
三、古代数学的衰落与复兴1. 中世纪的停滞期在中世纪，由于教会对知识的垄断以及独断专行的观念，数学的研究进展缓慢。
大部分数学家转而追求神学和哲学领域的研究，导致数学的发展停滞。
2. 文艺复兴与数学的复兴随着文艺复兴运动的兴起，人们对古代知识的热爱重新点燃了数学的研究热情。
古代数理知识
古代数理知识
古代中国的数理知识源远流长，是中华文明的重要组成部分。
以下是一些主要的内容：算术：古代中国早在先秦时期就有《周髀算经》等著作记载了基本的算术运算规则，如加减乘除，并对开方、比例等问题有所涉及。
几何：在《九章算术》中有大量关于面积、体积计算的问题，反映了古代中国人对平面几何和立体几何的基本理解，如勾股定理（古称“勾股弦”）在中国春秋时期的《周髀算经》中已有记载。
历法：中国古代历法学发达，从夏朝开始就有自己的历法系统，如《太初历》、《授时历》等，这需要高深的数学知识来推算和预测日月星辰的运行规律。
分数与小数：早在汉代，中国数学家就引入了十进制分数的概念，并在刘徽注释《九章算术》时提出了无穷小分割的方法，为后来的小数理论奠定了基础。
排列组合与概率：中国古代的河图洛书以及《孙子算经》中的“物不知数”问题，都蕴含了组合数学的思想。
代数学：《孙子算经》中的线性方程组解法，展示了古代中国在代数学方面的成就。
总的来说，古代中国的数理知识丰富多样，对后世产生了深远影响，并在世界数学史上占有重要地位。
四大古国数学发展史
四大古国数学发展史数学作为一门古老而又重要的学科，在人类历史上扮演着重要的角色。
在过去的几千年里，有四个古国对数学的发展做出了突出的贡献，它们分别是古埃及、古巴比伦、古印度和古希腊。
本文将从这四个古国的数学发展历程入手，介绍它们的数学成就和对后世的影响。
古埃及数学发展史古埃及被公认为是最早进行数学研究的文明之一。
早在公元前3000年左右，古埃及人就开始使用简单的计数系统，他们用一种称为“法老九法”的记数法来表示数字。
这种记数法基于九个不同的符号，分别代表1、10、100等。
另外，古埃及人还开发了一种称为“海米奇”的计算工具，类似于现代的计算尺，用来进行简单的加减乘除运算。
古埃及人的数学主要应用于土地测量、建筑施工等实际问题。
他们熟练掌握了平方根和倒数的计算方法，能够精确计算出土地的面积和体积。
此外，古埃及人还发展了一种称为“方法”的数学手段，用来解决线性方程组和二次方程等问题。
这些数学成果为古埃及人的农业生产和社会管理提供了重要的支持。
古巴比伦数学发展史古巴比伦是古代中东地区的一个重要文明，他们的数学成就也非常突出。
公元前2000年左右，古巴比伦人已经掌握了基本的算术运算和几何知识。
他们使用的计数系统采用60为基数，这种计数方法被称为“六十进制”，并且被广泛应用于时间和角度的计量中。
古巴比伦人在代数学、几何学和三角学方面都有很高的造诣。
他们发展了一种称为“巴比伦数表”的数学表格，其中包含了一系列数字和运算符号，用来解决各种数学问题。
古巴比伦人还发明了用直角三角形的边比值来表示角度的方法，这一概念后来为希腊数学家所继承和发展。
古印度数学发展史古印度是数学发展史上的又一个重要角色。
早在公元前1000年左右，古印度人就开始进行高级的数学研究。
他们发展了一种称为“印度数表”的计数系统，其中包含了一系列数字和运算符号，用来进行复杂的数学运算。
这种计数系统后来被阿拉伯人引入到欧洲，成为现代数学的基础。
古印度人在代数学、几何学和算术学方面都有独特的贡献。
初等数学在中国发展的历史-
初等数学在中国发展的历史中国古代是一个在世界上数学领先的国家，用近代科目来分类的话，可以看出无论在算术、代数、几何和三角各方而都十分发达。
现在就让我们来简单回顾一下初等数学在中国发展的历史。
(一)属于算术方面的材料大约在3000年以前中国已经知道自然数的四则运算，这些运算只是一些结果，被保存在古代的文字和典籍中。
乘除的运算规则在后来的“孙子算经”(公元三世纪)内有了详细的记载。
中国古代是用筹来计数的，在我们古代人民的计数中，己利用了和我们现在相同的位率，用筹记数的方法是以纵的筹表示单位数、百位数、万位数等；用横的筹表示十位数、千位数等，在运算过程中也很明显的表现出来。
“孙子算经”用十六字来表明它，“一从十横，百立千僵，千十相望，万百相当。
” 和其他古代国家一样，乘法表的产生在中国也很早。
乘法表中国古代叫九九，估计在2500年以前中国已有这个表，在那个时候人们便以九九来代表数学。
现在我们还能看到汉代遗留下来的木简(公元前一世纪)上面写有九九的乘法口诀。
现有的史料指出，中国古代数学书“九章算术”(约公元一世纪前后)的分数运算法则是世界上最早的文献，“九章算术”的分数四则运算和现在我们所用的几乎完全一样。
古代学习算术也从量的衡量开始认识分数，“孙子算经”(公元三世纪)和“夏候阳算经”(公元六、七世纪)在论分数之前都开始讲度量衡，“夏侯阳算经”卷上在叙述度量衡后又记着：“十乘加一等，百乘加二等，千乘加三等，万乘加四等；十除退一等，百除退二等，千除退三等，万除退四等。
”这种以十的方幂来表示位率无疑地也是中国最早发现的。
小数的记法，元朝(公元十三世纪)是用低一格来表示，如13.56作1356 。
在算术中还应该提出由公元三世纪“孙子算经”的物不知数题发展到宋朝秦九韶(公元1247年)的大衍求一术，这就是中国剩余定理，相同的方法欧洲在十九世纪才进行研究。
宋朝杨辉所著的书中(公元1274年)有一个1—300以内的因数表，例如297用“三因加一损一”来代表，就是说297=3×11×9，(11＝10十1叫加一，9＝10—1叫损一)。
两位数乘法的短暂历史回顾
两位数乘法的短暂历史回顾在我们日常生活中，乘法是一个非常常见且重要的运算符号。
