北师大版数学九年级下册知识点总结及例题不错!)
数学北师大版九年级下册——解直角三角形(知识点+练习)
解直角三角形1、了解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的常见类型与解法；2、会将求非直角三角形中的边、角问题转化为解直角三角形问题。
1、解直角三角形的概念由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫作解直角三角形。
特别提醒：①解直角三角形要注意每个三角形都有6个元素,即3个角和3条边。
②在解直角三角形的问题中,除直角外,还需知道其他两个条件,而且至少有一个条件是关于边的。
这是由直角三角形的边角关系决定的。
2、解直角三角形的常见类型及解法解直角三角形的常见类型有两种:(1)已知两边(两条直角边或一条直角边和斜边)(2)已知一边和一角(角必须为两锐角之一)特别提醒：(1)在求解直角三角形的有关问题时,要画出图形帮助分析解决问题。
(2)在解直角三角形时,正确选择关系式是关键:①若求边:一般用未知边比已知边,去寻找已知角的某一个三角函数；②若求角:一般用已知边比未知边,去寻找未知角的某一个三角函数；③求某些未知量的途径往往不唯一。
选择关系式常遵循以下原则:一是选择可以直接应用原始数据的关系式;二是选择便于计算的关系式,若能用乘法计算就避免用除法计算。
(3)对于含有非基本量的直角三角形,比如有些条件中已知两边之和,中线、高线、角平分线的长,角之间的关系,锐角三角函数值,周长,面积等,解决这类问题,我们常用的解题方法是将非基本量转化为基本量,最终达到解直角三角形的目的。
考法1 非直角三角形问题的解法在非直角三角形的问题中,往往是通过作三角形的高,构造直角三角形来解决,而作高时,常从非特殊角的顶点作高,对于较复杂的图形,往往通过“补形”或“分割”的方法,构造出直角三角形。
(1)作高线可以把锐角三角形或钝角三角形转化为两个直角三角形(2)作高线可以把平行四边形、梯形转化为含直角三角形的(3)连接对角线,可以把矩形、菱形和正方形转化为含直三角形的图形考法2“双直角三角形”问题的解法双直角三角形是指一条直角边重合,另一条直角边共线的两个直角三角形。
北师大版九年级数学下册第一章三角函数知识点总结(超级详细)
北师大版九年级数学初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题知识点：1、本章三角函数源自于勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c（勾股定理也叫毕达哥拉斯定理，在部分课外资料/习题当中会出现毕达哥拉斯定理） 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：除的内容还包含正割(sec)和余割(csc)两部分内容）3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、30°、45°、60A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A对边邻边 C6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，解直角三角形的定义1、：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。
(注意：尽量避免使用中间数据和除法)2、应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
仰角水平线视线视线俯角(2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l=。
坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi lα==。
3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图 ，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。
指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
所以,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向） ， 南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向）， 北偏西60°（西北方向）。
九年级下册数学知识点大总结(北师大版)
i=h:l北师大版九年级下册数学知识点大总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数1.正切：定义：在 R t △A B C 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正．切．，记作tanA ， 即tan A = ∠A 的对边 ;∠A 的邻边①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”；②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比；③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正．弦．：定义：在 R t △A B C 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A =∠A 的对边;斜边3.余弦：定义：在 R t △A B C 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A =∠A 的邻边 ;斜边锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角 A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
B二．特殊角的三角函数值hCl A图 2图 130 º45 º 60 º sinα1 2 3 222cosα322212tanα331 3三．三角函数的计算1.仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰．角．2.俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯．角．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。
4.坡度：如图 2，坡面与水平面的夹角叫做坡．角．坡．角．的．正．切．称．为．坡．度．(或坡．比．)。
(完整版)新北师大九年级数学下册知识点总结
新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章直角三角形边的关系一•锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与邻边的比叫做/A的正切，记作tanA ,① tanA 是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号“/”；② tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中/A 的对边与邻边的比；③ tanA 不表示"tan ”乘以"A ”；④ 初中阶段，我们只学习直角三角形中，/A是锐角的正切；⑤ tanA 的值越大，梯子越陡，ZA 越大；ZA 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2. 正弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的对边与斜边的比叫做/A 的正弦，记作sinA ，即sin AA的对边................................... """■ 斜边3. 余弦：定义：在Rt △ ABC 中，锐角/A 的邻边与斜边的比叫做/A 的余弦，记作cosA ，即cosA A的邻边 .............................. ■■■■■斜边之变化三•三角函数的计算1. 仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 仰角2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 俯角值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大 < sin a< 1， 0< cos a< 1。
4. 坡度：如图2,坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度i tan Al5. 方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角...。
如图3，OA OB OC 的方位角分别为 45 °、135 °、225 °。
6. 方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.。
北师大版九年级数学下册 第16讲 等腰、等边即直角三角形 知识点梳理
3.角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.
