2.2.3因式分解法

2.2.3因式分解法

【知识与技能】

能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法.

【过程与方法】

通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.

【情感态度】

通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法.

【教学重点】

用因式分解法一元二次方程.

【教学难点】

理解因式分解法解一元二次方程的基本思想

由此得x=0 或x-3=0

即x1=0，x2=3

与公式法相比，哪种更简单？

归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法

2.用因式分解法解下列方程;

(1)x(x-5)=3x;

(2)2x(5x-1)=3(5x-1);

2

(3)(35-2x)2-900=0.

2

(2)5x2-4x-3=0;

(3)x2+2x-3=0.

按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程

6.如何选择合适的方法解一元二次方程呢？

归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法(有时需要先配

3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？

归纳结论】把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，

然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原元二次方程的解.

4.说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程

归纳结论】因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式

乘积的一元二次方程.

5.选择合适的方法解下列方程：

2

(1)x2+3x=0;

方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.

三、运用新知，深化理解

1.用因式分解法解下列方程:

(1) 5x2+ 3x = 0;

(2) 7x (3-x)= 4 (x —3).

分析：(1)左边=x (5x + 3),右边=0; (2)先把右边化为0, 7x (3 —x)

—4 (x—3)= 0,找出(3—x)与(x —3)的关系.

解：(1)因式分解，得x (5x + 3)= 0,

于是得x = 0或5x+ 3 = 0,

x i = 0, x2= —3/5;

(2)原方程化为7x (3—x)—4 (x —3)= 0,

因式分解，得(x —3) (—7x—4)= 0,

方)适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然

后用因式分解法.

总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2+bx+c=0(aM 0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a(x-x i)(x-x2)，其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0 的两个根.

教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的

于是得x —3= 0 或—7x —4= 0,

x i = 3, X2= —4/7

2.选择合适的方法解下列方程:

2

(1) 2x2—5x + 2 = 0;

(2) (1—x) (x + 4) = ( x —1) (1 —2x).

分析：(1)题宜用公式法；(2)题中找到(1—x)与(x —1)的关系用因式

分解法;

解：(1) a= 2, b= —5, c= 2, b2 — 4ac=(— 5) 2— 4X2X2= 9>0, 5土® 5±3

X1 = 2, X2= 1/2

(2)原方程化为(1—x) (x+4) + ( 1—x) (1 —2x)= 0,

因式分解，得(1 —x) (5—x)= 0,

即(x—1) (x —5)= 0,

x —1 = 0或x—5 = 0,

X1= 1, X2= 5

3.用因式分解法解下列方程:

（1）10x2+ 3x= 0;

(2)7x (3—x)= 6 (X—3);

(3)9 (X —2) 2= 4 (X+ 1) 2

分析：（1）左边=x （10x + 3）,右边=0; （2）先把右边化为0, 7x （3-x）—6 （X—3）= 0,找出（3-x）与（x —3）的关系；（3）应用平方差公式.

解：（1）因式分解，得X（10X + 3）= 0,

于是得X = 0或10x + 3 = 0,

x i = 0, X2= —3/10;

(2)原方程化为7x (3—X)—6 (X —3)= 0,

因式分解，得(X —3) (—7x—6)= 0,

于是得X —3= 0 或—7x —6= 0,

X1 = 3, X2= —6/7;

(3)原方程化为9 (X —2) 2—4 (X+ 1) 2= 0,

因式分解，得

[3 (X —2)+ 2 (X + 1) [3 (X—2)—2 (x + 1) = 0,

即(5x —4) (X—8)= 0,

于是得5x—4= 0或X —8 = 0,

X1 = 4/5, X2= 8.

4.已知（a2+ b2）2—（a2+ b2）—6 = 0,求a2+ b2 的值.

分析：若把（a+b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2+ b2）为未知数的一元二次方程.

解：设a2+ b2= X，则原方程化为X2—X —6 = 0.

a= 1, b=— 1, c= — 6, b — 4ac= 12— 4X(— 6)x 1 = 25>0,

X =吐亘，二X1 = 3, X2= —2.

2

即a2+ b2= 3 或a2+ b2= —2,

&2+匕2》0,.°. &2+匕2= —2不合题意应舍去，取&2 +匕2= 3 .

四、师生互动、课堂小结