2.2.3因式分解法
课题：2.2.3因式分解法(二)
课题：2.2.3因式分解法（二）教学目标：1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
教学重点:用因式分解法解一元二次方程．教学难点:将方程化为一般形式后，对左侧二次三项式的因式分解．教学过程：一、知识回顾（出示ppt课件）1、因式分解法：当方程的一边能够分解成两个一次因式而另一边等于0时，即可解之．这种方法叫做因式分解法．（1）用因式分解法的条件是:方程左边能够因式分解,而右边等于零;（2）因式分解法的依据： A ·B=0 ⇔A=0或B=0（3）因式分解法解一元二次方程的一般步骤:一移：移项，使方程右边化为。
二分：将方程左边分解成两个的乘积。
三化：“两个因式的积等于零，至少因式为零”，得到两个一元一次方程。
四解：解两个，所得的解就是原方程的解。
二、课前练习（出示ppt课件）1、一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？2、快速回答：下列各方程的根分别是多少？(1) .x(x-2)=0 ；(2) (x+2)(x-3)=0；(3) x2=x；(4) (3x+2)(2x-3)=0；根据性质：A ·B=0 ⇔A=0或B=0，快速说出结果。
3、解下列方程：（1）(x-2) 2=(2x+3) 2（2）(2x+3) 2=4(2x+3)x1=-13，x2=-5 x1=-32，x2=12（3）2(x-3) 2=x2-9（4）(2a-3) 2=(a-2)(3a-4)x1=3，x2=9 a1=a2=1分组练习，交流学习经验。
三、探究学习（出示ppt课件）例：解下列方程：1、x2-10x+24=0【解析】①用配方法解：配方，得：x2-10x+52-52+24=0，得：(x-5) 2-1=0 因式分解，得：(x-5+1)(x-5-1)=0，即：(x-4)(x-6)=0得方程：x-4=0或x-6=0，解得：x1=4，x2=6，②用公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)来因式分解。
《2.2.3 一元二次不等式的解法》教学设计
《2.2.3 一元二次不等式的解法》教学设计2.2.3一元二次不等式的解法教学设计一、教材分析1、地位与作用一元二次不等式的解法在高中数学中具有重要地位。
它是在学习了一元一次不等式、一元二次方程和二次函数的基础上进行的，是对前面知识的深化和综合运用。
同时，一元二次不等式在解决实际生活中的优化问题、函数定义域、值域等问题中有着广泛的应用，是进一步学习数学和其他学科的重要工具。
在高考中，一元二次不等式的解法常常与函数、数列、解析几何等知识相结合进行考查，是考生必须掌握的基础知识。
2、教材内容教材首先通过实例引出一元二次不等式的概念，然后利用二次函数的图象来探究一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，从而得出一元二次不等式的解法。
二、学情分析1、已有知识基础学生已经学习了一元一次不等式的解法，对于不等式的基本性质和求解不等式的基本步骤有了一定的了解。
学生也已经掌握了一元二次方程的解法，包括求根公式、因式分解法等，并且对二次函数的图象和性质有了初步的认识，如二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标等。
2、学习能力大部分学生具备一定的逻辑推理能力和运算能力，但在将知识进行综合运用方面可能存在不足。
例如，将二次函数的图象特征与一元二次不等式的解集联系起来，对于一些学生来说可能是一个难点。
3、兴趣爱好和学习风格学生对于与实际生活相关的数学问题比较感兴趣，如在生活中如何通过一元二次不等式来解决利润最大化、资源最优化等问题。
在学习风格上，有些学生更倾向于直观的图象学习，而有些学生则擅长通过公式和计算来理解知识。
三、教学目标1、知识与技能学生能够理解一元二次不等式的概念，会将一元二次不等式转化为标准形式。
掌握一元二次不等式的解法，能够熟练运用二次函数的图象求解一元二次不等式。
能将一元二次不等式的解法应用于解决简单的实际问题。
2、过程与方法通过探究一元二次不等式与二次函数、一元二次方程之间的关系，培养学生的观察能力、分析能力和逻辑思维能力。
用因式分解法解一元二次方程(教案练习）
新湘教版数学九年级上2.2.3用因式分解法解一元二次方程教学设计课题 2.2.3用因式分解法解一元二次方程单元第二单元学科数学年级九年级学习目标1.知识与技能：①了解因式分解法的概念与步骤。
②会用因式分解法解简单系数的一元二次方程。
2.过程与方法：探索因式分解法的步骤，培养学生分析问题、解决问题的能力，从而使学生树立数学转换的思想。
3.情感态度与价值观：通过运用因式分解法解一元二次方程，让学生体会解决问题方法的多样化，让学生体验数学逻辑的严密性。
重点能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。
难点 1.能理解并灵活运用“若ab=0，则a=0或b=0”的概念；2.能灵活地运用因式分解法解一元二次方程。
教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图回顾知识+导入新课同学们，在上节课中，我们已将学习了用直接开方的方法、配方法以及公式法解一元二次方程的方法，这节课开始我们将学习一直解一元二次方程的另一种新的方法，在上新课之前，我们一起回顾下前面学习的知识：解下列一元二次方程：（1）x²-81=0（直接开方法）解：x²=81∴x=±9∴x1=9；x2=-9.（2）x²+4x+1=0（配方法）解：移项：x²+4x=-1配方：x²+4x+4=-1+4即（x+2）²=3∴x+2=±∴x1=-2；x2=--2.学生跟着教师回忆知识，并思考本节回顾学过的知识，帮学生复习知识，引出这节课的教学内容，同时也帮回顾知识+导入新课（3）x²+x-2=0（公式法）解：这里a=1，b=，c=-2b²-4ac=2-4×1×（-2）=10>0∴x=∴x1=-；x2=.因式分解：把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解.平方差公式：a²-b²=（a+b）（a-b）完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²分解因式：（1）x²-81=x²-9²=（x+9）（x-9）（2）x²+4x=x（x+4）（3）x²+x+4=x²+x+2²=（x+2）²【知识探究】若ab=0，则a、b的值可能有哪几种情况？1.当a≠b时：①a=0，b≠0；②a≠0，b=0.2.当a=b时，a=b=0.结论：若ab=0，则a=0或b=0.【导入新知】解方程：x2-3x=0.在解这个方程的时候，我们可以用配方法：将原方程化为（x-）²=进行求解，我们也可以用公式进行公式法求解.有没有更简便的方法呢？解：对方程左边进行因式分解：x（x-3）=0根据“若ab=0，则a=0或b=0”，可以得到x=0或x-3=0∴x1=0；x2=3.课的知识，注意与老师一起推导公式。
高邑县第五中学九年级数学上册第二章一元二次方程2.2一元二次方程的解法2.2.3因式分解法第1课时因
3．如下图是某设计师在方格纸中设计图案的一部分 , 请你帮他完成余下的工作 : (1)作出关于AB所在直线的轴对称图形 ; (2)将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90°yBiblioteka A′C′2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
-2
A
C
2x
〔1〕
y 2
1
C′ B′B
-2 -1 O
1
A′
-1
-2
A
C
2x
〔2〕
y 2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
A
C
2x
-2
A′
C′
〔3〕
y 2
1
B′B
-2 -1 O
1
-1
-2
A A′
C C′
2x
〔4〕
〔2〕给出点A′ , B′ , C′的坐标〔填在下表中〕 :
(2)∵x1，x2 是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系， 得：x1＋x2＝2，x1 ·x2 ＝2k－1，又∵xx21 ＋xx12 ＝x1·x2， ∴xx121＋·xx222 ＝x1·x2，∴(x1＋x2)2－2x1 x2 ＝(x1 ·x2)2，
∴22－2(2k－1)＝(2k－1)2
，解得 k1＝
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
谢谢观看
Thank you for watching!
