数列通项公式的几种求法归纳

（A－1）x=B知x= ，从而an＋ =A（an－1+ ），于是数列{an＋ }是首项为a1+ 、公比为A的等比数列，故an＋ =（a1+ ）An－1，从而
an=（a1+ ）An－1－ ；特别地，当A=0时{an}为等差数列；当A≠0，B=0时，数列{an}为等比数列。
推广：对于an=A an－1＋f（n）（A≠0且A∈R）型数列通项公式也可以用待定系数法求通项公式。
于是an＋ · = ×2n－1，则an= ×2n－1－ · = （2n+3－ ）
评注：一般情况，对条件an=Aan－1+f（n）而言，可设an+g（n）=A[an－1+g（n－1）]，则有Ag（n－1）－g（n）=f（n），从而只要求出函数g（n）就可使数列{ an+g（n）}为等比数列，再利用等比数列通项公式求出an。值得注意的是an+g（n）与an－1+g（n－1）中的对应关系。特别地，当f（n）=B（B为常数）时，就是前面叙述的例8型。
则 an-1=5 Sn-1－3………②
①－②得到an－an-1=5（Sn－Sn-1） ∴an－an－1=5an
故an=－ an-1，则{an}是公比为q=－ 、首项an= 的等比数列，则an= （－ ）n-1
评注：递推关系中含有Sn，通常是用Sn和an的关系an=Sn－Sn－1（n≥2）来求通项公式，具体来说有两类：一是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为项与项的关系，再根据新的递推关系求出通项公式；二是通过an=Sn－Sn－1将递推关系揭示的前n项和与通项的关系转化为前n项和与前n－1项和的关系，再根据新的递推关系求出通项公式
七、用累积法求an= f（n）an－1型通项
例7:（1）已知数列{an}满足a1=1且an= an—1（n≥2），求an
（2）数列{an}满足a1= 且an= an—1，求an
解：（1）由条件 = ，记f（n）=
an= · ·… ·a1=f（n）f（n－1）f（n－2）…f（2）f（2）a1
= · · ·… · ·1=
解：设a n+1+λa n=μ（a n+λa n－1），则a n+1=（μ－λ）a n+μλa n－1
而a n+1=a n+6a n－1则 解得 或
当λ=2且μ=3时a n+1+2a n=3（a n+2a n－1），即 =3
则数列{a n+2a n－1}是公比为3、首项为a 2+2a 1=15的等比数列。
变式3：求数列0.7，0.77，0.777，0.7777，…的一个通项公式。解：an= （1－ ）
例4：写出数列1，10，100，1000，…的一个通项公式。解：an=10n－1
变式1：求数列9，99，999，…的一个通项公式。an=10n－1。
变式2：写出数列4，44，444，4444…的一个通项公式。解：an= （10n－1）
这种做法能否进一步推广呢？对于an=f（n）an－1+g（n）型数列可否用待定系数法求通项公式呢？
我们姑且类比做点尝试：令an+k（n）=f（n）[an－1+k（n－1）]，展开得到
an=f（n）an－1+f（n）k（n－1）－k（n），从而f（n）k（n－1）－k（n）= g（n），理论上讲，通过这个等式k（n）可以确定出来，但实际操作上，k（n）未必能轻易确定出来，请看下题：
（2）an= =3× =3×（1+10+100+…+10n）=3× = （10n－1）
（3）an= =12×（1+100+10000+…+100n－1）=12× = （102n－1）
（4）an=1+2+3+…n=
评注：关键是根据数据的变化规律搞清楚第n项的数据特点。
六、用累加法求an=an－1+f（n）型通项
例9：数列{an}满足a1=1且an=2an－1＋ （n≥2），求an。
解：令an＋x· =2（an＋x· ）则an=2an－1+ 2x· －x· = x· =5x·
而由已知an=2an－1＋ 故5x=1，则x= 。故an＋ · ＝2（an－1＋ · ）
从而{an＋ · }是公比为q=2、首项为a1＋ · = 的等比数列。
（2）an= · ·… ·a1= · … · = =2－
评注：如果f（n）=q（q为常数），则{an}为等比数列，an= f（n）an—1型数列是等比数列的一种推广，教材中对等比数列通项公式地推导其实正是用累积法推导出来的。
八、用待定系数法求an=Aan－1＋B型数列通项
例8:数列{an}满足a1=1且an＋1＋2an=1，求其通项公式。
则an=（an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
= + + +…+ +1= －
评注：当f（n）=d（d为常数）时，数列{an}就是等差数列，教材对等差数列通项公式的推导其实就是用累加法求出来的。
分析与解答：若每一项均乘以 ，数列相应变为2，0，2，0，…
故数列的通项公式为an= [1+（－1）n－1]
变式3：求数列5，1，5，1，5，1，…的一个通项公式。
分析与解答1：若每一项均减去1，数列相应变为4，0，4，0，…
故数列的通项公式为an=1++2× [1+（－1）n－1]=1+ [1+（－1）n－1]
分析与解答2：若每一项均减去3，数列相应变为2，－2，2，－2，…
故数列的通项公式为an=3+2（－1）n－1
四、循环数列的通项
例3：写出数列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一个通项公式。解：an=
变式1：求数列0.5，0.05，0.005，…的一个通项公式。解：an=
