二元线性规划问题的图解法资料.
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线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
中职 二元线性规划问题的图解法PPT学习教案
7 x 7 y 5
174xx174
y y
6 6
x
0
y 0
目标函数为：z＝28x＋21y
第15页/共22页
（三）例题分析
④求 (求 Z 的最值 )
③移 (平移目标函数,寻找最优解)
②画 (画可行域)
解方程组
1
5
7
M
3 7
1 7
12 77 28X+21y=0
如何求点M的坐标?
7 x 7 y 5
第7页/共22页
2x+y=10 (4,2)
A
x+2y=8
归纳总结：
利用线性规划求最值，一般用图解法 求解，其步骤是
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域 .
（2）移：作出目标函数的等值线.
（3）确定最优解：在可行域内平最行优移解动目
标函数等值线，从而确定
.
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可 求出最大值或最小第8值页/共. 22页
食物／kg
A B
碳水化合物／ kg
0.105
0.105
蛋白质/kg
0.07 0.14
脂肪／kg
0.14 0.07
第14页/共22页
分析:
①列(列线性约束条件,目标
线性约束条件
函0.10数5x＋) 0.10y 0.075
00..1047xx＋ 00..0174
y y
0.06 0.06
x 0
y 0
y
2x+y=10
2x+y=10
A
(4,2)
0
x+2y=8
x
x+2y = 8 2x+y = 10
线性规划的图解法
X2
5– 4– 最 点 优
l1 3B E ( 1/3) 1+(4/3)x2=3 x 2D l2 1– x1 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3)x1+(1/3)x2=1
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向. 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向.
5– 4–
最优点
l1 3B E 2D (1/3)x1+(4/3)x2=3 l2 1– 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
其中c 令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数,在图中 其中 为任选的一个常数, 画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可 这条直线上的点即对应着一个可 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到c. 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到 . 这样的直线有无数条,而且相互平行, 这样的直线有无数条,而且相互平行,称这样的直线 目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 画出两条目标函数等值线 为目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 比如令c= 和 比如令 =0和c=6,就能看出 , 目标函数值递增的方向, 目标函数值递增的方向, 箭头标出这个方向. 用箭头标出这个方向. 这个方向 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
结
论
从上面用图解法求解案例1的过程中明 从上面用图解法求解案例 的过程中明 显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进 行图解就麻烦得多了. 因此, 行图解就麻烦得多了 . 因此 , 尽管图解法具 有简单, 直观的优点, 有简单 , 直观的优点 , 但它的使用是有局限 性的, 性的 , 对仅含有两个至多不超过三个决策变 量的线性规划才适于使用图解法, 量的线性规划才适于使用图解法 , 大多数情 况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使 况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使 用图解法求解, 用图解法求解 , 而对含有三个及三个以上决 策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的 通用算法-- 单纯形法来进行求解 --单纯形法 来进行求解, 通用算法 -- 单纯形法 来进行求解 , 这将在 节加以介绍. §1-3节加以介绍. 节加以介绍
5– 4– 最 点 优
l1 3B E ( 1/3) 1+(4/3)x2=3 x 2D l2 1– x1 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3)x1+(1/3)x2=1
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向. 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向.
