高中数学 第二章 参数方程 第1节 第2课时 圆的参数方程课件 新人教A版选修4-4.pptx

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已知点 P(x，y)是圆xy＝＝1co＋s sθin ，θ(θ 为参
数)上的动点， (1)求 3x＋y 的取值范围； (2)若 x＋y＋a≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
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[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法及不等
式的恒成立问题，解决本题需要正确求出圆 x2＋y2＝2y
的参数方程，然后利用参数方程求解问题(1)、(2)．
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①当 M 在 x 轴上方时，∠MO′x＝2φ.
∴xy＝＝rrs＋inrc2oφs .2φ，
②当 M 在 x 轴下方时，∠MO′x＝－2φ，
∴xy＝＝－r＋rsricnos（（－－2φ2φ））. ，即xy＝＝rrs＋inrc2oφs .2φ，
π ③当 M 在 x 轴上时，对应 φ＝0 或 φ＝±2 .
要注明参数及参数的取值范围．
(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，
就会出现错误，如本题如果把参数方程写成
x＝r＋rcos
y＝rsin φ.
φ， φ的意义就改变了．
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1．设 y＝tx(t 为参数)，则圆 x2＋y2－4y＝0 的参数方
程是________． 解析：把 y＝tx 代入 x2＋y2－4y＝0 得 x＝1＋4tt2，y＝14＋t2t2，
第2课时 圆的参数方程
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[核心必知] 如图，设圆 O 的半径是 r，点 M 从初始位置 M0(t ＝0 时的位置)出发，按逆时针方向在圆 O 上作匀速圆周 运动，点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω，以圆心 O 为原 点，OM0 所在的直线为 x 轴，建立直角坐标系．
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(1)在 t 时刻，M 转过的角度是 θ，点 M 的坐标是(x，y)， 那么 θ＝ωt(ω 为角速度)．设|OM|＝r，那么由三角函数定义，
θ ＋ sin
θ) － 1 ＝ －
2 sin
(θ ＋
π 4
)
－
1≤ 2－1，
∴a≥ 2－1 即 a 的取值范围为[ 2－1，＋∞)．
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(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点 的坐标，并正确确定参数的取值范围．
(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的 实质是利用正、余弦函数的有界性．
有 cos ωt＝xr，sin ωຫໍສະໝຸດ Baidu＝yr，即圆心在原点 O，半径为 r 的圆 x＝rcos ωt，
的参数方程为y＝rsin ωt (t 为参数)．其中参数 t 的物理意
义是：质点做匀速圆周运动的时刻．
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(2)若取 θ 为参数，因为 θ＝ωt，于是圆心在原点 O，半
x＝rcos θ， 径为 r 的圆的参数方程为 y＝rsin θ (θ 为参数)．其中参
数 θ 的几何意义是：OM0(M0 为 t＝0 时的位置)绕点 O 逆 时 针旋转到 OM 的位置时，OM0 转过的角度．
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[问题思考]
1．方程xy＝＝RRscions
θ， θ (θ
为参数，0≤θ<2π)是以坐
标原点为圆心，以 R 为半径的圆的参数方程，能否直接由
圆的普通方程转化得出？
提示：以坐标原点为圆心，以 R 为半径的圆的标准方
程为
x2＋y2＝R2，即(Rx )2＋(Ry )2＝1，令RRxy ＝ ＝csions
θ，
则
θ，
x＝Rcos θ， y＝Rsin θ.
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2．若圆心在点 M0(x0，y0)，半径为 R，则圆的参数方 程是什么？
提示：圆的参数方程为yx＝＝yx00＋＋RRscions
θ， θ. (0≤θ<2π)
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设中点为 M(x，y)，xy＝＝02＋＋sc2i2ons θθ，，即xy＝＝121s＋in12cθos. θ，
它是圆的参数方程，表示以(1，0)为圆心，以12为半径的圆．
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解决此类问题的关键是利用已知圆的参数方程中所含的 参数表示出所求点的坐标，求得参数方程，然后根据参数方 程说明轨迹所表示的曲线．
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3．设方程xy＝＝1＋3＋cossinθθ，(θ 为参数)表示的曲线为 C，
求在曲线 C 上到原点 O 距离最小的点 P 的坐标．
解：∵OP2＝(1＋cos θ)2＋( 3＋sin θ)2＝5＋2 3sin θ＋
2cos
θ＝5＋4sin
π (θ＋ 6 )．当
点 M 在圆(x－r)2＋y2＝r2(r>0)上，O 为原点， x 轴的正半轴绕原点旋转到 OM 形成的角为 φ，以 φ 为参 数．求圆的参数方程．
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[精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法，解答此题 需要借助图形分析圆上点 M(x，y)的坐标与 φ 之间的关系， 然后写出参数方程．
如图所示，设圆心为 O′，连接 O′M
∴参数方程为yx＝＝114＋＋4tt2tt22.，
答案：xy＝＝114＋＋4tt2tt22， (t 为参数)
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已知点
P(2，0)，点
Q
是圆xy＝＝scions
θ， θ (θ
为参数)上一动点，求 PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹
是什么曲线？
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[精讲详析] 本题主要考查圆的参数方程的应用及轨迹的求 法．解答本题需设出 PQ 的中点 M 的坐标为(x，y)，然后利用已知 条件中的参数分别表示 x，y，从而求出轨迹方程，根据方程说明轨 迹的形状．
(1)∵P 在圆xy＝＝1co＋s siθn ，θ上，
∴
3x＋y＝
3cos
θ＋sin
θ＋1＝2sin
π (θ＋ 3 )＋1
∴－2＋1≤ 3x＋y≤2＋1.即 3x＋y 的取值范围为
[－1，3]．
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(2)∵x＋y＋a＝cos θ＋sin θ＋1＋a≥0，
∴a≥－(cos θ＋sin θ)－1.
又 － (cos
综上得圆的参数方程为
x＝r＋rcos 2φ，
y＝rsin 2φ.
(φ
为参数且－π2 ≤φ≤π2 )
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(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般
地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到
的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程表
示的曲线却可以是相同的，另外在建立曲线的参数方程时，
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2．设点 M(x，y)在圆 x2＋y2＝1 上移动，求点 Q(x(x ＋y)，y(x＋y))的轨迹的参数方程．
解：设 M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点 Q(x1，y1)，
则xy11＝＝scions
θ（cos θ＋sin θ）， θ（cos θ＋sin θ）， (θ
为参数)
即为所求的参数方程．