最佳平方逼近多项式课件

最佳平方逼近多项式
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§5.2 最佳平方逼近多项式
• 本节内容
1.内积空间 2.两类特殊的函数族 3.函数的最佳平方逼近 4.举例 5.MATLAB程序实现
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1.内积空间
权函数：考虑到 f ( x )在区间[a,b]上各点的函数
值比重不同,常引进加权形式的定义，设在区
间[a,b]上的非负函数 ( x ) 满足条件：
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1.内积空间
内积空间：满足内积定义的函数空间称为内积 空间。如在连续函数空间C [ a , b ] 上定义了内积 就形成了一个内积空间。
向量的模：在n维欧氏空间R n 中，内积就是两
向量的数量积，即 n (x, y)xTy xkyk k1
向量的模（范数)的定义为：
n
1
f (x,x)( 2
n
aj(k,j)(f,k)0(k0,1,L,n)
j0
n
即
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
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3.函数的最佳平方逼近
n
(k,j)aj (f,k) (k0,1,L,n)
j0
上式是关于a0,a1,L ,an的线性方程组，称
为法方程。用矩阵形式可表示为
(0,0) (1,0)
M
(0,1) L (1,1) L
M
(0,n1)a0 (f,0) (1,n1) a1(f,1)
M M M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)an (f,n)
简记为Ha d。其中 a(a0,a1,L,an)T,
d ( d 0 ,d 1 ,L ,d n ) T ,d k ( f,k )( k 0 ,1 ,2 ,L ,n )
线性无关：若函数 0(x) ,1(x),,n 1(x)在区间[a,b]
上连续，如果
a 0 0 ( x ) a 1 1 ( x ) a 2 2 ( x ) a n 1 n 1 ( x ) 0
当且仅当 a0a1Lan10时成立，则称
0(x) ,1(x),,n 1(x)在[a,b]上是线性无关的。
b
I(a 0,a 1,,a n)a

n
(x) [aj j(x)f(x)]2dx
j 0
的最小值。令 I 0(k0,1,L,n), 则
ak
a I k 2 a b( x ) [j n 0 a j j( x ) f( x ) ]k ( x ) d x 0( k 0 ,1 ,L ,n )
引入内积定义，可得
满足关系
(j,k)a b(x)j(x)k(x)dx 0 A ,k0,jj k k
则称 ( x ) 是[a,b]上带权 ( x ) 的正交函数族；
若 A k 1，则称为标准正交函数族。
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2.两类特殊的函数族
可以证明，三角函数族 1 ,cosx,sinx,cos2x,sin2x,L 满足上述条件，是在[ , ] 上的正交函数族。
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2.两类特殊的函数族
线性无关函数族：若函数族 k(x)(k0,1 ,2,)
中的任何有限个 k 线性无关，则称 k 为线性
无关函数族。
充要条件：0(x),1(x),,n1(x)在[a,b]上线性无关
的充要条件是它的Gramer行列式 Gn1 0，其中
(0,0) (0,1) L (0,n1)
1）ab|x|n(x)(n0,1,L)存在；
2）对非负的连续函数 g
(x)
，若
bg(x)(x)dx0, a
则在[a,b]上，g(x) 0，即 ( x ) 不恒为0。
就称 ( x )为[a,b]上的权函数。它的物理意 义可以解释为密度函数。
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1.内积空间
内积：设 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )是[a,b]上的权
令f(x)s*(x)，则平方误差
2
2
2
2
行四边形定律。
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2.两类特殊的函数族
正交：若 f(x ),g (x ) C [a ,b ],(x )为[a,b]上的权
函数且满足
(f,g)b(x)f(x)g(x)dx0 a
则称 f ( x )与g ( x )在[a,b]上带权正交。
正交函数族：若函数族 0 (x ),1 (x ),, n(x ),
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3.函数的最佳平方逼近
由于0,1,,n线性无关，故其系数矩阵H的
行列式非奇异，即 G (0,1,,n)0，该法方程有
唯一解为
a ka k * (k0 ,1 ,2 ,L,n)
则最佳平方逼近函数为
s * (x ) a 0 *0 (x ) a 1 *1 (x ) a n *n (x )
Gn1G(0,1,L,n1)
(1,0)
M
(1,1) L (1,n1)
M
M
(n1,0) (n1,1) L (n1,n1)
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3.函数的最佳平方逼近
最佳平方逼近函数：对于 f(x)C[a,b]及C [ a , b ]中的
一个子集 S pan{0,1,L,n},若存在 s(x)
使下式成立:
f s2 in ff s(x )2 in fb(x )[f(x ) s(x )]2 d x
2 s
2 s a
则称 s ( x ) 是 f ( x ) 在子集C[a,b]中的最佳平方
逼近函数，其中 k 是一组线性无关函数族，函
数 s ( x ) a 00 ( x ) a 11 ( x ) L a nn ( x ) 。
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3.函数的最佳平方逼近
对函数s*(x)的求解：等价于求以下多元函数
fk2)2
k1
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1.内积空间
欧式范数：若 f(x)C[a,b],则量
f (f,f) bf2(x)dx
2
a
称为f ( x )的欧式范数。
对任何 f,gC[a,b],有以下结论：
（1）(f,g)f
2
g2，又称柯西-施瓦茨不等式；
（2）fg f g，又称三角不等式；
2
2
2
（3）f g2f g2 2 (f 2g2 )，又称平
函数，则称积(分f,g)ab(x)f(x)g(x)dx
为函数 f ( x )与g ( x )在[a,b]上的内积,有下列性质：
1）(f,g)(g,f); 2）(C f,g)C (f,g),C为常数; 3）(f1 f2 ,g ) (f1 ,g ) (f2 ,g ); 4）( f , f ) 0, 当且仅当f 0 时，(f , f )0。