（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.
例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.
(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.
2.等边三角形
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
4.垂直平分线图形
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
知识点三：直角三角形的判定与性质
5.直角三角形的性质
(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2)30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝ AB；
北师大版数学九年级下册：第一章《直角三角形的边角关系》知识点整理复习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA •tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
北师大数学九年级下册二次函数知识点总结
二次函数学问点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++〔a b c，，是常数，0a≠〕的函数，叫做二次函数。
这里须要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的构造特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2y ax=的性质：a 的肯定值越大，抛物线的开口越小。
Array2.2y ax c=+的性质：上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形态不变，将其顶点平移到()h k ，处，详细平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕四、二次函数()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+及2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、及y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、及x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设及x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，及x 轴的交点，及y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线及x 轴两交点的横坐标〕. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非全部的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线及x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象及各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，明显0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 确定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负确定开口方向，a 的大小确定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 确定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好及上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 确定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的断定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线及y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线及y 轴的交点为坐标原点，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线及y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线及y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 确定了抛物线及y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必需根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种状况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线及x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，明显无论作何种对称变换，抛物线的形态肯定不会发生改变，因此a 恒久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以根据题意或便利运算的原那么，选择相宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数及一元二次方程：1. 二次函数及一元二次方程的关系〔二次函数及x 轴交点状况〕：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特别状况.图象及x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象及x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的间隔21AB x x =-=② 当0∆=时，图象及x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象及x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象及y 轴肯定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象及x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大〔小〕值须要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置推断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号推断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和一点对称的点坐标，或及x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 及二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，提示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联络：二次函数图像参考：2-322y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少y=-2x2y=-2(x-3)2二次函数考察重点及常见题型1． 考察二次函数的定义、性质，有关试题常出如今选择题中， 如：以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 那么m 的值是2． 综合考察正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同始终角坐标系内考察两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，假如函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是〔 〕A B C D3． 考察用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
(完整版)北师大版九年级数学下册知识点归纳复习提纲
图1 新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章 直角三角形边的关系一．锐角三角函数 1.正切：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ， 即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A 是锐角的正切；⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
2.正弦．．： 定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;3.余弦：定义：在Rt△ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ; 锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数当锐角A 变化时，相应的正弦、余弦和正切之也随之变化。
