学而思-第四讲-长方体和正方体

的 长方体6面都染色，然后切成336个棱 长为1的小正方体，那么336个小正方体 中，3面被染色的
有___个，2面被染色的有___个，1面被染色的有___个，没染色的有___个。答案：8、 60、 144、 120。
（3） 将长为5，宽为3，高为1的长方体木块的 表面涂上漆，再切成15块棱长为1的小长 方体，则3个面被涂漆的小长方
图 4.7 面上 挖穿
（3）如图 4.5 从棱长为 8 的正方体的角上挖去一个 2
的长方体形成一个新的几何体，求 该几何体的表面积？
分析：由图 4.5 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面共少了 2 个 AEHD 面，而左右面，上下面没
有发生变化，（AEFB 面可弥补 DHGC 面，EHGF 面可弥补 ABCD 面），因此，新几何体的表面积总体来说比
4小块也需要3刀。总共切了2+3+3=8刀，则增加6 2=12个面。因为是正方体，所以12 个面都是
相同的。最后48 块小长方体的表面积和为原有的正方体的表面积再加上增加的12 个面的面积。
解答：表面积 =
（
例4、锯成5块需要4刀，因此表面积增加4
）（ ） 个面，也就是说8个面的面积为96平方厘米一个面的面
没有挖穿 表面积不变。 多 2 个面。 多 4 个面。
挖穿 少 2 个穿透面。 少 2 个穿透面，多 2 个内壁面。 少 2 个穿透面，多 4 个内壁面。
注：必须清楚多的是哪几个面，少的是哪几个面。
拓展练习：1、在一个棱长为 5 分米的正方体上放一个棱长为 4 分米的小正方体，如图 4.8 所示。求该几何体的表面积？答案：（214） 2、在一个棱长为 6 厘米的正方体的面上连续挖去两个棱长分别为 4 厘米和 2 厘米的正方体，构成如图 4.9 所示的 新几何体，求新几何体的表面积。答案：（296） 3、有一个边长为 20 厘米的大正方体，分别从它的角上，棱上，面上各挖掉一个大小相同的小正方体后，表面积变为 2454 平方厘米，（如图 4.10）那么挖去的小立方体的边长是多少厘米？答案：3
2、切刀问题
切刀问题也是立体图 形中表面积的常考题，其关键就是：切一刀 ，增加 2个面的面积（与刀面平 行的2 个面）。如图4.11
c d
a b
图4.11
竖直方 向切一刀增加a和b两个绿面
水平方向切一刀增加c和 d两个黄面
例2、看分割后总共切了几刀。水平方向锯成3片，因此需要切2刀，同样锯成4条需要切3刀，再锯成
上挖去一个长方体 ，更或者所挖去的长方体是打穿的呢 ？表面积也会不变吗？下面我们一起研 究总结一下有关
从长方体中分割出 一块小立体图形以后的新立体图形表 面积的变化问题。
第四讲 长方体和正方体 4.1
五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体
曹威
cb a
B A 32 F
E4
C D
H G
B A 32 F
E4
提高我们的空间想象能力。
本讲大致可以分为两大部分。表面积的计算和体积的计算。
一、 长方体与正方体的认知
D
C
“点动成线，线 动成面，面动成体 ”。 所以长方体是由平面图形长方形从平面中“拔”
出来的。因此长方体有 8 个顶点（A、B、C、D、E、F、G、H）,12 条棱（长 AB 这样 A
H
B G
的共 4 条，宽 BC 这样的共 4 条，高 BF 这样的共 4 条），6 各面（前后，左右，上下）
Aຫໍສະໝຸດ Baidu
H
体 共8个
共 3 组，12 条
共 6 个面
E
C
B G
F
正 A、B、C、D 方 E、F、G、H 体 共8个
12 条全是一样的
6 个面全是一样的正方形 S=6 形如 ABFE
D
C
A
V=
B
H
G
E
F
二、知识点运用 （一）表面积的计算
1、从长方体中 分割出一块以后的立体图形面积
例 1、法 1：新几何体的表面积与原正方体的面积是一样的， 因为新几何体图 4.1 中的 a、b、c 三个外露的面分 别可以弥补原几何体图 4.2 中的 a、b、c 三个面。
6（ ）
（）
注：对于只有一层 的长方体要单独考虑
（二）体积的计算
1、基础体积问 题
例6、法一：直接计 算法，总的体积减去挖去体积。总的：5
。 挖去的：（1）从前往后看：3
个。
（2）从左往右看：1
个。减得1是刚才 里面算过的1个。（3）从上往下看：
个
减得3是 （1）里算过的3个，减得1是（2）里算 过的1个。最后一共是：125-15-4 -6=100。
