第1讲有理数巧算9-5精选.
第1讲 巧算
4．解：
原式=20022002×1999-1999×10001×2002
=1999×（20022002-10001×2002）
＝1999×0＝0
5．解：
1993×1995×1997×1999积的末位数，等于这四个末位数的积的个位数。3×5×7×9积的个位数是5，同理1992×1994×1996×1998的积的末位数，等于这四个末位数的积的个位数，2×4×6×8的个位数是4。故1993×1995×1997×1999-1992×1994×1996×1998的差的末位是1。
思路剖析
此题目中加数的一个最大特点就是与整十、整百、整千、整万相差不大，那我们就先把它们凑成整十、整百、整千……的数，然后再进行计算，类似于给每个加数找了个基准数，这种方法叫做凑整法。
解答
8+98+998+9998+99998+999998
=（10+100+1000+10000+100000+1000000）-2×6
[例7]计算99999×22222+33333×33334
思路剖析
看到题目应联想到它相似于乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c中等号的右边，但题目中缺少一个共同的“c”。若找到“c”我们就可以逆用乘法分配律来解决此问题。在寻找“c”的过程中，我们立足于变化其中一个算式，使之得到与另一算式共同的部分。从题目中易发现：可从33333×33334中变化得到99999。解法二中我们将尝试变化99999×22222，得到33333。
6．解：
原式=[（2000-1）×99+2000×100+2000－l+2000－2000+100]÷4000
徐德直老师十一系列讲座之有理数的巧算
（4）
1/5
例题精讲
【例1】 计算：
1 2 4 1 1 （1） 1 2 4 5 1 3.8 6 3 5 3 6
1 1 1 1 7 （3） 4 12 18 36 36
4 5 3 5 5 3 （4） 1 5 13 5 13 13 5
（5） 17.48 37 174.8 1.9 8.74 88
【例2】 计算： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2013 2014 2015 ．
1 1 1 ； n n 1 n n 1
（2）
1 11 1 ； nn k k n n k
（3）
1 1 1 1 2 1 1 ； ，或 n n 1 n 2 2 n n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2
13 23 33 36
13 23 33 43 100
（1）计算： 13 23 33 （2）试猜想 13 23 33
103 ；
n3 ．
4/5
【例10】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ仔细观察下列各式：
22 2 2 2 1 2 23 22 22 2 1 22 24 23 23 2 1 23
【例5】 计算：
1 1 1 1 2 2 3 3 4
1 1 ． 98 99 99 100
【例6】 计算：
1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 10 13
第一讲 七年级有理数的巧算
第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。
2、 有理数还可以这样定义： 形如mp （其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。
3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数4、 有理数可以用数轴上的点表示。
5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。
6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。
如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。
7、 有理数的运算法则：（1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。
（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。
（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯；乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。
②如果a < b , 那么b > a 。
③如果a < b , b < c , 那么 a < c④如果a = b , b = c , 那么 a = c⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。
第1讲绝对值有理数的巧算专题
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++ .3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。
初中数学拔尖材料02有理数的巧算 (1)
初中数学拔尖材料02 有理数的巧算初中代数的第一个任务是：引进负数，建立有理数．有理数是代数的基础，必须要学好它．本讲内容主要介绍有理数的巧算的各种方法．1．凑整法：一般凑成整一、整十、整百、整千等数．例1．计算：89899899989999899999++++． 例2．计算：13312155132642586538++++++．例3．正整数1，2，3，…，9998，9999所有数码之和是多少？例4．计算：100100100999999+1999⨯个个个．2．应用运算定律：为了简化运算，通常改变运算顺序，交换律、结合律与分配律并举． 例5．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？例6．计算：1311132148()48868-+-⨯-．例7．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++．3．应用添（去）括号：为了揭示规律，适当添或去括号．例8．