线性定常连续系统离散化的一种简单方法
线性定常连续系统的离散化
线性定常连续系统的离散化(6/10)
线性定常连续系统状态空间模型的离散化, 实际上是指在采 样周期T下, 将状态空间模型 x Ax Bu y Cx Du 变换成离散系统的如下状态空间模型:
e 2T
H (T )
T
(t)dt B
0
T 1 0 0
0.5(1 e2tபைடு நூலகம்e2t
)dt
0 1
1 4
2T (1 e2T
2(1 e2T )
)
于是该连续系统的离散化状态方程为
1 (1 e2T )/2
T/2 (1 e2T )/4
x(k 1) 0
e 2T
x(k)
(1 e2T )/2
线性定常连续系统的离散化(7/10)
连续系统的状态方程的求解公式如下:
t
x(t) Φ(t t0 )x(t0 )
Φ(t τ
t0
)Bu(τ
)dτ
➢ 现在只考虑在采样时刻t kT和t (k1)T时刻之间的状 态响应, 即对于上式, 取t0 kT, t (k1)T, 于是
(k 1)T
x((k 1)T ) Φ(T )x(kT ) Φ[(k 1)T τ ]Bu(τ )dτ kT
线性定常连续系统的离散化(3/10)
下图所示为连续系统化为离散系统的系统框图
u(t) 保持器
连续系统 y(t)
x(t)
x(k) u(k)
数字 D/A 计算机 A/D
连续系统离散化的实现
采样 y(k)
线性定常连续系统的离散化(4/10)
现代控制原理2-3离散系统
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
2.3线性连续时间状态空间表达式的离散化
§2.3 线性连续时间状态空间表达式的离散化如果用数字计算机对连续时间状态方程求解，或者对连续受控对象采用数字计算机进行在线控制，都要碰到一个将连续时间系统化为离散时间系统的问题。
本节将讨论线性连续时间状态空间表达式的离散化方法。
一、线性时变系统的离散化 设原线性系统的状态空间表达式为：).()t (u )t (D )t (X )t (C Y )t (u )t (B )t (X )t (A X612⎩⎨⎧+=+=离散化后状态空间表达式为：[]).()kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y )kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X 6221⎩⎨⎧⋅+⋅=+=+式（2.61）、（2.62）之间的系数关系如下[][]).()t (D )kT (D )t (C )kT (C d )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G kTt kT t T)k (kT632111==+==+=+=⎰τττφφ式中[]kT ,T )k (1+φ表示)t ,t (0φ在kT t T )k (≤≤+1区段内的状态转移矩阵，而)t ,t (0φ则表示原连续系统（2.61）式的状态转移矩阵。
证明：由上节（2.60）式可知（2.61）式的解为：).(d )(u )(B ),t (X )t ,t ()t (X t t 642000ττττφφ⎰+=对上式离散化，令hT t ,T )k (t =+=01，T 为采样周期，则得[][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (T )k (X T )k (hT65211110ττττφφ+++=+⎰+再以hT t ,kT t ==0代入（2.64）式，则得 ).(d )(u )(B ),kT (X )hT ,kT ()kT (X kT hT 6620ττττφφ⎰+=将（2.66）式两边同左乘[]kT ,T )k (1+φ，得[][][][][]).(d )(u )(B ,T )k (X hT ,T )k (d )(u )(B ),kT (kT ,T )k (X )hT ,kT (kT ,T )k ()kT (X kT ,T )k (kT hT kT hT 6721111100ττττφφττττφφφφφ+++=++⋅+=+⎰⎰将（2.65）式减去（2.67）式得：[][][]).(d )(u )(B ,T )k ()kT (X kT ,T )k (T )k (X T )k (kT 6821111ττττφφ+++=+⎰+上式中，令[][]τττφφd )(B ,T )k ()kT (H kT ,T )k ()kT (G T)k (kT⎰+=+=+111设在区间[]T )k (,kT 1+内，)kT (u )(u =τ，则（2.68）式可简写成： [])kT (u )kT (H )kT (X )kT (G T )k (X ⋅+⋅=+1 同时，对（2.61）式输出方程离散化，则证明了)kT (u )kT (D )kT (X )kT (C )kT (Y ⋅+=二、线性时不变系统的离散化 对于线性时不变系统).(uD X C Y u B X A X692⎩⎨⎧+=+=离散化状态空间表达式为).()kT (u D )kT (X C )kT (Y )kT (u )T (H )kT (X )T (G T )k (X 7021⎩⎨⎧+=+=+其中D ,C ),T (H ),T (G 均为常数阵，且).(B)d e ()T (H e)T (G A T AT 7120⎪⎩⎪⎨⎧==⎰ττ证明：由于时不变系统是时变系统的一种特殊情况，所以只需要证明式（2.71）成立即可。
连续系统的状态变量方程求解
连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。
在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。
求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。
