第一章集合与函数的概念

1.1.1集合的含义与表示1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象组成的整体叫做集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

例题：1）、设a,b 是非零实数，那么b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R插入概念记忆复习3、元素对于集合的隶属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写例如：下列各组对象能确定一个集合吗？（1）好心的人 （不确定）（2）1，2，2，3，4，5．（有重复）（二）集合的表示方法1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，1）由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：{ x ∈R| x>5}所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以x ∈R 或者x ∈Z 可以省略，只写其元素x 或者Z ； 如上式可表达为{ x | x>5}3、何时用列举法？何时用描述法？ ⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出 来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例题：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集。

（三） 有限集与无限集1、 有限集：含有有限个元素的集合2、 无限集：含有无限个元素的集合3、 空集：不含任何元素的集合}01|{2=+∈x R x 例题:1、重难点手册P6，易错误区：例13、例14、例152、重难点手册P8 高考真题分类：例33、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____ 时，解集是无限集。

由ax+b=0得ax=-b ；当a≠0时方程的解为x=-b/a ，解集为有限集；当a=0,b≠0时方程无解，即解集为空集；当a=0且b=0时方程的解集为全体实数，即解集为无限集。

1.1.2集合间的基本关系（一） 集合与集合之间的“包含”关系；A={1，2，3}，B={1，2，3，4}集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ⊇⊆或读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A用)(A B B A ⊇⊆或（二）集合与集合之间的 “相等”关系；A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=AB B A B A （三）真子集的概念若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作： A B （或B A ）读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）举例（由学生举例，共同辨析）例如： {0,1}____N（四）空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）几个重要的结论：（1） 空集是任何集合的子集；（2） 空集是任何非空集合的真子集；（3） 任何一个集合是它本身的子集；（4） 对于集合A ，B ，C ，如果，B A ⊆，且C B ⊆，那么C A ⊆。

说明:1． 注意集合与元素是"属于""不属于"的关系，集合与集合是"包含于""不 包含于"的关系；2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题：写出集合{a ，b ， c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（六）小结1．概念：子集、集合相等、真子集2. 用Venn 图表达集合间的关系3. 元素与子集 、属于与包含之间的区别4. 几个重要的结论例题：重难点手册P14：例11、例12、例13、例14、例151.1.3集合的基本运算1. 并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）记作：A ∪B 读作：“A 并B ”即： A ∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}Venn说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。

A ∪B B A例题（P8-9 例4、例5及教辅资料重难点手册P18 例2)说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。

问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。

2. 交集一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。

记作：A ∩B 读作：“A 交B ”即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B}交集的Venn 图表示说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。

例题（P9-10 例6、例7及教辅资料重难点手册P19例5）拓展：求下列各图中集合A 与B说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集3.全集与补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。

补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集。

即：C U A={x | x ∈U 且x ∈A}补集的Venn 图表示A说明：补集的概念必须要有全集的限制例题（P11例8、例9及教辅资料重难点手册P20 例8）4.求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5.集合基本运算的一些结论：着重分析，课画图说明A∩B⊆A，A∩B⊆B，A∩A=A，A∩∅=∅,A∩B=B∩AA⊆A∪B，B⊆A∪B，A∪A=A，A∪∅=A,A∪B=B∪A（CU A）∪A=U，（CUA）∩A=∅若A∩B=A，则A⊆B，反之也成立若A∪B=B，则A⊆B，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B例题：教辅资料重难点手册P25易错误区：例19、例20、例21P28高考真题：例10§1.2.1函数的概念教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数；教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示；（一）函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．记作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．注意：○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域3．区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示。

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论（由学生完成，师生共同分析讲评）（二）典型例题1．求函数定义域课本P17例1解：（略）说明：○1函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例；○2如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；○3函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式。

巩固练习：课本P19第1题2．判断两个函数是否为同一函数课本P18例2解：（略）说明：○1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）○2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。

巩固练习：○1课本P19第2题○2判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？（1）f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1（2）f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2（4）f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x3. 映射复习初中已经遇到过的对应：○1对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；○2对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；○3某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；（1）什么叫做映射？一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“f：A→B”说明：1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。