角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用

1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分a 、b 两种情形： a 、 如图甲：一直线与角的一边平行 b 、 如图乙：一直线与角的平分线平行

2．等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a 、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行

b 、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行

3．等腰三角形与平行线往往出现角平分线

a 、如图甲：与一腰平行

b 、如图乙：与底边平行

角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三，这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使学生对题目一看就会成为可能。这种思维方法称为“知识板块”思维。

角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块”的应用举例：

例1、如图1：已知在△ABC 中∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，过点I 作DE//BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E 。求证：DE=BD+CE 。 证明：

例2、如图2：已知I 是△ABC 的内心，DI//AB 交BC 于点D ，EI//AC 交BC 于E 。求证：

△DIE 的周长等于BC 。

证明：

31∠=∠⇒⎭

⎬⎫∠=∠∠=∠⇒2123//OA CD

DC DO =⇒()

DOC 等腰三角形()ODE 等腰三角形⎪⎭

⎪

⎬⎫

∠=∠⎩⎨

⎧∠=∠∠=∠⇒214231//OC DE OE

OD =⇒∠=∠⇒43⎭⎬⎫∠=∠∠=∠⇒=2131DC CO OA

CD //32⇒∠=∠⇒⎭⎬⎫∠+∠=∠∠=∠⇒=4343AOB OE OD ⎪⎪⎭

⎪⎪⎬⎫

∠=∠∠=∠⇒AOB AOB 21

1213DE

OC //31⇒∠=∠⇒⎭

⎬⎫

∠=∠⇒=∠=∠⇒1323//DC CO DC OA 21∠=∠⇒214231//43∠=∠⇒⎪

⎭

⎪⎬

⎫

⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒∠=∠⇒=OC DE OE OD ⎭⎬⎫

∠=∠∠=∠⇒1232//BC DE 31∠

=∠⇒⎭⎬⎫==⇒EI CE DI BD 同理：CE BD IE DI DE +=+=⇒⎭

⎬⎫

∠=∠∠=∠⇒2131//AB DI BD

DI =⇒∠=∠⇒23图甲

1 3 A B

C

D

E

I

图（2） 2 3 2 1

I E

D A B C

4 3 2 O D

E

C

B

A

1

图乙

同理：EI = CE 。

∴△DIE 的周长=DI + IE + ED = BC

例3、如图3：已知在△ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线交于点D ，DE//BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：EF = BE —CF 。

证明：

同理：CF = FD ∴ EF = ED – FD = BE – CF

例1、 例2、例3都是由角平分线、平行线发现等腰三角形，并且同时出现两个，而这个

发现是突破此类问题难点的关键。

例4、平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，BCD ∠ 的平分线交AD 于点F ，BE 、CF 交于点G ，FG=1。求：A ∠的度数。 解：

⎪⎭

⎪⎬⎫∠=∠⎩⎨

⎧=∠=∠⇒⇒1

25

2//BC

AD BC AD ABCD 平行四边形

15∠=∠⇒

同理可证：DF = CD = AB = 3 ⇒ AF = 1 ∴EF = AD －（AF + DE ）= 4 －2 = 2

∴ ∴ 评注：①此题关键在于利用角平分线、平行线发现两个等腰三角形，即△ABE 和△DCF 。

②利用平行四边形的对边相等，分别得到AF=DE=1。

⎭

⎬⎫∠=∠∠=∠⇒212//BDE BC DE

BDE ∠=∠⇒1ED

BE =⇒1

4433=-=⇒⎪

⎪

⎭

⎪

⎪

⎬⎫=⇒⎭⎬⎫===⇒⎭⎬⎫

==⇒AE AD DE AD BC BC AD AE AB AB AE ⎪

⎪⎪⎭

⎪⎪

⎪

⎬

⎫∠=∠∠=∠=∠+∠⇒⇒BCD ABC BCD ABC CD AB ABCD 213212180//0

平行四边形⎪

⎭⎪

⎬⎫=∴==∠⇒=∠⇒=∠+∠⇒

EF FG FG EGF BGC 21,190909032000 0305=∠⇒0120=∠A 0301=

∠ 4 3 2 1 F E D M

C B A

③用平行线的同旁内角的平分线互相垂直得到R T △BGC ，RT △BGF 。 ④如果直角边为斜边的一半则直角边所对的角为300。 ⑤用三角形内角和定理得0

120=∠A 。

例5、在矩形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ；DE 平分∠ADC ，交BC 于点E ，∠BDE=150，求∠COE 的度数。 解：

045=∠⇒CED ∴ CE CD =

等边△OCD

∴

∵0

306090=-=∠OCE ∴00

0752

30180=-=

∠COE 评注：①矩形的对角线相等且相互平分，即矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形。

②有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形。

③等腰三角形的一个底角=

()

顶角-01802

1

。 ④此题关键是

CE OC CE CD OC CD =⇒⎭

⎬⎫

==。

⑤此题内含“角平分线遇平行线出现等腰三角形CDE ”。

例6、 在△ABC 中，0

90=∠CAB ，A D ⊥B C 于点D ，点E 在B C 的延长线上，且

B CAE ∠=∠，AD=3，DE=4。求：CD ：CE 的值。

解：

⎪⎭⎪⎬

⎫=∠=∠⇒⎭⎬

⎫∠=∠⇒000

90BCD 45EDC ADC DE 90ADC ABCD 平分矩形⎪⎪

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎪

⎪⎬⎫

=⇒⎪⎪⎪⎭

⎪⎪

⎪

⎬⎫===⇒=+=∠∴=∠OC

OD AC 21OC BD 21OD AC BD ABCD 601545150000矩形ODC BDE ⇒⎩⎨⎧=∠=⇒0

60

OCD OC

CD CED

COE OC CE ∠=∠==5

434322=+=

⎪⎭

⎪⎬⎫==∆⇒⊥AE DE AD ADE RT BC AD ⎪⎪

⎪⎭

⎪

⎪

⎪

⎬⎫∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪

⎬⎫=∠+∠⇒⊥=∠+∠⇒=∠⎩⎨⎧∠=∠∠=∠⇒2121904190490231//000B B BC AD B BAC F F EA CA DF 的延长线于点，交作 E

O D A B C