原来正方体的总面积少了两个 AEHD 面。
解答：表面积=8
-（2 ） =368
（4）如图 4.6 从棱长为 8 的正方体的棱上挖去一个 2
的长方体形成一个新的 几何体，求该几何体的表面积？
分析：由图 4.6 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了 2 个 AEHD 面，而左右面共多了
比原来正方体的总面积多两个 AEFB 的面积。
解答：表面积=8
+（2 ） =396
（2）如图 4.4 从棱长为 8 的正方体的面上挖去一个 2
的长方体形成一个新的几何体， 求该几何体的表面积？
分析：由图 4.4 可知，挖去后新几何体中的 BFHC 面可弥补原正方体的 AEGD 面。此时已经构成了原正方体的 6 个
当然正方体是特殊的长方体。6 个面都是正方形，12 条棱都是正方形的边长。
E
F
顶点
棱
面
表面积 体积
图形
长：AB、CD、HG、EF 前后 2 个面 ABFE 和 DCGH S=2 (a b V=ab
D
长 A、B、C、D 宽：FG、EH、AD、BC 左右 2 个面 AEHD 和 BFGC +
+c
方 E、F、G、H 高：AE。BF。CG。DH 上下 2 个面 ABCD 和 EFGH c )
2 个 AEFB 面，上下面则没有发生变化，（ EHGF 面可弥补 ABCD 面）。因此，新几何体的表面积总体来说比
原来正方体的总面积少了 2 个 AEHD 面而多了 2 个 AEFB 面。
解答：表面积=8
-（2 ） +（2 ） =400
（5）如图 4.7 从棱长为 8 的正方体的面上挖去一个 2
的长方体形成一个新的 几何体，求该几何体的表面积？
分析：由图 4.7 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了 2 个 AEHD 面，而左右面共多了
2 个 AEFB 面，上下面也多了 2 个 EHGF 面。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积少了
2 个 AEHD 面而多了 4 个内壁面积（2 个 AEFB+2 个 EHGF）。
体有几个。答案：8块 （此题为1层的长方体）
第四讲 长方体和正方体 4.4
五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体
曹威
涂色问题小结
长方体
棱长为 a b c
正方体
棱长为 n 的
3 个面被染色的 2 个面被染色的 1 个面被染色的 没有被染色的
（角上）
（棱上）
（面上）
（心里）
8
4
4
4
2
（）
8
12（ n-2）
法 2：也可根据三视图的方法解答此题。
b c
a
图 4.1
b
a c
b
图 4.2
c
a
从前往后看
从上往下看
从右往左看
无论从哪个角度看都看全了整个正方形的面积，所以总面积即为原正方体六
个正方形面的总面积
解答：表面积=8
= 384
这是从正方体 的角上挖去一个长方体，从中我们发 现立体图形的表面积不发生任何变化 。若是从棱上或面
解答：表面积=8
-（2 ） +（2 ） +（4 ） =464
第四讲 长方体和正方体 4.2
五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体
曹威
通过以上几个例 题分析我们发现，都是从正方体中挖 去一个小长方体，由于小长方体的位 置关系所以新 几何体的表面积也 是不一样的，但其中仍是有规律可循 的。现总结如下。
角上挖去 棱上挖去 面上挖去
法二：切片法 。将该几何体从前向后一片一片切开，看有 哪些体积。如图 4.15所示。
（1）22块
（2）22块
（3）12块
（4）22块
（5）22块
图4.15
所以一共是22+22+12+22+22= 100块，当然，从左往右或从上往下切都 可以。
该物 体的表面积的计算还是比较麻烦的，因为要考虑到内壁的 表面积，所以用常规直接方法算 较麻烦，我们
有3个，求原来长方 体的表面积是多少？
分析：一面都没凃色的小正方体应该在原长方体的“心”里，因为有3个没涂色的，所以还原出原长方体的 长，
宽和高，其中长只能 为3+2=5，宽只能为1+2=3，高也 只能为1+2=3。则表面积可求。
解答：2 （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