计算：12345678979899100+--++--+++--．例9．计算：1111111 ()()() 22448819216384-------．例10．计算：162500012560425÷-⨯．4．拆项法：为了运算简捷，常常需要将一个数学拆成两个数或几个数．例11．计算：5527 57275628⨯+⨯．例12．计算：179111315131220304256-+-+-．例13．求1111 12233420132014++++⨯⨯⨯⨯的值．例14．计算：11113771111155559++++⨯⨯⨯⨯．例15．计算：10123410248162+++++．5．应用幂的性质：对幂的指数较大的，根据数的特点及其关系，运用幂的性质可以简化运算．例16．计算：12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-．例17．计算：76777241(1001)(0.125)()()()71311-⨯-⨯-⨯-⨯-．6．倒序相加法：将式子倒过来，对应相加后，和相同．例18．求和：1234100+++++．例19．求一列数的各项之和：1，3，5，7， (2013)例20．求10099989796959493929110987654321++--+++--++++--+++--之和．例21．计算：11111212312341232013++++++++++++++．7．错位相减法：为了简化运算，乘一个数，将式子错位，相减相消． 例22．求23201312222S =+++++．例23．计算：233572112222n n S +=+++++．8．观察找规律：为了简化运算，观察式子，寻找规律．例24．试写出34⨯，3334⨯，333334⨯，…的一般规律，并进行证明．例25．现有数组：（1，1，1）；（2，4，8）；（3，9，27）；…；求第100组的三个数之和．例26．有一串数：11，12-，22，12-，13，23-，33，23-，13，14-，24，34-，…； （1）711是第几个数？（2）第400个数是多少？综合练习1．298720002000200029872987⨯-⨯=_____________________2．1001(((1))------=重括号_____________________3．194144336+630.125+63+63=2323223238⨯⨯⨯_____________ 4．1111++++=144771097100⨯⨯⨯⨯_____________ 5．2235353599=999999n n ⨯个个_____________ 6．已知：1231055++++=1231005050++++=1231000500500++++= …………猜想：12310m ++++=_____________7．设200400a ≤≤，6001200b ≤≤，则b a 的最大值是_____________ 8．若33331231514400++++=，则333324630++++=_____________ 9．把分子为1、分母大于1的自然数的分数称为单位分数；若把单位分数16表示成分母不同的两 个单位分数之和，试求出所有可能的表示．10．一串数：11，11，12，12，22，22，13，13，23，23，33，33，……； （1）115是第几个数？（2）第2014个分数是多少？。
第一讲 有理数的巧算
第一讲 有理数的巧算【讲义解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯.2、有理数的相关概念和性质法则：⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律； ⑵凑整法； ⑶拆项法（裂项相消）； ⑷分组相约法； ⑸倒序相加法； ⑹错位相减法； ⑺换元法； ⑻观察探究、归纳法.【专题精讲】【例1】计算：32333333251233()0.750.5()1()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-.【练习】计算：（1）999998998999998999999998⨯-⨯；（2）121121(111315)()()(111315)111315111315⨯⨯⨯-++-+÷⨯⨯；（3）2123246...23()15721014...57n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅.【例2】计算：（1）123456789101112...2013201420152016.--++--++--+++--+（2）12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-.【练习】计算：（1）12345678910...2017+--++--++-+；（2）201510012016100015(0.75)( 1.2)(1)()36-⨯-⨯-⨯-.【例3】计算：（1）11111++++...+2612209900； （2）11111 (4287013010300)+++++.【练习】计算：（1）4812164000...1335577919992001-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯；（2）1111+++...+135357579301303305⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（3）111320152+...+1111111(1)(1+(1)(1+(1+223232015++++））...）.【反思】一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可用裂项相消法求值.【常见裂项公式】① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()(1)(1)211n n n n =--+-+； ③ 1111()()n n d d n n d =-++； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++. 【例4】计算：20151111+++...+2482 .【练习】2320151+2+2+2+ (2)+【例5】计算： 1121231232015+()()...