高中数学必修一精讲精练
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1
1.2 集合间的关系(精练)【题组一 集合间的关系】1．(2021·浙江高一期末)下列表述正确的是( ) A ．{},x x y ⊆ B ．{}{},x x y ∈C ．{}{},,x y y x ⊆D ．0φ∈【答案】C【解析】对于A ：{},x x y ∈，故A 错误；对于B ：{}{},x x y ，故B 错误；对于C ：{}{},,x y y x =，故满足{}{},,x y y x ⊆，故C 正确；对于D ：0∉∅，故D 错误；故选：C 2．(多选)(2021·三亚华侨学校高一开学考试)下列选项正确的是( )A RB ．Z Q ∈C ．0∈∅D ．{0}∅⊆【答案】AD【解析】A R ，故正确； B ．因为,Z Q 都是集合，所以不能用∈表示两者关系，故错误； C ．因为∅不包含任何元素，所以0∉∅，故错误； D ．因为空集是任何集合的子集，所以{0}∅⊆，故正确； 故选：AD.3．(多选)(2021·全国高一单元测试)下列四个选项中正确的是( ) A ．{}{},a b ∅⊆ B ．(){}{},,=a b a b C ．{}{},,a b b a ⊆ D ．{}0∅⊆【答案】CD【解析】对于A 选项，集合{}∅的元素是∅，集合{},a b 的元素是,a b ，故没有包含关系，A 选项错误.对于B 选项，集合(){},a b 的元素是点的坐标，集合{},a b 的元素是,a b ，故两个集合不相等，B 选项错误.对于C 选项，两个集合是相等的集合，故C 选项正确.对于D 选项，空集是任何集合的子集，故D 选项正确. 故选CD.4．(2021·全国高一课时练习)(多选题)下列关系中，正确的有 A ．{}0∅B ．13Q ∈C ．Q Z ⊆D ．{}0∅∈【答案】AB【解析】选项A:由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的； 选项B:13是有理数，故13Q ∈是正确的； 选项C:所有的整数都是有理数，故有Z Q ⊆，所以本选项是不正确的； 选项D; 由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，故本题选AB.5．(2021·安徽省舒城中学高一开学考试)如果集合S ＝{x |x ＝3n +1，n ∈N}，T ＝{x |x ＝3k ﹣2，k ∈Z}，则( ) A ．S ⊆T B ．T ⊆S C ．S ＝T D ．S ⊈T【答案】A【解析】由{|323(1)1T x x k k ==-=-+，}{|3(1)1k Z x x k ∈==-+，1}k Z -∈， 令1t k =-，则t Z ∈，所以{|31T x x t ==+，}t Z ∈， 通过对比S 、T ，且由常用数集N 与Z 可知N Z ，故S T ．故选：A ．6．(多选)(2021·全国)给出下列关系：其中不正确的是( ) ①{}0∅⊆；②πQ ∈；③{}{}11,2∈；④0N ∉. A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】BCD【解析】为π是无理数，而Q 表示有理数集，∴πQ ∉，故②不正确； ③由于{}1和{}1,2均为集合，故{}{}11,2∈不正确，故③不正确； ④因为0是自然数，N 表示自然数集，∴0N ∈，故④不正确. 故选：BCD.7．(2021·福建)已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R}和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R}，则两个集合间的关系是( ) A ．M P ⊂≠ B ．P M ≠⊂ C ．M ＝P D ．M ，P 互不包含【答案】D【解析】由于集合M 为数集，集合P 为点集，因此M 与P 互不包含，故选D.8．(2021·上海)下列集合中：①{}0；②{}2|1,0,x x n x n R =+<∈；③{}∅；④∅；⑤{|,}x x n R x R =∈∈；⑥(){}0,0，是空集的为_______(只填序号).【答案】②④⑤.【解析】①中有元素0，③中有元素∅，⑥中有元素()0,0，它们都不是空集； ②中元素211x n =+，∴不存在任何一个元素属于集合②，②是空集； 同理，⑤也是空集；∅代表空集，即④是空集. 故答案为：②④⑤. 【题组二 (真)子集的个数】 1．(2021·全国高三二模)集合{}=1,2,3A 的子集个数为( )A ．3B ．6C ．7D ．8【答案】D【解析】由题意得集合A 的子集个数为328=.故选：D2．(2021·广东)若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 的非空真子集个数是( ) A ．62 B ．32C ．64D ．30【答案】D【解析】因为“我和我的祖国”中的所有字组成的集合S 一共有5个元素， 所以S 的非空真子集个数是52230-=个.故选：D3．(2021·陕西西安市)满足{}1{1,A ⊆⊆2，3}的集合A 的个数是( ) A ．2 B ．3C ．4D ．8【答案】C【解析】由题意，可得满足{}1{1,A ⊆⊆2，3}的集合A 为：{}1，{}1,2，{}1,3，{1,2，3}，共4个． 故选C ．4．(2021·海原县)集合{}1,0,1A =-的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个 B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B 【解析】中含有元素的子集有：，共四个，故选B.5(2021·河南)已知集合{}{}0,1,2,1,0,1B C ==-，非空集合A 满足,A B A C ⊆⊆，则符合条件的集合A的个数为( ) A ．3 B ．4C ．7D ．8【答案】A【解析】根据题意，得()A BC ⊆，即求B C ⋂的非空子集个数，{}0,1B C ⋂=，{}0,1的非空子集个数是2213-=，所以集合A 的个数是3．故选：A ．6．(2021·全国)已知集合{1,2,3,4}P =，则满足{1,2}Q P ⊆⊆的集合Q 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】由题题意可知，满足条件的集合Q 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个.故选：D ． 7．(2021·湖北荆州市)已知集合{}220|A x mx x m =-+=仅有两个子集，则实数m 的取值构成的集合为( ) A ．{}1,1- B ．{}1,0,1- C ．{}0,1D ．∅【答案】B【解析】由集合A 仅有两个子集可知集合A 仅有一个元素.当0m =时,可得方程的解为0x =,此时集合{}0A =,满足集合A 仅有两个子集当0m ≠时,方程220mx x m -+=有两个相等的实数根,则()22240m ∆=--=,解得1m =或1m =-,代入可解得集合{}1A =或{}1A =-.满足集合A 仅有两个子集 综上可知, m 的取值构成的集合为{}1,0,1- 故选:B8．(2021·河南)已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆，则符合条件的集合M 有______个．【答案】7【解析】据子集的定义，可得集合M 必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件{}{}1,21,2,5,6,7M⊆的集合M 有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个，故答案为：7.9．(2021·四川成都市·石室中学高三一模(文))已知集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z为非零实数} ，则M 的子集个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为集合x y z xyz M m m x y z xyz ⎧⎪==+++⎨⎪⎩∣，x 、y 、z 为非零实数} ，所以当,,x y z 都是正数时，4m =； 当,,x y z 都是负数时，4m =-；当,,x y z 中有一个是正数，另两个是负数时，0m =， 当,,x y z 中有两个是正数，另一个是负数时，0m =，所以集合M 中的元素是3个，所以M 的子集个数是8，故选：D. 10．(2021·全国高一课时练习)写出集合{,,}a b c 的所有子集. 【答案】∅，{}a ，{}b ，{}c ，{,}a b ，{,}a c ，{,}b c ，{,,}a b c .【解析】集合{,,}a b c 的所有子集有：∅,{}a ,{}b ,{}c ,{,}a b ,{,}a c ,{,}b c ,{,,}a b c . 【题组三 集合相等】1．(2021·全国)已知集合}1,2A =-，{},2B b =，若A B =，则a b +=________.【答案】1-【解析】因为集合}1,2A =-，{},2B b =，A B =，所以12,2,b ==-⎪⎩解得1,2,a b =⎧⎨=-⎩从而1a b +=-.故答案为：1-.2．(2021·全国)含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，又可表示成{}2,,0a a b +，则20212020a b +=_______．【答案】1-【解析】由题意,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}2,,0a a b =+，显然0a ≠，故0a b=，即0b =，此时{},0,1a {}2,,0a a =，故21a =，且1a ≠，即1a =-.所以()2021202120202020101a b +=-=-+.故答案为：1-.3．(2021·全国)已知集合{}2,1M a a =-，{}0,1N =-，若MN ，则a =______.【答案】0【解析】由题可知，{}2,1M a a =-，{}0,1N =-，因为MN ，而20a ≥，所以20a =，11a -=-，则0a =.故答案为：0.4．(2021·全国高三专题练习)已知互异实数0mn ≠，集合{}{}22,,m n m n=，则m n +=______．【答案】-1【解析】互异实数m n ≠,集合{}{}22,,m n m n=,∴2m m =,2n n =,或2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠． 由2m m =,2n n =,0mn ≠,m n ≠,无解．由2n m =,2m n =,0mn ≠,m n ≠．可得22n m m n -=-,解得1m n +=-． 故答案为：1-．5．(2021·全国高一课时练习)已知集合{}{}012a b c =,,,,，且下列三个关系：①2a ≠；②2b =；③0c ≠有且只有一个正确，则10010a b c ++等于__________． 【答案】201【解析】由{a ，b ，}{0c =，1，2}得，a 、b 、c 的取值有以下情况： 当0a =时，1b =、2c =或2b =、1c =，此时不满足题意； 当1a =时，0b =、2c =或2b =、0c ，此时不满足题意；当2a =时，1b =、0c，此时不满足题意；当2a =时，0b =、1c =，此时满足题意；综上得，2a =、0b =、1c =，代入10010201a b c ++=， 故答案为：201．【题组四 根据集合关系求参数】1．(2021·河南开封市)设,a b ∈R ，{}1,A a =，{}1,B b =--，若A B ⊆，则a b -=( ) A ．1- B ．2-C ．2D ．0【答案】D【解析】由A B ⊆知：A B =，即11a b =-⎧⎨-=⎩，得11a b =-⎧⎨=-⎩，∴0a b -=.故选：D.2．(2021·浙江湖州市)已知集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为( ) A ．0a ≤ B ．01a ≤≤C ．12a ≤≤D ．2a ≥【答案】D【解析】因为集合{}{}|0=|12A x x a B x x =≤≤≤≤，，B A ⊆，所以2a ≥.故选：D3．(2021·芷江侗族自治县第一中学)设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，若A ⊆B ，则a 的取值范围是( ) A ．}{2a a ≥ B ．}{1a a ≤C ．}{1a a ≥D ．}{2a a ≤【答案】A 【解析】}{12A x x =<<，}{B x x a =<，由数轴表示集合，作图如下：由图可知2a ≥，即a 的取值范围是}{2a a ≥故选：A4．(2021·全国高一)设集合{}13A x x =-≤，{},0B x x k k =<>，若B A ⊆，则k 的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题[]2,4A =-，(),B k k =-，∵B A ⊆，∴02k <≤，∴k 的最大值为2.故选：B ． 5．(2021·全国高一课时练习)已知集合A ＝{﹣1，2}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A ．1{1,}2B ．1{1,}2-C ．1{0,1,}2D ．1{0,1,}2-【答案】D【解析】当0a =时, B =∅，满足条件，所以0a =，当0a ≠时, 1{}B a=，由B ⊆A 得11a =-或12a =，所以1a =-或12a =， 因此由实数a 的所有可能的取值组成的集合为1{0,1,}2-故选：D6．(2021·平潭县新世纪学校高一月考)已知集合{}2,3A =-，{}1B x mx ==，若B A ⊆，则由实数m 的所有可能的取值组成的集合为( ) A ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．11,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】因为B A ⊆，当0m =时，B =∅，符合题意； 当0m ≠时，1B m ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 因为B A ⊆，所以12m =-或13m =，解得12m =-或13m =.故实数m 的所有可能的取值组成的集合为11,0,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A7．(2021·江苏苏州市·吴江中学高一期中)设集合{|231},{|0}A x x B x x a =+>=+，若A B ⊆，则实数a 的最小值是______. 【答案】1【解析】{|1},{|}A x x B x x a =>-=-,∵A B ⊆,∴1a --,∴1a .故答案为：18．(2021·浙江高一期末)已知集合{}2(1)320A x a x x =-+-=∣，若A 的子集个数为2个，则实数a =______．【答案】18-或1【解析】A 的子集个数为2个，所以集合A 只有一个元素， 即关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根. 当1a =时，方程320x -=只有一个根2=3x 符合题意； 当1a ≠时，关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根，只需()()=94120a ∆---=，解得：1=8a -.故1=8a -或1. 故答案为：18-或1.9．(2021·上海曹杨二中高一期末)已知集合{}{}2230,M x x x N x x a =--<=>，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】(,1]-∞-【解析】由{}2230M x x x =--<，得{}13M x x =-<< 又{}N x x a =>，且M N ⊆，故1a ≤-，故答案为：(,1]-∞-. 10．(2021·全国高三专题练习)设集合1|2432x A x -⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，{}22|3210B x x mx m m =-+--<. (1)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数 (2)若A B ⊇，求实数m 的取值范围.【答案】(1)254个；(2)2m =-或12m -≤≤.【解析】化简集合{|25}A x x =-≤≤，集合{}|(1)(21)0B x x m x m =-+--<. (1){},2,1,0,1,2,3,4,5x Z A ∈∴=--,即A 中含有8个元素，因为A 的非空真子集数为822254-=个. (2)①2m =-时，B A =Φ⊆；②当2m <-时，()()21120m m m +--=+<，所以()21,1B m m =+-,因此，要B A ⊆，则只要21236152m m m +≥-⎧⇒-≤≤⎨-≤⎩，所以m 的值不存在； ③当2m >- 时,()1,21B m m =-+ ，因此，要B A ⊆，则只要1212215m m m -≥-⎧⇒-≤≤⎨+≤⎩. 综上所述，知m 的取值范围是2m =-或12m -≤≤.11．(2020·全国高一课时练习)已知集合{1,1,A xx a a =-≤≤>-∣且}a R ∈，{21,}B y y x x A ==-∈∣，{}2,C z z x x A ==∈∣.是否存在a ，使C B ⊆？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】存在，1a = 【解析】存在.证明如下：假设存在这样的a 值，由于21y x =-且x A ∈,即1x a -≤≤，321y a ∴-≤≤-.而2z x =且x A ∈,∴当10a -<≤时,21a z ≤≤； 当01a <<时,01z ≤≤； 当1a ≥时,20z a ≤≤.若10a -<≤,要使C B ⊆,则211a -≥,即1a ≥，矛盾. 同理当01a <<时,也不存在a 的值. 而1a ≥时,要使C B ⊆，则有221a a ≤-， 即2(1)0a -≤，1a .故存在1a =，使得C B ⊆.。
3.3 幂函数(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
3.3幂函数（精练）1．（2023·全国·高一专题练习）已知幂函数()f x 的图象经过点()8,4，则()f x 的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设()f x x α=，因为()f x 的图象经过点()8,4，所以84α=，即3222α=，解得23α=，则()23f x x ==，因为()()f x f x -===，所以()f x 为偶函数，排除B 、D ，因为()f x 的定义域为R ，排除A ．因为()23f x x =在[)0,∞+内单调递增，结合偶函数可得()f x 在(],0-∞内单调递减，故C 满足，故选：C.2．（2023·山东聊城）已知421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．c<a<bC ．a b c>>D ．b<c<a【答案】B【解析】由已知，421333111,,2325a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简222333111,,435a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为幂函数23y x =在()0,+∞上单调递增，而15<14<13，所以222333111543<<⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B.3．（2022秋·辽宁葫芦岛·高一校联考期中）设 1.2111y =， 1.428y =，0.63130y =，则（）A ．231y y y >>B ．312y y y >>C ．132y y y >>D ．321y y y >>【答案】D【解析】由题意可知，()0.61.220.611111121y ===，()()1.40.61.43 4.270.628222128y =====，因为0.6y x =在()0,∞+上是增函数，130128121>>，所以321y y y >>.故选：D.4．（2023·福建南平）下列比较大小中正确的是（）A ．0.50.53223⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．112335--⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．3377(2.1)(2.2)--<-D ．44331123⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】对于A 选项，因为0.5y x =在[0,)+∞上单调递增，所以0.50.523()()32<，故A 错误，对于B 选项，因为1y x -=在(,0)-∞上单调递减，所以1123()()35--->-，故B 错误，对于C 选项，37y x =为奇函数，且在[0,)+∞上单调递增，所以37y x =在(,0)-∞上单调递增，因为333777115(2.2)511--⎭==⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎝⎭，又()337752.111⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，所以3377(2.1)(2.2)--<-，故C 正确，对于D 选项，43y x =在[0,)+∞上是递增函数，又443311()()22-=，所以443311()()23>，所以443311()()23->，故D 错误.故选：C.5．（2022秋·河南·高一统考期中）()3a π=-，27b =-，()05c =-，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．<<c a bD ．c b a<<【答案】A【解析】 3()f x x =，在R 上单调递增，而()(3)a f b f π=-=-，，根据单调递增的性质，得0a b <<，又1c =，所以a b c <<.故选：A6（2022秋·福建泉州·高一校联考期中）下列比较大小正确的是（）A 12433332-->>B ．12433332-->>C ．12433332--->>D ．21433323--->>【答案】C2242333π---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，21333--=又23y x -=在()0,∞+上单调递减，2π>，所以2223332π---<<，所以12433332-->>.故选：C7．（2023·江苏常州）下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【答案】D【解析】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D8．（2023春·江苏南京）幂函数2223()(1)m m f x m m x --=--在()0,∞+上是减函数，则实数m 值为（）A ．2B ．1-C ．2或1-D ．1【答案】A【解析】 幂函数2223()(1)mm f x m m x --=--，211m m ∴--=，解得2m =，或1m =-；又,()0x ∈+∞时()f x 为减函数，∴当2m =时，2233m m --=-，幂函数为3y x -=，满足题意；当1m =-时，2230m m --=，幂函数为0y x =，不满足题意；综上，2m =，故选：A ．9．（2022·高一单元测试）幂函数()()22231mm f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】幂函数()()22231m m f x m m x+-=--在区间（0，+∞）上单调递增，∴2211230m m m m ⎧--=⎨+-⎩＞，解得m ＝2，∴5()f x x =，∴()f x 在R 上为奇函数，由0a b +>，得a b >-，∵()f x 在R 上为单调增函数，∴()()()f a f b f b >-=-，∴()()0f a f b +>恒成立．故选：A ．10．（2023·浙江台州）（多选）关于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），结论正确的是（）A ．幂函数的图象都经过原点()0,0B ．幂函数图象都经过点()1,1C ．幂函数图象有可能关于y 轴对称D ．幂函数图象不可能经过第四象限【答案】BCD【解析】对于A ：幂函数1y x -=不经过原点()0,0，A 错误对于B ：对于幂函数(,y x R ααα=∈是常数），当1x =时，1y =，经过点()1,1，B 正确；对于C ：幂函数2y x =的图像关于y 轴对称，C 正确；对于D ：幂函数图象不可能经过第四象限，D 正确.故选：BCD.11．（2023·全国·高一专题练习）（多选）已知幂函数()f x 的图象经过点(，则（）A ．()f x 的定义域为[)0,∞+B ．()f x 的值域为[)0,∞+C ．()f x 是偶函数D ．()f x 的单调增区间为[)0,∞+【答案】ABD【解析】设()()a f x x a =∈R ，则()22af ==12a =，则()12f x x ==，对于A 选项，对于函数()f x =0x ≥，则函数()f x 的定义域为[)0,∞+，A 对；对于B 选项，()0f x =≥，则函数()f x 的值域为[)0,∞+，B 对；对于C 选项，函数()f x =[)0,∞+，定义域不关于原点对称，所以，函数()f x 为非奇非偶函数，C 错；对于D 选项，()f x 的单调增区间为[)0,∞+，D 对.故选：ABD.12．（2023·宁夏银川）（多选）幂函数()()211m f x m m x --=+-，*N m ∈，则下列结论正确的是（）A ．1m =B ．函数()f x 是偶函数C ．()()23f f -<D ．函数()f x 的值域为()0,∞+【答案】ABD【解析】因为()()211m f x m m x --=+-是幂函数，所以211m m +-=，解得2m =-或1m =，又因为*N m ∈，故1m =，A 正确；则()2f x x -=，定义域为{|0}x x ≠，满足()2()()f x x f x --=-=，故()f x 是偶函数，B 正确；()2f x x -=为偶函数，在(0,)+∞上单调递减，故()()2(2)3f f f -=>，C 错误；函数()221f x x x -==的值域为()0,∞+，D 正确，故选：ABD13．（2022秋·广东惠州）（多选）已知函数()()21m mf x m x -=-为幂函数，则（）A ．函数()f x 为奇函数B ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增C ．函数()f x 为偶函数D ．函数()f x 在区间()0,∞+上单调递减【答案】BC【解析】因为()()21mmf x m x -=-为幕函数，所以11m -=，即2m =，所以()2f x x =．函数()2f x x =的定义域为R ，()()()22f x x x f x -=-==，所以函数()f x 为偶函数，又函数()2f x x =在()0,∞+为增函数．故选：BC.14．（2023春·河北保定）（多选）若幂函数()()1f x m x α=-的图像经过点()8,2，则（）A ．3α=B ．2m =C ．函数()f x 的定义域为{}0x x ≠D ．函数()f x 的值域为R【答案】BD【解析】因为()()1f x m x α=-是幂函数,所以11m -=,解得2m =,故B 正确;所以()f x x α=,又因的图像经过点()8,2,所以3282αα==,所以31α=,解得13α=,故A 错误;因为()13f x x =,则其定义域,值域均为R ,故C 错误,D 正确.故选:BD.15．（2023春·山西忻州·高一统考开学考试）（多选）已知幂函数()()23mx m x f =-的图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()f x 在(),0∞-上为减函数D ．()f x 在()0,∞+上为减函数【答案】AD【解析】根据幂函数定义可得231m -=，解得2m =±；又因为图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以可得2m =-，即()221f x x x -==；易知函数()f x 的定义域为()()0,,0+∞⋃-∞，且满足()()()2211f x f x xx -===-，所以()f x 是偶函数，故A 正确，B 错误；由幂函数性质可得，当()0,x ∈+∞时，()2f x x -=为单调递减，再根据偶函数性质可得()f x 在(),0∞-上为增函数；故C 错误，D 正确.故选：AD16．（2022秋·安徽滁州·高一校考期中）（多选）对幂函数()32f x x -=，下列结论正确的是（）A ．()f x 的定义域是{}0,R x x x ≠∈B ．()f x 的值域是()0,∞+C ．()f x 的图象只在第一象限D ．()f x 在()0,∞+上递减【答案】BCD【解析】对幂函数()32f x x -=，()f x 的定义域是{}0,R x x x >∈，因此A 不正确;()f x 的值域是()0,∞+，B 正确;()f x 的图象只在第一象限，C 正确;()f x 在()0,∞+上递减，D 正确;故选:BCD ．17．（2023·四川成都）（多选）已知幂函数()f x 的图像经过点(9,3)，则（）A ．函数()f x 为增函数B ．函数()f x 为偶函数C ．当4x ≥时，()2f x ≥D ．当120x x >>时，1212()()f x f x x x -<-【答案】AC【解析】设幂函数()f x x α=，则()993f α==，解得12α=，所以()12f x x =，所以()f x 的定义域为[)0,∞+，()f x 在[)0,∞+上单调递增，故A 正确，因为()f x 的定义域不关于原点对称，所以函数()f x 不是偶函数，故B 错误，当4x ≥时，()()12442f x f ≥==，故C 正确，当120x x >>时，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()12f x f x >，即()()12120f x f x x x ->-，故D 错误．故选：AC.18．（2023·湖北）（多选）下列关于幂函数说法不正确的是（）A ．一定是单调函数B ．可能是非奇非偶函数C ．图像必过点(1,1)D ．图像不会位于第三象限【答案】AD【解析】幂函数的解析式为()ay x a =∈R .当2a =时，2y x =，此函数先单调递减再单调递增，则都是单调函数不成立，A 选项错误；当2a =时，2y x =，定义域为R ，此函数为偶函数，当12a =时，y =，定义域为{}0x x ≥，此函数为非奇非偶函数，所以可能是非奇非偶函数，B 选项正确；当1x =时，无论a 取何值，都有1y =，图像必过点()1,1，C 选项正确；当1a =时，y x =图像经过一三象限，D 选项错误.故选：AD.19．（2023·高一课时练习）有关幂函数的下列叙述中，错误的序号是______．①幂函数的图像关于原点对称或者关于y 轴对称；②两个幂函数的图像至多有两个交点；③图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称；④如果两个幂函数有三个公共点，那么这两个函数一定相同．【答案】①②④【解析】①，12y x ==y 轴对称，所以①错误.②④，由3y x y x =⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩或00x y =⎧⎨=⎩，即幂函数y x =与3y x =有3个交点，所以②④错误.③，由于幂函数过点()1,1，所以图像不经过点()1,1-的幂函数，一定不关于y 轴对称，③正确.故答案为：①②④20．（2023·湖南娄底·高一统考期末）已知幂函数()()2133m f x m m x +=-+为偶函数.(1)求幂函数()f x 的解析式；(2)若函数()()1f xg x x+=，根据定义证明()g x 在区间()1,+∞上单调递增.【答案】(1)()2f x x =；(2)见解析.【解析】（1）因为()()2133m f x m m x +=-+是幂函数，所以2331m m -+=,解得1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意.故()2f x x =.（2）由（1）得()2f x x =，故()()11f xg x x x x+==+.设211x x >>,则()()()12212121212112121111x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫--=+--=-+=-- ⎪⎝⎭，因为211x x >>，所以210x x ->，121x x >，所以12110x x ->,所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，故()g x 在区间()1,+∞上单调递增.21．（2023·天津宝坻·高一天津市宝坻区第一中学校考期末）已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x bf x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【解析】（1）由条件可知2a=12a =，即()12g x x ==，所以()42g =，因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+，满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立；（2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下，由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <，()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.22．（2023·福建厦门·高一厦门一中校考期中）已知幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝.(1)求实数a 的值，并用定义法证明()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)函数()g x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()g x f x =，求满足()1g m -≤m 的取值范围.【答案】(1)12α=-，证明见解析；(2)46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 【解析】(1)由幂函数()af x x =的图象经过点12A ⎛ ⎝12α⎛⎫∴= ⎪⎝⎭12α=-证明：任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x<11222121()()f x f x x x ---=-==210x x >> ，120x x ∴-<0>21()()0f x f x ∴-<，即21()()f x f x <所以()f x 在区间()0,∞+内是减函数.(2)当0x ≥时，()()g x f x =，()f x 在区间[)0,∞+内是减函数，所以()g x 在区间()0,∞+内是减函数，在区间(),0∞-内是增函数，又15g ⎛⎫= ⎪⎝⎭(1)g m -1(1)5g m g ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭函数()g x 是定义在R 上的偶函数，则115m -≥，解得：65m ≥或45m ≤所以实数m 的取值范围是46,,55⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 23．（2023福建）已知幂函数()21()22m f x m m x +=-++为偶函数.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()30h x f x ax a =++-≥在区间[2,2]-上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2()f x x =；（2）[7,2]-.【解析】（1）由()f x 为幂函数知2221m m -++=，得1m =或12m =-()f x 为偶函数∴当1m =时，2()f x x =，符合题意；当12m =-时，12()f x x =，不合题意，舍去所以2()f x x =（2）22()()324a a h x x a =+--+，令()h x 在[2,2]-上的最小值为()g a ①当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a h a =-=-≥，所以73a ≤又4a >，所以a 不存在；②当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a ag a h a =-=--+≥所以62a -≤≤.又44a -≤≤，所以42a -≤≤③当22a->，即4a <-时，()(2)70g a h a ==+≥所以7a ≥-.又4a <-所以74a -≤<-.综上可知，a 的取值范围为[7,2]-1．（2023广西）（多选）已知幂函数()nm f x x =（m ，*n ∈N ，m ，n 互质），下列关于()f x 的结论正确的是（）A ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数B ．m 是偶数，n 是奇数时，幂函数()f x 是偶函数C ．m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数D ．01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是减函数E ．m ，n 是奇数时，幂函数()f x 的定义域为R 【答案】ACE【解析】()nm f x x ==当m ，n 是奇数时，幂函数()f x 是奇函数，故A 中的结论正确；当m 是偶数，n 是奇数，幂函数/()f x 在0x <时无意义，故B 中的结论错误当m 是奇数，n 是偶数时，幂函数()f x 是偶函数，故C 中的结论正确；01mn<<时，幂函数()f x 在()0,∞+上是增函数，故D 中的结论错误；当m ，n 是奇数时，幂函数()f x =R 上恒有意义，故E 中的结论正确.故选：ACE.2．（2022秋·福建福州·高一校联考期中）（多选）已知幂函数()()22922mm f x m m x+-=--对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，若()()0f a f b +>，则（）A ．0a b +<B ．0a b +>C ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭D ．()()22f a f b a b f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】因为()()22922mm f x m m x+-=--为幂函数，所以2221m m --=，解得1m =-或3m =，因为对任意120x x ∞∈+，（，）且12x x ≠，都满足1212()()0f x f x x x ->-，所以函数()f x 在(0,)+∞上递增，所以290m m +->当1m =-时，2(1)(1)990-+--=-<，不合题意，当3m =时，233930+-=>，所以3()f x x =因为33()()f x x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，所以由()()0f a f b +>，得()()()f a f b f b >-=-，因为3()f x x =在R 上为增函数，所以a b >-，所以0a b +>，所以A 错误，B 正确，对于CD ，因为0a b +>，所以333()()2222f a f b a b a b a b f ++++⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33322344(33)8a b a a b ab b +-+++=33223()8a b a b ab +--=223[()()]8a ab b a b ---=23()()08a b a b -+=≥，所以()()22f a f b a b f ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以C 错误，D 正确，故选：BD3．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数13()f x x =，且12x x <，则（）A ．()()()()12120x x f x f x -->B ．()()1122x f x x f x ->-C ．()()1221f x x f x x -<-D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭【答案】AC【解析】由幂函数的性质知，13()f x x =在R 上单调递增.因为12x x <,所以()()12f x f x <，即120x x -<，()()120f x f x -<，所以()()()()12120x x f x f x -->．