5– 4–
最优点
l1 3B E 2D (1/3)x1+(4/3)x2=3 l2 1– 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
其中c 令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数,在图中 其中 为任选的一个常数, 画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可 这条直线上的点即对应着一个可 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到c. 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到 . 这样的直线有无数条,而且相互平行, 这样的直线有无数条,而且相互平行,称这样的直线 目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 画出两条目标函数等值线 为目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 比如令c= 和 比如令 =0和c=6,就能看出 , 目标函数值递增的方向, 目标函数值递增的方向, 箭头标出这个方向. 用箭头标出这个方向. 这个方向 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
结
论
从上面用图解法求解案例1的过程中明 从上面用图解法求解案例 的过程中明 显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进 行图解就麻烦得多了. 因此, 行图解就麻烦得多了 . 因此 , 尽管图解法具 有简单, 直观的优点, 有简单 , 直观的优点 , 但它的使用是有局限 性的, 性的 , 对仅含有两个至多不超过三个决策变 量的线性规划才适于使用图解法, 量的线性规划才适于使用图解法 , 大多数情 况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使 况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使 用图解法求解, 用图解法求解 , 而对含有三个及三个以上决 策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的 通用算法-- 单纯形法来进行求解 --单纯形法 来进行求解, 通用算法 -- 单纯形法 来进行求解 , 这将在 节加以介绍. §1-3节加以介绍. 节加以介绍
第2章 线性规划图解法
-8
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
x2
6
4
可行域
6
0
x1
23
3. 画出目标函数的图形(通常可画出当目 标函数值为零时的(基准)目标函数图)，确 定目标函数平行移动的方向，并沿目标函 数直线的法向用小箭头标出。
例1. max Z = x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x ≥0, x ≥0 1 2
大轿车座椅的限制： 非负限制：
5 x1 2.5 x2 2500 x1 400 x1 0, x2 0
分析：问题是如何安排生产使得工厂获利最大？
项目 产品 生产能力 5 (小时 ⁄ 辆) 2.5 (小时 ⁄ 辆) 2500 (小时 ⁄ 年) 钢材 (吨 ) 装配座椅 (辆 ⁄ 年 ) 利润 (千元 ⁄ 辆)
4
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划研究的内容和问题
线性规划是研究在线性不等式或等式的限 制条件下，使得某一个线性目标函数取得最大 （或最小）的问题。常见的线性规划问题有： （一） 运输问题 （二） 生产的组织与计划问题 （三） 合理下料问题 （四） 配料问题 （五） 布局问题 （六） 分派问题
5
7
例1. 某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产， 已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的 消耗、资源的限制，如下表：
设备 原料 A 原料 B 单位产品获利 Ⅰ 1 2 0 50 元 Ⅱ 1 1 1 100 元 资源限制 300 台时 400 千克 250 千克
问题:工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获 利最多？
6
§2.1
线性规划问题的提出
线性规划发展前景
另一方面，以线性规划为基础而发展起 来的多部门的线性规划 , 多时期的线性规划， 模糊线性规划，随机线性规划，以及整数规 划，非线性规划，目标规划等等，为现代管 理中各类实际问题的解决提供了科学的方法。 目前线性规划的理论研究仍十分活跃，其应 用前景也越来越广阔，它已成为国家重点推 广的现代管理方法之一。
线性规划的标准化及图解法
2
线性规划的问题
• 某工厂生产两种型号的电机（记为A和B），每台 A型电机需用原料2个单位，4个工时，每台B型电 机需用原料3个单位，2个工时，工厂共有原料 100个单位，120个工时，A、B型电机的每台利 润分别为600元和400元，问两种电机各生产多少 可使利润最大？
设A、B型电机各生产x1,x2台，x1,x2称为决策变量。
解：第一个约束引入松弛变量x4, 第二个约束引入剩余变量x5
18
将线性规划化成标准形式
于是，我们可以得到以下标准形式的线性 规划问题：
19
将线性规划化成标准形式
3. 变量无符号限制的问题：