而其中最基础也是最常用的运算是两位数乘法。
在这篇文章中，我们将回顾一下两位数乘法的历史，了解它是如何发展成为我们现在所熟知的形式的。
一、两位数乘法的起源乘法作为一种运算方式，最早可以追溯到人类早期的交换物品时期。
在那个时候，人们需要将物品进行交换，而乘法就是用来计算交换的数量的。
然而，当时的乘法没有像我们现在这样明确的数学符号，而是依赖于计算工具和口头交流。
在古代文明中，随着数学的不断发展，人们开始使用更高级的乘法方法。
相比只能进行简单乘法运算的原始方法，这些新方法能够在更短的时间内进行更复杂的计算。
二、传统的两位数乘法在中国古代，人们开始使用梅森定理来进行两位数乘法的计算。
梅森定理是一种通过将两位数分解成更简单的数来计算乘积的方法。
这个方法相对繁琐，需要计算者有一定的数学功底。
而在西方，人们则使用尺规术进行两位数乘法的计算。
尺规术是一种使用细木杆和细线进行计算的方法。
这个方法在计算过程中需要使用一些特殊的工具，因此并不是所有人都能够掌握。
然而，这些传统的两位数乘法方法在计算速度和便捷性方面都有一定的局限性。
因此，随着时间的推移，人们开始寻找更高效的乘法方法。
三、现代的两位数乘法方法直到十九世纪，人们才开始使用我们现在所熟知的两位数乘法方法。
这个方法是通过将一个两位数分解为十位数和个位数，然后逐步计算乘积的。
由于这个方法简单易行，成为了当今主流的两位数乘法方法。
除了传统的两位数乘法方法之外，现代还出现了一些更高效的计算工具和方法。
例如，使用计算器可以准确快速地进行两位数乘法的计算，而现代数学教育也倾向于教授学生们使用列竖式进行乘法计算。
四、两位数乘法的应用和发展随着科学技术的不断进步，两位数乘法的应用也越来越广泛。
从物理学到工程学，从金融学到计算机科学，乘法在各个领域都能发挥重要作用。
同时，随着计算机和人工智能的发展，我们也看到了乘法运算在大规模计算中的重要性。
数学史常识
数学史上发生的大事数学发展至今，不知道经历了多少人的呕心沥血，现在把数学历史上发生的大事的年表列出：数学大事年表推荐约公元前3000年埃及象形数字公元前2400～前1600年早期巴比伦泥版楔形文字，采用60进位值制记数法。
已知勾股定理公元前1850～前1650年埃及纸草书（莫斯科纸草书与莱茵德纸草书），使用10进非位值制记数法公元前1400～前1100年中国殷墟甲骨文，已有10进制记数法周公(公元前11世纪)、商高时代已知勾三、股四、弦五约公元前600年希腊泰勒斯开始了命题的证明约公元前540年希腊毕达哥拉斯学派，发现勾股定理，并导致不可通约量的发现约公元前500年印度《绳法经》中给出√2相当精确的值，并知勾股定理约公元前460年希腊智人学派提出几何作图三大问题：化圆为方、三等分角和二倍立方约公元前450年希腊埃利亚学派的芝诺提出悖论公元前430年希腊安提丰提出穷竭法约公元前380年希腊柏拉图在雅典创办“学园”，主张通过几何的学习培养逻辑思维能力公元前370年希腊欧多克索斯创立比例论约公元前335年欧多莫斯著《几何学史》中国筹算记数，采用十进位值制约公元前300年希腊欧几里得著《几何原本》，是用公理法建立演绎数学体系的最早典范公元前287～前212年希腊阿基米德，确定了大量复杂几何图形的面积与体积；给出圆周率的上下界；提出用力学方法推测问题答案，隐含近代积分论思想公元前230年希腊埃拉托塞尼发明“筛法”公元前225年希腊阿波罗尼奥斯著《圆锥曲线论》约公元前150年中国现存最早的数学书《算数书》成书（1983～1984年间在湖北江陵出土）约公元前100年中国《周髀算经》成书，记述了勾股定理中国古代最重要的数学著作《九章算术》经历代增补修订基本定形（一说成书年代为公元50～100年间），其中正负数运算法则、分数四则运算、线性方程组解法、比例计算与线性插值法盈不足术等都是世界数学史上的重要贡献约公元62年希腊海伦给出用三角形三边长表示面积的公式（海伦公式）约公元150年希腊托勒密著《天文学》，发展了三角学约公元250年希腊丢番图著《算术》，处理了大量不定方程问题，并引入一系列缩写符号，是古希腊代数的代表作约公元263年中国刘徽注解《九章算术》，创割圆术，计算圆周率,证明圆面积公式,推导四面体及四棱锥体积等，包含有极限思想约公元300年中国《孙子算经》成书，系统记述了筹算记数制，卷下“物不知数”题是孙子剩余定理的起源公元320年希腊帕普斯著《数学汇编》，总结古希腊各家的研究成果,并记述了“帕普斯定理”和旋转体体积计算法公元410年希腊许帕提娅，历史上第一位女数学家，曾注释欧几里得、丢番图等人的著作公元462年中国祖冲之算出圆周率在3.1415926与3.1415927之间,并以22/7为约率，355/113为密率（现称祖率）中国祖冲之和他的儿子祖暅提出“幂势既同则积不容异”的原理，现称祖暅原理，相当于西方的卡瓦列里原理(1635) 公元499年印度阿耶波多著《阿耶波多文集》，总结了当时印度的天文、算术、代数与三角学知识。
中国数学史
中国数学史研究中国数学的发展规律的科学；中国数学史的研究对象是中国历代的数学成果、数学学术活动、数学思想、数学的历史背景以及一切记录等。
根据易系辞》记载，\上古结绳而治，后世圣人易之以书契。
这说明上古时候，先有结绳记事或记数，然后易之以企刻，三国时代虞翮《易九家义》也说：事大，大结其绳；事小，小结其绳；结之多少，随物众寡。
不但有很多书籍上有结绳、企刻的记载，而近代也发现不少原始社会遗留下来的实物，因此可以说《易系辞》的记载是可以信的。
这也说明中国数学史从原始社会就开始了记数的工作。
许多出土的原始社会的陶器上，可以发现刻画着很多不同的几何图形和数字符号，有菱形、圆形、鱼形、矩形、三角形等、还有一、五、七、十、二十、三十等数目字。
