常用统计量与计算方法
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x Md= (n1) / 2
2、当观测值个数为 偶 数 时 ， n/2和
（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为
中位数，即： xn / 2 x(n / 21) Md 2
（3-4）
16
B. 分组资料的计算
分组资料，则可利用频数分布表来计算中位数， 其计算公式为：
in Md L ( c)
注： 小样本的自由度为n-1
x x 2
n 1
n 30
35
标准差的计算方法
上述计算方法需先求出平均数（一般为约数），容易 引起计算误差，因此采用原始数据进行计算 (书P20)
大样本： S x 2 x 2 / n
n
小样本： S x 2 x 2 / n
n -1
为简化计算过程，若试验观测数值较大（小）时，可将各观测值
f1 f2 fn
f
fi： 各观察值在平均数中的权数 x：是不同比值的观察值
例: 评判总成绩：期中30% 76 分， 期末70% 82分
x 79（分）
76 0.3 82 0.7
xr
80.2（分）
0.3 0.7
8
例： 书P18 例2.3 求平均株高
株高x
次数f
fx
79
1
79
80
2
160
（二）中位数 (median) (简写 Md)
Md
一组依大小排列的观察值中，居于中间位置的观测数 称为中位数或中数。
（一）未分组资料 中位数的计算方法 （二）已分组资料 中位数的计算方法
15
A. 不分组资料 （观测数据个数较少时)的计算： P17 1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2
位置的观测值，即x(n+1)/2为中位数：
R大（小）
变异度大（小）
24
极差（全距）
优点：简单明了，应用广泛，如用于说明传染病 、 食物中毒等的最短、最长潜伏期等。
缺点： a.除MAX和MIN外,不能反映组内其它数据变异度。 b.极差抽样误差大,受两个极端值影响, 不够稳定，
例3：甲：2 4 6 8 10 乙：2 6 6 6 10
x 6 R均为8
c (小于频数最多所在组的累加频数)= 7+ 17+ 28 = 52
Md = 55 + 5/40 ×(150/2 - 52) = 57.875 cm
优点： 对于观测值较多的大量数据，不需要手动去找处于中间位置的数据
22
优点： 对于观测值较多的大量数据，不需要手动去找处于中间位置的数据
例: 表2-6中，频数最多的一组为 55～60 cm (出现
31
3、自由度 df (degree of freedom)
——当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本 中能自由变化的数据的个数
一个样本有n个观察值，就有n个离均差（x-x），但
受到 x x 0 的限制，只有n-1个可以自由变动。
32
为什么只有n-1个可以自由变动？ (书 P20)
原因：虽有n个离均差，但只有n-1个是能自由变动的。
例2：求0.56 0.24 0.76 0.48的均数 各数×100 得 56 24 76 48 均数为51 ÷100= 0.51
11
（2）算术平均数的性质
A. 各观察值的总和等于平均数的N倍
x
x
x Nx
N
B. 离均差（各观察值与平均数之差）的总和等于零
x x 0
证明： x x x1 x x2 x xn x
则样本平均数可通过下式计算：
n
xi
x x1 x2 xn i1
n
n
n
其中，Σ为总和符号；
xi
i1
表示从第一个观测
值x1累加到第n个观测值xn。当 n在意义上已明确
时，可简写为Σx，上式可改写为：
x
x
6
n
B、加权平均法 ( 又称 频数分布表法)
对于样本含量 n>30 以上且已分组的资料，可以在次 数分布表的基础上，采用加权法计算平均数，计算公式为：
27
为了解决离均差有正 、有负，离均差之 和为零的问 题 ，
可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即Σ|x x|/n, 简称平 均差
28
（二）平均差
各观察值与平均数离差的绝对值的算术平均数
xx
AD N
若为计数资料，不分组，且Σf＝n，此时直接用自然值
乘以次数来计算，即 x ＝Σfx/n。
第i组的次数fi是 权衡第i个自然值xi在资料中所占比重 大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权数”，加权法也由此而 得名。
7
2. 加权平均数 (weighted mean)
——不同比重数据的平均数
x f1x1 f2x2 fn xn fixi
例如：9、10、11，平均数为10。其中有2个数可以自由变动为12、
15，则第3个数只能是3，不能是其它值。（否则无法
使 x x 0 ）
此样本有3个观察值，自由度是2。 大样本因为n和n-1相差甚微可不用自由度，直接用n计算 如果统计量受k个条件限制，则自由度应为（n-k）个
33
在方差的计算中离均差经平方后，原有的单位也给平方了， 如身高（cm）成为（cm）2，原来的变异度也被扩大了。
总体：SS x 2
2
样本： SS x x
30
2、方差
方差——为消除样本容量n带来的影响，用平方和除以样 本容量所得均数，又称为平均平方和(均方)，记为S2.