二．特殊角的三角函数值30 º45 º 60 º sin α21 22 23 h i=h:lBC三．三角函数的计算1. 仰角:当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．．2. 俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．3.规律：利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。
(2)0≤sin α≤1，0≤cos α≤1。
4.坡度：如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角坡角的正切称为坡度．．．．．．．．．．． (或坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==5.方位角：从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
北师大版九年级下册数学[圆的对称性—知识点整理及重点题型梳理](提高)
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北师大版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习圆的对称性—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1.（2015春•安岳县月考）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．【答案与解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，∴F为CD的中点，即CF=DF，∵AE=2，EB=6，∴AB=AE+EB=2+6=8，∴OA=4，∴OE=OA﹣AE=4﹣2=2，在Rt△OEF中，∠DEB=30°，∴OF=OE=1，在Rt△ODF中，OF=1，OD=4，根据勾股定理得：DF==，则CD=2DF=2．【总结升华】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三：【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴12MO HN CN CH CD CH==-=-11()(38)3 2.522CH DH CH=+-=+-=，111()(46)5222BM AB BH AH==+=+=，∴在Rt△BOM中，OB==【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.【答案】14cm.2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.【思路点拨】⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，=8+6=14(cm)图1 图2(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【总结升华】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.举一反三：【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．【答案】2或8．类型二、垂径定理的综合应用3.（2015•普陀区一模）如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB=45°，在AB延长线上的C处测得∠OCA=30°，已知BC=50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）【答案与解析】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD=BD，∵∠OAB=45°，∴AD=OD，∴设AD=x，则OD=x，OA=x，CD=x+BC=x+50）．∵∠OCA=30°，∴=tan30°，即=，解得x=25﹣25，∴OA=x=×（25﹣25）=（25﹣25）（米）．答：人工湖的半径为（25﹣25）米．【总结升华】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．4. 不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点，AB是⊙O的直径，AE⊥l于E，BF⊥l于F．(1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA＝OB除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)；(3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．【答案与解析】(1)如图所示，在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点；在图②中AB、CD交于⊙O内一点；在图③中AB∥CD．(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，∴ AE∥OG∥BF．∵ AB为直径，∴ AO＝OB，∴ EG＝GF，∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．【总结升华】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形. 类型三、圆心角、弧、弦之间的关系及应用5.已知：如图所示，⊙O 中弦AB ＝CD ．求证：AD ＝BC ．【思路点拨】本题主要是考查弧、弦、圆心角之间的关系，要证AD ＝BC ，只需证AD BC =或证∠AOD＝∠BOC 即可．【答案与解析】证法一：如图①，∵ AB ＝CD ，∴ A B C D =．∴ A B B DC D B D -=-，即AD BC =， ∴ AD ＝BC ．证法二：如图②，连OA 、OB 、OC 、OD ，∵ AB ＝CD ，∴ ∠AOB ＝∠COD ．∴ ∠AOB －∠DOB ＝∠COD －∠DOB ，即∠AOD ＝∠BOC ，∴ AD ＝BC ．【总结升华】在同圆或等圆中，证两弦相等时常用的方法是找这两弦所对的弧相等或所对的圆心角相等，而图中没有已知的等弧和等圆心角，必须借助已知的等弦进行推理．举一反三：【变式】如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M 、N 分别是AO 、BO 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ． 求证：AC BD =．【答案】证法一：如上图所示，连OC、OD，则OC＝OD，∵OA＝OB，且12OM OA=，12ON OB=，∴OM＝ON，而CM⊥AB，DN⊥AB，∴Rt△COM≌Rt△DON，∴∠COM＝∠DON，∴A C B D=．证法二：如下图，连AC、BD、OC、OD．∵M是AO的中点，且CM⊥AB，∴AC＝OC，同理BD＝OD，又OC＝OD．∴AC＝BD，∴A C B D=．。
九年级数学下册知识讲义-2.3二次函数的解析式(附练习及答案)-北师大版
初中数学二次函数的解析式一、考点突破1. 掌握求二次函数解析式的方法。
2. 能够根据题目要求选择合适的求解析式的方法解决问题。
二、重难点提示重点：求二次函数解析式。
难点：根据问题选择合适的方法，求二次函数解析式。
考点精讲1.二次函数的解析式的四种形式一般式：（）。
顶点式：（）。
其中（，）为顶点，对称轴为。
交点式：（）。
其中，为抛物线与轴交点的横坐标。
对称点式：（）。
其中（，），（，）为图象上两个对称的点。
2.确定二次函数解析式的几种基本思路根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式，必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。
一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用对称点式。
典例精讲例题1（宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x－2）2－2与x轴分别交于O、A 两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为（）A. y=（x－2）2+4B. y=（x－2）2+3C. y=（x－2）2+2D. y=（x－2）2+1思路分析：根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式，求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式，求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的。
答案：解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x－2）2－2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x－2）2－2+4，即y=（x－2）2+2，选C。
北师大版九年级数学(下)全书知识总结
（2） 的值越大，梯子越陡。
（3） 的值越小，梯子越陡。
3、导出公式
（1） ； 。
（2） 。
（3） .