(...)2334442016201620162016++++++++++.【练习】159...7997++++.【反思】一般地，等差数列求和，可用倒序相加法.【例6】计算：2320151111+++ (3333)【练习】2320151111+++...+5555.【反思】一般地，等比数列求和，可用错位相减法.【例7】计算：11111111111111(1...)(...)(1...)(...)23201523420162320162342015++++++++-++++++++【练习】（1）1111111111(...)(1...)(1...)( (2320002199922000231999)+++++-++++++；（2）11191008551(152627)(315355)1733201517332015+-÷+-= .【例8】请你归纳出3333123...n ++++的公式，并计算3333123...200++++的值.【练习】计算：（1）1111(1)(1)(1)...(1)2016201520141000---⋅⋅-；（2）1111(1)(1)(1)...(1)13243520152017+++⋅⋅+⨯⨯⨯⨯；（3）1111...1+21+2+31+2+3+ (100)+++.。
第1讲有理数巧算9-5
【金牌例题 1】 【陈老师指路】在乘除运算中，常把小数化成分数，把带分数化成假分数． 8 6 (1)[47-(18.75-1÷ )×2 ]÷0.46 15 25
1 2 3 1998 (-2) ×(-1) -12÷[-(- ) ] 2 (2) 4 1 (-1)÷（- ）×1 5 4
【想】 2 22 1 11 =( - )× = - ，裂项后的算式与-T 组合即可。 1×3 1 3 2 1 3
2
22
23
29
1 2 22
28
1 5 1 19 1 41 1 71 1 5．计算 1 -2 +3 -4 +5 -6 +7 -8 +9 2 6 12 20 30 42 56 72 90
1 2 3 4 n 6．比较：S= + + + +„+ n(n 是正整数)与 2 的大小。 2 4 8 16 2
1 1 1 1 (10)32015+32014+32013+„+ + 2+ 3+ 4 3 3 3 3 -5 38 ) 39
(11)(17
7 7 37 12 17 +27 -11 ) ÷ (13 +8 27 17 39 17 27
n 1 2 3 4 2．比较：S= + + + +„+ n(n 是正整数)与 2 的大小。 2 4 8 16 2
2 2 2 2 224来自81632
【金牌例题 5】 3 3 3 3 3 (1)计算 3 +4 +5 +6 +„+10 = 【陈老师指路】套用公式，用[有借有还法]解题。
【七年级奥数】第1讲 有理数的巧算（例题练习）
第1讲有理数的巧算——例题一、第1讲有理数的巧算(例题部分)1.计算:【答案】解:原式===0+0+0=0【解析】【分析】在有理数加减运算中，应注意利用交换律与结合律，将其中的数适当改变顺序，重新组合、尽可能“凑整”或“抵消”．“抵消”，即两个相反的数相加，和为0(两个相同的数相减，差为0)，如上面的与-,-与,但要注意符号，不要搞错，如上面的-与不能抵消，它们的和与可以抵消．2.计算【答案】解:原式===【解析】【分析】在进行有理数的乘除运算时，要注意确定结果的符号：奇数个负数相乘除，结果为负；偶数个负数相乘除，结果为正．通常将小数化为分数，带分数化为假分数，把除法转化为乘法，能约分的先约分，尽量化简。
3.计算【答案】解:原式==【解析】【分析】在进行有理数的四则运算时，还应注意应用分配律．若有公因数，一般可将公因数提出，然后进行运算．如本例中，分子有公因数1×2×3，分母有公因数1×3×5，就可以将它们提出，然后约分，以简化运算．应注意，当提出的公因数带负号时，提取后各项的符号都要改变．4.计算【答案】解：原式====……==1-=【解析】【分析】经过观察发现算式的特点：后一项是前一项的一半．如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值．因此，我们巧添了一个辅助数，使问题得以顺利解决．当然，根据代数式的值得不变性可知，在添加上后不要忘了还应减。
5.计算（1）1+2+3+4+ +2007+2008（2）1-2+3-4+ +2007-2008【答案】（1）解:令S=1+2+3+4+ +2007+2008则S=2008+2007 +2+1两式相加,得2S===2009 2008所以S=即原式=（2）原式===-1004【解析】【分析】(1)由题意知，本小题的特点是：后一项减去前一项的差都相等．这样的一列数是等差数列．即若一列数，有(常数)(i=12，…，n一1)，则这列数称为等差数列，其中称为首项，称为末项，n为项数，d为公差．等差数列的和a，的计算公式为：所以，本题也可用这个计算公式计算．有时，项数不能直接看出，可用下面的公式计算：(2)由题意知，相邻的项两两结合求差为-1，可以简化运算．这是由本题的特点所决定的．所以，在做题时，应先观察一下题目的特点，根据特点下手，往往有事半功倍的效果．6.计算【答案】解：原式==1-= =【解析】【分析】在做加减法运算时，根据数的特点，将其中一些数适当拆开，变成两个数的差并且拆开后有一些数可以相互抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫拆项法．本例中，我们把拆成，即可求解。
第一讲 七年级有理数的巧算
第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。
2、 有理数还可以这样定义：形如mp（其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。
这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。
3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数 4、 有理数可以用数轴上的点表示。
5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。
6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。
如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。
