最新人教版八年级数学上册几何解答题专项突破(超级经典)

合集下载

三角形重难点突破人教版八年级数学上册(含解析)

三角形重难点突破突破1 三角形(一) 三边关系类型一三边关系定三角形1.在学习“认识三角形”一节时,小颖用四根长度分别为2 cm,3 cm,4 cm,5 cm的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是( )A.9 cmB.10 cmC.11 cmD.12 cm2.三边均为互不相等的整数，周长为15，这样的三角形有( )A.3个B.5个C.7个D.9个类型二三边关系求范围3.已知三角形的三边分别为2，a-1，4，那么a 的取值范围是.4.已知△ABC的三边长分别为4,9,x.当△ABC 的周长为偶数时,x的值为.类型三三边关系去绝对值5.已知a,b,c 是三角形的三条边,则化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果为.6.若a,b,c分别是三角形的三边,化简|a-b-c|+|b-c-a|+|c-a+b|的结果为.类型四三边关系取舍值7.已知等腰三角形的周长为18，一边长为4，则它的底边长是( )A.4B.10C.4 或7D.4 或108.已知等腰△ABC中,AB=8,BC=x+2,AC=2x,求△ABC 的周长.类型五三边关系列不等式组9.已知△ABC 的三边长分别为a,b,c.(1)化简式子|a−b+c|+|a−b−c|=_____________;(2)若a=x+8,b=3x—2,c=x+2,则x 的取值范围是.10.已知a,b,c 是△ABC的三边长,若b=2a-1,c=a+5,且△ABC 的周长不超过20，求a 的取值范围.类型六三边关系求最值11.如图,将四根长度分别为3c m,5 cm,7 cm,8 cm的木条钉成一个四边形木架,扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B 和点D 之间的距离可能是( )A.1 cmB.4 cmC.9 cmD.12 cm12.如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,D 为BC上一动点,将△ACD沿AD 翻折得到△AED,连接BE,则BE 的最小值是.突破2 三角形(二) 三种线段类型一三角形的高1.如图,AD⊥BC 于点D,GC⊥BC 于点C,CF⊥AB 于点F,图中是△ABC 的高的线段有( )A.1条B.2条C.3 条D.4 条类型二三角形的中线2.如图,在△ABC 中,AB=8,AC=5,AD 为中线,则. △ABD与△ACD的周长之差为.3.如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,点E 在边AB 上, △BDE与四边形ACDE 的周长相等.(1)求证:BE=AE+AC;(2)若AB=10,AC=6,求AE的长.类型三三角形的角平分线4.已知AE 是△ABC的平分线,D 是射线BC 上一点,连接AD.若∠BAD=60°,∠CAD=30°,求∠BAE 的度数.类型四“三线”综合5.如图,在△ABC中，AD 是高，AE 是角平分线，AF 是中线，则下列说法错误的是( )A.BF=CFB.∠C+∠CAD=90°C.∠BAF=∠CAFD.S ABC=2S ABF突破3 三角形(三) 求面积类型一多中线求面积1.如图,已知AD 是△ABC 的中线,CE 是△ACD 的中线,若△ABC 的面积为12,则△CDE 的面积为.2.如图,BD 是△ABC 的中线,点E,F 分别为BD,CE 的中点,若△AEF 的面积为4cm²,,则△ABC 的面积是( )A.12cm²B.16cm²C.20cm²D.24cm²3.如图,△ABC 的三条中线AD,BE,CF 交于点O,S阴影部分==6,则S△ABC为( )A.16B.18C.24D.不能确定类型二中线+线段比求面积4.如图,在△ABC 中,D 是AB 的中点,且AE : CE=3: 1,S△CEP =1,则S△BPC== .5.如图,在△ABC 中,E 为边AC 的中点,点D 在边BC 上,BD:CD=5:8,AD,BE交于点F,若△ABC 的面积为26,则S_{ \triangle AEF}-S_{ \triangle BDF} 的值为.C突破4 三角形(四) 面积法类型一三高图与面积法1.在Rt△ABC 中, ∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,，则AB 边上的高的长度是.类型二平行线与面积法2.如图,在长方形ABCD 中,F 是BC 上(不与B,C 重合)的任意一点,图中面积一定相等的三角形有对.类型三垂线段与面积法3.如图,△ABC 是等腰三角形,O 是底边BC 上任意一点,过点O 作( OE⊥AB 于点E,作OF⊥AC于点F,若( OE+OF=3,△ABC的面积为12,则AB 的长为.类型四线段比与面积法的值4.如图,在△ABC中,AD 是中线, DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,若A AB=6 cm,AC=4 cm,则DEDF为.类型五线段最值与面积法5.如图,在△ABC中,BC=9,D,E分别是CB,AB 上的点,( CD=2BD,AE=3BE,连接AD,CE 交于点F.当四边形时，AB长度的最小值为.BEFD 的面积为174突破5 三角形(五) 内角和类型一内角和+内角关系1.在△ABC 中,∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,求△ABC 各个内角的度数.2具备下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是( )A.∠A+∠B=∠CB.∠A =12∠B =13∠C C.∠A=2∠B=3∠C D.∠A:∠B:∠C═1:2:3类型二内角和十角分线3如图,在△ABC 和△ACD 中,BD 平分∠ABC,∠ABC=∠ACD═56°,∠ACB=68°,则∠BDC 的度数为( )A.56°B.58°C.22°D.28°4.如图,AD 是△ABC 的角平分线,∠BAC=2∠C,BE ⊥AC 于点E.(1)求证:∠CBE-∠ABE=∠C;(2)若 DG 平分∠ADC,试说明 DG ∥BE.类型三内角和十平行线5.如图,在 △ABC 中,E,G 分别是AB,AC 上的点,F,D 是BC 上的点,连接EF,AD,DG,AB ∥DG,∠1+∠2=180°.(1)求证:. AD‖EF;(2)若 DG 是 ∠ADC 的平分线， ∠2=140°,求 ∠B 的度数.6如图,在四边形ABCD 中,∠ADC+∠C=202°,E 为对角线BD上一点,点F,G分别在AB,CD边上,且EF∥DA,EG ∥BC,求∠FEG 的度数.7.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠C=α,D是AB上一点,E是AC上一点,∠ADE=50°,F 为线段BC 上一点,连接EF,过点D 作DG∥AC 交EF 于点G,(1)若α=70°,求∠EDG 的度数;(2)若∠FEC=2∠DEF,3∠DGF=2∠BFG,求α的值.类型四内角和十垂线8.在△ABC中,∠B=2∠C,AE平分∠BAC.(1)如图1,若AD⊥BC于点D,∠C=35°,求∠DAE 的度数;(2)如图2,若EF⊥AE交AC于点F,求证:∠C=2∠FEC.突破6 三角形(六) 外角类型一外角+内角1.如图,在△ABC 中,∠B=45°,∠C=38°,E 是BC 边上一点,ED 交CA 的延长线于点D,交AB 于点F,∠D=32°.求∠BFE 的度数.C类型二外角+外角2.如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,则∠1,∠2,∠3的数量关系为( )A.∠3=∠2+∠1B.∠3=∠2+2∠1C.∠3+∠2+∠1=180°D.∠1+∠3=2∠2类型三外角+等角3.如图,∠BAE=∠AEB,∠CAD=∠ADC,∠DAE=28°,则∠BAC 的度数为.D4.如图,在△ABC 中,∠BAC=∠ACB,M,N 为BC 上两点,且∠BAM=∠CAN,∠MAN=∠AMN,求∠MAC 的度数.类型四外角+平行线5.如图,在△ABC 中,E 和F 分别是AC,BC上一点,EF∥AB,∠BCA 的平分线交AB 于点D,∠MAC 是△ABC 的外角,若∠MAC=α,∠EFC=β,∠ADC=γ,则α,β,γ三者间的数量关系是( )A.β=α+γB.β=2γ-αC.β=α+2γD.β=2α-2γ6.如图,在△ABC 中,D 为BC 上一点,∠C=∠BAD,△ABC 的角平分线BE 交AD 于点F. G 为BC上一点,FE 平分∠AFG.求证:FG∥AC.类型五外角+方程思想7.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,D 为BC 边上的一点,点E 在AC 边上,∠ADE=∠AED,若∠BAD=24°,则∠CDE 的度数为( )A.12°B.14°C.16°D.24°类型六外角+整体思想8.在△ABC 中,∠A=α(40°<α<60°),点M 在△ABC 的内部,过点M 的直线分别交AB,AC 于点P,Q,若∠APQ=2∠ABM,∠AQP=2∠ACM,则∠BMC 的大小是( )A.90°+αB.135∘−α2C.2αD.90∘+α2参考答案突破1 三角形(一) 三边关系1. B 解：当三角形三边长分别为2cm ,3cm,5cm 时,∵2+3=5,不能构成三角形,∴所摆成的三角形的周长不可能是10 cm,故选 B.2. A 解:这样的三角形有:2,6,7;3,5,7;4,5,6.共3个,故选A.3.3<a<7 解:依题意,得4-2<a-1<4+2,即2<a-1<6,∴3<a<7.4.7或9或11 解：∵三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边，∴9-4<x<9+4,即5<x<13,∴x 的取值范围是5<x<13.∵△ABC 的周长x+4+9=x+13为偶数，∴x为奇数.∵5<x<13,∴x 的值为7 或9 或11.5.0 解:∵a,b,c 是三角形的三边长,∴a+b-c>0,c-a-b<0,∴原式=a+b-c+c-a-b=0,故答案为0.6.-a+b+3c 解:依题意,得a-b-c<0,b-c-a<0,c-a+b>0,∴原式=-a+b+c-b+c+a+c-a+b=-a+b+3c.7. A 解：当4 为底边时，该等腰三角形的腰长为(18-4)÷2=7.∵7，7，4满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长是4；当4为腰时，该等腰三角形的底边长为18-4×2=10.∵10，4，4 不满足等腰三角形的三边关系，∴该等腰三角形的底边长不能是10.故选 A.8.解:分三种情况:(1)x+2=8,x=6,△ABC的三边长分别为8,8,12,周长为28;(2)2x=8,x=4,△ABC 的三边长分别为8,8,6,周长为22;(3)2x=x+2,x=2,△ABC的三边长分别为8,4,4,但4+4=8,不能构成三角形，故舍去.综上所述,△ABC 的周长为22 或28.9.解：(1)由三角形三边关系定理，得a+c>b,b+c>a,∴|a-b+c|+|a-b- cl=a-b+c+b+c-a=2c;(2)∵a=x+8,b=3x-2,c=x+2,∴x+8+3x−2>x+2, 3x−2+x+2>x+8, x+2+x+8>3x−2,∴83<x<12.10.解:由题意,得a+5<2a−1+a,a+5+a+2a−1≤20,解得3<a≤4,∴a的取值范围为3<a≤4.11. C 解:连接BD.在△ABD 中,7 cm-5 cm<BD<7 cm+5 cm,即2cm <BD<12 cm.在△BCD中,8cm --3cm<BD<8cm +3cm,即5cm <BD<11cm,所以5 cm<BD<11 cm.故选C.12.2 解:由折叠可知,AE=AC=8.在△ABE 中，由三角形三边关系可得BE>AB-AE.当点E 落在AB 边上时，BE=AB-AE=10-8=2,∴BE≥2,全科A早E 的最小值为2.突破2 三角形(二) 三种线段1. B 解:CF,AD 都是△ABC 的高,共2条,故选B.2.3 解:∵AD 为中线,∴BD=CD,则C△ABD—C△ACD =(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB+AD+BD-AC-AD-CD=AB-AC=8-5=3.故答案为3.3.解:(1)∵△BDE 与四边形ACDE的周长相等，∴BD+DE+BE=AC+AE+CD+DE.∵BD=DC,∴BE=AE+AC;(2)设AE=x,则BE=10-x,由(1)得 BE=AE+AC,∴10-x=x+6,解得x=2,∴AE=2.4.解:∵AE 是△ABC 的平分线, ∴∠BAE =12∠BAC.①如图1,当点 D 在边 BC 上时,∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+ 30°=90°,∴∠BAE =12∠BAC =45∘;②如图2，当点 D 在边 BC 的延长线上时,∠BAC=∠BAD-∠CAD= 60°−30°=30°, ∴∠BAE =12∠BAC =15∘.综上所述,∠BAE 的度数为 45°或15°.5. C 解:∵AF 是△ABC 的中线,∴BF=CF,A 正确,不符合题意;∵AD 是高,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠CAD=90°,B 正确,不符合题意；∵AE 是角平分线，∴∠BAE=∠CAE,C 错误,符合题意；∵BF=CF,∴S ABC =2S ABF ,D 正确，不符合题意；故选 C.突破3 三角形(三) 求面积1.3 解:∵AD 是△ABC 的中线, ∴S ACD =12S ABC =12×12=6.∵CE 是△ACD 的中线, ∴S CDE =12S ACD =3.故答案为3.2. B 解:∵F 是CE 的中点,△AEF 的面积为 4 cm²,∴S ACE =2S AEF =8cm 2.∵E 是BD 的中点,∴S △ADE=S △ABE,S △CDE=S △BCE,∴S ACE =12S ABC ,∴△ABC 的面积为16 cm².故选 B.3. B 解:设S △COD=m,S △COE=n.∵AD,BE,CF 都是△ABC 的中线,∴S △AOE=n,S △BOD=m.∵S BAE =S BCE ,∴S △BAO=S △BCO=2m.∵S △BOF=S △AOF,S BOF =S AOF =m.∵S ADB =S ADC ,∴3m=2n+m,∴m=n.∵m+n=6,∴m=3,S △ABC=6m=18.故选 B.4.4 解:连接 PA.∵D 是AB 的中点,∴S △ADC=S △BCD,S △PAD=S △PBD,∴S △BPC=S △APC,∵AE:CE=3:1,S △CEP=1,∴S AEP =3S CEP =3,∴S △APC=4,∴S △BPc=4,故答案为4.5.3 解:∵E 为AC 的中点,∴S ABE =12S ABC =12×26=13.∵BD:CD=5:8,∴S ABD =513S ABC =513×26=10,∴S AEF −S BDF =(S ABE −S ABF ) −(S ABD −S ABF )=S ABE −S △ABD=13-10=3.突破 4 三角形(四) 面积法1.4.8 解:过点 C 作CD ⊥AB 于点D.∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,AB=10,∴S ABC =12AB ⋅CD =12AC.BC,∴CD =AC ⋅BC AB =8×610=4.8.2.5 解:∵S △ABD=S △CBD=S △ADF= 12S 长方形ABCD,∴circle1S ABD =S CBD ,②S △ABD=S △ADF,③S △CBD=S △ADF·∵BF ∥AD,∴④S △ABF=S △BDF·∵S △ABF—S △BEF=S △DBF—S △BEF,∴⑤S △ABE=S △DEF,共有 5 对.3.8 解:连接OA.设AB=x,则AC=AB=x.∵S ABC =S ABO +S AOC ,∴12AB ⋅OE +12AC ⋅OF =12,即 12x ×3=12,解得x=8,所以 AB=8.故答案为8.4.2/3解:∵在△ABC 中,AD 为中线，∴BD=DC.∴S △ABD=S △ADC.∵DE ⊥AB 于点 E,DF ⊥AC 于点F,AB=6,AC=4.∴12AB ⋅ED =12AC ⋅DF,∴12×6×ED =12×4×DF,∴DE DF =46=23.5.22/3解:连接 BF,过点 A 作AH ⊥CB,交CB 的延长线于点H.设S △EBF=a,S △DBF=b,则S △AEF=3a,S △CDF=2b,S △ACF=2S △ABF=8a,S △ACF=3S △BCF=9b,∴8a=9b,∴b =89a,∴S 圆锥侧BEFD =179a =174, ∴a =94,∴S ABD =11,即 12BD ⋅AH =11.∵BD=3,∴AH =223. ∵AB ≥AH =223,∴AB 的最小值为22/3.突破 5 三角形(五) 内角和1.解：由三角形的内角和定理，得∠A+∠B+∠C=180°.∵∠B=3∠A,∠C=2∠A+60°,∴∠A +3∠A +2∠A +60°=180°,解得∠A=20°,∴∠B=3∠A=60°,∠C=2∠A+ 60°=2×20°+60°=100°,∴△ABC 各个内角的度数分别为∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°.2. C3. D 解:∵BD 平分∠ABC,∠ABC=56°,∴∠DBC =12∠ABC =28∘.∵∠ACD=56°,∠ACB=68°,∴∠BCD = ∠ACB + ∠ACD =124°,∴∠BDC =180°−∠DCB−∠DBC =28°.故选 D.4.解:(1)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵BE ⊥AC,∴∠BEC=∠BEA=90°,∴∠CBE =90°−∠C =90°−x , ∠ABE =90°−∠BAC =90°−2x,∴∠CBE−∠ABE =90°−x−(90°-2x)=x,即∠CBE--∠ABE=∠C;(2)设∠C=x,则∠BAC=2∠C=2x.∵AD 是△ABC 的角平分线,∴∠DAC =12∠BAC =x,∴∠ADC =180°−∠DAC−∠C = 180°−2x.∵DG 平分∠ADC,∴∠CDG =12∠ADC =12(180∘−2x)=90°-x.由(1)知∠CBE=90°-x,∴∠CDG=∠CBE,∴DG ∥BE.5.解:(1)∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE.∵∠1+∠2=180°,∴∠DAE+∠2=180°,∴AD ∥EF;(2)∵AD ∥EF,∠2=140°,∴∠DAE=180°-∠2=180°-140°=40°.∵AB ∥DG,∴∠1=∠DAE=40°.∵DG 是∠ADC 的平分线,∴∠CDG=∠1=40°.∵AB ∥DG,∴∠B=∠CDG=40°.6.解:∵EF ∥DA,EG ∥BC,∴∠DEG=∠DBC,∠BFE=∠A.∵∠DEF=∠BFE+∠ABD=∠A+∠ABD,∴∠FEG=∠DEF+∠DEG=∠A+ ∠ABD + ∠DBC = ∠A +∠ABC.∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°,∠ADC+∠C=202°,∴∠FEG=∠A+∠ABC=360°-202°=158°.7.解:(1)∵∠B=∠ADE=50°,∴DE ∥BC,∴∠AED=∠C=70°.∵DG ∥AC,∴∠EDG=∠AED=70°;(2)∵DE ∥BC,∴∠AED=∠C=α,∴∠DEC=180°-α.∵∠FEC=2∠DEF,∴∠DEF =13∠DEC =60∘−13α,∴∠DGE = ∠CEF = 2∠DEF = 120∘−23α,∠EFC =∠DEF =60∘ −13α,∴∠DGF =180°--∠DGE =60°+ 23α,∠BFG =180∘−∠EFC =120∘ +13α.∵3∠DGF=2∠BFG,∴360∘+23α=2120∘+13α,解得α=45°.8.解:(1)∵∠C=35°,∠B=2∠C,∴∠B=70°,∴∠BAC=75°.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC=37.5°.∵AD ⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠DAC=90°-35°=55°,∴∠DAE=55°—37.5°=17.5°;(2)过点 A 作AD ⊥BC 于点 D.∵EF ⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠AED+∠FEC=90°.∵∠DAE+∠AED=90°,∴∠DAE=∠FEC.∵AE 平分∠BAC,∴∠EAC =12∠BAC =12(180∘− ∠B−∠C)=12(180∘−3∠C )=90∘ −32∠C,∴∠DAE=∠DAC-∠EAC=(90°−∠C)−90∘−32∠C =12∠C, ∴∠FEC =12∠C,∴∠C=2∠FEC.突破 6 三角形(六) 外角1.解:∵∠D=32°,∠C=38°,∴∠BED=∠D+∠C=32°+38°=70°.∵∠B+∠BED+∠BFE=180°,∴∠BFE=180°-∠B--∠BED=180°—45°-70°=65°.2. D 解:∵AD 平分∠BAC,∴可设∠DAC=∠BAD=x,∴∠2=∠1+x,∠3=∠2+x,∴x=∠3-∠2,∴∠2=∠1+∠3-∠2,∴∠1+∠3=2∠2.故选 D.3.56° 解:设∠CAE=α,则∠CAD=∠ADC=28°+α,∴∠BEA = ∠BAE = ∠ADC +∠DAE=56°+α,∴∠BAC+∠CAE=56°+α,∴∠BAC=56°.4. 解: 设 ∠BAM = ∠CAN = α,∠MAN=∠AMN=β,则∠BAC = ∠ACB = 2α + β,∠MAC=α+β.在△ACM 中,∠MAC + ∠C +∠AMC=180°,∴α+β+(2α+β)+β=180°,∴α+β=60°,∴∠MAC=α+β=60°.5. B 解:∵EF∥AB,∠EFC=β,∴∠B=∠EFC=β.∵CD 平分∠BCA,∴∠ACB=2∠BCD.∵∠ADC 是△BDC 的外角,∴∠ADC=∠B+∠BCD.∵∠ADC=γ,∴∠BCD=γ-β.∵∠MAC 是△ABC 的外角,∴∠MAC=∠B+∠ACB.∵∠MAC=α,∴α=β+2(γ-β),即β=2γ-α,故选 B.6.证明:∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵∠BAD=∠C,∴∠ABE + ∠BAD = ∠CBE +∠C.∵∠AFE = ∠ABE + ∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,∴∠AEF=∠AFE.∵FE平分∠AFG,∴∠AFE=∠GFE,∴∠AEF=∠GFE,∴FG∥AC.7. A 解:设∠CDE=x,∠B=∠C=y,∠AED 是△CDE 的一个外角,∴∠AED=x+y=∠ADE,∴∠ADC=∠ADE+∠CDE=x+y+x=2x+y,∠ADC 是△ABD 的一个外角,∴∠BAD=∠ADC--∠B=2x+y-y=2x=24°,∴x=12°,∴∠CDE=12°.8. D 解:∵在△APQ 中,∠A=α,∴∠APQ+∠AQP=180°-∠A=180°-α.∵∠APQ = ∠PMB + ∠PBM =2∠PMB,∠AQP = ∠QMC + ∠QCM =2∠QMC, ∴∠PMB +∠QMC =12(∠APQ + ∠AQP)=12(180∘−α)=90∘−12α,∴∠BMC = 180°− (∠PMB + ∠QMC)=180∘−90∘−12α=90∘ +12α.故选 D.。

三角形全等几何模型(一线三等角)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破

专题12.11三角形全等几何模型（一线三等角）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一线三直角模型1.基本图形题型特征：如图1，在直线BC上出现三个直角，如图中∠B=∠ACE=∠D=90°图1图2图3解题方法：只要题目再出现一组等边（AB=CD或BC=DE或CA=CE），可证△ABE≌△ECD（AAS 或ASA）结论延伸1：如图2，两个直角三角形在直线两侧时，同样成立结论延伸2：图1中连接AE，得到如图3，可得以下结论：（1）四边形ABDE为直角梯形；AB+DE=BC（上底+下底=高）【知识点二】一线三等角模型图4图5题型特征：如图4，图形的某条线段上出现三个相等的角，如图中∠B=∠ACE=∠D解题方法：只要题目再出现一组等边（BA=CD或BC=DA或CA=DC），必证△ABC≌△CDE（AAS或ASA）结论延伸：如图5，两个三角形在直线两侧时，同样成立第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接用“一线三直角”模型求值或证明【例1】（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥，BE MN ⊥，垂足分别为D E 、．（1）求证：ADC CEB ≌；（2）若3cm =AD ，5cm BE =，求四边形ABED 的面积．【变式1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，小虎用10块高度都是3cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC BC =，90ACB ∠=︒），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE 的长度为（）A ．30cmB ．27cmC ．21cmD ．10cm【变式2】（23-24九年级下·重庆开州·阶段练习）如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若5BE =，2CF =，则EF 的长度为．【题型2】直接用“一线三等角”模型求值或证明【例2】（23-24八年级上·新疆昌吉·期中）已知ABC 是直角三角形，90BAC AB AC ∠=︒=，，直线l 经过点A ，分别过点B 、C 向直线l 作垂线，垂足分别为D 、E（1）如图a ，当点B 、C 位于直线l 的同侧时，证明：ABD CAE≌（2）如图b ，锐角ABC 中，AB AC =，直线l 经过点A ，点D 、E 分别在直线l 上，点B ，C 位于l 的同一侧，如果CEA ADB BAC ∠=∠=∠，请找到图中的全等三角形，并写出线段ED EC 、和DB 之间的数量关系【变式1】（21-22八年级上·浙江温州·期中）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，点E 在边AC 上，AE 的中垂线交BC 于点D ，若∠ADE ＝∠B ，CD ＝3BD ，则CE 等于（）A ．3B ．2C ．94D ．92【变式2】（23-24七年级下·吉林长春·期中）如图，在ABC 中，AB AC =，AB BC >，点D 在边BC 上，且2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上．CFD BED BAC ∠=∠=∠，ABC 的面积为18，则ABE 与CDF 的面积之和．【题型3】构造“一线三直角”模型求值或证明【例3】（23-24八年级上·山西吕梁·期末）数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系问题情境：如图1，三角形纸片ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =.将点C 放在直线l 上，点A ，B 位于直线l 的同侧，过点A 作AD l ⊥于点D初步探究：（1）在图1的直线l 上取点E ，使BE BC =，得到图2，猜想线段CE 与AD 的数量关系，并说明理由；（2）小颖又拿了一张三角形纸片MPN 继续进行拼图操作，其中90MPN ∠=︒，MP NP =.小颖在图1的基础上，将三角形纸片MPN 的顶点P 放在直线l 上，点M 与点B 重合，过点N 作NH l ⊥于点H .如图3，探究线段CP ，AD ，NH 之间的数量关系，并说明理由【变式1】（23-24八年级上·新疆喀什·期中）如图，906AC AB BD ABD BC ==∠=︒=，，，则BCD △的面积为（）A ．9B ．6C ．10D ．12【变式2】（20-21七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，过点C 作CD AC ⊥，且CD AC =，连接BD ，若92BCD S = ，则BC 的长为．【题型4】“一线三直（等）角”模型的延伸与拓展【例4】如图，A 点的坐标为（0，3），B 点的坐标为（-3.0），D 为x 轴上的一个动点，AE ⊥AD ，且AE=AD ，连接BE 交y 轴于点M（1）若D点的坐标为（-5.0），求E点的坐标:（2）求证:M为BE的中点（3）当D点在x轴上运动时，探索:OMBD为定值【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形ABCD中，则该长方形中空白部分的面积为（）A．54B．60C．100D．110【变式2】已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2021·四川南充·中考真题）如图，90BAC ∠=︒，AD 是BAC ∠内部一条射线，若AB AC =，BE AD ⊥于点E ，CF AD ⊥于点F ．求证：AF BE =．【例2】（2023·重庆·中考真题）如图，在Rt ABC △中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 为BC 上一点，连接AD ．过点B 作BE AD ⊥于点E ，过点C 作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ．若4BE =，1CF =，则EF 的长度为．2、拓展延伸【例1】（22-23八年级下·河南洛阳·期中）综合与实践数学活动课上，老师让同学们以“过等腰三角形顶点的直线”为主题开展数学探究．（1）操作发现：如图甲，在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，且AB AC =，直线l 经过点A ．小华分别过B 、C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．易证ABD CAE △△≌，此时，线段DE 、BD 、CE 的数量关系为：；（2）拓展应用：如图乙，ABC 为等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，已知点C 的坐标为(2,0)-，点B 的坐标为(1,2)．请利用小华的发现直接写出点A 的坐标：；（3）迁移探究：①如图丙，小华又作了一个等腰ABC ，AB AC =，且90BAC ∠≠︒，她在直线l 上取两点D 、E ，使得BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请你帮助小华判断（1）中线段DE 、BD 、CE 的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式并说明理由；②如图丁，ABC 中，2AB AC =，90BAC ∠≠︒，点D 、E 在直线l 上，且BAC BDA AEC ∠=∠=∠，请直接写出线段DE 、BD 、CE 的数量关系．【例2】（22-23八年级上·广东惠州·期中）如图1，90ACB AC BC AD CE BE CE ∠==⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．（1）若 2.5cm 1.7cm AD DE ==，，求BE 的长．（2）在其它条件不变的前提下，将CE 所在直线变换到ABC 的外部（如图2），请你猜想AD DE BE ，，三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）如图3，将（1）中的条件改为：在ABC 中，AC BC =，D ，C ，E 三点在同一条直线上，并且有BEC ADC BCA α∠=∠=∠=，其中α为任意钝角，那么（2）中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．。

人教版初中数学八上期末复习题型突破四几何的综合

（2）求证：CD平分∠ADB；
（2）证明：过点C作CM⊥DA，交DA的延长线于点M，作CN⊥BD于点N，则∠AMC＝∠DNC＝∠BNC＝90°. ∵∠ADB＋∠AMC＋∠DNC＋∠MCN＝360°， ∴∠ADB＋∠MCN＝180°. 由（1）知∠ADB＋∠ACB＝180°， ∴∠MCN＝∠ACB， ∴∠MCN－∠ACN＝∠ACB－∠ACN，即∠ACM＝∠BCN. 由（1）知AC＝BC，∴△ACM≌△BCN （AAS）， ∴CM＝CN，∴CD平分∠ADB.
（3）若在点D运动的过程中，始终有DC＝DA＋DB，在此过程中，∠BAC的度数
是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变化，请求出∠BAC的度数. （3）解：∠BAC的度数不变化. 延长DB至点P，使BP＝AD，连接CP. ∵CD＝AD＋BD，DP＝BP＋BD，∴CD＝DP. ∵∠ADB＋∠DBC＋∠ACB＋∠CAD＝360°， ∠ADB＋∠ACB＝180°， ∴∠CAD＋∠CBD＝180°. ∵∠CBD＋∠CBP＝180°，∴∠CAD＝∠CBP. 又∵AC＝BC，∴△CAD≌△CBP（SAS）， ∴CD＝CP，∠CDA＝∠P，∴CD＝DP＝CP， ∴△CDP是等边三角形，∴∠CDP＝∠P＝60°， ∴∠CDA＝60°， ∴∠ADB＝∠CDA＋∠CDP＝120°. ∵∠ADB＝2∠BAC，∴∠BAC＝60°.
（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA， ∴CD垂直平分线段AB， ∴CD⊥AB.
（2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA. ①求证：DE平分∠BDC；
∴∠CDE＝∠BDE，∴DE平分∠BDC.
②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME，DB的数量关系，并给出证明； ②解：ME＝BD.证明如下：连接MC. 由①知∠CDE＝60°. ∵DC＝DM，∴△MCD为等边三角形， ∴CM＝CD，∠CMD＝60°， ∴∠EMC＝180°－∠CMD＝120°. 由①得∠BDC＝120°＝∠EMC. ∵CE＝CA，AC＝BC， ∴∠E＝∠CAD＝15°，EC＝BC， ∴∠ECM＝∠CMD－∠E＝45°. 由①知∠BCD＝45°，∴∠ECM＝∠BCD， ∴△BDC≌△EMC，∴ME＝DB.