在标准形式中，必须每一个变量均有非负 约束。当某一个变量xj没有非负约束时， 可以令 xj = xj’- xj” 其中 xj’≥0，xj”≥0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号 限制的变量，当然xj的符号取决于xj’和xj” 的大小。
3 . Min
S x1 x 2
4 . Min
S 2 x1 3 x 2
x1 x 2 1 s .t . x2 2 x , x 0 1 2
x1 2 x 2 2 2 x x 3 1 2 s .t . x2 4 x1 , x 2 0
该问题可推广到m个产地，n个销地的运输 问题。
7
线性规划的应用模型
某饲养场使用甲,乙,丙,丁四种饲料，每种饲料的 的维生素A，B，C含量及单位价格和所需的维生素 如下表，要求配制一个混合饲料，每单位混合饲料 的维生素A、B、C的需要量为3，5，10. 甲 A B C 单价 0.2 0.8 1.2 5 乙 0.8 0.3 0.9 6 丙 1.2 0.9 0.7 6 丁 0.6 0.7 1.5 7 需要量 3 5 10
第1章 2 线性规划问题的图解法
其中c 令 Z=2x1+3x2=c, 其中c为任选的一个常 数 ， 在图中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着一 组可行的生产结果， 组可行的生产结果，使两种产品的总利润达到 c。 。 这样的直线有无数条， 且相互平行， 这样的直线有无数条 ， 且相互平行 ， 称 只要画两条 这样的直线为目标函数等值线。只要画两条 目标函数等值线 等值线， 目标函数等值线，如令 x2 c＝0和c=6，可看出目 ＝ 和 ，可看出目
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数 作目标函数等值线， 最优的移动方向； 最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点， 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。 算出最优值。
练习1答案
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
最优解（4/3，14/3）
4
可行域
-8 0
目标函数等值线
6
x1
练习2 某公司由于生产需要，共需要A， 练习 ：某公司由于生产需要，共需要 ， B两种原料至少 两种原料至少350吨（A，B两种材料有 两种原料至少 吨 ， 两种材料有 一定替代性），其中A原料至少购进 ），其中 原料至少购进125 一定替代性），其中 原料至少购进 但由于A， 两种原料的规格不同 两种原料的规格不同， 吨。但由于 ，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每 原料需要2个小时 吨A原料需要 个小时，加工每吨 原料需 原料需要 个小时，加工每吨B原料需 小时， 个加工小时。 要1小时，而公司总共有 小时 而公司总共有600个加工小时。 个加工小时 又知道每吨A原料的价格为 万元，每吨B 原料的价格为2万元 又知道每吨 原料的价格为 万元，每吨 原料的价格为3万元 万元， 原料的价格为 万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 如何购买A， 两种原料 两种原料， 如何购买 ，B两种原料，使得购进成本 最低？ 最低？
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
§18.2二元线性规划问题的图解法(1)
二元一次不等式表示的平面区域
作业
练习册 P89
解答题 4
例3： 根据所给图形， 把图中的平面区域用不等式表示出来：
y
(1)
1
x-y+1<0
x
1
O
二元一次不等式表示的平面区域
y
(2)
2X+3y–6≥0
2
O
3
x
二元一次不等式表示的平面区域
y
(3)
2
O
2 4
4
x
Байду номын сангаас
x+2y-4≤0 x-y>0 y+2≥0
二元一次不等式表示的平面区域 小结 由于对在直线ax+by+c=0同 一侧所有点(x，y)，把它的坐标 (x，y)代入ax+by+c，所得的实 数的符号都相同，故只需在这条 直线的某一侧取一特殊点(x0，y0) 以ax0+by0+c的正负的情况便可 判断ax+by+c>0表示这一直线 哪一侧的平面区域，特殊地，当 c≠0时常把原点作为此特殊点
二元一次不等式表示的平面区域
例1 画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
注意：把直 线画成虚线 以表示区域 不包括边界
y
6
2x+y-6=0
O
3
x
二元一次不等式表示的平面区域 练习 3x－4y－12<0
y
o
-3
4
x
二元一次不等式表示的平面区域
x y 5 0 例2 画出不等式组 x y 0 表示的平面区域。 x 3
x+y=0
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
18.2二元线性规划问题的图解法
练习
渗透数形结 合的思想，培 养学生的观 察能力
2 z x ，这是斜率为 3 3
2 z ，在 y 轴上的截距为 的直线。当 z 变化时， 3 3
可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直 线的斜率是确定的， 因此只要给定一个点， （例如 （1， 2 ））， 就 能 确 定 一 条 直 线 作业 （y 距
【出现的问题】
1、不根据提示，列出目标函数 【追问】 当 x, y 满足不等式组（1）并且为非负整 数时，Z 的最大值是多少？ 【引导】 把目标函数化成斜截式，引导学生寻找
目标函数的几何意义。
4、归纳总结
（1）这节课学习了哪些知识； （2）学到了哪些思考问题的方法？
9 17 , ）的直线 8 8
所对应的 t 最大. 所以 zmin=3×(-2)+５×(-1)=-11.