要点诠释：
(1)公式成立的条件是
(2)锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．
1.230°、45°、60°角的三角函数值
要点一、1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：
锐角
30°
45°
1
60°
要点诠释：
(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 ，则锐角 ．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：
当角度在0°<∠A<90°间变化时， ， ，tanA＞0．
要点二、梯子的倾斜程度与梯子的关系
1、坡度：坡面的铅直高度 与水平宽度 的比称为坡度（或坡比）,用字母 表示。设坡角为 ，则坡度 = = ,如图，坡度通常写成 的形式.
顶点坐标
对称轴
函数变化
最大（小）值
y=ax2
a＞0
向上
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而增大；
x＜0时，y随x增大而减小.
当x=0时，
y最小=0
y=ax2
a＜0
向下
（0，0）
y轴
x＞0时，y随x增大而减小；
北师大版初三(下)数学重点知识点汇总
初三（下）重点知识点汇总第1课锐角三角函数1．锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°．（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的______，记作sinA．即sinA=∠A的对边斜边=ac．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的______，记作cosA．即cosA=∠A的邻边斜边=bc．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的______，记作tanA．即tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab．（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．2．锐角三角函数的增减性（1）锐角三角函数值都是___值．（2）当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．（3）当角度在0°≤∠A≤90°间变化时，0≤sinA≤1，0≤cosA≤1．当角度在0°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞0．3．互余两角三角函数的关系在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：（1）一个角的正弦值等于这个角的余角的______值，即sinA=（90°﹣∠A）；（2）一个角的余弦值等于这个角的余角的______值，即cosA=sin（90°﹣∠A）；也可以理解成若∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB或sinB=cosA．参考答案：1.（1）正弦；（2）余弦；（3）正切2.（1）正3.（1）余弦正弦第2课特殊角的三角函数值1．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；2．特殊角的三角函数值的应用（1）应用中熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐_______，余弦逐渐_______，正切逐渐_______；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．（2）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．参考答案：1. 30°、45°、60°2.（1）增大减小增大第2课解直角三角形（1）1．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：__________；③边角之间的关系：sinA=∠A的对边：斜边=a：c，cosA=∠A的邻边：斜边=b：c，tanA=∠A的对边：邻边=a：b．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）2．特殊角的三角函数值特指___、_____、_____角的各种三角函数值．sin30°=；cos30°=；tan30°=；sin45°=；cos45°=；tan45°=1；sin60°=；cos60°=；tan60°=；参考答案：1.（2）a2+b2=c22. 30°、45°、60°第3课解直角三角形（2）1．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．2．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做_____，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．3．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是_____的视线与水平线的夹角；俯角是_____向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．4．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．参考答案：2.（1）坡比3.（1）向上看向下看第4课二次函数1．二次函数的定义（1）二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为_____，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．（2）二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是__________，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义．2．二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是______________，对称轴直线____________，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向____，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．3．根据实际问题列二次函数关系式根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据_______的取值范围来确定．①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题．②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式．参考答案：1.（1）整式；（2）全体实数2.（﹣，）x=﹣①上；②下3.自变量第5课二次函数的图像1．二次函数的图象（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①_______：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．②_______：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③_______：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．（2）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．2．二次函数图象与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的______和_______．