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 平行+线段中点构造全等模型综合应用(解析版)

平行+线段中点构造全等模型综合应用【结论】如图 AB∥CD 点E、F分别在直线AB、CD上点O为EF 中点则△POE≌△QOF口诀：有中点有平行轻轻延长就能行【典例1】（1）方法回顾证明：三角形中位线定理．已知：如图1 DE是△ABC的中位线．求证：．证明：（2）问题解决：如图2 在正方形ABCD中E为AD的中点G、F分别为AB、CD 边上的点若AG＝3 DF＝4 ∠GEF＝90°求GF的长．【解答】（1）已知：如图1 DE是△ABC的中位线．求证：DE∥BC DE＝BC 证明：过点C作CF∥BA交DE的延长线于点F∴∠A＝∠ACF∠F＝∠ADF∵点E是AC的中点∴AE＝EC∴△ADE≌△CFE（AAS）∴DE＝EF＝DF AD＝CF∵点D是AB的中点∴AD＝DB∴DB＝CF∴四边形DBCF是平行四边形∴DF∥BC DF＝BC∴DE∥BC DE＝BC故答案为：DE∥BC DE＝BC；（2）延长GE CD交于点H∵四边形ABCD是正方形∴AB∥CD∴∠A＝∠ADH∠AGE＝∠H∵点E是AD的中点∴AE＝DE∴△AGE≌△DHE（AAS）∴AG＝DH＝3 GE＝EH∵DF＝4∴FH＝DH+DF＝7∵∠GEF＝90°∴FE是GH的垂直平分线∴GF＝FH＝7∴GF的长为7．【变式1-1】已知：AD是△ABC的角平分线点E为直线BC上一点BD＝DE过点E作EF∥AB交直线AC于点F当点F在边AC的延长线上时如图①易证AF+EF＝AB；当点F在边AC上如图②；当点F在边AC的延长线上AD是△ABC的外角平分线时如图③．写出AF、EF与AB的数量关系并对图②进行证明．【解答】（1）证明：如图①延长AD、EF交于点G∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠G＝∠BAD∴∠G＝∠CAD∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（AAS）∴AB＝GE∵GE＝FG+EF＝AF+EF∴AF+EF＝AB；（2）结论：AF﹣EF＝AB．证明：如图②延长AD、EF交于点G ∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠G＝∠BAD∴∠G＝∠CAD∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（AAS）∴AB＝GE∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF∴AF﹣EF＝AB；（3）结论：EF﹣AF＝AB．证明：如图③延长AD交EF于点G ∵AD平分∠P AC∴∠P AD＝∠CAD∵EF∥AB∴∠AGF＝∠P AD∴∠AGF＝∠CAD∠ABD＝∠GED ∴FG＝AF在△ABD和△GED中∴△ABD≌△GED（ASA）∴AB＝GE∵EF﹣FG＝GE∴EF﹣AF＝AB；【变式1-2】如图四边形ABDC中∠D＝∠ABD＝90°点O为BD的中点且OA⊥OC．（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AB+CD＝AC．【解答】解：（1）如图延长AO交CD的延长线于点E∵O为BD的中点∴BO＝DO在△AOB与△EOD中∴△AOB≌△EOD（ASA）∴AO＝AE又∵OA⊥OC∴AC＝CE∴CO平分∠ACD；（三线合一）（2）由△AOB≌△EOD可得AB＝DE∴AB+CD＝CD+DE＝CE∵AC＝CE∴AB+CD＝AC1．如图在四边形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE并延长交CB的延长线于点F点M在BC边上且∠MDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE．（2）连接EM如果FM＝DM判断EM与DF的关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD∥BC∴∠ADE＝∠BFE∵E为AB的中点∴AE＝BE在△AED和△BFE中∴△AED≌△BFE（AAS）；（2）解：EM与DM的关系是EM垂直且平分DF；理由如下：连接EM如图所示：由（1）得：△AED≌△BFE∴DE＝EF∵∠MDF＝∠ADF∠ADE＝∠BFE ∴∠MDF＝∠BFE∴FM＝DM∴EM⊥DF∴ME垂直平分DF．2．△ABC中P是BC边上的一点过P作直线交AB于M交AC的延长线于N且PM ＝PN MF∥AN（1）求证：△PMF≌△PNC；（2）若AB＝AC求证：BM＝CN．【解答】（1）证明：∵MF∥AN∴∠MFP＝∠NCP在△PMF和△PNC中∴△PMF≌△PNC（AAS）；（2）证明：由（1）得：△PMF≌△PNC∴FM＝CN∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∵MF∥AN∴∠MFB＝∠ACB∴∠B＝∠MFB∴BM＝FM∴BM＝CN．3．如图在四边形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE并延长交CB的延长线于点F点G在边BC上且∠GDF＝∠ADF．（1）求证：△ADE≌△BFE；（2）连接EG判断EG与DF的位置关系并说明理由．（3）求证：AD+BG＝DG．【解答】解：（1）如图1 ∵E是AB的中点∴AE＝BE∵AD∥BC∴∠A＝∠ABF∠ADE＝∠F∴△ADE≌△BFE；（2）如图2 EG⊥DF理由是：∵∠ADF＝∠F∠ADF＝∠GDF∴∠F＝∠GDF∴DG＝FG由（1）得：△ADE≌△BFE∴DE＝EF∴EG⊥FD；（3）如图2 由（1）得：△ADE≌△BFE∴AD＝BF∵FG＝BF+BG∴FG＝AD+BG∵FG＝DG∴AD+BG＝DG．4．如图已知AB＝12 AB⊥BC于B AB⊥AD于A AD＝5 BC＝10．点E是CD的中点求AE的长．【解答】解：如图延长AE交BC于F．∵AB⊥BC AB⊥AD∴∠D＝∠C∠DAE＝∠CFE又∵点E是CD的中点∴DE＝CE．∵在△AED与△FEC中∴△AED≌△FEC（AAS）∴AE＝FE AD＝FC．∵AD＝5 BC＝10．∴BF＝5在Rt△ABF中∴AE＝AF＝6.5．5．阅读理解（1）如图①△ABC中D是BC中点连接AD直接回答S△ABD与S△ADC相等吗？相等（S表示面积）；应用拓展（2）如图②已知梯形ABCD中AD∥BC E是AB的中点连接DE、EC试利用上题得到的结论说明S△DEC＝S△ADE+S△EBC；解决问题（3）现有一块如图③所示的梯形试验田想种两种农作物做对比实验用一条过D点的直线将这块试验田分割成面积相等的两块画出这条直线并简单说明另一点的位置．【解答】解：（1）如图①过点A作AE⊥BC于E．∵D是BC中点又∵S△ABD＝•BD•AE S△ADC＝•CD•AE∴S△ABD＝S△ADC．故答案为相等；（2）如图②延长DE交CB的延长线于点F．∵E是AB的中点∴AE＝BE．∵AD∥BC∴∠ADE＝∠BFE．在△DAE与△FBE中∴△DAE≌△FBE（AAS）∴DE＝FE S△DAE＝S△FBE∴E是DF中点∴S△DEC＝S△FEC＝S△BFE+S△EBC＝S△ADE+S△EBC∴S△DEC＝S△ADE+S△EBC；（3）如图所示：取AB的中点E连接DE并延长交CB的延长线于点F取CF的中点G作直线DG 则直线DG即可将这块试验田分割成面积相等的两块．6．如图直角△ABC∠ABC＝90°分别以AB、AC为直角边作等腰直角△ABD、△ACE 连接DE交AB于F求证：BC＝2AF．【解答】证明：在AB上取点M使AM＝BC连接DM∵△ABD是等腰直角三角形∴AB＝AD∠BAD＝90°∴∠ABC＝∠DAM∴△ABC≌△DAM（SAS）∴AC＝DM∠AMD＝∠ACB∵AC＝AE∴AE＝DM∵∠ACB＝∠DAC∴∠AMD＝∠DAC∵∠CAE＝∠DAB＝90°∴∠DAN＝∠BAE∴∠AMD＝∠BAE∵∠AFE＝∠DFM∴△DMF≌△EAF（AAS）∴AF＝FM∴BC＝AM＝2AF．7．如图梯形ABCD中AD∥BC E是CD的中点AE平分∠BAD AE⊥BE．（1）求证：BE平分∠ABC；（2）求证：AD+BC＝AB；（3）若S△ABE＝4 求梯形ABCD的面积．【解答】（1）证明：延长AE交BC的延长线于M如图所示：∵AD∥BC∴∠M＝∠DAE∵AE平分∠BAD∴∠DAE＝∠BAE∴∠BAE＝∠M∴AB＝MB∵AE⊥BE∴∠ABE＝∠CBE∴BE平分∠ABC；（2）证明：∵AB＝MB BE⊥AE∴AE＝ME∵E是CD的中点∴DE＝CE在△ADE和△MCE中∴△ADE≌△MCE（SAS）∴AD＝MC∴AD+BC＝MC+BC＝MB＝AB；（3）解：∵AB＝MB AE＝ME∴△MBE的面积＝△ABE的面积＝4∴△ABM的面积＝2×4＝8∵△ADE≌△MCE∴△ADE的面积＝△MCE的面积∴梯形ABCD的面积＝△ABM的面积＝8．8．如图在梯形ABCD中AD∥BC E是AB的中点．（1）求证：S△CED＝S△ADE+S△BCE．（2）当CE＝DE时判断BC与CD的位置关系并说明理由．【解答】（1）证明：延长DE交CB的延长线于F∵AD∥CF∴∠A＝∠ABF∠ADE＝∠F∵E是AB中点∴AE＝BE在△AED与△BEF中∴△AED≌△BEF（AAS）∴DE＝EF S△AED＝S△EBF∴S△DEC＝S△EFC＝S△ADE+S△BCE．（2）解：当CE＝DE时BC⊥CD．理由：∵△AED≌△BEF∴DE＝EF∵CE＝DE∴CE＝DE＝EF∴∠F＝∠ECF∠ECD＝∠CDE∵∠F+∠ECF+∠ECD+∠CDE＝180°∴∠FCD＝90°∴BC⊥CD．。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-对角互补模型综合应用(解析版)

对角互补模型综合应用应用：通过做垂线或者利用旋转构造全等三角形解决问题。

【类型一：三角形中的互补模型模型】【典例1】（1）如图（1）在△ABC中D是BC边上的中点DE⊥DF DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF．若∠A＝90°探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明；（2）如图（2）在四边形ABDC中∠B+∠C＝180°DB＝DC∠BDC＝120°以D为顶点作一个60°角角的两边分别交AB、AC于E、F两点连接EF探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明．【解答】证明：（1）EF2＝BE2+CF2理由如下：如图（1）延长ED到G使DG＝ED连接CG FG在△DCG与△DBE中∴△DCG≌△DBE（SAS）∴DG＝DE CG＝BE∠B＝∠DCG又∵DE⊥DF∴FD垂直平分线段EG∴FG＝FE∵∠A＝90°∴∠B+∠ACB＝90°∴∠FCG＝90°在△CFG中CG2+CF2＝FG2∴EF2＝BE2+CF2（2）如图（2）结论：EF＝EB+FC理由如下：延长AB到M使BM＝CF∵∠ABD+∠C＝180°又∠ABD+∠MBD＝180°∴∠MBD＝∠C在△BDM和△CDF中∴△BDM≌△CDF（SAS）∴DM＝DF∠BDM＝∠CDF∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF在△DEM和△DEF中∴△DEM≌△DEF（SAS）∴EF＝EM∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．【变式1】（1）阅读理解：如图①在△ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD再连接BE这样就把AB AC2AD集中在△ABE中利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是；（2）问题解决：如图②在△ABC中D是BC边的中点DE⊥DF于点D DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF此时：BE+CF EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；（3）问题拓展：如图③在四边形ABCD中∠B+∠D＝180 CB＝CD∠BCD＝140°以C为顶点作∠ECF＝70°边CE CF分别交AB AD于E F两点连接EF此时：BE+DF EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；（4）若在图③的四边形ABCD中∠ECF＝α（0°＜α＜90°）∠B+∠D＝180 CB ＝CD且（3）中的结论仍然成立则∠BCD＝（用含α的代数式表示）.【解答】解：（1）在△ADC与△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴BE＝AC＝3在△ABE中AB﹣BE＜AE＜AB+BE即2＜AE＜8∴2＜2AD＜8∴1＜AD＜4故答案为：2＜AE＜8；1＜AD＜4；（2）如图延长FD至点G使DG＝DF连接BG EG∵点D是BC的中点∴DB＝DC∵∠BDG＝∠CDF DG＝DF∴△BDG≌△CDF（SAS）∴BG＝CF∵ED⊥FD FD＝GD∴EF＝EG在△BEG中BE+BG＞EG∴BE+CF＞EF故答案为：＞；（3）BE+DF＝EF如图延长AB至点G使BG＝DF连接CG∵∠ABC+∠D＝180°∠ABC+∠CBG＝180°∴∠CBG＝∠D又∵CB＝CD BG＝DF∴△CBG≌△CDF（SAS）∴CG＝CF∠BCG＝∠DCF∵∠BCD＝140°∠ECF＝70°∴∠DCF+∠BCE＝70°∴∠BCE+∠BCG＝70°∴∠ECG＝∠ECF＝70°又∵CE＝CE CG＝CF∴△ECG≌△ECF（SAS）∴EG＝EF∵BE+BG＝EG∴BE+DF＝EF故答案为：＝；（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF∴CG＝CF∠BCG＝∠DCF若BE+DF＝EF则EG＝EF∴△ECF≌△ECG（SSS）∴∠ECG＝∠ECF∴∠BCD＝2∠ECF＝2α故答案为：2α．【类型二：四边形中的互补模型】【典例2】（1）如图1 四边形ABCD是边长为5 cm的正方形E F分别在AD CD边上∠EBF＝45°．为了求出△DEF的周长．小南同学的探究方法是：如图2 延长EA到H使AH＝CF连接BH先证△ABH≌△CBF再证△EBH≌△EBF得EF＝EH从而得到△DEF的周长＝cm；（2）如图3 在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝100°∠B＝∠ADC＝90°．E F 分别是线段BC CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF BE FD之间的数量关系；（3）如图4 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是线段BC CD上的点且2∠EAF＝∠BAD（2）中的结论是否仍然成立若成立请证明若不成立请说明理由；（4）若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°点E、F分别在CB、DC的延长线上且2∠EAF＝∠BAD请画出图形并直接写出线段EF、BE、FD之间的数量关系．【解答】解：（1）如图1 延长EA到H使AH＝CF连接BH∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝AD＝CD＝5cm∠BAD＝∠BCD＝90°∴∠BAH＝∠BCF＝90°又∵AH＝CF AB＝BC∴△ABH≌△CBF（SAS）∴BH＝BF∠ABH＝∠CBF∵∠EBF＝45°∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF∴∠EBH＝∠EBF又∵BH＝BF BE＝BE∴△EBH≌△EBF（SAS）∴EF＝EH∴EF＝EH＝AE+CF∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝10（cm）．故答案为：10．（2）EF＝BE+DF．证明：如图2所示延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠BAD＝100°∠EAF＝50°∴∠BAE+∠F AD＝∠DAG+∠F AD＝50°∴∠EAF＝∠F AG＝50°在△EAF和△GAF中∴△EAF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG＝DF+DG∴EF＝BE+DF；（3）成立．证明：如图3 延长EB到G使BG＝DF连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°∠ABG+∠ABC＝180°∴∠ABG＝∠D∵在△ABG与△ADF中∴△ABG≌△ADF（SAS）∴AG＝AF∠BAG＝∠DAF∵2∠EAF＝∠BAD∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF ∴∠GAE＝∠EAF又AE＝AE∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EG＝EF∵EG＝BE+BG∴EF＝BE+FD；（4）EF＝DF﹣BE理由如下：在DF上截取DH使DH＝BE∵∠ABC+∠ADC＝180°∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ABE＝∠ADH且AB＝AD DH＝BE∴△ABE≌△ADH（SAS）∴∠BAE＝∠DAH AH＝AE∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAH+∠BAF＝∠BAD∴∠HAF＝∠BAD＝∠EAF且AF＝AF AE＝AH∴△F AH≌△F AE（SAS）∴HF＝EF∴EF＝HF＝DF﹣DH＝DF﹣BE【变式2-1】如图在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是边BC CD上的点且∠EAF＝∠BAD求证：EF＝BE+FD．【解答】证明：延长CB至M使BM＝FD连接AM如图所示：∵∠ABC+∠D＝180°∠ABM+∠ABC＝180°∴∠ABM＝∠D在△ABM与△ADF中∴△ABM≌△ADF（SAS）∴AF＝AM∠BAM＝∠DAF∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAF+∠BAE＝∠BAD＝∠F AE∴∠BAM+∠BAE＝∠EAF即∠MAE＝∠EAF在△AME与△AFE中∴△AME≌△AFE（SAS）∴EF＝ME∵ME＝BE+BM∴EF＝BE+FD．【变式2-2】“截长补短法”证明线段的和差问题：先阅读背景材料猜想结论并填空然后做问题探究．背景材料：（1）如图1：在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°E F 分别是BC CD上的点且∠EAF＝60°．探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．探究的方法是延长FD到点G．使DG＝BE连接AG先证明△ABE≌△ADG再证明△AEF≌△AGF可得出的结论是．探索问题：（2）如图2 若四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是BC CD 上的点且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？成立的话请写出推理过程．【解答】证明：（1）在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF ∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF．1．阅读理解：课外兴趣小组活动时老师提出了如下问题：如图1 △ABC中若AB＝5 AC＝3 求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流得到了如下的解决方法：延长AD到E使得DE＝AD再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）把AB、AC、2AD集中在△ABE中利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8 则1＜AD＜4．感悟：解题时条件中若出现“中点”“中线”字样可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（1）问题解决：受到（1）的启发请你证明下面命题：如图2 在△ABC中D是BC边上的中点DE ⊥DF DE交AB于点E DF交AC于点F连接EF．①求证：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°探索线段BE、CF、EF之间的等量关系并加以证明；（2）问题拓展：如图3 在四边形ABDC中∠B+∠C＝180°DB＝DC∠BDC＝120°以D为顶点作一个60°角角的两边分别交AB、AC于E、F两点连接EF探索线段BE、CF、EF之间的数量关系并加以证明．【解答】解：①延长FD到G使得DG＝DF连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD）∴CF＝BG DF＝DG∵DE⊥DF∴EF＝EG．在△BEG中BE+BG＞EG即BE+CF＞EF．（4分）②若∠A＝90°则∠EBC+∠FCB＝90°由①知∠FCD＝∠DBG EF＝EG∴∠EBC+∠DBG＝90°即∠EBG＝90°∴在Rt△EBG中BE2+BG2＝EG2∴BE2+CF2＝EF2；（3分）（2）将△DCF绕点D逆时针旋转120°得到△DBG．∵∠C+∠ABD＝180°∠4＝∠C∴∠4+∠ABD＝180°∴点E、B、G在同一直线上．∵∠3＝∠1 ∠BDC＝120°∠EDF＝60°∴∠1+∠2＝60°故∠2+∠3＝60°即∠EDG＝60°∴∠EDF＝∠EDG＝60°∵DE＝DE DF＝DG∴△DEG≌△DEF∴EF＝EG＝BE+BG即EF＝BE+CF．（4分）2．如图△ABC中AB＝AC点D为△ABC内一点其中AD平分∠BAC且∠CBD＝30°点E为AC中点EF⊥AC交BD延长线于点F连接AF、CF．（1）求∠ADF的大小；（2）求证：△ACF是等边三角形；（3）猜想AD、BD、DF的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）延长AD交BC于点M∵AB＝AC AD平分∠BAC∴AM⊥BC∵∠CBD＝30°∴∠BDM＝90°﹣∠CBD＝60°∴∠ADF＝∠BDM＝60°；（2）由（1）知∠ADC＝∠BDC＝120°∵∠ADF＝60°∴∠CDF＝60°过点F作FG⊥AD于点G FH⊥DC于点H∴FG＝FH∵EF⊥AC E为AC的中点∴AF＝CF在Rt△AGF和Rt△CHF中∴Rt△AGF≌Rt△CHF（HL）∴∠AFG＝∠CFH∵∠DGF＝∠H＝90°∠DGF+∠H+∠GDH+∠GFH＝360°∴∠GDH+∠GFH＝180°∵∠GDH＝120°∴∠GFH＝60°∴∠AFC＝∠AFG+∠GFC＝∠CFH+∠GFC＝60°又∵AF＝CF∴△ACF为等边三角形；（3）DF＝AD+BD．理由：在BF上截取PF＝BD连接AP∵△ACF为等边三角形∴AF＝AC又∵AF＝AC∴AB＝AF∴∠ABD＝∠AFP∴△ABD≌△AFP（SAS）∴AD＝AP又∵∠ADP＝60°∴△ADP为等边三角形∴AD＝DP∴DF＝DP+PF＝AD+BD．3．（1）问题背景．如图1 在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG先证明△ABE ≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF可得出结论他的结论应是．（2）猜想论证．如图2 在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠ADC＝180°E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立试写出相应的结论并给出你的证明．【解答】解：延长FD到点G．使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADF＝180°∠ADF+∠ADG＝180°∴∠ADG＝∠B在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠BAD＝2∠EAF∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△AGF中∴△AEF≌△AGF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）结论EF＝BE+FD不成立结论：EF＝BE﹣FD．理由如下：证明：如图2中在BE上截取BG使BG＝DF连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°∠ADF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF AG＝AF．∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF．∵∠BAD＝2∠EAF∴∠GAF＝2∠EAF∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD4．通过类比联想引申拓展研究典型题目可达到解一题知一类的目的下面是一个案例请补充完整．原题：如图1 点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上∠EAF＝45°连接EF试猜想EF、BF、DE之间的数量关系．（1）思路梳理把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合由∠ABG＝∠D＝90°得∠FBG＝180°即点F、B、G共线易证△AFG≌故EF、BF、DE之间的数量关系为．（2）类比引申如图②在四边形ABCD中AB＝AD∠ABC＝∠ADC＝90°．E、F分别是DC、BC 上的点．且∠EAF＝∠BAD．猜想图中线段BF、EF、DE之间的数量关系．（3）拓展提高如图③若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝∠BAD探究上述结论是否仍然成立？说明理由．【解答】解：（1）思路梳理：如图①把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合即AB＝AD 由旋转得：∠ABG＝∠D＝90°DE＝BG∠1＝∠2 AE＝AG∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°即点F、B、G共线∵四边形ABCD为正方形∴∠BAD＝90°∵∠EAF＝45°∴∠DAE+∠B＝∠F AG＝45°∴∠EAF＝∠F AG＝45°在△AFE和△AFG中∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF＝FG∴EF＝BF+BG＝BF+DE；故答案为：△AFE EF＝BF+DE；（2）类比引申如图②把△ADE绕点A顺时针旋转90°至△ABG可使AD与AB重合即AB＝AD 由旋转得：∠ABG＝∠D＝90°DE＝BG∠GAB＝∠DAE AE＝AG∴∠FBG＝∠ABF+∠ABG＝90°+90°＝180°即点F、B、G共线∵∠EAF＝∠BAD∴∠DAE+∠BAF＝BAD∴∠GAF＝∠EAF在△AFE和△AFG中∴△AFE≌△AFG（SAS）∴EF＝FG∴EF＝BF+BG＝BF+DE；（3）拓展提高结论DE+BF＝EF仍然成立理由如下：如图③将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH由旋转可得AH＝AE BH＝DE∠1＝∠2∵∠EAF＝∠DAB∴∠HAF＝∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD∴∠HAF＝∠EAF∵∠ABH+∠ABF＝∠D+∠ABF＝180°∴点H、B、F三点共线在△AEF和△AHF中∴△AEF≌△AHF（SAS）∴EF＝HF∵HF＝BH+BF∴EF＝DE+BF．5．如图1 在四边形ABCD中AB＝AD∠BAD＝120°∠B＝∠ADC＝90°EF分别是BC CD上的点且∠EAF＝60°探究图中线段BE EF FD之间的数量关系．（1）提示：探究此问题的方法是延长FD到点G使DG＝BE连接AG先证明△ABE ≌△ADG再证明△AEF≌△AGF．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．（2）探索延伸：如图2 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°E F分别是BC CD上的点且∠EAF＝∠BAD上述结论是否仍然成立？（成立或不成立）（3）实际应用：如图3 在某次军事演习中舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进 1.5小时后指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E F处且两舰艇之间夹角为70°试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：（1）EF＝BE+DF．理由如下：如图1 延长FD到G使DG＝BE连接AG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；（2）EF＝BE+DF仍然成立．证明：如图2 延长FD到G使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADC＝180°∠ADC+∠ADG＝180°∴∠B＝∠ADG在△ABE和△ADG中∴△ABE≌△ADG（SAS）∴AE＝AG∠BAE＝∠DAG∵∠EAF＝∠BAD∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF ∴∠EAF＝∠GAF在△AEF和△GAF中∴△AEF≌△GAF（SAS）∴EF＝FG∵FG＝DG+DF＝BE+DF∴EF＝BE+DF；故答案是：成立；（3）如图3 连接EF延长AE、BF相交于点C∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°∠EOF＝70°∴∠EOF＝∠AOB又∵OA＝OB∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°∴符合探索延伸中的条件∴结论EF＝AE+BF成立即EF＝1.5×（60+80）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．6．在四边形ABCD中AB＝AD∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°现将一个30°角的顶点落在点A处．（1）如图①当该角的两边分别与BC、CD边相交于E、F时．求证：EF＝BE+DF；（2）现在将该角绕点A进行旋转其两边分别与BC、CD边的延长线相交于点F那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立试探究线段BE与DF之间的等量关系并加以证明．（利用图②进行探索）【解答】解：（1）如图①延长CB到H点使BH＝DF连接AH∵∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°∴∠D+∠B＝180°∵∠ABE+∠ABH＝180°∴∠ABH＝∠D∵AD＝AB BH＝DF∴在△ABH和△ADF中∴△ABH≌△ADF（SAS）∴AH＝AF∠HAB＝∠F AD∵∠DAB＝60°∠F AE＝30°∴∠F AD+∠BAE＝30°∴∠BAE+∠HAB＝30°即∠HAE＝30°在△HAE和△EAF中∴△HAE≌△F AE（SAS）∴HE＝EF∵HE＝HB+BE＝DF+BE∴EF＝BE+DF；（2）（1）中的结论不成立如图②在BC上截取BH＝DF在△ABH与△ADF中∴△ABH≌△ADF∴∠BAH＝∠DAF AH＝AF∴∠EAF＝30°∴∠BAH+∠EAD＝30°∵∠B＝∠D＝90°∠BCD＝120°∴∠BAD＝60°∴∠HAE＝30°在△HAE与△F AE中∴△HAE≌△F AE∴HE＝EF∵BE＝BH+HE∴BE＝DF+EF．7．【初步探索】（1）如图1：在四边形ABCD中AB＝AD∠B＝∠ADC＝90°E、F分别是BC、CD 上的点且EF＝BE+FD探究图中∠BAE、∠F AD、∠EAF之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G使DG＝BE．连接AG先证明△ABE ≌△ADG再证明△AEF≌△AGF可得出结论他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2 若在四边形ABCD中AB＝AD∠B+∠D＝180°．E、F分别是BC、CD 上的点且EF＝BE+FD上述结论是否仍然成立并说明理由；【拓展延伸】（3）如图3 已知在四边形ABCD中∠ABC+∠ADC＝180°AB＝AD若点E在CB 的延长线上点F在CD的延长线上如图3所示仍然满足EF＝BE+FD请写出∠EAF与∠DAB的数量关系并给出证明过程．【解答】解：（1）∠BAE+∠F AD＝∠EAF．理由：如图1 延长FD到点G使DG＝BE连接AG根据SAS可判定△ABE≌△ADG进而得出∠BAE＝∠DAG AE＝AG再根据SSS可判定△AEF≌△AGF可得出∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF．故答案为：∠BAE+∠F AD＝∠EAF；（2）仍成立理由：如图2 延长FD到点G使DG＝BE连接AG∵∠B+∠ADF＝180°∠ADG+∠ADF＝180°∴∠B＝∠ADG又∵AB＝AD∴△ABE≌△ADG（SAS）∴∠BAE＝∠DAG AE＝AG∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF AF＝AF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠EAF＝∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF；（3）∠EAF＝180°﹣∠DAB．证明：如图3 在DC延长线上取一点G使得DG＝BE连接AG ∵∠ABC+∠ADC＝180°∠ABC+∠ABE＝180°∴∠ADC＝∠ABE又∵AB＝AD∴△ADG≌△ABE（SAS）∴AG＝AE∠DAG＝∠BAE∵EF＝BE+FD＝DG+FD＝GF AF＝AF∴△AEF≌△AGF（SSS）∴∠F AE＝∠F AG∵∠F AE+∠F AG+∠GAE＝360°∴2∠F AE+（∠GAB+∠BAE）＝360°∴2∠F AE+（∠GAB+∠DAG）＝360°即2∠F AE+∠DAB＝360°∴∠EAF＝180°﹣∠DAB．。

等腰三角形模型重难点突破人教版八年级数学上册(含解析)