zmax=3×
×
9 +5 8
y
17 =14 8
x-y+1=0 9 17 3x+5y=0 ( , ) A 8 8 x-5y-3=0 1 C -1 O x 3 -1 B 5x+3y-15=0
5
教学程序 时间分配
引导学生 设元转化， 实现 了由数到形的 转化， 成功实现 数形结合， 分解 了本节课的难 点
x 2 y 8 4 x 16 得二元一次不等式组： 4 y 12 x0 y0
（2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点） 就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题： 进一步，若生产一件甲产品获利 2 万元，生产一件 乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大？ （4）尝试解答： 设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件时，工厂获得的利 润为 z,则 z=2x+3y.这样，上述问题就转化为： 当 x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？ 把 z=2x+3y 变形为 y 总结
18.2 二元线性规划问题的图解法
例2：画出不等式组 ，所表示的平面区域
解题过程：
例3：已知直线 的方程为 和点
，若直线 与线段AB不相交，求 的取值范围
解：因为直线与线段AB不相交，所以点A,B在直线的同侧
课堂练习：书本第96页，练习
数学问题
1、满足线性规划问题约束条件的解叫做可行解，约束条件所表示的平面区域叫做可行域，可行域中使得目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解
2．会用图解法求二元线性规划的最优解
教学难点
1．二元一次不等式所表示的平面区域
2．会用图解法求二元线性规划的最优解
学情分析
研究线性规划问题，需要建立数学模型，包含三个要素：约束变量，目标函数，二元一次不等式组构成的约束条件
教具学具
课后作业
板书设计
18.2二元线性规划问题的图解法
一、相关概念
二、Ax+By+Cz=0两侧符号
【问题解决】
直线 往哪个方向平移时，目标函数 的值增大
课堂练习：书本第98页，练习
图解法求最值的方法:
作——移——求
小组讨论
应用分析
数形结合
图解法
方法
归纳
讨论
交流
讲授
小组
讨论
合作
交流
观察
思考
演示法
讨论
总结
练习
巩固
三、图解法求最值
教学后记
教学
程序
教学内容及教学双边活动
教学手段与
教学方法
复习
引入
情境
问题
例题
讲解
合作
探究
例题
讲解
课堂
总结
知识点复习：研究线性规划问题，需要建立数学模型，包含三个要素：约束变量，目标函数，二元一次不等式组构成的约束条件
解题过程：
例3：已知直线 的方程为 和点
，若直线 与线段AB不相交，求 的取值范围
解：因为直线与线段AB不相交，所以点A,B在直线的同侧
课堂练习：书本第96页，练习
数学问题
1、满足线性规划问题约束条件的解叫做可行解，约束条件所表示的平面区域叫做可行域，可行域中使得目标函数取得最大值或最小值的解叫做最优解
2．会用图解法求二元线性规划的最优解
教学难点
1．二元一次不等式所表示的平面区域
2．会用图解法求二元线性规划的最优解
学情分析
研究线性规划问题，需要建立数学模型，包含三个要素：约束变量，目标函数，二元一次不等式组构成的约束条件
教具学具
课后作业
板书设计
18.2二元线性规划问题的图解法
一、相关概念
二、Ax+By+Cz=0两侧符号
【问题解决】
直线 往哪个方向平移时，目标函数 的值增大
课堂练习：书本第98页，练习
图解法求最值的方法:
作——移——求
小组讨论
应用分析
数形结合
图解法
方法
归纳
讨论
交流
讲授
小组
讨论
合作
交流
观察
思考
演示法
讨论
总结
练习
巩固
三、图解法求最值
教学后记
教学
程序
教学内容及教学双边活动
教学手段与
教学方法
复习
引入
情境
问题
例题
讲解
合作
探究
例题
讲解
课堂
总结
知识点复习：研究线性规划问题，需要建立数学模型，包含三个要素：约束变量，目标函数，二元一次不等式组构成的约束条件
第二章 线性规划的图解法
x2
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
AB
z
C
D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
12
❖ 目标函数：Maxz = 50 x1 + 100 x2
❖ 约束条件：s.t. x1 + x2 ≤ 300
❖
2 x1 + x2 ≤ 400
❖
x2 ≤ 250
❖
x1 , x2 ≥ 0
❖最优解： x1 =50 x2 = 250