7、 有理数的运算法则： （1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。
（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。
（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。
（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++； 乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯； 乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。
②如果a < b , 那么b > a 。
③如果a < b , b < c , 那么 a < c ④如果a = b , b = c , 那么 a = c ⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。
初一绝对值及有理数巧算
第一讲绝对值一. 学习目标理解绝对值的含义，会做绝对值的相关题型。
二. 重点、难点重点：深刻绝对值的意义，会比较有理数的大小.难点：有理数绝对值意义的理解和运用.三. 知识要点1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．2、绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即：3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数．四、典型例题（一）去绝对值符号例1. （1）a＞0时，|2a|=________；当a＞1时，|a-1|=________；（2），则；|1-x |=1，则x=_______．练习：（1）若|x-1| =0，则x=____；，则．（2）如果，则，．例2、有理数、、在数轴上的位置如图, （1）判断正负,用“>”或“<”填空—＿＿0, —＿＿0, +＿＿0（2）化简:.练习：1、数、、c 在数轴上的位置如图所示，则| c 一|―|一|=_________；2、已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b（二）绝对值非负性：任何一个实数的绝对值是非负数． 例3 、1、 += 0, 求2-+y x 的值。
2、已知|x|＝4，|y|＝2，求x ＋y ，y x -的值.练习： 1、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，求a 、b 的值．2、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c=3、已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。
（三）绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例4、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-， 3与5， 2-与6-， 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ；练习： x 与-2之间的距离表示为： ； X 与3之间的距离表示为： ； a 与b 之间的距离表示为： ；（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 __ .分析：2-x 即x 与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2之间的距离。
(word完整版)有理数的运算技巧-教师版
“显示有理数的混合运算（1）有理数的加法：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加，仍得这个数.（2)有理数的减法:减去一个数，等于加这个数的相反数。
()a b a b -=+-(3）有理数的乘法：两数相乘，同号得正,异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. （4)有理数的除法：除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.1a b a b÷=⋅ （0b ≠ ） (5）有理数的乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方。
一、有理数的加法运算技巧（1）分数与小数均有时，应先化为统一形式. （2）带分数可分为整数与分数两部分参与运算。
（3）多个加数相加时，若有互为相反数的两个数,可先结合相加得零。
（4)若有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加。
（5）若有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起. (6）符号相同的数可以先结合在一起。
二、有理数的混合运算步骤（1）在进行有理数加法运算时，优先确定符号，然后在计算绝对值，这样就不容易出错。
减法转化为加法。
（2）作带分数加法时，可将整数部分与分数部分分开相加,然后再把结果相加。
（3）既有分数，又有小数时，通常把小数化成分数。
（4）有理数相乘,先确定积的符号，再确定积的绝对值;除法转化为乘法进行计算.(5）要正确解答乘方运算，必须切实弄清乘方定义，它是求n 个相同因数的积的运算，n a a n ≠⋅，2(1)1n -=，21(1)1n +-=-.（6)带分数进行乘方运算时，一般要把带分数化为假分数，注意不能犯如下错误：211(3)924=。