等腰三角形模型重难点突破等腰模型(一) 手拉手类型一等腰直角三角形构手拉手1.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,E 为△ABC 外一点,∠AEB=90°,求∠AEC 的度数.2如图,在五边形AOBNM 中,AO=OB,MA=MN,∠AOB=∠AMN=90°,OM=8.求五边形AOBNM 的面积.类型二等边三角形构手拉手3.如图，△ABC 为等边三角形，D 为BC上一动点，M为AB 的延长线上一点，CD=BM. N为AD的中点,连接CN,MN.求证:MN⊥CN.4.如图,D 为等边△ABC外一点,∠ADB=60°,BE⊥AD 于点E,连接CD.(1)求证:AD+CD=BD;(2)求证:DE=AE+CD.类型三一般等腰三角形构手拉手5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2α,P为△ABC 内一点,∠APB=150°-α,∠ABP+∠ACP=60°.求证:PB=PC.类型一90°对90°1.如图,在四边形ABCD 中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,E 为BD上一点,∠BAE=∠DBC=22.5°.求证:BC=AE+CD.类型二60°对120°2.如图,在等边△ABC 中,D 是BC 边上的中点,E 为AB 的延长线上一点,F 为AC 上一点,∠EDF=120°,延长DF,交BA 的延长线于点M.(1)求证:ED=DF;(2)若BD=2AF,求证:AM=2BE.3如图,在等边△ABC 中,E 为△ABC外一点,O 为BE 的中点,D 为AC 上一点,△DOE 为等边三角形,求证:OC=OD.类型一等腰直角三角形背景1.如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠ABC=90°,△ABD 为等腰三角形,AD=AB=BC,E 为DB 延长线上一点,∠BAD=2∠CAE.若AE=a,BE=b,CE=c,则△ABC的面积为.(用含a，b，c的式子表示)类型二等腰三角形背景2.如图，△ABC 为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于点C 右侧的点D 满足∠BDC=60°,点F,G 在直线l上,连接AF,在l 上方作∠AFH=120°,且AF=HF,∠HGF=120°,求证:HG+BD=CF.类型三等边三角形背景3.【问题情境】(1)如图1,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,连接BD,CE,求证:△ABD≌△ACE;【迁移应用】(2)如图2,△ABC 和△ADE 都是等边三角形,A,B,E 三点在同一条直线上,M是AD 的中点,N 是AC 的中点,点P 在BE 上,且△MNP 是等边三角形,求证:P 是BE 的中点.4.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,D 是△ABC 外一点,△BCD 是等边三角形,过点D 分别作AB,AC 的垂线,垂足分别为E,F,若CF=3BE,则ABAC的值为( )A.75B.54C.43D.53等腰模型(四) 夹半角类型一60°夹30°1.如图,在等边△ABC 中,在AC 边上取点M,N,使∠MBN=30°.若AM=m,MN=x,CN=n,则以x,m,n 为边长的三角形的形状为( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.随x,m,n 的值而定类型二120°夹60°2.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AB=AC,E,F 为BC 上两点,∠EAF=60°,∠AEF=75°,BE=10,求CF 的长.类型三90°夹45°3.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°. M,N为BC 上两点,∠AMN=75°,∠MAN=45°,探究MN 与CN 之间的数量关系.4.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D 为AB 上一点,E 为AB 的延长线上一点,∠DCE=45°,∠CED=30°,求证:BD=BE.等腰模型(五)“十字架”类型一等边三角形中的“十字架”1.如图,在等边△ABC 中,D,E 分别为边AB,BC 上的点,AD=BE,AE 与CD 交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)在FC 上截取FG=AF,过点G 作GH∥BC 交AE 于点H.求证:GH=AD.类型二等腰三角形中的“十字架”2.如图,在等腰△ABC中,AB=BC,∠BAC=30°,D,E,F 分别为线段AB,BC,AC 上的点,∠ABF=∠BED,DE 交BF 于点G.(1)求∠BGD 的度数;(2)若BD=CE,点H 在BF 的延长线上,BH=DE,连接AH.求证:AH∥BC.等腰模型(六)“胖瘦三角形”1如图,在△ABC中,AB=AC,点E 在线段AC 上,点D 在AB 的延长线上,连接DE 交BC 于点F,过点E 作EG⊥BC 于点G.(1)若∠A=50°,∠D=30°,则∠GEF 的度数为;(2)若BD=CE,求证:FG=BF+CG.2.如图,在平面直角坐标系中,A(0,4),B(4,0),点M,N 分别在y轴和x 轴上,点N在点B 右侧,且AM=BN.连接MN交AB 的延长线于点C.求证:MC=CN.3.如图,在△ABC 中,∠ABC=2∠ACB,BD 为△ABC 的角平分线.若E 为线段BD 上一点,∠DEC=∠A,求证:AB=EC.等腰模型(七)“镜面角”类型一反向延长构角平分线1.如图,C 是等腰 Rt △OAB(OB=OA)中直角边 BO 延长线上的一点,过点 B 作 BD ⊥AC 于点 D.若∠OAC=∠BAD,则 AC BD 的值为()A.32B.2C.74D.522.如图,在△ABD 中,E 为BA 的延长线上一点,DA=DE,点 F 在BD 上,且∠AFB=∠EFD,求证:∠FAD=∠FED.类型二作腰的平行线构双等腰3.如图,在△ACE 中,AC=AE,延长 EC 至点B,BD ⊥AE 交EA 的延长线于点D,若∠BAD=∠CAE,AB=6,AE=2,则AD 的长为 .等腰模型(八) 角格点三角形类型一在60°角顶点处作等边构全等1.如图,在四边形ABCD 中,DB=DC,∠DCA=60°,∠DAC=78°,∠CAB=24°,则∠ACB 的度数为.2.如图,在△ABC 中,∠ABC=60°,∠ACB=80°,点D 在△ABC外,连接AD,BD,CD.若∠DBA=20°,∠ACD=30°,则∠BAD 的度数是( )A.20°B.25°C.30°D.35°类型二无60°角作等边构全等3.如图,在△ABC 中,AC=AB=6,∠BAC=80°,O 为△ABC 内一点,∠OBC=10°,∠OCB=30°,则线段BO 的长为.突破34 等腰模型(一) 手拉手1.解:过点C 作CF⊥CE 交AE 于点F,设AE 与BC 交于点D,∴∠FCE=∠ACB=90°,∴∠ACF=∠BCE.∵∠AEB=∠ACB=90°,且∠ADC=∠BDE,∴∠CAD=∠CBE.∵AC=BC,∴△ACF≌△BCE,∴CF=CE.∵∠FCE=90°,∴∠AEC=∠CFE=45°.2.解:过点M 作ME⊥OM,且ME=OM=8,连接NE,OE 交BN 于点F,∴∠OME=∠AMN=90°,∴∠NME=∠AMO.∵MA=MN,∴△AMO≌△NME,∴NE=OA=OB,∠MNE=∠A.∵∠A+∠MNB+∠B+∠AMN+∠AOB=540°,∠AOB=∠AMN=90°,∴∠MNE+∠MNB+∠B=360°.∵∠MNE + ∠MNB + ∠ENB =360°,∴∠B=∠ENB.∵∠EFN=∠OFB,∴△OBF≌△ENF,∴S△ENF=S△OBF.∵S MAO=S MNE,∴Sπ对底AOBNM=S MOE=1OM.ME=32.23.证明:延长CN 至点P,使NP =CN,连接AP,MC,MP.∵N 为AD 的中点,∴AN=ND.∵∠ANP=∠CND,∴△ANP≌△DNC,∴AP=CD,PN=NC,∠APN=∠NCD,∴AP∥CB,∴∠PAC+∠ACB=180°.∵△ABC 为等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=∠ABC=60°,∴∠PAC=∠CBM=120°.∵CD=AP,CD=BM,∴AP=BM,∴△PAC≌△MBC,∴MC=PC,∠PCA=∠MCB,∴∠PCM=∠ACB=60°,∴△PCM 为等边三角形,∴PM=MC.∵PN=NC,∴MN⊥CN.4.证明:(1)在BD 上截取DH=AD,连接AH.∵∠ADB=60°,∴△ADH 为等边三角形,∴∠HAD=∠AHD=60°,AH=AD.∵△ABC 为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∴∠BAC=∠HAD,∴∠BAH=∠CAD,∴△BAH≌△CAD,∴BH=CD,∴AD+CD=DH+BH=BD;(2)在ED 上截取DM = DC,连接BM.由(1)知△BAH≌△CAD,∴∠ADC = ∠AHB = 180° -∠AHD=120°,∴∠BDC=∠ADC--∠ADB=60°,∴∠ADB=∠BDC.∵DM=DC,DB=DB,∴△BDM≌△BDC,∴BC=BM.∵AB=BC,∴AB=BM.∵BE⊥AD,∴AE=EM,∴DE=EM+DM=AE+CD.5. 证明:在AP 左侧作AE = AP,∠EAP =∠BAC= 2α,连接EB,EP,∴∠EAB=∠PAC.∵AB=AC,∴△AEB≌△APC,∴EB=PC,∠ABE=∠ACP,∴∠EBP = ∠ABE + ∠ABP =∠ACP+∠ABP=60°.∵AP=AE,∠EAP=2α,∴∠APE=∠AEP=90°-α,∴∠EPB = ∠APB - ∠APE = (150°−α)−(90°−α)=60°,∴∠BEP=180°−∠EBP−∠EPB=60°,∴∠BEP=∠EPB,∴PB=EB,∴PB=PC.突破35 等腰模型(二)对角互补1.证明:连接AC,交BD 于点H,过点A 作AC 的垂线交CB 的延长线于点M.∵∠BAD=∠BCD=90°,∴∠ABC+∠ADC=360°−∠BAD-∠BCD=180°.∵∠ABC+∠ABM=180°,∴∠ABM=∠ADC.∵∠MAC=∠BAD=90°,∴∠MAB=∠CAD.∵AB=AD,∴△ABM≌△ADC,∴AM=AC,∴∠M=∠ACM=45°.∵AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°.∵∠DBC=∠BAE=22.5°,∴∠ABC=67.5°,∠AED=∠BAE+∠ABD=67.5°,∠AHB=∠DBC+∠ACB=67.5°,∴∠AED=∠AHE,∴AE=AH,∠CHD=∠AHB=67.5°.∵∠BDC=90°-∠DBC=67.5°,∴∠CHD=∠CDB,∴CH=CD.∵∠BAC=180°-∠ABC--∠ACB=67.5°,∴∠ABC=∠BAC,∴BC = AC = AH + CH = AE +CD.2.证明:(1)取AC 的中点N,连接DN.∵△ABC 为等边三角形,∴AC=BC,∠ABC=∠C=60°.∵D,N分别为BC,AC 的中点,∴BD=CD=AN=CN,∴△CDN 为等边三角形,∴DN=CD=BD,∠CND=∠CDN=60°,∴∠AND = ∠BDN = 120°=∠EDF=∠EBD,∴∠EDB=∠FDN,∴△EDB≌△FDN,∴DE=DF;(2)连接AD.∵AB=AC,D 为BC的中点,∴∠DAC=∠BAD=1∠BAC=30°,2∴∠ADN = 180°−∠AND −∠DAC=30°,∴∠DAN=∠ADN,∴AN=DN.∵BD=CD=CN=AN,BD=2AF,∴AF=FN.∵∠MAF=180°−∠BAC=120°,∠DNF=120°,∴∠MAF=∠DNF.∵∠AFM=∠DFN,∴△AMF≌△NDF,∴AM=DN.∵DN=CN=AN,AN=2FN,∴AM=DN=2FN.由(1)知△EDB≌△FDN,∴BE=FN,∴AM=2BE.3.证明:过点O分别作OM⊥AC 于点M,ON⊥AB 于点N,连接AO.∵△ODE 为等边三角形,∴∠DOE=60°,OD=OE,∴∠BOD=120°.∵O为BE 的中点,∴OB=OE,∴OD=OB.∵△ABC 为等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠BOD+∠BAC=180°,∴∠ABO+∠ADO=360°−180°=180°.∵∠ODC+∠ADO=180°,∴∠ABO=∠ODC.∵ON⊥AB,OM⊥AC,∴∠ONB=∠OMD=90°,∴△ONB≌△OMD,∴OM=ON,∴AO平分∠BAC,∴∠BAO=∠CAO.∵AB=AC,AO=AO,∴△ABO≌△ACO,∴OC=OB.∵OD=OE=OB,∴OC=OD.突破36 等腰模型(三)一线三等角1.1(ac+b2)解：过点A，C分别作AF⊥DE,CG⊥DE,垂足分别为F,G, 2∴∠AFB=∠ABC=∠CGB=90°.又∵AD=AB=BC,∠BAD=2∠CAE,∠DAB=∠CAE.∴∠BAC=∠ACB=45°, ∠FAB=12∵∠ABC=90°,AF⊥DE,∴∠FAB + ∠FBA = ∠FBA +∠CBG=90°,∴∠FAB=∠CBG=∠CAE,∠AFB=∠CGB,AB=BC,∴△BAF≌△CBG,∴AF=BG,BF=CG.∵∠CAE+∠BAE=45°,∴∠FAB+∠BAE=45°,∴∠AEF=∠FAE=45°,∴AF=EF=BG.又∵BF=CG,∴BF=EG=CG,∴∠CEG=∠AEF=45°,∴∠AEC=90°,∴CG=BF=EF-BE=AF-BE.∵S△ABC=S△AEB+S△AEC=S△BEC,∴S ABC=12BE⋅AF+12AE.EC−12BE⋅CG=12BE(AF−CG)+12AE⋅EC=12BE2+12AE⋅EC=12(ac+b²).2.证明：在l 上位于点C 左侧取一点E,使∠AEC=60°,连接AE.∵△ABC 是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°,∴∠BCD+∠ACE=120°.∵∠AEC=60°,∴∠ACE+∠EAC=120°,∴∠BCD=∠EAC.∵∠AEC=∠BDC=60°,∴△AEC≌△CDB,∴BD=CE.∵∠AEF=∠AFH=120°,∴∠AFE + ∠FAE = ∠AFE +∠GFH=60°,∴∠FAE=∠GFH.∵∠HGF =∠AEF = 120°,AF =FH,∴△HGF≌△FEA(AAS),∴GH=EF,∴CF=EF+CE=HG+BD.3.证明:(1)∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE;(2)取AE 的中点K ,取AB 的中点G,连接MK,NG.∵M 为AD 的中点,N 为AC 的中点，AB=AC,AD=AE,∴AN=AG,AM=AK.∵∠CAB=∠DAE=60°,∴△NAG 和△MAK 均为等边三角形.∵△MPN 为等边三角形,∴可证△MKP≌△PGN,∴PK=NG=AG=BG,PG=MK=AK=EK,∴EK+PK=PG+GB,即EP=PB,∴P 为EB 的中点.4. A 解:过点D 作直线MN,点M,N 分别在射线AB, AC 上, 且∠AMN=60°.∵∠A=60°,∴△AMN 为等边三角形,∴AM=AN=MN,∠ANM=60°.∵△BCD 为等边三角形,∴BC=CD=BD,∠BCD=∠CBD=∠BDC.易证△ABC≌△MDB≌△NCD,∴AC=BM=DN,CN=AB=MD.设BE=x,EM=y,∵CF=3BE,∴CF=3x,∴BM=DN=AC=x+y,AB=MD=CN=2y,∴FN=CN-CF=2y-3x.∵DN=2FN,∴x+y=2(2y-3x)=4y-6x,∴7x=3y,∴x=37y,∴AB=2y,AC=x+y= 17y,∴ABAC =75.选A.突破37 等腰模型(四) 夹半角1. C 解:在BC 下方作∠CBE =∠ABM,BE=BM,连接NE,CE,则△CBE≌△ABM,∴CE=AM=m,∠BCE=∠A=60°.由△MBN≌△EBN,得NE=MN=x.∵∠NCE = ∠ACB + ∠BCE =120°,∴△NEC 为钝角三角形,选C.2. 解: 将△AEF 沿AF 翻折, 得△AGF, 连接CG, 则△AEF ≌△AGF,∴∠GAF =∠EAF =60°,∠AFG=∠AFE=180°−60°−75°=45°,∴∠CFG=∠EFG=90°,∠EAG=120°=∠BAC,∴∠CAG=∠BAE.∵AB=AC,AE=AG,∴△ABE≌△ACG,∴∠ACG=∠B=∠ACB=30°,∴∠FCG=60°,∴∠FGC=30°,∴FC=12CG=12BE=5.3.解:将△ABM 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ACD,连接DN,则∠ACD=∠B=45°,∠ADC=∠AMB=105°,∠NAD=45°=∠MAN,∴∠DCN=90°.易证△AMN≌△ADN,∴∠ADN=∠AMN=75°,DN=MN,∴∠NDC = ∠ADC - ∠ADN =30°,∴DN=2CN,∴MN=2CN.4.证明:过点C 向右作CM⊥CD,CM=CD,连接DM,BM,ME.∵CA=CB,∠ACB=90°=∠MCD,∠DCE=45°,∴∠ACD=∠BCM,∠MCE=45°,∴△ACD≌△BCM,∴∠MBC=∠CAD=45°,∴∠MBA=90°,∴∠MBE=90°.∵CD=CM,CE=CE,∴△CDE≌△CME,∴∠MEC=∠CEB=30°,DE=ME,∴△DME 是等边三角形.又∵MB⊥DE,∴BD=BE.突破38 等腰模型(五)“十字架”1.证明:(1)∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠BAC.∵AD=BE,∴△ABE≌△CAD;(2)在FH 上截取FM=FD.∵∠AFD=∠GFM,AF=FG,∴△AFD≌△GFM,∴∠ADF=∠GMF,MG=AD.∵△ABE≌△CAD,∴∠ADC=∠AEB,∴∠AEB=∠GMF,∴∠AEC=∠GMH.∵GH∥BC,∴∠AHG=∠AEC,∴∠AHG=∠GMH,∴HG=GM,∴HG=AD.2.解:(1)∵AB=BC,∴∠BAC=∠C=30°,∴∠ABC=120°.∵∠BGD = ∠GBE + ∠BED,∠ABF=∠BED,∴∠BGD = ∠GBE + ∠ABF =∠ABC=120°;(2)在BA 上截取BI = BE,连接IH.∵BI=BE,∠IBH=∠BED,BH=DE,∴△IBH≌△BED,∴BD=IH,∠BIH=∠EBD=120°,∴∠AIH=60°.∵BD=CE,AB=BC,∴AD=BE,∴AI=DB.又∵BD=IH,∴AI=IH,∴△IAH 为等边三角形,∴∠IAH=60°,∴∠IAH+∠ABE=180°,∴AH∥BC.突破39 等腰模型(六)“胖瘦三角形”1.解:(1)55°;(2)过点E 作EH∥AB 交BC 于点H,则∠ABC=∠EHC,∠D=∠FEH.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∴∠EHC=∠C,∴EC=EH.∵BD=CE,∴BD=EH.∵∠EFH=∠BFD,∴△BDF≌△HEF(AAS),∴BF=FH.又∵EC=EH,EG⊥BC,∴CG=HG,∴FG=FH+HG=BF+CG.2.证明:过点M 作y 轴的垂线,交AB的延长线于点G.∵A(0,4),B(4,0),∠AOB=90°,∠OAB=∠OBA=45°.∵MG⊥y轴,∴∠AMG=∠AOB=90°,∠G=∠OBA=45°,∴∠MAG=∠G,∴MG=AM=BN.∵∠BCN=∠GCM,∴△BCN≌△GCM,∴MC=CN.3.解:延长BD 到点T,使得CD=CT.∵∠ABD=∠DBC=∠ACB,∴BD=CD.∵CD=CT,∴∠T=∠CDT=∠ADB.∵BD=CD,∴BD=CT.在△ABD 和△ECT 中,∠A=∠CET,∠ADB=∠T,BD=CT,∴△ABD≌△ECT,∴AB=EC.突破40 等腰模型(七)“镜面角”1. B 解:延长BD,OA 交于点E,则∠BAD=∠OAC=∠EAD.∵∠ADB=∠ADE=90°,AD=AD,∴△ADB≌△ADE,∴BD=DE,∴BE=2BD.∵∠E=∠C,∠BOE=∠COA,OB=OA,∴△BOE≌△AOC,∴AC=BE=2BD,∴AC=2.选B.BD2.证明:过点D 作DM⊥EF 于点M,DN⊥AF,交AF 的延长线于点N.∵∠AFB=∠DFN,又∵DM⊥EF,DN⊥AF,∴DM=DN.在Rt△DME 和Rt△DNA 中,DE=DA,DM=DN,∴Rt△DME≌Rt△DNA,∴∠DEM=∠DAN,即∠FAD=∠FED.3.2 解:过点B 作BG∥AC 交ED 的延长线于点G，∴∠GBE=∠ACE,∠G=∠CAE.∵AC=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠ACE=∠E,∠G=∠BAD,∴∠GBE=∠GEB,BA=BG,∴GE=BG=BA=6,∴GA=GE--AE=4.∵BA=BG,BD⊥DE,∴GD=AD=1GA=2.2突破41 等腰模型(八)角格点三角形1.18° 解:延长CA 到点E,使AE=AB,连接DE.∵∠DAC=78°,∴∠DAE=102°.∵∠DAB=∠DAC+∠CAB=78° +24°=102°,∴∠DAE=∠DAB.∵DA=DA,∴△DAB≌△DAE(SAS),∴DE=DB=DC.∵∠DCA=60°,∴△DEC 是等边三角形,∴∠EDC=60°.∴∠ADB=∠EDA=18°,∴∠BDC=60°−2×18°=24°,∴∠DCB=1×(180∘−∠BDC)=78°,2∴∠ACB=∠DCB-∠DCA=18°.2. C 解:在AC 上取点E,使∠CBE=∠ABD=20°,连接DE.∵∠ABC=60°,∠ACB=80°,∴∠BAC=40°.∵∠CBE=20°,∠ACB=80°,∴∠BEC=80°,∴BC=BE.∵∠ACB=80°,∠ACD=30°,∴∠BCD=50°.∵∠ABC=60°,∠ABD=20°,∴∠DBC=80°,∴∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=50°,∴∠BDC=∠BCD,∴BD=BC,∴BD=BE.∵∠DBE=∠DBC-∠EBC=60°,∴△DBE是等边三角形，∴∠DEB=60°,DE=BE,∴∠ABE=∠BEC-∠BAC=40°.∵∠ABE=∠BAC=40°,∴BE=AE=DE,∴∠EAD=∠ADE.∵∠AED=180°−∠DEB−∠BEC=40°,∴∠DAE=70°,∴∠BAD=∠DAE--∠BAC=30°.选 C.3.6 解:在BC 上方作等边△DBC,连接DA,AO,∴DB=DC,∠BDC=60°.∵AB=AC,DA=DA,∴△DAB≌△DAC,∴∠BDA=∠CDA,∴∠BDA=1∠BDC=30∘.2∵∠BCO=30°,∴∠BDA=∠BCO.∵AB=AC,∠BAC=80°,∴∠ABC=∠ACB=50°.∵∠DBC=60°,∠OBC=10°,∴∠DBA=10°,∴∠DBA=∠OBC.∵DB=BC,∴△DBA≌△CBO,∴OB=AB=6.。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 一线三等角模型的综合应用(解析版)

一线三等角模型的综合应用模型一一线三垂直全等模型如图一 ∠D=∠BCA=∠E=90° BC=AC 。

结论：Rt △BDC ≌Rt △CEA 模型二一线三等角全等模型如图二 ∠D=∠BCA=∠E BC=AC 。

结论：△BEC ≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化便于解决对应的几何问题； ②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

【类型一：标准“K ”型图】【典例1】在△ABC 中 ∠ACB ＝90° AC ＝BC 直线MN 经过点C 且AD ⊥MN 于D BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE ＝AD +BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）的位置时求证：DE ＝AD ﹣BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图（3）的位置时请直接写出DE AD BE之间的等量CD EBA关系．【解答】解：（1）①∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB∴∠CAD+∠ACD＝90°∠BCE+∠ACD＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；②∵△ADC≌△CEB∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CE+CD＝AD+BE；（2）证明：∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）；∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；（3）当MN旋转到题图（3）的位置时AD DE BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．理由如下：∵AD⊥MN BE⊥MN∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°∴∠CAD＝∠BCE∵在△ADC和△CEB中∴△ADC≌△CEB（AAS）∴CE＝AD CD＝BE∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．【变式1-1】如图∠BAC＝90°AD是∠BAC内部一条射线若AB＝AC BE⊥AD于点E CF⊥AD于点F．求证：△ABE≌△CAF．【解答】证明：∵∠BAC＝90°∴∠CAF+∠BAE＝90°∵BE⊥AD CF⊥AD∴∠CF A＝∠BEA＝90°∴∠C+∠CAF＝90°∴∠C＝∠BAE∵AB＝AC∴△ABE≌△CAF（AAS）【变式1-2】在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线l经过点A过点B、C分别作l 的垂线垂足分别为点D、E．（1）特例体验：如图①若直线l∥BC AB＝AC＝分别求出线段BD、CE和DE 的长；（2）规律探究：（Ⅰ）如图②若直线l从图①状态开始绕点A旋转α（0＜α＜45°）请探究线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（Ⅱ）如图③若直线l从图①状态开始绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°）与线段BC相交于点H请再探线段BD、CE和DE的数量关系并说明理由；（3）尝试应用：在图③中延长线段BD交线段AC于点F若CE＝3 DE＝1 求S△BFC．【解答】解：（1）在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝45°∵l∥BC∴∠DAB＝∠ABC＝45°∠CAE＝∠ACB＝45°∴∠DAB＝∠ABD＝45°∠EAC＝∠ACE＝45°∴AD＝BD AE＝CE∵AB＝AC＝∴AD＝BD＝AE＝CE＝1∴DE＝2；（2）（Ⅰ）DE＝BD+CE．理由如下：在Rt△ADB中∠ABD+∠BAD＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD BD＝AE∴DE＝AE+AD＝BD+CE．（Ⅱ）DE＝BD﹣CE．理由如下：在Rt△ADB中∠ABD+∠BAD＝90°∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ABD和△CAE中∴△ABD≌△CAE（AAS）；∴CE＝AD BD＝AE∴DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE．（3）由（2）可知∠ABD＝∠CAE DE＝AE﹣AD＝BD﹣CE ∵∠BAC＝∠ADB＝90°∴△ABD∽△FBA∴AB：FB＝BD：AB∵CE＝3 DE＝1∴AE＝BD＝4∴AB＝5．∴BF＝．∴S△BFC＝S△ABC﹣S△ABF＝×52﹣×3×＝．【类型二：做辅助线构造“K”型图】【典例2】如图△ABC为等腰直角三角形∠ABC＝90°△ABD为等腰三角形AD＝AB＝BC E为DB延长线上一点∠BAD＝2∠CAE．（1）若∠CAE＝20°求∠CBE的度数；（2）求证：∠BEC＝135°；（3）若AE＝a BE＝b CE＝c．则△ABC的面积为．（用含a b c 的式子表示）【解答】（1）解：∵∠CAE＝20°∠BAD＝2∠CAE∴∠BAD＝40°∵AD＝AB∴∠D＝∠DBA＝70°又∵∠ABC＝90°∴∠CBE＝180°﹣70°﹣90°＝20°；（2）证明：过点A作AF⊥DE于点F过点C作CG⊥DE于点G∴∠AFB＝∠ABC＝∠CGB＝90°又∵AD＝BC＝AB∴∠BAC＝∠ACB＝45°∠F AB＝∠DAB＝∠CAE∵∠F AB+∠FBA＝∠FBA+∠CBG＝90°∴∠F AB＝∠CBG＝∠CAE在△BAF和△CBG中∴△BAF≌△CBG（AAS）∴AF＝BG BF＝CG∵∠CBG＝∠CAE∴∠AEF＝∠ACB＝45°∴AF＝EF＝BG BF＝CG∴BF＝EG＝CG∴∠CEG＝∠AEF＝45°∴∠AEC＝90°∴∠BEC＝135°；（3）解：由（2）可知CG＝BF AF＝EF∴CG＝BF＝EF﹣BE＝AF﹣BE∵S△ABC＝S△AEB+S△AEC﹣S△BEC∴S△ABC＝BE•CG＝BE•（AF﹣BE）＝．故答案为：．【类型三：“K”型图与平面直角坐标综合】【典例3】如图平面直角坐标系中有点A（﹣1 0）和y轴上一动点B（0 a）其中a ＞0 以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC设点C的坐标为（c d）．（1）当a＝2时则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中试判断c+d的值是否发生变化？若不变请求出其值；若发生变化请说明理由．【解答】解：（1）如图1中过点C作CE⊥y轴于E则∠CEB＝∠AOB．∵△ABC是等腰直角三角形∴BC＝BA∠ABC＝90°∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠BAO+∠CBE∴∠BCE＝∠ABO在△BCE和△BAO中∴△CBE≌△BAO（AAS）∵A（﹣1 0）B（0 2）∴AO＝BE＝1 OB＝CE＝2∴OE＝1+2＝3∴C（﹣2 3）故答案为：（﹣2 3）；（2）动点A在运动的过程中c+d的值不变．理由：过点C作CE⊥y轴于E则∠CEA＝∠AOB∵△ABC是等腰直角三角形∴BC＝BA∠ABC＝90°∴∠BCE+∠CBE＝90°＝∠ABO+∠CBE∴∠BCE＝∠ABO在△BCE和△BAO中∴△CBE≌△BAO（AAS）∵B（﹣1 0）A（0 a）∴BO＝AE＝1 AO＝CE＝a∴OE＝1+a∴C（﹣a1+a）又∵点C的坐标为（c d）∴c+d＝﹣a+1+a＝1即c+d的值不变．【变式3】点A的坐标为（4 0）点B为y轴负半轴上的一个动点分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一若点B坐标为（0 ﹣3）连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二连接CD与y轴交于点E试求BE长度．【解答】（1）①证明：∵△OBC和△ABD是等腰直角三角形∴OB＝CB BD＝AB∠ABD＝∠OBC＝90°∴∠ABD+ABO＝∠OBC+∠A∠O∴∠OBD＝∠CBA∴△OBD≌△CBA（SAS）∴AC＝OD；②如图一、∵A（4 0）B（0 ﹣3）∴OA＝4 OB＝3过点D作DF⊥y轴于F∴∠BOA＝∠DFB＝90°∴∠ABO+∠OAB＝90°∵∠ABD＝90°∴∠ABO+∠FBD＝90°∴∠OAB＝∠FBD∵AB＝BD∴△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB＝3 BF＝OA＝4∴OF＝OB+BF＝7∴D（3 ﹣7）；（2）如图二、过点D作DF⊥y轴于F则∠DFB＝90°＝∠CBF同（1）②的方法得△AOB≌△BFD（AAS）∴DF＝OB BF＝OA＝4∵OB＝BC∴BC＝DF∵∠DEF＝∠CEB∴△DEF≌△CEB（AAS）∴BE＝EF∴BF＝BE+EF＝2BE＝4∴BE＝2．【类型四：特殊“K”型图】【典例4】（1）猜想：如图1 已知：在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC直线m经过点A BD⊥直线m CE⊥直线m垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角那结论是否会成立呢？如图2 将（1）中的条件改为：在△ABC中AB＝AC D A、E三点都在直线m上并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC ＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立请你给出证明；若不成立请说明理由；（3）解决问题：如图3 F是角平分线上的一点且△ABF和△ACF均为等边三角形D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合在运动过程中线段DE的长度始终为n连接BD、CE若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC试判断△DEF的形状并说明理由．【解答】解：（1）DE＝BD+CE理由如下：∵∠BAC＝90°∴∠BAD+∠CAE＝90°∵BD⊥m CE⊥m∴∠ADB＝∠CEA＝90°∴∠BAD+∠ABD＝90°∴∠ABD＝∠CAE在△ADB和△CEA中∴△ADB≌△CEA（AAS）∴BD＝AE AD＝CE∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（2）结论DE＝BD+CE成立理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB∠ADB ＝∠BAC∴∠ABD＝∠CAE在△BAD和△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS）∴BD＝AE AD＝CE∴DE＝DA+AE＝BD+CE；（3）△DFE为等边三角形理由如下：由（2）得△BAD≌△ACE∴BD＝AE∠ABD＝∠CAE∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+F AC即∠FBD＝∠F AE在△FBD和△F AE中∴△FBD≌△F AE（SAS）∴FD＝FE∠BFD＝∠AFE∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°∴△DFE为等边三角形．【变式4】已知在△ABC中AB＝AC D A E三点都在直线m上且DE＝9cm∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①若AB⊥AC则BD与AE的数量关系为CE与AD的数量关系为；（2）如图②判断并说明线段BD CE与DE的数量关系；（3）如图③若只保持∠BDA＝∠AEC BD＝EF＝7cm点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动同时点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动它们运动的时间为t（s）．是否存在x使得△ABD与△EAC全等？若存在求出相应的t 的值；若不存在请说明理由．【解答】解：（1）∵∠BDA＝∠AEC＝∠BAC∴∠BAD+∠CAE＝∠BAD+∠ABD∴∠CAE＝∠ABD∵∠BDA＝∠AEC BA＝CA∴△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD故答案为：BD＝AE CE＝AD；（2）DE＝BD+CE由（1）同理可得△ABD≌△CAE（AAS）∴BD＝AE CE＝AD∴DE＝BD+CE；（3）存在当△DAB≌△ECA时∴AD＝CE＝2cm BD＝AE＝7cm∴t＝1 此时x＝2；当△DAB≌△EAC时∴AD＝AE＝4.5cm DB＝EC＝7cm∴t＝x＝7÷＝综上：t＝1 x＝2或t＝x＝．1．如图∠ACB＝90°AC＝BC AD⊥CE BE⊥CE垂足分别为D E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）试探究线段AD DE BE之间有什么样的数量关系请说明理由．【解答】（1）证明：∵AD⊥CE BE⊥CE∴∠ADC＝∠BEC＝90°∴∠ACE+∠CAD＝90°∵∠ACB＝90°∴∠BCE+∠ACD＝90°∴∠BCE＝∠CAD在△ACD和△CBE中∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：AD＝BE+DE理由如下：∵△ACD≌△CBE∴CD＝BE AD＝CE∵CE＝CD+DE∴AD＝BE+DE．2．如图在△ABC中AB＝AC D、A、E三点都在直线m上并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α若DE＝10 BD＝3 求CE的长．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α∠BAD+∠CAE＝180°﹣α∴∠ECA＝∠BAD在△BAD与△ACE中∴△BAD≌△ACE（AAS）∴CE＝AD AE＝BD＝3∵DE＝AD+AE＝10∴AD＝DE﹣AE＝DE﹣BD＝10﹣3＝7．∴CE＝7．3．如图把一块直角三角尺ABC的直角顶点C放置在水平直线MN上在△ABC中∠C ＝90°AC＝BC试回答下列问题：（1）若把三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转当AB∥MN时∠2＝45度；（2）在三角尺ABC绕着点C按顺时针方向旋转过程中分别作AM⊥MN于M BN⊥MN与N若AM＝6 BN＝2 求MN．（3）三角尺ABC绕着点C按顺时针方向继续旋转到图3的位置其他条件不变则AM、BN与MN之间有什么关系？请说明理由．【解答】解：（1）在△ABC中AB＝AC∠ACB＝90°∴∠B＝∠A＝45°∵AB∥MB∴∠2＝∠B＝45°故答案为45；（2）∵AM⊥MN于M BN⊥MN于N∴∠AMC＝90°∠BNC＝90°．∴∠1+∠CAM＝90°又∵∠1+∠2＝90°∴∠2＝∠CAM同理：∠1＝∠CBN在△AMC和△CNB中∴△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC+CN＝AM+BN＝2+6＝8；（3）MN＝BN﹣AM理由：同（2）的方法得△AMC≌△CNB（ASA）∴AM＝CN MC＝BN∴MN＝MC﹣CN＝BN﹣AM．4．在△ABC中∠ACB＝90°AC＝BC直线MN经过点C且AD⊥MN于D BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时（1）中的结论还成立吗？若成立请给出证明；若不成立说明理由．【解答】（1）证明：①∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC∠ADC＝∠BEC＝90°∴△ADC≌△CEB．②∵△ADC≌△CEB∴CD＝BE AD＝CE．∴DE＝CE+CD＝AD+BE．（2）△ADC≌△CEB成立DE＝AD+BE．不成立此时应有DE＝AD﹣BE．证明：∵∠ACD+∠BCE＝90°∠DAC+∠ACD＝90°∴∠DAC＝∠BCE．又AC＝BC∠ADC＝∠BEC＝90°∴△ADC≌△CEB．∴CD＝BE AD＝CE．∴DE＝AD﹣BE．5.已知△ABC在平面直角坐标系中在△ABC中AB＝BC∠ABC＝90°．（1）如图①已知点A（0 ﹣4）B（1 0）求点C的坐标；（2）如图②已知点A（0 0）B（3 1）求点C的坐标．【解答】解：（1）过点C作x轴的垂线交x轴于点D∵A（0 ﹣4）B（1 0）∴OA＝4 OB＝1∵∠ABC＝90°∠AOB＝90°∴∠CBD+∠OBA＝90°∠OAB+∠OBA＝90°∴∠CBD＝∠BAO∵AB＝BC∠AOB＝∠BDC＝90°∴△BCD≌△ABO（AAS）∴CD＝BO＝1 BD＝AO＝4∴OD＝3∴点C坐标为（﹣3 1）；（2）过B作x轴的垂线交x轴于点D过点C作DB的垂线交DB的延长线于点E∵A（0 0）B（3 1）∴OD＝3 BD＝1∵∠ABC＝90°∠ADB＝90°∴∠CBE+∠OBD＝90°∠BAD+∠OBD＝90°∴∠BAD＝∠CBE∵AB＝BC∠ADB＝∠BEC＝90°∴△ABD≌△BCE（AAS）∴CE＝BD＝1 BE＝AD＝3∴DE＝4∴点C的横坐标为3﹣1＝2∴点C坐标为（2 4）．6．如图1 在平面直角坐标系中点A（0 m）B（m0）C（0 ﹣m）其中m＞0 点P为线段OA上任意一点连接BP CE⊥BP于E AD⊥BP于D．（1）求证：AD＝BE；（2）当m＝3时若点N（﹣3 0）请你在图1中连接CD EN交于点Q．求证：EN ⊥CD；（3）若将“点P为线段OA上任意一点”改为“点P为线段OA延长线上任意一点”其他条件不变连接CD EN⊥CD垂足为F交y轴于点H交x轴于点N请在图2中补全图形求点N的坐标（用含m的代数式表示）．【解答】（1）证明：如图1中∵A（0 m）B（m0）C（0 ﹣m）∴OA＝OB＝OC＝m∴∠ABC＝90°∵OB⊥AC OA＝OC∴BA＝BC∵CE⊥BP于E AD⊥BP于D∴∠ADB＝∠CEB＝90°∵∠CBE+∠ABD＝90°∠CBE+∠BCE＝90°∴∠ABD＝∠BCE在△ADB和△BEC中∴△ADB≌△BEC（AAS）∴AD＝BE．（2）证明：如图1中设CD交ON于点J EN交CD于点K．∵N（﹣3 0）m＝3∴OA＝OB＝OC＝ON＝3∴AC＝BN∵∠ADP＝∠BOP＝90°∠APD＝∠BPO∴∠DAC＝∠EBN在△ACD和△BNE中∴△ACD≌△BNE（SAS）∴∠ACD＝∠BNE∵∠ACD+∠CJO＝90°∠CJO＝∠NJK∴∠CNE+∠NJK＝90°∴∠NKJ＝90°∴CD⊥EN．（3）解：如图2中∵CE⊥BP于E AD⊥BP于D ∴∠ADB＝∠CEB＝90°∵∠CBE+∠ABD＝90°∠CBE+∠BCE＝90°∴∠ABD＝∠BCE在△ADB和△BEC中∴△ADB≌△BEC（AAS）∴AD＝BE．∠BAD＝∠CBE∵∠CAB＝∠CBO＝45°∴∠CAD＝∠EBN∵EN⊥CD∴∠CFH＝∠NOH∵∠NHO＝∠CHF∴∠ACD＝∠HNO在△CAD和△NBE中∴△CAD≌△NBE（AAS）∴AC＝BN＝2m∴ON＝BN﹣OB＝m∴N（﹣m0）．7．如图1 在平面直角坐标系内A（﹣6 0）B（0 9）C（0 4）连接AB、AC点D为x轴正半轴上一点且S△ACD＝S△ABC．（1）求点D的坐标；（2）如图2 延长DC交AB于点E AE＝AC求点E的坐标；（3）如图3 在（2）的条件下点P在第三象限连接AP、BP、CP若∠CAP＝90°∠BAC＝2∠PCO BP交x轴于点K求点K的坐标．【解答】解：（1）∵A（﹣6 0）B（0 9）C（0 4）∴AO＝6 OB＝9 OC＝4∴BC＝OB﹣OC＝9﹣4＝5∴S△ACB＝×5×6＝15∵S△ACD＝×4•AD＝2AD S△ACD＝S△ABC．∴2AD＝×15∴AD＝10∴OD＝AD﹣OA＝10﹣6＝4∴D（4 0）；（2）过点E作FH∥AD交y轴于点H过点A作F A⊥AD交FH于点F∵x轴⊥y轴∴∠AOB＝90°∵FH∥AD∴∠FHO＝90°∵F A⊥AD∴∠F AO＝90°∵FH∥AD∴∠AFH+∠F AD＝180°∴∠AFH＝90°∴∠AFH＝∠FHO＝∠F AO＝∠AOB＝90°∴四边形AFHO是矩形∵AE＝AC∴∠AEC＝∠ACE∵OC＝OD∴∠COD＝90°∴∠CDO＝∠DCO＝45°∵FH∥AD∠CEH＝∠CDO＝45°且∠AEF+∠AEC+∠CEH＝180°∠ACO+∠ACE+∠DCO＝180°∴∠AEF＝∠ACO在△AEF和△ACO中∴△AEF≌△ACO（AAS）∴AF＝AO EF＝CO＝4∴矩形AFHO为正方形∴AO＝FH＝6∴EH＝FH﹣EF＝6﹣4＝2∴E（﹣2 6）；（3）∵∠BAC＝2∠PCO设∠PCO＝α∴∠BAC＝2α∵AE＝AC∴∠AEC＝∠ACE＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣α∵∠DCO＝45°∴∠ACP＝180°﹣∠DCO﹣∠PCO﹣∠ECA＝180°﹣45°﹣α﹣（90°﹣α）＝45°∵∠CAP＝90°∴∠APC＝180°﹣∠CAP﹣∠ACP＝180°﹣90°﹣45°＝45°∴∠ACP＝∠CAP∴AC＝AP过点A作HR⊥x轴．过点C作CH⊥HR过点P作RT⊥HR∴∠H＝∠CAP＝∠R＝90°∵∠HAC+∠HCA＝180°﹣∠H＝180°﹣90°＝90°∠HAC+∠RAP＝180°﹣∠CAP ＝180°﹣90°＝90°∴∠HCA＝∠RAP在△CHA和△ARP中∴△CHA≌△ARP（AAS）∴HC＝AR HA＝RP∵OA＝6 OC＝4 TB＝OB+OT＝9+6＝15∴HC＝AR＝6∴HA＝RP＝4∴PT＝RT﹣RP＝6﹣4＝2设KO＝a S△BPT＝S梯形KOTP+S△BKO∴（KO+PT）•OT+KO•OB∴×（a+2）×6+a×9解得a＝∴K（﹣0）．8．从反思中总结基本活动经验是一个重要的学习方法．例如我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想从而借助已有经验迅速解决问题．（1）如图1 在平面直角坐标系中四边形OBCD是正方形且D（0 2）点E是线段OB延长线上一点M是线段OB上一动点（不包括点O、B）作MN⊥DM垂足为M且MN＝DM．设OM＝a请你利用基本活动经验直接写出点N的坐标（2+a a）（用含a的代数式表示）；（2）基本经验有利有弊当基本经验有利于新问题解决的时候这是基本经验的正迁移；当基本经验所形成的思维定势局限了新问题的思考让新问题解决不出来的时候这是基本经验的负迁移．例如如果（1）的条件去掉“且MN＝DM”加上“交∠CBE的平分线与点N”如图2 求证：MD＝MN．如何突破这种定势获得问题的解决请你写出你的证明过程．（3）如图3 请你继续探索：连接DN交BC于点F连接FM下列两个结论：①FM 的长度不变；②MN平分∠FMB请你指出正确的结论并给出证明．【解答】（1）解：如图1中作NE⊥OB于E∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NME＝90°∠NME+∠MNE＝90°∴∠DMO＝∠MNE在△DMO和△MNE中∴△DMO≌△MNE∴ME＝DO＝2 NE＝OM＝a∴OE＝OM+ME＝2+a∴点N坐标（2+a a）故答案为N（2+a a）．（2）证明：如图2中在OD上取OH＝OM连接HM∵OD＝OB OH＝OM∴HD＝MB∠OHM＝∠OMH ∴∠DHM＝180°﹣45°＝135°∵NB平分∠CBE∴∠NBE＝45°∴∠NBM＝180°﹣45°＝135°∴∠DHM＝∠NBM ∵∠DMN＝90°∴∠DMO+∠NMB＝90°∵∠HDM+∠DMO＝90°∴∠HDM＝∠NMB在△DHM和△MBN中∴△DHM≌△MBN（ASA）∴DM＝MN．（3）结论：MN平分∠FMB成立．证明：如图3中在BO延长线上取OA＝CF在△AOD和△FCD中∴△DOA≌△DCF∴AD＝DF∠ADO＝∠CDF∵∠MDN＝45°∴∠CDF+∠ODM＝45°∴∠ADO+∠ODM＝45°∴∠ADM＝∠FDM在△DMA和△DMF中∴△DMA≌△DMF∴∠DFM＝∠DAM＝∠DFC过M作MP⊥DN于P则∠FMP＝∠CDF 由（2）可知∠NMF+∠FMP＝∠PMN＝45°∵∠NMB＝∠MDO∠MDO+∠CDF＝45°∴∠NMB＝∠NMF即MN平分∠FMB．（在旋转过程中FM＝AM显然AM的长度是变化的故FM的长度是变化的或取两个特殊位置比较AM的值即可发现结论）．。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 手拉手综合应用(解析版)

