电路分析十三章
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第十三章非正
13—1 求图示波形的傅里叶级数的系数。 解:f(t) 在第一个周期(πω21=T )内的表达式为
题13-1图
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧---+--=)
()()
()(1
11πωα
πωαπωαπt E t E t E t f m m
m πωααωααωπ≤≤≤≤--≤≤-t t t 111
显然,f(t)为奇函数 f(t)展开为傅里叶级数为
∑∞
=++
=1
110)cos cos ()(k k k
t k b t k a
a t f ωω
由于f(t)为奇函数 , 所以 , 有0,00==k a a 。 而 b k =)()sin()()()]sin()([
2
1111110
t d t k t a E t d t k t a
E a
m a
m ωωπωπ
ωωωπ
π
--+
⎰
⎰
=
⎭⎬⎫+--++-⎩⎨
⎧a t k k
t k k t t k k a E a t k k t k k t a E m m πωωωωππωωωπ)]sin(1)cos()cos([0)]sin(1)cos([2121111211
=
ka a a k E m sin )
(22
-π (k=1,2,3…….)
13—2 以知某信号半周期的波形如图所示。试在下列各不同条件下画出整个周期的波形:
(1)a
0=0; (2) 对所有k,b
k
=0;(3)对所有 k,a
k
=0;(4)a
k
和b
k
为零,当k为
偶数时。
解:(1)当a
=0时,在后半个周期上,只要画出f(t)的负波形与横轴(t轴)所围面积与已给出的前半个周期波形所围面积相等即可。以下题解12—2 图中的(b),(c)图均满足此条件。
题13-2图
(a)(b)
(c)
题解13-2图
(2)对所有k,b
k
=0,f(t)应为偶函数,即有f(t)=f(-t),波形如题解12—2图(a)所示,波形对称于纵轴。
(3)对所有 k,a k =0,f(t) 应为奇函数,即f(t)= -f(-t), 波形如图(b )所示,波形对称于原点。
(4)a k 和 b k 为零,当k 为偶数时,此时,f(t) 称为奇谐波函数,既 a k 和 b k 只出现在k 为奇数时,函数f(t) 满足镜对称性质,即有f(t)= -f(t+2
T ) , 波形如图(c )
所示。
注:13—1和13—2题的分析说明,周期函数含有某种对称时,其傅里叶级数中不含某些谐波。充分利用这些对称性,可使分解计算大为简化。需要指出的是函数的奇偶性除与函数本身有关外,还与计时起点的选择有关,因此,对某些周期函数可以适当选择计时起点,使它成为奇函数或偶函数,以便简化傅立叶级数的系数计算。
13—3 一个RLC 串联电路。其R=11Ω,L=0.015H ,C=70μF , 外加电压为 u(t) = [11+141.4cos(1000t) –35.4sin(2000t)]V 试求电路中的电流i(t) 和电路消耗的功率。
解: RLC 串联电路如题解13—3图所示,电路中的非正弦周期电压 u(t) 为已知,分别有直流分量,基波和二次谐波分量。可写出电流相量的一般表达式
()()
()
)
1()
(.
.
C
k L k j R U Z U
I k k k k ωω-
+=
=
其中 ,ωL =15Ω,
C
ω1
=14.286Ω .
电压分量分别作用,产生的电流和功率分量为:
(1) 直流 0U =11V 作用时,电感L 为短路,电容 C 为开路,故,I 0=0 , 0P =0 。 (2) 基波 (k=1)作用时,令.
U =10000∠V
Z )1( = R+j(ωL — C
ω1
) =(11+j0.714)Ω =11.023071.3∠Ω 故 ()1.
I =
)
1()1(Z U =
71
.3023.110
100∠∠ =9.072071.3-∠ A
P )1( = I 2)1(R = 905.28 W
(3)二次谐波 (k=2) 作用时,令)
2(U =0
902
4.35∠=2
5.032090∠V
Z )2(=R +j(2ωL — C
ω21) =11 +j(30 —
2
1⨯14.286) =25.366Ω
∠03.64
故 )2(I =
)
2()2(Z U =
03
.64366.2590
032.25∠∠ = 0.98707.25∠ A
P )2(=I 2)2(R =(0.98)2⨯11 = 10.716 W 所以,电路中的电流 i (t) 为
i (t) = 0 +⨯29.072 cos (1000t — 3.710) +⨯20.987 cos (2000t + 25.70) = 12.83 cos (1000t - 3.710) – 1.396 sin (2000t – 64.30) A 电路消耗的功率
P = 0P +)1(P +)2(P = 905.28 +10.716 = 916 W 13—4 电路如图所示,电源电压为
S u (t) = [ 50 + 100 sin ( 314t ) – 40 cos (628t ) + 10 sin ( 942t + 200)]V 试求电流 i (t) 和电源发出的功率及电源电压和电流的有效植。