三、有理数的混合运算注意要点有理数混合运算,应注意以下几点：（1）先乘方，再乘除，最后加减; （2）同级运算，从左到右进行；有理数的运算技巧知识回顾知识讲解（3）如有括号，先做括号内的运算,按小括号,中括号，大括号的顺序依次进行（4)恰当地运用交换律，结合律、分配率有时可以使计算简便（5）进行分数的乘除运算时,一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法进行有理数混合运算时易错点有:(1）符号错误；如2(2)4-=-，224-=等；（2）运算顺序发生错误，如1232123÷⨯=÷=等；（3）知识理解错误，如326=;（4）去括号法则，如112(2)222415 22-⨯-=-⨯-⨯=--=-一、有理数的加减运算【例1】计算：⑴11(28)(17)42++-⑵3510.75(2)(0.125)(12)(4)478+-+++-+-⑶3378 1.25644412-++-⑷11( 2.125)(3)(5)( 3.2)58-+++++-⑸112(3)( 2.4)()(4)335-+-++--⑹232(3)(2)(1) 1.75343------⑺219 17887.21435312.792121-++-【答案】⑴原式=1113 28(17)()11()104244 +-++-=+-=⑵原式=33151(2)(12)(4)44878+-++-+-=33151()()()(2)(12)(4)44878+-++-+-+-+-+-=5187-⑶原式=3137816444412-++-=3137(8)16(4)()()44412-+++-+-+++-=11(5)()533-+-=-⑷原式=1111(2)(3)(5)(3)8585-+++++-=11(2)5()88-++-+=3⑸原式=1212(3)(2)()(4)3535-+-++--=1212(3)(2)4()()3535-+-++-+-++=1-⑹原式=2323(3)(2)(1)(1)3434-+++-=2323(3)21(1)()()3434-+++-+-+++-=1-⑺原式=219178(87)4353(12)(0.21)(0.79)2121 +-+++-+-+-++=175【变式练习】计算：⑴12114()(3)(2)2735+-+-+-⑵5221(2000)(1999)4000(1)6332-+-++-⑶2(3)( 5.7)( 1.5)( 3.4)( 4.2)5----++++-⑷8110.8231033-+-+⑸113.125()()( 5.25)248--+--++⑹35713.2()()4612--+--同步练习【答案】⑴原式=12114(3)(2)()()()2725+-+-++-+-+-=17(1)()35-+-⑵原式=5221 (2000)(1999)4000(1)()()()6332-+-++-+-+-++-=43-⑶原式=27121 (3)5(1)3(4)510255 -++-++-=27121 (3)5(1)3(4)()()()510255-++-++-+-++-++-=0⑷原式=4411(2)35533-++-+=11(2)3()33-++-+=1⑸原式=11113()(5)28484++-+-+=11113(5)2()()8484+-++++-+-=0⑹原式=13571354612+++=13571354612++++=711330+=111530二、有理数加减运算解决实际问题【例2】超市新进了10箱橙子,每箱标准重量为50kg，到货后超市复秤结果如下（超市标准重量的千克数记为正数，不足的千克数记为负数）：0.5+、0.3+、0.9-、0.1+、0.4+、0.2-、0.7-、0.8+、0.3+、0.1+那么超市购进的橙子共多少千克?【答案】(0.5)(0.3)(0.9)(0.1)(0.4)(0.2)(0.7)(0.8)(0.3)(0.1)+++-+++++-+-++++++=[0.50.30.1(0.9)][0.80.1(0.2)(0.7)](0.40.3)+++-+++-+-++=0.750100.7500.7⨯+=()kg即橙子共有500.7千克【例3】数轴的原点O上有一个蜗牛,第1次向正方向爬1个单位长度，紧接着第2次反向爬2个单位长度，第3次向正方向爬3个单位长度，第4次反向爬4个单位长度……，依次规律爬下去,当它爬完第100次处在B点．①求O、B两点之间的距离(用单位长度表示)．②若点C与原点相距50个单位长度，蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，需要多少时间才能到达？③若蜗牛的速度为每分钟2个单位长度，经过1小时蜗牛离O点多远？【答案】①1(2)3(4)99(100)50+-++-+++-=-，故O、B两点之间的距离为50个单位长度．②分两种情况，第一种情况：点C在数轴的正半轴，观察规律可知：除去第一次,依次每两次结合相当于向正方向前进1米，所以再经过(501)298-⨯=(次)运动即可前进50米，到达B地；用时为：(1239899)22475++++÷=（分钟）．第二种情况：点C在数轴的负半轴,观察规律可知，每两次结合相当于向负半轴前进1米,故经过100次运动即可前进50米，到达B地，用时为：(12100)22525+++÷=（分钟）．③设第n次运动时，正好60分钟,那么有12345660 2222222n+++++++=(word 完整版)有理数的运算技巧-教师版所以15n =，此时它离A 点：1234561314158-+-+-++-+=（米）．【变式练习】A 市的出租车无起步价，每公里收费2元，不足1公里的按1公里计价，9月4号上午A 市 某出租司机在南北大道上载人，其承载乘客的里程记录为：2.3、7.2-、 6.1-、8、9.3、 1.8-（单位：公里，向北行驶记为正,向南行驶记为负）,车每公里耗油0.1升，每升油4元，那么他这一上午的净收入是多少元？他最后距离出发点多远？【答案】因为每公里收费2元，且不足1公里的按1公里计算所以出租车司机的收入为收入：(3878102)276+++++⨯=(元) 出租车所行驶的路程为2.37.2 6.189.3 1.834.7+-+-+++-=公里 汽油成本:34.70.1413.88⨯⨯=（元)，收入7613.8862.12-=（元）。
第1讲-绝对值、有理数的巧算专题
第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++Λ.3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第一讲有理数的巧算