故A 正确；令120,1x x ==，则0(0)1(1)0f f -=-=，故B 错误；令()13()g x f x x x x =+=+，则由函数单调性的性质知，13()f x x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，所以13()y f x x x x =+=+在R 上单调递增，因为12x x <，所以()12()g x g x <，即()()1122f x x f x x +<+，于是有()()1221f x x f x x -<-，故C 正确；令121,1x x =-=，则1202x x +=，所以因为(1)(1)(0)02f f f +-==，故D 错误．故选：AC.4．（2022秋·江西九江·高一统考期末）已知幂函数()()223mm f x x m --+=∈N 的图像关于直线0x =对称，且在()0,∞+上单调递减，则关于a 的不等式()()33132mma a --+<-的解集为______．【答案】()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】由()()223mm f x x m --+=∈N 在()0,∞+上单调递减得，2230m m --<，故13m -<<，又m +∈N ，故1m =或2，当1m =时，()4f x x =－，满足条件；当2m =时，()3f x x =－，图像不关于直线0x =对称，故1m =.因为函数13()g x x -=在()(),0,0,-∞+∞为减函数，故由不等式()()1133132a a --+<-得，10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a +>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩或10320a a +<⎧⎨->⎩.解得2332a <<或1a <-，综上：23132a a <-<<或.故答案为：()23,1,32⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭5．（2023·山西太原）已知函数()3f x x x =+．若对于任意[]2,4m ∈，不等式()()240f ma f m m-++恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【答案】6a ≥【解析】因为()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以()3f x x x =+是R 上的奇函数，因为3,y x y x ==均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是R 上的增函数，因为()()240f ma f m m-++，所以()()24f m mf ma +--，即()()24f m mf ma +-所以24m m ma +-，由[]2,4m ∈知0m >，故41a m m++，令()41g m m m=++，[]2,4m ∈设1224m m <，()()1212121212444411g m g m m m m m m m m m ⎛⎫-=++-++=-+- ⎪⎝⎭()()()21121212121244m m m m m m m m m m m m ---=-+=由1224m m <，得120m m -<，124m m >，则()()120g m g m -<，即()()12g m g m <，所以()g m 在[]2,4上单调递增，当4m =时，()g m 取得最大值6，故6a ．故答案为：6a ．6．（2023春·四川广安·高一校考阶段练习）已知幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增．(1)求m 的值及函数()f x 的解析式；(2)若函数()21g x ax a =++-在[]0,2上的最大值为3，求实数a 的值．【答案】(1)2m =，()3f x x =；(2)2a =±.【解析】（1）幂函数()()()215R m f x m m x m +=+-∈在()0,∞+上单调递增，故25110m m m ⎧+-=⎨+>⎩，解得2m =，故()3f x x =；（2）由（1）知：()3f x x =，所以()22121g x ax a x ax a =+-=-++-，所以函数()g x 的图象为开口向下的抛物线，对称轴为直线x a =；由于()g x 在[]0,2上的最大值为3，①当2a ≥时，()g x 在[]0,2上单调递增，故()()max 2333g x g a ==-=，解得2a =；②当0a ≤时，()g x 在[]0,2上单调递减，故()()max 013g x g a ==-=，解得2a =-；③当02a <<时，()g x 在[]0,a 上单调递增，在[],2a 上单调递减，故()()2max 13g x g a a a ==+-=，解得1a =-（舍去）或2a =（舍去）．综上所述，2a =±．7．（2023·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第六中学校校考期末）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+是其定义域上的增函数．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()h x x af x =+，[]1,9x ∈，是否存在实数a 使得()h x 的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由；(3)若函数()()3g x b f x =-+，是否存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ？若存在，求出实数b 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】(1)()f x =(2)存在1a =-(3)9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦【解析】（1）因为()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，所以2331p p -+=，解得1p =或2p =当1p =时，()1f x x=，在()0,∞+为减函数，当2p =时，()f x =在()0,∞+为增函数，所以()f x =（2）()()h x x af x x =+=+t =，因为[]1,9x ∈，所以[]1,3t ∈，则令()2k t t at =+，[]1,3t ∈，对称轴为2a t =-．①当12a-≤，即2a ≥-时，函数()k t 在[]1,3为增函数，()min ()110k t k a ==+=，解得1a =-．②当132a <-<，即62a -<<-时，2min ()024a a k t k ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，解得0a =，不符合题意，舍去．当32a-≥，即6a ≤-时，函数()k t 在[]1,3为减函数，()min ()3930k t k a ==+=，解得3a =-．不符合题意，舍去．综上所述：存在1a =-使得()h x 的最小值为0.（3）()()3g x b f x b =-+=()g x 在定义域范围内为减函数，若存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，则()()g m b n g n b m ⎧==⎪⎨==⎪⎩①②，②-①()()33m n m n =-=+-+，=+，1=③．将③代入②得：1b m m ==+令t m n <，0≤<，所以10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．所以2219224b t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，在区间10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭单调递减，所以924b -<≤-故存在实数(,)m n m n <，使函数()g x 在[],m n 上的值域为[],m n ，实数b 的取值范围且为9,24⎛⎤-- ⎥⎝⎦．8．（2023·福建龙岩）已知幂函数()21()2910m f x m m x -=-+为偶函数，()()(R)k g x f x k x=+∈．(1)若(2)5g =，求k ；(2)已知2k ≤，若关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，求k 的取值范围．【答案】(1)2k =(2)12k <≤【解析】（1）对于幂函数()21()2910m f x m m x -=-+，得229101m m -+=，解得32m =或3m =，又当32m =时，12()f x x =不为偶函数，3m ∴=，2()f x x ∴=，2()k g x x x∴=+，(2)452kg ∴=+=，解得2k =；（2）关于x 的不等式21()02g x k ->在[1,)+∞上恒成立，即22102k x k x +->在[1,)+∞上恒成立，即22min 12k x k x ⎡⎤+>⎢⎥⎣⎦，先证明()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增：任取121x x >>，则()()()()1212221212121212x x x x k k k h x h x x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫-=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121x x >> ，120x x ∴->，()12122x x x x +>，又2k ≤，()12120x x x x k ∴+->，()()120h x h x ∴->，即()()12h x h x >，故()2kh x x x=+在[1,)+∞上单调递增，()()min 11h x h k ∴==+，2112k k ∴+>，又2k ≤，解得12k <≤.9．（2022秋·上海普陀·高一曹杨二中校考阶段练习）设R m ∈，已知幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数.(1)求m 的值；(2)设R a ∈，若函数()[],0,2y f x ax a x =-+∈的最小值为1-，求a 的值.【答案】(1)1m =(2)1a =-或5a =.【解析】（1）因为幂函数()()2133m f x m m x +=+-⋅是偶函数，所以2331m m +-=且1m +为偶数，解得：1m =或4m =-（舍），则1m =，所以()2f x x =.（2）令()()2y g x f x ax a x ax a ==-+=-+的开口向上，对称轴2a x =，①当02a≤即0a ≤，()g x 在[]0,2上单调递增，所以()()min 01g x g a ===-，所以1a =-；②当022a <<即04a <<，()g x 在0,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()22min1242a a a g x g a ⎛⎫==-+=- ⎪⎝⎭，解得：2a =+2a =-③当22a≥即4a ≥，()g x 在[]0,2上单调递减，所以()()min 241g x g a ==-=-，解得：5a =所以5a =.综上：1a =-或5a =.10．（2022秋·河南·高一校联考期中）已知幂函数223()(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增．(1)求实数m 的值；(2)若对[]2,2x ∀∈-，[2,2]a ∃∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)3m =；(2)实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.【解析】（1）因为幂函数()223(2)m x f x m -⋅=-在(0,)+∞上单调递增，所以()2213230m m m ⎧-=⎪⇒=⎨->⎪⎩；（2）由（1）可得3()f x x =因为对[2,2]x ∀∈-，使得()221f x at t a ≤+++都成立所以2max ()21f x at t a ≤+++，其中[2,2]x ∈-，由（1）可得函数()f x 在[]22-,上的最大值为8，所以2218at t a +++≥，又[2,2]a ∃∈-，使得2218at t a +++≥都成立所以()2max 270a t t ⎡⎤++-≥⎣⎦，因为220t +>，所以()227y a t t =++-是关于a 的单调递增函数，∴()()22max272270a t t t t ⎡⎤++-=++-≥⎣⎦，即2230t t +-≥，∴32t ≤-或1t ≥，所以实数t 的取值范围为[)3,1,2∞∞⎛⎤--⋃+ ⎥⎝⎦.11．（2023·浙江）已知幂函数()()2223mf x m m x =--．(1)若()f x 的定义域为R ，求()f x 的解析式；(2)若()f x 为奇函数，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)()2f x x=(2)(),1-∞-【解析】（1）因为()()2223mf x m m x =--是幂函数，所以22231m m --=，解得2m =或1m =-，当2m =时，()2f x x =，定义域为R ，符合题意；当1m =-时，()11x xf x -==，定义域为()(),00,∞-+∞U ，不符合题意；所以()2f x x =；（2）由（1）可知()f x 为奇函数时，()11x xf x -==，[]1,2x ∃∈，使()31f x x k >+-成立，即[]1,2x ∃∈，使131x k x>+-成立，所以[]1,2x ∃∈，使113k x x-<-成立，令()[]13,1,2h x x x x=-∈，则()max 1k h x -<，[]12,1,2x x ∀∈且12x x <，则()()()1212211212111333h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=-+ ⎪⎝⎭，因为1212x x ≤<≤，所以211210,0x x x x ->>，所以()2112130x x x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即()()12h x h x >，所以()13h x x x=-在[]1,2上是减函数，所以()()max 1132h x h ==-=-，所以12k -<-，解得1k <-，所以实数k 的取值范围是(),1-∞-。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1
1.1 集合的概念(精练)【题组一 集合的概念】1．(2021·河北)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①某高中高一年级聪明的学生 ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点③不小于3的正整数A ．①②B ．③④C ．②③D ．①③ 【答案】C【解析】①④不符合集合中元素的确定性.选C.2.(2021年河南)下列对象能组成集合的是( ) A.2的所有近似值B ．某个班级中学习好的所有同学C ．2020年全国高考数学试卷中所有难题D ．屠呦呦实验室的全体工作人员【答案】 D【解析】 D 中的对象都是确定的，而且是不同的．A 中的“近似值”，B 中的“学习好”，C 中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A ，B ，C 都不能构成集合．3．(2021·全国高一课时练习)下列描述正确的有( )(1)很小的实数可以构成集合；(2)集合{}2y y x =与(){}2,x y y x =集合是同一个集合； (3)3611,,,,0.5242-这些数组成的集合有5个元素； (4)偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B【解析】对于(1)，很小的实数可以构成集合；不满足集合的确定性，故不正确；对于(2)，集合{}2y y x=中的元素为实数； 集合(){}2,x y y x =中的元素为点的坐标，集合的属性不同，故不是同一个集合，故不正确；对于(3)，3611,,,,0.5242-这些数组成的集合中， 由于3624=，10.52-=，由集合元素的互异性， 集合中的元素不是5个，故不正确；对于(4)，偶数集可以表示为{}2,x x k k Z =∈，正确，符合集合的含义；故选：B4．(2020·上海)若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是 ( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形【答案】D【解析】因为集合{},,M a b c =，所以由集合元素的互异性可得a b ，a c ≠，b c ≠， 所以△ABC 一定不是等腰三角形.故选：D.5.下列说法中，正确的有________．(填序号)①单词book 的所有字母组成的集合的元素共有4个；②集合M 中有3个元素a ，b ，c ，其中a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 不可能是等腰三角形； ③将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小的顺序排列分别得到不同的两个集合．【答案】 ②【解析】①不正确. book 的字母o 有重复，共有3个不同字母，元素个数是3.②正确. 集合M 中有3个元素a ，b ，c ，所以a ，b ，c 都不相等，它们构成的三角形三边不相等，故不可能是等腰三角形．③不正确. 小于10的自然数不管按哪种顺序排列，里面的元素都是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的，和元素的排列顺序无关．【题组二 元素与集合的关系】1.(2021湖南)设集合M 是由不小于25的数组成的集合，a ＝15，则下列关系中正确的是( )A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M 【答案】B【解析】判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．∵15<25，∴a ∉M .2．(2021云南)已知集合A 中的元素x 满足x －1<3，则下列各式正确的是( )A ．3∈A 且－3∉AB ．3∈A 且－3∈AC ．3∉A 且－3∉AD ．3∉A 且－3∈A【答案】D 【解析】 ∵3－1＝2>3，∴3∉A .又－3－1＝－4<3，∴－3∈A .3．(2021·江苏高一)设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是( )A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈ 【答案】B【解析】A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确. 故选：B4．(2021·吉林长春市)已知集合M=6*,5aN a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于( ) A ．{2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{1，2，3，6}D ．{1-，2，3，4} 【答案】D【解析】因为集合M=6*,5a N a⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，，所以5-a 可能为1，2，3，6， 即a 可能为4，3，2，1-.所以M={1-，2，3，4}，故选：D.5．(多选)(2021·浙江高一期末)若集合{}22|,,A x x m n m n ==+∈Z ，则( )A ．1A ∈B ．2A ∈C ．3A ∈D ．4A ∈ 【答案】ABD【解析】对于选项A ：221+=m n ，存在0,1m n ==或1,0==m n 使得其成立，故选项A 正确； 对于选项B ：222m n +=，存在1,1m n ==，使得其成立，故选项B 正确；对于选项C ：由223m n +=，可得23m ≤，23n ≤，若20m =则23n =可得n =n z ∉ ，不成立；若21m =则22n =可得n =n z ∉ ，不成立；若23m =，可得20n =，此时m =m z ∉ ，不成立；同理交换m 与n ，也不成立，所以不存在,m n 为整数使得223m n +=成立，故选项C 不正确；对于选项D ：224m n +=，此时存在0,2m n ==或2,0m n ==使得其成立，故选项D 正确， 故选：ABD.6．(2021·上海市实验学校高一期末)集合6{|3P x x =∈-Z 且}x ∈Z ，用列举法表示集合P =________ 【答案】{3,0,1,2,4,5,6,9}- 【解析】由题意，集合6|3P x Z x ⎧=∈⎨-⎩且}a Z ∈，可得63Z x ∈-，则636x -≤-≤， 解得39x -≤≤且x ∈Z ， 当3x =-时，6133Z =-∈--，满足题意； 当2x =-时，66235Z =-∉--，不满足题意； 当1x =-时，63132Z =-∉--，不满足题意； 当0x =时，6203Z =-∈-，满足题意； 当1x =时，6313Z =-∈-，满足题意； 当2x =时，6623Z =-∈-，满足题意； 当3x =时，633-，此时分母为零，不满足题意； 当4x =时，6643Z =∈-，满足题意； 当5x =时，6353Z =∈-，满足题意； 当6x =时，6263Z =∈-，满足题意； 当7x =时，63732Z =∉-，不满足题意； 当8x =时，66835Z =∉-，不满足题意；当9x =时，6193Z =∈-，满足题意； 综上可得，集合P ={3,0,1,2,4,5,6,9}-.故答案为：{3,0,1,2,4,5,6,9}-.【题组三 集合的表示方法】1．(2021·山东省淄博)集合*63A x NZ x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为( ) A ．{}1,2,4,9B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6---- 【答案】B 【解析】因为63Z x∈-且*x ∈N ，所以x 的可取值有：1,2,4,5,6,9， 所以列举法表示集合为：{}1,2,4,5,6,9，故选：B.2．(2021·浙江高一期末)方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是( ) A ．{1}B ．(1,1)C ．{(1,1)}D ．{1,1}【答案】C 【解析】∵20x y x y +=⎧⎨-=⎩∴11x y =⎧⎨=⎩ ∴方程组20x y x y +=⎧⎨-=⎩的解构成的集合是{(1，1)}故选C ． 3．(2021·全国高一课时练习)用列举法表示下列集合：(1)大于1且小于6的整数； (2){}(1)(2)0A x x x =-+=； (3){}3213B x Z x =∈-<-<．【答案】(1){}2,3,4,5；(2){}1,2A =-；(3){}0,1B =【解析】用列举法表示下列集合(1)大于1且小于6的整数，{}2,3,4,5；(2){|(1)(2)0}A x x x =-+=；所以{}1,2A =-(3){|3213}B x Z x =∈-<-<，由3213x -<-<解得12x -<<，x ∈Z ，故表示为{}0,1B =，4．(2021·全国高一单元测试)已知集合{|A x x =为小于6的正整数}，{|B x x =为小于10的素数}，集合{|C x x 为24和36的正公因数}．(1)试用列举法表示集合{|M x x A =∈且}x C ∈；(2)试用列举法表示集合{|N x x B =∈且}x C ∉．【答案】(1) {1,2,3,4}；(2){5,7}.【解析】由题意{}1,2,3,4,5A =，{}2,3,5,7B =，{}1,2,3,4,6,12C =.(1){}1,2,3,4M A C =⋂=.(2).{|M x x B =∈且}x C ∉{}5,7N ∴=5．(2021·全国高一课时练习)把下列集合用另一种方法表示出来：(1){2,4,6,8,10}；(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数；(3){|37}x N x ∈<<；(4)中国古代四大发明【答案】(1){|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}(2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}(3){4,5,6}(4){造纸术，印刷术，指南针，火药}【解析】(1){2,4,6,8,10}={|2,x N x k k Z ∈=∈且111x <<}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数：{1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}.(3){|37}{4,5,6}x N x ∈<<=.(4)中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药}6．(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：(1)由方程290x 的所有实数根组成的集合； (2)一次函数3y x 与26y x =-+图象的交点组成的集合；(3)不等式453x -<的解集.【答案】(1){3,3}-；(2){(1,4)}；(3){|2}x x <.【解析】(1)2903x x -=⇒=±，则该方程所有实数根组成的集合为{3,3}-；(2)由326y x y x 解得：14x y ==⎧⎨⎩，则图象的交点组成的集合为{(1,4)}； (3)不等式453x -<可化为2x <，则该集合为{|2}x x <7．(2021·河北)用适当的方法表示下列集合：(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)所组成的自然数的集合；(2)|2|0y -=的解集.【答案】(1){12,21,13,31,23,32}(2)1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩【解析】(1)由1，2，3三个数字中的两个数字(没有重复数字)组成的自然数有12，21，13，31，23，32，用列举法可表示为{12,21,13,31,23,32}.(2)|2|0y -=，得21020x y +=⎧⎨-=⎩所以1,22,x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩|2|0y -=的所有解组成的集合用描述法可表示为1(,)|22x x y y ⎧⎧⎫=-⎪⎪⎪⎨⎨⎬⎪⎪⎪=⎩⎭⎩.8．(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：(1)所有能被3整除的整数；(2)图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合；(3)满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B .【答案】(1){|3,}x x n n =∈Z .(2)1(,)|12,1,02x y x y xy -≤≤-⎧⎫⎨≤≤⎩≥⎬⎭.(3){|||,}B x x x x ==∈Z . 【解析】(1)由题意所有能被3整除的整数为：3,x n n =∈Z ，所以集合表示为{|3,}x x n n =∈Z ；(2)由图象可知，对于第一象限的阴影部分可得：02,01x y <≤<≤，则对应的点(含边界)为(){},|02,01x y x y ≤≤≤≤；对于第三象限的阴影部分可得：110,02x y -≤<-≤<，则对应的点(含边界)为()1,|10,02x y x y ⎧⎫-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，所以综上可得，满足图中阴影部分的点(含边界)的坐标的集合为：()1,|12,1,02x y x y xy ⎧⎫-≤≤-≤≤≥⎨⎬⎩⎭. (3)由集合描述法可将满足方程||x x =，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B 表示为{|||,}B x x x x ==∈Z .【题组四 元素的个数】1．(2021·山东)已知集合(){},2,,A x y x y x y N =+≤∈，则A 中元素的个数为( ) A ．1B ．5C ．6D ．无数个 【答案】C【解析】由题得()()()()()(){}0,0,0,1,0,2,1,0,1,1,2,0A =，所以A 中元素的个数为6.故选：C2．(2021·全国高一课时练习)若集合()(){}326A x N x x =∈--<，则A 中的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由(3)(2)6x x --<得250x x -<，解得05x <<，又x N ∈，所以{1,2,3,4}A =，所以A 中有4个元素．故选：B ．3．(2021·全国高一课时练习)集合*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭中含有的元素个数为 A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】B【解析】因为*12|x N Z x ⎧⎫∈∈⎨⎬⎩⎭集合中的元素表示的是被12整除的正整数，那么可得为1，2,3,4，6，,12故选B 4．(2021·青海)已知集合{1,2,3,4,5}A ={},(,),,B x y x A y A x y A =∈∈-∈,则B 中所含元素的个数为A ．3B ．6C ．8D ．10 【答案】D【解析】列举法得出集合()()()()()()()()()(){}2,1314151324252435354B =，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共含10个元素．故答案选D 5．(2021·广西)设集合={1,2,3}A ，B={45}，，={x|x=a+b,a A,b B}M ∈∈，则M 中元素的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】由题意知x a b =+，,a A b B ∈∈，则x 的可能取值为5,6,7,8.因此集合M 共有4个元素，选B .6．(2020·全国高一单元测试)设A 、B 是非空数集，定义：A ⊕B ={a +b |a ∈A ，b ∈B }，若A ={1，2，3}，B ={4，5，6}，则集合A ⊕B 的元素个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】B【解析】∵A ⊕B ={a +b |a ∈A ，b ∈B }，又A ={1，2，3}，B ={4，5，6}∴A ⊕B ={5，6，7，8，9}故A ⊕B 的元素个数为5个故选：B7．(2021·福建)已知集合(){}22,|2,,A x y x y x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为( ) A ．4B ．9C ．8D ．6 【答案】A【解析】因为222x y +≤，x N ∈，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选：A.8．(2021·上海)已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}21,B y y x x A ==-∈，则集合B 中所有元素之和是( )A ．10B ．13C ．14D ．15【答案】A 【解析】集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}{}21,1,0,3,8B B y y x x A ∴===-∈=-，∴集合B 中所有元素之和为103810-+++=．故选：A ．【题组五 已知元素的特征求参数】1．(2021·天津静海一中高一期末)已知集合{}20,,32A m m m =-+，且2A ∈，则实数m 的值为 ( )A ．3B ．2C ．0或3D ．0或2或3 【答案】A【解析】由题意，知2A ∈，可得(1)当2m =时，2320m m -+=，不满足集合元素的互异性，舍去；(2)当2322m m -+=，解得3m =或0m =，①当0m =是不满足元素的互异性，舍去，②当3m =时，此时集合{}0,2,3A =，符合题意.故选A.2．(2021·安徽芜湖市)已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为( )A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0【答案】C【解析】当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++. 故选：C3．(2020·全国高三专题练习)已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】①21a +=⇒1a =-，∴2(1)0a +=，2331a a ++=，则{}1,0,1A =，不可以，②2(1)1a +=⇒0a =，∴22a +=，2333a a ++=，则{}2,1,3A =，可以， 或2a =-，∴20a +=，2331a a ++=，则{}0,1,1A =，不可以，③2331a a ++=⇒1a =-，21a +=，2(1)0a +=，则{}1,0,1A =，不可以，或2a =-，∴20a +=，2(1)1a +=，则{}0,1,1A =，不可以， ∴{0}B =，故选：B ．4．(2020·浙江)已知集合{1}A x Nx k =∈<<∣，集合A 中至少有3个元素，则( ) A ．3k >B ．3k ≥C ．4k >D ．4k ≥ 【答案】C【解析】{1}A x N x k =∈<<∣且集合A 中至少有3个元素，4k ∴>.故选：C.5．(2021·宜丰县)已知集合(){}(){},|21,,|3A x y y x B x y y x ==+==+,若a A ∈且a B ∈则a 为__________.【答案】(2,5) 【解析】由213y x y x =+⎧⎨=+⎩，可得2,5x y ==．故a 为(2,5)，故答案为：(2,5)． 6．(2021·西安市)已知{}21,2,x x∈，则x 的值为__________． 【答案】0或2【解析】因为{}21,2,x x ∈，所以当1x =时，集合为 {}1,2,1不成立；当 2x =时，集合为 {}1,2,4，成立；当 2x x =时，解得 1x =(舍去)或0x =，若0x =，则集合为{}1,2,0，成立.所以x 的值为0或2故答案为：0或27．(2021·云南丽江市)若集合2{|210}A x kx x =++=中有且仅有一个元素，则k 的值为___________.【答案】0或1【解析】当k =0时，方程为2x +1=0,有且只有一解，符合题意；当k ≠0时，方程2210kx x ++=有且仅有一个解等价于2240k =-=,解得k =1, 故答案为：0或1.8．(2021·河北安平中学)已知集合{}0,1A =，{}2,2B a a =，其中a R ∈，我们把集合{}1212,,x x x x x A x B =+∈∈记作A B *，若集合A B *中的最大元素是21a +，则a 的取值范围是___.【答案】()0,2【解析】∵{}0,1A =，{}2,2B a a =， ∴集合A B *中的元素分别是22,2,1,21a a a a ++，∵最大元素是21a +，∴2121a a +<+，∴02a <<，故答案为：()0,2．9．(2021·深圳市)设集合{}24,21,A a a=--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．【答案】3-【解析】∵{}24,21,A a a=--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意； 当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性．若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B AB =-=--=-=，∴3a =-．故答案为：3-．10．(2021·全国高一课时练习)由2a ，2a -，4所组成的集合记为A .(1)是否存在实数a ，使得A 中只含有一个元素？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由；(2)若A 中只含有两个元素，求a 的值.【答案】(1)存在，2a =-(2)2a =或1a =【解析】(1)存在，理由如下：由题意知若A 中只含有一个元素，则这三个数相等，即224a a =-=， 由24a -=解得2a =-.此时24a =，所以符合条件.故当2a =-时，A 中只有一个元素.(2)由题意可知，这三个数中必有两个数相等即有224a a =-≠，或242a a =≠-，或224a a -=≠ 若224a a =-≠，解得1a =；若242a a =≠-，解得2a =；若224a a -=≠，无解；综上可得，当2a =或1a =时，集合A 中只含有两个元素.11．(2021·浙江台州市)设数集A 由实数构成，且满足：若x A ∈(1x ≠且0x ≠)，则11A x ∈-． (1)若2A ∈，则A 中至少还有几个元素？(2)集合A 是否为双元素集合？请说明理由．(3)若A 中元素个数不超过8，所有元素的和为143，且A 中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合A ． 【答案】(1)A 中至少还有两个元素；(2)不是双元素集合，答案见解析；(3)112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭． 【解析】(1)2A ∈，1112A ∴=-∈-． 1A -∈，()11112A ∴=∈--． 12A ∈，12112A ∴=∈-． A ∴中至少还有两个元素为1-，12； (2)不是双元素集合．理由如下：x A ∈，11A x ∴∈-，11111x A x x-=∈--，由于1x ≠且0x ≠，22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，则210x x -+≠， 则()11x x -≠，可得11x x ≠-，由221x x x -+≠-，即()21x x -≠-，可得111x x x -≠-， 故集合A 中至少有3个元素，所以，集合A 不是双元素集合．(3)由(2)知A 中有三个元素为x 、11x -、1x x-(1x ≠且0x ≠)， 且1111x x x x-⋅⋅=--， 设A 中有一个元素为m ，则11A m ∈-，1m A m -∈，且1111m m m m -⋅⋅=--， 所以，1111,,,,,11x m A x m x x m m --⎧⎫=⎨⎬--⎩⎭，且集合A 中所有元素之积为1. 由于A 中有一个元素的平方等于所有元素的积， 设2111x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭或211x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得0x =(舍去)或2x =或12x =． 此时，2A ∈，1A -∈，12A ∈， 由题意得1111421213m m m m -+-+++=-，整理得3261960m m m -++=， 即()()()621320m m m -+-=，解得12m =-或3或23， 所以，112,2,1,,3,223A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭．。
2.2 基本不等式(精练)(解析版)-人教版高中数学精讲精练(必修一)
3．（2022·广东·深圳市高级中学高一期末）设正实数 x, y 满足 2x y 1，则 xy 的最大值为（
）
A．
1 2
【答案】C
B． 1 4
C． 1 8
D． 1 16
【解析】由基本不等式可得 2x y 2 2xy ，即 2 2xy 1，解得 xy 1 ， 8
当且仅当 2x y ，即 x 1 ， y 1 时，取等号，故选：C.
4
2
4．（2022·浙江杭州·高一期末）若 a,b 为正实数，且 ab 1 ，则 a 2b 的最小值为（
）
A． 2 【答案】D
B． 3 2
C．3
D． 2 2
【解析】因为 a,b 为正实数， ab 1，所以 a 2b 2 2ab 2 2 ， 当且仅当 a 2b ，即 a 2 ， b 2 时取等号.所以 a 2b 的最小值为 2 2 .故选：D
）
A．2 【答案】A
B． 12 7
C． 5 2
D．3
【解析】由 4x4 9x2 y2 2y4 1，得 4x2 y2
x2 2y2
1
4x2
y2
2
x2
2y2
2
5x2
2
3y2
2 ，
即 4 5x2 3y2 2 ，所以 5x2 3y2 2 ，当且仅当 4x2 y2 x2 2y2 ，即 y2 3x2 3 时，等号成立，所以 7
5x2 3y2 的最小值是 2.故选：A.