手拉手综合应用应用：①利用手拉手模型证明三角形全等便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型难度比较大。

【类型一：等边三角形中的手拉手模型】【典例1】阅读与理解：如图1 等边△BDE按如图所示方式设置．操作与证明：（1）操作：固定等边△ABC将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°连接AD CE 如图2；在图2中请直接写出线段CE与AD之间具有怎样的大小关系．（2）操作：若将图1中的△BDE绕点B按逆时针方向旋转任意一个角度α（60°＜α＜180°）连接AD CE AD与CE相交于点M连BM如图3；在图3中线段CE 与AD之间具有怎样的大小关系？∠EMD的度数是多少？证明你的结论．猜想与发现：（3）根据上面的操作过程请你猜想在旋转过程中∠DMB的度数大小是否会随着变化而变化？请证明你的结论．【解答】解：（1）EC＝AD；∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转120°∴∠ABD＝∠CBE在△EBC和△DBA中∴△EBC≌△DBA（SAS）∴EC＝AD；（2）EC＝AD∠EMD＝60°理由如下：设AD与BE交于点O∵将△BDE绕点B按逆时针方向旋转α度∴∠EBC＝∠DBA＝α∵△ABC与△BDE是等边三角形∴BC＝AB BD＝BE∴△EBC≌△DBA（SAS）∴EC＝AD∠CEB＝∠ADB∵∠EOM＝∠DOB∴∠EMD＝∠EBD＝60°（3）不变理由如下：过点B作BH⊥AD于点H BF⊥EC于点F ∵△EBC≌△DBA∴S△EBC＝S△DBA AD＝EC∴BH＝BF∴MB平分∠DMC∴∠DMB＝∴∠DMB的度数大小不变【变式1-1】如图△ABC和△DCE都是等边三角形且B C D三点在一条直线上连接AD BE相交于点P．（1）求证：BE＝AD．（2）求∠APB的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等边三角形∴BC＝AC CE＝CD∠ACB＝∠ECD＝60°∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE即∠ACD＝∠BCE∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE．（2）解：由（1）可得△ACD≌△BCE（SAS）∴∠DAC＝∠EBC．∵∠ACB＝∠DAC+∠ADC＝60°∴∠EBC+∠ADC＝∠APB＝60°即∠APB＝60°．【变式1-2】（1）问题发现：如图①△ABC和△EDC都是等边三角形点B、D、E在同一条直线上连接AE．①∠AEC的度数为；②线段AE、BD之间的数量关系为；（2）拓展探究：如图②△ABC和△EDC都是等腰直角三角形、∠ACB＝∠DCE＝90°点B、D、E在同一条直线上CM为△EDC中DE边上的高连接AE试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BM之间的数量关系并说明理由；（3）解决问题：如图③△ABC和△EDC都是等腰三角形∠ACB＝∠DCE＝36°点B、D E在同一条直线上请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．【解答】解：（1）①∵△ABC和△DCE都是等边三角形∴CE＝CD CA＝CB∠ECD＝∠ACB＝60°∴∠ECD﹣∠ACD＝∠ACB﹣∠ACD即∠ECA＝∠DCB在△ECA和△DCB中∴△ECA≌△DCB（SAS）∴∠AEC＝∠BDC＝120°故答案为：120°；②∵△ECA≌△DCB∴AE＝BD故答案为：AE＝BD；（2）CM+AE＝BM理由如下：∵△DCE是等腰直角三角形∠CDE＝45°∴∠CDB＝135°由（1）得△ECA≌△DCB∴∠CEA＝∠CDB＝135°AE＝BD∵∠CEB＝45°∴∠AEB＝∠CEA﹣∠CEB＝90°∵△DCE都是等腰直角三角形CM为△DCE中DE边上的高∴CM＝EM＝MD∴CM+AE＝BM；（3）∵△DCE是等腰三角形∠DCE＝36°∴∠CDE＝72°∴∠CDB＝108°∵△ECA≌△DCB∴∠CEA＝∠CDB＝108°∴∠EAC+∠ECA＝72°∵△ABC是等腰三角形∠ACB＝36°∴∠CAB＝72°∴∠EAB+∠ECB＝∠EAC+∠CAB+∠ECA+∠ACB＝72°+72°+36°＝180°【类型二：等腰三角形的手拉手模型】【典例2】在△ABC中AB＝AC点D是直线BC上一点（不与B、C重合）以AD为一边在AD的右侧作△ADE使AD＝AE∠DAE＝∠BAC连接CE．（1）如图1 当点D在线段BC上时∠BAC＝90°①求证：BD＝CE；②∠BCE＝；（2）设∠BCE＝a∠BAC＝β①如图2 当点D在线段BC上移动求证α+β＝180°；②当点D在射线BC的反向延长线上移动则a、β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．【解答】（1）①证明：∵AB＝AC AD＝AE∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE＝90°∴∠BAD＝∠CAE在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE；②由①知△ABD≌△ACE∴∠B＝∠ACE∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝∠ACB+∠B又∵∠BAC＝90°∴∠BCE＝90°故答案为：90°；（2）①证明：∵AB＝AC AD＝AE∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE∴∠BAD＝∠CAE在△ABD与△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠B＝∠ACE∴∠B+∠ACB＝α∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°∴α+β＝180°；②α＝β．理由如下：如图由①同理得△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE∴∠BAC+∠ACB＝∠ACB+∠BCE∴∠BAC＝∠BCE即α＝β．【变式2-1】如图△ABC和△ADE都是等腰直角三角形CE与BD相交于点M BD交AC于点N．证明：（1）BD＝CE；（2）BD⊥CE．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠CAE＝∠BAD在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE（2）∵△ABD≌△ACE∴∠ABN＝∠ACE∵∠ANB＝∠CND∴∠ABN+∠ANB＝∠CND+∠NCE＝90°∴∠CMN＝90°即BD⊥CE．【变式2-2】如图在△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC点D为直线BC上一动点连接AD以AD为直角边作等腰直角三角形ADF．（1）如图1 若当点D在线段BC上时（不与点B、C重合）证明：△ACF≌△ABD；（2）如图2 当点D在线段BC的延长线上时试猜想CF与BD的数量关系和位置关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°△ADF是等腰直角三角形∴∠CAF+∠CAD＝90°∠BAD+∠ACD＝90°∴∠CAF＝∠BAD在△ACF和△ABD中∴△ACF≌△ABD（SAS）（2）解：CF＝BD CF⊥BD．理由：∵∠CAB＝∠DAF＝90°∴∠CAB+∠CAD＝∠DAF+∠CAD即∠CAF＝∠BAD在△ACF和△ABD中∴△ACF≌△ABD（SAS）∴CF＝BD∠ACF＝∠B∵AB＝AC∠BAC＝90°∴∠B＝∠ACB＝45°∴∠BCF＝∠ACF+∠ACB＝45°+45°＝90°∴CF⊥BD【类型三：直角三角形中的手拉手模型】【典例3】△ABC与△BDE均为等腰直角三角形∠ABC＝∠DBE＝90°．（1）如图1 当D B C在同一直线时CE的延长线与AD交于点F．求证：∠CF A ＝90°；（2）当△ABC与△BDE的位置如图2时CE的延长线与AD交于点F猜想∠CF A的大小并证明你的结论；（3）如图3 当A E D在同一直线时（A D在点E的异侧）CE与AB交于点G∠BAD＝∠ACE求证：BG+AB＝AC．【解答】（1）证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形∴AB＝BC BD＝BE∠ABC＝∠DBE＝90°在△ABD和△CBE中∴△ABD≌△CBE（SAS）∴∠BAD＝∠BCE∵∠BAD+∠AFE+∠FEA＝∠BCE+∠ABC+∠BEC＝180°又∵∠FEA＝∠BEC∴∠CF A＝∠ABC＝90°．（2）解：∠CF A＝90°．理由如下：同理可证△ABD≌△CBE（SAS）∴∠BAD＝∠BCE∴∠CF A＝∠ABC＝90°．（3）过点G作GH⊥AC于点H同（2）可知∠BAD＝∠BCE∵∠BAD＝∠ACE∴∠ACE＝∠BCE∵AB⊥BC GH⊥AC∴BG＝GH∵∠BAC＝45°∴∠BAC＝∠AGH＝45°∴GH＝AH∴AH＝BG在Rt△BCG和Rt△HCG中∴Rt△BCG≌Rt△HCG（HL）∴BC＝CH∴AC＝AH+CH＝BG+BC＝BG+AB．【变式3-1】如图：已知△ABC中∠BAC＝90°AB＝AC点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合）以AD为边作△ADE使∠DAE＝90°AD＝AE连接CE．发现问题：如图1 当点D在边BC上时（1）请写出BD和CE之间的位置关系为BD⊥CE并猜想BC和CE、CD之间的数量关系：．（2）如图2 当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时（1）中BD和CE之间的位置关系；BC和CE、CD之间的数量关系是否成立？若成立请证明；若不成立请写出新的数量关系说明理由；【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB＝45°∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD即∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE∠ACE＝∠ABD＝45°∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°BC＝CD+BD＝CD+CE∴BD⊥CE故答案为：BD⊥CE；BC＝CD+CE；（2）BD⊥CE成立数量关系不成立关系为BC＝CE﹣CD．理由如下：如图2 ∵∠BAC＝∠DAE＝90°∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD即∠BAD＝∠CAE在△ABD和△ACE中∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE∠ACE＝∠ABC∴BD＝BC+CD∠ACE+∠ACB＝90°∴BD⊥CE；BC＝CE﹣CD；【类型四：作辅助线构造手拉手模型】【典例4】在△ABC中AB＝AC∠ABC＝α点D是直线BC上一点点C关于射线AD 的对称点为点E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．（1）如图1 点D在线段BC上补全图形求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；（2）如果∠α＝60°①如图2 当点D在线段BC上时用等式表示线段AF BF CF之间的数量关系并证明；②如图3 当点D在线段CB的延长线上时直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．【解答】解：（1）补全图形如下连接AE∵点E为点C关于AD的对称点∴AE＝AC EF＝FC∠EAD＝∠CAD 设∠EAD＝∠CAD＝x∴∠CAE＝2x∵AB＝AC∴∠ACB＝∠ABCα．∴∠BAE＝180°﹣2x﹣2α∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α∵AE＝AB∴∠ABE＝∠AEB＝x+α∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；（2）①AF＝BF+CF．延长FB至点G使FG＝F A连接AG∵AB＝AC∴∠ABC＝α＝60°∴△ABC为等边三角形∠BAC＝60°由（1）知∠AFB＝α＝60°∴△AFG为等边三角形∴AG＝AF∠GAF＝60°∴∠GAB＝∠F AC在△ABG和△ACF中∴△ABG≌△ACF（SAS）∴BG＝CF∴CF+BF＝BG+BF＝GF∵GF＝AF∴AF＝BF+CF；②结论为：CF＝AF+BF．连接AE．∵点E为点C关于AD的对称点∴AE＝AC EF＝FC∠EAD＝∠CAD 设∠EAD＝∠CAD＝x∴∠CAE＝2x∵AB＝AC＝AE∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°．∴∠DAB＝x﹣60°∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°∵AE＝AB∴∠ABE＝∠AEB＝＝120°﹣x∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°在BE上取点G使得FG＝F A连接AG∴△AFG为等边三角形∴AG＝AF∠GAF＝60°∴∠GAE＝∠F AB＝x﹣60°在△AGE与△AFB中∴△AGE≌△AFB（SAS）∴BF＝EG∴EF＝EG+FG＝BF+AF∴CF＝EF＝BF+AF．【变式4】如图1 已知△ABC是等边三角形点D是BC边上一点．（1）以AD为边构造等边△ADE（其中点D、E在直线AC两侧）连接CE猜想CE 与AB的位置关系并证明你的结论；（2）若过点C作CM∥AB在CM上取一点F连AF、DF使得AF＝DF试猜想△ADF的形状并证明你的结论．【解答】解：（1）CE∥AB证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形∴AB＝AC AD＝AE∠BAC＝∠DAE＝60°＝∠ABC∴∠BAD＝∠CAE在△BAD和△CAE中∴△BAD≌△CAE（SAS）∴∠ABD＝∠ACE＝60°∴∠BAC＝∠ACE∴CE∥AB；（2）延长BC至点G使得CG＝CF作FH⊥CG于点H 作FN⊥AC于点N∵CM//AB∴∠FCG＝∠B＝60°∴△CFG是等边三角形∴CF＝FG又∴∠ACF＝∠BAC＝60°∴∠FCN＝∠G＝60°∵∠FMC＝∠FHG＝90°∴△NFC≌△HFG（AAS）∴NF＝FH又∵AF＝DF∴Rt△AFN≌Rt△DFH（HL）∴∠DFH＝∠AFN∴∠DFH+∠GFH＝∠AFN+∠NFC即∠AFC＝∠DFG∴∠AFD+∠DFC＝∠CFG+∠DFC∴∠AFD＝∠CFG＝60°∴△ADF是等边三角形．1．某校八年级数学兴趣小组的同学在研究三角形时把两个大小不同的等腰直角三角板按图①所示放置图②是由它抽象出的几何图形B C E在同一条直线上连接DC．（1）请找出图②中的全等三角形并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）试说明：DC与BE的位置关系．【解答】解：（1）△BAE≌△CAD理由如下：∵∠BAC＝∠EAD＝90°∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE即∠BAE＝∠CAD在△BAE和△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS）；（2）DC⊥BE理由如下：∵△BAC为等腰直角三角形∴∠B＝∠ACB＝45°∵△BAE≌△CAD∴∠CAD＝∠B＝45°∴∠ACD＝∠ACB+∠CAD＝90°∴DC⊥BE．2．如图△ABC和△DEC都是等边三角形D是BC延长线上一点AD与BE相交于点P AC、BE相交于点M AD、CE相交于点N．求证：（1）AD＝BE；（2）∠BMC＝∠ANC；（3）△CMN是等边三角形．【解答】证明：（1）∵△ABC和△DEC都是等边三角形∴AC＝BC CD＝CE∠ACB＝∠ECD＝60°∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE即∠BCE＝∠ACD在△BCE与△ACD中∴△BCE≌△ACD（SAS）∴AD＝BE；（2）∵∠ACB＝∠ACE＝60°由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD∴∠BMC＝∠ANC；（3）∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中∴△ACN≌△BCM（ASA）∴CM＝CN∴△CMN为等腰三角形∵∠MCN＝60°∴△CMN是等边三角形．3．已知：如图△ABC、△CDE都是等边三角形AD、BE相交于点O点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求∠DOE的度数；（2）求证：△MNC是等边三角形．【解答】（1）解：∵△ABC、△CDE都是等边三角形∴AC＝BC CD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD∴∠ACD＝∠BCE在△ACD和△BCE中∴△ACD≌BCE（SAS）∴∠ADC＝∠BEC∵等边三角形DCE∴∠CED＝∠CDE＝60°∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED＝∠ADC+60°+∠BED＝∠BEC+∠CED+60°＝∠DEC+60°＝60°+60°＝120°∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°；（2）证明：∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE AD＝BE AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点∴∴AM＝BN在△ACM和△BCN中∴△ACM≌△BCN（SAS）∴CM＝CN∠ACM＝∠BCN又∠ACB＝60°∴∠ACM+∠MCB＝60°∴∠BCN+∠MCB＝60°∴∠MCN＝60°∴△MNC是等边三角形．4．如图在平面直角坐标系中已知A（0 a）、B（﹣b0）且a、b满足+|a﹣2b+2|＝0．（1）求a b的值；（2）求证：∠OAB＝∠OBA；（3）若BE⊥AE求∠AEO的度数．【解答】（1）解：∵∴解得：故答案为：a＝2 b＝2．（2）证明：由（1）得：OA＝OB＝2∴∠OAB＝∠OBA．（3）解：如图过点O作OF⊥OE交AE于F∵∠AOF+∠BOF＝90°∠BOE+∠BOF＝90°∴∠AOF＝∠BOE∵BE⊥AE∴∠AEB＝90°又∵∠AOB＝90°∴∠OBE＝∠OAF在△OBE和△OAF中∴△OBE≌△OAF（ASA）∴OE＝OF∴△OEF为等腰直角三角形∴∠AEO＝45°．5．在平面直角坐标系中如图①直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A B两点OA、OB的长度分别为a和b且满足a2﹣2ab+b2＝0．（1）求∠BAO的度数．（2）如图②△COB和△AOB关于y轴对称点D在AB上点E在BC上且AD＝BE判断△DOE的形状并说明理由．（3）如图③在（2）结论下点D E分别在AB BC延长线上求证：∠BDE+∠COE ＝90°．【解答】（1）解：∵a2﹣2ab+b2＝0∴（a﹣b）2＝0∴a＝b又∵∠AOB＝90°∴△AOB为等腰直角三角形∴∠BAO＝45°；（2）解：结论：△DOE为等腰直角三角形理由如下：∵△AOB为等腰直角三角形∴∠BAO＝∠ABO＝45°BO＝AO∵△COB和△AOB关于y轴对称∴AB＝BC∠ABO＝∠CBO＝45°∵AD＝BE∴△OAD≌△OBE（SAS）∴OD＝OE∠AOD＝∠BOE∵∠AOD+∠DOB＝90°∴∠DOE＝∠DOB+∠BOE＝90°∴△DOE为等腰直角三角形；（3）证明：∵△DOE是等腰直角三角形∴∠DEO＝45°∴∠DEB+∠BEO＝45°∵∠ACB＝∠COE+∠BEO＝45°∴∠DEB＝∠COE∵∠ABC＝∠BDE+∠DEB＝90°∴∠BDE+∠COE＝90°．6．如图①在△ABC中∠A＝90°AB＝AC点D E分别在边AB AC上且AD＝AE．则CE＝BD．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转旋转角为α（0°＜α＜180°）．如图②连接CE BD．（1）如图②请直接写出CE与BD的数量关系．（2）将△ADE旋转至如图③所示位置时请判断CE与BD的数量关系和位置关系并加以证明．（3）在旋转的过程中当△BCD的面积最大时α＝135°．（直接写出答案即可）【解答】解：（1）CE＝BD理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE∴∠CAE＝∠BAD在△ACE与△ABD中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴CE＝BD；（2）CE＝BD CE⊥BD理由如下：设BD与CE的交点为F∵∠CAB＝∠EAD＝90°∠CAB﹣∠BAE＝∠EAD﹣∠BAE∴∠CAE＝∠BAD在△ACE与△ABD中∴△ACE≌△ABD（SAS）∴∠ACE＝∠ABD CE＝BD∴∠CAB＝∠CFB＝90°∴CE＝BD CE⊥BD；（3）在△BCD中边BC的长是定值则BC边上的高最大时△BCD的面积最大∴当点D在线段BC的垂直平分线上时△BCD的面积最大如图所示∵AB＝AC∠CAB＝90°DG⊥BC于G∴∠GAB＝45°∴∠DAB＝180°﹣45°＝135°即当△BCD的面积最大时旋转角α＝135°故答案为：135°．7．如图△ABC是等腰直角三角形∠ACB＝90°AB＝6．动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动．点P出发后连接CP以CP为直角边向右作等腰直角三角形CDP使∠DCP＝90°连接PD BD．设点P的运动时间为t秒．（1）△ABC的AB边上高为；（2）求BP的长（用含t的式子表示）；（3）就图中情形求证：△ACP≌△BCD；（4）当BP：BD＝1：2时直接写出t的值．【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形∠ACB＝90°AB＝6∴△ABC的AB边上高＝AB＝3故答案为：3；（2）解：∵AB＝6 动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度在射线AB上运动∴点P在线段AB上运动的时间为＝3（秒）当0＜t≤3时PB＝6﹣2t当t＞3时PB＝2t﹣6；（3）证明：∵△ABC是等腰直角三角形∠ACB＝90°∴AC＝BC∵∠PCD＝90°CP＝CD∴∠ACP+∠PCB＝90°∠PCB+∠BCD＝90°∴∠ACP＝∠BCD在△ACP与△CBD中∴△ACP≌△CBD（SAS）；（4）解：∵△ACP≌△CBD∴AP＝BD当BP：BD＝1：2时当0＜t≤3时解得：t＝2当BP：BD＝1：2时当t＞3时解得：t＝6综上所述t的值为2或6．8．问题发现：如图1 △ACB和△DCE均为等边三角形点A、D、E在同一直线上连接BE（1）填空：①∠AEB的度数为；②线段BE、AD之间的数量关系是．（2）拓展探究：如图2 △ACB和△DCE均为等腰三角形∠ACB＝∠DCE＝90°点A、D、E在同一直线上CM为△DCE中DE边上的高连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系并说明理由．【解答】解：（1）∵△ACB与△DCE都为等边三角形∴CA＝CB CD＝CE∠ACB＝∠DCE＝60°∠CDE＝∠CED＝60°∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝60°∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝60°∴∠ACD＝∠ECB∴在△ACD与△BCE中有∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠BEC＝∠ADC＝120°AD＝BE∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°故答案为：60°AD＝BE；（2）①∵△ACB与△DCE都为等腰直角三角形∴CA＝CB CD＝CE∠ACB＝∠DCE＝90°∠CDE＝∠CED＝45°∴∠ADC＝180°﹣∠CDE＝135°∵∠ACD+∠DCB＝∠ECB+∠DCB＝90°∴∠ACD＝∠ECB∴在△ACD与△BCE中有∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠BEC＝∠ADC＝135°AD＝BE∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝90°故∠AEB的度数为90°；②∵CM⊥DE△CDE为等腰直角三角形∴DM＝DE（三线合一）∴CM＝DE∴AE＝AD+DE＝BE+2CM即：线段CM、AE、BE之间的数量关系为：AE＝BE+2CM．9．如图1 在等腰直角三角形ABC中AB＝AC∠BAC＝90°点E F分别为AB AC 的中点H为线段EF上一动点（不与点E F重合）过点A作AG⊥AH且AG＝AH连接GC HB．（1）证明：△AHB≌△AGC；（2）如图2 连接GF HG HG交AF于点Q．①证明：在点H的运动过程中总有∠HFG＝90°；②当△AQG为等腰三角形时求∠AHE的度数．【解答】（1）证明：∵AG⊥AH∴∠AHG＝90°∵∠BAC＝∠AHG＝90°∴∠BAH＝∠GAC∵AB＝AC AG＝AH∴△AHB≌△AGC（SAS）；（2）①证明：∵点E F分别为AB AC的中点∴EF是△ABC的中位线∴EF∥BC∴∠AEH＝∠AFH＝45°AE＝AF∵∠EAH＝∠F AG AH＝AG∴△EAH≌△F AG（SAS）∴∠AFG＝∠AEH＝45°∴∠HF A＝90°；②当AQ＝QG时∠QAG＝∠AGQ∵AG⊥AH且AG＝AH∴∠AHG＝∠AGH＝45°∴∠AHG＝∠AGH＝∠HAQ＝∠QAG＝45°∴∠EAH＝∠F AH＝45°∵AE＝AF∴△AEH≌△AFH（SAS）∴∠AHE＝∠AHF∵∠AHE+∠AHF＝180°∴∠AHE＝∠AHF＝90°；当AG＝GQ时∠GAQ＝∠AQG∵∠AEH＝∠AGQ＝45°∴∠GAQ＝∠AQG＝67.5°∵∠EAQ＝∠HAG＝90°∴∠EAH＝∠GAQ＝67.5°∴∠AHE＝∠AQG＝67.5°；当AG＝AQ时∵H为线段EF上一动点∴不存在AG＝AQ的情况；综上所述所述：当△AQG为等腰三角形时∠AHE＝90°或67.5°．10．如图在△ABC和△AED中AC交DE于点O∠BAC＝∠EAD AB＝AC AE＝AD 连接BE、CD．（1）求证：BE＝CD；（2）延长DE交BC于F若∠BEF＝∠CDF求∠AEB的度数；（3）在（2）的条件下当AD＝BE时连接CE若BF＝4 求△DCE的面积．【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC∴∠BAE＝∠CAD在△BAE与△CAD中∴△BAE≌△CAD（SAS）∴BE＝CD；（2）∵AE＝AD∴∠AED＝∠ADE∵△BAE≌△CAD∴∠AEB＝∠ADC＝∠ADE+∠CDF∵∠BEF＝∠CDF∴∠AEB＝∠AED+∠BEF∵∠AEB+∠AED+∠BEF＝180°∴∠AEB＝90°；（3）∵AD＝BE AD＝AE∴BE＝AE∴∠EBA＝∠EAB∵∠EBA+∠EAB＝90°∴∠EBA＝∠EAB＝45°∴∠CAD＝∠BAE＝45°∵∠ADE＝90°﹣∠EAD∠ACB＝90°﹣∠BAC ∴∠ADE＝∠ACB∵∠AOF＝∠OAD+∠ODA∠AOF＝∠OFC+∠OCF ∴∠OAD＝∠OFC＝45°在DE上截取DP＝EF连接CP在△BEF与△CDP中∴△BEF≌△CDP（SAS）∴BF＝CP∠BFE＝∠CPD∵∠BFE+∠CFP＝180°∠CPD+∠CPF＝180°∴∠CFP＝∠CPF＝45°∴∠PCF＝90°∴CP＝CF＝4∴作CN⊥PF于N∵DP＝EF∴DE＝PF∵∴S△DEC＝S△PFC＝8．。

