2020年金太阳高考数学(理科)模拟冲刺卷(五)

2020年高考数学（理科）模拟冲刺卷（五）考生注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．设全集I =R ，2{|4}M x x =>，2{|1}1N x x =≥-，则I N M I ð等于（ ）A ．}2|{<x xB ．}12|{<<-x xC ．}22|{≤≤-x xD ．}21|{≤<x x2．若i 为虚数单位，则复数2π2πsin i cos33z =-+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，只需把函数πsin(2)6y x =+的图象（ ） A ．向左平移π4个长度单位 B ．向左平移π2个长度单位 C ．向右平移π4个长度单位D ．向右平移π2个长度单位4．幻方最早起源于我国，由正整数1，2，3，L ，2n 这2n 个数填入n n ⨯方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形数阵就叫n 阶幻方．定义()f n 为n 阶幻方对角线上所有数的和，如(3)15f =，则(10)f =（ ）A ．55B ．500C ．505D ．50505．已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若m α∥，αβ∥，则m β∥或m β⊂B ．若m n ∥，m α∥，n α⊄，则n α∥C ．若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，则n α∥6．*(1)(21)(31)(1)()x x x nx n +++⋅⋅⋅+∈N 展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．21Cn + B ．2CnC ．1Cn n -D ．211C 2n +7．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，z ，y 成等比数列，则x yz +=（ ）A ．52-B ．2-C ．2D ．728．某单位有7个连在一起的停车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停放方法有（ ）种． A ．576B ．72C ．48D ．249．在ABC △中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r （0λ>，0μ>），则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．7210．如图，平面四边形ACBD 中，AB BC ⊥，AB =2BC =，ABD △为等边三角形，现将ABD △沿AB 翻折，使点D 移动至点P ，且PB BC ⊥，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．6πC ．4πD．π311．若函数()xf x e =的图象上两点M ，N 关于直线y x =的对称点在()2g x ax =-的图象上，则a 的取值范围是（ ）A ．(,)2e-∞ B ．(,)e -∞C ．(0,)2eD ．(0,)e12．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断： ①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-； ③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x ，y 满足约束条件103300x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 ．14．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是 ．15．设双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过点F 且倾斜角为45︒的直线与双曲线C 的两条渐近线顺次交于A ，B 两点．若3FB FA =u u u r u u u r，则C 的离心率为 ． 16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '．若0x >时，()2f x x '<，则不等式2(2)(1)321f x f x x x -->+-的解集是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）某商场为改进服务质量，随机抽取了200名进场购物的顾客进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：（1）是否有97.5%的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？（2）为答谢顾客，该商场对某款价格为100元/件的商品开展促销活动．据统计，在此期间顾客购买该商品的支付情况如下：将上述频率作为相应事件发生的概率，记某顾客购买一件该促销商品所支付的金额为X ，求X 的分布列和数学期望．附表及公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC △三个内角A ，B ，C的对边，cos sin a C A b c +=+．（1）求A ；（2）若a =3b c +=，求b ，c ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，PAD △是边长为2的正三角形，PC =E 为线段AD 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBE ；（2）若F 为线段PC 上一点，当二面角P DB F --的余弦值为时，求三棱锥B PDF -的体积．20．（12分）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，己知ab =，00(,)P x y 是椭圆上任一点，O 是坐标原点，2PO OM =u u u r u u u u r，过M 作直线交椭圆于A ，B 两点，且AM BM=，当P 在短轴端点时，AB =（1）求a ，b 的值，并证明直线AB 的方程为00210x x y y ++=；（2）探索PAB △的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出它的最大值．