总 体： 2 x 2
N
2
大样本：S2 x x
n
2
小样本：S2 x x n 30
n -1
（n-1为自由度）
（一）平均数 （average） ——是资料变数的中心位置比较确切的代表数
只有频数分布具有集中于中心点附近这一趋势的基本条件，才具代表性
例：4，196，1000的平均数400就没有代表性
3
平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean）
代入公式（3—5）得：
Md
L
i
n
15 68
( c) 57 ( 16) 70.5
(天)
f2
20 2
即间隔时间的中位数为70.5天。
L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数
n — 总频数（即总次数）
c — 小于频数最多所在组的累加频数
19
（三）众数 (mode) M0 (书 P17)
fx
f1 f2 fk
k
fi
f
i 1
式中：
xi — 第i组的组中值；
fi — 第i组的次数；
k — 分组数
10
C. 简捷法 (为便于计算) (书 P17)
各观察值同时扩大或缩小（+、-、×、÷某一常数 后），求出均数后再还原。
例1：求 514 526 496 480 的均数 各数-500 得 14 26 -4 -20 均数为4+500 =504
都减去或加上一个常数，所得S不变。
36
二、变异数
对于样本，标准差的两种计算方式
S=
(x-x ) 2
n-1
S=
x 2 －（ x ）2
n
n-1
书P21
例2.4 表2-8 9名男子前臂长（cm)标准差计算
前臂长
x2
x’=x-45
了40次）, 因此组中值 M0为57.5 cm
23
二、 变异量
(书 P19)
表示一组数据分散或离中趋势的量
例：两组数据 甲 20 40 60 x 40
乙 39 40 41 x 40
若用平 均数
看不出 变异度
R= 40 R= 2
（一）极差（全距）（Range）
R = 最大值（Max）— 最小值（Min）
4
上一张下一张主 页 退 出
1. 算术平均数（Arithmetic Mean） x
全部观察数的总和除以总频数所得的商，简称均数（mean）
（1）计算方法 (书 P16)
A. 公式法
x x1 x 2 x n x
n
n
适用于不分组的小样本资料
5
注意：准确定义
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
26
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求 出各个观测值与平均数的离差，（x x） ，称为 离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即Σx（ x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ（x x ）来 表 示 资料中所有观 测值的总偏离程度。
平均差是一个很直观的变异量度，但由于用了绝对 值，在数学上不便于继续处理,使它在应用上受到很 大的限制。
29
（三） 方差的概念 (variance)
(书 P19)
由于离均差 x x 0 ，不能反映样本的总体变异程度。
因此，采用离均差的平方和衡量总体的变异程度
1、平方和——各个离均差平方的总和 SS （Sum of squares）
x1 x2 xn nx
x nx
0
x
n
x
12
C. 离均差的平方和比 各观察值与任何其 它数值的差数的平 方和都小。
x x 2 x a2(a x)
证明： x a 2 x x x a 2
x x x a2
x
2
x
2x
xx
a
x
2
a
x x2 2 x xx a x a2
资料中出现频数最多的那个观测值（未分组资料） 或频数最多一组的组中值（分组资料）， 称为众数，以M0表示。
复习 （第2章）：
组中值（中点值）：Xc(每组上下限的中点值）
上限+下限
Xc=
=下限＋1/2 组距＝上限－1/2 组距
2
20
课堂练习
对于 P14 表2-6 150尾鱼体长的数据 请计算 (1) 中位数 Md
f2
式中： L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数 n — 总频数 c — 小于频数最多所在组的累加频数
17
【例】 某养牛场68头牛从打疫苗到获得免疫性的间隔 时间 整理成次数分布表如表 3—2 所示，求中位数。
次数分布表
18
可见：i=15，n=68，因而中位数只能在累加头数为36所对应 的“57—71”这一组，于是可确定L=57，f=20，c=16，
原来的 变异度 扩大的 变异度
如何恢复到原来状态 ？
34
（四）标准差(standard deviation) Sd
——方差的平方根
(书P20)
为了和原始数据的大小和单位相适应，采用方差 的开方－标准差，以更好地描述样本的变异程度