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大，开口就越___．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．3．二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状____，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．参考答案：1.（1）①列表；②描点；③连线；2.①开口方向大小小3.不变第6课二次函数解析式的判定1．二次函数解析式的三种常见形式二次函数的解析式有三种常见形式：①_________：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②_________：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③_________：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；2．待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择________，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为________来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为_______来求解．参考答案：1.①一般式；②顶点式；③交点式2. 一般式 顶点式 交点式第7课 用函数观点看一元二次函数1．二次函数与一元二次方程的关系如果抛物线与x 轴有公共点，公共点的横坐标是，那么当时，函数的值是0，因此______就是方程ax bx c 20++=的一个根。
北师大版九年级下册数学第5讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理(1)
北师大版九年级下册数学第 5 讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理【学习目标】1.经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．2.会作出y=ax2 和y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．3.能说出y=ax2＋c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型．【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1.二次函数y=a x2(a≠0)的图象二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y 轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.2.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的画法——描点法描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x 的值，求出相应的y 值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）（2）描点：以表中每对x 和y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.要点诠释：（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值.（2）二次函数y=ax2(a≠0)的图象，是轴对称图形，对称轴是y 轴．y=ax2(a≠0)是最简单的二次函数.（3）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.3.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的性质二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：要点诠释：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. │a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴.要点二、二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象与性质1.二次函数y=a x2+c(a≠0)的图象（1）a 0yy = ax 2+ c (c > 0)c Oxyy = ax 2 + c (c < 0) Oc x（2） a < 0yc OxyOcx2.二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象的性质y = ax 2 + c (c > 0)y = ax 2 + c (关c < 0于) 二 次 函 数y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数y= ax 2 + c (a > 0, c > 0)y = ax 2 + c (a < 0, c > 0)图象开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0，c) (0，c) 对称轴y 轴y 轴函数变化当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而增大.最大（小）当x = 0 时，y最小值=c当x = 0 时，y最大值=c 值【典型例题】类型一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质1．(2014 秋•青海校级月考）二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 的图象交于点P（1，m）（1）求a，m 的值；（2）写出二次函数的表达式，并指出x取何值时该表达式y随x的增大而增大？（3）写出该抛物线的顶点坐标和对称轴．【思路点拨】（1）把点P（1，m）分别代入二次函数y=ax2与直线y=2x﹣1 即可求出未知数的值；（2）把a 代入二次函数y=ax2与即可求出二次函数表达式；根据二次函数的对称轴及增减性判断出x 的取值．（3）根据二次函数的性质直接写出即可．【答案与解析】解：（1）点P（1，m）在y=2x﹣1 的图象上∴m=2×1﹣1=1 代入y=ax2∴a=1（2）二次函数表达式：y=x2因为函数y=x2的开口向上，对称轴为y 轴，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；（3）y=x2的顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．【总结升华】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，及二次函数的增减性．举一反三：【变式1】二次函数y =ax2与y =-2x2的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=．【答案】2.【变式2】（2015•山西模拟）抛物线y=﹣x2不具有的性质是（）．A.开口向上B. 对称轴是y 轴C. 在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大D. 最高点是原点【答案】A.2.已知y=(m+1)x m2+m 是二次函数且其图象开口向上,求m 的值和函数解析式.【思路点拨】根据二次函数的定义以及函数y=ax2（a≠0）的图象性质来解答.【答案与解析】⎩⎧m 2 + m = 2由题意， ⎨m +1＞0 ，解得 m=1，∴二次函数的解析式为：y= 2x 2 .【总结升华】本题中二次函数还应该有 m+1≠0 的限制条件，但当 m +1＞0 时，一定存在 m+1≠0，所以就不再考虑了.