6．（2022·甘肃·永昌县）（多选）已知 a＞0，b＞0，a＋b＝2，则对于 1 4 ，下列说法准确的是（
）
ab
A．取得最小值时
a＝
2 3
B．最小值是 5
C．取得最小值时
4.2 指数函数(精练)(解析版) -人教版高中数学精讲精练(必修一)
x
2
1 ，故值域为 y
|
0
y
1
.
8．（2021·黑龙江·绥化市第一中学高一期中）已知函数 f x 4x a 2x 3 ， a R ．
(1)当 a 4 ，且 x 0, 2 时，求函数 f x 的值域；
(2)若函数 f x 在0, 2 的最小值为1，求实数 a 的值；
【答案】(1)1,3 (2) a 2 2
③
y
2
x
是指数函数；
④ y xx 的底数是 x 不是常数，不是指数函数；
⑤
y
3
1 x
的指数不是自变量
x
，不是指数函数；
1
⑥ y x3 是幂函数．
故答案为：③
9．（2021·全国·高一专题练习）函数 y a2 5a 5 ax 是指数函数，则 a 的值为________．
【答案】 4
f
x
ax2 2x ,
a
1 x
x 1
3a,
x
1 的最小值为
2，则实数
a 的取值范围是______.
【答案】1,
【解析】由题意，函数
f
x
ax2 2x ,
a 1 x
x 1
3a, x
1 的最小值为
2
，
因为函数 f x 在[1, ) 上为增函数，可得 x 1时，函数 f x 有最小值为 2 ，
则当 x (,1) 时，函数 f x 2 ， min
）
A． c a b
B． c b a
【答案】A
1
2
【解析】
b
1 4
3
1 2
3
，
C． b c a
人教版高中数学精讲精练必修一1.1 集合的概念及特征(精练)(解析版)
0 是集合0,1 的一个元素 0 0,1 ，则④正确
本题正确选项： D
3（2023·四川绵阳）已知集合 A {2, 1, 0,1, 2, 3} ， B x A x A ，则 B （ ）
A．{1, 2}
B．{2, 1}
C． {0, 3}
D． {3}
【答案】D
【解析】∵ A {2, 1, 0,1, 2, 3} ，即集合 B 的可能元素 2, 1, 0,1, 2,3，则有：
a
3 2
时，
A
7 2
,
3,12，符合，
故由
a
的值构成的集已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当 A＝{2}时，集合 B
＝（ ）
A．{1}
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
【答案】D
【解析】由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x 即 x2 p 1 x q 0 有且只有一个实数解 x 2 ,
由 0 A ，则 0 0 A ，可得 0 B ； 由 1 A ，且1 A ，可得 1 B ，且1 B ； 由 2 A ，且 2 A ，可得 2 B ，且 2 B ； 由 3 A，且 3 A ，可得 3 B ；
综上所述： B 3 .
故选：D.
4．（2023·高一课时练习）下列说法正确的是（ ）
D．5
【答案】A
【解析】 0 是自然数，故 0 N ，（1）正确；
π 是无理数，故 π Q ，（2）错误；
由 3、4、5、5、6 构成的集合为3，4，5，6 有 4 个元素，故（3）错误；
数轴上由 1 到 1.01 间的线段的点集是无限集，（4）错误；
人教版高中数学精讲精练必修一4.1 指数运算(精练)(解析版)
4.1指数运算（精练）1．（2023·全国·=（）A．34a B．78a C．1112a D．2728a 【答案】C11111111112236322221212[()]()a a a a a a a a a=⋅=⋅⋅=⋅⋅=.故选：C2．（2023·全国·（a，b为正数）的结果是（）A．22baB．22abC．22a b D．ab【答案】C()()178333112233123322222ab a b a ba ba bb a b===⎡⎤⎣⎦.故选：C.3．（2023·全国·高一课堂例题）若321x x x++=-，则2827211227281x x x x x x x x----++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++的值是（）A．2B．0C．1-D．1【答案】D【解析】由321x x x++=-，得()2110x x x+++=，即()()2110x x++=，解得=1x-．∴28272112272811x x x x x x x x----++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅+=+．故选：D4．（2023·全国·高一专题练习）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．()12x=-B13(0)y y=<C．130)x x-=>D．1234x=【答案】C【解析】对于A选项：由1122(0),()0)x x x x=-≥-=≤，故该项等号两侧不相等，所以A错误；对于B13(0)y y=-<，所以B错误；对于C 选项：由指数幂的运算性质，可得130)xx -=>，所以C 正确；对于D 选项：当0x >时，2333144423()x x ===，当0x <时，2333144423)(()x x ==-=，显然当0x <时，该项的等量关系不成立，所以D 错误.故选：C.5．（2023·全国·高一专题练习）计算1022-）A ．1B ．CD ．122-【答案】B【解析】1022(1)12-+-=故选：B6．（2023·全国·高一专题练习）方程135108x x x -⋅=的解集是（）A ．{}1,4B ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．14,4⎧⎫⎨⎩⎭【答案】B【解析】原方程可化为：13335522x x x x -⋅⋅=，即4151x -=，解得：14x =．故选：B ．7．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末）已知正数m ，n 满足242m n ⨯=，则12m n+的最小值为（）A ．3B ．5C ．8D ．9【答案】D【解析】由正数m ，n 满足242m n ⨯=，即222222m n m n +⨯==，所以21m n +=，所以()12122225529n m m n m n m n m n ⎛⎫+=+=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n =，即13m n ==时，取得等号.故选：D.8．（2023秋·高一课时练习）计算下列各式．（1＝；（2＝；（3＝.【答案】a-π3-12【解析】（1a =-.（23ππ3=-=-.（353112222==--=.故答案为：（1）a -；（2）π3-；（3）129．（2023·全国·．【答案】=33-22⎡⎤=⎢⎥⎣⎦(515=++-=====.故答案为：10．（2022·江苏·高一专题练习）()1⎫+⋅⋅⋅=⎪.【答案】8【解析】原式()112132438180⎛=⨯+++⋅⋅⋅+ ----⎝⎭(11=+()11==()818=+.故答案为：8.11．（2023·全国·高三专题练习）()2031.82-⎛⎫-+= ⎪⎭⎝.【答案】19【解析】()222330232711.8192380.12-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⨯2333224349110311027199294⨯⎛⎫=+⨯-+=+⨯-+= ⎪⎝⎭.故答案为：1912．（2023春·上海宝山）若实数x y 、满足21x y +=，则24x y +的最小值为．【答案】【解析】24y x ≥==+=当且仅当2x y =，即11,24x y ==时取到等号.故答案：.13．（2022·高一课时练习）方程41217480x x +-⨯+=，x =．【答案】12-或32．【解析】】因为()22417480x x ⋅-⨯+=，所以142x=或8，解得12x =-或32．故答案为：12-或32．14．（2023·安徽）已知()2311a a --=，则a 的取值可能是．【答案】2或23或0【解析】因为()2311a a --=，当311a -=，即23a =时，()4233111a a ---==，满足要求，当311a -=-，即0a =时，()()223111a a ---=-=，满足要求，当311a -≠且311a -≠-时，由()2311a a --=可得20a -=，所以2a =，所以a 的取值可能是2或23或0，故答案为：2或23或0.15．（2023·全国·0=，则()2020yx ＝.【答案】10=,0130x y =⇒+++=，所以13x y =-=-，.所以()2020202031)]1[(yx -=-=.故答案为：116．（2023·全国·高三专题练习）若27,16a b==-⨯-=【答案】6(-⨯-()()()()11253211272564164ab a ba b a b ⋅⋅=⋅⋅25113322171536244a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12111575233223644ab +--+--=11344a -=，因为27,16a b ==，所以原式1134427166-=⨯⨯=.故答案为:6.17．（2023·全国·高三专题练习）()()()()()3333241441121a a a a a a a a aa a a ------+-+-+=-++-【答案】2a【解析】原式()()66212144121a a a a a a a a a a a a --------⋅+=+-++-()()()()()222441114411a a a a a a a aa a a a -------++-=+--++()()1111112a a a a a a a a a a a a a------+-=-=++-=-.故答案为：2a .18．（2023·全国·高三专题练习）132111333311111x x x xx x x x -+-+-+++-=【答案】13x -【解析】132111333311111x x x xx x x x -+-+-+++-12112111133333333321113333111111111x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎝+⎪⎭⎭-++-⎝12121133333311x x x x x x =-+-+--=-.故答案为：13x -19（2022秋·内蒙古阿拉善盟）（1）计算())24233330.12328-⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）化简：121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅ ⎪.（3）已知11222a a -+=，求22112a a a a --++++的值.【答案】2-；(2)1a -；(3)34【解析】(1)())24233330.12328-⎛⎫⎛⎫-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431322491((3))194=+⨯--1131=+--2=(2)121121332a b a b ---⎛⎫⋅⋅⋅⎪111132231566=aba b --+⋅⋅55661566aba b -⋅=⋅1a -=(3)因为11222a a -+=，两边同时平方可得：12a a -+=，再将12a a -+=两边同时平方可得：222a a -+=，所以22112132224a a a a --+++==+++.20．（2023秋·高一课时练习）求下列各式的值.(1)若32,35a b ==，求23a b -；(2)已知312ab +=a b 的值；(3)若13,2a b -==122a -⋅；(4)若,2.520a b ==111332338234a b a b ---⎛⎫⋅⋅⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.【答案】(1)45(2)3(3)14(4)4【解析】（1）利用指数运算法则可知()22233333a ab a b b--=⋅=，将32,35ab==代入可得2224355a b-==.（2()3322112222333333333a a b a ba ba b ba a +⋅⋅====⋅，又312ab +=，3233a bb +==（3）化简得()()211111123231132222222aab aba ab a b ---+++⎛⎫==⋅⋅⋅= ⎪⎝⋅⎭，将13,2a b -=3211232321112224a a b --⎛⎫⋅===⨯= ⎪⎝⎭（411133231138283412226923339a b a b a b a b a b b -------=⎛⎫⋅⋅⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭=又,2.520a b ==，所以34222311133238233320842.5a b a b b a ---⎛⎫⋅⎛⎫⎫ ⎪⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎝⎪= ⎪⎪⎭⎝⎭21．（2023秋·高一课时练习）已知817,2771a b =-=，求(2112133334133327a a b a a a b++-的值．【答案】94【解析】因为0,270a a b ≠-≠，133327aa a b-21121133333341133339327a a b b a b a a ba++-=⨯-2112211233333333523339392727a a b a b a b a b ba a b++---=-2222333271119248()(27)()327a b a a b a-=====---．22．（2022秋·高一单元测试）计算下列各式的值：(1))()1004623.251648229004-⎛⎫+-⨯-- ⎪⎝⎭；(2)41332233814a a bb a ⎛-÷- ⎝++【答案】(1)100(2)a【解析】（1）)()1004623.251648229004-⎛⎫+-⨯-- ⎪⎝⎭()()46310.25331114224234272122--⎫⎛⎫=+-⨯⨯-- ⎪⎝⎭⨯⨯⎭⎝4131113113242622224463324272122⎛⎫⎛⎫⨯--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+-⨯⨯-- ⎢⨯⨯⎪⎢⎥⎝⎭⎥⎣⎦1332442324272122-=⨯⨯+-⨯⨯--2727211004+---=⨯=（2）41332233814a a bb a ⎛-÷- ⎝++()()11113333221133338422aa b a ab ab a b a-=÷⨯+-+()()11133322111333338422aa b aab ab a ba -=⨯⨯++-()88a b aa a b-==-23（2023·全国·高一课堂例题）化简下列各式：(1)())21132330.0021028---⎛⎫-+--+⎪⎝⎭；0a >，0b >）；(3)112111222111aa a a a----+--+（0a >且1a ≠）．【答案】(1)1679-(2)7188a -(3)0【解析】（1）原式())121232322312715001021 53138008----⎛=⎫⎛⎫=+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎛⎫-⋅+⎭⎪⎝⎭416720199=+-+=-．（2）方法一（由内向外化）==13122241324a b ab a b⎛⎫⎪=⋅⋅⎪⎪⎝⎭1171113371222188422444a b a a b-+----⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．方法二（由外向内化）11122232a bb a⎡⎤⎛⎫⎢⎥==⎢⎥⎝⎢⎥⎣⎦11213111127123238424288811333248a b a a b a a b a a bb a b b a b b a b-⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎢⎥==⋅=⋅⋅=⎨⎬ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭⋅.（3）方法一原式()()11221111111122222111112222211111a aa aa a a a a a a aa a a a a a----------⎛⎫+⎪--+⎝⎭=-=-=-=-+-+．方法二原式()112111111222221111011a aa a a aa a-----+=-=-=⎛⎫-+⎪⎝⎭．24．（2023·全国·高三专题练习）解下列方程：342956x x x⨯+⨯=⨯；【答案】0x=或1x=；【解析】由342956x x x⨯+⨯=⨯，可得()()2232502323x x x x⨯-⨯+⨯=⨯，所以()()2203233x x x x-⨯⨯-=，所以230x x-=或20323x x-⨯=⨯，由230x x -=，可得213x⎛⎫= ⎪⎝⎭，故0x =，由20323x x -⨯=⨯，可得1123x x --=，即1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭=x ，所以10x -=，即1x =，所以0x =或1x =；1．（2023·河南开封）已知0a >，0b >，且1a b +=，a b ¹，则下列不等式成立的是（）A 1122a b <<+B 1122a b <+<C ．1122a b +<<D ．1122a b+<<【答案】A【解析】2112a b a b =++=+≤++=，∵a b ¹；1122a b +≥==∵a b ¹，∴等号不成立，故1122a b +>1122a b <<+.故选：A.2．（2022秋·高一课时练习）化简1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的结果为（）A ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．113212--⎛⎫+ ⎪⎝⎭D ．12【答案】B 【解析】1111132168421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11111113232168324212121212121212-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++++÷- ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111111161683242121212121212------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++÷- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=111118832421212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++÷- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=11113244212121212----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++÷- ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=1113222121212---⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=()11321212--⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭=11321122--⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知0a b >>，224a b ab +=，则22-a b ab 的值为．【答案】【解析】由0a b >>，224a b ab +=，可得224,4a b a b ab b a+=∴+=，设a t b =，则1t >，则214,410t t t t +=∴-+=，解得2t =（2t =，故2212222a b a b t ab b a t -=-=-=+++，故答案为：。
2.1 等式与不等式的性质(精练)(解析版)--人教版高中数学精讲精练必修一
2.1等式与不等式的性质（精练）1．（2023·福建福州）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过160cm ，设携带品的外部尺寸长、宽、高分别为a 、b 、c （单位：cm ），这个规定用数学关系式可表示为（）A ．160a b c ++>B ．160a b c ++<C ．160a b c ++≥D ．160a b c ++≤【答案】D【解析】由题意可知160a b c ++≤．故选：D ．2．（2022·全国·高一专题练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点100米以外（含100米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41000.5x⨯<B ．41000.5x⨯≥C ．41000.5x⨯≤D ．41000.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41000.5x ⨯≥．故选：B ．3．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）某学生月考数学成绩x 不低于100分，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分，用不等式组表示为（）A ．100200240x y z >⎧⎨<+<⎩B ．100200240x y z ≥⎧⎨≤+≤⎩C ．100200240x y z >⎧⎨≤+≤⎩D ．100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩【答案】D【解析】数学成绩x 不低于100分表示为100x ≥，英语成绩y 和语文成绩z 的总成绩高于200分且低于240分表示为200240y z <+<，即100200240x y z ≥⎧⎨<+<⎩.故选：D.4．（2023广西）如图，在一个面积为200m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a 大于宽b 的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（）A ．4a b >B ．()(4200)4a b ++=C ．4(4)(4)200a b a b >⎧⎨++=⎩D ．44200a b ab >⎧⎨=⎩【答案】C【解析】由题意知4a b >，根据面积公式可以得到()(4200)4a b ++=.故选:C ．5．（2022秋·北京·高一校联考阶段练习）2021年是中国共产党成立100周年，为了庆祝建党100周年，学校计划购买一些气球来布置会场，已知购买的气球一共有红､黄､蓝､绿四种颜色，红色多于蓝色，蓝色多于绿色，绿色多于黄色，黄色的两倍多于红色，则购买的气球最少有（）个A ．20B ．22C ．24D ．26【答案】B【解析】分别设红､黄､蓝､绿各有a ，b ，c ，d 个，且a ，b ，c ，d 为正整数，则由题意得1a c ≥+，1c d ≥+，1d b ≥+，21b a ≥+，可得4b ≥，所以7a ≥，6c ≥，5d ≥，即至少有456722+++=个.故选：B.6．（2023安徽省蚌埠市）已知01x <<，则下列不等式成立的是（）A ．21x x x>>B ．21x x x>>C ．21x x x >>D ．21xx x >>【答案】D【解析】因为01x <<，则10x ->，所以()()211110x x xx x x x-+--==>，所以1x x >，又()210x x x x -=->，所以2x x >，所以21xx x >>.故选：D7．（2023·陕西咸阳）已知a b c d ,,,，为实数，满足a b >，且c d >，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bd >B ．12a a+≥C ．a d b c->-D ．11a b<【答案】C【解析】对于A 中，例如1,2,3,4a b c d =-=-=-=-，此时满足a b >且c d >，此时ac bd <，所以A 不正确；对于B 中，当a<0时，可得11[()2a a a a +=--+≤--，当且仅当1a a-=-时，即1a =-时，等号成立，所以B对于C 中，由a b >且c d >，可得a c b d +>+，所以a d b c ->-，所以C 正确；对于D 中，由11b a a b ab--=，因为a b >，可得0b a -<，但ab 的符号不确定，所以D 不正确.故选：C.8．（2023云南）若0b a <<，下列不等式中不一定成立的是（）A ．11a b b>-B ．11a b<C >D ．0a b -<-<【答案】A 【解析】A ：11()2()()b a b b a a b b b a b b a b ----==---，又0b a <<，知：()0b a b ->，但2b a -无法确定符号，错误；B ：111ba b a÷=<，0b a <<，故11a b <，正确；C ：由0b a <<，知220>>>D ：由0b a <<，有0a b -<-<，正确；故选：A9．（2023·全国·高一假期作业）下列说法中，错误的是（）A ．若0,0a b c d >><<，则一定有a b c d>B ．若22a b c c >，则a b >C ．若0,0b a m >>>，则a m ab m b+>+D ．若,a b c d ><，则a c b d->-【答案】A【解析】对于A ，若2,1,2,1a b c d ===-=-，则a bc d=，故A 错误.对于B ，由22a bc c>，可知20c ≠，所以20c >，所以a b >.故B 正确.对于C ，()()()a m a ab bm ab am m b a b m b b b m b b m ++----==+⋅+⋅+，因为0,0b a m >>>，所以()0()m b a b b m ->⋅+，所以a m ab m b+>+.故C 正确.对于D ，因为c d <，所以c d ->-.又a b >，所以a c b d ->-.故D 正确.故选：A.10．（2023·天津南开）已知a ，b ∈R ，则“a b >”是“22a b >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】若0a b =>，则22a b >不成立，若a b >且0a b <=，此时22a b >推不出a b >，所以“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件.故选：D11．（2023·全国·高一专题练习）下列不等式正确的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若c ca b>，则a b <C ．若0a b +>，0c b ->，则a c >D ．若0a >，0b >，0m >，且a b <，则a m ab m b+>+【答案】D【解析】对于A ，当0c =，1a =-，2b =时满足22ac bc ≥，但a b <，所以A 错误；对于B ，当1c =-，2a =-，3b =-时，满足c ca b>，但a b >，所以B 错误；对于C ，由不等式的基本性质易知0a c +>，当1a =-，32b =，2c =时满足0a b +>，0c b ->，但a c <，所以C 错误；对于D ，()()()()()0a m b a b m b a m a m a b m b b m b b m b+-+-+-==>+++，所以a m ab m b +>+，故D 正确．故选：D ．12．（2022·新疆克拉玛依）如果,,,R ,0a b c d ab ∈≠，则下列命题为真命题的是（）A ．若a b >，则11a b <B ．若a b >，则22ac bc >C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若a b >，则2211ab a b>【答案】D【解析】对A ，取1,1a b ==-，则11a b>，故A 错；对B ，取0c =，则22ac bc =，故B 错；对C ，取2,1,0,2a b c d ==-==-，则0,2ac bd ==，故C 错；对D ，由于a b >，所以222211a b ab a b a b --=，a b > ，且0ab ≠，则220a ba b ->，则2211ab a b>，故D 正确；故选：D.13．（2023·江苏·高一假期作业）下列命题是真命题的为（）A ．若a b >，则11a b<B ．若2b ac =，则2b a >或2b c >C ．若x y <，则22x y <D ．若a b ==【答案】C【解析】对于A ，若1,2a b ==-，则11a b>，故A 是假命题．对于B ，当0,1a b c ===时，满足2b ac =，但2b a >或2b c >不成立，故B 是假命题．对于C ，因为0y x >≥，根据不等式的性质得22x y <，故C 是真命题．对于D ，当2a b ==-D 是假命题．故选：C14．（2023春·陕西咸阳）已知1214a b ≤≤≤≤,-,则2a b -的取值范围是（）A ．[]7,4-B ．[6,9]-C ．[6,9]D ．[2,8]-【答案】A【解析】因为14b -≤≤,所以822b -≤-≤,由12a ≤≤,得724a b -≤-≤,故选：A 15．（2023春·福建三明）（多选）若0a b >>，R c ∈，则下列结论正确的有（）A ．0a b ->B ．22a b >C ．ac bc >D ．11a b<【答案】ABD【解析】因为0a b >>，R c ∈，对于A 选项，0a b ->，A 对；对于B 选项，22a b >，B 对；对于C 选项，当0c <时，ac bc <，C 错；对于D 选项，110b aa b ab--=<，则11a b <，D 对.故选：ABD.16．（2023春·山东临沂）（多选）设,a b 为正实数，则下列命题正确的是（）A ．若221a b -=，则1a b -<B ．若111b a-=，则1a b -<C ．若1a b >+，则221a b >+D ．若1a ≤，1b ≤，则1|a b ||ab |-≥-【答案】AC【解析】对于A ，由221a b -=及,a b 为正实数，可知1a b a b-=+，2211a b =+>，则1a >，由1,0a b >>，可得1a b +>，所以11a b a b-=<+，故A 正确；对于B ，若3a =，则13141b a ==+，所以1a b ->，故B 错误；对于C ，若1a b >+，则()22211a b b >+>+，故C 正确；对于D ，若1a b =≤，则01|a b ||ab |-=≤-，故D 错误.故选：AC17．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列是假命题的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若c ca b>，则a b <C ．若0a b +>，0c b ->，则a c >D ．若0a >，0b >，0m >，且a b <，则a m ab m b+>+【答案】ABC【解析】对选项A ：当0c =，1a =-，2b =时满足22ac bc ≥，但a b <，错误；对选项B ：当1c =-，2a =-，3b =-时，满足c ca b >，但a b >，错误；对选项C ：当1a =-，32b =，2c =时满足0a b +>，0c b ->，但a c <，错误；对选项D ：()()()()()0a m b a b m b a m a m a b m b b m b b m b+-+-+-==>+++，所以a m ab m b +>+，正确．故选：ABC18．（2022秋·四川凉山·高一统考期末）下列四个命题中，正确的是（）A ．若22ac bc ≥，则a b ≥B ．若a >b ，且11a b>，则ab <0C ．若a >b >0，c >0，则b c ba c a+>+D ．若0c a b >>>，则a bc a c b>--【答案】BCD【解析】选项A ，例如2a =-，1b =，0c =时，22ac bc ≥成立，但a b ≥不成立，A 错误；选项B ，a b >，11110b a a b a b ab->⇒-=>，而0b a -<，因此0ab <，B 正确；选项C ，0,0a b c >>>，0a b ->，0a c +>，则()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==>+++，即b c ba c a+>+，C 正确；选项D ，0c a b >>>，则0,0,0c a c b a b ->->->，()()()()()()()0a c b b c a c a b a b c a c b c a c b c a c b -----==>------，则a b c a c b>--，D 正确．故选：BCD ．19．（2022·高一课时练习）某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买两套，那么买票面8角的x 套与票面2元的y 套用不等式组可表示为______.【答案】2,2,0.852450x x N y y N x y ++≥∈⎧⎪≥∈⎨⎪⨯+⨯≤⎩【解析】每种邮票至少买两套，则有2,,2,x x N y y N ++≥∈≥∈，又因为50元钱买纪念邮票，所以0.852450x y ⨯+⨯≤，故2,2,0.852450x x N y y N x y ++≥∈⎧⎪≥∈⎨⎪⨯+⨯≤⎩20．（2023·湖南）已知a ，b ，c ，d 为实数，以下6个命题中，真命题的序号是__________．①若a b >，则22ac bc >；②若22ac bc >，则a b >；③若0a b <<，则bb xaa x+<+；④若0a b <<，则22a ab b >>；⑤若0a b <<，则11a b <；⑥若0a b <<，则b a a b>；【答案】②④【解析】对①，当0c =时，22ac bc =，故①不成立；对②，若22ac bc >，则20c ≠，即20c >，则a b >，故②成立；对③，若1,2,1a b x ===，则322b b x aa x +=,=+，则b b x a a x+>+，故③不成立.对④，若0a b <<，则2a ab >且2ab b >，故22a ab b >>，故④成立；对⑤，若0a b <<，则0ab >，故a b ab ab <，即11a b>，故⑤不成立，对⑥，0,1,1,a b b aa b b a a b<<∴><∴< ，故⑥不成立，故②④为真命题.故答案为：②④.21．（2023·黑龙江）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小【答案】2222a b a ba b a b-->++【解析】00,0a b a b a b >>⇒+>-> ，()()2222220,0a b a b a b a b a b a b a b +---∴=>>+++，222222222()211a b a b ab a b a b a b a b a b -++∴==+>-+++，2222a b a ba b a b--∴>++.22．（2023·全国·高一假期作业）已知0a >，0b >+a b =时取等号）【解析】方法一：由题意()a b --==2=，因为0a >，0b >0>，2≥0>，2≥，当且仅当a b =时等号成立，a b =时取等号）.a b +==2==211，当且仅当a b =时等号成立，a b =时取等号）.23．（2023·河北）已知23a <<，21b -<<-，分别求a b +，2a b -，ab ，ab的取值范围．【答案】详见解析.【解析】因为23a <<，21b -<<-，所以()()2231a b +-<+<+-，即a b +的取值范围是()0,2．由426a <<，12b <-<，得528<-<a b ，所以2a b -的取值范围是()5,8．由23a <<，12b <-<，得26ab <-<，所以ab 的取值范围是()6,2--．易知1112b<-<，而23a <<则13ab<-<，所以ab的取值范围是()3,1--．24．（2023·江苏）已知a b c >>，且0a b c ++=<【答案】证明见解析【解析】因为a b c >>，且0a b c ++=，所以0a >，0c <，<，即证223b ac a -<，从而只需证明22()3a c ac a +-<，即()(2)0a c a c -+>，因为0a c ->，20a c a c a a b +=++=->，所以()(2)0a c a c -+>成立，故原不等式成立．25．（2023·陕西）已知a ，b ∈R ，且满足1311a b a b ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则42a b +的取值范围是？【答案】[2,10]【解析】设()()42a b A a b B a b +=++-，则42A B A B +=⎧⎨-=⎩，解得31A B =⎧⎨=⎩，所以423()()a b a b a b +=++-，又13a b ≤+≤，所以33()9a b ≤+≤，又11a b -≤-≤，所以314291a b -≤+≤+，即24210a b ≤+≤.故42a b +的取值范围为[2,10].1．（2023山西）集合()*{,,|S x y z x y z N =∈、、，且x y z <<、y z x <<、z x y <<恰有一个成立}，若(),,∈x y z S且(),,z w x S ∈,则下列选项正确的是A ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S∉【答案】B【解析】从集合S 的定义，(),,x y z S ∈，(),,z w x S ∈可知,,,x y z w 满足不等关系x y z <<且x z w <<，或x y z<<且w x y <<，或y z x <<且z w x <<，或z x y <<且z w x <<，这样可能有x y z w <<<或w x y z <<<或y z w x <<<或z w x y <<<，于是(),,y z w S ∈，(),,x y w S ∈，选B ．2．（2023·山东淄博）（多选）对于实数a ，b ，c ，正确的命题是（）A ．若a b >，则2a ba b +>>B ．若0a b >>，则a b >>C ．若11a b>，则0a >，0b <D ．若0a b >>，0c >，则a a cb b c+>+【答案】ABD【解析】对选项A ，因为a b >，所以022a b a b a +--=>，022a b a bb +--=>，所以2a ba b +>>，故A 正确；对选项B ，0a b >>1=>，所以a >1>b >，即a b >>，故B 正确；对选项C ，令2a =，3b =，满足11a b>，不满足0a >，0b <.对选项D ，因为0a b >>，0c >，所以()()()()()0a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==>+++，故D 正确.故选：ABD3．（2022秋·四川广安·高一统考期末）（多选）下列命题为真命题的是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a b >，c d >，则a c b d +>+C ．若a b >，c d >，则ac bd>D ．若0b a >>，0c >，则a a cb b c+>+【答案】AB【解析】对于A 项，因为222()0ac bc c a b -=->，所以20c >且0a b ->，即：0c ≠且a b >，故A 项正确；对于B 项，运用不等式的性质可知，若a b >，c d >，则a c b d +>+正确，故B 项正确；对于C 项，当2a =-，3b =-，2c =，1d =时，满足a b >，c d >，但不满足ac bd >，故C 项错误；对于D 项，因为()()()()()a a c abc b a c a b c b b c b b c b b c ++-+--==+++，又因为0b a >>，0c >，所以0a b -<，0b c +>，所以()0()a b c b b c -<+，即：a a c b b c+<+，故D 项错误.故选：AB.4．（2023·福建）已知25,01a b a b <+<<-<，某同学求出了如下结论：①13a <<；②12b <<；③1522b <<；④422a b -<-<；⑤321a b -<-<；⑥124a b <-<；，则下列判断中正确的是（）A ．①③④B ．①②④C ．①②⑤D ．①③⑥【答案】D 【解析】11()()22a a b a b =++-,1525,1()22a b a b <+<<+<,1101,0()22a b a b <-<<-<,则13a <<，①正确；=b 11()()22a b a b +--，151()22a b <+<，110()22a b <-<，11()022a b -<--<，则1522b <<，③正确；132()()22a b a b a b -=-++-，51<(+)<122a b ---，330()22a b <-<，则51222a b -<-<，②④⑤错误，132()()22a b a b a b -=++-，151()22a b <+<，330()22a b <-<，则124a b <-<⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D.5．（2023·宁夏吴忠）设x ，y 为实数，满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，则3x y 的最小值是______.【答案】12【解析】设()223nm x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭即322m n m n xy x y -+-=⋅所以2123m n m n +=⎧⎨-=-⎩，解得11m n =-⎧⎨=⎩所以()2123x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭因为238xy ≤≤，249x y ≤≤，所以()121183xy -≤≤由不等式性质可知()212132x xy y -⎛⎫≤⋅≤ ⎪⎝⎭即3132x y ≤≤，当且仅当()212418x y xy -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，解得74552,2x y ==.综上可知，3x y 的最小值为12.故答案为：12.6．（2023·上海）已知x ∈R ，定义：[]x 表示不小于x的最小整数，如：2=，1⎡=-⎣，[]22=，若[]25x x ⎡⎤⋅=⎣⎦，则x 的取值范围是______.【答案】51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】由[]25x x ⎡⎤⋅=⎣⎦，可得[]425x x <⋅≤，即[]522x x <⋅≤；当[]1x =时，即01x <≤时，522x <≤（舍去）；当[]2x =时，即12x <≤时，514x <≤，满足题意；当[]3x =时，即23x <≤时，2536x <≤（舍去）；同理可知，当[]0x ≤或[]4x ≥时不合题意，所以实数x 的取值范围是514x <≤.故答案为：51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦7．（2022·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7，则女学生人数的最小值为___________；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为___________.【答案】512【解析】设男学生、女学生、教师的人数分别为x 、y 、z ，则2z y x z <<<.若7x =，则727y z z >>⎧⎨>⎩，可得772z <<，则{}4,5,6z ∈，当4z =时，y 取最小值5，即男学生人数为7，则女学生人数的最小值为5；若x 的值未知，当1z =时，则12z y x =<<<，不满足题意，当2z =时，则24z y x =<<<，不合乎题意，当3z =时，则36z y x =<<<，此时4y =，5x =，则12x y z ++=，合乎题意.故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为12.故答案为：5；12.8．（2023吉林）已知,,,(0,1)a b c d ∈，试比较abcd 与3a b c d +++-的大小，并给出你的证明．【答案】3abcd a b c d >+++-，证明见解析.【解析】3abcd a b c d >+++-证明如下：因为,(0,1)a b ∈，所以()()()11110ab a b ab a b a b -+-=--+=-->，即1ab a b >+-因为,,(0,1)a b c ∈，所以()0,1ab ∈，所以()111abc ab c ab c a b c =⋅>+->+-+-，即2abc a b c >++-，因为,,,(0,1)a b c d ∈，所以()0,1abc ∈，()1213abc d abc d a b c d a b c d ⋅>+->++-+-=+++-，即证得3abcd a b c d >+++-9（2023新疆）比较下列各组数的大小()a b ≠.（1）2a b +与211a b+，(0,0)a b >>；（2）44a b -与()34a a b -.【答案】（1）2112a b a b+>+；（2）()4434a b a a b -<-.【解析】（1）()()()()22422112222a b ab a b a b a b ab a b a b a b a b +--++-=-==++++，0a >，0b >且a b ¹，∴0a b +>，()20a b ->.∴()()202a b a b ->+，即2112a b a b +>+.（2）()4434a b a a b ---()()()()2234a b a b a b a a b =-++--()()322334a b a a b ab b a =-+++-()()()()232333a b a b a ab a b a =--+-+-⎡⎤⎣⎦()()()()()()222a b a b a a b a b a b a a ab b =--+-++-++⎡⎤⎣⎦()()22232a b a ab b =--++()()2222a b a a b =--++⎡⎤⎣⎦()2220a a b ++≥（当且仅当0a b ==时取等号），又a b ¹，∴()20a b ->，()2220a a b ++>.∴()()22220a b a a b ⎡⎤--++<⎣⎦∴()4434a b a a b -<-.。
