第四章 电路的暂态分析

第四章 电路的暂态分析

第一节 暂态过程及换路定则

[本节重点]：换路定则

[本节难点]：暂态过程及换路定则 [复习导入]：三相负载联结的特点 [讲授新课]：

一、 电路的暂态过程 1．暂态过程

电路从一种稳定状态转换到另一种稳定状态往往不是瞬间完成的，而是需要一个过渡的过程，电路的这个过程称为过渡过程，亦称暂态过程。 2．产生暂态过程的条件

（1） 电路有换路存在。

电路的接通、断开、短路、电源或电路参数的改变等所有电路状态的改变，统称为换路。

（2） 电路中存在储能元件（电感L 或电容C ）。

产生过渡过程的电路一定满足上述条件。但并不是上述条件存在，就一定会产生过渡过程。若换路前后的两稳定状态相同，就不会有过渡过程产生。 二、换路定则

电容上的电压和电感中的电流在任何时候都不能突变，是时间的连续函数。在换路前后的瞬间，电容上的电压和电感中的电流应分别相等，不产生突变。这就是换路定则。设0=t 时换路，-=0t 表示换路前的瞬间，+=0t 表示换路后的瞬间，换路定则可表示为

)0()0(C C -+=u u

)0()0(L L -+=i i 利用换路定则可确定换路后的瞬间，电路中电压电流的数值。 三、初始电压、电流的确定

+=0t 时，电路中的各电压、电流值称为暂态过程的初始值。确定初始值是暂

态分析中首先要解决的问题。步骤如下：

① 求出换路前的瞬间电路（C 视为开路，L 视为短路）中电容上的电压和电感上的电流的数值，即)0(C -u 和)0(L -i ；

② 根据换路定则，确定电容上初始电压和电感上初始电流； )0()0(C C -+=u u )0()0(L L -+=i i

③ 画出t = 0+ 时刻的等效电路。即将电容元件作为恒压源处理，数值和方

向由)0(C +u 确

定；将电感元件作为恒流源处理，其数值和方向由)0(L +i 确定。利用该等效电路求出其它各量的初始值。 四、 RC 电路的暂态过程

分析电路的暂态过程就是根据激励（电压源电压或电流源电流），求电路的响应（电压和电流值）。暂态过程最基本的分析方法是经典法。即根据电路的基本定律列出以时间为自变量的微分方程，然后，利用已知的初始条件求解。如果电路的过渡过程可以用一阶微分方程来描述的，称为一阶电路；需用二阶微分方程来描述的，称为二阶电路。

所谓零输入响应是指换路后的电路中无激励，即输入信号为零时，仅由储能元件所储存的能量产生的响应，

换路前，开关S 合在2上，电容元件已充电。电路处于稳态。0=t 时将开关由2合到1，产生换路。于是，电容元件开始放电。零输入响应是电容放电过程中电路的响应。

首先求得电容上电压的初始值 U u u ==-+)0()0(C C 列 KVL 方程

0C =+u iR 因为

t

u C i i d d C

C == 代入上式并整理，得 0C C

=+u t

u RC

d d 这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，从数学分析可知，该方程的通解为 Pt C )(

e t u A = 01=+RCP 其根为

RC

P 1-=

于是 RC

t e t u -=A )(C

代入初始条件，即

U u =+)0(C 得U =A 该微分方程的解为 RC

t Ue

t u -=)(C

上式说明，电容上的电压随时间按指数规律变化。即电容上的电压C u 由初始值

U 按指数规律变化到新的稳态值0。变化的速度取决于RC 。式中

RC =τ 将τ定义为时间常数。当电阻的单位用Ω，电容的单位用F 时，τ的单位是秒（S ）。

τ的大小决定了过渡过程的快慢，即暂态过程的长短。τ越大，变化的速度越慢，暂态过程越长；τ越小，变化的速度越快，暂态过程越短。当电压一定时，C 越大，储存的电荷越多，R 越大，放电电流越小，这都促使放电变慢。所以，改变R 或C 的数值，都可以改变时间常数的大小，即改变电容放电的速度。

当经过了一个τ时，C u 下降了变化总量的63.2%，即τ=t 时，

U

.Ue u 3680)(1C ==-τ。 可见，时间常数τ等于电容上的电压衰减到初始值的

36.8%时所需的时间。理论上，当t 趋近于∞时，电路才达到新的稳定状态，而实际上，经过)0070(55.e =-τ后，就可以认为过渡过程结束，电路已达到新的稳定状态了。

电路中电阻上电压和电容上电流的变化规律。 RC

t C R --=-=Ue

u u

RC t

R C -

-==e R

U R u i

五、RC 电路的零状态响应

电容元件在换路前未储有电能，即初始电压为零，0=t 时，开关闭合由电源激励所产生的电路的响应称为零状态响应。

换路前开关S 断开，电容元件未充电。电路处于稳态。0=t 时将开关闭合，发生换路。于是，电容元件开始充电。RC 电路的零状态响应是电容由初始无储能开始的充电过程中电路的响应。

因换路前电容未储能，所以电容上电压的初始值 0)0()0(C C ==-+u u 列KVL 方程

U u iR =+C 因为

t

u C i i d d C

C == 代入上式整理，得 U u t

u RC

=+C C

d d

这是一个一阶常系数线性非齐次微分方程，它的通解是由特解C

u '和补函数C u ''两部分构成的。即

C C

C u u u ''+'= 特解与输入U 有相同的形式，即

U u ='C

C

u '也就是∞→t 的稳态值。 补函数是对应的齐次微分方程的通解。

RC

t

e u -=''A C

通解为 RC

t -

+=e

U u A C

其中，A 是积分常数。代入初始条件 0)0(C =+u 得 U A -=

将A 代入，可得该微分方程的解为 )1()(RC

t C -

--=-=e

U Ue

U t u RC

t

由此可得，电容上的电压仍随时间按指数规律变化。变化的起点是初始值0，变化的终点是稳态值U ，变化的速度仍取决于时间常数RC 。

暂态过程中电容元件的电压包含两个分量：一是 U ，即到达稳态时的电压，称为稳态分量；二是仅存于暂态过程中的RC

t Ue

--，称为暂态分量。其存在时间的长

短取决于时间常数τ。经过一个时间常数（τ=RC ）后，电容上的电压充到了63.2%U ，变化了待变化总量的63.2%。

根据电容元件上电压、电流的关系和电路的基本定律，可求得电路中电容元件的电流和电阻元件两端的电压为 RC

t Ue

u U u -=-=C R

RC t

e R

U R u i -

==R

由RC 电路的零输入和零状态响应的分析可见，当电路发生过渡过程时，不仅

电容上的电压有过渡过程产生，电容中的电流及电阻上的电压等也都存在过渡过程。并且具有相同的时间常数和变化规律。这说明，电路中各电量的过渡过程同时发生，也同时结束。 六、 RC 电路的全响应

所谓全响应是指电源激励和电容元件的初始电压均不为零时的响应。对应着

t = 0