八年级上册数学几何难题突破

八年级上册数学几何难题突破-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20°，则该等腰三角形的底角的度为 .19.如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB 上，PM=PN ，若MN=2，则OM= .20.如图，在等边△ABC 中，D 为AB 上一点，连接CD ，在CD 上取一点E,∠BEC=120°，连接BE,若CD=314,BE=2,△ACD 的面积为3314，则△BCE 的面积为 .24.已知:如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BD⊥AD ，垂足为D ，过D 作DE∥AC ，交AB 于E ，（1）求证：AE=ED（2）若AB=5，求线段DE 的长．ED CBA（第19题（第20题图）PNM O25．已知:如图, △ABC 中,AB=AC, ∠BAC=90°,AD ⊥BC,AE 平分∠BAD 交BC 于点E, (1) 求证:AB=CE(2) 点M 在AB 上，BM=2DE ，连接MC 交AD 于点N ，若DN=1，求AB 的长27．已知：在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点, △ABC 的顶点A(-2,0),点B 、C 分别在x 轴正半轴上和y 轴正半轴上，∠ACB=90°，∠BAC=60°，（1）求点B 的坐标（2）动点E 从点B 出发以每秒1个单位的速度沿BC 向终点C 运动，设点E 的运动时间为t 秒，△ABE 的面积为S ，求S 与t 的关系式（3）在（2）的条件下，点E 出发的同时，动点F 从点C 出发以每秒1个单位的速度，沿CO 向终点O 运动，点F 停止时，点E 也随之停止。

连接EF ，EFH 3E DB EDB与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE＝CD；②FA平分∠EFC；③FE＝FD；④FE＋FC＝FA.其中一定正确的结论有( )A.1B.2C.3D.417. △ABC中，DF是AB的垂直平分线，交BC于D，EG是AC的垂直平分线，交BC于E，若∠DAE=20°，则∠BAC等于________°.19. 如图，等边△ABC中，E在BA延长线上，D在BC上，F是DE与AC的交点.若AB＝4，AE＝2，且ED＝EC，则AF＝________.20. 已知Rt△ABC中，AB＝AC，D为AB中点，BE⊥CD于E，BE＝2，CD＝5 则DE＝________.19题 20题25.如图，已知△ABC 和△DEF 均为等边三角形，且，AD ＝2CD ，EF 的延长线交CA 的延长线于点M. 求证：EF ＝FM.25.已知Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°，AD ⊥BC ， ⑴ 如图1，求证：BC ＝4CD ；⑵ 如图2，延长CA 至E ，EA ＝CA ，连接ED ，CM 是△ABC 外角的角平分线，作∠EDF ＝60°，交CM 于F ，交AC 于H ，若DE ＝4，求DH 的长.图1 图28.如图，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=16，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=4，则OM=（）A．3 B．4 C．5 D．69.如图，△ABC中，AB=AC，BD=CE，BE=CF，若∠A=50°，则∠DEF的度数是（）A．75°B．70°C．65°D．60°10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（）A．①③④⑤B．①②④⑤C．①②③⑤D．①②③④17.如图，在凸四边形ABCD中，连接BD，已知AB=BC=BD，∠ABC=80°，则∠ADC=18.如图，△ABC中，∠A=60°，将△ABC沿DE翻折后，点A落在BC边上的点A′处．如果∠A′EC=70°，那么∠A′DE的度数为19.等腰△ABC被一腰上的中线分成两个三角形周长之差为2，若等腰△ABC 的底边长为6，则等腰△ABC的腰长为20.如图，在直角三角形ABC中∠BAC=90°，AB=3，M为BC上一点，连接AM．如果将三角形ABM沿直线AM翻折后，点B恰好与边AC的中点D重合，那么点M到直线AC的距离为1720 23.（7分）如图，在△ABC中，∠B=60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE，使EC=DE，求证：△ABC是等边三角形．25. 如图，已知，△ABC和△ADE均为等边三角形，BD、CE交于点F．（1）求证：BD=CE；（2）求锐角∠BFC的度数．27.在平面直角坐标系中，如图所示，△AOB是边长为2的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．（1）求证：OC=AD；（2）若A到OB的距离为3，求OC的长和C点坐标.28. 如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）何时△PBQ是直角三角形？（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版) 三角形基础分类巩固训练(解析版)

三角形基础分类巩固训练1．在三角形中一定能将其面积分成相等两部分的是（）A．中线B．高线C．角平分线D．某一边的垂直平分线【答案】A【解答】解：根据同底等高的两个三角形面积相等可知在三角形中三角形的中线一定能将其面积分成相等两部分故选：A．2．如图为估计池塘岸边A、B的距离小方在池塘的一侧选取一点O测得OA＝17米OB＝9米A、B间的距离不可能是（）A．23米B．8米C．10米D．18米【答案】B【解答】解：∵OA＝17米OB＝9米∴17﹣9＜AB＜17+9即：8＜AB＜26故选：B3．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定【答案】C【解答】解：A、锐角三角形三条高线交点在三角形内故错误；B、钝角三角形三条高线不会交于一个顶点故错误；C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点可以得出这个三角形是直角三角形故正确；D、能确定C正确故错误．故选：C．4．如图AD是△ABC的中线已知△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm则△ACD 的周长为（）A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的中线∴BD＝CD∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC∵△ABD的周长为25cm AB比AC长6cm∴△ACD周长为：25﹣6＝19cm．故选：A．5．在△ABC中AB＝3 AC＝2 BC＝a a的值可能是（）A．1B．3C．5D．7【答案】B【解答】解：∵△ABC中AB＝3 AC＝2 BC＝a∴1＜a＜5∴B符合故选：B．6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3cm5cm7cm B．3cm3cm7cmC．4cm4cm8cm D．4cm5cm9cm【答案】A【解答】解：A．∵A3+5＝8＞7∴能组成三角形符合题意；B．∵3+3＜7∴不能组成三角形不符合题意；C．∵4+4＝8∴不能组成三角形不符合题意；D．∵4+5＝9∴不能组成三角形不符合题意．故选：A．7．如图所示四个图形中线段BE能表示三角形ABC的高的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由题意线段BE能表示三角形ABC的高时BE⊥AC于E．A选项中BE与AC不垂直；C选项中BE与AC不垂直；D选项中BE与AC不垂直；∴线段BE是△ABC的高的图是B选项．故选：B．8．如图已知△ABC中点D、E分别是边BC、AB的中点．若△ABC的面积等于8 则△BDE的面积等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】A【解答】解：∵点D是边BC的中点△ABC的面积等于8∴S△ABD＝S△ABC＝4∵E是AB的中点∴S△BDE＝S△ABD＝4＝2故选：A．9．若△ABC的三边长分别为m﹣2 2m+1 8．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC的三边均为整数求△ABC的周长．【解答】解：（1）根据三角形的三边关系解得：3＜m＜5；（2）因为△ABC的三边均为整数且3＜m＜5 所以m＝4．所以△ABC的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．10．若三角形三个内角度数比为2：3：4 则这个三角形一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】A【解答】解：设三个内角度数为2x、3x、4x由三角形内角和定理得2x+3x+4x＝180°解得x＝20°则三个内角度数为40°、60°、80°则这个三角形一定是锐角三角形故选：A．11．如图直线a∥b在Rt△ABC中点C在直线a上若∠1＝58°∠2＝24°则∠A的度数为（）A．56°B．34°C．36°D．24°【答案】B【解答】解：如图∵∠1＝54°a∥b∴∠3＝∠1＝58°．∵∠2＝24°∠A＝∠3﹣∠2∴∠A＝58°﹣24°＝34°．故选：B．12．如图将一副直角三角板按如图所示叠放其中∠C＝90°∠B＝45°∠E＝30°则∠BFD的大小是（）A．10°B．15°C．25°D．30°【答案】B【解答】解：∵∠B＝45°∴∠BAC＝45°∴∠EAF＝135°∴∠AFD＝135°+30°＝165°∴∠BFD＝180°﹣∠AFD＝15°故选：B．13．如图在△ABC中∠A＝70°∠B＝60°∠ACD是△ABC的一个外角∠ACD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．130°【答案】D【解答】解：∵△ABC中∠A＝70°∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣70°﹣60°＝50°∴∠ACD＝180°﹣50°＝130°故选：D．14．如图已知△ABC为直角三角形∠C＝90°若沿图中虚线剪去∠C则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°【答案】C【解答】解：∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．15．如图直线AB∥CD如果∠EFB＝31°∠END＝70°那么∠E的度数是（）A．31°B．40°C．39°D．70°【答案】C【解答】解：∵直线AB∥CD∴∠EMB＝∠END＝70°∵∠EFB＝31°∠EMB＝∠E+∠EFB∴∠E＝70°﹣31°＝39°故选：C．16．如图在△ABC中∠BCA＝40°∠ABC＝60°．若BF是△ABC的高与角平分线AE相交于点O则∠EOF的度数为（）A．130°B．70°C．110D．100°【答案】A【解答】解：∵∠BCA＝40°∠ABC＝60°∴∠BAC＝180°﹣∠BCA﹣∠ABC＝180°﹣40°﹣60°＝80°．∵AE是∠BAC的平分线∴∠EAC＝∠BAC＝40°．∵BF是△ABC的高∴∠BF A＝90°．∴∠AOF＝90°﹣∠EAC＝90°﹣40°＝50°．∴∠EOF＝180°﹣∠AOF＝180°﹣50°＝130°．故选：A．17．如图已知△ABC的外角∠CAD＝120°∠C＝80°则∠B的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】B【解答】解：∵∠CAD＝∠B+∠C∠CAD＝120°∠C＝80°∴∠B＝∠CAD﹣∠C＝120°﹣80°＝40°故选：B18．如图在△ABC中AD是BC边上的高AE BF分别是∠BAC∠ABC的平分线．∠BAC＝50°∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（）A．75°B．80°C．85°D．90°【答案】A【解答】解：∵AD是BC边上的高∠ABC＝60°∴∠BAD＝30°∵∠BAC＝50°AE平分∠BAC∴∠BAE＝25°∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°∵△ABC中∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．故选：A．19．已知直线a∥b Rt△DCB按如图所示的方式放置点C在直线b上∠DCB＝90°若∠B＝20°则∠1+∠2的度数为（）A．90°B．70°C．60°D．45°【答案】B【解答】解：如图延长BD交直线b于点M．∵∠DCB＝90°∠B＝20°∴∠BDC＝90°﹣20°＝70°∵a∥b∴∠1＝∠BMC∵∠BDC＝∠DMC+∠2＝∠1+∠2∴∠1+∠2＝70°故选：B20．如图在△ABC中∠A＝50°∠1＝30°∠2＝40°∠D的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°【答案】B【解答】解：∴∠A＝50°∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°∴∠DBC+∠DCB＝∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2＝130°﹣30°﹣40°＝60°∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝120°故选：B．21．如图将△ABC沿MN折叠使MN∥BC点A的对应点为点A' 若∠A'＝32°∠B ＝112°则∠A'NC的度数是（）A．114°B．112°C．110°D．108°【答案】D【解答】解：∵MN∥BC∴∠MNC+∠C＝180°又∵∠A+∠B+∠C＝180°∠A＝∠A′＝32°∠B＝112°∴∠C＝36°∠MNC＝144°．由折叠的性质可知：∠A′NM+∠MNC＝180°∴∠A′NM＝36°∴∠A′NC＝∠MNC﹣∠A′NM＝144°﹣36°＝108°．故选：D．22．已知：如图点D、E、F、G都在△ABC的边上DE∥AC且∠1+∠2＝180°（1）求证：AD∥FG；（2）若DE平分∠ADB∠C＝40°求∠BFG的度数．【解答】证明：（1）∵DE∥AC∴∠2＝∠DAC∵∠l+∠2＝180°∴∠1+∠DAC＝180°∴AD∥GF（2）∵ED∥AC∴∠EDB＝∠C＝40°∵ED平分∠ADB∴∠2＝∠EDB＝40°∴∠ADB＝80°∵AD∥FG∴∠BFG＝∠ADB＝80°23．在△ABC中CD平分∠ACB交AB于点D AH是△ABC边BC上的高且∠ACB＝70°∠ADC＝80°求：（1）∠BAC的度数．（2）∠BAH的度数．【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB∠ACB＝70°∴∠ACD＝∠ACB＝35°∵∠ADC＝80°∴∠BAC＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣35°﹣80°＝65°；（2）由（1）知∠BAC＝65°∵AH⊥BC∴∠AHC＝90°∴∠HAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣70°＝20°∴∠BAH＝∠BAC﹣∠HAC＝65°﹣20°＝45°．24．如图在△ABC中点E在AC上点F在AB上点G在BC上且EF∥CD∠1+∠2＝180°．（1）求证：GD∥CA；（2）若CD平分∠ACB DG平分∠CDB且∠A＝40°求∠ACB的度数．【解答】证明：（1）∵EF∥CD∴∠1+∠3＝180°．∵∠1+∠2＝180°∴∠2＝∠3．∴AC∥GD．（2）∵CD平分∠ACB DG平分∠CDB∴∠3＝∠ACB∠2＝∠GDB＝∠CDB．∵∠CDB＝∠A+∠3 ∠2＝∠3∴2∠3＝∠A+∠3．∴∠3＝∠A＝40°．∴∠ACB＝80°．25．如图在△ABC中∠B＝31°∠C＝55°AD⊥BC于D AE平分∠BAC交BC于E DF⊥AE于F求∠ADF的度数．【解答】解：∵∠B＝31°∠C＝55°∴∠BAC＝94°∵AE平分∠BAC∴∠BAE＝∠BAC＝47°∴∠AED＝∠B+∠BAE＝31°+47°＝78°∵AD⊥BC DF⊥AE∴∠EFD＝∠ADE＝90°∴∠AED+∠EDF＝∠EDF+∠ADF∴∠ADF＝∠AED＝78°．26．如图在△ABC中AD平分∠BAC AE⊥BC若∠BAD＝40°∠C＝70°求∠DAE的度数．【解答】解：∵AD平分∠BAC∴∠BAC＝2∠BAD＝80°∵∠C＝70°∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣70°﹣80°＝30°∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝30°+40°＝70°∵AE⊥BC∴∠AEB＝90°∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣70°＝20°．27．一个正多边形它的一个内角恰好是一个外角的3倍则这个正多边形是（）A．正十二边形B．正十边形C．正八边形D．正六边形【答案】C【解答】解：设这个正多边的一个外角为x°由题意得：x+3x＝180解得：x＝45360°÷45°＝8．28．若一个多边形的内角和等于1800°这个多边形的边数是（）A．6B．8C．10D．12【答案】D【解答】解：设这个多边形是n边形根据题意得（n﹣2）×180＝1800解得n＝12∴这个多边形是12边形．故选：D．29．如图足球图片中的一块黑色皮块的内角和是（）A．720°B．540°C．360°D．180°【答案】B【解答】解：∵黑色皮块是正五边形∴黑色皮块的内角和是（5﹣2）×180°＝540°．故选：B．30．如图已知∠1+∠2+∠3＝240°那么∠4的度数为（）A．60°B．120°C．130°D．150°【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2+∠3+∠4＝360°∠1+∠2+∠3＝240°∴∠4＝360°﹣（∠1+∠2+∠3）＝360°﹣240°故选：B．31．若一个正多边形的每个内角都是120°则这个正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】A【解答】解：解法一：设所求正多边形边数为n则120°n＝（n﹣2）•180°解得n＝6 ∴这个正多边形是正六边形．解法二：∵正多边形的每个内角都等于120°∴正多边形的每个外角都等于180°﹣120°＝60°又∵多边形的外角和为360°∴这个正多边形边数＝360°÷60°＝6．故选：A．32．小丽利用最近学习的数学知识给同伴出了这样一道题：假如从点A出发沿直线走6米后向左转θ接着沿直线前进6米后再向左转θ……如此下法当他第一次回到A 点时发现自己走了72米θ的度数为（）A．28°B．30°C．33°D．36°【答案】B【解答】解：∵第一次回到出发点A时所经过的路线正好构成一个正多边形∴多边形的边数为：72÷6＝12．根据多边形的外角和为360°∴他每次转过的角度θ＝360°÷12＝30°．故选：B．33．将正六边形与正五边形按如图所示方式摆放公共顶点为O且正六边形的边AB与正五边形的边DE在同一条直线上则∠COF的度数是（）A．74°B．76°C．84°D．86°【答案】C【解答】解：由题意得：∠EOF＝108°∠BOC＝120°∠OEB＝72°∠OBE＝60°∴∠BOE＝180°﹣72°﹣60°＝48°∴∠COF＝360°﹣108°﹣48°﹣120°＝84°故选：C．34．小明把一副含45°30°的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°∠A＝45°∠D＝30°则∠α+∠β等于（）A．280°B．285°C．290°D．295°【答案】B【解答】解：∵∠C＝∠F＝90°∠A＝45°∠D＝30°∴∠2+∠3＝180°﹣∠D＝150°∵∠α＝∠1+∠A∠β＝∠4+∠C∵∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴∠α+∠β＝∠A+∠1+∠4+∠C＝∠A+∠C+∠2+∠3＝45°+90°+150°＝285°故选：B．35．如图若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形要完成这一圆环还需（）个五边形．A．6B．7C．8D．9【答案】B【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°如图延长正五边形的两边相交于点O则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°360°÷36°＝10∵已经有3个五边形∴10﹣3＝7即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．36．一个多边形它的内角和比外角和的4倍多180°求这个多边形的边数．【解答】解：根据题意得（n﹣2）•180＝1620解得：n＝11．则这个多边形的边数是11 内角和度数是1620度．。

人教版八年级数学上册11.2 与三角形有关的角突破训练(含答案)

人教版八年级数学11.2 与三角形有关的角突破训练一、选择题1. 如图，直线l 1∥l 2，若∠1＝140°，∠2＝70°，则∠3的度数是( )A ．70°B ．80°C ．65°D ．60°2. 如图，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，则图中与∠A 相等的角是( )A ．∠1B ．∠2C ．∠BD ．∠1，∠2和∠B3. 用换元法解方程x 2－12x －4x x 2－12＝3时，设x 2－12x ＝y ，则原方程可化为( ) A. y －1y －3＝0 B. y －4y －3＝0 C. y －1y ＋3＝0 D. y －4y ＋3＝04. (2019•大庆)如图，在△ABC中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角∠ACM的平分线，BE 与CE 相交于点E ，若∠A=60°，则∠BEC 是A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°5. 若关于x 的方程3x －2x ＋1＝2＋mx ＋1无解，则m 的值为( ) A ．－5 B ．－8C ．－2D ．56. 若关于x 的方程x ＋m x －3＋3m3－x＝3的解为正数，则m 的取值范围是( ) A. m <92 B. m <92且m ≠32 C. m >－94 D. m >－94且m ≠－347.已知在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于 ( ) A . 40° B . 60° C . 80° D . 90°8. 如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为( ) A . 50° B . 51° C . 51.5° D . 52.5°9. 从－3，－1，12，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a .若数a 使关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧13（2x ＋7）≥3x －a ＜0无解，且使关于x 的分式方程xx －3－a －23－x ＝－1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a 的值之和是( )A. －3B. －2C. －32D. 1210. 如图，在△CEF 中，∠E ＝80°，∠F ＝50°，AB ∥CF ，AD ∥CE ，连接BC ，CD ，则∠A 的度数是( )A ．45°B ．50°C ．55°D ．80°二、填空题11. 方程x －2x ＝1的正根．．为________．12. 分式方程1x －2＝3x 的解是________．13. (2019•怀化)若等腰三角形的一个底角为72︒，则这个等腰三角形的顶角为__________．14. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E.若∠AFD=158°，则∠EDF= °.15. (2019•哈尔滨)在ABC △中，50A ∠=︒，30B ∠=︒，点D 在AB 边上，连接CD ，若ACD △为直角三角形，则BCD ∠的度数为__________．16. 如图，在△ABC 中，BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB .若∠A ＝70°，则∠BOC＝________°.三、解答题17. 已知关于x 的方程+=3.(1)当m 取何值时，此方程的解为x=3? (2)当m 取何值时，此方程会产生增根? (3)当此方程的解是正数时，求m 的取值范围.18. 解分式方程：2x＋1＝1x－1.19. 如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC.(1)如图①，作∠BAC的平分线AD，与CB，BE分别交于点D，F.求证:∠EFD=∠ADC;(2)如图②，作△ABC的外角∠BAG的平分线AD，交CB的延长线于点D，反向延长AD交BE的延长线于点F，则(1)中的结论是否仍然成立?为什么?20. 今年南方某地发生特大洪灾，政府为了尽快搭建板房安置灾民，给某厂下达了生产A种板材48 000 m2和B种板材24 000 m2的任务．(1)如果该厂安排210人生产这两种板材，每人每天能生产A种板材60 m2或B 种板材40 m2.请问：应分别安排多少人生产A种板材和B种板材，才能确保同时完成各自的生产任务？(2)某灾民安置点计划用该厂生产的两种板材搭建甲、乙两种规格的板房共400板房A种板材/m2B种板材/m2安置人数/人甲型1086112乙型1565110问这400人教版八年级数学11.2 与三角形有关的角突破训练-答案一、选择题1. 【答案】A2. 【答案】B [解析] ∵∠ACB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°.又∵在Rt △ACD 中，∠A＋∠1＝90°， ∴∠A ＝∠2.3. 【答案】B【解析】原方程可化为：y －4y ＝3，即y －4y －3＝0，故选B.4. 【答案】B【解析】∵BE 是∠ABC 的平分线，∴∠EBM=12∠ABC ，∵CE 是外角∠ACM 的平分线，∴∠ECM=12∠ACM ，则∠BEC=∠ECM –∠EBM=12×(∠ACM –∠ABC)=12∠A=30°，故选B ．5. 【答案】A [解析] 分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x ＋1＝0，求出x 的值，代入整式方程求出m 的值即可．具体的解答过程如下：去分母，得3x －2＝2x ＋2＋m.由分式方程无解，得到x ＋1＝0，即x ＝－1. 代入整式方程，得－5＝－2＋2＋m. 解得m ＝－5. 故选A.6. 【答案】B【解析】由x ＋m x －3＋3m 3－x ＝3，得x ＋m x －3－3m x －3＝3，解得x ＝9－2m 2，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧9－2m2>09－2m 2≠3，得m <92且m ≠32，故选B.7. 【答案】A8. 【答案】D【解析】∵AC ＝CD ，∠A ＝50°，∴∠ADC ＝50°，∵DC ＝DB ，∠ADC ＝∠B ＋∠BCD ＝50°，∴∠B ＝∠BCD ＝25°，∴∠BDC ＝130°，∵BD ＝BE ，∴∠BED ＝∠BDE ＝77.5°，∴∠CDE ＝∠BDC －∠BDE ＝130°－77.5°＝52.5°，故答案为D.9. 【答案】B【解析】解不等式组得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x <a ，∵原不等式组无解，∴a ≤1，则a 不能取五个已知值中的3；解分式方程得x ＝5－a 2，又∵分式方程有整数解，∴5－a2为整数，且5－a 2≠3，∴a 只能从－3，－1，12，1中取－3，1，所以满足条件的a 的值的和为－3＋1＝－2.10. 【答案】B[解析] 如图，连接AC 并延长交EF 于点M.∵AB ∥CF ，∴∠3＝∠1. ∵AD ∥CE ，∴∠2＝∠4.∴∠BAD ＝∠3＋∠4＝∠1＋∠2＝∠FCE.∵∠FCE ＝180°－∠E －∠F ＝180°－80°－50°＝50°，∴∠BAD ＝∠FCE ＝50°.二、填空题11. 【答案】2 【解析】本题考查了分式方程的解法，将原分式方程化成整式方程为：x 2－x －2＝0，∴(x －2)(x ＋1)＝0，解得x 1＝2，x 2＝－1，经检验x 1＝2，x 2＝－1都是原分式方程的根，所以原分式方程的正根为2.12. 【答案】x ＝3 【解析】去分母，两边同乘x(x －2)得x ＝3(x －2)，去括号得x ＝3x －6，移项并合并同类项得x ＝3，经检验x ＝3是原分式方程的根．13. 【答案】36° 【解析】∵等腰三角形的一个底角为72︒，∴等腰三角形的顶角180727236=︒-︒-︒=︒，故答案为：36︒．14. 【答案】68[解析] ∵∠AFD=158°，∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°. ∵FD ⊥BC ， ∴∠FDC=90°.∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°. ∵∠B=∠C ，DE ⊥AB ，∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°. ∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.15. 【答案】60︒或10︒【解析】分两种情况： ①如图1，当90ADC ∠=︒时，∵30B ∠=︒，∴903060BCD ∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90ACD ∠=︒时，∵50A ∠=︒，30B ∠=︒，∴1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1009010BCD ∠=︒-︒=︒，综上，则BCD ∠的度数为60︒或10︒．故答案为：60︒或10︒．16. 【答案】125[解析] ∵BO 平分∠ABC ，CO 平分∠ACB ，∴∠ABO ＝∠CBO ，∠BCO ＝∠ACO.∴∠CBO ＋∠BCO ＝12(∠ABC ＋∠ACB)＝12(180°－∠A)＝12(180°－70°)＝55°. ∴在△BOC 中，∠BOC ＝180°－55°＝125°.三、解答题17. 【答案】解:(1)把x=3代入方程+=3，解得m=-3.(2)若方程有增根，则x=2.原分式方程去分母后得2x+m=3x-6，把x=2代入整式方程，得4+m=6-6，所以m=-4.(3)去分母，得2x+m=3x-6，解得x=m+6.因为x>0，所以m+6>0，解得m>-6.因为x≠2，所以m≠-4.综上所述，m的取值范围是m>-6且m≠-4.18. 【答案】【思路分析】给方程两边同乘以(x＋1)(x－1)去分母化为一次方程求解，再将所得解代入验证，检验其是分式方程的根即可．解：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得2(x－1)＝x＋1，去括号，得2x－2＝x＋1，移项，得2x－x＝1＋2，合并同类项，得x＝3，(4分)经检验，x＝3是原分式方程的根，∴原方程的根是x＝3.(6分)19. 【答案】解:(1)证明:∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，且∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.(2)∠EFD=∠ADC仍然成立.理由:∵AD平分∠BAG，∴∠BAD=∠GAD.∵∠F AE=∠GAD，∴∠F AE=∠BAD.∵∠EFD=∠AEB-∠F AE，∠ADC=∠ABC-∠BAD，且∠AEB=∠ABC，∴∠EFD=∠ADC.20. 【答案】解：(1)设有x 人生产A 种板材，则有(210－x )人生产B 种板材．根据题意列方程，得 48 00060x ＝24 00040210－x. 化简，得6x ＝8(210－x )．解得x ＝120.经检验x ＝120是原方程的解．生产B 种板材的人数为210－x ＝210－120＝90(人)．(2)设生产甲型板房m 间，则生产乙型板房为(400－m )间．根据题意，得 ⎩⎨⎧108m ＋156400－m ≤48 000，61m ＋51400－m ≤24 000.解得300≤m ≤360. 设400间板房能居住的人数为W .则有 W ＝12m ＋10(400－m )，W ＝2m ＋4 000. ∵k ＝2>0，∴当m ＝360时，W 最大值＝2×360＋4 000＝4 720(人)．答：这400间板房最多能安置4 720人．。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)全等三角形基本模型(4大模型)(解析版)