人教A版数学必修一必修①精讲精练答案
第1练 §1.1.1 集合的含义与表示【第1练】 1～5 BCCCD 6. a B ∈ 7. 0,1,3x ≠-8. （1）{|2}y y ≥；（2）{|2}x x ≠± 9. {1,2,4,5,7} 提示：分31,2,4x -=±±±等情况.10. ④ 提示：集合①与②是等价的，它们均表示除去了四条直线外的所有的点；集合③表示整个坐标平面；集合④不能表示点（1，1）、（2，-3），集合④能表示所指定的集合．第2练 §1.1.2 集合间的基本关系【第2练】 1～5 DDAAD 6. 7个 7. －1，08. 2a =. 提示：联合2352a a -+=及26102a a -+=求解. 9. 3m ≤（注意区间端点及B =φ）10.解：依题意可知，“孤立元素x ”是没有与x 相邻的，非“孤立元素x ”是指在集合中有与x 相邻的元素．因此所求问题的集合可分成如下两类：（1）4个元素连续的，有3个：{0，1，2，3}，{1，2，3，4}，{2，3，4，5}；（2）4个元素分两组，每组两个连续的，也有3个：{0，1，3，4}，{1，2，4，5}，{0，1，4，5}．第3练 §1.1.3 集合的基本运算（一）【第3练】 1～5 CDACB 6. {6} 7. {(3,1)}-8. A ={1，3，5，7}，B ={2，3，4，6，8}. 提示：由Venn 图可知.9. {|4}x x ≥, {|4}x x ≥.10.解：（1）{1,4}B =.当4a =时，{4}A =，则{1,4}AB =，{4}A B =； 当1a =时，{1,4}A =，则{1,4}A B =，{1,4}A B =；当1a ≠且4a ≠时，{4,}A a =，则{1,4,}A B a =，{4}AB =. （2）若A B ⊆，由上易知4a =或1a =.（3）当5a =时，{1,5}A =，{1,4,5}A B =，其真子集有7个.{4}AB =，则满足{4}{1,4,5}P 刎的集合P 有：{1,4},{4,5}.第4练 §1.1.3 集合的基本运算（二）【第4练】 1～5 BDBBA 6. 1a ≥7. 80 提示：结合文氏图，易知()()()()n A B n A n B n A B =+-，则65352080+-=8. {2,1,4}A B =-- 9. 2a = 提示：由集合元素的特征列方程组而解.10. （1）A ※B ={3，4，5，2，1}，3+4+5+2+1=15．答案选A ．（2）先将A *B 化简即得 A *B ={x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }=()A B A B ð∪∩．∴(A *B )*A ={x |x ∈(A *B )∪A ，且x ∉(A *B )∩A }={x |x ∈A ∪B ，且x ∉()A A B ð∩}=B ．（3）S ＝(1＋2＋3＋…＋100)－(6＋12＋18＋…＋96)＝5050－816＝4234第5练 §1.2.1 函数的概念【第5练】 1～5 CDBBC 6. 3＋2, 57 7. －18. （1）(,1)(1,2]-∞；（2）定义域1{|}3x x ≠，值域2{|}3y y ≠-. 9. 211()22f x x x =+ 10. 解：令x y =得22()()(0)f xg y g +=. 再令0x =，即得(0)0,1g =. 若(0)0g =，令1x y ==时，得(1)0f =不合题意，故(0)1g =；(0)(11)(1)(1)(1)(1)g g g g f f =-=+，即21(1)1g =+，所以(1)0g =；那么(1)(01)(0)(1)(0g g g g f f -=-=+=，(2)[1(1)](1)(1)(1)(1)1g g g g f f =--=-+-=-.。
人教版高中数学精讲精练必修一5.4 三角函数的图象与性质(精练)(解析版)
5.4三角函数的图象与性质（精练）1．（2023春·北京昌平·高一统考期末）下列函数中，是偶函数且其图象关于点π(,0)4对称的是（）A ．()sin f x x =B ．()cos f x x =C ．()sin4f x x =D ．()cos2f x x=【答案】D【解析】对于A ，函数()sin f x x =是奇函数，A 不是；对于C ，函数()sin4f x x =是奇函数，C 不是；对于B ，函数()cos f x x =是偶函数，而ππ(cos 0442f ==≠，即()cos f x x =的图象不关于点π(,0)4对称，B 不是；对于D ，函数()cos2f x x =是偶函数，ππ(cos 042f ==，即()cos2f x x =的图象关于点π(,0)4对称，D 是.故选：D2．（2023·全国·高一假期作业）设函数()πcos ,(0)4f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π5，则它的一条对称轴方程为（）A ．π8x =B ．π8x =-C ．π12x =D ．π12x =-【答案】A【解析】因为的()f x 最小正周期为π5，所以2π10T ω==，所以()πcos 104f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令104πx kπ-=，Z k ∈，解得()1040kππx k Z =+∈，所以()f x 的对称轴为直线()1040kππx k Z =+∈，当1k =时，π8x =，其它各项均不符合，所以π8x =是函数()f x 的对称轴，故选：A ．3．（2022·高一课时练习）已知函数()()2cos 3f x x ϕ=+，则“2πϕ=＋2kπ，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当22k πϕπ=+，k ∈Z 时，()2cos(3)2sin 3f x x x ϕ=+=-，所以()f x 为奇函数．当()f x 为奇函数时，2k πϕπ=+，k ∈Z ．综上，“22k πϕπ=+，k ∈Z ”是“()f x 为奇函数”的充分不必要条件．故选：A.4．（2023春·江苏盐城·高一校联考期中）设函数π()sin()3f x x ω=+在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎡⎤⎢⎣⎦B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138(,63D ．1319(,66【答案】C【解析】由函数π()sin()3f x x ω=+，其中π()0,x ∈，可得πππ(,)333x ωωπ+∈+，因为函数()f x 在区间(0,π)恰有三条对称轴､两个零点，则满足5ππ3π23ωπ<+≤，解得13863ω<≤，所以ω的取值范围为138(,]63.故选：C.5．（2023春·辽宁抚顺·高一校联考期中）已知函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，则tan2m n+=（）A．BC．D【答案】D【解析】由函数()πcos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],m n 上单调递减，且()()2f m f n -=，可得()π22π6Z π2π2π6m k k n k ⎧-=⎪⎪∈⎨⎪-=+⎪⎩，两式相加得π2()π4π,Z 3m n k k +-=+∈，即ππ,Z 23m n k k +=+∈，所以πtan tan 23m n +==故选：D.6．（2023春·四川绵阳·高一绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知6πsin 7a =，4πsin 7b =，2πsin 7c =，则（）A ．a b c>>B ．c b a>>C ．c a b>>D ．b c a>>【答案】D【解析】由诱导公式知：ππsin πsin 77a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，3π3πsin πsin 77b ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x = 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，3π2ππsin sin sin 777∴>>，即b c a >>.故选：D.7．（2023秋·高一单元测试）函数y =的定义域是（）A ．}{π|2π2π2,Z x k x k k ≤≤+∈B ．π|ππZ}{2,x k x k k ≤≤+∈C ．}{π|2ππZ 2,x k x k k ≤≤+∈D ．}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈【答案】D【解析】函数y 有意义，则2cos 210x +≥，即1cos 22x ≥-，因此2π2π2π22π,Z 33k x k k -≤≤+∈，解得ππππ,Z 33k x k k -≤≤+∈，所以函数y =的定义域是}{ππ|ππ,Z 33x k x k k -≤≤+∈.故选：D8．（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）不等式cos 20x ≥在[]π,π-上的解集为（）A ．2π2ππ,,π33⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U B ．2π2π,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．5π5ππ,,π66⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U D ．5π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】∵cos 20x ≥，则cos 2x ≥-，注意到[]π,πx ∈-，结合余弦函数图象解得5π5π,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：D.9．（2023春·江西抚州·高一江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知函数()()lg 2cos 1f x x =-，则函数()f x的定义域为（）A ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭B ．ππ2π,2π,Z33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．Zππ,ππ2,266k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D ．Z ππ,ππ2,266k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】由题意得：2cos 10x ->，即1cos 2x >，则ππ2π,2π,Z 33x k k k ⎛⎫∈-+∈ ⎪⎝⎭.故选：A10．（2023春·四川眉山·高一校考阶段练习）已知()3sin2x f x =在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A ．1B ．13C ．12D ．43【答案】A【解析】因为π0,,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以,23π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦结合三角函数的图像性质，函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，所以()max π1,3f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭故选：A.11．（2023春·四川眉山·高一校考期中）函数23cos 4cos 1y x x =-+的最小值是（）A ．13-B ．154C ．0D ．14-【答案】A【解析】函数22213cos 4cos 13cos 33y x x x ⎛⎫=-+=--⎪⎝⎭又函数[]cos 1,1x ∈-，所以当2cos 3x =时，函数2213cos 33y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小值为13-.故选：A.12．（2023春·福建泉州·高一校考期中）（多选）若函数()π3sin 26f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，则ϕ的值不可能为（）A ．π6B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】由函数()3sin 26f x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭是偶函数，可得()03f =±，即πsin 16ϕ⎛⎫-+=± ⎪⎝⎭，则ππ,Z 62k k ϕπ-+=+∈，解得2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，当0k =时，可得2π3ϕ=，无论k 取何值，ϕ都不可能等于π6或π2或5π6．故选：ABD ．13．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）（多选）下列大小关系中正确的是（）A ．cos11sin10cos168︒<︒<︒B ．cos168sin10cos11︒<︒<︒C ．sin11sin168cos10︒<︒<︒D ．sin168cos10sin11︒<︒<︒【答案】BC【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】 cos11sin 79sin100︒=︒>︒>，又cos1680︒<，cos168sin10cos11∴︒<︒<︒；且sin11sin168sin12cos10cos80︒<︒=︒<︒=︒.故选：BC.14．（2023春·甘肃兰州·高一校考开学考试）（多选）下列不等式中成立的是（）A ．sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()cos400cos 50︒>-︒C ．sin 3sin 2>D ．87sincos 78ππ>【答案】BD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】对于A ，因为02810πππ-<-<-<，且函数sin y x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则sin sin 810ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为()cos 400cos 36040cos 40︒=︒+︒=︒，()cos 50cos50-︒=︒，且函数cos y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则cos 40cos50︒>︒，即()cos400cos 50︒>-︒，故B 正确；对于C ，因为32322ππ<<<，且函数sin y x =在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则sin3sin 2<，故C 错误；对于D ，因为7733cossin sin sin 82888πππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，8sin sin 77ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且30782πππ<<<，函数sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则3sin sin 78ππ<，即87sin cos 78ππ>，故D 正确；故选：BD15．（2022春·辽宁大连·高一大连八中校考期中）（多选）下列坐标所表示的点中，是函数πtan(26x y =-图像的对称中心的是（）A ．5π(,0)3-B ．π(,0)3C ．2π(,0)3D ．4π(,0)3【答案】ABD【分析】根据二次函数与余弦函数的性质求解最值即可.【详解】令ππ,Z 262x k k -=∈，解得ππ,Z 3x k k =+∈，A 选项，当2k =-时，π5π2π33x =-+=-，故对称中心为5π(,0)3-，A 正确；B 选项，当0k =时，π3x =，故对称中心为π(,0)3，B 正确；C 选项，令π2ππ33k +=，解得13k =，不合要求，舍去，C 错误；D 选项，当1k =时，4π3x =，故对称中心为4π,03⎛⎫⎪⎝⎭，D 正确；故选：ABD16．（2023·上海）（多选）已知函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，则（）A ．2ω=B ．()()π2π125f f ->C ．()f x 的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z D ．()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BCD【解析】因为函数()πtan 2(0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期是π2，所以ππ22T ω==，又0ω>，得到1ω=，所以π()tan(26f x x =-，选项A ，因为1ω=，故选项A 错误；选项B ，因为()()πππ2π19π11πtan()tan ,tan()tan()123353030f f -=-=-==-，又π11ππ03302<<<，由tan y x =的性质知，π11πtan tan 330<，所以()()π2π125f f ->，故选项B 正确；选项C ，由ππ2(Z)62k x k -=∈，得到()ππ412k x k =+∈Z ，所以π()tan(2)6f x x =-的对称中心为()ππ,0412k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，故选项C 正确；选项D ，当ππ,123x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，ππ2(0,62x -∈，由tan y x =的性质知，()f x 在区间ππ,123⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项D 正确.故选：BCD.17．（2023·全国·高一专题练习）（多选）下列关于函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的说法正确的是（）A ．在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．最小正周期是πC ．图象关于点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称D ．图象关于直线π12x =-成轴对称【答案】AC【解析】对于A ，令ππππ2π232k x k -+<-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ122122k k x -+<<+，当1k =-时，7ππ1212x -<<-，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在7ππ,1212⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，又ππ7ππ,,3121212⎛⎫⎛⎫--⊆-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在区间ππ,312⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，正确；对于B ，πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭最小正周期为ππ22T ==-，错误；对于C ，令ππ232k x -+=得，ππ,Z 64k x k =-∈，所以πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭对称中心为ππ,0,Z 64k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，当1k =-时，5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是对称中心，正确；对于D ，函数πtan 23y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭不成轴对称，没有对称轴，错误.故选：AC.18．（2023·全国·高三专题练习）函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为．【答案】ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】ππtan 3tan 344y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．由()()ππππ3πZ Z 242ππππ12343k k k k k x x k -+<-<+∈⇒+<<+∈-，故函数πtan 34y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 故答案为：ππππ,()12343k k k ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z 19．（2023春·广东佛山·高一校考阶段练习）若()ππcos 232f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=++< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭是奇函数，则ϕ=.【答案】6π/16π【解析】由题设πππ32k ϕ+=+且Z k ∈，故ππ6k ϕ=+，Z k ∈，又π2ϕ<，故0k =有π6ϕ=.故答案为：π620．（2023春·高一课时练习）函数1πsin 226y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与y 轴最近的对称轴方程是．【答案】π6x =-【解析】令ππ2π,62x k k -=+∈Z ，解得ππ,23k x k =+∈Z ，令1k =-，则π6x =-；令0k =，则π3x =；因为ππ63-<，所以与y 轴最近的对称轴方程是π6x =-.故答案为：π6x =-.21．（2023·全国·高一专题练习）已知函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则ϕ的最小值为.【答案】π6【解析】因为函数()()()cos 2R ϕ=+∈f x x x 的图象关于点2π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，所以2ππ2π,Z 32k k ϕ⨯+=+∈，所以5ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，则当1k =时，ϕ的最小值为π6.故答案为：π622．（2023春·高一单元测试）已知函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为．【答案】ππ(π,π+Z612k k k -∈【解析】令πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由0t >，可得πcos 206x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，所以πππ2π22π+,Z 262k x k k -<-<∈，解得ππππ+,Z 63k x k k -<<∈，所以函数的定义域为ππ(π,π+Z 63k k k -∈，由余弦函数的性质可知：πcos 26t x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在ππ(π,π+Z 612k k k -∈上单调递增，在ππ(π+,π+),Z 123k k k ∈上单调递减，又因为2()log f x t =在定义域上为单调递增函数，由复合函数的单调性可知：函数2π()log cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为ππ(π,π+),Z 612k k k -∈.故答案为：ππ(π,π+),Z612k k k -∈23．（2023春·陕西渭南·高一白水县白水中学校考期中）若0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是.【答案】ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2,33x ϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为0πϕ<<，函数()cos(2)f x x ϕ=+在区间ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以[]ππ,0,π33ϕϕ⎡⎤-++⊆⎢⎥⎣⎦，所以π03ππ3ϕϕ⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，即π2π33ϕ≤≤，当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，π2,3x ϕϕϕ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为0πϕ<<，()f x 在区间π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，所以ππ23ϕϕ<<+，解得ππ62ϕ<<，综上：ππ32ϕ≤<，故答案为：ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭24．（2023春·陕西西安·高一西北工业大学附属中学校考阶段练习）求函数()2ln cos 2f x x ⎛=- ⎝⎭的定义域为．【答案】ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦【解析】根据题意可得12sin 0x -≥，解得1sin 2x ≤，所以7ππ2π,2π,Z 66x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦；又2cos 02x -，即cos 22x >，解得ππ2π,2π,Z 44x k k k ⎛⎫∈-++∈ ⎪⎝⎭取交集部分可得，()f x 的定义域为ππ2π,2π,Z 46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦.故答案为：ππ2π,2π,Z46k k k ⎛⎤-++∈ ⎥⎝⎦25．（2023·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式2cos 4cos 1x x a -+≥在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦内恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】[)4,∞+【解析】由2cos 4cos 1x x a -+≥得2cos 4cos 1a x x ≥-++，设cos t x =，因π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以[]cos 0,1t x =∈，则241a t t ≥-++在[]0,1t ∈上恒成立，设()241f t t t =-++，则二次函数()f t 的对称轴为2t =，因其开口向下，所以[]0,1t ∈时函数()f t 单调递增，所以()f t 的最大值()14f =，故4a ≥，故答案为：[)4,∞+26．（2023春·山东日照·高一统考期中）函数()π3cos 23f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()0ω>在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，则ω的取值范围是．【答案】12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为02x π≤≤，所以πππ24π333x ωω≤+≤+.因为()f x 在[]0,2π上恰好取得一次最小值3-，所以ππ4π3π3ω≤+<，所以1263ω≤<.因为π5π36x -≤≤，所以ππππ5ππ1322π9333339x ωωω-<-+≤+≤+<.因为，()f x 在π5π,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，根据余弦函数的单调性可知ππ20335πππ33ωω⎧-+≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得205ω<≤.所以，1265ω≤≤.故答案为：12,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦.27．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高一统考期末）函数()πsin 14f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象的对称轴方程为，对称中心为.【答案】()ππ4x k k =+∈Z ()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 【解析】由πππ,42x k k +=+∈Z ，解得ππ,4x k k =+∈Z ，所以函数()f x 的对称轴方程为()ππ4x k k =+∈Z .令ππ,4x k k +=∈Z ，得ππ,4x k k =-+∈Z ，所以函数()f x 的对称中心为()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .故答案为：()ππ4x k k =+∈Z ，()ππ,04k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z 28．（2023·全国·高一课堂例题）求函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为，最小值为．【答案】41【解析】因为[0,π]x ∈，所以ππ7π,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以1πsin 126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，所以π22sin 16x ⎛⎫-≤-+≤ ⎪⎝⎭，所以π12sin 346x ⎛⎫≤-++≤ ⎪⎝⎭，故函数π2sin 36y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的最大值为4，最小值为1．故答案为：4，129．（2023秋·高一课时练习）（1）函数()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为；（2）函数()23πsin 0,42f x x x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是.【答案】⎡-⎣1【解析】（1）当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π3ππ2,444x ⎡⎤+∈-⎢⎣⎦，πcos 242x ⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()f x -∴∈⎡⎣，即()f x 的值域为⎡-⎣；（2）()222331sin 1cos cos 444f x x x x x x x =+-=-+-=-++，π0,2x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；令cos x t =，则[]0,1t ∈，()221142g t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，则当2t =时，()max 1g t =，即()f x 的最大值为1.故答案为：⎡-⎣；1.30．（2023秋·高一课时练习）求下列函数的值域．(1)212cos 2sin y x x =-+；(2)2sin 2sin x y x-=+；(3)ππ()2sin 2,0,62f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.【答案】(1)332,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)13,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦(3)[]1,2-【解析】（1）2221312cos 2sin 2sin 2sin 12sin .22y x x x x x ⎛⎫=-+=+-=+- ⎪⎝⎭当1sin 2x =-时，min 32y =-；当sin 1x =时，max 3y =.∴函数212cos 2sin y x x =-+的值域为3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）()42sin 412sin 2sin x y x x-+==-++，∵1sin 1x -≤≤，∴12sin 3x ≤+≤，∴44432sin x≤≤+，141332sin x≤-≤+，即,133y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.∴函数2sin 2sin x y x -=+的值域为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）πππ7π0,,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，根据正弦函数的性质，可知π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故[]π2sin 21,26x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭.即函数的值域为[]1,2-.2．（2023·全国·高一课堂例题）已知函数()π2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围为（）A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为()f x 在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以ππ342T ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以127ω>．令π6t x ω=+，当ππ,43x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππππ,4636t ωω⎛⎫∈-++ ⎪⎝⎭，于是()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间ππ,43⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最值点个数等价于()2sin g t t =在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上的最值点个数．由127ω>知，ππ046ω-+<，ππ036ω+>，因为()g t 在ππππ,4636ωω⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以3ππππ,2462πππ3π,2362ωω⎧-<-+<-⎪⎪⎨⎪<+<⎪⎩解得843ω<<．答案：B.2．（2023春·河南新乡·高一新乡市第一中学校考阶段练习）已知2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，则ω的值为（）A ．223B ．263C ．343D ．383【答案】A 【解析】因为2πππ()sin (0),363f x x f f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于πππ6324x +==对称，且()f x 在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭上有最大值，无最小值，所以ππ2πsin 1443f ω⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()π2ππ2π,Z 432k k ω+=+∈，所以()8282=8Z 33k k k ω=+--∈，当1k =时，223ω=，当2k =时，462π3πππ,46323363T ω===<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值;当2k >时，462π3πππ,46323363T ω><=<-，此时在区间ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭内已存在最小值．故选：A ．3．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考阶段练习）已知函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且当ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≥恒成立，则ω的取值范围为（）A ．522170,,232⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ B ．4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．4280,8,33⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．5220,,823⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【答案】B【解析】由已知，函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111π2ππ2πZ 3k x k k ω-≤-≤∈，解得：()1112π2π2ππZ 33k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()111Z π,π,642π2π2ππ33k k k ωωωω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦-+∈，所以112ππ2π632πππ43k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()11141248Z 3k k k ω-≤≤+∈①又因为函数()πcos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在ππ,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上()0f x ≥恒成立，所以()222πππ2π2π+Z 232k x k k ω-≤-≤∈，解得：()2222π2ππ5πZ 66k k x k ωωωω-≤≤+∈，由于()2222π2ππ5π,Z 6π,46π3k k k ωωωω-+⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣∈⎦，所以222πππ462ππ5π36k k ωωωω⎧≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，解得：()2222586Z 32k k k ω-≤≤+∈②又因为0ω>，当120k k ==时，由①②可知：04432532ωωω⎧⎪>⎪⎪-≤≤⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩，解得403ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，；当121k k ==时，由①②可知：028*******2ωωω⎧⎪>⎪⎪≤≤⎨⎪⎪≤≤⎪⎩，解得1782ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.所以ω的取值范围为4170,8,32⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故选：B.4．（2023春·辽宁·高一辽宁实验中学校考阶段练习）若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，则实数ω的取值范围是.【答案】()()1,24,⋃+∞【解析】由题意得()()cos cos 033f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=-=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则π+2π2π,Z 3k x k k πω-≤-≤∈,解得：2+2π+2π33,Z k k x k ππωω-≤≤∈，所以2+2π36,Z +2π33k k k ππωππω⎧-⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得412,Z 16k k k ωω≥-+⎧∈⎨≤+⎩，即41216,Z k k k ω-+≤≤+∈，因为41216,k k k -+≤+∈Z ，所以56k ≤且0ω>，所以0k =，01ω<≤①若函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则2ππ+2π,Z 3k x k k πω≤-≤∈,解得4+2π+2π33,Z k k x k ππωω≤≤∈，所以+2π36,Z 4+2π33k k k ππωππω⎧⎪≤⎪⎪∈⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得212,Z 46k k k ωω≥+⎧∈⎨≤+⎩，即21246,Z k k k ω+≤≤+∈，因为21246,Z k k k +≤+∈，所以13k ≤且0ω>，所以0k =，24ω≤≤②又因为函数()()cos 03f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在,63ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，且0ω>，所以ω的取值为①②所表示的不等式的补集，即12ω<<或4ω>.故答案为：12ω<<或4ω>.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1