结束语
同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成 功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
新教材高中数学第二章等式与不等式 不等式 一元二次不等式的解法学案含解析新人教B版必修第一册
2．2.3 一元二次不等式的解法[课程目标] 1.掌握一元二次不等式的概念；2.会用因式分解法和配方法解一元二次不等式．知识点一一元二次不等式的概念[填一填]一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式,其中a,b,c均为常数,而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．知识点二一元二次不等式的解法[填一填]1．因式分解法(1)一般地,如果x1<x2,则不等式(x－x1)(x－x2)<0的解集是(x1,x2),不等式(x－x1)(x－x2)>0的解集是(－∞,x1)∪(x2,＋∞)．(2)解一元二次不等式,先把不等式化成定义形式ax2＋bx＋c>0(其中不等号也可以是“<”“≥”“≤”等),若ax2＋bx＋c比较容易因式分解,可先将其进行因式分解,然后根据不等式解集的形式写出不等式的解集．2．配方法(1)把一元二次不等式x2＋bx＋c>0化为(x＋h)2>k(h,k为常数)的形式,当k≥0时,就可以用直接开平方法求出不等式的解集．这种解一元二次不等式的方法叫做配方法．(2)一般步骤：一移,将含未知数的项移到不等号的左边,常数项移到不等号的右边；二除,二次项的系数不为1时,不等号两边同时除以二次项的系数,将其化为1；三配,不等号两边同时加上一次项系数一半的平方,将其左边配成完全平方式；四开,不等号右边是非负数时,用直接开平方法解不等式；方程右边是负数时,原不等式的解集为任意实数．[答一答]1．不等式x2－3x＋2>0的解集是什么？提示：x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)>0其解集为{x|x<1或x>2}．2．不等式(x－1)(x－a)>0(a∈R)的解是什么？提示：当a>1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(a,＋∞)；当a＝1时,不等式的解集是(－∞,1)∪(1,＋∞)；当a<1时,不等式的解集是(－∞,a)∪(1,＋∞)．3．用配方法解不等式x2＋2x≤0.提示：x2＋2x＝(x＋1)2－1≤0,即(x＋1)2≤1,－1≤x＋1≤1,即－2≤x≤0,不等式的解集是[－2,0]．类型一 因式分解法解一元二次不等式 [例1] 求下列不等式的解集： (1)x 2－5x －6>0； (2)(2－x )(x ＋3)<0； (3)x 2－2x －8<0；(4)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．[解] (1)因为x 2－5x －6＝(x －6)(x ＋1), 所以原不等式等价于(x －6)(x ＋1)>0.所以原不等式的解集为(－∞,－1)∪(6,＋∞)． (2)原不等式等价于(x －2)(x ＋3)>0,所以不等式的解集为(－∞,－3)∪(2,＋∞)． (3)因为x 2－2x －8＝(x －4)(x ＋2), 所以原不等式等价于(x －4)(x ＋2)<0. 所以原不等式的解集为(－2,4)． (4)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2, 所以原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0. 因为9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2, 所以原不等式等价于(3x －2)2>0, 所以原不等式的解集为{x |x ≠23}．用因式分解法解一元二次不等式,首先要把不等式进行因式分解,注意先把二次项系数化为正数,否则得到相反的结论.[变式训练1] 求下列不等式的解集： (1)2x 2＋7x ＋3>0； (2)－x 2＋8x －15>0； (3)x 2－4x －5<0； (4)－3x 2－2x ＋8≥0.解：(1)因为2x 2＋7x ＋3＝(2x ＋1)(x ＋3),所以原不等式等价于(2x ＋1)(x ＋3)>0. 所以原不等式的解集为(－∞,－3)∪(－12,＋∞)．(2)原不等式等价于x 2－8x ＋15<0. 因为x 2－8x ＋15＝(x －3)(x －5), 所以原不等式等价于(x －3)(x －5)<0.所以原不等式的解集为(3,5)． (3)因为x 2－4x －5＝(x ＋1)(x －5), 所以原不等式可化为(x －5)(x ＋1)<0. 所以原不等式的解集为(－1,5)． (4)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0, 即3(x －43)(x ＋2)≤0,即(x －43)(x ＋2)≤0,所以原不等式的解集为[－2,43]．类型二 配方法解一元二次不等式 [例2] 用配方法解下列不等式： (1)4x 2＋4x －5≤0； (2)14x 2＋x ＋2≥0. [解] (1)4x 2＋4x －5＝(2x ＋1)2－6≤0, 即(2x ＋1)2≤6,－6≤2x ＋1≤6, －1＋62≤x ≤6－12.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1＋62≤x ≤6－12. (2)14x 2＋x ＋2＝(12x ＋1)2＋1≥0, 因为不等式恒成立,所以不等式的解集为R .[变式训练2] 用配方法求下列不等式的解集： (1)x 2＋6x >1； (2)2x 2＋6≥7x .解：(1)原不等式等价于x 2＋6x －1>0,因为x 2＋6x －1＝x 2＋6x ＋9－9－1＝(x ＋3)2－10,所以原不等式可化为(x ＋3)2－10>0,即(x ＋3)2>10.两边开平方,得|x ＋3|>10,从而可得x ＋3>10或x ＋3<－10,所以x >10－3,或x <－10－3.所以原不等式组的解集为(－∞,－10－3)∪(10－3,＋∞)．(2)原不等式可化为x 2－72x ＋3≥0,因为x 2－72x ＋3＝x 2－72x ＋(74)2－(74)2＋3＝(x －74)2－116,所以原不等式可化为(x －74)2－116≥0,即(x －74)2≥116,得x －74≥14或x －74≤－14,解得x ≥2或x ≤32.故原不等式的解集为{x |x ≤32或x ≥2}．类型三 含参数的一元二次不等式的解法 [例3] 解关于x 的不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1(a >0)．[解] 不等式ax 2＋3x ＋2>－ax －1可化为ax 2＋(a ＋3)x ＋3>0,即(ax ＋3)(x ＋1)>0. 当－3a<－1,即0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－1或x <－3a ；当－3a ＝－1,即a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当－3a>－1,即a >3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >－3a .综上所述,当0<a <3时,原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3a 或x >－1；当a ＝3时,原不等式的解集为{x |x ≠－1}； 当a >3时,原不等式的解集为{x |x <－1或x >－3a }．含参数的一元二次不等式要注意对参数的讨论,不重复不遗漏．如本题要依据－3a 与－1的大小关系进行讨论．[变式训练3] 关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0,若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2,则m 的取值范围是(－∞,0)．解析：∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1m <x <2, ∴方程(mx －1)(x －2)＝0的两个实数根为1m 和2,且⎩⎪⎨⎪⎧m <0，1m<2，解得m <0,∴m 的取值范围是m <0.类型四 分式不等式的解法 [例4] 解下列不等式． (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. [解] (1)∵2x －13x ＋1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13⇔x <－13或x ≥12,∴原不等式的解集为{x |x <－13,或x ≥12}．(2)方法1：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3>0，2－x >x ＋3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12，或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12⇔－3<x <－12. ∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．方法2：原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0⇔－2x －1x ＋3>0⇔2x ＋1x ＋3<0⇔(2x ＋1)(x ＋3)<0⇔－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．(1)对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解,但要注意分母不为零.(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.[变式训练4] (1)下列选项中,使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( A )A ．x <－1B ．－1<x <0C ．0<x <1D ．x >1解析：由x <1x <x 2可得⎩⎨⎧x <1x，1x<x 2，即⎩⎨⎧x 2－1x<0，1－x3x <0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或0<x <1，x <0或x >1，所以x <－1.(2)不等式：x ＋2x 2＋x ＋1>1的解集为{x |－1<x <1}．解析：因为x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0,所以原不等式可化为x ＋2>x 2＋x ＋1,即x 2－1<0,解得－1<x <1,所以原不等式的解集为{x |－1<x <1}．1．下列各式：①x 2＋3>x ；②2x 2－3x >2x (x －1)－1；③3x 2－4x >5；④x 2>－1x ＋2.其中一元二次不等式有( B )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①③把各项移到“>”左边,右边变为0,满足一元二次不等式的概念特征,是一元二次不等式；②化简后不含二次项,不是一元二次不等式；④中含有分式,不是一元二次不等式．2．不等式－x 2－2x ＋3>0的解集为( C ) A ．(－2,1) B ．(－3,－1) C ．(－3,1) D ．(－1,3)解析：原不等式等价于x 2＋2x －3<0,即(x ＋3)(x －1)<0,所以不等式的解集为(－3,1)． 3．不等式2x －1x ＋3>0的解集是( D )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(4,＋∞)C ．(－∞,－3)∪(4,＋∞)D ．(－∞,－3)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞解析：2x －1x ＋3>0⇔(2x －1)(x ＋3)>0⇒x <－3或x >12.故选D.4．不等式－x 2＋5x >6的解集是(2,3)． 解析：不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0, 因式分解为(x －2)(x －3)<0,解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为(2,3)． 5．解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1； (3)x 2－2x ＋3>0.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0, 所以(2x ＋1)(x －2)<0,故原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12<x <2.(2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0, 所以(2x ＋1)(x －1)≥0,故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤－12或x ≥1.(3)因为x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2>0, 故原不等式的解集是R .。
一元二次不等式的解法6种常见考法归类(原卷版)