类型二、二次函数 y =a x 2+c (a ≠0)的图象与性质3. 求下列抛物线的解析式：（1） 与抛物线 y = - 1 x 2+ 3 形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； 2（2） 顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于 y 轴对称的抛物线．【思路点拨】抛物线形状相同则| a | 相同，再由开口方向可确定 a 的符号，由顶点坐标可确定 c 的值，从而确定抛物线的解析式 y = ax 2 + c ．【答案与解析】（1） 由于待求抛物线 y = -1x 2 + 3 21形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为 ， 2又顶点坐标是（0，-5），故常数项 k = -5 ，所以所求抛物线为 y = 1x 2 - 5 ．2（2） 因为抛物线的顶点为（0，1），所以其解析式可设为 y = ax 2 +1 ，又∵该抛物线过点（3，-2），∴ 9a +1 = -2 ，解得 a = - 1．3∴所求抛物线为 y = - 1x 2 +1．3【总结升华】本题考察函数 y = ax 2 + c (a ≠ 0) 的基本性质，并考察待定系数法求简单函数的解析式.4. 在同一直角坐标系中，画出 y = -x 2 和 y = -x 2 +1的图象，并根据图象回答下列问题．(1)抛物线y =-x2+1向平移个单位得到抛物线y =-x2；(2)抛物线y =-x2+1开口方向是，对称轴为，顶点坐标为；(3)抛物线y =-x2+1，当x时，随x 的增大而减小；当x时，函数y 有最值，其最值是．【思路点拨】利用描点法画出函数图象，根据图象进行解答.【答案与解析】函数y =-x2与y =-x2+1的图象如图所示：(1)下；l ；(2)向下；y 轴；(0，1)；(3)＞0；＝0；大；大； 1.【总结升华】本例题把函数y =-x2+1与函数y =-x2的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数y =ax2+c(a ≠ 0) 与y =ax2 (a ≠ 0) 的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．y =ax2+c(a ≠ 0) 可以看作是把y =ax2 (a ≠ 0) 的图象向上(k > 0) 或向下(k < 0) 平移| k | 个单位得到的．举一反三：【变式】函数y = 3x2可以由y = 3x2-1 怎样平移得到？【答案】向上平移1 个单位.。
九年级数学下册知识讲义-3圆内接正多边形(附练习及答案)-北师大版
一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。
2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。
3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。
二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。
难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。
考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。
这个圆叫做该正多边形的外接圆。
② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。
AOB 叫做这个正五边形的中心角。
A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。
（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。
D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。
典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。
新北师大版九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系知识点整理复习
直角三角形的边角关系知识点复习考点一、锐角三角函数的概念如图，在△ABC 中，∠C=90°正弦：_____sin =∠=斜边的对边A A 余弦：____cos =∠=斜边的邻边A A 正切：_____tan =∠∠=的邻边的对边A A A考点二、一些特殊角的三角函数值三角函数 30°45°60°sin α cos α tan α考点三、各锐角三角函数之间的关系（1）互余关系：sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) ； （2）平方关系：1cos sin 22=+A A （3）倒数关系：tanA ∙tan(90°—A)=1 （4）商的关系：tanA=AAcos sin 考点四、锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，(1) 正弦值随着角度的增大而_______；(2) 余弦值随着角度的增大而_______；(3) 正切值随着角度的增大而___________； 考点五、解直角三角形 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c （1）三边之间的关系：______________________（勾股定理） （2）锐角之间的关系：______________________（3）边角之间的关系：正弦sinA=___________，余弦cosA=____________，正切tanA=______________ (4) 面积公式：c ch ab s 2121==（h c 为c 边上的高） 考点六、解直角三角形应用1、将实际问题转化到直角三角形中，用锐角三角函数、代数和几何知识综合求解2、仰角、俯角、坡面 知识点及应用举例：(1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。
北师大版九年级下册数学知识点
北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
新北师大版九年级数学下册知识点总结
新北师大版九年级数学下册知识点总结第一章：有理数1. 有理数的概念：有理数包括整数和分数，整数包括正整数、负整数和零，分数包括正分数和负分数。
2. 有理数的比较：两个有理数的大小可以通过比较它们的大小关系来确定。
3. 有理数的加法和减法：有理数的加法和减法遵循相同数相加减法则。
第二章：平面直角坐标系1. 平面直角坐标系的概念：平面直角坐标系是一个有序数对的平面，其中包括横轴和纵轴。
2. 坐标的表示方法：在平面直角坐标系中，点的位置可以用坐标表示，横坐标表示横轴上的位置，纵坐标表示纵轴上的位置。
3. 点的位置关系：在平面直角坐标系中，有不同的点的位置关系，如同一点、同一直线、同一平面等。
第三章：相似三角形1. 相似三角形的概念：两个三角形的对应角相等，对应边成比例，则这两个三角形相似。
2. 相似三角形的性质：相似三角形的各对应角相等，对应边成比例。
3. 判断相似三角形的方法：可以通过判断三角形的角度和边长是否成比例来确定两个三角形是否相似。
第四章：代数式1. 代数式的概念：由数、字母和运算符号组成的式子称为代数式。
2. 代数式的运算：代数式可以进行加法、减法、乘法和除法运算。
3. 代数式的化简：将代数式中的同类项合并，进行合并加减法运算。
第五章：线性方程与方程组1. 线性方程的概念：一次方程称为线性方程，形如ax + b = 0。
2. 解线性方程的方法：可以通过逆运算求解线性方程，将方程两边加上同一个数或将方程两边乘以同一个数。
3. 方程组的概念：包含多个方程的组合称为方程组。
以上是新北师大版九年级数学下册的知识点总结，希望对你有帮助！。
(最新整理)北师大版初三下册数学知识点总结
自变量的取值范围是全体实数.
y ax2 (a 0) 是二次函数的特例，此时常数 b=c=0.