全等三角形基本模型（4大模型）模型一：平移型模型二：翻折型模型三：旋转型模型四：一线三垂直型【类型一：平移型】【典例1】如图已知点E、C在线段BF上BE=CF AB∥DE∠ACB=∠F.求证：.【解答】证明：∵AB∥DE∴∠B=∠DEF∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF.∴在△ABC和△DEF中{∠B=∠DEF BC=EF ∠ACB=∠F∴△ABC≅△DEF(ASA).【变式1-1】如图已知Rt△ABC与Rt△DEF中△A＝△D＝90° 点B、F、C、E在同一直线上且AB＝DE BF＝CE 求证：△B＝△E．【解答】证明：∵BF=CE BF+FC=BC CE+CF=EF∴BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中∵{BC=EFAB=DE∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)∴∠B=∠E．【变式1-2】如图点A、B、C、D在一条直线上EA//FB EC//FD EA=FB．求证：AB=CD．【解答】证明：∵EA∥FB∴∠A=∠FBD∵EC∥FD∴∠D=∠ECA 在△EAC和△FBD中{∠ECA=∠D∠A=∠FBDAE=BF∴△EAC≌△FBD(AAS)∴AC=BD∴AB+BC=BC+CD∴AB=CD．【变式1-3】如图点B C E F在同一直线上BE=CF AC⊥BC DF⊥EF垂足分别为C F AB=DE．求证：AC=DF．【解答】证明：∵BE=CF∴BE−CE=CF−CE即BC=EF在Rt△ABC和Rt△DEF中{BC=EFAB=DE∴Rt△ABC△Rt△DEF（HL）∴AC=DF．【类型二：翻折型】【典例2】已知△A＝△D BC平分△ABD 求证：AC＝DC．【解答】解：∵BC平分△ABD ∴△ABC＝△DBC在△BAC和△BDC中{∠A=∠D ∠ABC=∠DBC BC=BC∴△BAC△△BDC∴AC＝DC．【变式2-1】如图已知BD是∠ABC的角平分线AB=CB．求证：△ABD≌△CBD．【解答】证明：∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠ABD=∠CBD（角平分线定义）在△ABC与△CBD中∵{AB=CB(已知)∠ABD=∠CBD(已证)BD=BD(公共边)∴△ABD≌△CBD(SAS)．【变式2-2】已知：如图线段BE、DC交于点O 点D在线段AB上点E在线段AC 上AB＝AC AD＝AE．求证：△B＝△C．【解答】解：在△AEB和△ADC中{AB=AC ∠A=∠A AE=AD∴△AEB△△ADC（SAS）∴△B=△C．【变式2-3】已知：如图△ABC＝△DCB △1＝△2.求证AB＝DC.【解答】证明：如图记AC BD的交点为O∵△ABC＝△DCB △1＝△2又∵△OBC＝△ABC−△1 △OCB＝△DCB−△2∴△OBC＝△OCB∴OB＝OC在△ABO和△DCO中{∠1=∠2OB=OC∠AOB=∠DOC∴△ABO△△DCO（ASA）∴AB＝DC.【类型三：旋转型】【典例3】已知：如图AD BE相交于点O AB△BE DE△AD 垂足分别为B D OA=OE．求证：△ABO△△EDO．【解答】证明：∵AB△BE DE△AD∴△B=△D=90°．在△ABO和△EDO中{∠B=∠D ∠AOB=∠EOD OA=OE∴△ABO△△EDO．【变式3】如图已知线段AC BD相交于点E AE＝DE BE＝CE求证：△ABE△△DCE．【解答】证明：在△ABE和△DCE中{AE=DE ∠AEB=∠DEC BE=CE∴△ABE△△DCE（SAS）【典例4】如图CA=CD ∠1=∠2 BC=EC求证：∠B=∠E.【解答】证明：∵△1＝△2∴△1＋△ECA＝△2＋△ECA 即△ACB＝△DCE 在△ABC和△DEC中{CA＝CD∠ACB＝∠DCEBC＝EC∴△ABC△△DEC（SAS）∴∠B=∠E.【变式4】如图△ABC中点E在BC边上AE＝AB 将线段AC绕A点旋转到AF 的位置使得△CAF＝△BAE 连接EF EF与AC交于点G.（1）求证：EF＝BC；（2）若△ABC＝65° △ACB＝28° 求△FGC的度数.【解答】（1）证明：∵△CAF＝△BAE∴△CAF+△CAE＝△BAE+△CAE 即△EAF=△BAC∵AE＝AB AC=AF∴△EAF△△BAC∴EF＝BC；（2）解：∵△EAF△△BAC∴△AEF=△ABC＝65°∵AB=AE∴△AEB=△ABC＝65°∴△FEC=180°-△AEB-△AEF＝50°∴△FGC=△FEC+△ACB=78°.【类型四：一线三垂直型】【典例5】如图AB＝AC直线l经过点A BM△l CN△l垂足分别为M、N BM＝AN．（1）求证：MN＝BM+CN；（2）求证：△BAC＝90°．【解答】（1）证明：∵BM△直线l CN△直线l ∴△AMB＝△CNA＝90°在Rt△AMB和Rt△CNA中{AB=CABM=AN∴Rt△AMB△Rt△CNA（HL）∴BM＝AN CN＝AM∴MN＝AM+AN＝BM+CN；（2）由（1）得：Rt△AMB△Rt△CNA∴△BAM＝△ACN∵△CAN+△ACN＝90°∴△CAN+△BAM＝90°∴△BAC＝180°﹣90°＝90°．【变式5-1】课间小明拿着老师的等腰三角板玩不小心掉在两墙之间如图所示：（1）求证：△ADC△△CEB；（2）已知DE=35cm 请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）【解答】（1）证明：由题意得：AC＝BC △ACB＝90° AD△DE BE△DE∴△ADC＝△CEB＝90°∴△ACD＋△BCE＝90° △ACD＋△DAC＝90°∴△BCE＝△DAC在△ADC和△CEB中{∠ADC＝∠CEB ∠DAC＝∠BCE AC＝BC∴△ADC△△CEB（AAS）；（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a∴AD＝4a BE＝3a由（1）得：△ADC△△CEB∴DC＝BE＝3a AD＝CE＝4a∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35∴a＝5答：砌墙砖块的厚度a为5cm．【变式5-2】在△ABC中∠ACB=90°AC=BC直线MN经过点C且AD⊥MN于D BE⊥MN于E.（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时①求证：△ADC△ △CEB；②求证：DE=AD+BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时（1）中的结论②还成立吗？若成立请给出证明；若不成立说明理由.【解答】（1）证明：①∵AD△MN BE△MN∴△ADC=△BEC=90°∵△ACB=90°∴△ACD+△BCE=90° △DAC+△ACD=90°∴△DAC=△BCE又∵AC=BC∴△ADC△ △CEB；②∵△ADC△ △CEB∴CD=BE AD=CE∵DE=CE+CD∴DE=AD+BE；（2）解：DE=AD+BE不成立此时应有DE=AD－BE 理由如下：∵BE△MN AD△MN∴△ADC=△BEC=90°∴△EBC+△ECB=90°∵△ACB=90°∴△ECB+△ACE=90°∴△ACD=△EBC又∵AC=BC∴△ADC△ △CEB∴AD=CE CD=BE∵DE=CE－CD∴DE=AD－BE.1．如图在△ABC和△CDE中点B、D、C在同一直线上已知△ACB=△E AC=CE AB∥DE 求证：△ABC△△CDE．【解答】证明：∵AB∥DE ∴∠B=∠EDC在△ABC和△CDE中{∠B=∠EDC ∠ACB=∠E AC=CE∴△ABC≌△CDE(AAS)．2．如图AC和BD相交于点O OA=OC DC△AB．求证DC=AB．【解答】证明：∵DC△AB∴△D=△B在△COD与△AOB中{∠D=∠B ∠DOC=∠BOA OC=OA∴△COD△△AOB（AAS）∴DC=AB．3．如图点B、F、C、E在同一条直线上△B＝△E AB＝DE BF＝CE．求证：AC ＝DF．【解答】证明：∵BF＝CE∴BＦ＋FC＝CE＋FC 即BC＝EF在△ABC和△DEF中{AB=DE ∠B=∠E BC=EF∴△ABC△△DEF（SAS）∴AC＝DF．4．如图等边△ABC的内部有一点D 连接BD 以BD为边作等边△BDE连接AD CE 求证：AD=CE．【解答】证明：∵△ABC和△DBE为等边三角形∴△ABC =△DBE=60°AB=BC DB=EB∴△ABC−△DBC=△DBE−△DBC即△ABD=△CBE在△ABD和△CBE中{AB=BC∠ABD=∠CBE BD=EB∴△ABD≌△CBE(SAS)∴AD=CE5．如图点E F在BC上BE＝CF △A＝△D △B＝△C 求证：AB＝DC.【解答】证明：∵点E F在BC上BE＝CF ∴BE+EF＝CF+EF 即BF＝CE；在△ABF和△DCE中{∠A=∠D ∠B=∠C BF=CE∴△ABF△△DCE（AAS）∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）.6．如图点B、C、E、F在一条直线上AB=CD AE=DF BF=CE求证：∠A=∠D.【解答】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF即BE=CF在△ABE和△DCF中{AB=DCBE=CFAE=DF∴△ABE△△DCF．∴∠A=∠D7．如图已知AB、CD相交于点O 且AD=CB AB=CD．求证：△A=△C．【解答】证明：连接BD 如图在△ABD和△CDB中∵AD=CB AB=CD BD=DB∴△ABD△△CDB（SSS）∴△A=△C．8．已知：如图A、C、F、D在同一条直线上且AB//DE AF＝DC AB＝DE求证：△ABC△△DEF．【解答】证明：∵AB△DE∴△A＝△D∵AF＝CD∴AD+CF＝CF+DF∴AC＝DF在△ABC和△DEF中{AC=DF ∠A=∠D AB=DE∴△ABC△△DEF（SAS）．9．如图：点E、F在BC上BE=CF AB=DC∠B=∠C AF与DE交于点G.过点G作GH⊥BC垂足为H.（1）求证：△ABF≌△DCE（2）求证：∠EGH=∠FGH【解答】（1）证明：∵BE=CF∴BF=CE在△ABF和△DCE中{AB=DC ∠B=∠C BF=CE∴△ABF△△DCE（SAS）.（2）证明：∵△ABF△△DCE∴△AFE=△DEC∴EG=GF∵GH△BC∴△EGH=△FGH.10．如图AD平分∠BAC ∠ADB=∠ADC.（1）求证：△ABD⊆△ACD：（2）若∠B=25° ∠BAC=40°求∠BDC的度数.【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD.又∵AD=DA ∠ADB=∠ADC ∴△ABD≅△ACD(ASA)（2）解：∵∠BAD=∠CAD ∠BAC=40°∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=20°.又∵∠B=25°∴∠ADB=180°−∠B−∠BAD=135°.又∵△ABD≅△ACD ∴∠ADC=∠ADB=135°.又∵∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°∴∠BDC=90°.11．如图在四边形ABCD中E是CB上一点分别延长AE DC相交于点F AB= CF ∠CEA=∠B+∠F．（1）求证：∠EAB=∠F；（2）若BC=10求BE的长．【解答】（1）证明：∵∠CEA是△ABE的外角∴∠CEA=∠B+∠EAB．又∵∠CEA=∠B+∠F∴∠EAB=∠F．（2）解：在△ABE和△FCE中{AB=FC ∠EAB=∠F ∠AEB=∠FEC∴△ABE△△FCE．∴BE=CE．∵BC=10∴BE=5．12．如图AB⊥BE DE⊥BE垂足分别为点B E且AB=DE BF=CE点B F C E在同一条直线上AC DF相交于点G．求证：（1）ΔABC≌ΔDEF；（2）AG=DG．【解答】（1）解：∵AB⊥BE DE⊥BE∴∠B=∠E=90°∵BF=CE∴BF+FC=CE+FC即BC=EF在ΔABC和ΔDEF中{AB=DE∠B=∠EBC=EF∴ΔABC≌ΔDEF(SAS)（2）解：由（1）全等可知：AC=DF ∠ACB=∠DFE∴CG=FG13．如图已知△A＝△D AB＝DB 点E在AC边上△AED＝△CBE AB和DE相交于点F．（1）求证：△ABC△△DBE．（2）若△CBE＝50° 求△BED的度数．【解答】（1）证明：∵△A＝△D △AFE＝△BFD∴△ABD＝△AED又∵△AED＝△CBE∴∠ABD=∠CBE∴△ABD+△ABE＝△CBE+△ABE即△ABC＝△DBE在△ABC和△DBE中{∠A=∠DAB=DB ∠ABC=∠DBE∴△ABC△△DBE（ASA）；（2）解：∵△ABC△△DBE∴BE＝BC∴△BEC＝△C∵△CBE＝50°∴△BEC＝△C＝65°．∴AG=DG14．已知：如图点A D C B在同一条直线上AD=BC AE=BF CE=DF求证：（1）AE△FB（1）DE=CF.【解答】（1）证明：在△ADE和△BCF中{AE＝BF∠A＝∠BAD＝BC∴△ADE△△BCF（SAS）∴DE=CF．15．如图在△ABC中AB＝BC BE平分△ABC AD为BC边上的高且AD＝BD．（1）求证：△ABE=△CAD（2）试判断线段AB与BD DH之间有何数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝BC BE平分△ABC∴BE△AC∴△BEA＝90°＝△ADB∵△CAD+△BEA+△AHE＝180° △HBD+△ADB+△BHD＝180° △AHE＝△BHD∴△HBD＝△CAD∵△HBD＝△ABE∴△ABE=△CAD（2）解：AB＝BD+DH理由是：∵在△BDH和△ADC中{∠2=∠3 BD=AD∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH△△ADC（ASA）∴DH＝DC∴BC＝BD+DC＝BD+DH∵AB＝BC∴AB＝BD+DH．16．如图1 AC=BC CD=CE △ACB=△DCE=α AD、BE相交于点M.（1）求证：BE=AD；（2）直接用含α的式子表示△AMB的度数为（3）当α=90°时取AD BE的中点分别为点P、Q 连接CP CQ PQ 如图2 判断△CPQ的形状并加以证明.【解答】（1）证明：如图1∵△ACB=△DCE=α∴△ACD=△BCE在△ACD和△BCE中{CA=CB ∠ACD=∠BCE CD=CE∴△ACD△△BCE（SAS）∴BE=AD；（2）α（3）解：△CPQ为等腰直角三角形证明：如图2 由（1）可得BE=AD∵AD BE的中点分别为点P、Q∴AP=BQ∵△ACD△△BCE∴△CAP=△CBQ在△ACP和△BCQ中{CA=CB ∠CAP=∠CBQ AP=BQ∴△ACP△△BCQ（SAS）∴CP=CQ 且△ACP=△BCQ 又∵△ACP+△PCB=90°∴△BCQ+△PCB=90°∴△PCQ=90°∴△CPQ为等腰直角三角形.。

三角形全等几何模型(半角模型)(精选精练)(专项练习)(教师版)24-25学年八年级数学上册专项突破

专题12.16三角形全等几何模型（半角模型）（精选精练）（专项练习）1．如图，在正方形ABCD 中，点P 在直线BC 上，作射线AP ，将射线AP 绕点A 逆时针旋转45°，得到射线AQ ，交直线CD 于点Q ，过点B 作BE ⊥AP 于点E ，交AQ 于点F ，连接DF ．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段BE ，EF ，DF 之间的数量关系，并证明．2．如图，ABC 是边长为3的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且120BDC ∠=︒，以D 为顶点作一个60︒角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．3．（23-24八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，90B D ∠=∠=︒，E 、F分别是边BC 、CD 上的点，EAF ∠=12BAD ．(1)求证：EF BE FD =+．(2)求证：AF 平分DFE ∠．4．问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．（1）小王同学探究此问题的方法是：延长FD 到点G ，使DG BE =．连接AG ，先证明ABE ADG △≌△，再证明AEF AGF ≌，他的结论应是；（并写出证明过程）探索延伸：（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠∠=︒＋，E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．5．（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形ABCD 中，120AB AD BAD =∠=︒，，90ABC ADC ∠=∠=︒，且60EAF ∠=︒，求证：EF BE FD =+．（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E F 、分别是BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠，上述结论是否仍然成立？请说明理由．6．【问题引领】问题1：如图1．在四边形ABCD 中，CB CD =，90B ADC ∠=∠=︒，120BCD ∠=︒．E ，F 分别是AB ，AD 上的点．且60ECF ∠=︒．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系．小王祠学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ．先证明CBE CDG △△≌，再证明CEF CGF ≌△△．他得出的正确结论是______．【探究思考】问题2：如图2，若将问题Ⅰ的条件改为：四边形ABCD 中，CB CD =，180ABC ADC ∠+∠=︒，12ECF BCD ∠=∠，问题1的结论是否仍然成立?请说明理由．【拓展延伸】问题3：如图3在问题2的条件下，若点E 在AB 的延长线上，点F 在DA 的延长线上，则问题2的结论是否仍然成立？若不成立，猜测此时线段BE ，EF ，FD 之间存在的等量关系是______．7．（1）如图1：在四边形ABCD 中，AB AD =，120BAD ∠=︒，90B ADC ∠=∠=︒．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且60EAF ∠=︒．探究图中线段EF ，BE ，FD 之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD 到点G ．使DG BE =，连接AG ，先证明ABE ADG ≌△△，再证明AEF AGF △△≌，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB AD =，180B D ∠+∠=︒，E 、F 分别是BC ，CD 上的点，且EAF ∠是BAD ∠的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）如图3，四边形ABCD 是边长为n 的正方形，45EBF ∠=︒，直接写出三角形DEF 的周长．8．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）在ABC 中，AB AC =，点D 是直线BC 上一点（不与B C 、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE V ，使,AE AD BD CE ==．设,BAC BCE αβ∠=∠=．(1)如图1，如果90,BAC BCE ∠=︒∠=___________度；(2)如图2，你认为αβ、之间有怎样的数量关系？并说明理由．(3)当点D 在直线BC 上移动时，αβ、之间又有怎样的数量关系？请在备用图上画出图形，并直接写出你的结论．（B 、C 、E 三点不共线）参考答案：1．（1）补全图形见解析；（2）BE+DF=EF，证明见解析．【分析】（1）根据题意补全图形即可．（2）延长FE到H,使EH=EF，根据题意证明△ABH≌△ADF，然后根据全等三角形的性质即可证明．【详解】（1）补全图形（2）BE+DF=EF．证明：延长FE到H,使EH=EF∵BE⊥AP，∴AH=AF，∴∠HAP=∠FAP=45°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°∴∠BAP+∠2=45°，∵∠1+∠BAP=45°∴∠1=∠2，∴△ABH≌△ADF，∴DF=BH，∵BE+BH=EH=EF，∴BE+DF=EF．【点睛】此题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．的周长为6．2．AMN【分析】要求△AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．【详解】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°∴∠BCD=∠DBC=30°∵△ABC是边长为3的等边三角形∴∠ABC=∠BAC=∠BCA=60°∴∠DBA=∠DCA=90°延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在Rt△BDF和Rt△CND中，BF=CN，DB=DC∴△BDF≌△CDN，∴∠BDF=∠CDN，DF=DN∵∠MDN=60°∴∠BDM+∠CDN=60°∴∠BDM+∠BDF=60°，∠FDM=60°=∠MDN，DM为公共边∴△DMN≌△DMF，∴MN=MF∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6．【点睛】此题主要利用等边三角形和等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造另一个三角形是解题的关键．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；（1）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．先说明ABG ADF ≌，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得AEG AEF ≌，最后再运用全等三角形的性质和线段的和差即可解答；（2）根据（1）的结论可得G AFE ∠=∠，AFD G ∠=∠，即可得出AFD AFE ∠=∠，即可得证．【详解】（1）证明：延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ．90ABG ABC D ∠=∠=∠=︒ ，AB AD =，ABG ADF ∴ ≌．AG AF ∴=，12∠=∠．1323EAF ∴∠+∠=∠+∠=∠=12BAD ∠．GAE EAF ∴∠=∠．又AE AE = ，AEG AEF ∴ ≌．EG EF ∴=．EG BE BG =+ ．EF BE FD ∴=+；（2）证明：∵ABG ADF ≌，∴AFD G ∠=∠，∵AEG AEF ≌，∴G AFE ∠=∠，∴AFD AFE ∠=∠，即AF 平分DFE ∠．4．（1）EF BE DF =+，证明过程见解析（2）成立，理由见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．（1）先利用“SAS ”判断ABE ADG △≌△得到AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再证明EAF GAF ∠=∠，接着根据“SAS ”判断AEF AGF ≌，所以EF FG =，从而得到EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，证明方法与（1）相同．【详解】解：（1）EF BE DF =+，证明如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG，∵90B ADC ∠=∠=︒，∴18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，在ABE 和ADG △中，90BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵60EAF ∠=︒，120BAD ∠=︒，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+；故答案为：EF BE DF =+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如下图，延长FD 到点G ，使得DG BE =，连接AG ，∵180B ADF ∠+∠=︒，180ADF ADG ∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)ABE ADG ≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴GAF DAG DAF BAE DAF EAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)AEF AGF ≌△△，∴EF FG =，∵FG DG DF BE DF =+=+，∴EF BE DF =+．5．（1）见解析；（2）结论EF BE FD =+仍然成立；理由见解析【分析】本题主要考查的是三角形的综合题，主要涉及三角形全等的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解此题的关键．（1）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论；（2）延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，根据SAS 证明ABE ADG △≌△可得AE AG =，再证明AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可得出结论．【详解】证明：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，则18090ADG ADC ∠=︒-∠=︒，又90ABC ∠=︒，∴ABC ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，60EAF ∠=︒ ，120BAD ∠=︒，60GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=︒=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+；（2）结论EF BE DF =+仍然成立，理由如下：如图，延长FD 到G ，使DG BE =，连接AG ，∵180,180B ADC ADC ADG ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴B ADG ∠=∠，在ABE 和ADG △中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS ABE ADG ∴ ≌，AE AG ∴=，BAE DAG ∠=∠，12EAF BAD ∠=∠ ，GAF DAG DAF BAE DAF BAD EAF EAF ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠-∠=∠，GAF EAF ∴∠=∠，在AEF △和AGF 中，AE AG GAF EAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS AEF AGF ∴ ≌，EF FG ∴=，FG DG DF BE DF =+=+ ，EF BE DF ∴=+．6．问题1：BE FD EF +=；问题2：问题1中结论仍然成立，理由见解析；问题3：结论：DF EF BE =+．【分析】问题1，先证明CBE CDG ≌△△，得到CE CG =，BCE DCG ∠=∠，再证明CEF CGF ≌，得到EF GF =，即可得到EF DG DF BE DF =+=+；问题2，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，先判断出ABC GDC ∠=∠，进而判断出CBE CDG ≌△△，再证明CEF CGF ≌，最后用线段的和差即可得出结论；问题3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，然后同问题2的方法即可得出结论．【详解】解：问题1，如图1，延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG，∵90ADC B ∠∠==︒，∴18090CDG ADC ∠-∠=︒=︒，∴90CBE CDG ∠∠==︒，在CBE △和CDG 中，===BE DG CBE CDG BC DC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即120ECG BCD ∠∠==︒，∵60ECF ∠=︒，∴60GCF ECG ECF ∠∠-∠==︒，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，===CE CG ECF GCF CF CF ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；故他得到的正确结论是：=+EF BE DF ；问题2，问题1中结论仍然成立，如图2，理由：延长FD 到点G ．使DG BE =．连接CG ，∵+=180ABC ADC ∠∠︒，+=180CDG ADC ∠∠︒，∴ABC GDC ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE ECD DCG ECD ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF DG DF BE DF =+=+；即=+EF BE DF ；问题3．结论：DF BE EF =+，理由如下：如图3，在DF 上取一点G ．使DG BE =．连接CG ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，180ABC CBE ∠+∠=︒，∴ADC CBE ∠=∠，即CDG CBE ∠=∠，在CBE △和CDG 中，BE DG CBE CDG BC DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴CE CG =，BCE DCG ∠=∠，∴BCE BCG DCG BCG ∠+∠=∠+∠，即ECG BCD ∠=∠，∵12ECF BCD ∠=∠，∴12ECF ECG ∠=∠，∴=ECF GCF ∠∠，在CEF △和CGF △中，CE CG ECF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS CEF CGF ≌，∴EF GF =，∴EF GF DF DG DF BE ==-=-．即DF BE EF =+．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线构造全等三角形．7．（1）EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，EF BE FD +＝；（3）2n ．【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，由“SAS ”可证ABE ADG △≌△，可得AE AG =，BAE DAG ∠=∠，再由“SAS ”可证AEF AGF ≌，可得EF FG =，即可解题；（2）延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG ，即可证明ABG ADF ≌，可得AF AG =，再证明AEF AEG △≌△，可得EF EG =，即可解题；（3）延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，由“SAS ”可证ABH CBF ≌，可得BH BF =，ABH CBF ∠=∠，由“SAS ”可证EBH EBF ≌，可得EF EH =，可得EF EH AE CF ==+，即可求解．【详解】（1）延长FD 到点G ，使DG BE =，连结AG ，在ABE 和ADG △中，BE DG B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ADG △△≌，∴AE AG =，BAE DAG ∠=∠，∵120BAD ∠=︒，60EAF ∠=︒，∴60BAE FAD DAG FAD ∠+∠=∠+∠=︒，∴60EAF FAG ∠=∠=︒，在EAF △和GAF 中，AG AE EAF FAG AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS EAF GAF ≌，∴EF FG DF DG ==+，∴EF BE DF =+，故答案为：EF BE DF =+；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB 到G ，使BG DF =，连接AG，∵180180ABC D ABG ABC ∠+∠︒∠+∠︒＝，＝，∴ABG D ∠∠＝，同（1）理：()SAS ABG ADF △△≌，∴AG AF =，BAG DAF ∠=∠，∵12EAF BAD ∠=∠，∴12DAF BAE BAG BAE BAD EAF ∠+∠=∠+∠=∠=∠，∴GAE EAF ∠=∠，又AE AE =，∴()SAS AEG AEF △△≌，∴EG EF =，∵EG =BE +BG ，∴EF BE FD +＝；（3）如图，延长EA 到H ，使AH CF =，连接BH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC AD CD n ====，90BAD BCD ∠=∠=︒，∴90BAH BCF ∠=∠=︒，又∵AH CF =，AB BC =，∴()SAS ABH CBF ≌，∴BH BF =，ABH CBF ∠=∠，∵45EBF ∠=︒，∴45CBF ABE HBA ABE EBH ∠+∠=︒=∠+∠=∠，∴EBH EBF ∠=∠，又∵BH BF =，BE BE ＝，∴()SAS EBH EBF ≌，∴EF EH =，∴EF EH AE CF ==+，∴DEF 的周长2DE DF EF DE DF AE CF AD CD n =++=+++=+=．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键．8．(1)90；(2)=180αβ+︒；(3)图象见详解；=180αβ+︒；【分析】（1）先证明ABD ACE ≌（SSS ），则可得B ACE ∠∠=，根据90BAC ∠=︒，可知9090B ACB ACE ACB ∠∠∠∠+=︒+=︒，则；（2）已知ABD ACE ≌，则B ACE ∠∠=，则B ACB BCE ∠∠∠+=，根据180180B ACB BAC BCE BAC ∠∠∠++∠=︒+∠=︒，可得，则=180αβ+︒．（3）连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE ：根据BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，可得BAD CAE ∠∠=，证明ABD ACE ≌，进而可得B ACE ∠∠=，则B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，由此可证明αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒；【详解】（1）解：在ABD 与ACE 中，AB AC AE AD BD CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌（SSS ），∴B ACE ∠∠=，∵90BAC ∠=︒，∴90B ACB ∠∠+=︒，∴90ACE ACB ∠∠+=︒，故答案为：90；（2）解：已知ABD ACE ≌，∴B ACE ∠∠=，∴B ACB BCE ∠∠∠+=，∵180B ACB BAC ∠∠++∠=︒，∴180BCE BAC ∠+∠=︒，∴=180αβ+︒．（3）解：连接AD ，作AE 使得DAE BAC ∠∠=，AE AD =，连接DE 、CE，可得下图：∵BAD BAC CAD ∠∠∠=+，CAE DAE CAD ∠∠∠=+，∴BAD CAE ∠∠=；在ABD 和ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD ACE ≌()SAS ；∴B ACE ∠∠=；∴B 180BCE AC ACE BCA B BAC ∠∠=+∠=∠+∠=︒-∠，∴αβ、之间存在数量关系为=180αβ+︒．【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，能够熟练掌握全等三角形的判定定理，找出相应的判定条件是解决本题的关键．。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)-等腰三角形分类讨论问题综合应用(解析版)

