矩阵的简单运算公式

矩阵的运算
（一） 矩阵的线性运算
特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 222()()()AB AB AB A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律
1111111
11(1)()(2)()/(3)()()(4)()()T T n n
AB B A kA A k A A A A ---------====
（三） 关于矩阵转置的运算规律
(1)()(2)()T T T
T T T AB B A A B B A =+=+
（四） 关于伴随矩阵的运算规律
**1
*2
***1*
**1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(),
()(5)()1,()1
0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A
n A A
A
kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A
-------===≥===⎧⎪
==-⎨⎪≤-⎩=
==若若若若可逆，则，，
（五） 关于分块矩阵的运算法则
1
1
1
110000(2)000
0T
T T T
T A B A C C D B D B B B C C C
C B
-----⎡⎤
⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦(1)；，
（六） 求变换矩阵
()121
1
2
11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i
n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P
p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪
⎝
⎭===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪
=→= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1
T T -由求
（七） 特征值与矩阵
（1）
212122a A=a a
A =a a,=n A A λλ-=ΛΛΛA 若可以化成对角型，则存在矩阵使得所以特征值；对于A 仍然适用。

（2）1
-11111A =(a a )a a 1/A A λλ-----Λ=Λ=因此
麦克劳林展开式
23521
242231
(1)e 12!
(2)sin (1)3!5!21!
(3)cos 1(1)2!4!2!
(1)
(1)
(1)(2)
(4)(1)12!
3!
!
n
x
n n n
n
n
n
k x x x n x x x x x n x x x
x n k x x x x x n αααααααα+==+++
=-+-+-+=-+-+--+---+=++
+
+
+
∏
第一章
1.1线性空间：
定义1：设V 是一个非空集合，P 是数域，在V 中定义如下两种计算：
1.加法：对于任意两个元素,V αβ∈ ，按照某一法则，总有唯一元素V γ∈ 与之对应，则=γαβγαβ+称为，之和，记为。

2.数乘：对于任意一个k P ∈及任意元素V α∈按照某一法则，总有唯一的元素=V k k δδαδα∈与之对应，称为与的数乘，记为 满足以下八种运算规律，该空间为线性空间： 1) =αββα++
2) ()()αβγαβγ++=++
3) 在V 中存在一个元素0，使它对任意V α∈ ，都有0=αα+ 。

拥有这一性质的元素称
为零元素
4) 对任意V α∈，在V 中存在相应元素β ，使得=0βα+，称β为α的负元素，记为-α 5) ()k k k αβαβ+=+ 6) ()k l l k ααα+=+ 7) ()()k l kl αα= 8) 1*α=α
1.2线性子空间：
定义：V 是线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 中定义的加法与数乘对应于W 封闭构成线性空间，则W 是V 的子空间。

记为W V ∈ 。

充要条件：W 对应于V 中两种运算都必须封闭、
1.3内积空间
定义：设V 是数域P 上的线性空间，对于V 上的两个向量α和β按照某一法则都有唯一的复数与他们相对应，且具有以下性质（,,V k P αβγ∈∈， ）
(1)(,)(,);
(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)
(4)(,)0,=0(,)=0
k k αββααβγαγβγαβαβααααα=+=+=≥当且仅当时， 称(,),αβαβ为向量的内积
1.4线性变换
定义1：对于线性空间V 中任意一个向量α，按照一定规律总存在α’与之对应，则成这一规律为V 上的一个变换（映射）。

记为：`(),``
ασααααα=称为的象，为的原象 。

线性变换定义：数域P 上的线性空间V 的一个变换σ 对于任意,V V k P αβ∈∈∈，满足(1)()()();(2)(k )k ()
σαβσασβσασα+=+=
1.5正交变换与酉变换：
定义1：若数域P 上的欧式空间（酉空间）V 上的线性变换σ ，对任意
=V ασαα∈，都有（） 则称V σ为上的正交变换。

（酉变换）
酉空间定义：设V 是复数域C 上的线性空间，对于V 上的2个向量x ，y 如果能给定某种规则，使得x,y 对应一个复数（x,y ），它能满足以下条件： ()()()()()()()
()(),,;
,,z ,z ,,,0,0,0.
x y y x x y z x y kx y k x y x x x x x ++=≥==（1）=（2）=（3）（4）当且仅当时，
则称该复数(),x y 是向量x 与y 的内积。

如此定义了那内积的复数域C 上的线性空间叫做酉空间（U 空间）。

H A 表示转置共轭向量，即H -T A =A H H AA =A A=E 则，A 为酉矩阵。