※在写二次函数的关系式时,一定要寻找两个变量之间的等量关系,列出相应的函数关系式,并
确定自变量的取值范围.
※二次函数 y＝ax2 的图象是一条顶点在原点关于 y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线.
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随 x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线
◎在△ABC 中，∠C 为直角，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c，则有 （1）三边之间的关系：a2+b2=c2； (2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°；
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（3)边与角之间的关系：
sin A a , cos A b , tan A a , cot A b ;
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第一章 直角三角形边的关系 ※一。 正切：
定义：在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA, 即 tan A A的对边 ;
A的邻边
①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠"； ②tanA 没有单位,它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A"; ④初中阶段，我们只学习直角三角形中,∠A 是锐角的正切; ⑤tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大；∠A 越大，梯子越陡,tanA 的值越大. ※二. 正弦： 定义:在 Rt△ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即 sin A A的对边 ;
斜边
※三. 余弦： 定义：在 Rt△ABC 中,锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作 cosA，即 cos A A的邻边 ;
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北师大版数学九年级下册知识点总结及例题第一章 直角三角形的边角关系1．正切：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．．，记作tanA ，即的邻边的对边A A A ∠∠=tan ;①tanA 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，常省去角的符号“∠”； ②tanA 没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A 的对边与邻边的比； ③tanA 不表示“tan”乘以“A”；④tanA 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tanA 的值越大。
例 在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ） A.扩大2倍 B.缩小2倍 C.扩大4倍 D.没有变化 2. 正弦．．： 在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边A A ∠=sin ;例 在ABC ∆中，若90C ∠=︒，1sin 2A =，2AB =，则ABC ∆的周长为 3. 余弦：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边A A ∠=cos ;例 等腰三角形的底角为30°，底边长为 ）A ．4B ．C ．2D ．4. 一个锐角的正弦、余弦分别等于它的余角的余弦、正弦。
例 △ABC 中，∠A ，∠B 均为锐角，且有2|tan 32sin 30B A +-=（），则△ABC 是（ ）A ．直角（不等腰）三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰（不等边）三角形D ．等边三角形5.当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．． 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．．6.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
7.在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，则有 (1)三边之间的关系：a 2+b 2=c 2； (2)两锐角的关系：∠A ＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：,tan ,cos ,sin b a A c bA c aA ===,tan ,cos ,sin a bB caB c bB ===30 º45 º60 ºsinα 2122 23 cosα 23 22 21 tanα33 1 3(4)面积公式:chc ab 2121S ==∆(hc 为C 边上的高);例 在△ABC 中，∠C ＝90°，下列式子一定能成立的是（ ）A ．sin a cB = B ．cos a b B =C ．tan c a B =D ．tan a b A =8.解直角三角形的几种基本类型列表如下：例 ABC ∆中，∠C=90°，AC=52，∠A 的角平分线交BC 于D ，且AD=1534， 则A tan 的值为A 、1558B 、3C 、33D 、31例 已知，四边形ABCD 中，∠ABC = ∠ADB =090，AB = 5，AD = 3，BC = 32，求四边形ABCD 的面积S 四边形ABCD .图 3图49.如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角．． (或叫做坡比．．)。
用字母i 表示，即A lhi tan ==例 一人乘雪橇沿坡度为1:3的斜坡滑下，滑下距离S （米）与时间t （秒）之间的关系为S ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为 A 、 72米 B 、36米 C 、336米 D 、318米10.从某点的正北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．．．。
如图3，OA 、OB 、OC 的方位角分别为45°、135°、225°。
11.正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角．．．。
如图4，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
图2i=h:lBC第二章 二次函数1.二次函数的概念：形如)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的函数，叫做x 的二次函数．．．．。
（1）自变量的取值范围是全体实数。