2.2.3 一元二次不等式的解法6种常见考法归类1、一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．注：一元二次不等式的二次项系数a 有a >0和a <0两种，注意aa <0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．2、一元二次不等式的解法（1）用因式分解法解一元二次不等式一般地，如果x 1<x 2，则不等式(x －x 1)(x －x 2)<0的解集是(x 1，x 2)，不等式(x －x 1)(x －x 2)>0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞).①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．依据是：ab >0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0 ；ab <0当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b >0 或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b <0.（2）用配方法解一元二次不等式一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 的正负等知识，就可以得到不等式的解集．注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．3、二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系4、简单分式不等式的解法分式不等式的概念分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．5、求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程：6、一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：∪确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；∪画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；∪由图像得出不等式的解集．对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p ＜q 时，若(x －p)(x －q)＞0，则x ＞q 或x ＜p ；若(x －p)(x －q)＜0，则p ＜x ＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．7、含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．8、三个“二次”之间的关系一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∪，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．9、简单的分式不等式的解法对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．注：设A 、B 均为含x 的多项式 （1）00>⇔>A AB B （2）00<⇔<AAB B（3）000≥⎧≥⇔⎨≠⎩AB A B B （4）000≤⎧≤⇔⎨≠⎩AB AB B 10、解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．考点一 解不含参数的一元二次不等式 考点二 含参数的一元二次不等式的解法 考点三 利用不等式的解集求参数考点四 简单的分式不等式的解法 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题 考点六 一元二次不等式的实际应用考点一 解不含参数的一元二次不等式1．（2023秋·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式(1)(2)0x x -+>的解集为（ ） A ．{2x x <-或1}x >B ．{21}x x -<<C ．{12}x x <<D ．{1x x <或2}x >2．（2023秋·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式： (1)23710x x -≤； (2)2104x x -+<； (3)2340x x -+>．3．（2023·上海·高一专题练习）解下列不等式： （1）22310x x -+-<； （2）()2160x -->；（3）2260340x x x x ⎧--≤⎨+-<⎩4．（2023秋·高一校考课时练习）解下列不等式： （1）22320x x --> （2）2350x x -+>（3）2620x x --+≥ （4）2414x x -≥-5．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式24410x x -+<的解集为 A ．1(,]2-∞B ．11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．∅6．【多选】（2023秋·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为∅的是（ ） A ．210x x -++≤ B ．22340x x -+<C ．2690x x ++≤D ．2440(0)x x a a a ⎛⎫-+-+>> ⎪⎝⎭考点二 含参数的一元二次不等式的解法7．（2023·全国·高一假期作业）若01a <<，解不等式()10a x x a ⎛-⎫ ⎪⎝⎭->．8．（2023·江苏·高一假期作业）解关于x 的不等式()()2231220x a x a --+->9．（2023秋·高一校考课时练习）解关于x 的不等式: ()22110ax a x a -+++<.10．（2023秋·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式()2110ax a x -++>.11．（2023秋·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设a ∈R ，解关于x 的不等式：()2330ax a x -++≤．12．（2023秋·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知222()(1)2(1)f x ax a x a =-+++，a ∈R ，求关于x 的不等式()0f x ≥的解集.考点三 利用不等式的解集求参数13．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式20x ax b ++<的解集是{}24x x -<<，则a b +=（ ）A ．-10B ．-6C ．0D ．214．（2023秋·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于x 的不等式220x x a -+<的解集是{|2}x b x <<，则a b += （ ）A ．1-B ．152-C ．92-D ．9-15．【多选】（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,-∞-⋃+∞，则下列选项中正确的是（ ）A ．a<0B ．不等式0bx c +>的解集是{}|6x x <-C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集为11(,)(,)32-∞-⋃+∞16．（2023秋·河南南阳·高一校考阶段练习）关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()3,1-，则不等式20bx ax c ++<的解集为（ ）A ．()1,2?B ．1,2C ．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭17．（2023秋·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于x 的不等式mx n >的解集是{}<2x x ，则关于x 的不等式()()30mx n x +->的解集是（ ）A ．{|2x x <或3}x >B ．{}2<<3x xC ．{|2x x <-或3}x >D ．{}2<<3x x -18．（2023秋·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数()243f x ax x =++.(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集是(),1b ，求,a b 的值. (2)若0a >，求关于x 的不等式()1f x ax >--的解集.19．（2023秋·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式20x x c +-≤的解集为[]2,1-，则c = .20．（2023·全国·高三专题练习）若不等式()210x a x a -++≤的解集是[]4,3-的子集，则a 的范围是（ ）A ．[－4，3]B ．[－4，2]C ．[－1，3]D ．[－2，2]21．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x 的不等式22(12)20ax a x a +--<的解集中恰有3个正整数解，则a 的值可以为（ ）A ．1-B ．32C ．74D ．2考点四 简单的分式不等式的解法22．（2023秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式302x x +>+的解集是 ．23．（2023秋·陕西渭南·高二统考期末）不等式102xx-≥+的解集为 ． 24．（2023秋·河南商丘·高一统考期中）不等式3102x x +≤- 的解集是 ． 25．（2023·全国·高三对口高考）已知集合3442x P xx ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则P = ． 26．（2023秋·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式： (1)2450x x -++>； (2)2221x ax a -≤-+； (3)132x x+≥-. 考点五 一元二次不等式的恒成立有解问题27．（2023秋·高一单元测试）设()()212=--+-∈y x a x a a R .(1)若不等式()2122--+-≥-x a x a 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围;(2)解关于x 的不等式()2120--+-<x a x a .28．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设()()212f x ax a x a =+-+-． (1)若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()()1R f x a a <-∈．29．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数()()()2124f x m x mx m m =+-+-∈R ．(1)若不等式()0f x <的解集为R ，求m 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()f x m ≥．30．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设2(1)2y ax a x a =+-+-． (1)若不等式2y ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()2(1)10R ax a x a +--<∈．31．（2023·高一课时练习）已知函数()()2322f x x a x a b =+-+++，a ，b ∈R .(1)若关于x 的不等式()0f x >的解集为{4x x <-或}2x >，求实数a ，b 的值； (2)若关于x 的不等式()f x b ≤在[]1,3x ∈上有解，求实数a 的取值范围；(3)若关于x 的不等式()12f x b <+的解集中恰有3个整数，求实数a 的取值范围．考点六 一元二次不等式的实际应用32．（2023秋·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价P （单位：元/件）与月销售量x （单位：件）之间的关系为1602P x =-，生产x 件的成本（单位：元）50030R x =+.若每月获得的利润y （单位：元）不少于1300元，则该厂的月销售量x 的取值范围为（ ）A ．()20,45B ．[)20,45C ．(]20,45D ．[]20,4533．（2023·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x （件）与单价P （元）之间的关系为1602P x =-，生产x 件所需成本为C （元），其中()50030C x =+元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量x 的取值范围是（ ）.A ．{}2030,N x x x +≤≤∈B ．{}2045,N x x x +≤≤∈C ．{}1530,N x x x +≤≤∈D ．{}1545,N x x x +≤≤∈34．（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按%t 征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少52t 万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t 的取值范围是（ ）A ．[]1,3B ．[]2,4C ．[]3,5D ．[]4,635．（2023秋·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件30元，若以40元一件出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m )。
一元二次不等式的解法课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第一册
[解析] 当a > 0时，任意实数x都能使不等式ax 2 + 1 > 0成立，所以不等式
ax 2 + 1 > 0的解集是.