第一讲有理数的巧算趣题引路】(第6届“希望杯"竞赛试题改编)计算：2004 X 20032003+2005 X 20042004 一 2003 X 20042004 一 2004 X 20052005解析 原式=2004 X 20032003 一 2003 X 20042004+2005 X 20042004一2004 X 20052005=(2004 X 2003 X 10001-2003 X 2004 X 10001)+(2005 X 2004 X 10001- 2004 X 2005 X 10001) =0点评:赢赢型式子通常将它化成^cXlOOl 型式子，有的问题还利用到1001=7X11X13这一特点 来进行考査，有理数的运算有许多技巧和方法，是中考和竞赛的热点。
知识延伸】 一、 巧用运算律进行有理数运算时注意符号的处理，再看是否可以用运算律简化运算。
7113 1 1例 1 计算：(1)-1999- X 16： (2)(-一一一 +二一一)-(——)86 36 4 12 48解析⑴原式=-(2000-])><168= -(3200-2) = -31998(2)原式=一(一丄一丄 + 丄)><48=—(一8 — 已 +36—4)=一 22?・6 36 4 12 3 37 1点评:⑴像1999_、2003等数字在参与运算时，往往将其写成2000--、2000+3的形式：(2)利用乘8 8法对加法的分配律时，应注意符号的处理技巧，尽量以免错误。
二、 有理数大小的比较有理数大小比较的一般规律：正数>零>负数：两个负数比较大小，绝对值大的反而小：两个正数比较 大小，倒数大的反而小、在进行有理数大小比较时，往往利用到作差、作商、倒数比较、平方比较以及运 用一些熟知的规律进行比较.1991 QI log? 09例2 (1992年"缙云杯“初中数学邀请赛试题)把-四个分数按从小到大的顺序1992 92 1993 93排列是 __________________________________ •a 疋1992(1 92 ,1 1993(1 93(11991 1991 91 91 1992 1992 92 92点评:比较分数的大小通常可以将分子化成相同或分母化成相同，再进行比较，除了通分外，倒数法也 是经常用到的方法•实际上，此类习题具有-般规律；弓<角⑴是正整数)，如！|<|斗…199991一'921 1<922 311999999而丄9191-92< >丄9292-939391-92, < 92-9192一93 <一93一921,, < 9 9 ^911919 9 9 9 9 1 1 << 2 3929999 19'- 9 1 1三. 有理数巧算的几种特殊方法有理数运算时，经常会出现一些较大或较多的数求和的问题，仔细观察它们的特点，探求英中的规律, 往往可以为解题开辟新的途径.1 •倒序相加法例 3 计算：(1)1+2 + 3 + ・・・+2003 + 2004：(2)1 — 2 + 3—4+・・・ + 2003 — 2004・解析(1)设S=l+2+3 + ・・・ + 2003+2004 ①则 S=2004+2003 +…+3+2+1 ②①+②，得2S=(l+2004)+(2+2003)+・・・+(2004+l) =2005 + 2005 +…+2005 (共 2004 个 2005)=2005X2004,即原式=2009010・(2)原式=(1 一2)+(3—4)+・・・ + (2003 — 20Q4)= -1-1 ------------- 1(共 1002 个一 1) = -1002.点评:(1)式的特点是：后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项， 通常用“I 表示；最后一项叫末项，通常用血表示；相等的差叫公差，通常用d 表示。
初一奥数提高班第01讲-有理数的巧算精编版
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1 计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例2 在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=___________于是我们得到了一个重要的计算公式____________________________这个公式叫――___________公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例3 计算3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．练习1 计算103×97×10009的值．练习2 计算：练习3 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．练习4 计算：．3．观察算式找规律例4 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2) =1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例5 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．例6 计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，例7 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-2009+2011；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636；(5)201020091751531311⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯(6)1+4+7+ (244)(7)200032313131311+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++(8)990019997081975615-42133011-209127-311－＋⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。
有理数运算的方法与技巧(word版)