1.5 全称量词与存在量词(精练)【题组一 判断全称、特称量词命题的真假】1．(2021·三亚)下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是( )A ．对任意的a 、b R ∈，都有222220a b a b +--+<B ．菱形的两条对角线相等C ．x R ∀∈xD ．正方形是矩形2．(2021·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试)下列命题中，是真命题的全称量词命题的是( )A ．实数都大于0B ．梯形两条对角线相等C ．有小于1的自然数D ．三角形内角和为180度3．(2021·安徽六安市·高一期末)下列四个命题，真命题的是( )A ．2,10x Q x ∀∈-=B ．,510x Z x ∃∈-=C ．,143x N x ∃∈<<D ．2,20x R x x ∀∈++>4．(2021·合肥市)下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是( )A ．π是无理数B ．0x N ∃∈，使02x 为偶数C ．对任意x ∈R ，都有2210x x ++>D ．所有菱形的四条边都相等5．(2020·深圳科学高中高一期中)下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( )A ．31x >，2230x x --=B ．存在x ∈N ，使得2x 为偶数C ．所有菱形的四条边都相等D ．π是无理数6．(2021·云南昆明市)已知集合A ={x |x ≥0}，集合B ={x |x >1}，则以下真命题的个数是( ) ①0x ∃∈A ，0x ∉B ；②0x ∃∈B ，0x ∉A ；③x ∀∈A ，x ∈B ；④x ∀∈B ，x ∈A .A ．4B ．3C ．2D ．17．(2021·宁乡市)下列命题为真命题的是( )A ．0x ∃∈R <0B ．x ∀∈R ，2210x x ++≥C ．“0x R ∃∈，0202x x >”的否定为“0x R ∀∈，0202x x <” D ．“x R ∀∈，22x x <”的否定为“x R ∀∈，22x x ≤”8．(2021·浙江杭州市)下列是全称命题且是真命题的是( )A ．x R ∀∈，20x >B ．,x y R ∀∈，220x y +>C ．x Q ∀∈，2x Q ∈D ．0x Z ∃∈，201x >9．(2021·鱼台县第一中学高一月考)(多选)下列命题中真命题是( )A ．x R ∀∈，22340x x -+>B ．x R ∀∈，210x +>C ．至少有一个实数x ，使20x ≤D ．两个无理数的和必是无理数10．(2021·全国高一课时练习)判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n +是4的倍数.【题组二 命题的否定】1．(2021·江西)已知命题:0p x ∀>，20x x +≥p 的否定为( ) A ．00x ∃<，0020x x +<B ．0x ∀>，20x x+<C ．0x ∀≤，20x x +<D ．00x ∃>，0020x x +< 2．(2021·浙江高一期末)命题“对x R ∀∈，都有21x x +>”的否定是( )A ．2,1x R x x ∃∈+>B ．x R ∀∈，都有21x x +≤C ．2,1x R x x ∃∈+≤D ．2,1x R x x ∃∉+≤3．(2021·浙江高一期末)已知命题:1p x R ∀∈≤，则( )A．:1p x R ⌝∃∈≥B．:1p x R ⌝∀∈ C．:1p x R ⌝∃∈>D．:1p x R ⌝∀∈>4．(2021·浙江高一期末)设命题2:,21p x Z x x ∃∈≥+，则p 的否定为( ) A ．2,21x Z x x ∀∉<+B ．2,21x Z x x ∀∈<+C ．2,21x Z x x ∃∉<+D ．2,2x Z x x ∃∈<5．(2021·全国高二专题练习)命题“1x ∀>，210x ->”的否定是( )A ．1x ∃>，210x -≤B ．1x ∃≤，210x ->C ．1x ∀>，210x -≤D ．1x ∀>，210x ->6．(2021·全国高一课时练习)将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定:(1)平行四边形的对角线互相平分;(2)三个连续整数的乘积是6的倍数;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)一元二次方程不总有实数根.【题组三 求含有量词的参数】1．(2021·湖南)(多选)命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．1a ≥B ．4a ≥C ．2a ≥-D ．4a =2．(2021·盐城市伍佑中学高一开学考试)(多选)命题“2[1,2],0x x a ∀∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是( )A ．4a >B ．4a ≤C ．5a ≥D ．6a ≥3．(2021·莆田第二十五中学高一期末)(多选)命题“[]1,3x ∀∈，20x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是( )A ．8a ≥B ．9a ≥C ．10a ≥D ．11a ≥ 4．(2021·海南)若“[1,2]x ∃∈-，21x m ->”为假命题，则实数m 的最小值为___________.5．(2021·山西太原市)若命题“R x ∀∈，210x ax ++≥”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.6．(2021·玉林市育才中学)若命题“()0x ∃∈+∞，，使得24ax x >+成立”是假命题，则实数a 的取值范围是_________.7．(2021·全国高三专题练习(理))已知命题“2,10x R ax ax ∀∈-+>”为真命题，则实数a 的取值范围是__________.8．(2021·山东潍坊市·高一期末)若“x R ∃∈，220x ax a --<”的否定是真命题，则实数a 的取值范围是______．9．(2021·安徽宣城市·高一期末)若命题“x R ∃∈，220x x a -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是________.10．(2021·湖南长沙市·明达中学高一期末)已知命题0:p x ∃∈R ，2000x ax a ++<是假命题，则实数a 的取值范围是________.(用区间表示)11．(2021·云南大理白族自治州·宾川四中高一开学考试)若命题∃x ∈R ，x 2+4mx +1＜0为假命题，则实数m 的取值范围是__________．12．(2021·江苏省赣榆高级中学高一月考)若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.13．(2021·安徽淮南市·高一期末)若“x ∃∈R ，220x x a ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 14．(2021·莆田第十五中学高一期末)若命题“x R ∃∈，22210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是_____．15．(2021·湖南长沙市·雅礼中学高一开学考试)已知命题“2,10x R mx x ∃-+<∈”是假命题，则实数m 的取值范围是_________.16．(2021·高邮市临泽中学高一月考)若命题“[]01,2x ∃∈-，00x a ->”为假命题，则实数a 的最小值为_______.17．(2021·北京师范大学万宁附属中学高一开学考试)“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________.。
高中数学必修一精讲精练
目录第一节集合 (2)第一课时：集合的含义与表示 (2)第二课时：集合间的基本关系和集合的运算 (7)第二节函数及其表示 (12)第三课时：函数的概念 (12)第四课时：函数的表示方法 (18)第三节函数的基本性质 (24)第五课时：函数的单调性 (24)第六课时：函数的奇偶性 (27)第四节基本初等函数 (30)第七课时：指数与指数幂的运算 (30)第八课时：指数函数及其性质 (35)第九课时：对数与对数的运算 (41)第十课时：对数函数及其性质 (45)第十一课时：幂函数 (51)第五节函数的应用 (54)第十二课时：方程的根与函数的零点 (54)第一节集合第一课时：集合的含义与表示一、课本知识梳理1. 集合一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫做集合。
集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。
集合与元素的表示：通常用__________________表示集合。
通常用__________________表示集合中的元素。
集合中元素的特性：_____________、____________、_____________.元素与集合的关系：、。
常用数集及表示符号集合的表示方法、、，我们所说的单元素集合、双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。
1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。
二、课本知识理解1.集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语言，它精确地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容.2.集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的.3.集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构成一个集合.4.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题.====Word 行业资料分享--可编辑版本--双击可删====5. 元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适合元素与集合，不能用于集合与集合之间.根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立. 6. 集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点.① 用列举法表示集合时①元素之间用“，”分隔；②元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时可用列举法，例如正整数集；③元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法.② 用描述法表示集合时，一是要明确集合中的元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说明的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描述的语句力求简明、确切. ③ 用图示法表示集合时，①元素个数不宜过多；②可以用于表示集合与集合之间的关系.三、基础能力自测以下元素的全体能构成集合的有（ ）（1）大于3小于100的奇数；（2）班里的高个子；（3）方程x x =2的所有实数根；（4）中国古代的美女. A.1个 B.2个 C.3个2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________.3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________________.4.若集合m m A 则},,0,1{=满足的条件为________________________.为什么？5.若集合1},0{2-=+=则x x x A ________A6.设集合M={平行四边形}，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p_____M, q______M},42{Z x x x ∈<<-用列举法表示出来是_____________________. 183-<+x 的解集用描述法表示为_____________________.9.全体偶数集用描述法表示为_________________________________. 10.集合A={0，1，2}，集合B=}1{A x x ∈-，则B=_____________________. 11.点的集合M ＝}0),{(≥xy y x 是指 （ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集 12.若集合A ＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A 中元素的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个四、典型例题精讲精练例1.考察下列每组对象能否组成一个集合。
人教版高中数学精讲精练必修一2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(精讲)(解析版)
2.3二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）一.一元二次不等式的概念一元二次不等式定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0，其中a ，b ，c 均为常数，a ≠0解集ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为正数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为负数的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值大于或等于0的自变量x 的取值集合ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)解集是使y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值小于或等于0的自变量x 的取值集合注意事项：（1）一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并不意味着不等式中不能含有其他字母，若含有其他字母，则把其他字母看成常数.(2)一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0.二.“三个二次”的关系一元二次不等式，a 为正值来定形；对应方程根求好，心中想想抛物线；大于异根取两边，小于异根夹中间；大于等根根去掉，小于等根空集成；大于无根取全体，小于无根不可能！注意事项：“大于”“小于”指的是当二次项系数转化为正数后的不等号．因此，为了避免出现错误，在求解一元二次不等式时，通常是将二次项系数变为正数(即将不等式两边同时乘以－1，不等号也随之改变方向)．四.一元二次不等式恒成立问题1.当未说明不等式为一元二次不等式时，有①不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，>0>0，<0；②不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立＝b ＝0，<0<0，<0.2.一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0在x ∈{x |m ≤x ≤n }时恒成立，等价于当m ≤x ≤n 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x >0，<0.3.分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题.一．解不含参数的一元二次不等式的方法1.若不等式对应的一元二次方程能够分解因式，即能够转化为两个一次因式的乘积形式，则可以直接由因式分解法或不等式的性质得到不等式的解集.2.若不等式对应的一元二次方程不能分解因式，则可对式子进行配方，化为完全平方式，再开根号求解.二．解含参数的一元二次不等式的方法1.讨论二次项系数：二次项系数若含有参数，应讨论是小于0，还是大于0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式；2.判断方程的个数：判断方程根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；3.写出解集：确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式注意事项：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．考点一解不含参数的一元二次不等式【例1】（2023·湖南）解下列不等式：(1)2362x x -+≤(2)29610x x -+>(3)2610x x <-(4)21212x x -<+-≤【答案】(1)⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭(2)11,,33⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(3)∅(4)[3,2)(0,1]-- 【解析】（1）2362x x -+≤，即2223620203x x x x -+≥⇔-+≥，配方可得21(1)3x -≥，解得33,,33x ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）29610x x -+>，即2(31)0x ->，解得11,,33x ⎛⎫⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）2610x x <-，即26100x x -+<，而220610(3)11x x x >-+=-+≥，从而不等式无解，即解集为∅；（4）22121220x x x x -<+-≤⇔+>且2230x x +-≤同时成立.由220x x +>解得()(),20,x ∈-∞-⋃+∞，由2230x x +-≤，即(1)(3)0x x -+≤，解得[3,1]x ∈-.于是[3,2)(0,1]x ∈--【一隅三反】（2023·内蒙古赤峰）解下列不等式：(1)22530x x +-<；(2)2362x x -+≤；(3)5132x x +≤-；(4)()()()12253x x x x --<-+(5)2230x x +->(6)24410x x -+-≥(7)2440x x -+>；(8)23520x x +-->；(9)22730x x ++>；(10)221x x <-.【答案】(1)13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2),11⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭(3)[)13,3-(4)()(),11,-∞+∞ (5)()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(6)12⎧⎫⎨⎬⎩⎭(7)()(),22,-∞+∞ (8)2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭(9)()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭(10)∅【解析】（1）22530x x +-< ，()()2130x x ∴-+<，132x ∴-<<，即不等式的解集为13,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）2362x x -+≤ ，23620x x -∴+≥，解得13x ≤-或13x ≥+；即不等式的解集为33,1133⎛⎡⎫-∞++∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（3）5132x x +≤- ，()153230x x x ⎧+≤-⎪∴⎨⎪->⎩或()153230x x x ⎧+≥-⎪⎨⎪-<⎩解得133x -≤<，即不等式的解集为[)13,3-；（4）()()()12253x x x x --<-+ ，整理得2210x x -+>，解得1x ≠，即不等式的解集为()(),11,-∞+∞ .（5）由2230x x +->可得()()2310x x +->，所以1x >或32x <-，即解集为()3,1,2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭；（6）由24410x x -+-≥可得()2210x -≤，所以12x =，即解集为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭；（7）2440x x -+>可化为()220x ->，解得2x ≠，所以不等式的解集为()(),22,-∞+∞ .（8）23520x x +-->可化为23520x x +<-，即()()3210x x --<，解得213x <<，所以不等式的解集为2,13⎛⎫⎪⎝⎭.（9）22730x x ++>可化为()()2130x x ++>，解得3x <-或12x >-，所以不等式的解集为()1,3,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（10）221x x <-可化为2210x x -+<，因为不等式对应的方程的判别式()214270∆=--⨯=-<，所以不等式的解集为∅．考点二解含参数的一元二次不等式【例2-1】（2023·河北）解下列关于x 的不等式()()20x x a --≤【答案】答案见解析【解析】由()()20x x a --=，可得2x =或x a =，则：当2a <时，原不等式解集为{|2}x a x ≤≤；当2a =时，原不等式解集为{2}；当2a >时，原不等式解集为{|2}x x a ≤≤；【例2-2】（2023·安徽）解关于x 的不等式2(1)10(R)ax a x a -++<∈.【答案】答案见解析【解析】原不等式变为(1)(1)0ax x --<，①当0a >时，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以当1a >时，解得11x a <<；当1a =时，解集为∅；当01a <<时，解得11x a<<②当0a =时，原不等式等价于10x -+<，即1x >.③当0a <时，11a <，原不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x >或1x a <.综上，当01a <<时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎩⎭∣，当1a =时，不等式的解集为∅，当1a >时，不等式的解集为11x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣，当0a =时，不等式的解集为{1}x x >∣，当a<0时，不等式的解集为{1xx a<∣或1}x >.【例2-3】（2023·广东深圳）解关于x 的不等式2210x mx m -++>.【答案】答案见解析【解析】不等式对应方程2210x mx m -++=的判别式22(24141()())m m m m ∆--=-=+-，（1）当0∆>，即m >m <由于方程2210x mx m -++=的根是x m =，所以不等式的解集是{|x x m <或x m >；（2）当Δ0=，即m ={|R x x ∈且}x m ≠；（3）当Δ0<m <R ，故12m >或12m <时，不等式的解集是{|x x m <x m >；12m ±=时，不等式的解集为{|R x x ∈且}x m ≠；m <<时，不等式的解集为R .【例2-4】（2023·湖南长沙）若关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，则实数a 的取值范围是（）A ．112a <≤B ．12a <<C ．12a ≤<D ．11a -<<【答案】C【解析】不等式2242ax x ax -<-化为()22420ax a x -++<，即()()2120x ax --<，当0a =时，不等式化为()()2120x --<，得12x >，有无数个整数解，不符合题意；当0a >时，由关于x 的不等式2242ax x ax -<-只有一个整数解，可知122a<，不等式()()2120x ax --<的解为122x a <<，由题意，212a<≤，解得12a ≤<；当a<0时，不等式()()2120x ax --<的解为12x >或2x a<，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是12a ≤<.故选：C 【一隅三反】1．（2022秋·四川阿坝·高一校考期中）关于x 的不等式2(1)0x a x a -++<的解集中恰有2个整数，则实数a 的取值范围（）A ．(1,0][2,3)-⋃B ．[2,1)(3,4]--C ．()(]2,13,4--⋃D ．[1,0)(2,3]- 【答案】B【解析】不等式2(1)0x a x a -++<化为(1)()0x x a --<，当1a =时，不等式无解，当1a <时，不等式解为1<<a x ，这里有且只有2个整数，则21a -≤<-，当1a >时，不等式解为1x a <<，这里有且只有2个整数，则34a <≤，综上a 的取值范围是[2,1)(3,4]-- ．故选：B .2．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->【答案】答案见解析【解析】原不等式可化为[(1)][2(1)]0x a x a -+-->.当12(1)a a +>-，即3a <时，1x a >+或2(1)x a <-；当12(1)a a +=-，即3a =时，4x ≠；当12(1)a a +<-，即3a >时，2(1)x a >-或1x a <+.综上，当3a <时，解集为{1x x a >+∣或2(1)}x a <-；当3a =时，解集为{4}xx ≠∣；当3a >时，解集为{2(1)xx a >-∣或1}x a <+.3．（2023·全国·高一专题练习）解下列关于x 的不等式()22210ax a x -++>．【答案】答案见解析【解析】当a<0时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++-=--+<，解集为11{|}2x x a <<；当0a =时，原不等式为210x -+>，解集为1{|}2x x <；当0a >时，原不等式为()2221(21)(1)0ax a x x ax -++=-->，若112a >，即02a <<时，解集为1{|2x x <或1}x a>；若112a =，即2a =时，解集为1{|}2x x ≠；若112a <，即2a >时，解集为1{|x x a<或1}2x >；综上，a<0解集为11{|}2x x a <<；0a =解集为1{|}2x x <；02a <<解集为1{|2x x <或1}x a>；2a =解集为1{|}2x x ≠；2a >解集为1{|x x a<或1}2x >.4．（2023·上海）解关于x 的不等式210x ax -+≤.【答案】答案见解析【解析】由题意知24a ∆=-，①当240a ->，即2a >或2a <-时，方程210x ax -+=的两根为2a x =，所以解集为x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；②若240a -=，即2a =±时，当2a =时，原不等式可化为2210x x -+≤，即()210x -≤，所以1x =，当2a =-时，原不等式可化为2210x x ++≤，即()210x +≤，所以=1x -；③当240a -<，即22a -<<时，原不等式的解集为∅；综上，当2a >或2a <-时，原不等式的解集为2a x ⎧⎪≤≤⎨⎪⎪⎩⎭；当2a =时，原不等式的解集为{1}；当2a =-时，原不等式的解集为{}1-；当22a -<<时，原不等式的解集为∅.考点三三个“二次”之间的关系【例3-1】（2023春·河南）已知,,a b c ∈R ，且0a ≠，关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(3,2)-，则关于x 的不等式20cx ax b ++>的解集为（）A ．11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】因为不等式20ax bx c ++>，0a ≠的解集为(3,2)-，所以a<0且321326bac a⎧-=-+=-⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩即6b a c a =⎧⎨=-⎩，不等式20cx ax b ++>等价于260ax ax a -++>，即2610x x -->，()()21310x x -+>，解得13x <-或12x >，所以不等式20cx ax b ++>的解集为：11,,32∞∞⎛⎫⎛⎫--⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：C ．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）若一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<，则一元二次不等式20cx bx a ++>的解集是（）A ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或B ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．1|12x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或D ．1|12x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由一元二次不等式20ax bx c ++>的解集是{}|12x x -<<可得1,2-是20ax bx c ++=的两个根，且0,a <所以2,1b c a a -==-，所以20cx bx a ++>可化为210c bx x a a++<，即2210x x --+<，解得1x <-或12x >.故选：C 2．（2023·湖南）若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为（）A ．()3,0和()2,0-B ．()2,0-C ．()3,0D ．2-和3【答案】A【解析】若不等式20ax x c -->的解集为{}32x x -<<，则方程20ax x c --=的两个根为123,2x x =-=且0a <，13232a c a ⎧-+=⎪⎪∴⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得16a c =-⎧⎨=-⎩，则函数226y ax x c x x =+-=-++，令260y x x =-++=，解得2x =-或3x =，故函数2y ax x c =+-的图象与x 轴的交点为()2,0-和()3,0.故选：A.3．（2022秋·天津）已知不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，则实数a b 、的值分别为（）A ．810--、B ．49--、C ．19-、D ．12-、【答案】B【解析】8977897x x +<⇒-<+<，解得124x -<<-，因为，不等式897x +<和不等式22ax bx +>的解集相同，故220ax bx +-=的两根为-2或14-，且a<0，由韦达定理得：()1241224b a a ⎧⎛⎫-+-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，解得：49a b =-⎧⎨=-⎩，故选：B.考点四一元二次不等式恒成立【例4-1】（2023贵州省安顺市）若命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(],1-∞-B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】命题“0x ∃∈R ，20020x x a --<”的否定为：“x ∀∈R ，220x x a --≥”，该命题为真命题.所以，应有()()2Δ241440a a =--⨯⨯-=+≤，所以1a ≤-.故选：A.【例4-2】（2023·云南红河）不等式210ax ax a -++>对R x ∀∈恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．[)0,∞+C ．()4,0,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[4,0,)3∞∞⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】①当0a =时，10>成立，②当0a ≠时，只需()2Δ410a a a a >⎧⎨=-+<⎩，解得0a >，综上可得0a ≥，即实数a 的取值范围为[)0,∞+.故选：B ．【例4-3】（2023·河南）若不等式2(1)3a x x +≤+对于[0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[0,3]B ．[0,2]C ．(,2]-∞D ．(,3]-∞【答案】C 【解析】原不等式可化为231x a x +≤+，设()231x f x x +=+，则()()212124f x x x x +-=-++412221x x =++-≥=+，当且仅当411x x +=+，且0x ≥，即1x =时，函数()f x 有最小值为2.因为()a f x ≤恒成立，所以2a ≤.故选：C.【一隅三反】1．（2023·广东肇庆·高一广东肇庆中学校考期中）若命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．1a ≤-B ．1a <-C ．3a ≤D ．3a <【答案】A【解析】由命题“2(1,1),20x x x a ∀∈--->”为真命题，即不等式22a x x <-在(1,1-上恒成立，设()22,(1,1)f x x x x =-∈-，根据二次函数的性质，可得()min (1)1f x f <=-，所以1a ≤-.故选：A.2．（2023·西藏）命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立.若p 是假命题，则实数λ的取值范围是（）A ．(],2-∞B ．[)2,+∞C ．[]22-,D ．(][),22,-∞-+∞U 【答案】A【解析】因为命题()0:0,p x ∃∈+∞，使得20010x x λ-+<成立，所以命题p 的否定为：()0,x ∀∈+∞，210x x λ-+≥成立，而p 是假命题，故命题p 的否定为真命题．所以1x x λ≤+在()0,x ∈+∞上恒成立，因为12x x +≥=，当且仅当11x x x =⇒=时，等号成立，所以2λ≤，即(],2λ∈-∞.故选：A.3．（2022秋·高一校考单元测试）任意[]1,1x ∈-，使得不等式212x x m -+≥恒成立.则实数m 取值范围是（）A ．14m ≥B ．14m ≤C ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．2m ≤【答案】B【解析】因为对任意[]1,1x ∈-，不等式212x x m -+≥恒成立.所以2min 12x x m ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]1,1x ∈-，设212y x x =-+，[]1,1x ∈-，因为22111224y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，所以当12x =时，函数212y x x =-+，[]1,1x ∈-取最小值，最小值为14，所以14m ≤，故选：B.4．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）若[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，则实数a 的取值范围（）A ．1a >-B ．1a >C ．8a >D ．8a >-【答案】D 【解析】因为[]04x ∃∈,，使得不等式220x x a -+>成立，所以[]04x ∃∈,，使得不等式2+2a x x >-成立，令2()2f x x x =-+，[]0,4x ∈，因为对称轴为1x =，[]0,4x ∈，所以min ()(4)8f x f ==-，所以8a >-，所以实数a 的取值范围为()8,-+∞.故选：D.考点五一元二次不等式的实际应用【例5】（2022秋·江苏连云港·高一校考阶段练习）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速50km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离小于12m ，乙车的刹车距离略超过10m ，又知甲、乙两种车的刹车距离s （单位：m ）与车速x （单位：km/h ）之间分别有如下关系：20.010.1s x x =-甲，20.0050.05s x x =-乙，问：甲、乙两车有无超速现象？【答案】甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【解析】由题意得，对于甲车，20.010.112x x -<，即21012000x x --<，而0x >，解得040x <<，甲车未超过规定限速，同理对于乙车，20.0050.0510x x ->，21020000x x -->，而0x >，解得50x >，乙车超过规定限速．答：甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．【一隅三反】1．（2023·陕西）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销量x 的取值范围是（）A ．20≤x ≤30B ．20≤x ≤45C ．15≤x ≤30D ．15≤x ≤45【答案】B【解析】设该厂每天获得的利润为y 元，则y ＝(160－2x )x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500(0＜x ＜80)．由题意，知－2x 2＋130x －500≥1300，即x 2－65x ＋900≤0，解得：20≤x ≤45，所以日销量x 的取值范围是20≤x ≤45．故选：B ．2．（2023·浙江温州）某种汽车在水泥路面上的刹车距离s （单位：m ）和汽车刹车前的车速v （单位：km /h ）之间有如下关系：21120160s v v =+，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40m ，则这辆汽车刹车前的车速至少为（）（精确到1km /h ）A ．76km /hB ．77km /hC ．78km /hD ．80km /h【答案】B【解析】设这辆汽车刹车前的车速为km /h v ，根据题意，有2114020160s v v =+>，移项整理，得28401600v v -⨯>+，0v >解得476.09v >-+≈．所以这辆汽车刹车前的速度至少为77km /h ．故选：B3．（2022秋·天津滨海新·高一校考期中）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入．则这批台灯的销售单价x （单位：元）的取值范围是（）A ．{1520}xx <<∣B ．{1218}x x ≤<∣C ．{1020}xx ≤<∣D ．{}|1016x x ≤<【答案】A 【解析】结合题意易知，[302(15)]400x x --⋅>,即2302000x x -+<，解得1020x <<，因为15x >，所以1520x <<，这批台灯的销隹单价x 的取值范围是{1520}xx <<∣，故选：A.考点六根的分布【例6】（2023·湖北）关于x 的方程2(3)0x m x m +-+=满足下列条件，求m 的取值范围．(1)有两个正根；(2)一个根大于1，一个根小于1；(3)一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内；(4)一个根小于2，一个根大于4；(5)两个根都在(0,2)内．【答案】(1)01m <≤(2)1m <(3)405m -<<(4)45<-m (5)213m <≤【解析】（1）令2()(3)f x x m x m =+-+，设()0f x =的两个根为12,x x .由题得()12122300Δ340x x m x x m m m ⎧+=->⎪⎪=>⎨⎪=--≥⎪⎩，解得01m <≤.（2）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根大于1，一个根小于1，则(1)220f m =-<，解得1m <（3）若方程2(3)0x m x m +-+=一个根在(2,0)-内，另一个根在(0,4)内，则(2)100(0)0(4)540f m f m f m -=->⎧⎪=<⎨⎪=+>⎩，解得405m -<<（4）若方程2(3)0x m x m +-+=的一个根小于2，一个根大于4，则(2)320(4)540f m f m =-<⎧⎨=+<⎩，解得45<-m （5）若方程2(3)0x m x m +-+=的两个根都在(0,2)内，则()()()22320003022Δ340f m f m m m m ⎧=->⎪=>⎪⎪-⎨<-<⎪⎪=--≥⎪⎩，解得213m <≤【一隅三反】1．（2023·江苏南京）（多选）设m 为实数，已知关于x 的方程()2310mx m x +-+=，则下列说法正确的是（）A ．当3m =时，方程的两个实数根之和为0B ．方程无实数根的一个必要条件是1m >C ．方程有两个不相等的正根的充要条件是01m <<D ．方程有一个正根和一个负根的充要条件是0m <【答案】BCD【解析】对于A 选项，3m =时2310x +=无实根，A 错误；对于B 选项，当0m =时方程有实根，当0m ≠时，方程无实根则2(3)40m m --<，解得19m <<，一个必要条件是1m >，B 正确；对于C 选项，方程有两个不等正根，则0m ≠，0∆>，30m m ->，10m >，解得01m <<；对于D 选项，方程有一个正根和一个负根，则0m ≠，10m<，解得0m <，D 正确；故选：BCD.2．（2022秋·湖北武汉·高一校考期中）已知一元二次方程2210ax x ++=．(1)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的充要条件；(2)写出“方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根”的一个必要而不充分条件，并给予证明．【答案】(1)a<0(2)方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件可以是1a <，证明见解析【解析】（1）若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则Δ44010a a =->⎧⎪⎨<⎪⎩，即10a a <⎧⎨<⎩，<0a ∴．∴方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的充要条件是a<0．（2）方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件是1a <，证明：若方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根，则由（1）知其充要条件为0<a ，从而1a <，故必要性成立．若01a <<，则方程2210ax x ++=中，440a ∆=->，1210x x a⋅=>，∴方程2210ax x ++=有两个同号根，∴充分性不成立，故1a <是方程2210(0)ax x a ++=≠有一个正根和一个负根的一个必要而不充分条件．3．（2022秋·江西·高一统考阶段练习）若关于x 的不等式240x mx m -+<的解集为()12,x x ．(1)当=1m 时，求121144x x +--的值；(2)若10x >，20x >，求1211x x +的值；(3)在（2）的条件下，求124x x +的最小值．【答案】(1)4-；(2)4；(3)94．【解析】（1）由题意，关于x 的方程2410x x -+=有两个根1x ，2x ，所以1212Δ=12>0+=4=1x x x x ⎧⎪⎨⎪⎩，故()12121212811444441611616x x x x x x x x +--+===----++-+．（2）由题意，关于x 方程240x mx m -+=有两个正根，由韦达定理知21212Δ=1640+=4>0=>0m m x x m x x m -≥⎧⎪⎨⎪⎩，解得14m ≥，所以1212121144x x m x x x x m ++===.（3）由（2），12114x x +=，且10x >，20x >，所以()211212121241111441444x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而21x x 、120x x >，所以211244x x x x +=≥，当且仅当122x x =，且12124x x x x +=，即134x =，238x =取等号，此时实数91324m =>符合条件，故12944x x +≥，且当932m =时，取得最小值94．。