课前预习
（4）不等式x 2 + x + 1 < 0的解集为⌀ .( √ )
[解析]
因为x 2
+x+1= x+
{x| − 1 < x <
x2 +px−12
2}，则关于x的不等式
x+q
> 0的解集是(
A. −3, −2 ∪ 4, +∞
B. −3,2 ∪ 4, +∞
C. −3,0 ∪ 2,4
D. −∞, −2 ∪ 3,4
B
)
[解析] 由题意可得x 2 + px + q = x + 1 x − 2 = x 2 − x − 2，即p = −1，
<
≥
≤
常数，而且a ≠ 0.一元二次不等式中的不等号也可以是“___”“___”“___”等.
课前预习
知识点二 一元二次不等式的解法
1.因式分解法解一元二次不等式
x1 , x2
一般地，如果x1 < x2 ，则不等式 x − x1 (x − x2 ) < 0的解集是________，不等
−∞, x1 ∪ x2 , +∞
所以c = mna < 0，故B错误；
不等式cx 2 + bx + a < 0可化为mnax 2 − m + n ax + a < 0，即
因式分解的12种方法精讲
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。
，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
泌阳县三中九年级数学上册 第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法2.2.3 因式分解法 第1
(2)请写出此题准确的解答过程． 解 : (1)小明的解答过程是从第二步开始出错的 , 其错误原因是如果x－3＝0 那么两边不能同时除以(x－3) ; 故答案为 : 二 , 如果x－3＝0那么两边不能同 时除以(x－3) (2)∵x(x－3)＝3－x , ∴x(x－3)＝－(x－3) , 那么x(x－3)＋(x－3)＝0 , ∴(x －3)(x＋1)＝0 , 那么x－3＝0或x＋1＝0 , 解得x1＝3 , x2＝－1
周角所对的弦是直径.
结束语
九年级数学下册第24章圆24.3圆周角第1课时圆 周角定理及其推论课件新版沪科版
•∴又∵B∠ABDOD1=∠BOBDA． D+∠B ,
2
同理，CAD 1COD．
B
2
∴ B A C B A D C A D 1 B O C ．
2
O
C D
第三种情况 :
• 证明 : 如下图 , 连接 AO 并延长交⊙O 于
点D
• 又∵∵∠B∠ADCA=C∠=DA1 ∠C-D∠ODCAB
2
∠DAB=
在同圆或等圆中 , 同弧或等弧所对的圆周角 相等 , 相等的圆周角所对的弧也相等.
C2 C1
C3 O
A
B
推论2 :
半圆或直径所对的圆周角是直角 ;90°的圆周
角所对的弦是直径.
C2 C1
C3
A
O
B
例1 如下图AB为⊙O的直径 , 弦CD交AB于点P , ∠ACD=60° , ∠ADC=70° , 求∠APC的度数.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休 息时间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来 动一动，久坐对身体不好哦~
高中数学_2.2.3一元二次不等式的解法教学设计学情分析教材分析课后反思
【教学设计】2.2.3 一元二次不等式的解法本节课的内容是高中数学B版必修一第二章第二节“2.2.3一元二次不等式的解法”的第1课时。
新课标指出，学生是教学的主体，教师的教要应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。
我将以此为基础从下面这几个方面加以说明。
一、课标要求二、教材分析（包括教材处理、教材的地位和作用、教学的重点和难点）1、教材处理：本节涉及的一元二次不等式概念的引入、解题方法的得出和应用方法三个方面的内容。
把教材中的引例生成情境，这样更能体现一元二次不等式来自实践，容易激发学生的学习兴趣。
2、教材的地位和作用：本节课是学生在已掌握了一元二次方程的解集、不等式的性质和不等式的解集基础上，进一步研究一元二次不等式的解法和应用，它一方面可以进一步对不等式的解法的理解与认识，同时也为今后进一步“3个二次”的关系打下坚实的基础。
因此，本节课的内容十分重要，它对知识起到了承上启下的作用。
此外，《一元二次不等式的解法》是等式与不等式这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，而且方法得出的过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
3、教学的重点和难点：关键在于重难点如何确定、难点如何突破。
教学重点：1.等比数列前n项和公式的推导;2.等比数列前n项和公式的应用【重点的确定】通过对已学解一元二次方程的回顾，进一步体会一元二次不等式的解法的形式，并把它们用于对问题的发现与解决中去。
因此它是本节课的重点内容。
教学难点：等比数列前n项和公式的推导。
【难点的确定】从学生的思维特点看，很容易把本节内容与一元二次方程的解法进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节一元二次不等式的解法与一元二次方程有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于二次项系数正负情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．因此它是本节课的难点内容。
2.2.3因式分解法 课件2024-2025学年湘教版九年级数学上册
课堂总结
如何选择合适的方法解一元二次方程：
1.若方程具有(x+a)2=b(b≥0)的形式，可用直接开平方法求解.
2.当一元二次方程一边为0.另一边易于分解成两个一次因式的积时，
可用因式分解法求解.
3.公式法是一种最常用的方法，用时一定要把一元二次方程化为一
般形式，确定a,b,c的值.在b2-4ac≥0的条件下代入公式求解.
2.解方程(x＋5)(x－3)＝0时，最合适的方法是( C )
A．直接开平方法
B．配方法
C．因式分解法
D．公式法
3.若三角形三边的长均能使代数式(x－6)(x－3)的值为零，则此三角形
9或15或18
的周长是__________.
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.解方程x2－2x＝99，最好的方法是( B )
新知导入
因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1)移项:把方程右边化为0.
(2)化积:把方程左边分解成两个一次式的乘积的形式.
(3)转化:令两个一次式分别等于0,得到两个一元一次方程.
(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
新知导入
思考：解一元二次方程有哪些方法？
1.直接开平方法
10
2
,x2=-1-
10
.
2
新知导入
(2) 2x2+4x-3=0；
3
2
解：将二次项系数化为1，得：x +2x- =0，
配方法：
2
3
2
移项得x +2x= .
