幂函数及应用全部

学科教师辅导讲义

教学主任签字：学员编号：年级：高一课时数：2课时学员：浩翔辅导科目：数学学科教师：

授课日期及时段2017年2月11日

教学目标1、使学生理解和掌握幂函数的定义和性质以及函数的零点。

2、会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题。

重点难点会用幂函数的性质和函数的零点解决简单的问题

一、幂函数的定义

一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．

[化解疑难]

1．幂函数的特征

(1)以幂的底为自变量，指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数)；

(2)xα前的系数为1，且只有一项．

2．指数函数与幂函数的辨析

指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的底数a为常数，指数为自变量；幂函数y＝xα(α∈R)以幂的底为自变量，指数α为常数.

：在同一坐标系中，试作出幂函数y＝x，y＝x 1

2

，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的图象．

[化解疑难]

常见幂函数的图象与性质

解析式y＝x y＝x2y＝x3y＝1

x y＝x

1

2

图象

定义域 R R

R {x |x ≠0} [0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R

{y |y ≠0} [0，＋∞) 奇偶性

奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 非奇非偶函数

单调性

在(－∞，＋

∞)上单调递增

在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增

在(－∞，＋∞)上单调递增

在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减

在[0，＋∞)上单调递增

定点

(1,1)

[化解疑难]

幂函数的性质归纳

(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． (2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸； 当0<α<1时，幂函数的图象上凸．

(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．

[例1] (1)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫12x ；③y ＝4x 2；④y ＝x 5＋1；⑤y ＝(x －1)2；⑥y ＝x ；⑦y ＝a x (a >1)．其中幂函数的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

(2)已知幂函数y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3，求此幂函数的解析式，并指出定义域．

(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.

[答案] B

(2)[解] ∵y ＝(m 2－m －1)xm 2－2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.

当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x ≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x ≠0. 故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，(x ≠0)或y ＝x 0(x ≠0)． [类题通法]

判断一个函数是否为幂函数的方法

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．

[活学活用]

函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式． 解：根据幂函数的定义得

m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.

当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；

当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求． 故f (x )＝x 3.

已知α取－2，－12，1

2

，2

[例2] (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )

A ．－2，－12，1

2，2

B ．2，12，－1

2，－2

C ．－12，－2,2，12

D ．2，12，－2，－1

2

(2)如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限的图象，则( ) A ．－11 D ．n <－1，m >1

[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－1

2

>2－2，

故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－1

2

，－2.故选B.

(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

n <－1.

[答案] (1)B (2)B [类题通法]

解决幂函数图象问题应把握的两个原则

(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．