21．（12分）已知函数()ln xf x e x x ax =-+，()f x '为()f x 的导数，函数()f x '在0x x =处取得最小值．（1）求证：00ln 0x x +=；（2）若0x x ≥时，()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知点(1cos,sin)Pαα+，参数[0,π]α∈，点Q在曲线9:π)4Cρθ=+上．（1）求点P的轨迹方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求点P与点Q之间距离的最小值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()|1|f x x=-，()|2|g x x=-．（1）解不等式()()2f xg x+<；（2）对于实数x，y，若()1f x≤，()1g y≤，求证：|21|5x y-+≤．2020年高考数学（理科）模拟冲刺卷（五）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】，， 则． 2．【答案】B【解析】由题意得， 因为，， 所以在复平面内对应的点位于第二象限，故选B ． 3．【答案】C【解析】把中的换成，则可得， 即向右平移个长度单位．4．【答案】C【解析】因为幻方的每行、每列、每条对角线上的数的和相等， 所以阶幻方对角线上数的和就等于每行（或每列）的数的和， 又阶幻方有行（或列），因此，，，故选C ． 5．【答案】D【解析】选项A ：若，，根据线面平行和面面平行的性质，有或， 故A 正确；选项B ：若，，，由线面平行的判定定理，有，故B 正确； 选项C ：若，，，若，所成的二面角为，则，故C 正确； 选项D ，若，，有可能，故D 不正确，故选D ． 6．【答案】A【解析】一次项的系数为． 7．【答案】A 【解析】由，，成等差数列，所以，又，，成等比数列，所以，消去，得，所以，解得或， 因为，，是不相等的非零实数，所以，此时，所以，故选A ． 8．【答案】D【解析】有四种情况：3辆车放在123位置、567位置、127位置、167位置，则不同的停放方法有种．9．【答案】B【解析】因为点为中点，所以，又因为，，所以， 因为，，三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为，故选B ． 10．【答案】A【解析】由，，可知平面，将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同．由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，{|22}M x x x =><-或{|13}N x x =<≤{|13}{|22}{|12}I N M x x x x x x =<≤-≤≤=<≤I I ð2π2πsin i cos 33z =--2πsin032-=-<2π1cos032-=>z πsin(2)6y x =+x π4x -πsin(2)3y x =-π4n ()f m n n n 2123()n f n n++++=L 12399100(10)50510f +++++==L m α∥αβ∥m β∥m β⊂m n ∥m α∥n α⊄n α∥m n ⊥m α⊥n β⊥αβ90︒αβ⊥m n ⊥m α⊥n α⊂21(1)123C 2n n n n +++++⋅⋅⋅+==x y z 2x z y +=x z y 2z xy =y 2220x xz z +-=2()20x x zz +-=1xz=2x z =-x y z 2x z =-2zy =-15222x y z +=--=-334A 24=P BC 1122AP AB AC =+u u u r u u u r u u u rAM AB λ=u u u u r u u u r AN AC μ=u u u r u u u r 1122AP AM AN λμ=+u u u r u u u ur u u u r M P N 11122λμ+=111111()()()12222222λμλμλμλμμλ+=++=+++≥+⨯=11122λμμλλμ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1λμ==λμ+2AB BC ⊥PB BC ⊥BC ⊥PAB P ABC-O记的外心为，由为等边三角形，可得．又，故在中，， 此即为外接球半径，从而外接球表面积为，故选A ． 11．【答案】D【解析】函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，即曲线与有两个公共点，即方程有两解，即有两解， 令，则， 则当时，；当时，， 故时，取得极大值，也即为最大值，当时，；当时，，所以满足条件， 故选D ． 12．【答案】D【解析】如图，设为抛物线的焦点，以线段为直径的圆为， 则圆心为线段的中点．设，到准线的距离分别为，，的半径为，点到准线的距离为， 显然，，三点不共线，则， 所以①正确．由题意可设直线的方程为，代入抛物线的方程， 有．设点，的坐标分别为，，则，， 所以． 则直线与直线的斜率乘积为，所以②正确． 将代入抛物线的方程可得，从而． 根据抛物线的对称性可知，，两点关于轴对称，所以过点，，的圆的圆心在轴上．由上，有，，则． 所以，线段的中垂线与轴的交点（即圆心）横坐标为， 所以． 于是，， 代入，，得，所以，所以③正确． 故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】【解析】作出约束条件表示的可行域，是以，，，为顶点的三角形及其内部， 转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，此时取得最大值．