2
配方，得
3
2
x +2x+1= +1,
【新教材】2021版高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.3 一元二次不等式的解法 (含解析)
2.2.3 一元二次不等式的解法素养目标·定方向课程标准学法解读1．会借助因式分解或配方法求解一元二次不等式．2．理解一元二次方程与一元二次不等式的关系.在一元二次不等式求解中，应辨明一元二次方程的根与一元二次不等式的解集关系，归纳总结出用一元二次方程解一元二次不等式的程序.必备知识·探新知基础知识1．一元二次不等式的概念一般地，形如ax 2＋bx ＋c >0的不等式称为一元二次不等式，其中a ，b ，c 是常数，而且a ≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．思考1：不等式x 2＋2x >0是一元二次不等式吗？提示：不是，一元二次不等式一定为整式不等式． 2．一元二次不等式的解法 (1)因式分解法如果x 1<x 2，则不等式__(x －x 1)(x －x 2)<0__的解集是(x 1，x 2)；不等式__(x －x 1)(x －x 2)>0__的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)．(2)配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总是可以变为__(x －h )2>k 或(x －h )2<k __的形式，再由k 值情况，可得原不等式的解集，如下表：k >0k ＝0k <0 (x －h )2>k转化为|x －h |>k ，解集为(－∞，h －k )∪(h ＋k ，＋∞)(－∞，h )∪(h ，＋∞)R(x －h )2<k 转化为|x －h |<k ，解集为(h －k ，h ＋k )∅ ∅提示：用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．基础自测1．不等式6－x －2x 2<0的解集是( D ) A ．{x |－32<x <2}B ．{x |－2<x <32}C ．{x |x <－32或x >2}D ．{x |x >32或x <－2}解析：不等式变形为2x 2＋x －6>0，即(2x －3)(x ＋2)>0，∴不等式的解集为{x |x <－2或x >32}．故选D ． 2．不等式3x ＋11－4x ≥0的解集是( B )A ．{x |－13≤x ≤14}B ．{x |－13≤x <14}C ．{x |x >14或x ≤－13}D ．{x |x ≥14或x ≤－13}解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋1)(4x －1)≤0，1－4x ≠0，解得－13≤x <14，故其解集为{x |－13≤x <14}．故选B ．3．①x 2＋x ＋1<0，②－x 2－4x ＋5≤0，③x ＋y 2＋1>0，④mx 2－5x ＋1>0，⑤－x 3＋5x ≥0，⑥(a 2＋1)x 2＋bx ＋c >0(m ，n ∈R )．其中关于x 的不等式是一元二次不等式的是__①②⑥__.(请把正确的序号都填上)解析：①②是；③不是；④不一定是，因为当m ＝0时，它是一元一次不等式；⑤不是，因为未知数的最高次数是3；⑥是，尽管x 2的系数含有字母，但a 2＋1≠0，所以⑥与④不同，故答案为①②⑥.4．不等式组0≤x 2－2x －3<5的解集为__(－2，－1]∪[3,4)__. 解析：由x 2－2x －3≥0得x ≤－1或x ≥3； 由x 2－2x －3<5得－2<x <4.∴－2<x ≤－1或3≤x <4. ∴原不等式的解集为(－2，－1]∪[3,4)．5．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，则k 的取值范围是__(2,4)__.解析：x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8<0的解，把x ＝1代入不等式，得k 2－6k ＋8<0，解得2<k <4.关键能力·攻重难类型 解不含参数的一元二次不等式 ┃┃典例剖析__■典例1 解下列不等式：(1)x 2＋x ＋1>0； (2)(3x －1)(x ＋1)>4.思路探究：(1)用配方法解不等式即可；(2)利用因式分解法求解． 解析：(1)由题意，可得x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，所以不等式的解集为R .(2)由不等式(3x －1)(x ＋1)>4，可化为3x 2＋2x －5>0，即(x －1)(x ＋53)>0，所以不等式的解集为{x |x <－53或x >1}．归纳提升：一元二次不等式的解题策略1．因式分解法：不等式的左端能够进行因式分解的可用此法，它只能适应于解决一类特殊的不等式．2．配方法：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)通过配方总可以化为(x －h )2>k 或(x －h )2<k 的形式，然后根据k 值的正负即可求得不等式的解集．┃┃对点训练__■ 1．解下列不等式：(1)2x 2＋5x －3<0；(2)4x 2－12x ＋9>0. 解析：(1)原不等式可化为(2x －1)(x ＋3)<0， ∴原不等式的解集为(－3，12)．(2)原不等式可化为x 2－3x ＋94>0，因为x 2－3x ＋94＝(x －32)2，所以原不等式可化为(x －32)2>0，所以只要x ≠32，不等式即成立，所以原不等式的解集为(－∞，32)∪(32，＋∞)．类型 分式不等式的解法 ┃┃典例剖析__■典例2 解下列不等式：(1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－x x ＋3>1. 思路探究：(1)解分式不等式的关键是把分式不等式等价转化为整式不等式求解，特别注意不能直接去分母．(2)当分式不等式的右边不为0时，要先移项、通分、合并同类项，再进行等价转化．解析：(1)∵2x －13x ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0，∴⎩⎨⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，即x <－13或x ≥12.∴原不等式的解集为{x |x <－13或x ≥12}．(2)原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0， ∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，∴－3<x <－12.∴原不等式的解集为{x |－3<x <－12}．归纳提升：解分式不等式的关注点(1)根据是实数运算的符号法则，分式不等式经过同解变形可化为四种类型，解题思路如下：①f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0； ②f (x )g (x )<0⇔f (x )g (x )<0； ③f (x )g (x )≥0⇔f (x )g (x )≥0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )>0或f (x )＝0； ④f (x )g (x )≤0⇔f (x )g (x )≤0且g (x )≠0⇔f (x )g (x )<0或f (x )＝0. (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先两边同时乘以分母的平方去分母，再移项，因式分解，转化为用上述方法求解．┃┃对点训练__■2．(1)已知集合A ＝{x |x －2x ≤0}，B ＝{0,1,2,3}，则A ∩B ＝( A )A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1}D ．{1,2,3}(2)若关于x 的不等式ax －b >0的解集为(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋bx －3>0的解集为__(－∞，－1)∪(3，＋∞)__.解析：(1)由已知得A ＝{x |0<x ≤2}， 又B ＝{0,1,2,3}，∴A ∩B ＝{1,2}．(2)由ax －b >0的解集为(1，＋∞)可得ba ＝1，且a >0，∴ax ＋b x －3>0可化为(x ＋b a)x －3>0. 解得x <－1或x >3.类型 —元二次不等式与一元二次方程之间的关系 ┃┃典例剖析__■典例3 不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2x 2＋bx ＋a >0的解集为( A )A ．{x |x <－1或x >12}B ．{x |－1<x <12}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x <－2或x >1}思路探究：解答本题需从一元二次不等式的解集与不等式对应的一元二次方程根的情况的关系着手．解析：方法一：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 由一元二次方程根与系数的关系，知⎩⎨⎧－1＋2＝－b a，－1×2＝2a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．方法二：由题设条件知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个实根． 分别把x ＝－1，x ＝2代入方程ax 2＋bx ＋2＝0中，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2＝0，4a ＋2b ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.则2x 2＋x －1>0的解集是{x |x <－1或x >12}．归纳提升：已知一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0或ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)的解集，则可知a 的符号和ax 2＋bx ＋c ＝0的两实根，由根与系数的关系可知a ，b ，c 之间的关系．例如，若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |d <x <e }(d <e )，则说明a <0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca ；若解集为{x |x <d 或x >e }(d <e )，则说明a >0，x 1＝d ，x 2＝e 分别为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，即d ＋e ＝－b a ，d ·e ＝ca.┃┃对点训练__■3．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( A ) A ．52B ．72C ．154D ．152解析：方法一：x 2－2ax －8a 2<0可化为(x ＋2a )(x －4a )<0.∵a >0且解集为(x 1，x 2)，则x 1＝－2a ，x 2＝4a ，∴x 2－x 1＝6a ＝15，故a ＝52.方法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，结合a >0得a ＝52.易混易错警示 忽略二次项系数为负 ┃┃典例剖析__■典例4 求一元二次不等式－x 2＋5x －4>0的解集．错因探究：解一元二次不等式时易忽略二次项系数的符号，特别是当二次项系数为负数，利用因式分解法解不等式时，容易写错解集．解析：原不等式等价于x 2－5x ＋4<0，即等价于(x －1)(x －4)<0，所以原不等式的解集为{x |1<x <4}．误区警示：若一元二次不等式的二次项系数为负数，通常先把二次项系数化为正数，再求解．将二次项系数化为正数时，可以将不等式两边同乘以－1，也可以移项，具体解题时，一定要注意不等号的方向．二次项系数含参数时，要严格分系数为正、系数为0、系数为负三种情况进行讨论，缺一不可，若认为当系数为0时，为一元一次不等式，故不讨论，这是不可以的．因为只要题中没有明确说明为一元二次不等式，就必须讨论这种情况．学科核心素养 用分类讨论思想解含参不等式 ┃┃典例剖析__■对于含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．典例5 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0(a ∈R )．思路探究：本题考查含参数的一元二次不等式的求解，可通过分解因式、分类讨论求解． 解析：原不等式可化为(x －a )(x －a 2)>0.