总 体： x u2
N
2
大样本： S x x
n
小样本： S
乙组的变异明显低于甲组， R 不能反映 组内其它数据的 变异度 25
二、变异数
缺点
c. 样本较大时, 抽到较大值与较小值的可能性也较大， 因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不宜用 极差来比较分布的离散度。
当资料很多，而又要迅速对资料的变异程度作出判断 用途 时，有时可先利用极差判断。
总结：通常只用于资料的粗略分析和小样本数据。
81
3
243
82
6
492
83
3
249
84
3
252
85
1
85
86
1
86
1
x ＝ 20 ×（79 × 1 + 80×2 +… +86 ＝82.3(cm)
×1）
9
注：本公式与P18 式2.5(适合未分组资料）不同
若为分组资料，则用每组组中值乘以该组次数之和再除 以总次数来计算：
k
x f1x1 f2x2 fk xk i1 fi xi
x x 2 x a2
2
x a x a 0
∴左式<右式
13
3. 几何平均数
书 P17
n个观测值的乘积开n次方所得的数据，用G表示
1
G n x1 x2 x3 xn (x1 x2 x3 xn ) n
适应于变量x为对数正态分布，可通过对数转换后 呈正态分布的资料
14
(书 P17)
(2) 众数 M0
1. 作在课堂练习本上 2. 规范格式 (参见前一页 PPT )
21
中位数 Md 计算 150 尾鱼体长是分组资料，采取 第2种方法
L(频数最多所在组的下限) = 55 i（即组距, 全距/组数）=5 f (频数最多所在组的次数) = 40
in Md L 来自百度文库( c)
f2
n (总次数)=150
第三章
常用统计量与计算方法
1
集中性
平均数
算中众 术位数 平数 均 数
几调 何和 平平 均均 数数
离散性
变异数 极方标 变 差差准 异
差系 数
2
第三章 常用统计量与计算方法
一、集中量
集中量 ——代表一组数据集中趋势的数量
作用： 1、作为一组数据的代表值，可说明数据集中趋势的情况 2、可以进行组间比较
2、当观测值个数为 偶 数 时 ， n/2和
（n/2+1）位置的两个观测值之和的1/2为
中位数，即： xn / 2 x(n / 21) Md 2
（3-4）
16
B. 分组资料的计算
分组资料，则可利用频数分布表来计算中位数， 其计算公式为：
in Md L ( c)
注： 小样本的自由度为n-1
x x 2
n 1
n 30
35
标准差的计算方法
上述计算方法需先求出平均数（一般为约数），容易 引起计算误差，因此采用原始数据进行计算 (书P20)
大样本： S x 2 x 2 / n
n
小样本： S x 2 x 2 / n
n -1
为简化计算过程，若试验观测数值较大（小）时，可将各观测值
f1 f2 fn
f
fi： 各观察值在平均数中的权数 x：是不同比值的观察值
例: 评判总成绩：期中30% 76 分， 期末70% 82分
x 79（分）
76 0.3 82 0.7
xr
80.2（分）
0.3 0.7
8
例： 书P18 例2.3 求平均株高
株高x
次数f
fx
79
1
79
80
2
160
（二）中位数 (median) (简写 Md)
Md
一组依大小排列的观察值中，居于中间位置的观测数 称为中位数或中数。
（一）未分组资料 中位数的计算方法 （二）已分组资料 中位数的计算方法
15
A. 不分组资料 （观测数据个数较少时)的计算： P17 1、当观测值个数n为奇数时，(n+1)/2
位置的观测值，即x(n+1)/2为中位数：
R大（小）
变异度大（小）
24
极差（全距）
优点：简单明了，应用广泛，如用于说明传染病 、 食物中毒等的最短、最长潜伏期等。
缺点： a.除MAX和MIN外,不能反映组内其它数据变异度。 b.极差抽样误差大,受两个极端值影响, 不够稳定，
例3：甲：2 4 6 8 10 乙：2 6 6 6 10
x 6 R均为8
c (小于频数最多所在组的累加频数)= 7+ 17+ 28 = 52
Md = 55 + 5/40 ×(150/2 - 52) = 57.875 cm
优点： 对于观测值较多的大量数据，不需要手动去找处于中间位置的数据
22
优点： 对于观测值较多的大量数据，不需要手动去找处于中间位置的数据
例: 表2-6中，频数最多的一组为 55～60 cm (出现
31
3、自由度 df (degree of freedom)
——当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本 中能自由变化的数据的个数
一个样本有n个观察值，就有n个离均差（x-x），但
受到 x x 0 的限制，只有n-1个可以自由变动。
32
为什么只有n-1个可以自由变动？ (书 P20)
原因：虽有n个离均差，但只有n-1个是能自由变动的。