通过这些实物，说明在原始社会就形成了初步几何图形及数字的概念。
因此可以说中国数学起源于原始社会，而中国数学史则也是起源于原始社会。
随着时间的推移，到殷商、西周时代，由甲骨、青铜器皿上，可以发现许多数学资料，不但有完整的整数及部分分数记录，还有简单的数字运算。
这说明到殷商、西周时代，已积累了很多数学知识，所可惜的是，尚没有发现有关的书籍。
从春秋至西汉末期，在一些典籍中记述着多样的数学内容。
比如，《周易》、《管子》、《墨子》、《考工记》等，都存有一些记述。
在《周易》里，记述了由阴、阳爻共同组成的八卦、六十四卦，实际上相等于就是重复排序；在《管子》里记述着一些乘坐、乘法例子；在《墨子》里则记述一些逻辑学、力学、光学以及一些几何方面的内容，企图用逻辑的方法阐释几何的概念；在《考工记》里，除存有一些工件的大小尺寸外，还牵涉分数的运算、角度的概念、容量的位次等。
这些书籍虽不是数学专著，但却记述了某些数学的片断科学知识，足证春秋时代的数学水平；１９８３年，在湖北出土一部《算数书》，根据初步考证，是成书于西汉初期的数学专著。
其中有整数的各种运算、分数的运算、比例算法、简单的方程算法以及利息算法等。
刘徽郭书春
刘徽中国科学院自然科学史研究所郭书春刘徽中国山东人．公元3世纪．数学．刘徽生平不详．自述“徽幼习《九章》，长再详览，观阴阳之割裂，总算术之根源．探赜之暇，遂悟其意．是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”．《晋书》、《隋书》之《律历志》称“魏陈留王景元四年(公元263年)刘徽注《九章》”．《九章算术注》原十卷．他自撰自注的第十卷“重差”自南北朝后期以《海岛算经》为名单行．前九卷仍与《九章算术》合为一体行世．唐初李淳风奉敕编纂《算经十书》，《九章算术》和《海岛算经》列为其中两部．《九章算术注》之图及《海岛算经》之自注和图今已不传．《九章算术》——刘徽继承的数学遗产刘徽从事数学研究时，继承了一分以《九章算术》为主体的堪称丰厚而又有严重缺陷的数学遗产，其基本情况是：世界上最方便最先进的十进位置值制记数法和计算工具算筹在中国首创并已使用至少千年．算筹的截面已由圆变方，长度已由西汉的13厘米左右缩短为8—9厘米．《九章算术》于公元前一世纪成书，至此时已300余年．光和大司农斛、权(179年)“依黄钟律历、《九章算术》”制造，说明它至晚在东汉已成为官方认定的经典著作．《九章算术》包括方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九章，奠定了中国古算的基本框架；提出了上百个公式、解法，有完整的分数四则运算法则，比例和比例分配算法，若干面积、体积公式，开平方、开立方程序，盈不足算法，方程术即线性方程组解法，正负数加减法则，解勾股形公式和简单的测望问题算法，其中许多成就在世界上处于领先地位，形成了中国古算以计算为中心的特点；含有246个应用题，体现了中国古算密切联系实际的风格；在编排上，《九章算术》或者先提出术文，后列出几个例题，或者先列出一个或几个例题，后提出术文，确立了中国古算以术文(公式、解法)挈领应用问题的基本形式．公元元年前后，盛极一时的古希腊数学走向衰微，《九章算术》成书标志着世界数学研究重心从地中海沿岸转到了中国，开创了东方以算法为中心的数学占据世界数学舞台主导地位千余年的局面．然而，《九章算术》也有不容忽视的缺点：对所有概念没有定义；对所有术文没作任何推导、证明；各章的编排或者按应用，或者按方法，或者两者混杂，不尽合理．东汉以后许多学者如马续、张衡、郑玄、刘洪、徐岳、阚泽等都研究过《九章算术》，这些研究无疑成为刘徽“采其所见”的资料，然好象仍停留在以某种方式验证的阶段，对《九章算术》的许多关键性公式、解法并未严格证明，对其中某些不精确或失误处，并未指出，理论建树不大．其具体情况在论述刘徽的贡献时要提到．面对这样的数学遗产，刘徽的业绩不言而喻主要体现在数学证明和数学理论上．率——计算的纲纪《九章算术》上百个公式、解法，每个都是一种算法，除个别失误外，都具有完全确定性、普适性和有效性等现代计算理论对算法的要求．刘徽《九章算术注》的主要篇幅是通过“析理以辞、解体用图”对其算法的正确性进行证明，对诸算法间的内部联系及其应用进行论述．为了用计算解决一个问题，关键是要根据问题的条件找到一种量作标准，进而找到诸量之间的关系．中国古代数学概念“率”承担了这个职责．“率”的本意是规格、标准、法度．《孟子·尽心上》：“羿不为拙射变其彀率．”《墨子·备城门》：“城下楼卒，率一步一人，二十步二十人，城大小以此率之．”反映了“率”逐步转化成一个数学概念的过程．《九章算术》的许多术文和问题题设应用了率，提出了“今有术”和勾股数通解公式等重要成就，然有的应用却偏离了约定俗成的内涵．刘徽则大大发展了率的思想，从而把《九章算术》的算法提高到系统理论的高度．刘徽关于“率”的定义是：“凡数相与者谓之率．”“相与”即相关，这里是一种线性相关．“数”实际上是一组量．现今的比率是最直观且应用最广泛的一种率关系，但是，率的涵义却比比率要深刻、广泛得多．由率的定义，刘徽得出率的重要性质：“凡所得率知，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已．”即一组成率的数，在投入运算时，其中一个缩小或扩大某倍数，则其余的数必须同时缩小或扩大同一倍数．根据率的这一性质，刘徽提出了乘、约、齐同三种等量变换．它们最初都是从分数运算中抽象出来的．事实上，分数的分子和分母可以看成率关系．刘徽关于“率”的定义就是在“经分术”(即分数除法)注中提出来的．