当a <0时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当a ＝0时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }； 当0<a <1时，a 2<a ，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，a 2＝a ，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a >1时，a <a 2，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}．综上所述，当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ≠1，x ∈R }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≠0，x ∈R }．课堂检测·固双基1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( D ) A ．{x |－1<x <13}B ．{x |13<x <1}C ．∅D ．R解析：由3x 2－2x ＋1>0得x 2－23x ＋13>0，所以(x －13)2>－29显然成立，所以原不等式的解集为R .2．不等式x －1x ＋2<0的解集为( C )A ．{x |x >1}B ．{x |x <－2}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |x >1或x <－2}解析：原不等式等价于(x －1)(x ＋2)<0，解得－2<x <1.3．不等式4－x 2≥0的解集是__[－2,2]__.解析：根据题意，4－x 2≥0⇔x 2≤4⇔|x |≤2⇔－2≤x ≤2，即不等式4－x 2≥0的解集是[－2,2]．4．不等式1－x2＋x≥0的解集为__(－2,1]__.解析：由1－x 2＋x ≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(2＋x )≥0，2＋x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)(2＋x )≤0，2＋x ≠0，解得－2<x ≤1，所以不等式的解集是(－2,1]． 5．解下列不等式． (1)x 2－4x ＋3≤0； (2)x ＋22x －3≥0. 解析：(1)x 2－4x ＋3≤0，即(x －3)(x －1)≤0， 解得1≤x ≤3.所以不等式的解集为{x |1≤x ≤3}．(2)x ＋22x －3≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋2)(2x －3)≥0，2x －3≠0，解得x ≤－2或x >32，故不等式的解集为{x |x ≤－2或x >32}．。
第二章 2.2 2.2.3 一元二次不等式的解法
2.2.3一元二次不等式的解法课标要求素养要求1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的概念.2.掌握求一元二次不等式解集的两种方法：因式分解法和配方法；会解简单的分式不等式. 通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程及用因式分解或配方法求一元二次不等式的解集，提升数学抽象、数学运算素养.教材知识探究某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册.经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5 000册.要使杂志社的销售收入大于22.4万元，每本杂志的价格应定在怎样的范围内？提示设每本杂志价格提高x元，则发行量减少2.5x万册，杂志社的销售收入为(2＋x)(10－2.5x)万元.根据题意，得(2＋x)(10－2.5x)>22.4，即5x2－10x＋4.8<0，可化为25x2－50x＋24＜0，配方得(x－1)2＜1 25，∴|x－1|＜15，∴0.8＜x＜1.2.1.一元二次不等式的概念一般地，形如ax2＋bx＋c＞0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“＜”“≥”“≤”等. 2.求一元二次不等式的解集的方法(1)因式分解法如何判断二次三项式能否分解因式一般地，如果x1＜x2，则不等式(x－x1)(x－x2)＜0的解集是(x1，x2)，不等式(x－x1)(x－x2)＞0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).(2)配方法一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2＞k或(x－h)2＜k的形式，然后根据k的正负等知识，就可以得到原不等式的解集.教材拓展补遗[微判断]1.不等式ax2＋x－1<0是一元二次不等式.(×)提示只有当a≠0时，ax2＋x－1<0才是一元二次不等式.2.不等式x2－5y<0是一元二次不等式.(×)提示x2－5y<0含有两个未知数，故不是一元二次不等式.3.不等式x2－2x＋3>0的解集为R.(√)[微训练]1.不等式(x＋2)(x－3)>0的解集是________.答案{x|x>3或x<－2}2.不等式x2<2的解集是________.答案{x|－2<x<2}[微思考]1.a2b＋2ab2＋9>0(ab≠0)可看作一元二次不等式吗？提示可以，把b看作常数，则是关于a的一元二次不等式；把a看作常数，则是关于b的一元二次不等式.2.举例说明某些一元二次不等式的解集为.提示例如x2＋x＋1≤0的解集为.题型一 因式分解法求一元二次不等式的解集 【例1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x 2－10x －600＞0； (2)－3x 2＋2x ＋1≥0.解 (1)因为x 2－10x －600＝(x ＋20)(x －30)，所以原不等式等价于(x ＋20)(x －30)＞0，因此所求解集为(－∞，－20)∪(30，＋∞). (2)原不等式可化为3x 2－2x －1≤0 ①， 又3x 2－2x －1＝(x －1)(3x ＋1)＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)，所以①等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13(x －1)≤0，因此所求解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1.规律方法 基本步骤(1)把二次项系数化为正数，另一端为零；(2)二次三项式分解因式为a (x －x 1)(x －x 2)(a ＞0)的形式； (3)直接写出解集.【训练1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x 2－x －1＜0；(2)(x ＋3)2＋3(x ＋3)－4≥0.解 (1)令x 2－x －1＝0，Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5， 由求根公式得x 1，2＝1±52，则x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52， ∴原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－52⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋52＜0， ∴所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，1＋52.(2)令y ＝x ＋3，则原不等式可化为y 2＋3y －4≥0 ①，又y 2＋3y －4＝(y －1)(y ＋4)， ∴①等价于(y －1)(y ＋4)≥0， ∴y ≤－4或y ≥1， 即x ＋3≤－4或x ＋3≥1， ∴x ≤－7或x ≥－2.因此所求解集为(－∞，－7]∪[－2，＋∞). 题型二 配方法求一元二次不等式的解集 【例2】 求下列不等式的解集. (1)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )； (2)－3x 2＋6x ≤2.解 (1)由原不等式得8x 2－8x ＋4＞4x －x 2. ∴原不等式可化为9x 2－12x ＋4＞0. ① 由于9x 2－12x ＋4＝(3x －2)2＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232，∴①可化为9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＞0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＞0，∴所求解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，23∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞.(2)原不等式可化为3x 2－6x ＋2≥0 ①， 而3x 2－6x ＋2＝3(x －1)2－1，∴①等价于3(x －1)2－1≥0，即(x －1)2≥13， 即|x －1|≥33，∴x －1≤－33或x －1≥33， 即x ≤3－33或x ≥3＋33.因此，原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，3－33∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3＋33，＋∞. 规律方法 配方法求一元二次不等式的解集，关键是把原不等式化为(x －h )2＞k 或(x －h )2＜k 的形式，再求解集. 【训练2】 求下列不等式的解集.(1)4x 2－4x ＋1≤0； (2)－x 2＋6x －10＜0.解 (1)4x 2－4x ＋1＝(2x －1)2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122，∴原不等式可化为4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤0，∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10＞0 ①，由于x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，∴①等价于(x －3)2＞－1，∴原不等式的解集为R . 题型三 解含参数的一元二次不等式【例3】 解关于x 的不等式(a ∈R )： 引起讨论a 的因素是什么 (1)2x 2＋ax ＋2>0； (2)x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解 (1)Δ＝a 2－16，下面分情况讨论：①当Δ<0，即－4<a <4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R .②当Δ＝0，即a ＝±4时，若a ＝－4，则原不等式等价于(x －1)2>0，故x ≠1；若a ＝4，则原不等式等价于(x ＋1)2>0，故x ≠－1；③当Δ>0，即a >4或a <－4时，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两个根为 x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16). 此时原不等式等价于(x －x 1)(x －x 2)>0， ∴x <x 1或x >x 2.综上，当－4<a <4时，原不等式的解集为R ； 当a ＝－4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠1}； 当a >4或a <－4时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <14()－a －a 2－16或x >14()－a ＋a 2－16；当a ＝4时，原不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠－1}. (2)将不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0变形为(x －a )(x －a 2)>0. 当a <0时，有a <a 2，所以x <a 或x >a 2；当a＝0时，a＝a2＝0，所以x≠0；当0<a<1时，有a>a2，所以x<a2或x>a；当a＝1时，a＝a2＝1，所以x≠1；当a>1时，有a<a2，所以x<a或x>a2.综上，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}.规律方法求含参数的一元二次不等式的解集，讨论参数可以从以下三个方面考虑：①二次项系数与零的关系；②二次三项式的Δ与零的关系；③两根的大小. 