❖例2：某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台
- (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。
❖假设产品Ⅱ的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100
❖假设产品Ⅰ的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 +
▪ 4.无可行解。若在例1的数学模型中 再增加一个约束条件4x1+3x2≥1200， 则可行域为空域，不存在满足约束条 件的解，当然也就不存在最优解了。
例3.某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至 少350吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原 料至少购进125吨。但由于A，B两种原料的规格不同 ，各自所需的加工时间也是不同的，加工每吨A原料 需要2个小时，加工每吨B原料需要1小时，而公司总 共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为2万 元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A ，B两种原料，使得购进成本最低？
❖-ai1 x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi。
线性规划图解法
适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。
精选课件
图解法
Page 2
一、线性规划的图解法（解的几何表示）
对于只有两个变量的线性规划问题，可以在二维直角坐标 平面上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2）
D可行域
43=5X1+4X2
max Z
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
min Z
o
L0： 0=5X1+4X2
精选课件
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
Page 18
x1
图解法
x2
6 3x1+x2=6(≥) 4
X = X1 + (1- ) X2 则必定有X = X1 = X2，则称X为S的一个顶点。
精选课件
图解法
Page 24
可以证明，线性规划的可行域以及最优解有以下 性质：
（1）、若线性规划的可行域非空，则可行域必定为一凸集；
（2）、线性规划问题的基本可行解对应于可行域的顶点；
（3）、若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在 其可行域的顶点上达到最优，或在可行域的某个顶点（唯一最 优解）或在某两个顶点及其连线上（无穷多最优解）得到。
2x1+ x2 50 z = 50x1+30x2= 1350
z = 50x1+30x2= 900
(15, 20)
二元线性规划问题的图解.
ห้องสมุดไป่ตู้
x y 2
x
图解法 代数问题
(线性约束条件)
x 3y 0
动脑思考
探索新知
高教社
图5-4中阴影区域（包括边界）上任何一点 的都能满足四个不等式；阴影区域（包括边 界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题 的可行解，所有可行解的全体就构成了这一 线性规划问题的可行域. 目标函数的可能取值，不妨令 z 0 ，则得到一 条直线这条直线上任何一点都能使得目标函数取 同一个常数值（此时 z =0），将这条直线叫做 等值线.
常用方法
平移找解法
创新培养 自我归纳
高教社
1.本次课重点学习了利用图解法解线性规划问题.
2.利用图解法分几个步骤解线性规划问题？
理论升华 整体建构
高教社
五步走用图解法解线性规划问题.
第一步：确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数； 第二步：由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可域；
第三步：过原点作出目标函数的0等值线，即目标函数值等
y Z的最大值为高教社 5
例3 试解二元线性规划:
x y 1 x y2 x 0, y 0 max Z x 3 y
线性目标函数
． 线性约束 条件 ． ．
最优解
L0
1
． ． 可行域 ．． ．． ． ．． 2 1
x y 1
． 0
图解法的步骤：
1.画可行域; 2.作Z=0时的直线L0. 3.平移直线L0找最优解; 4.求出最优解作答.