ABP △E ABD △1BE =12BCOE ==OBE Rt△OB =8π()xf x e =M N y x =ln y x =()2g x ax =-ln y x =2ln ax x -=2ln xa x+=2ln ()x h x x +=21ln ()xh x x --'=10x e <<()0h x '>1x e>()0h x '<1x e =()h x 1()h e e=0x →()h x →-∞x →+∞()0h x →0a e <<F C BE M MBE B E 1d 2d M e R M d B E F12222BF EFBE d d d R ++==>=DE 2x my =+C 2480y my --=B E 11(,)x y 22(,)x y 124y y m +=128y y =-212121212(2)(2)2()44x x my my m y y m y y =++=+++=OB OE 12122y y x x =-2x ty =-C 18A y y =2A y y =-A E x A B E N x 124y y m +=21244x x m +=+2224212121212()4()4164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++BE x N 224m +224a m =+222222421212()(24)()4128222BE x x y y r MN m m m ++=+=+-++++21244x x m +=+124y y m +=24241612r m m =++222242(24)(41612)4a r m m m -=+-++=7(2,3)A (1,0)B -(1,0)C 2z x y =+2y x z =-+(2,3)2237z =⨯+=7故答案为． 14．【答案】【解析】根据直方图知第二组的频率是，则样本容量是， 又成绩在分的频率是，则成绩在区间的学生人数是，故答案为． 15．【答案】【解析】由题意，直线的方程为，与，联立得，， 由，得，从而，即， 从而离心率16．【答案】【解析】令，则是上的偶函数，，则在上递减，于是在上递增，由，得， 即，于是，则，解得， 故答案为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）有的把握认为；（2）分布列见解析，（元）．【解析】（1）由题得，所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关． （2）由题意可知的可能取值为，，，．，，，． 则的分布列为所以，（元）． 18．【答案】（1）；（2），或，． 【解析】（1）由及正弦定理得．因为，所以， 代入上式并化简得． 由于，所以， 又，故． （2）因为，， 由余弦定理得，即， 所以，而，所以，为一元二次方程的两根． 所以，或，． 19．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）证明：因为是正三角形，为线段的中点，所以，7300.040100.4⨯=802000.4=80100:(0.0100.005)100.15+⨯=[80,100]2000.1530⨯=30AB x y c =-b y x a=±A bc y a b =+B bcy b a=-3FB FA =u u u r u u u r 3B A y y =3bc bcb a b a=-+2b a =ce a==1(1,)3-2()()g x f x x =-()g x R ()()20g x f x x ''=-<()g x (0,)+∞(,0)-∞2(2)(1)321f x f x x x -->+-22(2)(2)(1)(1)f x x f x x ->---(2)(1)g x g x >-(2)(1)g x g x >-21x x <-113x -<<1(1,)3-97.5%67EX =22200(40408040)505.556 5.02412080801209K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯97.5%X 4060809011(40)60%35P X ==⨯=13(60)60%210P X ==⨯=12(80)30%60%65P X ==+⨯=1(90)10%10P X ===X 13214060809067510510EX =⨯+⨯+⨯+⨯=π3A =1b =2c =2b =1c =cos sin a C A b c =+sin cos sin sin sin A C C A B C +=+πB A C =--sin sin cos cos sin B A C A C =+sin cos sin sin C A A C C =+sin 0C ≠π1sin()62A -=0πA <<π3A =a =3b c +=π3A =2222cos a b c bc A =+-23()293b c bc bc bc =+--=-2bc =3b c +=b c 2320x x -+=1b =2c =2b =1c =59PAD △E AD PE AD ⊥因为是菱形，所以．因为，所以是正三角形，所以，所以平面，又，所以平面．因为平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面， 所以，，而，所以，．又，所以平面． 以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则，，，．于是，，．设面的一个法向量，由，得． 令，即．设，易得，．设面的一个法向量，由，得， 令，，即． 依题意， 令，则，即，即， 所以． 20．【答案】（1），，证明见解析；（2）的面积为定值，定值为． 【解析】（1）在短轴端点时，，由， 可得，所以，， 则椭圆方程为．由，则，，由点差法得，所以． 直线方程为，即， 因为，则，即． （2），得，设、，得，，则，到的距离，所以所以的面积为定值． ABCD AD AB =60BAD ∠=︒ABD △BE AD ⊥AD ⊥PBE AD BC ∥BC ⊥PBE BC ⊂PBC PBC ⊥PBE BC ⊥PBE BC PB⊥PB ==PE BE ==222PB PE BE =+PE EB ⊥PE AD ⊥PE ⊥ABCD E E xyz -B P (C -(1,0,0)D -DP =u u u r DB =u u u rDBP (,,)x y z =m 00DB DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r m m 0x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩x =1y z ==-1,1)=--m (01)PF PC λλ=≤≤u u u r u u u r (2,3)F λλ-(12)DF λ=-u u u rDFB (,,)x y z =n 00DB DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u r n