那么，关于分数运算的三种等量变换自然推广到率的运算中．成率关系的一组量如有等数即公因子)，则可用此等数约所有的量(称为“约”)，而不改变率关系，这就是“约以聚之”．相反，成率关系的所有数可以同乘某一数，亦不改变率关系，这就是“乘以散之”．利用这两种等量变换可以把成率关系的任意一组数(在现今实数范围内)化成没有公因子的一组数，而不改变率关系，从而提出了“相与率”的概念：“等除法、实，相与率也．”两个量的相与率实际上是今天互素的两个数．在运算时，刘徽一般使用相与率．几个分数只有化成同一分数单位才能进行加减，从而产生了齐同术：“凡母互乘子谓之齐，群母相乘谓之同．同者，相与通同共一母也；齐者，子与母齐，势不可失本数也”．而对比较复杂的问题，常常有相关的分别成率关系的两组或几组量，要通过齐同化成同一率关系，这就是“齐同以通之”．齐同原理成为率的一种重要运算．刘徽说：乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎？显然，刘徽把率看成运算的纲纪．“今有术”在《九章算术》算法中起着基础性作用．今有术曰：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一．法．它传到印度和西方后被称为三率法．刘徽认为：诚能分诡数之纷杂，通彼此之否塞，因物成率，审辨名分，平其偏颇，齐其参差，则终无不归于此术也．这里前三句是说设法找出各种率关系，而“平其偏颇，齐其参差”就是齐同术．对复杂的计算问题，一般说来必须通过齐同才能使用今有术或其他运算．刘徽说：“齐同之术要矣．错综度数，动之斯谐．其犹佩解结，无往而不理焉”．下面简要介绍刘徽关于率及齐同的应用．算术问题中的应用．“诸率悉通”．若甲、乙之率为a、b，乙、丙之率为c、d，b≠c，欲从甲求丙．《九章算术》两次应用今有术，先从甲求乙，再从乙求丙，刘徽称之为“重今有术”．刘徽认为，还可以应用齐同原理，先同两率关系中乙的率，化为bc，然后使甲、丙的率与之相齐，分别化为ac、bd，三率悉通，直接用今有术由甲求丙．刘徽指出：“凡率错互不通者，皆积齐同用之．放此，虽四、五转不异也．”显然，刘徽的方法比《九章算术》简便．“齐同有二术，可随率宜也．”同一问题，常有不同的途径实现齐同，可以灵活运用．刘徽认为《九章算术》卷六第20—26问尽管对象不同，其数学方法都与凫雁问同类．凫雁问是：今有凫起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？术曰：并日数为法，日数相乘为实，实如法得一日．刘徽提出两种齐同方式：一是“齐其至，同其日”，“并齐以除同，即得相逢日．”此问63日凫9至，雁7至，故相逢日为63/(9+7)．二是定距离为1，求出凫雁一日所行，“齐而同之”，途同归，都证明了《九章算术》术文的正确性．盈不足术中“齐其假令，同其盈”．盈不足术是中国古算的传统问题，在《九章算术》中单列一章，占有重要地位．即使一般算术问题，通过两次假设，均可化为盈不足问题求解(在非线性情况下只可得近似解)，因此传入欧洲后称之为双设法．《九章算术》给出了盈不足问题的一般解法：置所出率，盈不足各居其下．令维乘所出率，并，以为实．并盈不足为法．实如法而一．刘徽认为“盈维乘两设者，欲为齐同之意”，即“齐其假令，同其盈．”，即不足．若假令a1，盈b1，假令a2，不足b2，同其盈为b1b2，使假令与之相齐，则分别为a1b2和a2b1，那么b1+b2次假令，共出a1b2+a2b1而不盈不，所以每次假令为(a1b2+a2b1)/(b1+b2)即为不盈不之正数．代数问题中的应用．方程术即线性方程组解法是《九章算术》最值得称道的成就．刘徽把率及其齐同原理拓展到方程术中．首先，他借助率提出了方程的定义：群物总杂，各列有数，总言其实．令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．“令每行为率”大体相当于现今行向量的概念．用率定义方程，因此对方程各行施行“乘以散之，约以聚之．齐同以通之”．同时，他提出：“举率以相减，不害余数之课也．”即方程的整行与其他行相减，不影响方程的解．刘徽把它当作不必加以证明的真理，成为方程消元的理论基础．《九章算术》采用直除消元法，即以一行某项系数乘另一行，然后以该行多次相减那一行，直至该项系数为0．刘徽指出：方程的直除消元法符合齐同原理．他说：“先令右行上禾乘中行，为齐同之意．为齐同者谓中行直减右行也．从简易虽不言齐同，以齐同之意观之，其义然矣．”这里“同”是使两行欲消元的系数相同(通过直除作到)，“齐”是使一行中其余各项系数及常数项与该项系数相齐(通过乘实现)．齐同既达到了消元的目的，又保证了“举率以相减”，故其变换不影响方程的解．在深刻理解方程消元符合齐同原理的基础上，刘徽创造了互乘相消法以代替《九章算术》的直除法．他在“牛羊直金”问注说：“假令为同齐，头位为牛，当相乘，右行定：更置十、羊四、直金二十两；左行：牛十、羊二十五、直金四十两．”牛数相同，可以一次相减消去．刘徽说：“以小推大，虽四、五行不异也．”刘徽通过互乘，同时作到齐同，比直除法简便得多．刘徽还创造了“方程新术”．他通过诸行相减求出诸元的两两相当之率，施行齐同，对易其数，得出诸元的相与之率，然后用衰分术或直接用今有术求解．上述这些原理和方法在负系数方程中同样适用．刘徽说：“赤黑相杂足以定上下之程，减益虽殊足以通左右之数，差实虽分足以应同异之率．然则其正无入负之，负无入正之，其率不妄也．”此处“赤黑”即正负数．《九章算术》在方程直除消元过程中提出了正负术：正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．