有理数运算的方法与技巧一、知识要点有理数及其运算是整个数与代数的基础，有关式的所有运算都是建立在数的运算基础上的，深刻理解有理数相关概念，掌握一定的有理数运算技能是数与代数学习的基础．有理数的运算不同于算术数的运算，这是因为有理数的运算每一步都要确定符号，有理数的运算很多是字母运算，也就是常说的符号演算．有理数运用常用的技巧与方法有：利用运算律，以符代数，恰当分组，裂项相消，分解相约，错位相减等．运算能力是运算技能与推理能力的结合，这就要要求我们技能正确的运算出结果，又能善于观察问题的结构特点，选择合理的运算路径，提高运算的速度．分清计算的顺序是学习本讲的关键，从心理上讲，要准确的计算，还应该克服“粗心大意”这种不良的心理品质.这种不良习惯，主要表现为审题不清，知识点不能及时回应等，其实粗心大意有时与习惯有关系，例如平时就喜欢丢三落四，所以同学们在纠正这种不良习惯时，一定要持之以恒，从小事做起，在计算中培养自己的细心习惯，形成良好的解题心理品质.1．有理数的加法法则（1）同号两数相加，取______的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取____________的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值；（3）互为相反数的两数相加，和为_____，一个数与零相加，仍得这个数．2．有理数减法法则减去一个数等于加上这个数的___________．用式子表示为a －b ＝a ＋(－b )．3．有理数的乘法法则（1）两数相乘，同号______，异号______，并把绝对值相乘；（2）任何数与0相乘，结果都得_____；（3）几个不为0的数相乘，负因数的个数是_______时，积是正数；负因数的个数是_______时，积是负数，即先确定符号，再把各因数的绝对值_______；（4）几个数相乘，如果其中一个因数是0，则积等于________．4．有理数的除法法则（1）除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的____________；（2）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；（3）0除以任何非0的数，都得0；二、基础能力测试〖一〗填空：1．计算：（1）(－15)＋(－32)＝____ （2）100＋(－99)＝____ （3）－6＋3＝________（4）－5＋5＝___________ （5）(－3)－(－5)＝____ （6）(＋3)－(－5)＝_____（7）(－3)－(＋5)＝______ （8）3－5＝___________（9）－9－(＋5)＋(＋3)－(－7)＋(－1)＝___________2．计算：（1）(－36)×2＝_________________ （2）(－1.2)×(－3)＝_____ （3）0×(－181)＝____ （4）(－5)×(－6)×3×(－2)＝____ (5)(－25)÷(－5)＝_______ （6）(－121)÷0.5＝____ （7）(187)÷(－87)＝_____________ （8）0÷(－10)＝_________ （9）(－53)×(－321)÷(－141)÷3＝_________3．计算：32＝_____，(－3)2＝_____，－32＝_____，23＝______，(－2)3＝_____，－23＝_____，1.54＝______，05＝______．若n 为正整数，则(－1)n ＝_______，若a ＞0，则a 2______0，a 3______0；若a ＜0，则a 2______0，a 3______0；若a 101＜0，则a ______0．4．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，p 比绝对值最小的有理数小1，则p 2012－cd ＋abcdb a +＋m 2＝_______． 5．有理数a ，b ，c 的大小关系如图所示，则说法中一定成立的是________．①a ＋b ＋c ＞0；②|a ＋b |＜c ；③|a －c |＝|a ＋c |；④|b －c |＞|c －a |．6．3(x －1)2＋2|y ＋2|＝0，则(x ＋y )2015＝_________．7．在数1，2，3，…，2009，2010，2011，2012前任意添加“＋”号或“－”号并依次计算，其可能得到的最小的非负数是____________． 8．定义一种新运算，规则是d b ca ＝ad －bc ，则4312＝__________．9．计算：(1－2011×2010－2010×2009)(2013＋2011×2010＋2010×2009)－(1－2013－2011×2010－2010×2009)(2011×2010＋2010×2009) ＝__________．〖二〗计算：有理数的混合运算，应注意以下运算顺序：①先算乘方，再算乘除，最后算加减；②同一级运算从左算到右；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．（1）(＋59.8)－(－52＋(－12.8)＋563； （2）[30－(97＋65－1211)×36]÷(－5)；（3）－12－36÷|－(－3)2|÷254×425； （4）4－(－2)2－32÷(－1)2001＋0×(－2)3．三、综合·提高·创新【巧算问题】【例1】※观察分组法计算：（1）20102009......87654321100999897......87654321-+++--++----+++--++--+．（2）21＋41＋43＋61＋63＋65＋…＋20141＋20143＋…＋20142013．【例2】※裂项相消法 计算：（1）1＋231＋3151＋4351＋5631＋6991．（2）21121+＋)311)(211(31++＋)411)(311)(211(41+++＋…＋)9911)...(311)(211(991+++．〖练〗（1）951⨯＋1391⨯＋17131⨯＋…＋1051011⨯．（2）—1＋211--＋3211---＋…＋1003211-⋯----．【例3】※分解相约法 计算：nn n n n n 53106253132642321⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯【例4】※巧用公式法计算：（1）1212-＋1412-＋…＋1201212-．（2）S ＝12－22＋32－42＋…＋992－1002＋1012，求S 被103除的余数．（3）2201320092013201120132010222-+（4）已知12＋22＋…＋n 2＝61n (n ＋1)(2n ＋1)． 求：①12＋22＋32＋...＋252；②102＋112＋122＋...＋252；③22＋42＋62＋ (502)常用公式： ()233321...21⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n ()()()21311......433221++=+++⨯+⨯+⨯n n n n n【数轴上的动点问题】【动点问题】※借助方程求解数轴上动点问题数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1讲 有理数的巧算