【训练3】解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R).解原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.(1)当－1－a<－1＋a，即a>0时，－1－a≤x≤－1＋a；(2)当－1－a＝－1＋a，即a＝0时，不等式即为(x＋1)2≤0，∴x＝－1；(3)当－1－a>－1＋a，即a<0时，－1＋a≤x≤－1－a.综上，当a>0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；当a<0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}.题型四简单的高次不等式与分式不等式【例4】求下列不等式的解集：(1)(x＋3)(x2－4)≤0；(2)5x＋5≤1.解(1)不等式(x＋3)(x2－4)≤0可化为(x＋3)(x＋2)(x－2)≤0，令(x＋3)(x＋2)(x－2)＝0，得x＝－3或x＝－2或x＝2.利用数轴，可得不等式的解集为(－∞，－3]∪[－2，2].(2)由题意知x ＋5≠0，因此(x ＋5)2>0，原不等式两边同时乘以(x ＋5)2可得5(x ＋5)≤(x ＋5)2且x ＋5≠0， 即x (x ＋5)≥0且x ≠－5，因此所求不等式的解集为(－∞，－5)∪[0，＋∞).规律方法 1.高次不等式：①换元法求解，②移项后一端是0，另一端分解因式，用“标根引线法”求解(注意偶项因式的根要“穿而不过”).2.分式不等式：去分母(一般不等式两边同乘以分母的平方)，化为整式不等式求解或移项，通分化为f （x ）g （x ）>(≥或≤或<)0，再化为整式不等式组求解. 【训练4】 求下列不等式的解集. (1)x 4－3x 2＋2≤0； (2)1－x x ＋2≥2. 解 (1)令t ＝x 2≥0，则原不等式可化为t 2－3t ＋2≤0，解得1≤t ≤2，即1≤x 2≤2，∴1≤x ≤2或－2≤x ≤－1，故原不等式的解集为[－2，－1]∪[1，2]. (2)由题意知x ＋2≠0，因此(x ＋2)2>0，原不等式两边同时乘以(x ＋2)2可得(1－x )(x ＋2)≥2(x ＋2)2且x ＋2≠0，即3(x ＋2)·(x ＋1)≤0且x ≠－2，因此原不等式的解集为(－2，－1].一、素养落地1.(1)通过从实际情景中抽象出一元二次不等式的过程提升数学抽象素养. (2)通过解一元二次不等式培养数学运算素养.2.配方法是解一元二次不等式的基本方法，而因式分解法较为简单. 二、素养训练1.若0＜t ＜1，则不等式(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1t <x <tB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞1t 或x ＜tC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1t 或x ＞tD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪t ＜x ＜1t 解析 ∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t . ∴(x －t )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t ＜0t ＜x ＜1t .答案 D2.设实数a ∈(1，2)，则关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为( ) A.(3a ，a 2＋2) B.(a 2＋2，3a ) C.(3，4)D.(3，6)解析 由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0，得(x －3a )·(x －a 2－2)<0，∵a ∈(1，2)，∴3a >a 2＋2，∴关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)<0的解集为(a 2＋2，3a ).故选B. 答案 B3.设集合A ＝{x |(x －1)2＜3x ＋7，x ∈R }，则集合A ∩Z 中有________个元素. 解析 由(x －1)2＜3x ＋7，解得－1＜x ＜6，即A ＝{x |－1＜x ＜6}，则A ∩Z ＝{0，1，2，3，4，5}. 故A ∩Z 共有6个元素. 答案 64.已知x ＝1在不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解集内，则k 的取值范围是______________.解析 x ＝1在不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解集内，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2. 答案 {k |k ≥4或k ≤2} 5.解不等式x 2－3|x |＋2≤0. 解 x 2－3|x |＋2≤0|x |2－3|x |＋2≤0(|x |－1)·(|x |－2)≤01≤|x |≤2.当x ≥0时，1≤x ≤2； 当x <0时，－2≤x ≤－1.∴原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或1≤x ≤2}.基础达标一、选择题1.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ≠－13B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －13≤x ≤13 C.D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＝－13 解析 原不等式可化为(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13. 答案 D2.若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( ) A.{1，2，3} B.{1，2}C.{4，5}D.{1，2，3，4，5}解析 由(2x ＋1)(x －3)<0， 得－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1，2.故A ∩B ＝{1，2}. 答案 B3.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x ＜0，则不等式f (x )＞f (1)的解集是( )A.(－3，1)∪(3，＋∞)B.(－3，1)∪(2，＋∞)C.(－1，1)∪(3，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，3) 解析 f (1)＝12－4×1＋6＝3，故当x ≥0时，x 2－4x ＋6＞3，解得x ＞3或0≤x ＜1； 当x ＜0时，x ＋6＞3，解得－3＜x ＜0. 所以f (x )＞f (1)的解集是(－3，1)∪(3，＋∞). 答案 A4.不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1＜2的解集为( )A.{x |x ≠－2}B.RC.D.{x |x ＜－2或x ＞2}解析 因为x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＞0，故原不等式x 2－2x －2＜2x 2＋2x ＋2x 2＋4x ＋4＞0(x ＋2)2＞0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}. 答案 A5.在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( ) A.{x |0<x <2} B.{x |－2<x <1} C.{x |x <－2或x >1}D.{x |－1<x <2}解析 根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，解得－2＜x ＜1， 故所求实数x 的取值范围是{x |－2<x <1}. 答案 B 二、填空题6.不等式－x 2＋5x >6的解集是________. 解析 不等式－x 2＋5x >6变形为x 2－5x ＋6<0， 因式分解为(x －2)(x －3)<0，解得2<x <3. ∴不等式－x 2＋5x >6的解集为{x |2<x <3}. 答案 {x |2<x <3}7.不等式x －1x ＋1≥2的解集是________.解析 由题意知x ＋1≠0，因此(x ＋1)2>0，原不等式两边同时乘以(x ＋1)2可得(x －1)(x ＋1)≥2(x ＋1)2且x ＋1≠0，即(x ＋1)(x ＋3)≤0且x ≠－1，因此原不等式的解集为[－3，－1). 答案 [－3，－1)8.若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为2，－1，则当a ＜0时，不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为________.解析 由题意ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x ＋1)，故原不等式可化为a (x －2)(x ＋1)≥0，又∵a ＜0，∴(x －2)(x ＋1)≤0，所求解集为[－1，2].答案 [－1，2]三、解答题9.求下列不等式的解集.(1)－6x 4－x 2＋2≤0；(2)－x 3＋2x 2－x ≥0.解 (1)令t ＝x 2≥0，则原不等式可化为6t 2＋t －2≥0，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫t －12⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋23≥0， ∴t ≥12或t ≤－23(舍)，即x 2≥12，|x |≥22，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－22∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞. (2)原不等式可化为x (x －1)2≤0，∴x ≤0或x ＝1.不等式的解集为(－∞，0]∪{1}.10.已知关于x 的不等式(mx －1)(x －2)>0，若此不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2，求m 的取值范围.解 ∵不等式(mx －1)(x －2)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1m <x <2， 显然1m ＜2，m ≠0.∴(mx －1)(x －2)＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)， 原不等式可化为m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)＞0.① 当m ＞0时，①等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)＞0， 其解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1m ∪(2，＋∞)不合题意. 当m ＜0时，①等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m (x －2)＜0，其解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，2符合题意. 综上，m 的取值范围为(－∞，0).能力提升11.关于x 的一元二次方程kx 2＋(k －1)x ＋k ＝0有两个正实数根，求实数k 的取值范围.解由题意，实数k 满足⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，（k －1）2－4k 2≥0，－k －1k >0， 即⎩⎨⎧k ≠0，3k 2＋2k －1≤0，（k －1）k ＜0，解得0＜k ≤13. 故实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13. 12.解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ∈R ).解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0，解得x ＞1.若a ＜0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0， 解得x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0. ①当a ＝1时，1a ＝1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得，解集为；②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1a ＜x ＜1； ③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0得1＜x ＜1a . 综上所述：当a ＜0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{}x |x ＞1；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为； 当a ＞1时，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1.。