80
10 0
O
4x+5y=200
x
3x+10y=300
动脑思考
概念
探索新知
x y 2
x
图解法 代数问题
(线性约束条件)
x 3y 0
动脑思考
探索新知
高教社
图5-4中阴影区域（包括边界）上任何一点 的都能满足四个不等式；阴影区域（包括边 界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题 的可行解，所有可行解的全体就构成了这一 线性规划问题的可行域. 目标函数的可能取值，不妨令 z 0 ，则得到一 条直线这条直线上任何一点都能使得目标函数取 同一个常数值（此时 z =0），将这条直线叫做 等值线.
常用方法
平移找解法
创新培养 自我归纳
高教社
1.本次课重点学习了利用图解法解线性规划问题.
2.利用图解法分几个步骤解线性规划问题？
理论升华 整体建构
高教社
五步走用图解法解线性规划问题.
第一步：确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数； 第二步：由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可域；
第三步：过原点作出目标函数的0等值线，即目标函数值等
y Z的最大值为高教社 5
例3 试解二元线性规划:
x y 1 x y2 x 0, y 0 max Z x 3 y
线性目标函数
． 线性约束 条件 ． ．
最优解
L0
1
． ． 可行域 ．． ．． ． ．． 2 1
x y 1
． 0
图解法的步骤：
1.画可行域; 2.作Z=0时的直线L0. 3.平移直线L0找最优解; 4.求出最优解作答.
80
10 0
O
4x+5y=200
x
3x+10y=300
动脑思考
概念
探索新知
线性规划的图解法
设备能力(h)
3 2 0 1500
65 40 75
2.2.1 线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的 总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
2.2.1 线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系： 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标 向量，建立平面直角坐标系。
2.2.1 线性规划的图解法
（2）绘制可行域： 对每个约束（包括非负约束）条 件，作出其约束半平面（不等式）或 约束直线（等式）。
各半平面与直线交出来的区域若 存在，其中的点为此线性规划的可行 解。称这个区域为可行集或可行域。 然后进行下步。否则若交为空，那么 该线性规划问题无可行解。
线性规划的图解法
2.2.1 线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性 规划问题，可以二维直角坐标平 面上作图表示线性规划问题的有 关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题的步 骤如下：
例题
目标函数 Max z =1500x1+2500x2
约束条件 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0
2.2.1 线性规划的图解法
(3) 绘制目标函数等值线，并移动求解：
目标函数随着取值不同，为一族相 互平行的直线。 首先，任意给定目标函数一个值， 可作出一条目标函数的等值线（直线）； 然后，确定该直线平移使函数值增 加的方向； 最后，依照目标的要求平移此直线。
2.2.1 线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动到 既与可行域有交点又达到最优的位 置，此目标函数等值线与可行域的 交点即最优解（一个或多个），此 目标函数的值即最优值。 否则，目标函数等值线与可行 域将交于无穷远处，此时称无有限 最优解。
中职二元线性规划问题的图解法
ABCD
在工作表中输入二元线性 规划问题的各个参数，如 目标函数系数、约束条件 系数和常数项。
Excel将给出最优解、最 优值以及满足约束条件的 解集。
MATLAB求解方法
01
在MATLAB中，使用 “fmincon”函数来求解二元线 性规划问题。
02
输入目标函数系数、约束条件系 数和常数项，以及其他求解参数
资源分配问题的图解法
通过绘制二维平面图，将资源分配问题中的两个决策变量（如医生和床位的数量）在平 面图上表示出来，并根据约束条件和目标函数绘制等效用线或等效用面积，找到最优解。
运输问题
运输问题
在物流和运输领域中，如何合理安排运 输路线和运输量，使得运输成本最低、 运输效率最高。例如，在货物配送中， 如何选择最佳的配送路线和车辆数量， 使得总运输时间和总成本最小。
特点
二元线性规划问题具有明确的目标函 数和约束条件，且目标函数和约束条 件都是线性的，即只包含一次项。
问题的提