等腰三角形分类讨论问题综合应用类型一：腰和底不明时需讨论类型二：顶角和底角不明时需讨论类型三：涉及中线高位置的讨论类型四：等腰三角形个数的讨论类型五：动点引起的分类讨论【考点1 腰和底不明时需分类】【典例1】等腰三角形的两边长分别为4和8 则这个等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【答案】B【解答】解：①若4是腰则另一腰也是4 底是8 但是4+4＝8 故不构成三角形舍去．②若4是底则腰是8 8．4+8＞8 符合条件．成立．故周长为：4+8+8＝20．故选：B【变式1-1】等腰三角形的一条边长为4cm另一条边长为6cm则它的周长是．【答案】14cm或16cm【解答】解：当4cm为腰时三边为4cm4cm6cm可以构成三角形∴周长为：4+4+6＝14（cm）；当6cm为腰时三边为为6cm6cm4cm可以构成三角形∴周长为：6+6+4＝16（cm）；综上周长为14cm或16cm．故答案为：14cm或16cm．【考点2 顶角和底角不明时需讨论】【典例2】等腰三角形的一个角是50°则它的底角是（）A．50°B．50°或65°C．80°D．65°【答案】B【解答】解：当底角为50°时则底角为50°当顶角为50°时由三角形内角和定理可求得底角为：65°所以底角为50°或65°故选：B．【变式2-1】等腰三角形的一个角是100°则其底角是（）A．40°B．100°C．80°D．100°或40°【答案】A【解答】解：当100°为顶角时其他两角都为40°40°当100°为底角时等腰三角形的两底角相等由三角形的内角和定理可知底角应小于90°故底角不能为100°所以等腰三角形的底角为40°40°．故选A（2020秋•慈溪市期中）已知在等腰△ABC中一个外角的度数为100°则【变式2-2】∠A的度数不能取的是（）A．20°B．50°C．60°D．80°【答案】C【解答】解：当100°的角是顶角的外角时顶角的度数为180°﹣100°＝80°另外两个角的度数都为50°；当100°的角是底角的外角时两个底角的度数都为180°﹣100°＝80°顶角的度数为180°﹣2×80°＝20°；故∠A的度数不能取的是60°．故选：C．【考点3 涉及中线高位置的讨论】【典例3】（2020秋•鄞州区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°【答案】D【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．【变式3-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【答案】D【解答】解：当高在三角形内部时如图1∵∠ABD＝30°BD⊥AC∴∠A＝60°；∴顶角是60°；当高在三角形外部时如图2∵∠ABD＝30°BD⊥AC于D∴∠BAD＝60°∴∠BAC＝180°﹣60°＝120°∴顶角是120°．故选：D．【变式3-2】（2021春•浦东新区期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°那么这个等腰三角形的底角为．【答案】75°或15°【解答】解：根据题意得：AB＝AC BD⊥AC如图（1）∠ABD＝60°则∠A＝30°∴∠ABC＝∠C＝75°；如图（2）∠ABD＝60°∴∠BAD＝30°∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°．故这个等腰三角形的底角是：75°或15°．故答案为：75°或15°．【典例4】如图在△ABC中AB＝AC AC边上的中线BD把△ABC的周长分成12cm和15cm两部分求△ABC各边的长．【解答】解：∵BD是AC边上的中线∴AD＝CD＝AC∵AB＝AC∴AD＝CD＝AB设AD＝CD＝xcm BC＝ycm分两种情况：当时即解得：∴△ABC的各边长为8cm8cm11cm；当时即解得：∴△ABC的各边长为10cm10cm7cm；综上所述：△ABC各边的长为8cm8cm11cm或10cm10cm7cm．【变式4】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6 一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分其中一部分比另外一部分长2 则三角形的腰长是．【答案】8或4【解答】解：等腰三角形一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分这两部分的差即是腰与底的差的绝对值∵其中一部分比另外一部分长2∴腰比底大2或底比腰大2∴腰为8或4．故答案为：8或4．【考点4 等腰三角形个数的讨论】【典例5】如图网格中的每个小正方形的顶点称作格点图中A B在格点上则图中满足△ABC为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．10【答案】B【解答】解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C1C2C3即为点C的位置；②以B为圆心AB长为半径画弧则圆弧经过的格点C3C4C5C6C7C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8故选：B．【变式5-1】如图△ABC中直线l是边AB的垂直平分线若直线l上存在点P使得△P AC△P AB均为等腰三角形则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．7【答案】C【解答】解：分三种情况：如图：当AP＝AC时以A为圆心AC长为半径画圆交直线l于点P1P2当CA＝CP时以C为圆心CA长为半径画圆交直线l于点P3P4当P A＝PC时作AC的垂直平分线交直线l于点P5∵直线l是边AB的垂直平分线∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形∴满足条件的点P的个数共有5个故选：C．【变式5-2】如图已知Rt△ABC中∠C＝90°∠A＝30°在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：分三种情况如图：∵∠ACB＝90°∠BAC＝30°∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°当BA＝BP时以B为圆形BA长为半径画圆交直线BC于P1P2两个点∵BA＝BP2∠ABC＝60°∴△ABP2是等边三角形∴AB＝BP2＝AP2当AB＝AP时以A为圆形AB长为半径画圆交直线BC于P2当P A＝PB时作AB的垂直平分线交直线BC于P2综上所述在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形则符合条件的点P有2个故选：B．【考点5 动点引起的分类】【典例6】如图所示在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝40°点D在线段BC上运动（D 不与B C重合）连结AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时∠BAD＝；点D从B向C运动时∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中△ADE的形状也在改变请判断当∠BDA等于多少度时△ADE是等腰三角形．（直接写出结论不说明理由．）【解答】解：（1）∵∠B＝40°∠BDA＝115°∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°由图形可知∠BDA逐渐变小故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下：∵AB＝2∴AB＝DC∵AB＝AC∴∠C＝∠B＝40°∴∠DEC+∠EDC＝140°∵∠ADE＝40°∴∠ADB+∠EDC＝140°∴∠ADB＝∠DEC在△ABD和△DCE中∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形当DA＝DE时∠DAE＝∠DEA＝70°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时∠AED＝∠ADE＝40°∴∠DAE＝100°此时点D与点B重合不合题意；当EA＝ED时∠EAD＝∠ADE＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°综上所述当∠BDA的度数为110°或80°时△ADE是等腰三角形．【变式6】如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝°∠DEC＝°；点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE请说明理由；（3）在点D的运动过程中求∠BDA的度数为多少时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）当∠BDA＝110°时∠EDC＝180°﹣110°﹣40°＝30°∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣C＝180°﹣30°﹣40°＝110°∵点D从B向C的运动过程中∠BAD逐渐变大∴∠BDA逐渐变小故答案为：30 110 小；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE理由如下∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠CDE∠B＝∠ADE＝40°∴∠BAD＝∠CDE∵AB＝CD＝2 ∠B＝∠C＝40°∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）若AD＝DE时∵AD＝DE∠ADE＝40°∴∠DEA＝∠DAE＝70°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝30°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣30°＝110°若AE＝DE时∵AE＝DE∠ADE＝40°∴∠ADE＝∠DAE＝40°∴∠AED＝100°∵∠DEA＝∠C+∠EDC∴∠EDC＝60°∴∠BDA＝180°﹣∠ADE﹣∠EDC＝180°﹣40°﹣60°＝80°由题意知AD＝AE不可能综上所述：当∠BDA＝80°或110°时△ADE的形状可以是等腰三角形．1．（2019秋•海安市期中）用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形若其中有一边的长为5cm则该等腰三角形的腰长为（）cm．A．5B．6.5C．5或6.5D．6.5或8【答案】C【解答】解：5cm是腰长时底边为18﹣5×2＝8∵5+5＞8∴5cm5cm8cm能组成三角形；5cm是底边时腰长为（18﹣5）＝6.5cm5cm 6.5cm 6.5cm能够组成三角形；综上所述它的腰长为6.5或5cm．故选：C．2．（2021•碑林区校级开学）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°【答案】C【解答】解：在△ABC中设∠A＝x∠B＝x+30°分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时2x+（x+30°）＝180°解得x＝50°底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时2（x+30°）+x＝180°解得x＝40°底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．3．（2020秋•渝北区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°则其底角为（）A．65°B．32.5°C．32.5°或57.5°D．32.5°或65°【答案】C【解答】解：①如图1 当等腰三角形的顶角是钝角时腰上的高在外部根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得顶角是90°+25°＝115°则其底角为（180°﹣115°）÷2＝32.5°；②如图2 当等腰三角形的顶角是锐角时腰上的高在其内部故顶角是90°﹣25°＝65°则其底角为（180°﹣65°）÷2＝57.5°．故选：C．4.（2021春•淮阳区校级期末）某等腰三角形的周长是21cm一条腰上的中线把其周长分成两部分的差为3cm该三角形的腰长是cm．【答案】8或6【解答】解：设等腰三角形的腰长是xcm底边长是ycm根据题意得或解得或∵8 8 5与6 6 9都能组成三角形∴该三角形的腰长为8cm或6cm．故答案是8或6．5．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C则称此三角形为“可爱三角形”并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°【答案】C【解答】解：①设三角形底角为α顶角为2α则α+α+2α＝180°解得：α＝45°②设三角形的底角为2α顶角为α则2α+2α+α＝180°解得：α＝36°∴2α＝72°∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°故选：C．6．如图所示的正方形网格中网格的交点称为格点已知A B是两格点如果C也是图中的格点且使得△ABC为等腰三角形则符合条件的点C的个数是（）A．9B．8C．7D．6【答案】B【解答】解：如图：分三种情况：当AB＝AC时以点A为圆心以AB长为半径作圆则点C1C2C3即为所求；当BA＝BC时以点B为圆心以BA长为半径作圆则点C4C5C6即为所求；当CA＝CB时作AB的垂直平分线则点C7C8即为所求；综上所述：符合条件的点C的个数是8故选：B．7．如图在△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°点D在线段BC上运动（点D 不与点B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于点E．（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）在点D的运动过程中当∠BDA的度数是时△ADE是等腰三角形．【解答】解：（1）点D从B向C的运动过程中∠BDA逐渐变小故答案为：小；（2）分三种情况：当AD＝AE时∴∠ADE＝∠AED＝40°∵∠AED是△DEC的外角∴∠AED＞∠C此种情况不存在当DA＝DE时∵∠ADE＝40°∴∠DAE＝∠DEA＝70°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝110°当EA＝ED时∴∠EAD＝∠ADE＝40°∵∠C＝40°∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝80°综上所述：∠BDA的度数是110°或80°故答案为：110°或80°．8.（秋•宝应县期末）如图△ABC中AB＝AC＝2 ∠B＝∠C＝40°．点D在线段BC上运动（点D不与B C重合）连接AD作∠ADE＝40°DE交线段AC于E．（1）当∠BAD＝20°时∠EDC＝°；（2）当DC等于多少时△ABD≌△DCE？试说明理由；（3）△ADE能成为等腰三角形吗？若能请直接写出此时∠BAD的度数；若不能请说明理由．【答案】（1）20 （2）当DC＝2时△ABD≌△DCE（3）当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形【解答】解：（1）∵∠BAD＝20°∠B＝40°∴∠ADC＝60°∵∠ADE＝40°∴∠EDC＝60°﹣40°＝20°故答案为：20；（2）当DC＝2时△ABD≌△DCE；理由：∵∠ADE＝40°∠B＝40°又∵∠ADC＝∠B+∠BAD∠ADC＝∠ADE+∠EDC．∴∠BAD＝∠EDC．在△ABD和△DCE中．∴△ABD≌△DCE（ASA）；（3）能当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形．理由：①当∠BAD＝30°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝30°∴∠DAE＝70°∴∠AED＝180°﹣40°﹣70°＝70°∴DA＝DE∴△ADE为等腰三角形；②当∠BAD＝60°时∵∠B＝∠C＝40°∴∠BAC＝100°∵∠ADE＝40°∠BAD＝60°∠DAE＝40°∴EA＝ED∴△ADE为等腰三角形．综上所述当∠BAD＝30°或60°时△ADE能成为等腰三角形。

2023学年八年级数学上册高分突破必练专题(人教版)三角形角度计算常考模型(解析版)

三角形角度计算常考模型【考点1 “8字”模型】【结论】∠A+∠B=∠D+∠E.【考点2飞镖模型】【结论】∠BPC=∠A+∠B+∠C.【考点3 “风筝”模型】【考点1 “8字”模型】【典例1】（2021春•鼓楼区校级月考）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（3）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．【答案】（1）∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）∠P＝45°（3）2∠P＝∠B+∠D【解答】解：（1）由题知∠A+∠D＝∠DOB＝∠C+∠B∴∠A+∠D＝∠C+∠B故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）由（1）可得∠DAO+∠D＝∠OCB+∠B①同理可得∠DAM+∠D＝∠OCP+∠P∵∠DAB和∠BCD的平分线是AP和CP∴∠DAO+∠D＝∠OCB+∠P②由②×2﹣①得∠D＝2∠P﹣∠B即2∠P＝∠D+∠B∴2∠P＝50°+40°故∠P＝45°；（3）由（2）可知2∠P＝∠B+∠D．【变式1-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD∠AOB＝∠COD∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α∴α＝10°故选：A．【变式1-2】（2022春•叙州区期末）如图BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC 交AB于点E若∠A＝45°∠P＝40°则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°∠ABC+∠C+∠BGC＝180°∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F DP平分∠ADC交AB于点E∴∠GBC＝2∠PBE∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°∠P＝40°∴∠C＝35°．故选：B【变式1-3】（2022春•渝中区校级期中）如图五角星的五个角之和即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180°B．90°C．270°D．240°【答案】A【解答】解：连接CD设BD与CE交于点O由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC在△ACD中∠A+∠ACD+∠ADC＝180°即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【变式1-4】（2021春•玄武区期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝°．【答案】360【解答】解：如图延长DE交AB于点G由三角形外角性质可知：∠1＝∠F+∠DEF∠2＝∠1+∠A∴∠2＝∠F+∠DEF+∠A∴在四边形BCDG中由四边形内角和可知：∠B+∠C+∠D+∠2＝360°∴∠A+∠F+∠DEF+∠B+∠C+∠D＝360°．故答案为：360．【变式1-5】（2020秋•平舆县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝°．【答案】180【解答】解：如图设线段BD BE分别与线段AC交于点N M．∵∠AMB＝∠A+∠E∠DNC＝∠B+∠AMB∠DNC+∠D+∠C＝180°∴∠A+∠B+∠D+∠E+∠C＝180°故答案为：180．【变式1-6】（2021秋•正阳县期末）图1 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2 在图1的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中当∠D＝50度∠B＝40度时求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时其他条件不变试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果不必证明）．【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°∠AOD＝∠BOC ∴∠A+∠D＝∠C+∠B故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O形成“8字形”；故“8字形”共有6个故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①∠PCB+∠B＝∠P AB+∠P②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P∴∠DAP＝∠P AB∠DCP＝∠PCB①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠P AB+∠P即2∠P＝∠D+∠B又∵∠D＝50度∠B＝40度∴2∠P＝50°+40°∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P∴∠1＝∠2 ∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【考点2 飞镖模型】【典例2】（2019秋•建平县期末）探究与发现：如图（1）所示的图形像我们常见的学习用品一圆规我们不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系并说明理由；（2）请你直接利用以上结论解决以下问题：①如图（2）把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C若∠A＝40°则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3）DC平分∠ADB EC平分∠AEB若∠DAE＝40°∠DBE＝130°求∠DCE的度数．【解答】解：（1）如图（1）∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C理由是：过点A、D作射线AF∵∠FDC＝∠DAC+∠C∠BDF＝∠B+∠BAD∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2）∵∠X＝90°由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°∵∠A＝40°∴∠ABX+∠ACX＝50°故答案为：50；②如图（3）∵∠A＝40°∠DBE＝130°∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°∵DC平分∠ADB EC平分∠AEB∴∠ADC＝∠ADB∠AEC＝∠AEB∴∠ADC+∠AEC＝＝45°∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式2-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图△ABC中∠A＝30°D为CB延长线上的一点DE⊥AB于点E∠D＝40°则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB∴∠DEB＝90°∵∠D＝40°∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°∵∠ABD＝∠A+∠C∠A＝30°∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．【变式2-2】（2017•东昌府区一模）如图∠BDC＝98°∠C＝38°∠A＝37°∠B 的度数是（）A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解答】解：如图延长CD交AB于E∵∠C＝38°∠A＝37°∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°∵∠BDC＝98°∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故选：B．【变式2-3】（2021春•工业园区校级月考）如图点C是∠BAD内一点连CB、CD∠A＝80°∠B＝10°∠D＝40°则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E∵∠BED是△ABE的一个外角∠A＝80°∠B＝10°∴∠BED＝∠A+∠B＝90°∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°故选：C．【变式2-4】（2021•碑林区校级二模）如图BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线BE与CF交于G如果∠BDC＝140°∠BGC＝110°则∠A＝．【答案】80°【解答】解：连接BC∵∠BDC＝140°∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°∵∠BGC＝110°∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°∵BE是∠ABD的平分线CF是∠ACD的平分线∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°在△ABC中∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．【考点3 “风筝”模型】（2020秋•五华区期末）如图在三角形纸片ABC中∠A＝60°∠B＝70°将【典例3】纸片的一角折叠使点C落在△ABC外若∠2＝18°则∠1的度数为（）A．50°B．118°C．100°D．90°【答案】B【解答】解：在△ABC中∠A＝60°∠B＝70°∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．由折叠可知：∠CDE＝∠C′DE∠CED＝∠C′ED∴∠CED＝＝99°∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝31°∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝118°．故选：B．【变式3-1】（2020秋•潮阳区期中）如图在△ABC中将△ABC沿直线m翻折点B落在点D的位置若∠1﹣∠2＝60°则∠B的度数是（）A．30°B．32°C．35°D．60°【答案】A【解答】解：如图所示：由折叠的性质得：∠D＝∠B根据外角性质得：∠1＝∠3+∠B∠3＝∠2+∠D∴∠1＝∠2+∠D+∠B＝∠2+2∠B∴∠1﹣∠2＝2∠B＝60°．∴∠B＝30°故选：A．【变式3-2】（2018•聊城）如图将一张三角形纸片ABC的一角折叠使点A落在△ABC 外的A'处折痕为DE．如果∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【答案】A【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'∵∠BDA'＝∠A+∠AFD∠AFD＝∠A'+∠CEA'∵∠A＝α∠CEA′＝β∠BDA'＝γ∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β故选：A．【典例4】（2021春•高州市期末）如图小明从一张三角形纸片ABC的AC边上选取一点N将纸片沿着BN对折一次使得点A落在A′处后再将纸片沿着BA′对折一次使得点C落在BN上的C′处已知∠CMB＝68°∠A＝18°则原三角形的∠C的度数为（）A．87°B．84°C．75°D．72°【答案】A【解答】解：如图由题意得：△ABN≌△A′BN△C′BN≌△CBM．∴∠1＝∠2 ∠2＝∠3 ∠CMB＝∠C′MB＝68°．∴∠1＝∠2＝∠3．∴∠ABC＝3∠3．又∵∠3+∠C+∠CMB＝180°∴∠3+∠C＝180°﹣∠CMB＝180°﹣68°＝112°．又∵∠A+∠ABC+∠C＝180°∴18°+2∠3+（∠3+∠C）＝180°．∴18°+2∠3+112°＝180°．∴∠3＝25°．∴∠C＝112°﹣∠3＝112°﹣25°＝87°．故选：A．【变式4-1】（2021春•济南期中）如图△ABC中∠B＝40°∠C＝30°点D为边BC上一点将△ADC沿直线AD折叠后点C落到点E处若DE∥AB则∠ADE的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°【答案】B【解答】解：∵∠B＝40°∠C＝30°∴∠BAC＝110°由折叠的性质得∠E＝∠C＝30°∠EAD＝∠CAD∠ADE＝∠ADC∵DE∥AB∴∠BAE＝∠E＝30°∴∠CAD＝40°∴∠ADE＝∠ADC＝180°﹣∠CAD﹣∠C＝110°故选：B．【变式4-2】（2021春•滦州市期末）已知：如图所示将△ABC的∠C沿DE折叠点C 落在点C'处若设∠C＝α∠AEC′＝β∠BDC'＝γ则下列关系成立的是（）A．2α＝β+γB．α＝β+γC．α+β+γ＝180°D．α+β＝2γ【答案】A【解答】解：由折叠的性质知：∠C＝∠C′＝α．∵∠AEC′+∠CEC′＝180°∠BDC′+∠CDC′＝180°∴β＝180°﹣∠CEC′γ＝180°﹣∠CDC′．∴β+γ＝360°﹣∠CEC′﹣∠CDC′．∵∠C+∠CEC′+CDC′+∠C′＝360°∴2α＝360°﹣∠CEC′﹣CDC′．∴β+γ＝2α．故选：A．【变式4-3】（2021春•通许县期末）如图所示将△ABC沿着DE折叠使点A与点N重合若∠A＝65°则∠1+∠2＝（）A．25°B．65°C．115°D．130°【答案】D【解答】解：∵△NDE是△ADE翻折变换而成∴∠AED＝∠NED∠ADE＝∠NDE∠A＝∠N＝65°∴∠AED+∠ADE＝∠NED+∠NDE＝180°﹣65°＝115°∴∠1+∠2＝360°﹣2×115°＝130°．故选：D．12．（2021秋•广州期中）如图三角形纸片ABC中∠A＝65°∠B＝75°将∠C沿DE对折使点C落在△ABC外的点C′处若∠1＝20°则∠2的度数为（）A．80°B．90°C．100°D．110°【答案】C【解答】解：∵∠A＝65°∠B＝75°∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°由折叠的性质可知∠C′＝∠C＝40°∴∠3＝∠1+∠C′＝60°∴∠2＝∠C+∠3＝100°故选：C．13．（2022春•晋江市期末）如图把三角形纸片ABC沿DE折叠当点A落在四边形BCDE 外部时则∠A与∠1、∠2之间的数量关系是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【答案】A【解答】解：∵△A′DE是△ADE沿DE折叠得到∴∠A′＝∠A又∵∠ADA′＝180°﹣∠1 ∠3＝∠A′+∠2∴∠A+∠ADA′+∠3＝180°即∠A+180°﹣∠1+∠A′+∠2＝180°整理得2∠A＝∠1﹣∠2．∴∠A＝（∠1﹣∠2）即2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．18．（2021春•沙坪坝区校级期中）如图所示∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1 ∠A+∠F＝∠2∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．19．（2021秋•海珠区校级期中）如图则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．【答案】360°【解答】解：连接AD在△AOD和△BOC中∵∠AOD＝∠BOC∴∠B+∠C＝∠1+∠2∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠F AD∵∠EDA+∠F AD+∠E+∠F＝360°∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°故答案为：360°．20．（2020•开福区校级开学）如图∠A+∠B+∠C+∠D+E+∠F的度数为．【答案】360°【解答】解：∵∠AIC＝∠A+∠B∠EPC＝∠C+∠D∠AOE＝∠E+∠F∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠AIC+∠EPC+∠AOE＝360°．故答案为：360°．21．（2020春•昌黎县期末）如图∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360【解答】解：如右图所示∵∠AHG＝∠A+∠B∠DNG＝∠C+∠D∠EGN＝∠E+∠F∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360°．22．（2017秋•磴口县校级期中）如图∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°则∠BDC＝度∠BOC＝度．【答案】78°110°【解答】解：∵∠A＝50°∠ABO＝28°∠ACO＝32°∴∠BDC＝∠A+∠ABO＝78°∴∠BOC＝∠BDC+∠ACO＝110°．23．（2021春•江都区校级期末）如图三角形纸片ABC中∠A＝63°∠B＝77°将纸片一角折叠使点C落在△ABC的内部若∠2＝50°则∠1＝．【答案】30°【解答】解：设折痕为EF连接CC′．∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C∠1＝∠FCC′+∠FC′C∠ECF＝∠EC′F∴∠1+∠2＝2∠ECF∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°∴∠1＝80°﹣50°＝30°故答案为：30°24.（2018春•莘县期末）一个零件的形状如图所示按规定∠A应等于90°∠B、∠D应分别是20°和30°．（1）李叔叔量得∠BCD＝142°根据李叔叔量得的结果你能断定这个零件是否合格？请解释你的结论；（2）你知道∠B、∠D、∠BCD三角之间有何关系吗？请写出你的结论．（不需说明理由）．【解答】解：（1）不合规格．理由如下：连接AC并延长到点E则∠BCD＝∠BCE+∠ECD＝∠B+∠BAC+∠CAD+∠D＝∠B+∠BAD+∠D＝140°故不合格．（2）根据第（1）小题的求解过程不难发现：∠B+∠D+90°＝∠BCD．25．（2020秋•郯城县期末）探索归纳：（1）如图1 已知△ABC为直角三角形∠A＝90°若沿图中虚线剪去∠A则∠1+∠2等于A.90°B.135°C.270°D.315°（2）如图2 已知△ABC中∠A＝40°剪去∠A后成四边形则∠1+∠2＝（3）如图2 根据（1）与（2）的求解过程请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是（4）如图3 若没有剪掉而是把它折成如图3形状试探究∠1+∠2与∠A的关系并说明理由．【解答】解：（1）：∵四边形的内角和为360°直角三角形中两个锐角和为90°∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．∴∠1+∠2等于270°．故选C；（2）∠1+∠2＝180°+40°＝220°故答案是：220°；（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2＝180°+∠A（4）∵△EFP是由△EF A折叠得到的∴∠AFE＝∠PFE∠AEF＝∠PEF∴∠1＝180°﹣2∠AFE∠2＝180°﹣2∠AEF∴∠1+∠2＝360°﹣2（∠AFE+∠AEF）又∵∠AFE+∠AEF＝180°﹣∠A∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．26．（2022春•新野县期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1 三角形ABC求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°证明：过点A作EF ∥BC．（2）如图2 线段AB、CD相交于点O连接AD、CB我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P并且与CD、AB分别相交于M、N得到图3 请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系并说明理由．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC∴∠EAB＝∠B∠F AC＝∠C又∠EAB+∠BAC+∠F AC＝180°∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°又∠AOD＝∠BOC∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①∠P AB+∠P＝∠B+∠PCB②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P∴∠DAP＝∠P AB∠DCP＝∠PCB∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B∴2∠P＝∠D+∠B．27．（2021春•邗江区月考）如图1 已知线段AB、CD相交于点O连接AC、BD则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示∠1＝130°则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3 若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P且与CD AB分别相交于点M N．①若∠B＝100°∠C＝120°求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB”试直接写出∠P与∠B∠C之间存在的数量关系并证明理由．【解答】解：（1）证明：在图1中有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC∠B+∠D＝180°﹣∠BOD∵∠AOC＝∠BOD∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示∵∠DME＝∠A+∠E∠3＝∠DME+∠D∴∠A+∠E+∠D＝∠3∵∠2＝∠3+∠F∠1＝130°∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°∵∠B+∠C＝∠1＝130°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP 以N为交点“8字型”中有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC∴∠BAP＝∠CAP∠CDP＝∠BDP∴2∠P＝∠B+∠C∵∠B＝100°∠C＝120°∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C其理由是：∵∠CAP＝∠CAB∠CDP＝∠CDB∴∠BAP＝∠CAB∠BDP＝∠CDB以M为交点“8字型”中有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP以N为交点“8字型”中有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB）∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B∴4∠P＝∠B+3∠C．。

全等模型专项突破练习人教版八年级数学上册(含解析)