金牌导引
常用拆项公式：
(1)m+n mn =1m +1n ； (2)1n(n+1)=1n -1n+1
(3)m n(n+m)=1n -1n+m
； (4)2n(n+1)(n+2)=1n(n+1)-1(n+2)(n+1) 常用代数公式：
(1)完全平方公式：(a ±b)2=a 2±2ab+b 2； (2)平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)
(3)1+2+3+…+n=n(n+1)2
； (4)12+22+32+…+n 2=n(n+1)(2n+1)6 (5)13+23+33+…+n 3=(1+2+3+……n)2
【金牌例题1】
【陈老师指路】在乘除运算中，常把小数化成分数，把带分数化成假分数．
(1)[47-(18.75-1÷815)×2625
]÷0.46
(2)(-2)3×(-1)1998-12÷[-(-12)2](-1)÷（-45）×114
【金牌例题2】
(1)计算211×555+445×789+555×789+211×445(“分组求和”)
(2)已知S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n ，求S 的值。
【陈老师指路】任何相邻两项之和为“1”或“-1”，讨论n 的奇偶性．
原式＝-n 2或n 2
+1。
(3)在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？
【陈老师指路】每连续四个数分为一组，添括号得到“零”．
【金牌例题3】
(1)计算103×97×10009
【陈老师指路】两次运用平方差公式进行运算。
原式=99999919．
(2)计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．
【陈老师指路】在(2+1)前加一个(2-1)，再连续运用平方差公式．
原式=264-1．
(3)计算(1-1222)(1-12322)……(1-1292)(1-12
102) 【陈老师指路】运用平方差公式后，再分2组[加法]与[减法]单独相乘。
原式=1120
【金牌例题4】
(1)计算(12+13+14+…+12015)(1+12+13+14+…+12014)-(1+12+13+14+…+12015)(12+13+14+…+12014
) 【陈老师指路】设A=12+13+14+…+12014。
原式=12015
(2)计算24690123462-12345×12347
【陈老师指路】设n=12346，则分母n 2-(n-1)(n+1)．
原式=24690．
【金牌例题5】
(1)计算33+43+53+63+ (103)
【陈老师指路】套用公式，用[有借有还法]解题。
(2)计算1+5+52+53+…+599+5100的值．
【陈老师指路】这是等比数列，公比是5，故将原式扩大5倍。
设S=1+5+52+…+599+5100，
5S=5+52+53+…+5100+5101
5S-S=5101-1；S=5101-14 【金牌例题6】
(1)计算(31×5+35×9+39×13+……+32013×2017
) 【陈老师指路】用裂项法计算
31×5=(11-15)×34
原式=15122017
(2)计算221×3+322×4+423×5+524×6+…+201522014×2015
【陈老师指路】先化成带分数，再裂项计算。
(3)计算(712+334 -217-178)÷(1521+734-437-378
) 【陈老师指路】找到前后数之间的关系。
第1讲有理数巧算
1．计算下列各题
(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999 (2)1991×1999-1990×2000
(3) 1+2-3-4+5+6-7-8+…+2013+2014-2015-2016+2017
(4)4726342+4726352-472633×472635-472634×472636
(5)
51×6+56×11+511×16+…+5101×106 (6) 1+13+132+133+…+132015
(7)113-2712+3920-41130+51342-61556
(8)999×998998999-998×999999998
(9)(12+13+14+...+11999)(1+12+13+14+...+11998)-(1+12+13+14+...+11999)(+13+14+ (11998)
(10)32015+32014+32013+…+13+132+133+134
(11)(17727+27717-113739)÷(131217+81727
-5
3839
) 2．比较：S =12+24+38+416+…+n 2n (n 是正整数)与2的大小。
3．从2015里减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14
，……依次类推，一直减到余下的12015
，试求最后余下的数。
4．设S =21×3+223×5+235×7+…+2917×19，T =13+25+227+…+2819，则S -T 等
于 。
【想】
21×3=(21-23)×12=11-13，裂项后的算式与-T 组合即可。
5．计算112-256+3112-41920+5130-64142+7156-87172+9190
6．比较：S=12+24+38+416+…+n 2n (n 是正整数)与2的大小。
7．解方程
12[x -12 (x -1)]= 23
(x -1) y +12-y -36=5y +13
+6
45 [54
(x +2)-10]+1=0 0.2x +0.50.5-0.03+0.02x 0.03=x -52
最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。
方便更改。