实际应用
二元线性规划问题在实际生活中有着广泛的应用，如生产计 划、资源分配、投资组合优化等。
问题形式
给定一组线性约束条件和目标函数，求解两个决策变量的最 优值。
问题的解决方式
解析法
通过代数方法求解二元线性规划问题， 需要一定的数学基础和计算能力。
求解最优解
将最优解位置代入原问题中，求得最优解的值。
分析最优解
根据求得的最优解，分析其对原问题的意义和影 响。
03
二元线性规划问题的实 际应用
生产计划问题
生产计划问题
在生产过程中，需要确定各种产品的生产数量、生产时间和生产成本，以满足市场需求和利润最大化 。二元线性规划可以用来解决这类问题，通过优化生产计划，提高生产效率，降低生产成本。
二元线性规划问题的图解法
变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？ 解析：由由于于在在异同侧侧，，则则（（11，，22））和和（（11，，11））
代代入入33xx--yy++mm 所所得得数数值值异同号号，， 则则有有（（33--22++mm））（（33--11++mm））<＞0 0 所所以以（（mm++11））((mm++22))＞<00 即即：：-m2<<-m<2-或1m＞-1
y
例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
（1）x +4y>4
x+4y=4
x+4y>4
变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
o x+4y<4
x
y
o
x-y-4=0
x
x-y-4>0
例2 画出不等式 y <－2x+6 表示的平面区域. 变式1：2x+y－6<0区域？
y < －2x+6 变式2：2x+y－6≤0区域？
5. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质， 0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低， 需要同时食用食物A和食物B多少kg？
合作讨论，构建新知
解移和探A直就由右还x究线表直上是时 纵：+B：，示线方减y＞直系值， 坐∵+如A当不平小∴如Cx直标0线数Z图同移？CA+=当取B限0=果＞：的时线y（y平A不直的=在直，A制0A没、0上同移平线Z＞x平，线值=的条+点有B面，0移时BA往随，B值符直这得x的件＞AB+y时右之，角些到B＞的＞号横0，时y坐直。上增0的，由所）坐变0不标线当，值方大得，表于系可直标是化同的当示平，中以线B增x方一，，看往大程条做 所以情Z=况Ax是+B不y的同值的也。在不
代代入入33xx--yy++mm 所所得得数数值值异同号号，， 则则有有（（33--22++mm））（（33--11++mm））<＞0 0 所所以以（（mm++11））((mm++22))＞<00 即即：：-m2<<-m<2-或1m＞-1
y
例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域
（1）x +4y>4
x+4y=4
x+4y>4
变式： （2）x-y-4<0 （3）x-y-4>0
o x+4y<4
x
y
o
x-y-4=0
x
x-y-4>0
例2 画出不等式 y <－2x+6 表示的平面区域. 变式1：2x+y－6<0区域？
y < －2x+6 变式2：2x+y－6≤0区域？
5. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质， 0.14kg脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质， 0.07kg脂肪，花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低， 需要同时食用食物A和食物B多少kg？
合作讨论，构建新知
解移和探A直就由右还x究线表直上是时 纵：+B：，示线方减y＞直系值， 坐∵+如A当不平小∴如Cx直标0线数Z图同移？CA+=当取B限0=果＞：的时线y（y平A不直的=在直，A制0A没、0上同移平线Z＞x平，线值=的条+点有B面，0移时BA往随，B值符直这得x的件＞AB+y时右之，角些到B＞的＞号横0，时y坐直。上增0的，由所）坐变0不标线当，值方大得，表于系可直标是化同的当示平，中以线B增x方一，，看往大程条做 所以情Z=况Ax是+B不y的同值的也。在不
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新学径：P331-334
学生用书：抛物线第 一课时双基部分
x+2y = 8
max z=x,2y≥×0 4+3×2=14 解方程组 2x+y = 10
利用二元线性规划求最值，一般用图解 法求解，其步骤是
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.
（2）移：作出目标函数变形后纵截距等于 零的直线.