突破18 全等模型(一) 三垂直类型一同侧三垂直1.如图,AE⊥AB,且AE=AB,BC⊥CD,且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S 是.类型二异侧三垂直2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE 于点E,AD⊥CE于点D.(1)求证:∠BCE=∠CAD;(2)若AD=9 cm,DE=5 cm,求BE 的长.类型三隐三垂直3.如图,在正方形ABCD 中,E是CD边上一点,连接AE,将△ADE 沿AE 折叠,使点D 落在正方形ABCD 内部的点F 处,延长AF 交BC 于点H.求证:BH=CE+FH.类型四三垂直与分类讨论4.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,分别过A,B 两点作直线CD 的垂线,AF⊥CD 于点F,BE⊥CD 于点E,连接AE.若AF=5,BE=2,则△AEF 的面积为.类型五构造三垂直5.如图,在△ABC中,AB=AC,EC⊥AC,且AC=CE,垂足为C,连接BE.若BC═6,则△BCE 的面积为( )A.9B.9C.18D.3626.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=CB,D 为CB 延长线上一点,AE=AD,且AE⊥AD,BE 与AC 的延长线交于点F,若AC=4FC,则DB的值为.BC7.如图,在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是BC 的中点,E 是BC 边上的动点(不与点B,C,D重合),连接AE,在AE 右侧作EF⊥AE,且EF=AE,连接CF,则∠ECF 的度数为.突破19 全等模型(二) 坐标系中的三垂直类型一两点在轴上，“一点垂”1.如图,在△PMN中,点P,M在坐标轴上,点P(0,2),N(2,—2),PM=PN,且PM⊥PN,，则点M 的坐标是.2.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形,点A(--1,0),B(0, −4).将△ABC向上平移一个单位长度后，点C 的坐标为( )A.(4,1)B.(3,1)C.(4,2)D.(3,2)3.如图,在平面直角坐标系中,点A(2,2),B(0,-1),C 为x 轴正半轴上一点, AB⊥AC,且AB=AC.求点C 的坐标.类型二一点在轴上，“两点垂”4.如图,在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°,,点A(-1,0),C(1,3),求点B 的坐标.名校压轴题·八年级数学上类型三无点在轴上，“一平两垂”5.如图,在Rt△ABC中，AC=AB,∠BAC=90°,点B(2,2),C(4,—2).求点A的坐标.类型四分类讨论，求坐标6.如图,已知点A(0,3),B(4,1),以AB 为斜边作等腰Rt△ABC,，则直角顶点C的坐标为.类型五运用全等，求定值7.如图，在平面直角坐标系中，点A(0，m)在y 轴正半轴上，点. D (−m ,0),B 为线段OD 上一动点(不与O ，D 两点重合)，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转 90°得到线段AC,连接CD 交OA 于点E,求 BD OE 的值.类型六线段和差，求参数8.如图,在. △ABC 中， ∠BAC =90°,AB =AC,,若点 A(—2,—2),B(0,m),C(n,0).求m,n 之间的数量关系.9.如图,点 A (−2,a ),点 B 在y 轴的正半轴上， BC ⊥AO 交AO 的延长线于点C ，且 AC =BC..若C(1,c),B(0,b),求b—c 的值.突破20 全等模型(三) 一线三等角类型一同侧一线三等角1.如图,在△ABC 中,∠B=∠C.△PMN 的顶点P,M,N 分别在AB,BC,AC 上运动,且∠PMN=∠B,PM=MN.求证:BM=CN.2.如图,在△ABC 中,AB=AC,D,A,E 三点都在直线m 上,且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为钝角.求证:DE=BD+CE.3.如图,AC,DF 相交于点G,且AC=DF,D,C是BE 上两点,∠B=∠E=∠1.若BE=1,AB=m,EF=n,则CD 的长为( )A.1-mB.1-nC. m+n--1D. m--n+14.如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D,E,F 分别是AB,BC,AC 边上的点,BE=CF.(1)若∠DEF=∠ABC,求证:DE=EF;(2)若∠A+2∠DEF=180°,BC=9,EC=2BE,求BD 的长.类型二异侧一线三等角5. (1)如图1,点B,C 分别在∠MAN 的边AM,AN 上,点E,F 都在∠MAN 内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF 的外角.已知AB=AC,且∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF;(2)如图2,在△ABC中,AB=AC,AB>BC.点D 在边BC 上,CD=2BD,点E,F 在线段AD 上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC 的面积为15,求△ACF 与△BDE 的面积之和.类型三构造一线三等角6.如图,AC=BC,D是BC上一点,∠ADE=∠C.(1)如图1,若∠C=90°,∠DBE=135°.求证:①∠EDB=∠A;②DA=DE;(2)如图2,当∠DBE 与∠C 之间满足什么数量关系时,总有DA=DE 成立?突破21 全等模型(四) 手拉手类型一手拉手模型与角平分线1.如图,CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,AB 与DE交于点M.(1)求证:AB=DE;(2)连接MC,求证:MC平分∠BMD.类型二手拉手模型与八字导角2.如图,△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形,连接AD,CE.求证:AD⊥CE.类型三手拉手模型与面积转化3.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,AB 和CD 交于点F.若点C,E,F,D 共线, S ACF=9,S BDF=4,则S ADE的值为.类型四手拉手模型与角的和差4.如图,在△ABC中,BA=BC,点F 在AB 边上,延长CF交AD 于点E,BD=BE,∠ABC=∠DBE.(1)求证:AD=CE;(2)若∠ABC=30°,∠AFC=45°,求∠EAC的度数.5如图,已知AB=AC,AD=AE,且∠EAD=∠BAC=80°,若∠BDC=160°,求∠DCE 的度数.类型五手拉手模型与二倍角6.如图,点C 在线段AB 上(不与点A,B 重合),在AB 的上方分别作△ACD和△BCE,且AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE=α,连接AE,BD 交于点P.求证:∠APB=2∠ADC.类型六手拉手模型与线段和差7.如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求证:△ABC≌△ADE;(2)求∠FAE 的度数;(3)求证:CD=2BF+DE.突破22 全等模型(五) 夹半角类型一90°夹45°1.如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF 和三角板CFB 如图所示摆放，点D 在边AC 上,点E 在边BC 上,且∠CFE=13°,∠CFD=32°,则∠DEC 的度数是( )A.58°B.45°C.77°D.64°类型二120°夹60°2.如图,在四边形ABCD 中,∠A=∠BCD=90°,AB=BC,点E,F 分别在AD,DC的延长线上,且∠EBF=∠ADC.(1)探究∠EBF 与∠ABC 间的数量关系,并说明理由;(2)若∠EBF=60°,探究线段AE,EF,CF之间的数量关系并证明.3.在∠QAP 内有一点B,过点B 分别作BC⊥AP,BD⊥AQ,垂足分别为C,D,且BC=BD,点E,F 分别在边AQ和AP 上.(1)如图1,若∠AEB+∠AFB=180°,求证:BE=BF;(2)如图2,若∠PAQ=∠EBF=60°,求证:EF=DE+CF.类型三24a°夹a°∠BAC,BF⟂AE于点E,交AF于点F,连接CF.4.如图,在△ABC中，AB=AC,∠EAF=12(1)如图1,当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF=BE+CF.(2)如图2,当∠EAF的边AE,AF 分别在∠BAC外部，内部时，求证：( CF=BF+2BE.类型四夹半角的应用5.在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且OA=OB..接到指令后，舰艇甲向正东方向迅速前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向迅速前进.指挥中心观测到3小时后甲、乙两舰艇分别到达E，F处，∠EOF=70°,EF=180海里，且甲与乙的速度比为2：3，求甲舰艇的速度.突破23 全等模型(六) 对角互补类型一对角互补+邻边相等1.如图,在四边形ABCD 中, AD=DC,∠ADC=∠ABC=90°,DE⊥AB于点E，若四边形ABCD 的面积为16,则DE 的长为.2.如图,D 是∠MAN内部一点，DE⊥AM于点E，DF⊥AN于点F，且DE=DF,点B 是射线AM上一点,AB=6,BE=2,，在射线AN 上取一点C，使得DC=DB,,则AC的长为.类型二对角互补+角平分线3.如图，已知四边形ABCD 的对角互补，且∠BAC=∠DAC,AB=15,AD=12.过顶点C 作( CE⊥AB于点E，的值为( )则AEBEA.9B.73C.7.2D.6类型三角平分线+邻边相等4.如图,在四边形ABCD 中,AC平分∠BAD,CB=CD,CF⊥AD 于点F.(1)求证:∠ABC+∠ADC=180°;(2)若AF:CF=3:4,CF=8,求四边形ABCD 的面积.类型四坐标系中的对角互补5.如图,AC=BC,∠C=90°,点A 的坐标为(0,4),点B 的坐标为(10,0),则点C 的坐标为.类型五隐对角互补6.如图,在△ABC 中,∠ABC=∠ACB,点D,E 分别是BC,AC上的点,AD,BE 相交于点P,连接DE,∠EBC=∠BAD.(1)求证:∠DPE+∠C=180°;(2)若PE=CE,求证:DE 平分∠ADC.突破24 全等模型(七) 同旁张等角类型一同侧直角+等腰直角1.如图,在△ABC 中,∠ABC=45°,过点C 作CD⊥AB 于点D,过点B 作BM⊥AC 于点M,连接MD,过点D 作DN⊥MD,交BM 于点N. CD 与BM 相交于点E,且E 是CD 的中点.(1)求证:∠AMD=45°;(2)求证:NE--EM=MC.C类型二同侧等角+等腰2.如图,在△ABC中,AB=AC,过点B 的射线与过点C 的射线CF 交于点D,且∠ABD=∠ACF,过点A作AM⊥BD于点M.求证:BM=DM+DC.类型三同侧等角十外角平分线3.如图,BF 平分△ABC 的外角∠ABE,D 为BF 上一点,∠ABC=∠ADC,过点D 作DH⊥AB 于点H,若AH=7,BH=1,则CB 的长为( )A.6B.5C.4D.5.54.如图,D 是△ABC 的外角平分线上一点,过点D 作DE⊥AC 于点E,DF⊥AB 交BA 的延长线于点F,且满足CE=AB+AE.(1)求证:BD=CD;(2)求证:∠BDC=∠BAC.类型四同侧等角+隐角平分线5.如图,线段AB 与CD 相交于点E,AB⊥BD,垂足为B,AC⊥CD,垂足为C.若AB=BD,∠BDE=22.5°,试探究线段DE 与AC 的数量关系,并证明你的结论.类型五手拉手转化为同旁张等角6.如图,在△ABC 和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,CE 的延长线交BD于点F.(1)求证:△ACE≌△ABD.(2)过点A 作AH⊥BD 于点H,求证:EF+DH=HF.类型六构造同旁张等角7.如图,在△ABC 中,D 为AB 中点,DE⊥AB,∠ACE+∠BCE=180°,EF⊥BC 于点F,AC=8,BC=12,求BF 的长.突破25 全等模型(八) 婆罗摩笈多类型一证中点1.如图,BE⊥CD,AB=AD,AC=AE,过点A作AG⊥DE于点G,延长GA交BC于点F,求证:F 为BC中点.类型二证二倍2.如图,在△ABO 和△CDO中,OA=OB,OC=OD,∠AOB 与∠COD 互补,连接AC,BD,E是BD的中点.求证:AC=2OE.3.若△ABC 和△ADE 均为等腰三角形,且AB=AC=AD=AE,当∠ABC 和∠ADE 互余时,称△ABC 与△ADE 互为“底余等腰三角形”,△ABC 的边BC 上的高AH 叫做△ADE 的“余高”.如图,△ABC 与△ADE 互为“底余等腰三角形”.(1)若连接BD,CE,判断△ABD 与△ACE 是否互为“底余等腰三角形”: (填“是”或“否”);(2)当∠BAC=90°时,若△ADE 的“余高”AH=3,则DE= ;(3)当0<∠BAC<180°时,判断DE 与AH 之间的数量关系,并说明理由.类型三证垂直4.如图,AD 为△ABC 的高线,AD=BC,以AB 为底边作等腰Rt△ABE,连接ED,EC,延长CE 交AD 于F 点.求证:CE⊥DE.类型四求面积5.如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,分别以AC,BC为一直角边作等腰Rt△ACE 和等腰Rt△BCD,连接DE 交BC 的延长线于点F,则△CEF 的面积为·类型五证面积相等6.如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 共顶点放置，其中∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠DEC.设△BDC 的面积为S₁,△AEC的面积为S₂,求证：S₁=S₂.参考答案突破18 全等模型(一) 三垂直1.50 解:∵AE⊥AB 且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH,∴∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°,∴∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°,∴∠EAF=∠ABG.∵AE = AB,∠EFA = ∠AGB,∠EAF=∠ABG,∴△EFA≌△AGB,∴AF = BG,AG = EF.同理证得△BGC≌△CHD,GC=DH,CH=BG.∴FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,∴S=12(6+4)×16−3×4−6×3=50.故答案为50.2.解:(1)∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠CAD+∠ECA=90°,∵∠ACB=90°,∴∠BCE+∠ECA=90°,∴∠BCE=∠CAD;(2)在△BEC 与△CDA 中, ∠BCE=∠CAD,∠E=∠CDA,BC=AC,∴△BEC≌△CDA(AAS),∴AD=CE=9 cm,CD=BE,∵DE=CE-CD=9-BE=5,∴BE=4 cm.3.证明:连接DF,并延长交BC 于点G.由题意,得△ADE≌△AFE,∴AD=AF,ED=EF.易证AE⊥DF,∠ADF=∠AFD.∵AD∥BC,∴∠ADF=∠HGF,∴∠HFG=∠HGF,∴FH=HG.∵∠ADG + ∠DAE = ∠ADG +∠CDG=90°,∴∠DAE=∠CDG.∵AD=CD,∴△ADE≌△DCG(ASA),∴DE=CG.∵CD=BC,∴CD-DE=BC-CG,∴CE=BG,∴BH=BG+GH=CE+FH.4. 17. 5 或7.5 解:①如图1,当△ABC 在直线CD 同侧时,△AFC≌△CEB,AF=CE=5,CF=BE=2,EF=CE+CF=AF+BE=5+2=7,∴S AEF=17.5;②如图2,当△ABC 在直线CD 两侧时，△AFC≌△CEB,AF=CE=5,CF=BE=2,∴EF=CE--CF=AF--BE=5-2=3,∴S△AEF=7.5,∴S△AEF=17.5 或7.5.5. B 解:过点A 作AH⊥BC 于点H,过点E 作EF⊥BC,交BC 的延长线于点F.∵AB=AC,∴Rt△ABH≌Rt△ACH(HL),∴BH=HC.∵∠ACE=90°,∴∠ACH+∠ECF=90°.∵∠CAH+∠ACH=90°,∴∠ECF=∠CAH,∴△ACH≌△CEF(AAS),∴EF=CH=12BC=3,∴△BCE 的面积=12BC⋅EF=12×6×3=9,故选B.6. 12解:过点E作EH⊥AC,交AC的延长线于点H, 则△ADC ≌△EAH(AAS),∴AH=CD,EH=AC=BC,∴△BCF≌△EHF(AAS),∴CF=FH=12CH.∵AH=CD,AC=BC,∴BD=CH=2FC.∵BC=AC=4FC=2DB,∴DBBC =12.7.45°或135° 解:连接AD,过点F 作FG⊥BC 于点G.∵∠BAC=90°,AB=AC,D 是BC的中点，∴BD=CD=AD.∵EF⊥AE,且EF=AE,由三垂直模型,可得△ADE≌△EGF(AAS),∴EG=AD=CD,DE=FG.①如图1,若点 E 在线段BD 上,则EG-DG=CD-DG,∴DE=CG=FG,∴∠ECF=45°;②如图2,若点 E 在线段CD 上,则EG--EC=CD-EC,∴DE=CG=FG,∴∠GCF=45°,∴∠ECF=135°.综上所述,∠ECF 的度数为45°或135°.突破19 全等模型(二)坐标系中的三垂直1.(-4,0) 解:过点N 作ND⊥y轴于点D.∵P(0,2),N(2,-2),∴OP=2,ON=2,DN=2,∴PD=4.∵PM⊥PN,∴∠MPN=90°,∴∠MPO+∠DPN=90°.又∵∠DPN+∠PND=90°,∴∠MPO=∠PND.又∵∠MOP=∠PDN=90°,∴△MOP≌△PDN(AAS),∴OM=PD=4,∴M(-4,0).故答案为(-4,0).2. D 解:∵点A(-1,0),B(0,-4),∴OA=1,OB=4.∵△ABC 为等腰直角三角形，∴AC=AB,∠BAC=90°.过点C作CE⊥x轴于点E,∴∠AEC=∠AOB=90°,∴∠CAE + ∠BAO = ∠BAO + ∠ABO=90°,∴∠CAE=∠ABO.在△CAE 与△ABO中,∠AOB=∠CEA,∠ABO=∠CAE,AB=AC,∴△CAE≌△ABO(AAS),∴CE=AO=1. AE=OB=4,∴OE=3,∴C(3,1).∵将△ABC 向上平移一个单位长度，∴点 C 的坐标为(3,2).故选 D.3.解:过点A 分别作AE⊥x 轴于点E,AF⊥y轴于点F.则∠BAC=∠BOC=90°,∴∠ABF=∠ACE,又∵∠AEC=∠AFB =90°,AB=AC,∴△AEC≌△AFB,∴AE=AF=OF=2,CE=BF=2+1=3,∴OC=2+3=5,∴点 C 的坐标为(5,0).4.解：过点C 作直线l∥x 轴，分别过点A,B作AE⊥l 于点E,BF⊥l于点F.∴∠AEC=∠ACB=∠BFC=90°,∴∠EAC=∠BCF,又∵AC=BC,∴△AEC≌△CFB,∴AE=CF=3,BF=EC=2,∴点 B 的坐标为(4,1).5.解:过点A 作直线l∥y 轴,过点B作BE⊥l 于点E,过点C 作CF⊥l于点F,∴∠BEA=∠CFA=∠BAC=90°,∴∠BAE + ∠CAF = ∠BAE +∠ABE=90°,∴∠ABE=∠CAF,又∵AC=AB,∴△ABE≌△CAF(AAS),∴BE=AF,CF=AE,设点A(m,n),∵点B(2,2),C(4,-2),∴2-n=4-m,n+2=2-m,∴m=1,n=-1,∴点A 的坐标为(1,-1).6.(3,4)或(1,0) 解:分两种情况讨论：①当点C 在AB 上方时，可得点C(3,4);②当点 C 在AB 下方时,可得点C(1,0).故答案为(3,4)或(1,0).7.解:过点C 作CF⊥y 轴于点F,可得△ACF≌△BAO,∴AF=OB,CF=OA=OD,∴△CEF≌△DEO,∴OE=EF,∵OA=OD,AF=OB,∴BD=OF=2OE,∴BD=2.OE8.解:过点A 作AD⊥x 轴于点D,过点B 作BE⊥AD 于点E,则△ACD≌△BAE,∴CD=AE,∵A(-2,-2),C(n,0),B(0,m),∴CD=n+2,AE=-2-m,∴n+2=-2-m,∴m+n=-4.9.解:过点A 作AH⊥y 轴于点H,过点C 分别作CM⊥AH 于点M,CN⊥y轴于点N,可得△ACM≌△BCN,∴BN=AM=2+1=3,∴b-c=3.突破20 全等模型(三)一线三等角1.证明:∵∠PMN=∠B=∠C,∠B+∠BPM+∠BMP=180°,∠BMP + ∠PMN + ∠CMN =180°,∴∠BPM=∠CMN,∵PM=MN,∴△BPM≌△CMN(AAS),∴BM=CN.2.证明:∵∠BDA=∠BAC=α,∴∠DBA + ∠BAD = ∠BAD +∠CAE=180°-α,∴∠CAE=∠ABD.又∵AB=AC,∴△ADB≌△CEA(AAS),∴AE=BD,AD=CE,∴DE=AE+AD=BD+CE.3. C 解:∵∠DGC=∠1,∴∠ACB=180°−∠FDE−∠1,∵∠DFE=180°−∠FDE−∠E,∠E=∠1,∴∠ACB=∠DFE,又∵AC=DF,∴△ACB≌△DFE(AAS),∴DE=AB=m,BC=EF=n,∴CD=BC+DE--BE=m+n-1,故选 C.4.解:(1)∵∠DEF=∠ABC,∠DEC = ∠ABC + ∠BDE =∠DEF+∠CEF,∴∠BDE=∠CEF.又∵BE=CF,∴△BDE≌△CEF(AAS),∴DE=EF;(2)∵BC=9,EC=2BE,∴BE=3,EC=6,∵∠A+2∠DEF=180°,∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°,∠ABC=∠ACB,∴∠DEF=∠ABC=∠ACB,∵∠DEC = ∠ABC + ∠BDE =∠DEF+∠CEF,∴∠BDE=∠CEF.又∵BE=CF,∴△BDE≌△CEF(AAS),∴BD=EC=6.5.解:(1)∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA,∵AB=AC,∴△ABE≌△CAF(ASA);(2)∵△ABC 的面积为15,CD=2BD,×15=5,由(1)得△ABE≌△CAF, ∴S ACF+S BDE=S ABE+S BDE=S△ABD=5.∴△ABD的面积为136.解:(1)①∵∠ADE=∠C=90°,∴∠EDB+∠ADC=90°,∠A+∠ADC=90°,∴∠EDB=∠A;②在AC 上截取CF = CD, 连接FD.∵∠C=90°,∴∠CFD=∠CDF=45°,∴∠AFD=135°=∠DBE.∵AC=BC,∴AC-CF=BC-CD,即AF=BD.由①知∠A=∠BDE,∴△AFD≌△DBE(ASA),∴DA=DE;∠C时，总有DA=DE 成立.理由如下: (2)当∠DBE=90∘+12在AC 上截取CM=CD,连接MD.∵AC=BC,∴AM=BD.∵∠ADB=∠A +∠C,∠ADB=∠ADE+∠BDE,∠ADE=∠C,∴∠A=∠BDE.∵∠CMD=90∘−1∠C,2∴∠AMD=90∘+1∠C.2当∠DBE=90∘+1∠C时，∠DBE=∠AMD,2∴△AMD≌△DBE(ASA),∴AD=DE.突破21 全等模型(四) 手拉手5∵∠ACD=∠BCE,∴∠BCE + ∠ACE = ∠ACD +∠ACE,∴∠BCA=∠ECD,∵AC=DC,CB=CE,∴△ABC≌△DEC(SAS),∴AB=DE;(2)过点C 作CG⊥AB 于点G,CH⊥DE 于点H,∵△ABC≌△DEC,∴∠A=∠D,又∵∠AGC=∠DHC=90°,AC=DC,∴△AGC≌△DHC(AAS),∴CG=CH,∴MC平分∠BMD.2.证明:延长AD 分别交BC 和CE 于点G 和点F.∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形，∴AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠DBE=90°,∴∠ABC - ∠DBC = ∠DBE -∠DBC.即∠ABD=∠CBE,∴△ABD≌△CBE(SAS),∴∠BAD=∠BCE.∵∠BAD + ∠ABC + ∠BGA =∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°.又∵∠BGA=∠CGF,∴∠AFC=∠ABC=90°,∴AD⊥CE.3.5 解:∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAC - ∠BAE = ∠DAE -∠BAE,即∠CAE=∠BAD,∴△ACE≌△ABD(SAS),∴S△ACE=S△ABD.∵S△ACF=9,∴S△ACE+S△AEF=9.设S△ACE=S△ABD=x,则S△AEF=9-x,S△ADF=x-4,∴S△AEF+S△ADF =9-x+x--4=5,即.S△ADE=5.4.证明:(1)∵∠ABC=∠DBE,∴∠ABC + ∠ABE = ∠DBE +∠ABE,∴∠ABD=∠CBE.∵BD=BE,BA=BC,∴△ADB≌△CEB(SAS),∴AD=CE;(2)∵BA=BC,∠ABC=30°,∴∠BAC=∠BCA=1(180∘−30°)=75°,2∵∠AFC=45°,∴∠BCE=∠AFC--∠ABC=45°-30°=15°,∵△ADB≌△CEB,∴∠BAD=∠BCE=15°,∴∠EAC=∠BAD+∠BAC=15°+75°=90°.5.解:∵∠EAD=∠BAC=80°,∴∠1=∠2,可证明△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠ABD.∵∠BAC=80°,AB=AC,∴∠BCA=∠CBA=50°,∴∠DCE=∠4+∠BCA+∠ACE=∠4+50°+∠ABD=∠4+50°+∠3+∠ABC=∠3+∠4+100°.又∵∠BDC=160°,∴∠3+∠4=180°-∠BDC=20°,∴∠DCE=20°+100°=120°.6.证明:∵∠ACD=∠BCE=α,∴∠ACE=∠DCB.又∵CA=CD,CB=CE,∴△ACE≌△DCB(SAS),∴∠EAC=∠BDC,∴∠APD=∠ACD=α.∵AC=CD,∠ACD=α,∴α=180°-2∠ADC.又∵∠APD=α=180°-∠APB,∴∠APB=2∠ADC.7.证明:(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,∴∠BAC=∠DAE,∴△BAC≌△DAE(SAS);(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,∴∠E = 45°. 由(1) 知△BAC≌△DAE,∴∠BCA=∠E=45°.∵AF⊥BC,∴∠CFA=90°,∴∠CAF=45°,∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;(3)延长BF 到G,使得FG=FB.∵AF⊥BG,∴∠AFG=∠AFB=90°,∴△AFB≌△AFG(SAS),∴AB=AG,∠ABF=∠G.∵△BAC≌△DAE,∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,∴∠G=∠CDA.∵∠GCA=∠DCA=45°,∴△CGA≌△CDA(AAS),∴CG=CD.∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,∴CD=2BF+DE.突破22 全等模型(五) 夹半角1. D 解:过点F 作FH⊥FE 交AC于点H.∵∠AFC=∠EFH=90°,∴∠AFH=∠CFE=13°.∵∠A=∠FCE=45°,FA=FC,∴△FAH≌△FCE,∴FH=FE.∵∠DFE=∠CFE+∠DFC=13°+32°=45°,∴∠DFH=∠DFE=45°.∵DF=DF,∴△DFE≌△DFH,∴∠DEF = ∠DHF = ∠A +∠AFH=58°.∵∠FEB=∠CFE+∠FCE=58°,∴∠DEC=180°-58°-58°=64°.故选 D.2.解:(1)∠EBF+∠ABC=180°.理由如下：∵∠A=∠BCD=90°,∴∠ADC+∠ABC=180°.∵∠EBF=∠ADC,∴∠EBF+∠ABC=180°;(2)AE=EF+CF.理由如下:在AE 上截取AM=CF,连接BM.则△ABM≌△CBF(SAS),∴∠ABM=∠CBF,BM=BF.∵∠EBF=60°,由(1)知∠EBF+∠ABC=180°,∴∠ABC=120°,∴∠FBM = ∠FBC + ∠CBM =∠ABM+∠CBM=∠ABC=120°.∵∠FBE=60°,∴∠MBE=60°,∴∠MBE=∠FBE,∴△BME≌△BFE(SAS),∴EF=EM.∵AE=EM+AM,∴AE=EF+CF.3.证明:(1)∵BC⊥AP,BD⊥AQ,∴∠BDE=∠BCF=90°,∵∠AEB+∠AFB=180°,∠AEB+∠DEB=180°,∴∠DEB=∠CFB,∴△DEB≌△CFB(AAS),∴BE=BF;(2)在CP 上截取CG = DE,连接BG,∴△DEB≌△CGB(SAS),∴BE=BG,∠DBE=∠CBG,∵∠PAQ=60°,∠BDE=∠BCF=90°,∴∠DBC=180°−60°=120°,∴∠CBG + ∠CBE = ∠DBE +∠CBE=∠DBC=120°,即∠EBG=120°,∵∠EBF=60°,∴∠GBF=120°−∠EBF=60°,∴∠EBF=∠GBF,∴△BEF≌△BGF(SAS),∴EF=GF,∵GF=CG+CF,CG=DE,∴EF=DE+CF.4.解:(1)在EF 上截取EH=BE,连接AH.可证△ABE≌△AHE,∴AB=AH,∠BAE=∠EAH.∵AB=AC,∴AC=AH,.:∠EAF=1∠BAC,2∴∠BAE+∠CAF=∠EAF,∴∠BAE + ∠CAF = ∠EAH +∠FAH,∴∠CAF=∠HAF.在△ACF 和△AHF 中,AC=AH,∠CAF=∠HAF,AF=AF,∴△ACF≌△AHF(SAS),∴CF=HF,∴EF=EH+HF=BE+CF;(2)在BE 的延长线上截取EN =BE,连接AN.∵AE⊥BF,BE=EN,AB=AC,∴AN=AB=AC.∵AN=AB,AE⊥BN,∴∠BAE=∠NAE.∵∠EAF=1∠BAC,2∴∠EAF+∠NAE=1(∠BAC+∠BAN),2∴∠FAN=1∠CAN,2∴∠FAN=∠CAF.在△ACF 和△ANF 中,AC=AN,∠CAF=∠NAF,AF=AF,∴△ACF≌△ANF(SAS),∴CF=NF,∴CF=BF+2BE.5.解:延长AE,BF 相交于点C,延长CB 到点G,使BG=AE,连接OG.由题意,得∠AON=30°,∴∠A=60°,∵∠OBC=70°+50°=120°,∴∠OBG=60°,∴∠A=∠OBG,∵OA=OB,∴△AOE≌△BOG(SAS),∴OE=OG,∠AOE=∠BOG,∵∠AOB=30°+90°+(90°−70°)=140°,∴∠EOG=140°,∵∠EOF=70°,∴∠EOF=∠GOF,∵OF=OF,∴△EOF≌△GOF(SAS),∴EF=BG+BF=AE+BF=AE+BF=180(海里),设甲的速度为2x 海里/小时，乙的速度为3x 海里/小时，∴AE=3×2x=6x海里,BF=3×3x=9x海里,∴9x+6x=15x=180,∴x=12,∴2x=24.答：甲舰艇的速度为24海里/小时.突破23 全等模型(六)对角互补1.4 解:过点D 作DF⊥BC,交BC的延长线于点F，∵∠ADC+∠ABC=180°,∴∠A+∠BCD=180°,又∵∠BCD+∠DCF=180°,∴∠A=∠DCF.∵∠AED=∠CFD,AD=DC,∴△ADE≌△CDF(AAS).∴DE=DF,∴S四边形ABCD=S四边形DEBF=16,∴DE²=16,∴DE=4.故答案为4.2.6或10 解:①如图1,当点C 在线段AF 上时,连接AD.∵DE⊥AM于点E,DF⊥AN于点F,∴∠DEB=∠DFC=90°.在Rt△DEB 和Rt△DFC 中,DC=DB,DF=DE,∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL),∴CF=BE=2.在Rt△DEA 和Rt△DFA 中,DA=DA,DF=DE,∴Rt△DEA≌Rt△DFA(HL),∴AF=AE=AB+BE=6+2=8,∴AC=AF--CF=8-2=6;②如图2，当点 C 在线段AF 的延长线上时,同理可得AF=AE=8,CF=BE=2,∴AC=AF+CF=8+2=10.故答案为6 或10.3. A 解:过点C 作CF⊥AD 交AD的延长线于点F,则∠CFD=90°.∵CE⊥AB,∴∠CEB=90°,∴∠CEB=∠CFD.∵∠BAC=∠DAC,∴AC平分∠BAD,∴CE=CF.∵四边形ABCD 的对角互补，∴∠B+∠ADC=180°.∵∠CDF+∠ADC=180°,∴∠B=∠CDF,∴△CEB≌△CFD(AAS),∴BE=DF.可证△AEC≌△AFC,∴AE=AF,设BE=DF=a,∵AB=15,AD=12,∴12+a=15-a,∴a=1.5,∴AE=15-a=13.5,BE=a=1.5,∴AEBE =13.51.5=9,故选A.4.证明:(1)过点C 作CE⊥AB 交AB的延长线于点E，∵AC平分∠BAD,∴∠EAC=∠FAC,∵∠CEA=∠CFA,AC=AC,∴△ACE≌△ACF(AAS),∴AF=AE,CE=CF,在Rt△CBE 和Rt△CDF 中,EE-CE,∴Rt△CBE≌Rt△CDF(HL),∴∠ADC=∠CBE,∵∠ABC+∠CBE=180°,∴∠ADC+∠ABC=180°;(2)∵AF:CF=3:4,CF=8,∴AF=6,∴S ACF=1AF⋅CF=24,2∵Rt△CBE≌Rt△CDF,△ACE≌△ACF,∴S△CBE=S△CDF,S△ACE=S△ACF,∴四边形ABCD 的面积:=S△ACE+ S ACF=2S ACF=48.5.(7,7) 解:过点C 作CH⊥y 轴于点H,过点B 作BG⊥HC 于点G,则∠CHA = ∠BGC = 90°,OH =BG,GH=OB,∴∠ACH+∠CAH=90°.∵点 A 坐标为(0,4),点 B 坐标为(10,0),∴OA=4,OB=10,∴GH=CH+CG=10.∵∠ACB=90°,∴AC = BC,∠ACH +∠BCG = 180°−∠ACB=180°−90°=90°,∴∠CAH=∠BCG,∴△ACH≌△CBG(AAS),∴AH=CG,CH=BG.∵BG=OH=OA+AH=4+AH,CH+CG=10,∴4+AH+CG=10,∴4+AH+AH=10,解得AH=3,∴CH=BG=4+3=7,∴点C 的坐标为(7,7).6.证明:(1)在△ABP 中,∠BAD+∠ABE+∠APB=180°,∵∠EBC=∠BAD,∠APB=∠DPE,∴∠EBC + ∠ABE + ∠DPE =180°,即∠ABC+∠DPE=180°,又∵∠ABC=∠C,∴∠DPE+∠C=180°;(2)过点E 作EM⊥AD 于点M,EN⊥CD 于点N,∴∠PME=∠CNE=90°,∵∠DPE+∠C=180°,∴∠APE=∠C,又∵PE=CE,∴△PME≌△CNE(AAS),∴EM=EN,∴DE 平分∠ADC.突破24 全等模型(七)同旁张等角1.证明:(1)∵CD⊥AB,∴∠BDC=∠ADC=90°,∵∠ABC=45°,∴BD=CD,∵BM⊥AC,∴∠AMB=∠ADC=90°,∴∠A+∠DBN=90°,∠A+∠DCM=90°,∴∠DBN=∠DCM,∵DN⊥MD,∴∠CDM+∠CDN=90°,∵∠CDN+∠BDN=90°,∴∠CDM=∠BDN,∵∠DBN = ∠DCM, BD = CD,∠CDM=∠BDN,∴△BDN≌△CDM(ASA),∴DN=DM,∴△DMN 是等腰直角三角形，∴∠DMN=45°,∴∠AMD=45°;(2)由(1)知,DN=DM,过点D 作DF⊥MN 于点F,则∠DFE=90°=∠CME,∵DN⊥MD,∴DF=FN,∵E是CD 的中点,∴DE=CE,∴△DEF≌△CEM(AAS),∴ME=EF,CM=DF,∴FN=CM,∵NE--EF=FN,∴NE--EM=MC.2.证明:如图,过点A 作AN⊥CF,垂足为点N,连接AD.∴∠ANC=90°.∵AM⊥BD,∴∠AMB=∠AMD=90°,∴∠AMB=∠AMD=∠ANC,∴△AMB≌△ANC(AAS),∴BM=CN,AM=AN.∵AD=AD,∴Rt△AMD≌Rt△AND(HL),∴DN=DM.∵CN=DN+DC,∴BM=DM+DC.3. A 解:过点D 作DG⊥BE 于点G,∵DH⊥AB,BF 平分∠ABE,∴DG=DH,由∠ABC=∠ADC 可得∠DAH=∠DCG,∴△DAH≌△DCG(AAS),∴CG=AH=7,易得Rt△BDG≌Rt△BDH(HL),∴BG=BH=1,∴CB=CG-BG=7-1=6.故选A.4.证明:(1)∵D是△ABC的外角平分线AD 上一点,DE⊥AC,DF⊥AB,∴DE=DF,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴AF=AE.∵CE=AB+AE,∴CE=AB+AF=BF,∴△CDE≌△BDF(SAS),∴BD=CD;(2)设AC 与BD 交于点G.∵△CDE≌△BDF,∴∠FBD=∠ECD,∵∠AGB=∠DGC,∴∠BDC=∠BAC.5.解:DE=2AC.理由如下:连接AD,延长AC,BD 交于F.∵∠ACE=∠DBE=90°,∠AEC=∠BED,∴∠CAE=∠BDE=22.5°.∵AB=BD,∴∠ADB=45°,∴∠ADC=∠ADB-∠BDE=22.5°,∴△ACD≌△FCD(ASA),∴AC=CF,∴△ABF≌△DBE(ASA),∴AF=DE.∵AF=2AC,∴DE=2AC.6.证明:(1)∵∠BAC=∠DAE.∴∠CAE=∠BAD,∴△ACE≌△ABD(SAS);(2)连接AF,过点A 作AJ⊥CF 于点J.∵△ACE≌△ABD,∴S△ACE=S△ABD,CE=BD.∵AJ⊥CE,AH⊥BD,∴12CE⋅AJ=12BD⋅AH,∴AJ=AH,∴Rt△AFJ≌Rt△AFH(HL),∴FJ=FH,∴Rt△AJE≌Rt△AHD(HL),∴EJ=DH,∴EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.7.解:连接AE,过点E 作EG⊥AC 交AC 的延长线于点G，∵D为AB中点,DE⊥AB,∴EA=EB,∵∠ACE+∠BCE=180°,∠ACE+∠ECG=180°,∴∠ECG=∠BCE,∵EF⊥BC,EG⊥AC,∴EG=EF,∴Rt△EFC≌Rt△EGC(HL),∴CF=CG,同理可得BF=AG,∴12-CF=8+CF,解得CF=2,∴BF=12-2=10.突破25 全等模型(八)婆罗摩笈多1.证明:∵BE⊥CD,∴∠DAE = ∠DAB = ∠BAC =∠CAE=90°,∴△ADE≌△ABC(SAS),∴∠DEA=∠BCA,∵AG⊥DE,∴∠AGD=90°,∴∠AED + ∠ADE = ∠DAG +∠ADE=90°,∴∠AED=∠DAG,∵∠DAE=∠CAF,∴∠CAF=∠FCA,∴FC=FA,∵∠BAC=90°,∴∠FAC + ∠BAF = ∠FCA +∠FBA=90°,∴∠BAF=∠FBA,∴FB=FA,∴FB=FC,∴F 是BC 的中点.2.证明:过点D 作DF∥OB 交OE 的延长线于点F,则∠F=∠BOE,∵E 是BD的中点,∴DE=BE,∴△DFE≌△BOE(AAS),∴DF=OB=OA,∠OBE=∠FDE.∵OB∥DF,∴∠FDO+∠BOD=180°.∵∠AOB+∠COD=180°,∴∠AOC+∠BOD=180°,∵∠FDO+∠BOD=180°,∴∠FDO=∠AOC,∴△FDO≌△AOC(SAS),∴FO=AC,∵FO=2OE,∴AC=2OE.3.解:(1)连接BD,CE,∵AB=AC=AD=AE,∴∠ABC=∠ACB,∠ADE=∠AED,∠ADB=∠ABD,∠AEC=∠ACE,∴∠ABC + ∠ACB + ∠ADE +∠AED=2(∠ABC+∠ADE),∠ADB + ∠ABD + ∠AEC +∠ACE=2(∠ADB+∠AEC),∴2(∠ABC+∠ADE)=180°,∴2(∠ADB + ∠AEC) = 180°,∠ADB+∠AEC=90°,∴△ABD 与△ACE互为“底余等腰三角形”；(2)∵∠BAC=90°,AB=AC=AD=AE,∴∠B=∠C=45°,∵∠B+∠D=90°,∴∠D=45°,∴∠D=∠E=∠B=∠C=45°,∴△ADE≌△ABC(AAS),∵AB=AC,AH⊥BC,∴BH=CH,∠HAB =∠HAC=45°,∴AH=BH=CH=1BC=3,2∴DE=BC=6,故答案为6;(3)DE=2AH,理由:过点A 作AF⊥DE 于点F,∵AD=AE,∴DF=EF,∵∠DFA=∠AHB=90°,∠B+∠D=90°,∴∠D=∠BAH=90°--∠B,∴△DFA≌△AHB(AAS),∴DF=AH,∴DE=2DF=2AH.4.证明:∵AD 为△ABC的高线,∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°,∵△ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE = ∠BAE = ∠BAD +∠DAE=45°,AE=BE,∴∠CBE+∠BAD=45°,∴∠DAE=∠CBE,∴△ADE≌△BCE(SAS),∴∠EDA=∠ECB.∴∠EDC+∠ECB=90°,∴∠DEC=90°,∴CE⊥DE.5. 92解:过E 作EH⊥BF 交BF 的延长线于点H，∴∠ABC=∠ACE=∠H=90°,∴∠ACB + ∠ECH = ∠ACB +∠CAB=90°,∴∠BAC=∠ECH,∵AC=CE,∴△ABC≌△CHE(AAS),∴BC=EH=3,CH=AB=6,∵∠CHE=∠DCH=90°,BC=CD,∴EH∥CD,EH=CD,∴△CDF≌△HEF(AAS),∴CF=FH,∴CF=12CH=12AB=3,∴△CEF 的面积为12×3×3=92,故答案为- 926.证明:∵△DEC 可由△ABC 绕点C旋转得到，∴BC=CE,AC=CD.过点A 作AN⊥CE 于点N,过点D作DM⊥BC于点M,∵∠ACN+∠BCN=90°,∠DCM+∠BCN=180°−90°=90°,∴∠ACN=∠DCM,∴△ACN≌△DCM(AAS),∴AN=DM,∴S1=12CE⋅AN,S2=12BC⋅DM,∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等，即S₁=S₂.。

最新人教版八年级数学上册几何解答题专项突破(超级经典)

三角形重难点突破 人教版八年级数学上册(含解析)

三角形全等几何模型(一线三等角)(人教版)(学生版) 2024-2025学年八年级数学上册专项突破