（2）)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例，此时常数b=c=0.（3）在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。
2.二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在原点且关于y 轴对称的抛物线．．．。
[描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
] ①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y 轴(或称直线x ＝0)。
③当a ＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当a ＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：A 、当a ＞0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时x y x x y xB 、当a ＜0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时x y x x y x⑤当｜a ｜越大，抛物线开口越小；当｜a ｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有最小值，最小值是0； 当a ＜0，且x ＝0时函数有最大值，最大值是0．3.二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在y 轴上且关于y 轴对称的抛物线二次函数c ax y +=2的图象中，a 的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c 决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。
4.二次函数c bx ax y ++=2的图象是以a b x 2-=为对称轴，顶点在（ab 2-，ab ac 442-）的抛物线。
（开口方向和大小由a 来决定）5.二次函数c bx ax y ++=2的图象与y ＝ax 2的图象的关系：c bx ax y ++=2的图象可以由y ＝ax 2的图象平移得到，其步骤如下：①将c bx ax y ++=2配方成k h x a y +-=2)(的形式；（其中h=ab 2-，k=ab ac 442-）；②把抛物线2ax y =向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象；③再把抛物线2)(h x a y -=向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到k h x a y +-=2)(的图象。
例 将二次函数配方成的形式，则y =__ _____.例 把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ）A. ，B. ，C. ，D.，6.二次函数c bx ax y ++=2的性质：二次函数c bx ax y ++=2配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=则：① 对称轴：x=ab2-②顶点坐标：（ab 2-，ab ac 442-）③增减性： 若a>0，则当x<ab2-时，y 随x 的增大而减小．．．．．； 当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大。
．．．．．． 若a<0，则当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大．．．．．； 当x>ab2-时，y 随x 的增大而减小。
．．．．．． ④最值：若a>0，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最小；若a<0，则当x=ab2-时，a b ac y 442-=最大例 抛物线的对称轴是直线（ ） A.B.C.D.例 二次函数的最小值是（ ） A.B. 2C.D. 1例 二次函数的图象如图所示，若，，则（ ）A. ，，B. ，，C. ，，D. ，，例 二次函数的图象如右图，则点在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限例 已知反比例函数的图象如右图所示，则二次函数的图象大致为（ ）例 下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数与一次函数的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）7.画二次函数c bx ax y ++=2的图象：（五点法）①先找出顶点（a b 2-，ab ac 442-），画出对称轴x=ab2-；②找出图象上关于直线x=ab2-对称的四个点（如与坐标的交点等）； ③把上述五点连成光滑的曲线。
8.二次函数c bx ax y ++=2的图象(抛物线)与x 轴的两个交点的横坐标x 1，x 2是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ac b 42->0 <===> 抛物线与x 轴有2个交点； ac b 42-=0 <===> 抛物线与x 轴有1个交点；ac b 42-<0 <===> 抛物线与x 轴有0个交点（无交点）；例 已知二次函数，且，，则一定有（ ）A. B. C. D. ≤0例已知抛物线与x轴有两个交点，那么一元二次方程的根的情况是______________________.例已知抛物线与x轴交点的横坐标为，则=_________.第三章 圆1. 圆的定义：描述性定义：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的圆形叫做圆．；固定的端点O 叫做圆心．．；线段OA 叫做半径．．；以点O 为圆心的圆，记作⊙O ，读作“圆O”集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其中定点叫做圆．心．，定长叫做圆的半径．．．．，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆．．。
对圆的定义的理解：①圆是一条封闭曲线，不是圆面；②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。
2. 点与圆的位置关系及其数量特征：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则 ①点在圆上 <===> d=r; ②点在圆内 <===> d<r; ③点在圆外 <===> d>r.例 若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标是(3，4)，点P 的坐标是(5，8)，则点P 的位置为（ ）A 、在⊙A 内B 、在⊙A 上C 、在⊙A 外D 、不能确定例 若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ） A ．2b a + B ．2b a - C ．22ba b a -+或 D ．b a b a -+或3. 圆的对称性: （1）与圆相关的概念： ①弦和直径：弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．。