例2：求0.56 0.24 0.76 0.48的均数 各数×100 得 56 24 76 48 均数为51 ÷100= 0.51
11
（2）算术平均数的性质
A. 各观察值的总和等于平均数的N倍
x
x
x Nx
N
B. 离均差（各观察值与平均数之差）的总和等于零
x x 0
证明： x x x1 x x2 x xn x
则样本平均数可通过下式计算：
n
xi
x x1 x2 xn i1
n
n
n
其中，Σ为总和符号；
xi
i1
表示从第一个观测
值x1累加到第n个观测值xn。当 n在意义上已明确
时，可简写为Σx，上式可改写为：
x
x
6
n
B、加权平均法 ( 又称 频数分布表法)
对于样本含量 n>30 以上且已分组的资料，可以在次 数分布表的基础上，采用加权法计算平均数，计算公式为：
27
为了解决离均差有正 、有负，离均差之 和为零的问 题 ，
可先求 离 均 差的绝 对 值 并 将 各 离 均 差 绝对 值 之 和 除以 观 测 值 个 数 n 求 得 平 均 绝 对 离差，即Σ|x x|/n, 简称平 均差
28
（二）平均差
各观察值与平均数离差的绝对值的算术平均数
xx
AD N
若为计数资料，不分组，且Σf＝n，此时直接用自然值
乘以次数来计算，即 x ＝Σfx/n。
第i组的次数fi是 权衡第i个自然值xi在资料中所占比重 大小的数量，因此将fi 称为是xi的“权数”，加权法也由此而 得名。
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2. 加权平均数 (weighted mean)
——不同比重数据的平均数
x f1x1 f2x2 fn xn fixi
例如：9、10、11，平均数为10。其中有2个数可以自由变动为12、
15，则第3个数只能是3，不能是其它值。（否则无法
使 x x 0 ）
此样本有3个观察值，自由度是2。 大样本因为n和n-1相差甚微可不用自由度，直接用n计算 如果统计量受k个条件限制，则自由度应为（n-k）个
33
在方差的计算中离均差经平方后，原有的单位也给平方了， 如身高（cm）成为（cm）2，原来的变异度也被扩大了。
总体：SS x 2
2
样本： SS x x
30
2、方差
方差——为消除样本容量n带来的影响，用平方和除以样 本容量所得均数，又称为平均平方和(均方)，记为S2.
总 体： 2 x 2
N
2
大样本：S2 x x
n
2
小样本：S2 x x n 30
n -1
（n-1为自由度）
（一）平均数 （average） ——是资料变数的中心位置比较确切的代表数
只有频数分布具有集中于中心点附近这一趋势的基本条件，才具代表性
例：4，196，1000的平均数400就没有代表性
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平均数是统计学中最常用的统计量，用来表明 资料中各观测值相对集中较多的中心位置。平均数 主要包括有：
算术平均数（arithmetic mean） 中位数（median） 众数（mode） 几何平均数（geometric mean） 调和平均数（harmonic mean）
代入公式（3—5）得：
Md
L
i
n
15 68
( c) 57 ( 16) 70.5
(天)
f2
20 2
即间隔时间的中位数为70.5天。
L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数
n — 总频数（即总次数）
c — 小于频数最多所在组的累加频数
19
（三）众数 (mode) M0 (书 P17)
fx
f1 f2 fk
k
fi
f
i 1
式中：
xi — 第i组的组中值；
fi — 第i组的次数；
k — 分组数
10
C. 简捷法 (为便于计算) (书 P17)
各观察值同时扩大或缩小（+、-、×、÷某一常数 后），求出均数后再还原。
例1：求 514 526 496 480 的均数 各数-500 得 14 26 -4 -20 均数为4+500 =504
都减去或加上一个常数，所得S不变。
36
二、变异数
对于样本，标准差的两种计算方式
S=
(x-x ) 2
n-1
S=
x 2 －（ x ）2
n
n-1
书P21
例2.4 表2-8 9名男子前臂长（cm)标准差计算
前臂长
x2
x’=x-45
了40次）, 因此组中值 M0为57.5 cm
23
二、 变异量
(书 P19)
表示一组数据分散或离中趋势的量
例：两组数据 甲 20 40 60 x 40
乙 39 40 41 x 40
若用平 均数
看不出 变异度
R= 40 R= 2
（一）极差（全距）（Range）
R = 最大值（Max）— 最小值（Min）
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上一张下一张主 页 退 出
1. 算术平均数（Arithmetic Mean） x