必修①精讲精练(全稿)
精讲精练《新课标高中数学精讲精练》丛书主编 徐山洪编 委 谢柏芳 刘玉泉 谭玉石王庚儿 李剑夫 廖文胜马荣林 邓世疆 赵朝贤陈新权 刘会金 陈远刚李德明 王振芳 黄全顺王福山 饶乘凤 关丽琼潘泽学 匡唐松 宾业河谢凤仙 余扩益 高建彪张天良 谢小毛 谢吉权张梅玲 程松 欧阳文君饶胜文 周志明 李志敏本册主编 高建彪校 审 李 纲（第一章）李伟东（第二章）刘华山（第三章）质量监督 076086853660意见信箱 zssxzb@信息反馈 /nh 美术编辑 陆镜平开 本 890mm×1 240mm 16 开 印 张 4.5字 数 60 000印 数 4 001～5 000 册版 次 2008 年 8月第 3 版印 次 2008 年 8月第 3 次印刷 本册成本 6.8 元新课标高中数学精讲精练人教A 版必修①目 录1 §1.1.1 集合的含义与表示 (01)2 §1.1.2 集合间的基本关系 (03)3 §1.1.3 集合的基本运算（一） (05)4 §1.1.3 集合的基本运算（二） (07)5 §1.2.1 函数的概念 (09)6 §1.2.2 函数的表示法 (11)7 §1.3.1 函数的单调性 (13)8 §1.3.1 函数最大（小）值 (15)9 §1.3.2 函数的奇偶性 (17)10 第一章 集合与函数概念 复习 (19)11 §2.1.1 指数与指数幂的运算 (21)12 §2.1.2 指数函数及其性质（一） (23)13 §2.1.2 指数函数及其性质（二） (25)14 §2.2.1 对数与对数运算（一） (27)15 §2.2.1 对数与对数运算（二） (29)16 §2.2.2 对数函数及其性质（一） (31)17 §2.2.2 对数函数及其性质（二） (33)18 §2.3 幂函数 (35)19 第二章 基本初等函数（Ⅰ） 复习 (37)20 §3.1.1 方程的根与函数的零点 (39)21 §3.1.2 用二分法求方程的近似解 (41)22 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（一） (43)23 §3.2.1 几类不同增长的函数模型（二） (45)24 §3.2.2 函数模型的应用举例（一） (47)25 §3.2.2 函数模型的应用举例（二） (49)26 §3.2.2 函数模型的应用举例（三） (51)27 第三章 函数的应用 复习 (53)第 1～27 练 答案 …………………………（55～65）《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 1第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用 数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形 式为 123 {,,,,}n a a a a ××× ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表 示，基本形式为{|() x A P x Î }，既要关注代表元素x ，也要把握其属性 () P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母 ,,, A B C ×××表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集 * N 或 N + ，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于 （belong to ） 与不属于 （not belong to ）， 分别用符号Î、 Ï表示， 例如3 N Î ， 2 N -Ï .¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程 2 (23)0 x x x --= 的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数.解：（1）用描述法表示为： 2 {|(23)0} x R x x x Î--= ；用列举法表示为{0,1,3} - .（2）用描述法表示为：{|27} x Z x Î<< ；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知 {|32,} A x x k k Z ==+Î ， {|61,} B x x m m Z ==-Î ，则有：17 A ； －5 A ； 17 B .解：由3217 k += ，解得 5 k Z =Î ，所以17 A Î ；由325 k +=- ，解得 7 3k Z =Ï ，所以 5 A -Ï ； 由6117 m -= ，解得 3 m Z =Î ，所以17 B Î .【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数 3 y x =+ 与 26 y x =-+ 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 2 4 y x =- 的函数值组成的集合；（3）反比例函数 2 y x= 的自变量的值组成的集合. 解：（1） 3 {(,)|}{(1,4)} 26 y x x y y x =+ ì = í =-+ î. （2） 2 {|4}{|4} y y x y y =-=³- .（3） 2 {|}{|0} x y x x x==¹ . 点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例 4】已知集合 2 {|1} 2x a A a x + == - 有唯一实数解 ，试用列举法表示集合A ． 解：化方程 2 1 2x a x + = - 为： 2 (2)0 x x a --+= ．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是 2 ± ：由 △=0，得 9 4 a =- ，此时的解为 1 2x = ，合． ⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 - ：将 2 x = 代入得 2 a =- ，此时另一解 12 x =- ，合． ⑶方程有一解为 2 - ，而另一解不是 2 ：将 2 x =- 代入得 2 a = ，此时另一解为 21 x =+ ，合．综上可知， 9 {,2,2} 4A =-- ． 点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分2第 1 练 §1.1.1 集合的含义与表示※基础达标1．以下元素的全体不能够构成集合的是（ ）.A. 中国古代四大发明B. 地球上的小河流C. 方程 2 10 x -= 的实数解D. 周长为10cm 的三角形2．方程组 {23 211 x y x y -= += 的解集是（ ）. A . { } 51 ， B. { } 15 ， C. ( ) { } 51 ， D. ( ) { } 15 ，3．给出下列关系：① 1 2R Î ； ② 2 Q Î ；③ * 3 N Î ；④0 Z Î . 其中正确的个数是（ ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 44．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3，2，1}；（3） 方程 2 (1)(2)0 x x --= 的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合{45} x x << 是有限集. 其中正确的说法 是（ ）.A. 只有（1）和（4）B. 只有（2）和（3）C. 只有（2）D. 以上四种说法都不对5．下列各组中的两个集合M 和N, 表示同一集合的是（ ）.A. {} M p = , {3.14159} N =B. {2,3} M = , {(2,3)}N = C. {|11,} M x x x N =-<£Î , {1} N = D. {1,3,} M p = , {,1,|3|}N p =- 6．已知实数 2 a = ，集合 {|13} B x x =-<< ，则a 与B 的关系是 .7．已知x R Î ，则集合 2 {3,,2} x x x - 中元素x 所应满足的条件为. ※能力提高8．试选择适当的方法表示下列集合：（1）二次函数 2 23 y x x =-+ 的函数值组成的集合； （2）函数 23 2 y x = - 的自变量的值组成的集合. 9．已知集合4 {|} 3A x N Z x =ÎÎ - ，试用列举法表示集合A . ※探究创新10．给出下列集合：①{(x ，y )|x ≠1，y ≠1，x ≠2，y ≠3}； ② { { 12 (,) 13 x x x y y y ìü ¹¹ íý ¹¹- îþ且 ③ { {12 (,) 13 x x x y y y ìü ¹¹ íý ¹¹- îþ或 ； ④{(x ，y )|[(x 1) 2 +(y 1) 2 ]·[(x 2) 2 +(y +3) 2 ]≠0}． 其中不能表示“在直角坐标系 xOy 平面内，除去点（1，1） ， （2，3）之外的所有点的集合”的序号 有 .《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 3A B BA AB A B A ． B ．C ．D ． 第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集 的含义；能利用V enn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包 含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B Í （或B A Ê ），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B Í ），且集合B 是集合A 的子集（B A Ê ），即集合A 与集合B 的元 素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B = .3. 如果集合A B Í ，但存在元素x B Î ，且x A Ï ，则称集合 A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作 A ¹Ì B （或B ¹ É A ）. 4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作Æ，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A Í ；若A B Í ，B C Í ，则A C Í ；若A B A = I ，则A B Í ；若A B A = U ，则B A Í .¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空： （1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）Æ 2 {|20} x R x Î+= ； 0 {0}； Æ{0}； N {0}. 解：（1） ， ；（2）=， ∈， ， .【例2】 设集合 1 ,,} 22 {|,{| n n x n n A x x B x =Î=+Î == Z}Z ， 则下列图形能表示A 与B 关系的是 （ ） . 解：简单列举两个集合的一些元素， 3113 {,1,,0,,1,,} 2222 A =×××---××× ， 3113 {,,,,,} 2222B =×××--××× ， 易知B ¹Ì A ，故答案选A ． 另解：由 21 ,} 2{| n x n B x + =Î = Z ，易知B ¹ Ì A ，故答案选A ． 【例3】若集合 { }{ } 2 |60,|10 M x x x N x ax =+-==-= ，且N M Í ，求实数a 的值.解：由 2 6023 x x x +-=Þ=- 或 ，因此， { } 2,3 M =- .（i ）若 0 a = 时，得N =Æ ，此时，N M Í ；（ii ）若 0 a ¹ 时，得 1{} N a = . 若N M Í ,满足 11 23 a a ==- 或 ，解得 11 23a a ==- 或 . 故所求实数a 的值为0或 1 2 或 1 3- . 点评：在考察“A B Í ”这一关系时，不要忘记“Æ” ，因为A =Æ时存在A B Í . 从而需要分情况讨 论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2 }. 若A =B ，求实数x 的值.解：若 2 2 a b ax a b ax += ì í += îÞa +ax 2 2ax =0, 所以a (x 1) 2 =0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若 22 a b ax a b ax ì += í += îÞ2ax 2 ax a =0. 因为a ≠0，所以2x 2 x 1=0, 即(x 1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有 1 2x =- . 经检验，此时A =B 成立. 综上所述 1 2x =- . 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分4第 2 练 §1.1.2 集合间的基本关系※基础达标1．已知集合 { } { } 3,,6, A x x k k Z B x x k k Z ==Î==Î , 则A 与B 之间最适合的关系是（）. A.A B Í B. A B Ê C.A ¹ Ì B D.A ¹ É B2．设集合 { } |12 M x x =-£< ， { } |0 N x x k =-£ ，若M N Í ，则k 的取值范围是（ ）.A ． 2 k £B ． 1 k ³-C ． 1k >- D ． 2 k ³ 3．若 2 {,0,1}{,,0} a a b -= ，则 20072007 a b + 的值为（ ）.A. 0B. 1C. 1 -D. 24．已知集合M ={x |x = 2 k + 1 4 ,k ∈Z },N ={x |x = 4 k + 1 2,k ∈Z }. 若x 0∈M ，则x 0 与N 的关系是（ ）.A.x 0∈NB.x 0ÏNC.x 0∈N 或x 0ÏND.不能确定5．已知集合P ={x |x 2 =1}，集合Q ={x |ax =1}，若Q ÍP ，那么a 的值是（ ）.A. 1B. －1C. 1或－1D. 0，1或－16．已知集合 { } ,,, A a b c = ，则集合A 的真子集的个数是 . 7．当 2 {1,,}{0,,} b a a a b a=+ 时，a =_________，b =_________. ※能力提高8．已知A ={2,3}，M ={2,5, 2 35 a a -+ }，N ={1,3, 2 610 a a -+ }，A ÍM ，且A ÍN ，求实数a 的值.9．已知集合 { } 25 A x x =-££ ， { } 121 B x m x m =+££- .若B A Í ，求实数m 的取值范围.※探究创新10．集合 S ={0，1，2，3，4，5}，A 是 S 的一个子集，当 x ∈A 时，若有 x 1ÏA 且 x +1ÏA ，则称 x 为 A 的一个“孤立元素” ，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 5第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一 个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 V enn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽 象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到 掌握的层次.下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.并集 交集 补集概念 由所有属于集合 A 或属于集 合 B 的元素所组成的集合， 称为集合 A 与 B 的并集 （union set ） 由属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合，称为 集合 A 与 B 的交集 （intersection set ） 对于集合A,由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集 合，称为集合 A 相对于全集 U的补集（complementary set ）记号 A B U （读作“A 并B ” ） A B I （读作“A 交B ” ） U A ð （读作“A 的补集”） 符号{|,} A B x x A x B =ÎÎ U 或 {|,} A B x x A x B =ÎÎ I 且 {|,} U A x x U x A =ÎÏ 且 ð 图形表示 ¤例题精讲：【例1】设集合 ,{|15},{|39},,() U U R A x x B x x A B A B ==-££=<< I U 求 ð .解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示：{|35} A B x x =<£ I ， (){|1,9} U C A B x x x =<-³ U 或 ， 【例2】设 {|||6} A x Z x =Σ ， { } { } 1,2,3,3,4,5,6 B C == ，求：（1） () A B C I I ； （2） () A A B C I U ð .解： { } 6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6 A =------ Q .（1）又 { } 3 B C = Q I ，∴ () A B C = I I { } 3 ；（2）又 { } 1,2,3,4,5,6 B C = Q U ，得 { } ()6,5,4,3,2,1,0 A C B C =------ U .∴ () A A C B C I U { } 6,5,4,3,2,1,0 =------ . 【例3】已知集合 {|24} A x x =-<< ， {|} B x x m =£ ，且A B A = I ，求实数m 的取值范围.解：由A B A = I ，可得A B Í .在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示： 由图形可知， 4 m ³ . 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集 * {|10,} U x x x N =<Î 且 ， {2,4,5,8} A = ， {1,3,5,8} B = ，求 () U C A B U ， () U C A B I ， ()() U U C A C B I ， ()() U U C A C B U ，并比较它们的关系.解：由 {1,2,3,4,5,8} A B = U ，则 (){6,7,9} U C A B = U .由 {5,8} A B = I ，则 (){1,2,3,4,6,7,9}U C A B = I 由 {1,3,6,7,9} U C A = ， {2,4,6,7,9} U C B = ，则()(){6,7,9} U U C A C B = I ，()(){1,2,3,4,6,7,9} U U C A C B = U .由计算结果可以知道，()()() U U U C A C B C A B = U I ，()()() U U U C A C B C A B = I U .另解：作出V enn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 V enn 图研究()()() U U U C A C B C A B = U I 与()()() U U U C A C B C A B = I U ，在理解的基础记住 此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.U A2 4 m x B AA BB A I 1 3 59 x《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分6第 3 练 §1.1.3 集合的基本运算（一）※基础达标1．已知全集 { } 1,2,3,4,5,6,7 U = , { } 2,4,5 A = ，则 U A = ð （）. A. Æ B. { }2,4,6 C. { } 1,3,6,7 D. { } 1,3,5,7 2．若 {|02},{|12} A x x B x x =<<=£< ，则A B = U （ ）. A. {|2}x x < B. {|1} x x ³ C. {|12} x x £< D. {|02}x x << 3．右图中阴影部分表示的集合是（ ）.A. U A B I ðB. U A BI ð C. ( )U A B I ð D. ( ) U A B U ð 4．若 { } { } 0,1,2,3,|3, A B x x a a A ===Î ，则A B = I （ ）.A. { } 1,2B. { }0,1 C. { } 0,3 D. { } 3 5．设集合 {|12} M x x =-£< , {|0} N x x k =-£ ，若M N f ¹ I ，则k 的取值范围是（ ）.A ． 2 k £B ． 1 k ³-C ． 1k - > D ． 12 k -<£ 6．设全集 * {|8} U x N x =Î< ， {1,3,5,7} A = ， {2,4,5} B = ,则 () U C A B U = .7．已知集合 {(,)|2},{(,)|4} M x y x y N x y x y =+==-= ，那么集合M N I = .※能力提高8．设全集 * {|010,} U x x x N =<<Î ，若 {3} A B = I ， {1,5,7} U A B = I ð ， {9} U U A B = I ðð ，求集合A 、B . 9．设U R = ， {|24} A x x =-£< ， {|8237} B x x x =-³- ，求 () U A BU ð 、()() U U A B I ðð . ※探究创新10．设集合 {|(4)()0,} A x x x a a R =--=Î ， {|(1)(4)0} B x x x =--= .（1）求A B U ，A B I ；（2）若A B Í ，求实数a 的值；（3）若 5 a = ，则A B U 的真子集共有 个, 集合 P 满足条件() A B I ¹ Ì P ¹Ì () A B U ，写出所有可 能的集合P .《新课标高中数学必修①精讲精练》——精讲 第一章 集合与函数概念 7第 4 讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中 的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的V enn 图有四个区域， 分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过V enn 图理解和掌握 各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质： ()()() U U U C A B C A C B = I U , ()()() U U U C A B C A C B = U I .2. 集合元素个数公式： ()()()() n A B n A n B n A B =+- U I .3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合 { } { } 2 4,21,,9,5,1 A a a B a a =--=-- ，若 { } 9 A B = I ，求实数a 的值.解：由于 { }{ } 2 4,21,,9,5,1 A a a B a a =--=-- ，且 { } 9 A B = I ，则有：当219 a - ＝ 时，解得 5 a ＝ ，此时 ={4, 9, 25}={9, 0, 4} A B －， － ，不合题意，故舍去； 当 2 9 a ＝ 时，解得 33 a ＝ 或－ .3 ={4,5,9} ={9,2,2} a A B ＝ 时， － ， － － ， 不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4} a A B ＝－ ， － － ， ， － ，合题意.所以， 3 a ＝－ .【例2】设集合 {|(3)()0,} A x x x a a R =--=Î ， {|(4)(1)0} B x x x =--= ，求A B U , A B I .（教材P 14 B 组题2）解： {1,4} B = .当 3 a = 时， {3} A = ，则 {1,3,4} A B = U ， A B =Æ I ；当 1 a = 时， {1,3} A = ，则 {1,3,4} A B = U ， {1} A B = I ；当 4 a = 时， {3,4} A = ，则 {1,3,4} A B = U ， {4} A B = I ；当 3 a ¹ 且 1 a ¹ 且 4 a ¹ 时， {3,} A a = ，则 {1,3,4,} A B a = U ，A B =Æ I .点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质 和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x | 2 40 x x += }， B ={x | 22 2(1)10 x a x a +++-= ，a R Î }，若A I B =B ，求实数a的值．解：先化简集合A ={4,0} - . 由A I B =B ，则B ÍA ，可知集合B 可为Æ，或为{0}，或{－4}，或{4,0} - .(i )若B =Æ，则 22 4(1)4(1)0 a a D =+--< ，解得a ＜ 1 - ；(ii )若0ÎB ，代入得 2 a 1 - =0Þ a =1或a = 1 - ，当a =1时，B =A ，符合题意；当a = 1 - 时，B ={0}ÍA ，也符合题意．(iii )若－4ÎB ，代入得 2 870 a a -+= Þ a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤ 1 - ．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之 间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时， 特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =Æ的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审 视问题.【例 4】对集合 A 与 B ，若定义 {|,} A B x x A x B -=ÎÏ 且 ，当集合 * {|8,} A x x x N =£Î ，集合 {|(2)(5)(6)0} B x x x x x =---= 时，有A B - = . （由教材 P 12 补集定义“集合 A 相对于全集 U 的补 集为 {|,} U C A x x x A =ÎÏ U 且 ”而拓展）解：根据题意可知， {1,2,3,4,5,6,7,8} A = ， {0,2,5,6}B = 由定义 {|,} A B x x A x B -=ÎÏ 且 ，则{1,3,4,7,8} A B -= .点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这 里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B - 也相当于 () U A C B I .《新课标高中数学必修①精讲精练》——精练 月 日 : ~ : 自评 分8 第 4 练 §1.1.3 集合的基本运算（二）※基础达标1．已知集合A = { } 1,2,4 ,B ={ } 8 x x 是 的正约数, 则A 与B 的关系是（ ）. A. A =B B. A ¹Ì B C. A ¹ É B D. A ∪B =Æ 2． 已知 ,, a b c 为非零实数, 代数式 ||||||||a b c abc a b c abc +++ 的值所组成的集合为M , 则下列判断正确的是 （ ） . A. 0 M Ï B. 4 M -Ï C. 2 M Î D. 4 MÎ 3． （08年湖南卷.文1）已知 { } 2,3,4,5,6,7 U = ， { } 3,4,5,7 M = ， { } 2,4,5,6 N = ，则（ ）.A ． { } 4,6 M N = I B.M N U = U C ．() u C N M U = U D. () u C M N N= I 4．定义集合A 、B 的一种运算： 1212 {,,} A B x x x x x A x B *==+ÎÎ 其中 ，若 {1,2,3} A = ， {1,2} B = ，则 A B * 中的所有元素数字之和为（ ）.A ．9 B. 14 C. 18 D. 215．设全集 U 是实数集 R ， { }2 |4 M x x => 与 { } |31 N x x x =³< 或 都是 U的子集（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为（ ）.A. { } |21 x x -£<B. { }|22 x x -££ C. { } |12 x x <£ D. { }|2 x x < 6．已知集合 {11} A x x =-££ ， {} B x x a => ，且满足A B f = I ，则实数a 的取值范围是 . 7．经统计知，某村有电话的家庭有 35 家，有农用三轮车的家庭有 65 家，既有电话又有农用三轮车的家 庭有20家，则电话和农用三轮车至少有一种的家庭数为 .※能力提高8．已知集合 2 {|0} A x x px q =++= ， 2 {|20} B x x px q =--= ，且 {1} A B =- I ，求A B U ．9．已知集合U = 2 {2,3,23} a a +- ，A ={|a +1|，2}， U C A ={a +3}，求实数a 的值.※探究创新10．（1）给定集合A 、B ，定义A ※B ={x |x =m n ，m ∈A ，n ∈B }．若A ={4，5，6}，B ={1，2，3}，则集合 A ※B 中的所有元素之和为 （ ）A ．15B ．14C ．29D ．14（2）设全集为U ，集合A 、B 是U 的子集，定义集合A 、B 的运算：A *B ={x |x ∈A ，或x ∈B ,且x ÏA ∩B }， 则(A *B )*A 等于（ ）A ．AB ．BC ．() U A Bð ∩ D ． () U A Bð ∪ （3）已知集合A ={x | 2 x n ¹ 且 3 x n ¹ ，n ÎN ，x ÎN* ，x ≤100}，试求出集合A 的元素之和.¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学 习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些 简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设 A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应， 那么就称 f ： A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数 （function ）， 记作 y = () f x ，x A Î ．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与 x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的 集合{()|} f x x A Î 叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,) a b ， {x |a <x ≤b }＝(,] a b ，都叫半开半闭区间. 符号： “∞”读“无穷大” ； “－∞”读“负无穷大” ； “+∞”读“正无穷大”. 则 {|}(,) x x a a >=+¥ ，{|}[,) x x a a ³=+¥ ，{|}(,) x x b b <=-¥ ，{|}(,] x x b b £=-¥ ， (,) R =-¥+¥ .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才 是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域： （1） 1 21 y x =+- ；（2） 3 312x y x - = -- .解：（1）由 210 x +-¹ ，解得 1 x ¹- 且 3 x ¹- ， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,) -¥----+¥ U U .（2）由 3 30120 x x -³ ì ï í --¹ ï î ，解得 3 x ³ 且 9 x ¹ ，所以原函数定义域为[3,9)(9,) +¥ U .【例2】求下列函数的定义域与值域：（1） 3254 x y x+ =- ； （2） 2 2 y x x =-++ . 解：（1）要使函数有意义，则540 x -¹ ，解得 5 4 x ¹ . 所以原函数的定义域是 5{|}4x x ¹ .32112813(45)2332333 0 5445445445444 x x x y x x x x ++-+ ==´=´=-+¹-+=- ---- ，所以值域为 3 {|}4y y ¹- .（2） 22 19 2()24 y x x x =-++=--+ . 所以原函数的定义域是R ，值域是 9(,]4-¥ .【例3】已知函数 1 () 1 xf x x- = + . 求：（1） (2) f 的值； （2） () f x 的表达式解：（1）由 1 2 1 x x - = + ，解得 1 3 x =- ，所以 1(2) 3 f =- .（2）设 1 1 x t x - = + ，解得 1 1 t x t - = + ，所以 1 () 1 t f t t - = + ，即 1 () 1 xf x x- = + .点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需 要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数 2 2(), 1 xf x x R x =Î + .（1）求 1 ()() f x f x + 的值；（2）计算： 111(1)(2)(3)(4)()()() 234f f f f f f f ++++++ .解：（1）由 222 2 2222 21111 ()()1 1 1111 1 x x x x f x f x x x x x x+ +=+=+== ++++ + .（2）原式 11117(1)((2)())((3)())((4)())3 23422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.※基础达标1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1, xy y x== B. 211,1y x x y x =-+=- g C. 3 3, y x y x== D. 2||,()y x y x == 2．函数 21 232xy x x - =-- 的定义域为（ ）.A. (,1]-¥ B. (,2]-¥ C. 11 (,)(,1] 22 -¥-- I D. 11(,)(,1]22-¥-- U 3．集合 { } 22 M x x =-££ ， { } 02 N y y =££ ，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（）.4．下列四个图象中，不是函数图象的是（）.5．已知函数 () f x 的定义域为[1,2) - ，则 (1) f x - 的定义域为（）.A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)- 6．已知 () f x ＝ 2 x ＋x ＋1，则 (2) f ＝______；f ［ (2) f ］＝______．7．已知 2 (21)2 f x x x +=- ，则 (3) f = .※能力提高 8．（1）求函数 2 1xy x - =- 的定义域； （2）求函数 2113 x y x+ =- 的定义域与值域. 9．已知 2 () f x ax bx c =++ ， (0)0 f = ，且 (1)()1 f x f x x +=++ ，试求 () f x 的表达式.※探究创新10．已知函数 () f x ， () g x 同时满足： ()()()()() g x y g x g y f x f y -=+ ； (1)1 f -=- ， (0)0 f = ， (1)1 f = ， 求 (0),(1),(2) g g g 的值.xy 0 2 2xy 0 2 22xy 0 2 2 2xy 02 2 2A.B.C . D.x Oyxxxyyy OOOA.B.C.D.¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数； 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量 可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表 格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元 素 x ，在集合B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 : f A B ® 为从集合A 到集合B 的一个映射 （mapping ）．记作“ : f A B ® ”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正 方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的 定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为 2 a x － ，所以体积为V ＝ 2(2) x a x － . 又由 20 a x > － ，解得 2a x < .所以，体积V 以x 为自变量的函数式是 2(2) V x a x = － ，定义域为{|0}2a x x << .【例2】已知f (x )= 3 3 33 22 x x x x - ì ++ ï í + ï î (,1) (1,) x x Î-¥Î+¥ ，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1) Î-¥ ， ∴ f (0)= 3 2 . 又 ∵32 >1，∴ f ( 3 2 )=( 3 2 ) 3 +( 3 2 ) 3=2+ 1 2 = 5 2 ，即f [f (0)]= 5 2.【例3】画出下列函数的图象：（1） |2| y x =- ； （教材P 26 练习题3） （2） |1||24| y x x =-++ .解：（1）由绝对值的概念，有 2,2 |2| 2,2 x x y x x x -³ ì =-= í -< î. 所以，函数 |2| y x =- 的图象如右图所示.（2） 33,1 |1||24|5,21 33,2 x x y x x x x x x +> ì ï=-++=+-££ í ï --<- î，所以，函数 |1||24| y x x =-++ 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定 义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】 函数 ()[] f x x = 的函数值表示不超过x 的最大整数， 例如[ 3.5]4 -=- ，[2.1]2 = ， 当 ( 2.5,3] x Î- 时， 写出 () f x 的解析式，并作出函数的图象.