图4.14
（2）把一个8
例3、如图4.12所示给出三视图
解答：正视图看到的面积（4 ）
右视图看到的面积（5 ）
正视图
右视 图
俯视图
俯视图看到的面积（4 ） 共8+10+ 8=26
图4.12
拓展练习：（ 1）求下列三图中立体图形的表面积。（每 个小正方体的棱长都是1）
（1）
（2）
（3 ）
答案：（1）54 （2）52 （3）54
五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体
曹威
第四讲 长方体和正方体
在小学奥数的学习当中，除了平面几何图形的研究与学习之外，还有立体图形。比如今天我们学习的长方体和
正方体，还有之后要学习到的旋转体，如：圆柱体，圆锥体等等。在立体几何图形的学习中，除了要求我们具备扎
实的平面图形基本功以外，对我 们的空间思维的能力要 求也是比较高的，因 此本讲的学习可以培养 我们的空间 感，
表面积，但还缺挖去后产生的内壁四个面积 AEFB、ABCD、DCHG、EFHG. 因此，新几何体的表面积总体来说
比原来正方体的总面积多四个内壁面积。
解答：表面积=8
+（2 ） +（2 ） =412
B
C
F
G
A 8D
2
E4 H
B
C
A 8F
G
2
D
E4 H
B
C
F
G
A
D
28
E4 H
图 4.5 角上 挖穿
图 4.6 棱上挖穿
11211
11 21 1
22
2
1 12 11
112 11
从上往下看 30 个面
图 4.16 黄色面为打通面，所以全是 2.
解答：（32+40+30） 2=204
拓展练习：（1）有一个长方体，长是宽的 2 倍，宽是高的 3 倍，长的 与高的 之和比宽多 1 厘米，求这个长方体的体积？
积就是96
平方厘米，体积=12
立方厘米。（没必要知道边长具体是多少，因为
我们需要的是底面积 高） 2.4米=240厘米
解答：体积=96 （ ）
第四讲 长方体和正方体 4.3
五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体
曹威
拓展练习：（1）一个棱长为2米的正方体木块，沿水平方向将他锯成 3片，每片有锯成4长条，每长条又锯成5小块，共得到大大小
仍可以按三视图的方法在前（后），左（右），上（下）三个面中5 的每个小格里标出能看到的面积（有一 个挡着的则标为2， 表示有2个面积）如图4.16所示。
11221 11 21 22 2 2 11 21 11221
从前往后看 32 个面
11211 22222 22 2 2 22222 11211
从左往右看 40 个面
C D
H G
图 4.1 角上
图 4.3 棱上
图 4.4 面上
拓展练习：（1）如图 4.3 从棱长为 8 的正方体的棱上挖去一个 2
的长方体形成一个新的几何 体，求该几何体的表面积？
分析：由图 4.3 可知，挖去后新几何体中的 EFHG 面可弥补原正方体的 ABCD 面。同样，BFHC 面可弥补 AEGD 面， 此时与原正方体表面积完全一样，但还缺两个面积，即 AEFB 和 DGHC。因此，新几何体的表面积总体来说
小的长方体 60块 ，那么这 60块长方体表面积的总和是 多少平方米？答案： 96平方米
（2）三个小正方体拼成如图右所示，表面积比原来少了 100平方厘米，求这个图形的体积？
答案：375立 方厘米
3、堆积体的 表面积问题 对于 由若干个小正方体堆积而成的不规则 立体图形的表面积，只要掌握“三视 图”的这个法宝即可 。
有2个面被染色的小 长方体都在原长方体的棱上个数为4
+4
（ ）；有1个面被涂色的小长方体都在原长方体的面上个数为
2
2
（ ）+ 2
（ ）。没有
b
被涂色的小长方体都 在原长方体的“心”里。个数为
c
正方体是特殊的 长方体，方法同上。只不过正方体的a,b, c都是相同的记为n。
图4.13 a
补充练习
（1 ）将一个表面积涂有红色的小长方体分 割成若干个棱长为1厘米的小正方体 ，其中一面都没有涂红色的小 正方体只
（2）21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形，它的表面积是多少平方厘米？ 答案：58
注：三视图的方法要注意 中间有两个挡着的面积
4、涂色问题
对于涂色问题通过图4.13我们会发现，当一个棱长为a b c的长方体各面被涂色
又被分成若干个小 块后，有3个面被染色的小长方体都在原长 方体的角上共8个；