n 0(12))0x x y z λ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩x =1y =-131z λλ-=-131,)1λλ-=--n cos ,=m n =311t λλ-=-32t =-31312λλ-=--59λ=55159939B PDF P BDC F BDC P BDC V V V V ----=-==⨯=a =1b =PAB △P 2Mb y =222214x b a b+=x a =AB ==a =1b =2212x y +=2PO OM =u u u r u u u u r00(,)22x yM --00OM y k x =0012OM AB AB y k k k x ⋅=⋅=-002AB x k y =-AB 0000()222y x x y x y +=-+2200000224x x y y x y y +=--220022x y +=000224x y x y y =--00210x x y y ++=22012210x y x x y y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩220022140x x x y ++-=11(,)A x y 22(,)B x y 120x x x +=-2012142y x x -=120x x y -==120AB x y =-==00(,)P x y 00210x x y y ++=d ==1122PABS AB d =⋅⋅==△PAB △421．【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】（1）由题意，令，则，知为的增函数， 因为，，所以，存在，使得，即．所以，当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 故当时，取得最小值，也就是取得最小值．故，于是有，即，所以有，证毕． （2）由（1）知，的最小值为， ①当，即时，在的增函数， 所以022min 000000000000111()()ln [1()]x f x f x e x x x a x x a x x x x x x ==-+=++≥++-+ 0011x x =+-， 由（1）中，得，即，故满足题意． ②当，即时，有两个不同的零点，，且，即，若时，，为减函数，（*）若时，，为增函数， 所以的最小值为．注意到时，，且此时． （i ）当时，， 所以，即，又，而，所以，即．由于在下，恒有，所以． （ii ）当时，，所以， 所以由（*）知时，为减函数，所以，不满足时，恒成立，故舍去， 故满足条件． 综上所述：的取值范围是．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由，得，因为，则， 得点的轨迹方程，又由，得，∴，∴曲线的直角坐标方程为． （2）半圆的圆心为，[1,)e -+∞()ln 1xf x e x a '=-+-()ln 1xg x e x a =-+-1()xg x e x'=-()g x '(0,)+∞(1)10g e '=->1()202g e '=-<0112t <<0()0g t '=0010t e t -=0(0,)x t ∈0()()0g x g t ''<=()g x 0(,)x t ∈+∞0()()0g x g t ''>=()g x 0x t =()g x ()f x '00x t =0010x e x -=001x e x =00ln 0x x +=()ln 1xf x e x a '=-+-0011x a x ++-00110x a x ++-≥0011()a x x ≥-+()f x 0[,)x +∞0112x <<001()11x x +->()1f x >0011()a x x ≥-+00110x a x ++-<0011()a x x <-+()f x '1x 2x 102x x x <<22222()ln 10ln 1xxf x e x a a x e '=-+-=⇒=-+02(,)x x x ∈2()()0f x f x ''<=()f x 2(,)x x ∈+∞2()()0f x f x ''>=()f x ()f x 2()f x (1)1f e a =+=1a e =-(1)10f e a '=+-=1a e ≥-2(1)10()f e a f x ''=+-≥=201x <≤210x -≥22222222222222()ln ln (ln 1)(1)xxxxf x e x x ax e x x x e x x e x =-+=-+-+=-+22(1)(1)1x x e =--+210x e ->22(1)(1)11xx e --+>2()1f x >0112x <<001()x e x +<00111()e x x -<-+1a e <-2(1)10()f e a f x ''=+-<=201x x >>2(1,)x x ∈()f x ()(1)1f x f e a <=+<0x x ≥()1f x ≥00111()e a x x -≤--+a [1,)e -+∞22:(1)1(0)P x y y -+=≥:9C x y +=min 421PQ =-1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩2222(1)cos sin 1x y αα-+=+=[0,π]α∈sin [0,1]y α=∈P 22(1)1(0)x y y -+=≥9π2sin()4ρθ=+9sin cos ρθθ=+sin cos 9ρθρθ+=C 9x y +=22(1)1(0)x y y -+=≥(1,0)第21页 共10页第22页 共10页 它到直线的距离为，所以． 23．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）令，则，作出函数的图象，它与直线的交点为和，所以的解集为．（2）因为 ，所以．9x y +=42min 421PQ =-15(,)22|1||2|y x x =-+-32,(1)1,(12)23,(2)x x y x x x -≤⎧⎪=<<⎨⎪-≥⎩|1||2|y x x =-+-2y =1(,2)25(,2)2()()2f x g x +<15(,)22|21||(1)2(1)||1|2|(2)1|x y x y x y -+=---≤-+-+|1|2(|2|1)()2()25x y f x g y ≤-+-+=++≤|21|5x y -+≤。