这是世界数学史上第一次引入正负数概念及其加减法则．前四句讲正负数减法，设a≥0，b＞0 ，即(＋a)-(±b)=a b，(-a)-(b)=-(a b)；后四句讲正负数加法，同样，设a≥0，b＞0，即(＋a)＋(b)=a b，(-a)+(±b)=-(a b)．刘徽解释了这些法则的正确性，并且认为用正负数足可以列出任何一个方程，而通过正负数的加减运算(实际上把率和齐同原理推广到负系数方程中)足可以对任何一个方程消元．五家共井问六个未知数，方程只有五行．《九章算术》由于没有方程的定义，实际上把它的一组最小正整数解作为定解，而不知有无数组解．刘徽指出，《九章算术》的解是“举率以言之”，实际上承认它是不定问题，这是中国古算中第一次明确提出不定方程问题．几何问题中的应用．刘徽把率广泛应用于面积、体积和勾股等几何问题的计算中．刘徽指出《九章算术》圆面积公式中周、径为“至然之数”，求出了周径相与之率即π的近似值；堑堵中“阳马居二，鳖居一，不易之率也”．这两个重要问题，下面要专门分析．这里介绍一下率在勾股、测望问题中的应用．《九章算术》以率的形式表示出勾股形三边的关系：此处(c＋a)∶b=m∶n，m，n实际上互素．这是世界数学史上第一次提出完整的勾股数组通解公式．不过，《九章》的术文未离开具体数字，刘徽则用出入相补原理对其一般形式作了证明．相似勾股形中勾股弦“相与之势不失本率”，是刘徽概括出的一个重要原理．《九章算术》利用勾股数组通解公式解勾股形，即基于这一原理．刘徽还用这一原理援引今有术、衰分术解决勾股容方、容圆及测望问题．我们试举二例．《九章算术》勾股容圆问已知勾a、股b，问勾中容圆径d，其公个公式：又画中弦以观除会，则勾、股之面中央各有小勾股弦．勾之小股、股之小勾皆小方之面，皆圆径之半，其数故可衰．以勾、股、弦为列衰，副并为法，以勾乘未并者，各自为实，实如法而一，得勾面之小股可知也．以股乘列衰为实，则得股面之小勾可知．在这里刘徽过圆心作平行于弦的直线，称为中弦，分别与垂直于勾、股的半径及勾、股形成与原勾股形相似的小勾股形，且其周长分别等于勾、股．设勾上小勾股形边长为a1，b1，c1，则a1∶b1∶c1=a∶b∶c，且a1＋b1＋c1=a．由衰分术b1=ab/(a＋b+c)，d=2b1=2ab/(a＋b＋c)．同样，由股上小勾股形亦可求出此公式．《九章算术》“出南北门求邑方”问是：今有邑方不知大小，各中开门．出北门二十步有木．出南门一十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？术曰：以出北门步数乘西行步数，倍之，为实．并出南、北门步数为从法，开方除之，即邑方．如图3，设出北门BC为a，出南门DC＇为k，西行C＇A＇为b＇，邑方为x，则《九章算术》术文给出了二次方程：x2+(a+k)x=2ab＇．刘徽注的第一部分为：此以折而西行为股，自木至邑南一十四步为勾，以出北门二十步为勾率，北门至西隅为股率，即半广数．故以出北门乘折西行股，以股率乘勾之幂．然此幂居半，以西行，故又倍之，合东，尽之也．刘徽根据勾股形ABC与A＇BC＇相似，BC∶BC＇=AC∶A＇C＇，重差问题的公式亦可借助于勾股相与之势不失本率的原理来证明．总之，刘徽使用率证明了《九章算术》大部分算法、大多数题目，使率的应用空前广泛、深入，提高到理论的高度．出入相补原理“出入相补”见之于刘徽为《九章算术》勾股术——“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”所作的注：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也．”如何将勾方与股方出入相补成弦方，刘徽未具体提示，学界历来有不同看法，图4的两种方法，分别将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ移到Ⅰ＇、Ⅱ＇、Ⅲ＇，是比较常见的两种推测．“出入相补”在卷一、卷五刘徽注中又称作“以盈补虚”．它是中国古算中证明面积和体积问题的主要方法，应该说，在刘徽之前，甚至在《九章算术》成书时代，人们就已熟悉这种方法．刘徽则对它作了概括、发展．我们仍以上文提到的“勾股容圆”和“出南北门求邑方”两问为例说明．对勾股容圆，刘徽注的出入相补方法是：勾股相乘为图本体，朱、青、黄幂各二，倍之则为各四．可用画于小纸，分裁邪正之会，令颠倒相补，各以类合成修幂：圆径为广，并勾、股、弦为袤．故并勾、股、弦以为法．这是将勾股形由圆垂直于勾、股、弦的半径分成朱、青、黄三块，将两个勾股形合成一个长方形(其面积为ab)，则有朱、青、黄各二块．再加倍，则各四块．将朱、青各中分，则此四朱、青、黄拼成以圆径为宽，勾、股、弦之和为长的长方形，其面积为2ab，显然d=2ab/(a＋b＋c)．“出南北门求邑方”问刘徽注的第二部分是：“此术之幂，东西如邑方，南北自木尽邑南十四步之幂，各南北步为广，邑方为袤，故连两广为从法，并以为隅外之幂也．”如图6，画出长方形BEA＇C＇，勾股形BEA＇和BC＇A＇面积相等，AGA＇和AFA＇面积相等，故长方形BEGC等于2ab＇，它可以分解成x2和x(a+k)，即BC和DC＇之和为从法．这就证明了术文的正确性．出入相补原理对解决平面直线图形是行之有效的，刘徽用这种方法解决了大量问题．据信，重差问题亦用出入相补原理证明．《周髀算经》中测望太阳的“日高术”奠定了重差问题的基础．刘徽在介绍了日高术之后说，《九章算术》的测望问题“皆端旁互见，无有超邈若斯之类．”他说：“虽夫圆穹之象犹曰可度，又况泰山之高与江海之广哉？”因此，“辄造《重差》，并为注解，以究古人之意，缀于《勾股》之下”，即《九章算术注》第十卷，今之《海岛算经》．