解： 3, 2.52 2,21 1,10 ()0,01 1,12 2,23 3,3 x x x f x x x x x --<<- ìï--£<- ï --£< ï=£<íï £<ï £< ï= î. 函数图象如右： 点评： 解题关键是理解符号[ ] m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.※基础达标1．函数f (x )= 2 (1) x x x ìí + î,0 ,0 x x ³ < ，则 (2) f - =（ ）.A. 1 B .2 C. 3 D. 42．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的 路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.3．已知函数 () f x 满足 ()()() f ab f a f b =+ ，且 (2) f p = ， (3) f q = ，那么 (12) f 等于（）.A. p q +B. 2p q +C. 2 p q +D. 2 p q + 4．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）.A. f ：x →y ＝ 1 2 xB. f ：x →y ＝ 1 3 xC. f ：x →y ＝ 1 4 xD. f ：x →y ＝ 16x5． 拟定从甲地到乙地通话m 分钟的话费由 [ ] 3.71,(04) () 1.06(0.52),(4) m f m m m <£ ì ï= í +> ï îg 给出， 其中[ ] m 是不超过m 的最大整数，如：[ ] 3.743 = ，从甲地到乙地通话5.2分钟的话费是（ ）.A. 3.71B. 4.24C. 4.77D. 7.956．已知函数 ( ) , mf x x x=+ 且此函数图象过点（1，5），实数m 的值为 .7． 2 4,02(),(2) 2,2 x x f x f x x ì -££ == í > î已知函数 则 ；若 00 ()8, f x x ==则 .※能力提高8．画出下列函数的图象：（1） 2 2||3 y x x =-++ ； （2） 2 |23| y x x =-++ .9．设二次函数 () f x 满足 (2)(2) f x f x +=- 且 () f x =0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求 () f x 的 解析式※探究创新 10．（1）设集合 {,,} A a b c = ， {0,1} B = . 试问：从A 到B 的映射共有几个？（2）集合A 有元素m 个，集合B 有元素n 个，试问：从A 到B 的映射共有几个？Od tOd tOd tOdtA. B. C. D.¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理 解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数 y =f (x )的定义域为 I ，如果对于定义域 I 内的某个 区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就 说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可 定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一 区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上， 增函数的图象是从左向右是上升的（如右图 1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1 、x 2 ∈给定区间，且x 1 <x 2 ；→计算f (x 1 )－f (x 2 ) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数 2 () 1xf x x =- 在区间（0，1）上的单调性. 解：任取 12 , x x ∈(0,1)，且 12 x x < . 则 1221 121212 222() ()() 11(1)(1)x x x x f x f x x x x x - -=-= ---- . 由于 12 01 x x <<< ， 1 10 x -< ， 2 10 x -< ， 21 0 x x -> ，故 12 ()()0 f x f x -> ，即 12 ()() f x f x > .所以，函数 2 () 1xf x x =- 在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数 2 ()(0) f x ax bx c a =++< 的单调区间及单调性. 解：设任意 12 , x x R Î ，且 12 x x < . 则22 121122 ()()()() f x f x ax bx c ax bx c -=++-++ 22 1212 ()() a x x b x x =-+- 1212 ()[()] x x a x x b=-++ . 若 0 a < ，当 12 2 b x x a <£- 时，有 12 0 x x -< ， 12 bx x a+<- ，即 12 ()0 a x x b ++> ，从而 12 ()()0 f x f x -< ， 即 12()() f x f x < ，所以 () f x 在(,] 2 b a -¥- 上单调递增. 同理可得 () f x 在[,) 2 ba-+¥ 上单调递减. 【例3】求下列函数的单调区间： （1） |1||24| y x x =-++ ；（2） 2 2||3 y x x =-++ .解：（1） 33,1 |1||24|5,21 33,2 x x y x x x x x x +> ìï=-++=+-££ í ï --<- î，其图象如右.由图可知，函数在[2,) -+¥ 上是增函数，在(,2] -¥- 上是减函数.（2） 2 22 23,0 2||3 23,0 x x x y x x x x x ì-++³ ï =-++= í --+< ï î，其图象如右.由图可知，函数在(,1] -¥- 、[0,1]上是增函数，在[1,0] - 、[1,) +¥ 上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也 可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到 (||) f x 的图象. 由图象 研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知 31() 2 x f x x + = + ，指出 () f x 的单调区间.解：∵ 3(2)55()3 22 x f x x x +-- ==+ ++ ，∴ 把 5() g x x- = 的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到 () f x 的图象，如图所示.由图象得 () f x 在(,2) -¥- 单调递增，在(2,) -+¥上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 () f x a b ++ 平移变换规律.※基础达标1．函数 2 6 y x x =- 的减区间是（）.A . (,2] -¥ B. [2,)+¥ C. [3,) +¥ D. (,3]-¥ 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A. y =－x +1B. y = xC. y =x 2 －4x ＋5D. y =2x3．函数 ()||()(2) f x x g x x x ==- 和 的递增区间依次是（）.A. (,0],(,1] -¥-¥B. (,0],[1,) -¥+¥C. [0,),(,1] +¥-¥D. [0,),[1,) +¥+¥ 4．已知 () f x 是R 上的增函数，令 ()(1)3 F x f x =-+ ，则 () F x 是R 上的（ ）.A ．增函数B ．减函数C ．先减后增D ．先增后减 5．二次函数 2 ()2 f x x ax b =++ 在区间(-∞，4)上是减函数，你能确定的是（ ）.A. 2 a ³B. 2 b ³C. 4 a £-D. 4 b £- 6． 函数 () f x 的定义域为(,) a b ， 且对其内任意实数 12 , x x 均有： 1212 ()[()()]0 x x f x f x --> ， 则 () f x 在(,) a b 上是. （填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）7．已知函数f (x )=x 2 －2x ＋2，那么f (1)，f (－1)，f ( 3)之间的大小关系为 .※能力提高8．指出下列函数的单调区间及单调性：（1） 3() 1x f x x + = - ；（2） 2 |23|y x x =-++ 9．若 2 () f x x bx c =++ ，且 (1)0,(3)0 f f == . （1）求b 与c 的值；（2）试证明函数 () f x 在区间(2,) +¥ 上是增函数.※探究创新10．已知函数 () f x 的定义域为 R ，对任意实数m 、n 均有 ()()()1 f m n f m f n +=+- ，且 1()2 2f = ，又当 1 2 x >- 时，有 ()0 f x > . （1）求 1()2f - 的值； （2）求证： () f x 是单调递增函数.¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数 图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数 () y f x = 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有 () f x ≤M ； 存在x 0∈I ，使得 0 () f x =M . 那么，称M 是函数 () y f x = 的最大值（Maximum V alue ）. 仿照最大值定义，可 以给出最小值（Minimum V alue ）的定义.2. 配方法：研究二次函数 2(0) y ax bx c a =++¹ 的最大（小）值，先配方成 22 4 () 24 b ac b y a x a a- =++ 后，当 0 a > 时，函数取最小值为 2 4 4 ac b a - ；当 0 a < 时，函数取最大值 24 4 ac ba- .3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单 调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数 2 61 y x x = ++ 的最大值.解：配方为 2 6 13 ()24 y x = ++ ，由 2 133 ()244 x ++³ ，得 2 608 13 ()24x <£ ++ .所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售 出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价 1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定 为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10) x - 元，减少了10(10) x - g 件，所赚得的利润为 (8)[10010(10)] y x x =--- g g .即 22 10280160010(14)360 y x x x =-+-=--+ . 当 14 x = 时， max 360 y = .所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数 21 y x x =+- 的最小值.解：此函数的定义域为[ ) 1,+¥ ，且函数在定义域上是增函数，所以当 1 x = 时， min 2112 y =+-= ，函数的最小值为2.点评：形如 y ax b cx d =+±+ 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令 1 x t -= ，则 0 t ³ ， 2 1 x t =+ ，所以 22 115222()48y t t t =++=++ ，在 0 t ³ 时是增函数，当0 t = 时， min 2 y = ，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1） 2 5332,[,] 22y x x x =--Î- ； （2） |1||2| y x x =+-- .解：（1）二次函数 2 32 y x x =-- 的对称轴为 2 bx a=- ，即 1 x =- .画出函数的图象，由图可知，当 1 x =- 时， max 4 y = ； 当 3 2 x = 时， min 94y =- .所以函数 2 53 32,[,] 22 y x x x =--Î- 的最大值为4,最小值为 94 - .（2） 3 (2) |1||2|21 (12) 3 (1) x y x x x x x ³ ì ï=+--=--<< í ï-£- î.作出函数的图象，由图可知， [3,3] y Î- . 所以函数的最大值为3, 最小值为3. 点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝 对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.。
人教版高中数学精讲精练必修一2.1 等式与不等式的性质(精讲)(解析版)
2.1等式与不等式的性质（精讲）一．关于实数a ，b 大小比较的基本事实1.两个实数a ，b ，其大小关系有三种可能，即a >b ，a ＝b ，a <b .2.依据：a >b ⇔a －b >0；a ＝b ⇔a －b ＝0；a <b ⇔a －b <03.结论：要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小二.等式的性质性质1如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc.三.不等式的性质性质1如果a >b ，那么b <a ；如果b <a ，那么a >b .即a >b ⇔b <a .性质2如果a >b ，b >c ，那么a >c ，即a >b ，b >c ⇒a >c .性质3如果a >b ，那么a ＋c >b ＋c .性质4如果a >b ，c >0，那么ac >bc ；如果a >b ，c <0，那么ac <bc .性质5如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.性质6如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.性质7如果a>b>0，那么a n>b n(n∈N，n≥2).一.将不等关系表示成不等式(组)1.读懂题意，找准不等式所联系的量.2.用适当的不等号连接.3.多个不等关系用不等式组表示.二.常见的文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于等于，至少，不低于小于等于，至多，不超过符号语言><≥≤三．作差法比较两个实数(代数式)大小（“三步一结论”）1.作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；2.变形：对差进行变形①将差式进行因式分解转化为几个因式相乘.②将差式通过配方转化为几个非负数之和，然后判断.3.判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；4.作出结论．四．利用不等式的性质求取值范围1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．3.求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．考点一用不等式（组）表示不等关系【例1】（2023·四川眉山）将一根长为5m 的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m ，若两段绳子长度之差不小于1m ，则x 所满足的不等关系为（）A ．25005x x ->⎧⎨<<⎩B ．251x -≥或521x -≥C ．52105x x -≥⎧⎨<<⎩D ．25105x x ⎧-≥⎨<<⎩【答案】D【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为()5m x -.因为两段绳子长度之差不小于1m ，所以()5105x x x ⎧--≥⎪⎨<<⎪⎩，化简得：25105x x ⎧-≥⎨<<⎩.故选：D 【一隅三反】1．（2022秋·西藏林芝·高一校考期中）下列说法正确的是（）A ．某人月收入x 不高于2000元可表示为“x <2000”B ．某变量y 不超过a 可表示为“y ≤a ”C ．某变量x 至少为a 可表示为“x >a ”D ．小明的身高x cm ，小华的身高y cm ，则小明比小华矮表示为“x >y ”【答案】B【解析】对于A ，某人收入x 不高于2000元可表示为2000x ≤，A 错误；对于B ，变量y 不超过a 可表示为y a ≤，B 正确；对于C ，变量x 至少为a 可表示为x a ≥，C 错误；对于D ，小明身高cm x ，小华身高cm y ，小明比小华矮表示为x y <，D 错误.故选：B.2．（2023·黑龙江双鸭山）完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x 人，瓦工y 人，则请工人满足的关系式是（）A ．54200x y +<B ．54200x y +≥C ．54200x y +=D ．54200x y +≤【答案】D【解析】依题意，请工人满足的关系式是50402000x y +≤，即54200x y +≤.故选：D3.（2022秋·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5厘米，人跑开的速度为每秒4米，距离爆破点150米以外（含150米）为安全区．为了使导火索燃尽时人能够跑到安全区，导火索的长度x （单位：厘米）应满足的不等式为（）A ．41500.5x⨯<B ．41500.5x⨯≥C ．41500.5x⨯≤D ．41500.5x⨯>【答案】B【解析】由题意知导火索的长度x （单位：厘米），故导火索燃烧的时间为0.5x秒，人在此时间内跑的路程为40.5x ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭米，由题意可得41500.5x ⨯≥.故选：B.4．（2022秋·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习）我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大､小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大､小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为（）A ．6钱B ．7钱C ．8钱D ．9钱【答案】C【解析】依题意可设买大竹子x ，每根单价为m ，购买小竹子78x -，每根单价为1m -，所以()()576781mx x m =+--，即78654m x +=，即()610913x m =-，因为078x ≤≤，所以()10910913013610913789613m m m m⎧≤⎪-≥⎧⎪⇒⎨⎨-≤⎩⎪≤⎪⎩961091313m ⇒≤≤，根据选项8m =，30x =，所以买大竹子30根，每根8元.故选：C考点二实数（式）的比较大小【例2-1】（2023·江苏·高一假期作业）已知1a ≥，试比较M =和N =.【答案】M N<【解析】（方法1）因为1a ≥，所以0,0M N =>=>.所以M N ==0>>，所以1MN<，即M N <；（方法2）所以0,0M N =>=>，又11,M N =，所以110M N>>,所以M N <.【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）已知c ＞1，且x y ，则x ，y 之间的大小关系是（）A ．x ＞yB ．x ＝yC ．x ＜yD ．x ，y 的关系随c 而定【答案】C【解析】由题设，易知x ，y ＞0，又1x y ==<，∴x ＜y .故选：C.2．（2023·北京）设()227M a a =-+，()()23N a a =--，则有（）A ．M N >B ．M N ≥C ．M N <D ．M N≤【答案】A【解析】()()222213247561024M N a a a a a a a ⎛⎫-=-+--+=++=++> ⎪⎝⎭，∴M N >.故选：A.3．（2023·全国·高三对口高考）设实数a ，b ，c 满足①2643b c a a +=-+，②244c b a a -=-+，试确定a ，b ，c 的大小关系．【答案】c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．【解析】因()224420c b a a a -=-+=-≥，所以c b ≥，当且仅当2a =时，b c =，()()()()22222643442b b c c b a a a a a =+--=-+-+=+-，所以21b a =+，22131024b a a a a ⎛⎫-=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以b a >，综上可知：c b a ≥>，当且仅当2a =时c b =．考点三利用不等式的性质判断命题的真假【例3】（2023秋·河南省直辖县级单位）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，c d <，则a bc d>C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若0ab >，a b >，则11a b<【答案】D【解析】A 选项，当0c =时，22ac bc =，故A 错误；B 选项，当1a =，0b =，2c =-，1d =-时，1,02a b c d =-=，a bc d<，故B 错误；C 选项，当1a =，0b =，1c =，0d =时，a c b d -=-，故C 错误；D 选项，若0ab >，a b >，则110b a a b ab--=<，即11a b <，故D 正确．故选：D.【一隅三反】1．（2023春·江苏扬州·高一统考开学考试）对于实数a ，b ，c ，下列命题正确的是（）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则||||a a b b >D ．若0a b c >>>，则b ca b a c<--．【答案】C【解析】A 选项，()2220ac bc a b c -=-≥，故A 错误；B 选项，()()22a b a b a b -=-+，因不清楚a b +的正负情况，故B 错误；C 选项，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b a b a b -=-=-+>；当0a b >>时，22||||0a a b b a b -=+>，当0a b >>时，()()22||||0a a b b a b b a a b -=-+=-+>，综上||||a a b b >，故C 正确；D 选项，()()()0a b c b ca b a c a b a c --=>----，故D 错误.故选：C 2．（2023春·上海宝山）下列命题中正确的是（）A ．若a b >，则22a b >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则22a b >D ．若22a b >，则a b>【答案】B【解析】取2,2a b ==-，则a b >，但是22a b =，A 错误，a b >，但是22a b =，C 错误，取3,2a b =-=，则22a b >，但是a b <，D 错误，由a b >，可得0a b >≥，所以()220a b >≥，故22a b >，B 正确，故选：B.3．（2023·全国·高一假期作业）下列命题为真命题的是（）A ．若0a b <<，则22ac bc <B ．若0a b <<，则22a ab b <<C ．若a b >，c d >，则ac bd >D ．若0a b c >>>，则c ca b<【答案】D【解析】对于A ：当0c =时，220ac bc ==，A 错误；对于B ：当0a b <<时，22a ab b >>，B 错误；对于C ：取2,1,2,3a b c d ===-=-满足a b >，c d >，而4,3ac bd =-=-，此时ac bd <，C 错误；对于D ：当0a b >>时，则0ab >，所以1a b ab ab 1⋅>⋅，即11a b <，又0c >，所以c ca b<，D 正确.故选：D.考点四利用不等式的性质证明不等式【例4】（2023·云南）（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c<--．（2<．(3)a ≥【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，所以0a <，且0,a c b c -<-<所以()()0a c b c -->，所以()()a c a c b c -<--()()b ca cbc ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<ab c-．（2<，(3)a ≥+<，即证(3)(1)(2)a a a a +-+<-+-+；<即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；<【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）证明不等式．(1)0bc ad -≥，bd ＞0，求证：a b c db d++≤；(2)已知a ＞b ＞c ＞0，求证：b b c a b a c a c>>---．【答案】(1)见详解(2)见详解【解析】（1）证明：()()a b d b c d a b c d ad bcb d bd bd+-+++--==，因为，0bc ad -≥，所以，0ad bc -≤，又bd ＞0，所以，0ad bc bd -≤，即a b c db d++≤.（2）证明：因为a ＞b ＞c ＞0，所以有，b c -<-，0a b a c <-<-，0b c ->，则，()()()()()()()0b a c b a b b b c b b a b a c a c a b a c a b -----==>------，即有，b ba b a c>--成立；因为，0a c ->，所以，10a c >-，又b c >，所以，b c a c a c >--成立.所以，有b b ca b a c a c>>---.2．（2022·高一课时练习）设a ，b ，c ∈R ，0a b c ++=，<0abc ，证明：1110a b c++>．【答案】证明见解析【解析】证明：因为0a b c ++=，所以2222220a b c ab ac bc +++++=．又0abc ≠，所以2220a b c ++>，所以0ab bc ca ++<．因为111ab bc caa b c abc++++=，<0abc ，0ab bc ca ++<，所以1110a b c++>．考点五利用不等式的性质求范围【例5】（2023·海南）已知11,11a b a b -≤+≤-≤-≤，求23a b +的取值范围__________．【答案】[3,3]-【解析】设23()()a b a b a b λμ+=++-,则2,3,λμλμ+=⎧⎨-=⎩解得5,21.2λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故5123()()22a b a b a b +=+--，由11a b -≤+≤,故555()222a b -≤+≤，由1a b -≤-1≤,故111()222a b -≤--≤，所以23[3,3]a b +∈-.故答案为：[3,3]-.【一隅三反】1．（2022秋·贵州贵阳·高一校联考期中）已知13a <<，21b -<<，则2+a b 的取值范围是______.【答案】()3,5-【解析】∵21b -<<，∴422b -<<，∵13a <<，∴325a b -<+<.故答案为：()3,5-.2．（2022秋·湖北荆州·高一沙市中学校考阶段练习）已知14a b -≤+≤，23a b ≤-≤，则32a b -的取值范围为_________【答案】919[,]22【解析】令()()32m a b n a b a b ++-=-，则()()32m n a m n b a b ++-=-，所以32m n m n +=⎧⎨-=-⎩，可得1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1532()()22a b a b a b -=++-，而11515()[,2],()[5,]2222a b a b +∈--∈，故91932[,]22a b -∈.故答案为：919[,]223．（2023·福建）若13a b -<+<，24a b <-<，23t a b =+，则t 的取值范围为______．【答案】91322t -<<【解析】设()()()()t x a b y a b x y a x y b =++-=++-，则23x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．因为()5515222a b -<+<，()1212a b -<--<-，所以()()951132222a b a b -<+--<，即91322t -<<．故答案为：91322t -<<.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 4
4.1 指数运算(精讲)考法一 根式意义求参【例1】(1)(2021·全国高一专题练习)，则实数a 的取值范围是( )A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．11[,]22-D ．R(2)(2021·全国高一专题练习)若34(12)x --有意义，则实数x 的取值范围为( ) A ．1(,]2-∞B ．1(,)2-∞C ．11(,)22-D ．11[,]22-【答案】(1)B(2)B【解析】(1)= 可得2112a a -=-，所以120a -≥，即12a ≤．故选：B. (2)由34(12)x --=120x ->，解得12x <， 即实数x 的取值范围为1(,)2-∞．故选：B ．【一隅三反】1．(2021·全国高一课时练习)若x n ＝a (x ≠0)，则下列说法中正确的个数是( ) ①当n 为奇数时，x 的n 次方根为a ；①当n 为奇数时，a 的n 次方根为x ； ①当n 为偶数时，x 的n 次方根为±a ； ①当n 为偶数时，a 的n 次方根为±x . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【解析】n 为奇数时，a 的n 次方根只有1个，为x ；当n 为偶数时，由于(±x )n ＝x n ＝a ，所以a 的n 次方根有2个，为±x .所以说法①①是正确的，故选：B.2．(2021·上海高一专题练习)在n ①N *，a ①R 时各式子有意义的是( ) A ．①① B ．①①C ．①①①D ．①①①【答案】B【解析】由2(4)n ->0知①有意义；由21(4)n +-<0知①无意义；①中开奇数次方根，所以有意义；当a <0时，a 5<0，此时①无意义.故选:B .考点二 根式的形式化简【例2】(1)(2021·上海高一专题练习)若14a <( )A B C ．D ．(2)(2021·全国高一课时练习)=( ) A ．2B ．3C ．21x -D ．2x -(3)(2020·上海)化简：②|3)x <【答案】(1)B(2)B(3)1；②)22(31),4(13).x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩ .【解析】(1)因为14a <，所以410a -<故选:B.(2)210,20,x x -≥⎧⎨-≥⎩解得122x ≤≤．所以20,210x x -≤-≥()22212221223x x x x x -=-+-=-+-=．故选：B ．(3)①原式(11=+(111=++1111+=.②原式=13x x =--+()()13,3113,13x x x x x x ⎧----<<⎪=⎨---≤<⎪⎩，22(31),4(13).x x x ---<<⎧=⎨-≤<⎩ 【一隅三反】1．(2021·全国)若13x <( )A ．31x -B ．13x -C ．2(13)x -D ．非以上答案【答案】B【解析】因为13x <，所以130x ->1313x x =-=-.故选:B .2．(2021·上海闵行)当0x <时，x 【答案】3x -【解析】由0x <，则2352523x x x x x x x x x x =+++=+=-+=-， 故答案为：3x -3．(2021·全国高一课时练习)－3<x <3).【答案】22(31)4(13)x x x ---<<⎧⎨-≤<⎩.【解析】原式13x x ==--+，①－3<x <3，①－4<x －1<2，0<x ＋3<6.当－4<x －1<0，即－3<x <1时，|x －1|－|x ＋3|＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2； 当0≤x －1<2，即1≤x <3时，|x －1|－|x ＋3|＝x －1－(x ＋3)＝－4.22(31)4(13)x xx---<<⎧⎨-≤<⎩.考法三根式与分数指数幂的互化【例3】(2021·上海高一专题练习)将下列根式化成有理数指数幂的形式：a>0)；(x>0)；(3)23-⎝⎭(b>0).【答案】(1)34a；(2)35x-；(3)19b.【解析】(1)原式1322a⎛⎫⎪⎝⎭=34a.(2)原式=19351x⎛⎫⎪⎝⎭=351x=35x-.(3)原式=213243b--⎡⎤⎛⎫⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦=212343b⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭=19b.【一隅三反】1．(2021·全国高一课时练习)下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是()A(－x)12(x＞0)B y13(y＜0)C．x12－y23(x＞0，y＞0)D．x13－(x≠0)【答案】C【解析】对于A x12，故A错误；对于B，当y＜00，y13＜0，故B错误；对于C，x12－y23(x＞0，y＞0)，故C正确；对于D，x13－(x≠0)，故D错误.故选：C2．(2021·上海高一专题练习)用有理数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0).(1)a(3)22；；【答案】(1)52a ；(2)136a ；(3)7362a b ；(4)76a ；(5)23a -；(6)11463a b -. 【解析】(1)原式=11522222a a a a +⋅==. (2)原式=22313333262a a a a +⋅==. (3)原式=2217133333262222a a b a b a b +⋅==. (4)原式=557-2-2666a a a a ⋅==. (5)原式=23a -.(6)原式11463a b -.考点四 分数指数幂的运算性质化简求值【例4】(2021·全国高一课时练习)计算或化简：(1)213233(0.002)8--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭－10)12-＋0；【答案】(1)－1679；(2)2a - 【解析】(1)原式213227118500--⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)213227110218500--⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)122323310212--⎡⎤⎡⎤⎛⎫=+-+⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦)2210213⎛⎫=++ ⎪⎝⎭42019=++ 1679=-; (2)原式2a -=. 【一隅三反】1．(2021·全国高一课时练习)下列式子中，错误的是( ) A ．()13123270310a .a a -÷=B ．221111333333a b a b a b ⎛⎫⎛⎫-÷+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C．()()1222331⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦D【答案】C【解析】对于A ，原式()13123103033103a .a a a a -⎡⎤=÷=⨯=⎣⎦，A 正确；对于B ，原式11113333113311113332211333a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===-++⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确； 对于C，原式()(()(()(11122222223333331⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦, C 错误； 对于D，原式====，D 正确.故选：C.2．(2021·上海高一专题练习)计算下列各式： (1)()120.52312220.0154--⎛⎫⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)20.53207103720.12392748π--⎛⎫⎛⎫++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；22.551030.064π-⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦；(4))0x ⎛> ⎪ ⎪⎝⎭； (5)()21113322156630,0.13a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>> 【答案】(1)1615；(2)100；(3)3；(4)2x ；(5)9a -.【解析】(1)原式()1122221412116110129431015-⎛⎫=+⨯-=+⨯-= ⎪⎝⎭. (2)原式()12232125273710396448--⎛⎫⎛⎫=++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5937100331648=++-+100=. (3)原式()1315270.4128-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭5350.51222=-++-3=. (4)原式31222x x x =⋅=. (5)原式21111532623699a b a +-+-=-=-.考点五 整体代换法求分数指数幂【例5】(2021·全国)已知13x x -+=，求下列各式的值．(1)1122x x -+； (2)22x x -+； (3)22x x --．【答案】；(2)7 ；(3)±．【解析】(1)①13x x -+=，2111222x x x x --⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭①()121112111222222x xx x x x ---⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+=++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+(2)①13x x -+=，①()22212927x x x x --+-=-=+=；(3)①13x x -+=，，① 1x x --==①()()2211x x x x x x ---=+-=±-【一隅三反】1．(2021·全国高一课时练习)若2210x x --=，则221x x +=___________. 【答案】6【解析】因为2210x x --=， 所以120x x --=，即12x x -=， 所以41222=+-x x ， 所以2216x x +=. 故答案为：6.2．(2021·全国)若3xxa a-+=，则3322x xxxa a a a --+=+________． 【答案】187【解析】222()29x x x x a a a a --+=++=，所以227x x a a -+=，所以3322x x xx a a a a --+=+2222()(1)3(71)1877x x x x x x a a a a a a ---+-+⨯-==+．故答案为：187． 3．(2021·全国高一课时练习)已知11x x --=，其中0x >，求122121x x xx x x x---+-的值．【答案】1【解析】由11x x --=可知21x x =+，所以1111222221122()()11x xx x x x x xx x x x x x x x --+--=--++-- =211x x x x x -=++=1. 4．(2021·江西高安中学高一月考)计算：41210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭； (2)已知：11223x x -+=，求22123x x x x --+-+-的值．【答案】(1)3-；(2)454．【解析】41210.252-⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭，414132=--+⨯=-.(2)由11223x x -+=，平方得129x x -++=， 即17x x -+=，17x x -+=平方得22249x x -++=，即2247x x -+=，所以原式=22124534x x x x --+-=+-．。
人教版高中数学精讲精练必修一第一章 集合与常用逻辑用语 章末重难点归纳总结(解析版)
b
a
a b
3 ，
2
故选：C
2．（2023 北京）已知集合 M (x, y) | x y 0, xy 0 和 P (x, y) | x 0, y 0 ，那么（ ）
A． N M C． M P
B． M N D． M P
【答案】C
x y 0
x 0
【解析】由 xy 0
，得到
y
0
正确的是（ ）
A． A B
B． A B
C． B A
D． A B
【答案】B
【解析】若 x R ，解 x 1 x2 2 0 可得， x 1 或 x 2 或 x 2 ，所以 B 1, 2, 2 .
若 x Q ，则 x 1 ，所以 A 1 ，所以 A B .故选：B.
当 N 时，即 a2 4 0 ，解得 2 a 2 ，此时满足 N M ， 当 N 时，要使得 N M ，则 1 N 或 3 N ， 当 1 N 时，可得 (1)2 a 1 0，即 a 2 ，此时 N {1} ，满足 N M ；
当 3 N 时，可得 32 3a 1 0 ，即 a 10 ，此时 N {3, 1} ，不满足 N
【例 2-3】（2023·高一单元测试）已知 M x x2 2x 3 0 ， N x x2 ax 1 0, a R ，且 N M ，则
a 的取值范围为_________． 【答案】{a | 2 a 2}
【解析】由题意，集合 M x∣x2 2x 3 0 1,3 ，
当 a 2 时，集合为{0,1,1} ，元素重复，所以不成立，即 a ¹ -2.
③若 a2 3a 3 1，解得 a 1或 a 2 ，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数 a 的取值集合为{0}.