变式2：求数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式。
=f（n）+ f（n－1）+ f（n－2）+…f（2）+ a1
=（3n－2）+[3（n－1）－2]+ [3（n－2）－2]+ …+（3×2－2）+1
=3[n+（n－1）+（n－2）+…+2]－2（n－1）+1
=3× －2n+3=
（2）由an=an－1+ 知an－an－1= ，记f（n）= = an－an－1
解：由已知，an＋1＋2an=1，即an=－2 an—1＋1
令an＋x=－2（an－1＋x），则an=－2 an－1－3x，于是－3x=1，故x=－
∴ an－ =－2（an－1－ ）故{ an－ }是公比q为－2，首项为an－ = 的等比数列
∴an－ = （－2）n－1=
评注：一般地，当A≠1时令an＋x=A（an－1＋x）有an=A an－1＋（A－ຫໍສະໝຸດ Baidu）x，则有
五、通过等差、等比数列求和来求通项
例5：求下列数列的通项公式
（1）0.7，0.77，0.777，…（2）3，33，333，3333，…
（3）12，1212，121212，…（4）1，1+2，1+2+3，…
解：（1）an= =7× =7×（0.1+0.01+0.001+…+ ）
=7×（ + + +…+ ）=7× = （1－ ）
例6：（1）数列{an}满足a1=1且an=an－1+3n－2（n≥2），求an。
（2）数列{an}满足a1=1且an=an－1+ （n≥2），求an。
解：（1）由an=an－1+3n－2知an－an－1=3n－2，记f（n）=3n－2= an－an－1
则an= （an－an－1）+（an－1－an－2）+（an－2－an－3）+…（a2－a1）+a1
当λ=－3且μ=－2时，同理可求得a n=3n－（－2）n
于是，数列{a n}的通项公式为a n=3n－（－2）n
于是，a n+2a n－1=15×3n－1=5×3n则a n=－2a n－1+5×3n
令a n+x·3n=－2（a n－1+x·3n－1） 则a n=－2a n－1－x·3n故x=－1
于是，a n－3n=－2（a n－1－3n－1）
从而{a n－3n}是公比为－2、首项为a 1－3=2的等比数列。
所以，a n－3n=2×（－2）n－1则a n=3n+2×（－2）n－1=3n－（－2）n
三、摆动数列的通项
例2：写出数列1，－1，1，－1，…的一个通项公式。
解：an=（－1）n－1
变式1：求数列0，2，0，2，0，2，…的一个通项公式。
分析与解答：若每一项均减去1，数列相应变为－1，1，－1，1，…
故数列的通项公式为an=1+（－1）n
变式2：求数列3，0，3，0，3，0，…的一个通项公式。
数列{an}满足a1=1且an= an－1+ ，求其通项公式。
在这种做法下得到 k（n－1）－k（n）= ，显然，目前我们用高中数学知识还无法轻易地求出k（n）来。
九、通过Sn求an
例10：数列{an}满足an=5Sn－3，求an。
解：令n=1，有a1=5an－3，∴a1= 。由于an=5Sn－3………①
十一、构造函数模型转化为等比数列
例12：已知数列{an}满足a1=3且a n+1= （an－1）2+1，求an。
解：由条件a n+1= （an－1）2+1得a n+1－1= （an－1）2
两边取对数有lg（a n+1－1）=lg（（an－1）2）=2lg（an－1）即 =2
故数列{ lg（an－1）}是首项为lg（a1－1）=lg2、公比为2的等比数列
a4=4－ = =2+ a5=4－ = =2+ a6=4－ = =2+
猜想：通项公式为an=2+ 。下用归纳法给出证明
显然，当n=1时，a1=4=2+ ，等式成立
假设当n=k时，等式成立，即ak=2+
则当n=k+1时，a k+1=4－ =4－ =4－ =2+2－ =2+
由归纳法原理知，对一切n∈N+都有an=2+ 。
所以，lg（an－1）=lg2·2n－1=lg 则an－1= 即an= +1
评注：通过构造对数函数达到降次的目的，使原来的递推关系转化为等比数列进行求。
十二、数学归纳法
例13：数列{an}满足a1=4且a n=4－ （n≥2），求an。
解：通过递推关系求出数列前几项如下
a1=4=2+ a2=4－ =3=2+ a3=4－ = =2+
十、取倒数转化为等差数列
例11：已知数列{an}满足a1=1且a n+1= ，求an。
解：由a n+1= 有 = = + 即 － =
所以，数列{ }是首项为 =1、公差为d= 的等差数列
则 =1+（n－1） = 从而an=
评注：注意观察和分析题目条件的结构特点，对所给的递推关系式进行变形，使与所求数列相关的数列（本例中数列{ }）是等差或等比数列后，只需解方程就能求出通项公式了。
数列通项公式的几种求法
一、常规数列的通项
例1：求下列数列的通项公式
（1） ， ， ， ，…
（2）－ ， ，－ ， ，…
（3） ，1， ， ， ，…
解：（1）an= （2）an= （3）an=
二、等差、等比数列的通项
直接利用通项公式an=a1+（n－1）d和an=a1qn－1写通项，但先要根据条件寻求首项、公差和公比。
十三、综合应用
例14：已知各项为正的数列{a n}满足a1=1且a n2=a n－12+2（n≥2），求an。
解：由a n2=a n－12+2知a n2－a n－12=2
则数列{a n2}是公差为2、首项为a 12=1的等差数列。
故a n2=1+2（n－1）=2n－1 即an=
例15：数列{a n}满足a1=a2=5且a n+1=a n+6a n－1（n≥2），求an。