内蒙古赤峰二中2020年高中数学青年教师解题大赛试题(无答案)

内蒙古赤峰二中2020年高中数学青年教师解题大赛试题（无答案）

一、填空题（每小题4分，共40分）

1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B 点表示四月的平均最低气温约为5o C ．下面叙述正确的有__________．

（1）各月的平均最低气温都在0o C 以上

（2）七月的平均温差比一月的平均温差大

（3）三月和十一月的平均最高气温基本相同

（4）平均最高气温高于20o C 的月份有5个

2．已知等比数列满足，，则__________．

3．已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题其中的真命题有__________．

12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦ 3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦

4．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3

，则它的表面积是__________．

5．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为__________．

6．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x

+=

与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅ 则

1

()m i i i x y =+=∑ __________． 7．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．

8．的展开式中，若的奇数次幂的项的系数之和为32，则________．

9．已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.

10．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 .

二、解答题（每小题10分，共60分）

11．下图是某地区2000年至2020年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2020年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2020年的数据（时间变量的值依次为）建立模型①：；根据2020年至2020年的数据（时间变量的值依次为）建立模型②：

．

（1）分别利用这两个模型，求该地区2020年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

12．（本小题满分12分）n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，22n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1

1n n n b a a += ,求数列{n b }的前n 项和. 13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7,c ABC △=33，求ABC △的周长． 14．如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC =120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE =2DF ，AE ⊥EC ．

（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC ；

（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．

15．设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，． （1）求的方程；

（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．

16．已知函数()f x =2x x e e x ---.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时， ()0g x >,求b 的最大值；

（3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）