第一章集合与函数的概念

1.1.1集合的含义与表示

1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象组成的整体叫做集合（简称集）。

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

例题：1）、设a,b 是非零实数，那么

b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N +

{} ,3,2,1*=N

（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,

{}整数与分数=Q

（5）实数集：全体实数的集合记作R

{}数数轴上所有点所对应的=R

插入概念记忆复习

3、元素对于集合的隶属关系

（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉

4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

5、⑴集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……

⑵“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写

例如：下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）好心的人 （不确定）

（2）1，2，2，3，4，5．（有重复）

（二）集合的表示方法

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

例如，1）由方程012

=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只 有一个元素 2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条 件写在大括号内表示集合的方法

格式：{x ∈A| P （x ）}

含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合

例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：{ x ∈R| x>5}

所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x

注：（1）在不致混淆的情况下，可以x ∈R 或者x ∈Z 可以省略，只写其元素x 或者Z ； 如上式可表达为{ x | x>5}

3、何时用列举法？何时用描述法？ ⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法

如：集合},5,23,{2

232y x x y x x +-+

⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出 来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}

例题：集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12

+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12

+=x y 的所有函数值构成的数集。

（三） 有限集与无限集

1、 有限集：含有有限个元素的集合

2、 无限集：含有无限个元素的集合

3、 空集：不含任何元素的集合}01|{2

=+∈x R x 例题:

1、重难点手册P6，易错误区：例13、例14、例15

2、重难点手册P8 高考真题分类：例3

3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____ 时，解集是无限集。

由ax+b=0得ax=-b ；

当a≠0时方程的解为x=-b/a ，解集为有限集；

当a=0,b≠0时方程无解，即解集为空集；

当a=0且b=0时方程的解集为全体实数，即解集为无限集。

1.1.2集合间的基本关系

（一） 集合与集合之间的“包含”关系；

A={1，2，3}，B={1，2，3，4}

集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ；

如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含

关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：)(A B B A ⊇⊆或

读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A

用

)(A B B A ⊇⊆或

（二）集合与集合之间的 “相等”关系；

A B B A ⊆⊆且，则B A =中的元素是一样的，因此B A =

即 ⎩⎨⎧⊆⊆⇔=A

B B A B A （三）真子集的概念

若集合B A ⊆，存在元素A x B x ∉∈且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。

记作： A B （或B A ）

读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

举例（由学生举例，共同辨析）例如： {0,1}____N

（四）空集定义：

不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：∅

规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

（五）几个重要的结论：

（1） 空集是任何集合的子集；

（2） 空集是任何非空集合的真子集；

（3） 任何一个集合是它本身的子集；

（4） 对于集合A ，B ，C ，如果，B A ⊆，且C B ⊆，那么C A ⊆。

说明:

1． 注意集合与元素是"属于""不属于"的关系，集合与集合是"包含于""不 包含于"的关系；

2． 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题：

写出集合{a ，b ， c}的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。

（六）小结

1．概念：子集、集合相等、真子集

2. 用Venn 图表达集合间的关系

3. 元素与子集 、属于与包含之间的区别

4. 几个重要的结论

例题：重难点手册P14：例11、例12、例13、例14、例15

1.1.3集合的基本运算

1. 并集

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ）

记作：A ∪B 读作：“A 并B ”

即： A ∪B={x | x ∈A ，或x ∈B}

Venn

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 A ∪B B A