刘徽说：“凡望极高，测绝深，而兼知其远者必用重差、勾股，则必以重差为率，故曰重差．”从测量技术上说，刘徽使用了重表、连索、累矩三种基本方法，有的要测望三次或四次．刘徽说：“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入．”而就数学内容上说，望海岛(同日高术)、望松、望深谷代表了望高、知远、测深三个基本结果，其余诸题皆可由这三个基本公式得出．由于刘徽自注已佚，他怎样证明这些结果，学界未有定论．根据刘徽的数学水平，以率的原理和以出入相补原理来证明都是可信的，很可能同时采用这两种，如上两例然．此以立两表测海岛为例说明怎样以出入相补原理证明．已知表高、表间，以及使人目、表末及岛峰叁相直从两表却行的距离，两却行之差称为相多，刘徽提出岛高公式岛高=表间×表高/相多+表高，前表去岛公式去岛=表间×前表却行/相多．吴文俊认为证明方法如下：∵IK=IB，HJ=HB，相减得IK－HJ=IC，或后表却行×(岛高－表高)－前表却行×(岛高－表高)=表间×表高，岛高=表间×表高/(后表却行－前表却行)+表高，此即岛高公式，又从HJ=HB得前表去岛×表高=前表却行×(岛高－表高)，代入岛高公式，即得前表去岛公式．立体问题中也可应用出入相补原理．棊验法就是如此．刘徽说：“说算者乃立棊三品，以效广深之积．”说明棊验法是刘徽前的一种传统方法．它是将所要讨论的立体分解或拼合成三品棊，即长、宽、高均为一尺的立方、堑堵、阳马(如图8)，适当加倍(如果需要的话)，重新拼合成一个或几个方体，从而推知其体积．显然，这种方法只适用于可分解或拼合成三品棊的特殊多面体，而对一般尺寸的多面体则无能为力．刘徽指出了它的局限性．例如三个长、宽、高一尺的阳马合成一个正方体，那么阳马棊的体积为正方体的1/3，这种方法对长、宽、高不等的阳马则无能为力．又如，上底宽1尺、长2尺，下底宽3尺、长4尺，高1尺的刍童可以分解成2个立方棊、6个堑堵棊、4个阳马棊(图9(1))．6个这样的刍童共12个立方棊、36个堑堵棊，24个阳马棊．它们可以重新组合成一个长10尺(两下底长加上底长)、宽3尺(下底宽)高1尺的长方体及一个长8尺(两上底长加下底长)、宽1尺、高1尺的长方体(图9(2)，(3))．因此，一个这样的刍童的体积为此两长方体体积之和的1/6．显然，它对一般的刍童是不适用的．刘徽通过以盈补虚即出入相补证明了堑的体积公式h的长方体，从而证明了公式．(图(10))刘徽还用出入相补证明开平方、开立方程序的正确性．如开A的立方，初商a1，则减根方程无穷小分割在数学证明中的应用1．割圆术——圆面积公式的证明．《九章算术》提出了正确的圆面积公式：“半周半径相乘得积步”，即其中S、L、r分别表示圆面积、周长和半径．在刘徽之前，人们以圆内接正6边形周长代替L，以正12边形的面积代替S，出入相补，拼成一个长为正6边形周长、宽为r的矩形，验证(1)式，这实际上取π=3，当然不是严格证明．刘徽指出，以周三径一的论证“皆非也”，提出基于极限思想的割圆术严格证明了(1)式．首先，刘徽从圆内接正6边形开始割圆，依次得到圆内接正6·2n边形(n=1，2，3，……)．他认为，割得愈细，即n愈大，圆内接正多边形与圆面积之差愈小．“割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”即在不可割的状态，正多边形与圆周重合，其面积之差为0，换言之，若正6·2n边形的面积为S n，有另一方面，圆内接正多边形每边与圆周间有一余径r n．若以每边长l n乘余径r n得l n r n，加到S n上，显然S6·2n＋6·2n l n r n＞S，亦即S6·2n＋2(S n+1-S n)＞S．但在正多边形与圆合体的情况下，“则表无余径．表最后，将与圆合体的正多边形分割成无数个以圆心为顶点以边长为底的小等腰三角形．由于以每边乘半径等于每个小等腰三角形面积的两倍，那么这无数个小等腰三角形面积之和应是半周与半径的乘积，正如刘徽所说：“以一面乘半径，解而裁之，每辄自倍，故以半周乘半径而为圆幂．”即这就完成了圆面积公式(1)的证明．2．刘徽原理——锥体体积公式的证明刘徽极限思想最精彩的应用当推他关于阳马和鳖体积公式的证明．鳖是有下宽无下长，有上长无上宽，即每面都是勾股形的四面体(图13(1))，《九章算术》给出的体积公式是：“广袤相乘，以高乘之，六而一．”即其中a是下宽，b是上长，h是高．阳马是一棱垂直于底面的四棱锥(图13(2))，《九章算术》给出的体积公式是：“广袤相乘，以高乘之，三而一．”即a、b为底的宽、长，h是高．刘徽指出，在a≠b≠h的情况下，由于“鳖殊形，阳马异体”，用棊验法“则难为之矣”，无法证明(2)、(3)式．他只好另辟蹊径．为此，刘徽首先提出一个重要原理：邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖．阳马居二，鳖居一，不易之率也．即对任一堑堵，将其分解为一阳马与一鳖，则恒有V y∶V b=2∶1． (4)(3)两式是显而易见的．这个原理可以称为刘徽原理．刘徽用无穷小分割证明了它．他将一个鳖(红色)与一个阳马(黑色)拼成一个堑堵①(图14(1))．再用三个互相垂直的平面平分堑堵的长、宽、高(图14(2))，则阳马被分解为一个小长方体(Ⅰ)、两个小堑堵(Ⅱ、Ⅲ)和两个小阳马(Ⅳ、Ⅴ)(图14(3))；鳖被分解为两个小堑堵(Ⅱ＇、Ⅲ＇)和两个小鳖(Ⅳ＇、Ⅴ＇)(图14(4))．鳖中两小红堑堵Ⅱ＇、Ⅲ＇与阳马中两小黑堑堵Ⅱ、Ⅲ拼成两个小长方体Ⅱ－Ⅱ＇、Ⅲ－Ⅲ＇，与小黑长方体Ⅰ，共三个全等的小长方体，其中属于阳马与属于鳖的体积之比为2∶1．