全部观察数的总和除以总频数所得的商，简称均数（mean）
（1）计算方法 (书 P16)
A. 公式法
x x1 x 2 x n x
n
n
适用于不分组的小样本资料
5
注意：准确定义
设某一资料包含n个观测值： x1、x2、…、xn，
26
为 了 准 确 地 表示样本内各个观测值的变异 程度 ，人们 首 先会考虑到以平均数为标准，求 出各个观测值与平均数的离差，（x x） ，称为 离均差。
虽然离均差能表示一个观测值偏离平均数的 性质和程度，但因为离均差有正、有负 ，离均 差之和 为零，即Σx（ x ） = 0 ，因 而 不 能 用离均差之和Σ（x x ）来 表 示 资料中所有观 测值的总偏离程度。
平均差是一个很直观的变异量度，但由于用了绝对 值，在数学上不便于继续处理,使它在应用上受到很 大的限制。
29
（三） 方差的概念 (variance)
(书 P19)
由于离均差 x x 0 ，不能反映样本的总体变异程度。
因此，采用离均差的平方和衡量总体的变异程度
1、平方和——各个离均差平方的总和 SS （Sum of squares）
x1 x2 xn nx
x nx
0
x
n
x
12
C. 离均差的平方和比 各观察值与任何其 它数值的差数的平 方和都小。
x x 2 x a2(a x)
证明： x a 2 x x x a 2
x x x a2
x
2
x
2x
xx
a
x
2
a
x x2 2 x xx a x a2
资料中出现频数最多的那个观测值（未分组资料） 或频数最多一组的组中值（分组资料）， 称为众数，以M0表示。
复习 （第2章）：
组中值（中点值）：Xc(每组上下限的中点值）
上限+下限
Xc=
=下限＋1/2 组距＝上限－1/2 组距
2
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课堂练习
对于 P14 表2-6 150尾鱼体长的数据 请计算 (1) 中位数 Md
f2
式中： L — 频数最多所在组的下限
i — 组距 （即全距/组数）
f — 频数最多所在组的频数 n — 总频数 c — 小于频数最多所在组的累加频数
17
【例】 某养牛场68头牛从打疫苗到获得免疫性的间隔 时间 整理成次数分布表如表 3—2 所示，求中位数。
次数分布表
18
可见：i=15，n=68，因而中位数只能在累加头数为36所对应 的“57—71”这一组，于是可确定L=57，f=20，c=16，
原来的 变异度 扩大的 变异度
如何恢复到原来状态 ？
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（四）标准差(standard deviation) Sd
——方差的平方根
(书P20)
为了和原始数据的大小和单位相适应，采用方差 的开方－标准差，以更好地描述样本的变异程度
总 体： x u2
N
2
大样本： S x x
n
小样本： S
乙组的变异明显低于甲组， R 不能反映 组内其它数据的 变异度 25
二、变异数
缺点
c. 样本较大时, 抽到较大值与较小值的可能性也较大， 因而样本极差也较大，故样本含量相差较大时，不宜用 极差来比较分布的离散度。
当资料很多，而又要迅速对资料的变异程度作出判断 用途 时，有时可先利用极差判断。
总结：通常只用于资料的粗略分析和小样本数据。
81
3
243
82
6
492
83
3
249
84
3
252
85
1
85
86
1
86
1
x ＝ 20 ×（79 × 1 + 80×2 +… +86 ＝82.3(cm)
×1）
9
注：本公式与P18 式2.5(适合未分组资料）不同
若为分组资料，则用每组组中值乘以该组次数之和再除 以总次数来计算：
k
x f1x1 f2x2 fk xk i1 fi xi
x x 2 x a2
2
x a x a 0
∴左式<右式
13
3. 几何平均数
书 P17
n个观测值的乘积开n次方所得的数据，用G表示
1
G n x1 x2 x3 xn (x1 x2 x3 xn ) n
适应于变量x为对数正态分布，可通过对数转换后 呈正态分布的资料
14
(书 P17)
(2) 众数 M0
1. 作在课堂练习本上 2. 规范格式 (参见前一页 PPT )
21
中位数 Md 计算 150 尾鱼体长是分组资料，采取 第2种方法
L(频数最多所在组的下限) = 55 i（即组距, 全距/组数）=5 f (频数最多所在组的次数) = 40
in Md L 来自百度文库( c)
f2
n (总次数)=150
第三章
常用统计量与计算方法
1
集中性
平均数
算中众 术位数 平数 均 数
几调 何和 平平 均均 数数
离散性
变异数 极方标 变 差差准 异
差系 数
2
第三章 常用统计量与计算方法
一、集中量
集中量 ——代表一组数据集中趋势的数量
作用： 1、作为一组数据的代表值，可说明数据集中趋势的情况 2、可以进行组间比较