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 1
1.3 集合的基本运算(精讲)考点一数集之间的基本运算【例1】(1)(2021·辽宁高三其他模拟)已知集合{}{}|3,,1,0,1,2,3A x x x N B =≤∈=-，则A B =( )A ．{0,1,2,3}B ．{1,2,3}C ．{2,3}D ．{}0,1,3(2)(2021·北京高考真题)已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B =( )A ．()1,2-B ．(1,2]-C ．[0,1)D ．[0,1](3)(2021·浙江宁波市)设全集U =R ，集合{}1A x x =≥-，{}23B x x =-≤<，则集合()UA B ⋂是( )A ．{}21x x -<<-B ．{}21x x -≤<-C ．21}x x -<≤- D ．{}21x x -≤≤-【答案】(1)A(2)B(3)B【解析】(1)由题得{}{}|3,0,1,2,3A x x x N =≤∈=,{}1,0,1,2,3B =-,所以A B ={0,1,2,3}故选：A(2)由题意可得：{}|12AB x x =-<≤，即(]1,2A B =-.故选：B.(3)由{}1A x x =≥-，则{}U|1A x x =<-又{}23B x x =-≤<，所以(){}U |21A B x x ⋂=-≤<-故选：B 【一隅三反】1.(2021·黑龙江哈尔滨市)已知集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝( ) A ．{﹣1，0，1} B ．{0，1} C ．{﹣1，1，2} D ．{1，2}【答案】D【解析】集合A ＝{﹣1，0，1，2}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∩B ＝{1，2}，故选：D 2．(2021·河南焦作市)已知集合{}1,3,5,7,9=U ，{}1,5,7A =，{}1,3B =，则()UA B =( )A ．{}3,5,7,9B ．{}3,5,7C ．{}1,9D ．{}9【答案】D 【解析】题意，{}{}{}1,1,5,731,3,5,7AB ==，又∵{}1,3,5,7,9=U ，∴(){}9U AB =.选：D.3．(2021·全国高考真题)设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =( )A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B【解析】由题设可得{}U1,5,6B =，故(){}U 1,6A B ⋂=，故选：B.4．(2021·全国)已知全集(){}(){}{N08},{1,2},()5,6,4,7UU U U x x A B A B B A =∈<<⋂=⋃=⋂=∣，则A 集合为( ) A ．{1,2,4} B ．{1,2,7}C ．{1,2,3}D ．{1,2,4,7}【答案】C【解析】由题意{1,2,3,4,5,6,7}U =，用Venn 图表示集合,A B ，依次填写()U AB ，()UA B ，()U B A ⋂，最后剩下的数字3只有填写在A B 中，所以{1,2,3}A =．故选：C ．5．(2021·辽宁)若集合{{2}A x y B x x ===<∣∣，则A ∩B ＝( )A ．{}12x x << B ．{}1x x ≥C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<【答案】D【解析】由题意，得{}1A x x =≥，所以{}12A B x x ⋂=≤<．故选：D 6．(2021·四川自贡市)设集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |24x x --＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |2＜x ≤3} B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x ＜4}D ．{x |1＜x ＜4}【答案】A【解析】∵A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2＜x ＜4}，∴A ∩B ＝{x |2＜x ≤3}．故选：A ．考点二 点集之间的基本运算【例2】(2021·河北高三其他模拟)已知集合{}{}3(,)0,(,)M x y x y N x y y x =-===，则M N ⋂中元素的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】因为集合{}{}3(,)0,(,)M x y x y N x y y x=-===，所以{}3(,)(0,0),(1,1),(1,1)y x M N x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪⋂==--⎨⎨⎬=⎩⎪⎪⎩⎭，所以A B 中元素的个数为3，故选：D 【一隅三反】1．(2021·山东济南市)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝21x -，xy ≤0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 24-}，则M N ⋂中的元素个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．1或2【答案】A【解析】∵集合M ＝{(x ，y )|y ＝2x ﹣1，xy ≤0}，N ＝{(x ，y )|y ＝x 2﹣4}，∴M ∩N ＝{(x ，y )|22104y x xy y x =-⎧⎨=-⎩，}＝∅．∴M ∩N 中的元素个数为0．故选：A ． 2．(2021·全国高三其他模拟)已知集合(){}()22,|1,,,{,|2M x y x y x y N x y x y +≤∈∈+≤＝＝Z Z }，则集合M ⋂N 中元素的个数是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】C【解析】由222x y +≤可得,222,2x y ≤≤，即x y ≤≤N 中的满足,x Z y Z ∈∈的整点有：()()()()()()()()()0,0,0,1,0,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1,1------，共9个点，其中只有(1,1)这一个点不满足1x y +≤，故M N ⋂中的元素个数为8个，故选：C.3．(2021·江苏南通市)若集合{(,)30}M x y x y =-=∣，()22,}0{|N x y x y =+=，则( ) A ．M N M ⋂= B ．M N M ⋃= C ．M N N ⋃= D ．M N ⋂=∅【答案】B【解析】∵集合(),30{|}M x y x y =-=，(){}(){}22,00|,0N x y xy =+==，因为2230000x y x x y y -==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩∴(){}0,0M N N ⋂==，所以M N M ⋃=，故选：B.考点三 韦恩图求交并补【例3】(1)(2021·北京101中学高三其他模拟)已知集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．[]1,3B ．(]1,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,0,2,3-(2)(2021·山东烟台市)已知集合M ，N 都是R 的子集，且RM N ⋂=∅，则MN =( )A ．MB ．NC ．∅D ．R(3)(2021·珠海市)下图中矩形表示集合U ，A ，B 是U 的两个子集，则不能表示阴影部分的是( )A ．()UA B ⋂B ．()BABC ．()()UUA B ⋂D ．A BA ⋃【答案】(1)C(2)A(3)C【解析】(1)依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是BA ，因集合{}0,1A =，集合{}1,0,1,2,3B =-，则有{1,2,3}BA =-，所以图中阴影部分表示的集合是{}1,2,3-.故选：C (2)由题知：RM N ⋂=∅，所以M N ⊆，即M N M ⋂=.故选：A(3)由图知：当U 为全集时，阴影部分表示集合A 的补集与集合B 的交集， 当B 为全集时，阴影部分表示A B 的补集，当AB 为全集时，阴影部分表示A 的补集，故选：C.【一隅三反】1．(2021·浙江温州市)设全集U 为实数集R ，集合{A x R x =∈>，集合{0,1,2,3}B =，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{}0B ．{0,1}C ．{3,4}D ．{1,2,3,4}【答案】B【解析】图中的阴影部分表示集合B 中不满足集合A 的元素，所以阴影部分所表示的集合为{}0,1. 故选：B.2．(2021·沈阳市)已知非空集合A 、B 、C 满足：A B C ⊆，A C B ⋂⊆．则( )．A ．BC = B ．()A B C ⊆⋃ C ．()B C A ⋂⊆D ．A B A C ⋂=⋂【答案】C【解析】因为非空集合A 、B 、C 满足：AB C ⊆，A C B ⋂⊆，作出符合题意的三个集合之间关系的venn 图，如图所示，所以A B A C ⋂=⋂． 故选：D ．3．(2021·江苏苏州市)已知U 为全集，非空集合A 、B 满足()UA B =∅，则( )A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．()()UU A B ⋂=∅ D ．()()UU A B U ⋃=【答案】A【解析】如下图所示：()UAB =∅，由图可知，A B ⊆，()()U U U A B B ⋂=，故选：A.4．(2021·全国高三专题练习(文))若集合A ，B ，U 满足：A BU ，则U =( )A ．UAB B ．UBA C ．UAB D ．UB A【答案】B【解析】由集合A ，B ，U 满足：ABU ，U UBA ∴，如图所示：UAA U ∴=，UBA U =，UBB U = 故选：B考点四 利用集合运算求参数【例4】(1)(2021·山东泰安市)集合{}{}240,1,,2,.A a B a =-=-若{}2,1,0,4,16A B ⋃=--，则a =( ) A ．±1B ．2±C ．3±D ．4±(2)(2021·全国高三专题练习)设集合5,,b A a b a ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭，{},,1B b a b =+-，若{}2,1A B =-，则a =____，b =____．(3)(2021·重庆八中)已知集合{}12A x x =<<，集合{}B x x m =>，若()A B =∅R，则m 的取值范围为( )A ．(],1-∞B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．[)2,+∞(4)(2021·河南安阳市)已知集合{}2230A x N x x *=∈--<，{}20B x ax =+=，若A B B =，则实数a 的取值集合为( ) A ．{}1,2--B ．{}1,0-C ．2,0,1D ．{}2,1,0--(5)(2021·全国高三月考(理))设集合{}2|20A x x mx =+-<，{}|13B x x =-≤≤，且{}23A B x x =|-<≤，则A B =( )A ．{}|11x x -≤<B ．{}|21x x -<<C ．{}|21x x -<≤-D ．{}|13x x <≤【答案】(1)B(2)1 2 (3)A(4)D(5)A【解析】(1)由{}2,1,0,4,16A B ⋃=--知，24416a a ⎧=⎨=⎩，解得2a =±故选：B(2)由{}2,1A B =-，得21b a a b ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩或12ba ab ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩.①当21ba ab ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩时，解得12a b =⎧⎨=⎩，此时{}5,2,1A =-，{}2,3,1B =-，符合题意；②当12ba ab ⎧=-⎪⎨⎪-=⎩时，解得11a b =⎧⎨=-⎩，此时{}5,2,1A =-，集合B 中的元素不满足互异性，不符合题意．综上所述，1a =，2b =.故答案为：1；2. (3)由题知()AB =∅R，得A B ⊆，则1m ，故选：A ．(4){}{}22301,2A x N x x *=∈--<=，因为AB B =，所以B A ⊆，当0a =时，集合{}20B x ax φ=+==，满足B A ⊆； 当0a ≠时，集合{}220B x ax x a ⎧⎫=+===-⎨⎬⎩⎭，由B A ⊆，{}1,2A =得21a -=或22a-=，解得2a =-或1a =-， 综上，实数a 的取值集合为{}2,1,0--.故选：D . (5)由题意，集合{|13}B x x =-≤≤，且{|23}AB x x =-<≤，可得2-是方程220x mx +-=的根，即2(2)(2)20m -+⨯--=，解得1m =， 所以{}{}2|20|21A x x x x x =+-<=-<<，则{|11}A B x x ⋂=-≤<.故选：A. 【一隅三反】1．(2021·全国高三)已知集合{}20,1,,{1,0,23}==+A a B a ，若AB A B =，则实数a 等于( )A ．1-或3B ．0或1-C ．3D ．1-【答案】C 【解析】由AB A B =可知A B =，故223a a =+，解得1a =-或3a =.当1a =-时，21a =，与集合元素互异性矛盾，故1a =-不正确. 经检验可知3a =符合题意.故选：C .2．(2021·辽宁沈阳市)已知集合{}{}21,0,1,,A B x x =-=，若AB B =，则实数x =( )A ．1-B ．1C ．±1D ．0或±1【答案】A 【解析】由AB B =得B A ⊆，0x =时，20x x ==不合题意，1x =时，21x x ==也不合题意， 1x =-时，21x =，满足题意．故选：A ．3．(2021·安徽宣城市){}{}36,72A x x B x a x a =-≤<=-<≤ (1)A B B ⋃=，求a 的取值范围； (2)UA B ，求a 的取值范围．【答案】(1)[)3,4；(2)(],7-∞-.【解析】(1)A B B =，A B ∴⊆，7326a a -<-⎧∴⎨≥⎩，解得34a ≤<，即a 的取值范围为[)3,4；(2)可得{3U A x x =<-或}6x ≥， U A B ，若B =∅，则72a a -≥，解得7a ≤-，满足题意；若B ≠∅，则727326a a a a -<⎧⎪-≥-⎨⎪<⎩，不等式无解，综上，a 的取值范围为(],7-∞-.4．(2021·浙江高一期末)在“①A B =∅，②A B ⋂≠∅”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合{|231}A x a x a =-<<+，{|01}B x x =<≤．(Ⅰ)若0a =，求A B ；(Ⅱ)若________(在①，②这两个条件中任选一个)，求实数a 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．【答案】(1){|31}x x -<≤；(2)若选①，(,1][2,)-∞-+∞；若选②，()1,2-【解析】(1)当0a =时，{|31}A x x =-<<，{|01}B x x =<≤；所以{|31}A B x x =-<≤(2)若选①，A B =∅，当A =∅时，231a a -≥+，解得4a ≥，当A ≠∅时，4231a a <⎧⎨-≥⎩或410a a <⎧⎨+≤⎩，解得：24a ≤<或1a ≤-， 综上：实数a 的取值范围(,1][2,)-∞-+∞．若选②，A B ⋂≠∅，则23123110a a a a -<+⎧⎪-<⎨⎪+>⎩，即421a a a <⎧⎪<⎨⎪>-⎩，解得：1a 2-<<，所以实数a 的取值范围()1,2-．考点五 实际生活中集合间的运算【例5】(2021·山东高三专题练习)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过《三国演义》的学生人数为( )A．60 B．50 C．40 D．20【答案】A【解析】因为阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，-=位，所以只阅读了《三国演义》的学生有806020又因为阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，=位，故选：A.所以只阅读过《三国演义》的学生共有20+4060【一隅三反】1．(2021·云南省云天化中学高一期末)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为( )A．80 B．70 C．60 D．50【答案】B【解析】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，-=位，所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有906030因为阅读过《红楼梦》的学生共有80位，-=位，所以只阅读过《红楼梦》的学生共有806020所以只阅读过《西游记》的学生共有302010位，+=位，故选：B.故阅读过《西游记》的学生人数为1060702．(2021·全国高三专题练习)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．3．(2021·吴县中学高一月考)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．63%B ．47%C ．55%D ．42%【答案】B【解析】设只喜欢篮球的百分比为x ，只喜欢羽毛球的百分比为y ，两个项目都喜欢的百分比为z ，由题意，可得60x z +=，95x y z ++=，82y z +=，解得47z =．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是47%．故选：B ．4．(2021·广东清远市·高一期末)某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为( )A ．19B ．20C ．21D ．37 【答案】C【解析】由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为1316821+-=.故选：C。
人教版高中数学精讲精练必修一4.3 对数运算(精讲)(解析版)
4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lg N自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…log e N记为ln N二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则a x＝N⇒log a N＝x.(2)对数恒等式：a log a N＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(2)log a a＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R).拓展：log am M n ＝nm log a M (n ∈R ，m ≠0).2.换底公式对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1).特别地：（1）log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1(a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c ≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若()1log 11x x ++=，则x 的取值范围是.【答案】()()1,00,-⋃+∞【解析】对于等式()1log 11x x ++=，有1011x x +>⎧⎨+≠⎩，解得1x >-且0x ≠，因此，x 的取值范围是()()1,00,-⋃+∞.故答案为：()()1,00,-⋃+∞.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式()23log 34x x -++有意义，则实数x 的取值范围是.【答案】()1,4-【解析】根据真数大于0得2340x x -++>，解得14x -<<，故答案为：()1,4-.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式()22log 12x -有意义的x 范围是．【答案】2222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】式子()22log 12x -要有意义，则2120x ->，解得2222x -<<，所以x 范围是22⎛ ⎝⎭.故答案为：2222⎛ ⎝⎭.考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)125-=(2)44=(3)lg 0.0013=-.(4)2139-=；(5)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(6)13log 273=-；(7)646=-.【答案】(1)51log2=-(2)44=(3)3100.001-=(4)31log 29=-；（5)14log 162=-；(6)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(7)664-=.【解析】（1）由125-=可得1log 2=-.（2）由44=，可得44=.（3）由lg 0.0013=-，可得3100.001-=.（4）由2139-=，可得31log 29=-；（5）由21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得14log 162=-；（6）由13log 273=-，可得31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（7）由6=-，可得664-=.【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)2log 164=；(2)6x =；(3)3464=；(4)31327-=.(5)2log 64=6；(6)31log 481=-；(7)3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(8)21636-=．(9)210100=；(10)ln a b =；(11)37343=；(12)61log 236=-．【答案】(1)4216=(2)6x =(3)4log 643=(4)31log 327=-(5)6264=(6)41381-=(7)12log 83=-(8)61log 236=-(9)lg1002=(10)e b a =(11)7log 3433=(12)21636-=【解析】（1）因为2log 164=，所以4216=；（2）因为6x =，所以6x =；（3）因为3464=，所以4log 643=；（4）因为31327-=，所以31log 327=-.（5）2log 64=6，可得6264=.（6）31log 481=-，可得41381-=.（7）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得12log 83=-.（8）21636-=，可得61log 236=-.（9）lg1002=（10）e b a =（11）7log 3433=（12）21636-=考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x 的值．(1)()25log log 0x =；(2)()3log lg 1=x ；(3)()()345l 0log lo og g x =.【答案】(1)5；(2)1000；(3)625.【解析】（1）∵()25log log 0x =，∴501log 2x ==，∴155x ==；（2）∵()3log lg 1=x ，∴1lg 33x ==，∴3101000x ==；（3）由()()345l 0log lo og g x =可得，()45log log 1x =，故5log 4x =，所以45625x ==.【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)7524log 2⨯（）；(2)(3)7lg142lg lg 7lg183-+-；(4)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+.【答案】(1)19；(2)25；(3)0；(4)3.【解析】（1）()757522222424log 27log 45log 2725119log log =⨯=⨯+⨯+==＋；（2）15112lg100lg1002555===⨯=；（3）7lg142lg lg 7lg183-+-()()()2lg 272lg 7lg 3lg 7lg 23=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg7lg 22lg3=+-++--0=（4）()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23++⋅+()()22lg52lg 2lg52lg 2lg5lg 2=++⋅++()22lg10lg 5lg 2=++21=+3=【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)1324lg lg lg 2493-(2)(21lg 2lg 52+⋅(3)(2lg 5lg 400lg ⋅+；(4)21230.2551log 3log 9log 4⎛⎫++ ⎪⎝⎭(5)3log 21233lg5log 2lg2log 3+-⨯⨯．【答案】(1)12(2)()211lg 24-(3)2(4)234（5）3【解析】（1）解法一：原式()()315222214lg 2lg 7lg 2lg 7523=--+⨯51lg 2lg 72lg 2lg 7lg 522=--++()11lg 2lg 522=+=.解法二：原式1lglg 4lg lg lg 72=-+=.（2）原式()()221111lg 2lg 2lg5lg 2lg 2lg512242⎛⎫=+⋅=+⋅- ⎪⎝⎭()()21111lg 2lg 2lg 5lg 21lg 2lg 22lg 5214224=+⋅-+=+-+()()211lg 2lg 50211lg 244=-+=-.（3）原式2lg 522lg 2()2g )⋅=＋＋()22lg52lg 2lg52lg 2⋅＝＋＋()2lg52lg 2lg5lg 2⋅＝＋＋2lg 52lg 2＝＋2＝．（4）原式2125119log 502⎛⎫=++- ⎪⎝⎭19231424=++=（5）原式2lg5lg21lg103=++=+=．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或x 的值）：(1)log 83x =(2)()lg 211035x -=(3)()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦(4)2log 321lg22log ln1162++++【答案】(1)2x =(2)18x =(3)64x =(4)12-【解析】（1）由log 83x =，得38x =，所以2x =；（2）由()lg 211035x -=两边取以10为底对数，得lg(21g 3)l 5x -=，即2351x -=，解得18x =；（3）由()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦，得()34log log 1x =，所以4log 3x =，即64x =；（4）2log 321lg212log ln134011622+++=+-+=-=-.2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)()722222632log 3log log 77log 28-+-；(2)()322log lg 25lg 4log log 16+-．(3)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+；(4)lg 2lg 3lg 10lg1.8-．(5)12038110.25()lg162lg 5()2722--+--+.(6)()()2lg1112log432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭.；(8)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭(9)2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(10)419log 8log 34--(11))32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(12)()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23+++,【答案】(1)1(2)12(3)3(4)12(5)332(6)2(7)4-(8)1(9)11(10)2-(11)1918-(12)3【解析】（1）原式可化为：()722222263log 3log log 77log 28-+-222632log 977log 2log 8232187⎛⎫=÷⨯-⨯=-=-= ⎪⎝⎭（2）原式可化为：()()222111log lg 25lg 4log log 16lg 254log 422222+-=+⨯-=+-=（3()()()2222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 22lg 52lg 2lg 52lg 2lg 5lg 23++⋅+=++⋅++()()22lg 5lg 2lg 5lg 2213=+++=+=.（4）11lg 2lg 3lg10lg 3lg 22lg 3lg10lg 2lg 9lg1022lg1.8lg1.82lg1.82lg1.8+--+-+-===18lg lg1.81102lg1.82lg1.82===.（5）10328110.25lg162lg52722--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()13322222lg2lg513---⎡⎤⎛⎫+-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝1422213-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝31612+-＝332（6）()()2lg1112log 432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭()13239201g 142l log 21)162log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13lg101144=++-+1111=+-+=2（71128125lg25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（8）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．（9）2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+ln 92361log 3log 64log 2e2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（10）419log 8log 34--2331log 2log 34log22=---314222=+-=-.（11）)32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())3233log 2323lg 1013--⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭143129=+-+1918=-（12）原式为:()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23+++()()()22lg 52lg 21lg 21lg 2lg 2=++-++()2lg5lg 21=++3=考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知8215,log 3==a b，则32a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】B【解析】由题意可得2215log 15aa =⇒=，38221log 3log 3log 33b ===，所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫-=-⨯=-==⎪⎝⎭，所以2log 53225a b -==.故选：B.【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知,a b 均为正实数，若5log log 2b aa b b a a b +==，则a b＝（）A ．12或2B ．2CD ．2或12【答案】D【解析】令log a t b =，则152t t +=，所以22520t t -+=，解得12t =或2t =，所以1log 2a b =或log 2a b =，所以12a b =或2a b =，因为b a a b =，所以()22bb a b b b ==或2b a a a =，所以2b a =或2b a =，所以2a b =或12a b =，故选：D【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a ，b ，c 均为正数，且346a b c ==，求证：212a b c+=；【答案】证明见解析【解析】设346a b c k ===，则1k >.∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k +=+=+=+==，而6222log 6log k c k ==，∴212a b c+=，得证.【一隅三反】1．（2023春·天津）已知326x y ==，则()222x y x y +的值（）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】C【解析】因为326x y ==，所以32log 6,log 6x y ==，所以()()222666221111log 3,log 2,log 61x y x y x y x y +⎛⎫===+== ⎪⎝⎭，故选：C 2．（2023秋·广东）已知436a b ==，则2a b ab +=.【答案】2【解析】由题意可得4log 6a =，3log 6b =，则61log 4a =，61log 3b =，故66212log 42log 3a b ab a b+=+=+=666log 4log 9log 362+==.故答案为：2.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知7.23x =，0.83y =，则11x y -的值为．【答案】2【解析】因为7.23x =，0.83y =，所以7.2log 3x =，0.8log 3y =，所以33337.20.811117.2log 7.2log 0.8log log 92log 3log 30.8x y -=-=-===．故答案为：24．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A ．()2log 2log a a x x =B ．log log ()log a a a xx y y-=C ．log log log ()a a a x y x y -=-D．10103log log 5x =【答案】D【解析】因为()222log log log a a a x x x =≠，所以A 不对；因为log log log ()log a y a a x x x y y =≠-，所以B 不对；因为log log log log ()a a aa x x y x y y -=≠-，所以C 不对；因为351010103log log log 5x x ==，D 正确.故选D.考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对21p -（p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在257p ≤的素数中，当2p =，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，21p -是素数，其它都是合数.除了67p =和257p =两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在21p -型素数研究中所做的开创性工作，就把21p -型的素数称为“梅森素数”，记为21p Mp =-.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数191921M =-，第8个梅森素数313121M =-，则131lg 119M M ++约等于（参考数据：lg50.7≈）（）A ．17.1B ．8.4C ．6.6D ．3.6【答案】D 【解析】由已知可得()3112191312lg lg lg 212lg 2121lg 5 3.61192M M +====⨯-≈+.故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的15，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：1lg 2 3.3219-≈（）），则m 的值为（）A ．12302B ．13304C ．23004D ．24034【答案】B【解析】设原始量为x ，每年衰变率为a ，573012xa x =∴，157301()2a ∴=，57301(2)15m ma ==∴，()1221lg511log log 5lg10lg 21 2.321957305lg2lg2lg2m ∴====-=-≈，5730 2.321913304m ∴≈⨯≈.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）（lg 20.301≈，lg 30.477≈）A ．11710万年B ．11810万年C ．11910万年D ．20010万年【答案】A【解析】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则()44144115152lg lg lg2lg3lg10441lg2lg315310x ==-+=--⨯4410.3010.47715117,≈⨯--≈即11710x ≈万年，故选：A3．（2023秋·江苏南通）已知声强级（单位：分贝）010lg I L I =，其中常数()000I I >是能够引起听觉的最弱的声强，I 是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（）A ．110倍B ．11010倍C ．1010-倍D ．11010-倍【答案】D【解析】121L L -=，则120010lg 10lg 1I I I I -=，所以1110210I I =，∴1102110I I -=.故选：D.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第一册) 3
C．(-4，3)D．[-4，3]
【答案】A
【解析】依题意 或 ，所以 的取值范围是 .故选：A
2．(2021·湖南郴州市·高一期末)函数 的定义域为___________.
【答案】 或
【解析】由题意得 ，所以 ，即 ，
解得 ，故答案为： 或
3．(2021·安徽宣城市·高一期末)函数 的定义域是________.
7(多选)(2021·江苏盐城市·高一期末)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有( )
【解析】由题意，函数 ， ，
要使 有意义，则满足 ，解得 ，
所以 的定义域为 ．故ຫໍສະໝຸດ 案为： ．6(2021·山东潍坊市·高一期末)函数 的定义域是
【答案】
【解析】要使函数有意义，则需满足 ，解得 且 .故函数 的定义域是 .
7．(2021·福建三明市·三明一中高一开学考试)函数 的定义域是______.
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A.令 ，符合函数定义；
对于B,令 ，设 ，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；
对于C,设 当 则x可以取包括 等无数多的值，不符合函数定义；
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目录第一节集合 (2)第一课时：集合的含义与表示 (2)第二课时：集合间的基本关系和集合的运算 (7)第二节函数及其表示 (12)第三课时：函数的概念 (12)第四课时：函数的表示方法 (18)第三节函数的基本性质 (24)第五课时：函数的单调性 (24)第六课时：函数的奇偶性 (27)第四节基本初等函数 (30)第七课时：指数与指数幂的运算 (30)第八课时：指数函数及其性质 (35)第九课时：对数与对数的运算 (41)第十课时：对数函数及其性质 (45)第十一课时：幂函数 (51)第五节函数的应用 (54)第十二课时：方程的根与函数的零点 (54)第一节集合第一课时：集合的含义与表示一、课本知识梳理1. 集合1.1一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫做集合。
1.2集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。
1.3集合与元素的表示：通常用__________________表示集合。
通常用__________________表示集合中的元素。
1.4集合中元素的特性：_____________、____________、_____________.1.5元素与集合的关系：、。
1.6常用数集及表示符号1.7集合的表示方法1.8集合的分类1.8.1集合按元素个数分为、、，我们所说的单元素集合、双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。
1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。
二、课本知识理解1.集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语言，它精确地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容.2.集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的.3.集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构成一个集合.4.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题.5. 元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适合元素与集合，不能用于集合与集合之间.根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立. 6. 集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点.① 用列举法表示集合时①元素之间用“，”分隔；②元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时可用列举法，例如正整数集；③元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法.② 用描述法表示集合时，一是要明确集合中的元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说明的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描述的语句力求简明、确切. ③ 用图示法表示集合时，①元素个数不宜过多；②可以用于表示集合与集合之间的关系.三、基础能力自测1.判断以下元素的全体能构成集合的有（ ）（1）大于3小于100的奇数；（2）班里的高个子；（3）方程x x =2的所有实数根；（4）中国古代的美女. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________.3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________________.4.若集合m m A 则},,0,1{=满足的条件为________________________.为什么？5.若集合1},0{2-=+=则x x x A ________A6.设集合M={平行四边形}，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p_____M, q______M7.将集合},42{Z x x x ∈<<-用列举法表示出来是_____________________.8.不等式183-<+x 的解集用描述法表示为_____________________.9.全体偶数集用描述法表示为_________________________________. 10.集合A={0，1，2}，集合B=}1{A x x ∈-，则B=_____________________. 11.点的集合M ＝}0),{(≥xy y x 是指 （ ）A. 第一象限内的点集B. 第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集 12.若集合A ＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A 中元素的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个四、典型例题精讲精练例1.考察下列每组对象能否组成一个集合。
（1）美丽的小鸟； （2）不超过20的非负整数；（3）立方接近零的正数； （4）直角坐标系中，第一象限内的点。
练1.下列对象能否组成一个集合？（1）跑的快的人；（2）比8大3的整数；（3）平面直角坐标系内的所有点；（4）很小的实数. 例2.已知集合A 含有三个元素1，0，x .若x 2∈A,求实数x 的值。
练2.已知集合A 2,,1x x 由三个元素构成，集合B 由1，2，x 三个元素构成，若集合A 与B 相等，求x 的值.例3.若所有形如23+a b (a ∈Z,b ∈Z )的数组成集合A ，判断226-是不是集合A 中的元素.练3.集合A 是由形如321),(,3-∈∈+的数构成的，判断Z n Z m n m 是不是集合A 中的元素.例4．用适当的方法表示下列集合：（1）比5大3 的数； （2）方程0136422=++-+y x y x 的解集；（3）不等式23>-x 的解的集合； （4）二次函数102-=x y 图像上的所有点组成的集合.练4. 用适当的方法表示下列集合：（1）所有4的整数倍组成的集合； （2）不等式632<+x 的解的集合； （3）大于6且小于11的整数组成的集合；（4）所有平行四边形组成的集合.例5.集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为（ ） A.},{N n n x x ∈= B. },12{N n n x x ∈-= C. },12{N n n x x ∈+= D. },2{N n n x x ∈+= 练5.请用描述法表示下列集合：（1）全体偶数组成的集合：___________________________； （2）全体奇数组成的集合：___________________________；（3）x 轴上的点组成的集合：_____________________________________； （4）坐标轴上的点组成的集合：______________________________________； （5）第二象限内的点组成的集合：______________________________________； （6）第二、四象限内的点组成的集合：__________________________________.五、课堂练习题组A 组1.给出以下四个对象，其中能构成集合的个数为（ ） ①2010年上海世博会的所有参展国家 ②与2接近的全体实数； ③学校图书馆好看的书；④2008年北京奥运会的所有比赛项目。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 42.已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A,有6-a ∈A,那么a 为（ ） A.2 B.2或4 C.4 D.03.已知集合}1,1{+=m A ，则实数m 满足的条件是__________.4.已知集合P 中元素x 满足：a x N x <<∈2,且，又集合P 中恰有三个元素，则整数a =__________.5.已知A=∈-+-3},12,52,2{2且a a a A ，求实数a 的值. 6.已知集合A=}012{2=+-x ax x（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围。
B 组1.下列集合中，表示同一个集合的是 ( )A.)}3,2{()},2,3{(==N MB.}3,2{},2,3{==N MC.}1{},1),{(=+==+=y x y N y x y x MD.)}3,2{(},3,2{==N M2.方程组 ⎩⎨⎧-=-=+11y x y x 的解集是 ( )A .}1,0{==y x B.}1,0{ C. )}1,0{( D.}10),{(==y x y x 或 3.集合{}23<-∈+x N x 用列举法表示应是 ； 4.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为5.若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B =6.设集合B=}26{N xNx ∈+∈ . (1) 试判断元素1和2与集合B 的关系； (2) 用列举法表示集合B.第二课时：集合间的基本关系和集合的运算一、课本知识梳理1.子集概念1.1定义：一般地，对两个集合A,B，如果集合A中的_____________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有_____________关系，称集合A为集合B的子集，记作_________________，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）.1.2子集的定义用数学符号表述为：____________________________________.1.3用Venn图表示为：__________________________.1.4一个集合中有n个元素，则这个集合有个子集，有真子集。
2.真子集概念2.1定义：如果集合___________，但存在元素_________________，我们称集合A是集合B的真子集，记作_________________，读作“A真包含于B”（或“B真包含于A”）.2.2用Venn图表示为：__________________________.3.用子集的概念描述集合相等：如果，那么就说集合A与集合B相等，记作A=B.4.空集4.1定义：_________________的集合，叫空集.4.2用符号表示为_____________.4.3规定：空集是任何集合的______________.是任何非空集合的真子集。
5.子集的有关性质5.1任何一个集合A都是它本身的___________，即_______________.5.2对于集合A，B，C，如果A⊆B, B⊆C，那么_______________.6.集合运算的基本概念6.1并集：一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作_________________（读作“A并B”），用数学符号语言表述为______________________________。