两小红鳖Ⅳ＇、Ⅴ＇与两小黑阳马Ⅳ、Ⅴ恰是两小堑堵Ⅳ－Ⅳ＇、Ⅴ－Ⅴ＇、它们又可合成第四个全等的小长方体Ⅳ－Ⅳ＇－Ⅴ－Ⅴ＇，阳马与鳖在其中体积之比仍未知．总之，在原堑堵的3/4中已证明(4)式成立，在1/4中仍未知，“是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一”．(图14(5))刘徽指出：“余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣．”就是说，在余下的1/4中能证明可知部分阳马与鳖体积之比仍为2∶1，则就可以确定在整个堑堵中阳马与鳖体积之比为2∶1．为什么呢？由于所余1/4中，两个小堑堵的结构与原堑堵完全相似(图14(6))，因此可以重复刚才的分割，同样(4)式尚末被证明．这个过程可以无限继续下去，“半之弥少，其余弥细．至细曰微，微则无形．由是言之，安取余哉？”无限分割到最后，没有证明(4)式成立的部分为0，换言之，在整个堑堵中证明了(4)式．下面将看到，刘徽原理是刘徽体积理论的核心．3．牟合方盖和截面积原理．在证明其他面积和体积，尤其是曲面面积和圆体体积时，刘徽以另一种方式使用了无穷小分割．刘徽指出，《九章算术》“开立圆术”所蕴涵的球体积公式是错误的，其中D是球直径．他用两个底径等于球径的圆柱正交，其公共部分称作牟合方盖(图15)．他指出，球与外切牟合方盖的体积之比为π∶4：“合盖者，方率也；丸居其中，即圆率也．”刘徽虽然没能求出牟合方盖的体积，却指出了彻底解决球体积的正确途径．二百多年后，祖冲之父子求出了牟合方盖的体积，从而求出了球体积的正确公式．。
从古代延续下来的数学题
从古代延续下来的数学题
有许多古代的数学题目至今仍被广泛研究和讨论，这些题目不仅展示了古代数学家的智慧，也为我们提供了理解古代数学文化的重要窗口。
以下是一些从古代延续下来的著名数学题：
1.毕达哥拉斯定理（勾股定理）：这个定理在中国、古埃及、巴比伦和印度都有独立的发展，但最为人所知的可能是古希腊数学家毕达哥拉斯的名字。
它指出在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
2.费马最后定理：由17世纪的法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他声称已经找到了一个证明，但始终没有公布。
这个定理在358年后被安德鲁·怀尔斯解决，成为数学史上的一个里程碑。
3.黄金分割比例：这个概念可以追溯到古希腊数学家欧几里得，它指的是一个线段被分割成两部分，使得较长部分与整体的比值等于较短部分与较长部分的比值。
这个比例在自然界和艺术作品中广泛出现。
4.七桥问题：这个问题起源于18世纪的普鲁士，是关于一个城市中的七座桥的问题。
欧拉通过图论的方法解决了这个问题，为图论的发展奠定了基础。
5.鸡兔同笼问题：这个问题最早出现在中国的《孙子算经》中，它涉及到代数和逻辑推理。
问题描述了一个笼子里面有一些鸡和兔子，只能看到头和脚，需要确定鸡和兔子的具体数量。
以上只是从古代延续下来的数学题目中的一小部分，实际上还有许多其他的古代数学问题，如“阿基米德求圆面积”、“丢番图方程”等，都在数学史上留下了深远的影响。
关于古代数学的知识
关于古代数学的知识《古代数学的辉煌与发展》古代数学作为人类思维发展的重要组成部分，见证了人类智慧的辉煌与数学的发展和应用。
近年来，对于古代数学的研究不断深入，揭开了许多关于古代数学知识的神秘面纱。
古代数学的起源可以追溯到远古时期。
早在古埃及时期，人们就开始应用简单的几何概念来测量土地面积和建筑物的尺寸，同时使用简单的算术方法来解决实际问题。
而在古巴比伦时期，人们发展了基于60进制的计量系统，并开始使用代数方法解决线性和二次方程。
然而，古希腊数学的兴起是古代数学发展的重要里程碑。
古希腊哲学家毕达哥拉斯提出了著名的毕达哥拉斯定理，开辟了几何学的新纪元。
欧几里德积累了以《几何原本》为代表的伟大著作，系统总结了古代几何学的许多成果，并建立了一套严密的逻辑证明体系。
他的成就在数学史上有着重要的地位。
古代数学在古希腊之后的中国和印度也有着独特发展。
中国的《九章算术》和印度的《法布尔斯的四书》都是对数论和代数学有着重要贡献的著作。
中国古代数学家张丘建在《算经》中创立了一套完备的算术方法，包括乘法、除法和开平方等。
印度数学家阿耶尔巴塔在他的著作中推导了数列和级数的概念，开创了数学分析学的先河。
古代数学的发展离不开实际应用的推动。
在古埃及和古巴比伦时期，土地测量和建筑设计是数学应用的重要领域。
古希腊的几何学成为建筑和城市规划的基础，为古希腊的建筑艺术赋予了一种几何美感。
古代数学在军事、贸易、天文和导航等方面也发挥了重要作用。
在数学知识传播方面，古代数学的宝贵知识通过无数手写的著作和学术会议得以传承。
这些著作和会议成为了后来数学研究和教育的重要参考，促进了数学知识的传播和发展。
总的来说，古代数学是人类智慧的结晶，见证了数学从简单的计数和度量到复杂的代数和几何的演进。
古代数学的辉煌与发展为后来的数学研究和应用奠定了坚实基础。
对古代数学的研究不仅帮助我们了解过去，还为现代数学的发展提供了启示与借鉴。
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傳統數學的千年等數和乘率之謎 71
節省篇幅, 計算表中略去中間的七次除法。 表1: 6172608 和16900序列值計算表 (自然餘數除法序數為奇)
k 被除數=除數× 商+ 餘 (籌算位) 被除數=除數× 商+ 餘 (籌算位)
商值
Q序列
P 序列
