数列_数列中的开放型试题：

数列中的开放型试题：

（一） 存在型：

1.已知等比数列{a n }的各项为不等于1的正数，数列{b n }满足：2log =⋅k a n n b (k>0且k ≠1)，设b 4=17，b 7=11，

(1) 数列{b n }的前多少项和最大，最大值为多少？ (2) 设c n =n b

2 (n ∈N)，S n =c 1+c 2+……+c n ，求25

2lim

n

n S ∞→的值？

(3) 试判断是否存在自然数M ，使当n>M 时，a n >1恒成立，若存在，求出相应的M ；

若不存在，请说明理由？

2.已知数列{a n }是首项为2，公比为21的等比数列，S n 为前n 项的和， (1) 用S n 表示S n+1？

(2) 是否存在自然数n 和k ，使21>--+c

S c

S k k 成立？

（二） 探索型：

1.已知S n =12+22+……+n 2 (n ∈N)，考察S n ，不容易发现规律，而T n =1+2+……+n=21n(n+1) 是我们熟知的，不妨把它们作对比分析：

先完成上述表格，预测S n 的表达式，并加以证明。

2.设f(k)是满足不等式：12log log )

2

3(221

-≥+-⋅-k x x

k (k ∈N)的自然数x 的个数，

(1) 求f(n) (n ∈N)的解析式？

(2) 设S n =f(1)+f(2)+……+f(n) (n ∈N)，求S n ？

(3) 设P n =2n +n 2-6n (n ∈N)，试比较S n 与P n 的大小？

3.已知数列{a n }是等差数列，c n =(a n )2-(a n+1)2 (n ∈N)， (1) 证明：数列{c n }也是等差数列，

(2) 如果a 1+a 3+a 5+……+a 25=130，a 2+a 4+a 6+……+a 26=143-13k （为常数），试写出数列{c n }

的通项公式？

(3) 在(2)中，若数列{c n }的前n 项和为S n ，问：是否存在这样的k ，使S n 当且仅当n=12

时，取得最大值，若存在，确定k 的范围，若不存在，说明理由？

1 4.给定抛物线：x2=y，过原点作斜率为1的直线交抛物线于点P1，然后过点P1作斜率为

2

1的直线交抛物线于点P3，……，如此继续的直线交抛物线于点P2，再过点P2作斜率为

4

下去，一般地，过点P n作斜率为n 2的直线交抛物线于点P n+1，设点P n(x n，y n) n∈N

(1) 求x2n+1n∈N？

(2) 判断点列P1，P3，P5，……，P2n+1，……向哪一点无限接近？

5.已知函数发f(x)=a·b x的图象经过点A (4,0.25) 和B (5,1)。

(1)求函数f(x)的解析式？

log n f，n是正整数，S n是数列{a n}的前项和，解关于n的不等式a n·S n≤0？

(2)记a n=)(

2

(3)对于(2)中的a n与S n，整数104是否为数列{a n·S n}中的项？若是，求出相应的项数；若

不是，则说明理由？

（三） 阅读理解型：

1.对于正数P 1，P 2……P n (n ∈N)，称

n

P P P n

11121+++ 为它们的调和平均数。现已知

数列{a n }的通项公式a n =1

2)

1(++n n n (n ∈N)，且数列第n 项a n 是数列{b n }中前n 项的调和

平均数，

(1) 求数列{b n }的通项公式？ (2) 计算n n

n b a 2lim ∞→

(3) 求数列{n

n

b a 2

}中数值最大、最小的项？

2/(1) 已知数列：1，2，5，10，17，……观察从第二项起每一项减去前一项所得差的规律，

写出它的第六项a 6？

(2) 已知数列：3，5，10，18，29，……按上述规律写出它的第六项b 6？

(3) 象上述(1)，(2)所给的数列叫作二阶等差数列，请根据(1)，(2)的规定，写出二阶等差数列的定义？

(4) 已知数列{c n }是二阶等差数列，它的前三项依次为：c 1，c 2=c 1+b ，c 3=c 1+2b+d ，试求它的通项公式c n ？

（四） 应用型：

1.银行贷款给某企业50万元，允许其每年还一次，分10次还清，每次还款数目相同，若贷款利率以每年10℅计算，试问：该企业每次应还款多少元？

2.某地现有居民住房总面积为a m 2，其中需要拆除的旧住房面积占了一半，当地有关部门决定在每年拆除一定数量旧住房的情况下，仍以10℅的住房增长率建设新住房，

(1) 如果10年后该地住房总面积正好比现在翻一番，那么每年应拆除的旧住房总面积x

是多少？（1.110≈2.6）

(2) 经过10年还未拆除的旧住房总面积占当时住房总面积的百分比是多少？ （保留到小数点后第一位）

3.某公司全年的利润为b 元，其中一部分作为奖金发给n 位职工，奖金分配方案如下：首先将职工按工作业绩（工作业绩均不相同）从大到小，由1至n 排序，第1位职工得奖金b/n 元，然后再将余额除以n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金。

(1) 设a k (1≤k ≤n)为第k 位职工所得奖金额，试求a 2、a 3，并用k 、n 和b 表示a k （不必证明），

(2) 证明a k >a k+1，(k=1,2,……,n-1)，并解释此不等式关于分配原则的实际意义？ (3) 发展基金与n 和b 有关，记为P n (b)，对常数b ，当n 变化时，求)(lim b P n n ∞

→