2022年初中数学精品《因式分解法解一元二次方程》word版精品教案
2．2.3因式分解法第1课时因式分解法解一元二次方程1．理解并掌握用因式分解法解方程的依据．2．会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程．一、情境导入我们知道ab＝0，那么a＝0或b＝0，类似的解方程(x＋1)(x－1)＝0时，可转化为两个一元一次方程x＋1＝0或x－1＝0来解，你能求(x＋3)(x－5)＝0的解吗？二、合作探究探究点：用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程(1)x2＋5x＝0；(2)(x－5)(x－6)＝x－5.解析：变形后方程右边是零，左边是能分解的二次多项式，可用因式分解法．解：(1)原方程转化为x(x＋5)＝0，所以x＝0或x＋5＝0，所以原方程的解为x1＝0，x2＝－5；(2)原方程转化为(x－5)(x－6)－(x－5)＝0；所以(x－5)[(x－6)－1]＝0；所以(x－5)(x－7)＝0；所以x－5＝0或x－7＝0；所以原方程的解为x1＝5，x2＝7.方法总结：先将方程右边化为0，观察方程左边是否有公因式，若有公因式，就能利用提公因式法快速分解因式．【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用公式法分解因式解下列方程：(1)x2－6x＝－9；(2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0.解：(1)原方程可变形为：x 2－6x ＋9＝0，则(x －3)2＝0，所以x －3＝0，因此原方程的解为：x 1＝x 2＝3.(2)[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0；[2(x －3)＋5(x －2)][2(x －3)－5(x －2)]＝0；(7x －16)(－3x ＋4)＝0；∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0；∴原方程的解为x 1＝167，x 2＝43. 方法总结：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每一个因式分别为零，就得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．三、板书设计因式分解法⎩⎪⎨⎪⎧理论依据：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0提公因式法分解因式公式法分解因式利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键．因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用因式分解法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法．10.5 一次函数与一元一次不等式教学目标【知识与能力】了解一元一次不等式与一次函数的关系。
第1课时 因式分解法解一元二次方程 (2)
“用好课堂40分钟最重要。我的经验是，哪怕 是再简单的内容，仔细听和不上心，效果肯 定是不一样的。对于课堂上老师讲解的内容， 有的同学觉得很简单，听讲就不会很认真， 但老师讲解往往是由浅入深的，开始不认真， 后来就很难听懂了；即使能听懂，中间也可 能出现一些知识盲区。高考试题考的大多是 基础知识，正就是很多同学眼里很简单的内 容。”常方舟告诉记者，其实自己对竞赛试 题类偏难的题目并不擅长，高考出色的原因 正在于试题多为基础题，对上了自己的“口 味”。
由此得出 2x+1 = 0 或 x-1 = 0.
解得
x1
1 2
， x2 1 .
（2） 5x(x+2)= 4x+8 ，
解 原方程可以写成
5x(x+2)-4(x+2)= 0，
把方程左边因式分解，得
(5x-4)(x+2)=0.
由此得出 5x-4 = 0 或 x+2 = 0.
解得
x1
4 5
， x2 2 .
把方程左边因式分解，得 -3 = 0.
解得 x115 , x2 23 .
解一元二次方程的基本方法之一是因式分 解法，即通过移项使方程右边为0，然后把左 边分解成两个一次因式的乘积，从而转化成一 元一次方程，进行求解．
练习
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。
谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
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2.2.3因式分解法
【知识与技能】
能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法.
【过程与方法】
通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.
【情感态度】
通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法.
【教学重点】
用因式分解法一元二次方程.
【教学难点】
理解因式分解法解一元二次方程的基本思想
由此得x=0 或x-3=0
即x1=0，x2=3
与公式法相比，哪种更简单？
归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法
2.用因式分解法解下列方程;
(1)x(x-5)=3x;
(2)2x(5x-1)=3(5x-1);
2
(3)(35-2x)2-900=0.
2
(2)5x2-4x-3=0;
(3)x2+2x-3=0.
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程
6.如何选择合适的方法解一元二次方程呢？
归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法(有时需要先配
3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？
归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，
然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原元二次方程的解.
4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程
归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式
乘积的一元二次方程.
5.选择合适的方法解下列方程：
2
(1)x2+3x=0;
方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.
三、运用新知，深化理解
1.用因式分解法解下列方程:
(1) 5x2+ 3x = 0;
(2) 7x (3-x)= 4 (x —3).
分析：(1)左边=x (5x + 3),右边=0; (2)先把右边化为0, 7x (3 —x)
—4 (x—3)= 0,找出(3—x)与(x —3)的关系.
解：(1)因式分解，得x (5x + 3)= 0,
于是得x = 0或5x+ 3 = 0,
x i = 0, x2= —3/5;
(2)原方程化为7x (3—x)—4 (x —3)= 0,
因式分解，得(x —3) (—7x—4)= 0,
方)适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然
后用因式分解法.
总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2+bx+c=0(aM 0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x2)，其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0 的两个根.
教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的
于是得x —3= 0 或—7x —4= 0,
x i = 3, X2= —4/7
2.选择合适的方法解下列方程:
2
(1) 2x2—5x + 2 = 0;
(2) (1—x) (x + 4) = ( x —1) (1 —2x).
分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1—x)与(x —1)的关系用因式
分解法;
解：(1) a= 2, b= —5, c= 2, b2 — 4ac=(— 5) 2— 4X2X2= 9>0, 5土® 5±3
X1 = 2, X2= 1/2
(2)原方程化为(1—x) (x+4) + ( 1—x) (1 —2x)= 0,
因式分解，得(1 —x) (5—x)= 0,
即(x—1) (x —5)= 0,
x —1 = 0或x—5 = 0,
X1= 1, X2= 5
3.用因式分解法解下列方程:
（1）10x2+ 3x= 0;
(2)7x (3—x)= 6 (X—3);
(3)9 (X —2) 2= 4 (X+ 1) 2
分析：（1）左边=x （10x + 3）,右边=0; （2）先把右边化为0, 7x （3-x）—6 （X—3）= 0,找出（3-x）与（x —3）的关系；（3）应用平方差公式.
解：（1）因式分解，得X（10X + 3）= 0,
于是得X = 0或10x + 3 = 0,
x i = 0, X2= —3/10;
(2)原方程化为7x (3—X)—6 (X —3)= 0,
因式分解，得(X —3) (—7x—6)= 0,
于是得X —3= 0 或—7x —6= 0,
X1 = 3, X2= —6/7;
(3)原方程化为9 (X —2) 2—4 (X+ 1) 2= 0,
因式分解，得
[3 (X —2)+ 2 (X + 1) [3 (X—2)—2 (x + 1) = 0,
即(5x —4) (X—8)= 0,
于是得5x—4= 0或X —8 = 0,
X1 = 4/5, X2= 8.
4.已知（a2+ b2）2—（a2+ b2）—6 = 0,求a2+ b2 的值.
分析：若把（a+b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2+ b2）为未知数的一元二次方程.
解：设a2+ b2= X，则原方程化为X2—X —6 = 0.
a= 1, b=— 1, c= — 6, b — 4ac= 12— 4X(— 6)x 1 = 25>0,
X =吐亘，二X1 = 3, X2= —2.
2
即a2+ b2= 3 或a2+ b2= —2,
&2+匕2》0,.°. &2+匕2= —2不合题意应舍去，取&2 +匕2= 3 .
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补鬻谣后作业
布置作业：教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题.
这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基
本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程, 而达到这一目的，我们主要利用
了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.
、情景导入，初步认知
复习：将下列各式分解因式
2
(1) 5X*12*45-4X
2
(2) x -4x+4
⑶ 4x(x-1)-2+2x
2
(4) x -4
(5) (2x-1)2-x2
【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解, 从而有利降低本节的难度.
二、思考探究，获取新知
1.解方程x2-3x=0
可用因式分解法求解
方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0。