1 118704 = 325×365+79(右上) 6172608 = 16900×365+4108 (r1 右上) q1365 令 Q1 = 1
一切整數對, 因自然餘數除法序數的奇、 偶, 分成彼此獨立的兩大類, 數理上這個固有本性 考驗著古今中外眾多算法的普適性和完善性。
三大數理潛力點的提法, 能幫助我們剖析兩千多年來不定分析算法演進的歷程。 公元前300年就出現的原始歐幾里得求最大公約數輾轉相除法[1], 體現潛力點 II。 1801年, 高斯的線性同餘式序列解法[2]是潛力點 I、II、III 的完美結晶。 1247年秦九韶的大衍求一術, 同樣無愧為三大潛力點的完美結晶。「數書九章」[3]保存的1208 年開禧曆求乘率籌算原圖, 以等數標誌乘率, 顯示從潛力點 II、III 結合的求等數術除法形式, 發 展成潛力點 I、II、III 結合的求乘率術, 揭開了千年上元積年算法發展之謎。
r5 自然餘數 1(52), r6 自然分支最後 0
6 2 = 1×2+0(右下)
104 = 52×2+0(右下)
P1 = q1 = 365
2 325 = 79×4+9(右下)
16900 = 4108×4+468(右下)
q24 Q2 = q2 = 4
P2 = 1+q2P1 = 1461
3 79 = 9×8+7(右上)
4108 = 468×8+364(右上)
q38 Q3 = 1+q3Q2 = 33
P3 = P1 +q3P2 = 12053
2、 帶餘除法的迭代稱潛力點 II, 帶動序列值計算的進行。 為統一研究東西方不定分析史料, 我們設計了序列值計算表。 全表縱向結構如下:
第一列是整數對118704 和325, 遞互除之到餘數 0, 有餘數集合 79、9、7、2、1 和0。 第二列用 52 倍的整數對 6172608 和 16900, 遞互除之得 104 = 52×2 + 0, 餘數集合為 4108、 468、 364、 104、 52 和 0。 兩列最後一個非零餘數 1(或 52), 稱自然餘數, 連同後續餘數0, 組成自然餘數分支。 第三列是六個商 365、4、8、1、3 和 2。 代入序列值公式, 計算出的 Q 序列值, 載第四列, P 序列 值, 載第五列。
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70 數學傳播 36 卷 4 期 民 101 年 12 月
借助整數對6172608 和 16900輾轉相除, 我們闡述潛力點含義, 列出序列值計算表。
1、 單位 1 是整數論的基石, 構成潛力點 I。 最小的自然數是 1。 整數對互質時, 最大公約數是 1。 常數值不同而其他各項完全相同的線
性不定方程 ax = by + c 或線性同餘式 ax ≡ c(mod b), 常數 c 中只有一個能取單位1。 所謂 要解出未知數 x 的值, 必須謀取 x 的係數為 1。
其中
Qka − Pkb = (−1)k−1rk,
P0 = 1 P1 = q1, Pk = qkPk−1 + Pk−2, Q0 = 0, Q1 = 1, Qk = qkQk−1 + Qk−2,
k = 1, 2, . . . , n,
k = 2, . . . , n, k = 2, . . . , n.
橫看表中每一行, 以除法為主導, 以商銜接, 導出兩個序列值, 合稱一個循環。 現代數論教科書上有定理深刻揭示, 兩個正整數 a、b 不必互質, 每一步都能找到 P 序列 值、 Q 序列值的線性組合, 等於正負號交替的相關餘數若 a、b 是任意兩個正整數,
數學傳播 36 卷 4 期, pp. 69-82
傳統數學的千年等數和乘率之謎
王翼勳
一、 引言
線性不定分析問題肇始於天文曆法萌芽時期, 昌明於歐洲文藝復興的近代數論, 上下兩千 年, 縱橫歐亞大地。 古希臘、 古中國、 古印度學者, 都為人類文明史留下濃重的一筆。
整數對的輾轉相除現象, 各量錯綜, 序列值計算繁雜。 受天象觀察、 曆法研究的刺激, 一代 代數學家深掘寶藏, 設計算法。 出於文明的不同, 研究出發點的不同, 認識程度的不同, 演算工 具的不同, 會有多種敘述形式, 更增加了研究的複雜性和趣味性。
4 9 = 7×1+2(右下)
468 = 364×1+104(右下)
q41 Q4 = Q2 +q4Q3 = 37 P4 = P2 +q4P3 = 13514
5 7 = 2×3+1(自然餘數) (右上) 364 = 104×3+52(自然餘數) (右上)
q53 Q5 = Q3 +q5Q4 = 144 P5 = P3 +q5P4 = 52595
只在分析不定方程時才有用。 遵照高斯不定方程 ax = by ± 1 的 「a不小於b」 約定, 以求乘率 術原算圖首圖的右上 r1 作為初始狀態, 表中各餘數的籌算上、 下位可據此排定。
偶序數類整數對, 選自然餘數 1 除法序數 10 為偶的 120365856000、 499067 作代表。 為
3、 潛力點 III 商數損一調節舉措, 是序列解算法的關鍵操作。 損, 取微減之意。 在餘數 0 除法 104 = 52×2 + 0 中, 商 2 減去 1, 改成除法 104 = 52×1 + 52 中, 餘數
52 等於除數 52。 餘數 52 稱為調節餘數, 與後續餘數 0 組成調節餘數分支。 序列值計算表中以兩條通欄說明, 展示兩個餘數分支的結構。 因自然餘數除法序數的奇、 偶, 存在著彼此獨立的兩大類整數對, 各舉一個具體數例。 奇序數類整數對, 選自然餘數 52 除法序數 5 (奇) 的 6172608、16900 為代表。 中間三列用雙線界定, 呈現 1208 年開禧曆求乘率術原算圖的數理背景。 第五列 P 序列,