（3）确定最优解：在可行域内平行移动变 形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。
5x+10y≤40 120x+60y≤600
①画（画可行域） ②移（移变形函数
纵截距等于零的直
线）
x,y≥0 ③确定最优解
y 2x+y=10
A(4,2)
↓
（观察变形式子
y 2 x z 寻找最大还是最 0
x
33 x+2y ≤ 8
小截距求Z的最值）
④求（求z最值）
y 2 x x+2y=8
3
2x+y ≤ 10
平移时，Z的值是增大还是
减小？
y
0
x
yax z bb
与b的正负相关
结论：
若b＞0， ∴当直线往右上方平移时，直线在y轴上 的截距增大，Z的值随之增大。
若b＞0呢？
思考：
对我们求二元线性规划的最优解有什么帮助？
max z=2x+3y
y
a b
x
z b
例1．用图解法解线性规 划问题：
精确作图
max z=2x+3y
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可 求出最大值或最小值.
解：当 y 2 z 往从下往右上 33
方1.变平式移1时：求，例直1线中在函数y轴上的 截z距=2随x+之3y增在大平，面区故域所对应的
5x+10y≤40
z值也12随0x+之60增y≤大60。0 因此， z=2xx+,y3≥y0在原点0（0,0）取 得内的最最小大值值，和在最A小点值（. 4,2）取
x+2y=8
还有没有其他可能？
解：由题意知：要使
目标函数z=ax+y(a＞0) ❖取3、得最变大式值3：的观最察优解
有例 若无1使的穷目平多标面个函区，数域必，须直 线z=aaxx++yy=(0a与＞直0)取线得 x最+2大y=值8的或最2x优+y解=1有0平 行 等无 值，。穷为即所多两以个。直a，=线则1 斜或a的2率相
(3)若点P（x0,y0）符合不等式 Ax0+By0+C＞0,则包含P的半平面 为不等式Ax+By+C＞0所表示的平面区域，不包含点P的半平面为 不等式 Ax+By+C＜ 0所表示的平面区域.
2.二元线性规划的有关概念
（1）二元线性规划问题：求只含 两个决策变量的线 性目标函数在约束条件下的最大值或最小值问题.
18.2.2 二元线性规划 问题的图解法
1.二元一次不等式(组)表示平面区域
作二元一次不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面 区域的方法步骤:
(1)在平面直角坐标系中作出直线Ax+By+C=0(注意实线和虚线).
(2)在直线的一侧任取一点P(x0,y0),特别地,当C≠0时,常把 原点作为 此特殊点.
2
2x+y=10
A(4,2)
x
y
1
, 求目标函数z=3x-y的
x 2 0
最大值和最小值。 Zmin=-9 Zmax=5
x 0
2.平面内满足不等式组 x 2 y 3的所有点中，则使目标函数
2x+y 3
z=x-y取最小值时x,y的整数值分别是多少？
（2）可行解：满足 线性约束条件 的解（x，y）.
（3）可行域：所有 可行解 （4）最优解：使 目标函数 值的可行解.
的集合. 取得最大值或最小
如图：在平面直角坐标系中，
目标函数z=ax+by(b≠0)可化
为
y a 表x 示z 一条直
线，所求的Zb最大最b 小值可
看做直线在y轴上截距的最
大最小值。当直线往右上方
得最大值。所以
minz=0,maxz=14
2x+y=10
A(4,2) （0,0）
x+2y=8
解：∵目标函数
精确作图
❖z2=.变ax+式y在2：A（观4察,2）例处1
取的得平最面大区值域为，14若，使 目标函数 ∴z=4aa+x2+=y1(4a＞0)取得
2x+y=10
2 3 A(4,2)
∴最的a=大值3值为. 为3或142，.8则. a
X=0,y=3
新学径：P332举一反三
利用二元线性规划求最值，一般用图解 法求解，其步骤是
（1）画：在平面直角坐标系内作出可行域.
（2）移：作出目标函数变形后纵截距等于 零的直线.
（3）确定最优解：在可行域内平行移动变 形后纵截距等于零的直线，从而定最优解。
（4）求最值：将最优解代入目标函数即可 求出最大值或最小值.