以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。
例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。
2. 离散化。
将状态变量方程转化为离散方程。
常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。
具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。
例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。
3. 初始化。
给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。
4. 数值求解。
使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。
5. 分析结果。
根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。
在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。
以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。
连续系统的离散化方法课件
离散化方法的意义
精确性
离散化方法可以提供对连续系统的精 确近似，特别是在计算机仿真和数字 控制系统中。
可计算性
离散化方法可以将不可计算的分析转 化为可计算的形式，便于进行数值计 算和控制器设计。
离散化方法的应用场景
01
02
03
数字控制
在数字控制系统中，连续 系统的离散化是必要的步 骤，以便在数字计算机上 进行数值计算和控制。
小波基选择
常用的小波基包括Haar小波、Daubechies小波、Morlet 小波等。
误差分析
小波变换法的误差主要来自于变换误差和离散化误差。
05
离散化方法的评估与优化
评估离散化方法优劣的标准
01
02
03
04
精度
离散化方法是否能准确代表原 连续系统。
稳定性
离散化方法在一定参数变化范 围内是否能保持稳定。
状态空间模型
用状态变量和输入、输出变量描述连续系统的动态特性。
状态空间模型通常形式为：`x'(t) = Ax(t) + Bu(t)` 和 `y(t) = Cx(t) + Du(t)`，其中 `x(t)` 表 示系统状态，`u(t)` 表示系统输入，`y(t)` 表示系统输出，`A`, `B`, `C`, `D` 是系数矩阵。
化率。
通过求解 ODE，可以得到系统 在任意时刻的状态。
传递函数
表示连续系统在输入和输出之间的传递 特性。
传递函数通常形式为：`G(s) = Y(s) / U(s)`，其中 `Y(s)` 和 `U(s)` 分别是输 出和输入的拉普拉斯变换，`s` 是复变
量。
通过分析传递函数的零点、极点和增益 ，可以得到系统的稳定性和性能特性。
连续时间系统状态方程的离散化
1 −2T 1/ 2(1−e ) 4(2T+e −1) dt= 1 −2t e (1−e−2T) 2
说明：（1）当T选定后（如T＝0.5秒）G(t)和 H(t)都是确定的系数矩阵 (2)离散化后得状态方程，可按递推法或 Z变换法求出解
x(k ) = Φ (k ) x(0) + ∑ Φ (k − j − 1) Hu ( j )
2.6
连续时间系统状态方程的离散化 －需先将其状态方程化为离散方程
(1)用计算机对连续时间系统状态方程求解
（2）对连续受控对象进行计算机在线控制 －受控对象模型离散化
ɺ x = Ax + Bu y = Cx
假设：(1)t=kT,T为采样周期，且很 小,k=0,1,2…为一正整数 （2）u(t)只在采样时离散化，即在 kt≤t≤(k+1)T,u(t)=u(kT)=常数，0阶保持 一、线性定常系统状态方程的离散化 －（按非齐次状态方程解，求出） 线性定常系统状态方程的解为： t x ( t ) = Φ ( t − t 0 ) x ( t 0 ) + ∫ Φ ( t − τ)Bu (τ)dτ
方法1、线性定常系统离散化
1 1− e−t (1)a、e = L [sI − A] = −t 0 e −T ∗ AT 1 1− e b、G (t) = e = −T 0 e T + e−T −1 T AT T 1 1− e−t 0 ∗ c、H (T)∫0 e Bdt= ∫0 −t 1dt = −T 0 e 1− e d、x[(k +1)T] = G∗(T)x(kT) + H∗(T)u(kT) 1 1− e−T x1(kT) T + e−T −1 = −T x (kT) + −T u(kT) 1− e 0 e 2
计算机仿真技术基础第4章 连续系统模型的离散化处理方法
第四章 连续系统模型的离散化处理方法
第一节 第二节 第三节 替换法 离散相似法 根匹配法
４.1
替换法
传递函数是控制系统应用最广泛的模型描述 形式，连续系统为Ｓ域的传递函数G(S)，离散系 统为Ｚ域的脉冲传递函数Ｇ(Z)。
替换法的基本思想：对给定的连续系统模型 G(S) ，设法找到Ｓ域到Ｚ域的某种映射关系，将 Ｓ域的变量映射到Ｚ平面上，由此得到与连续系 统G(S)相对应的离散系统的脉冲传递函数Ｇ(Z)。 然后，再由Ｇ(Z)通过Ｚ反变换得到系统的时域离 散模型——差分方程，从而快速求解。
C C C D D C Z e T Z Y (Z ) A A A B B A U(Z ) Z e T
D C D C T Z e B A B A Z e T
Ｚ反变换得差分方程：
y(n 1) e
计算机仿真技术基础
第四章
连续系统模型 的离散化处理方法
第三章的数值积分方法较成熟，计算精度高, 但算法复杂，计算量大。在一些要求速度较高的 实时仿真或计算机控制系统中实现数字控制器算 法，就跟不上速度的要求，就需要一些快速计算 方法。 本章介绍对连续系统模型进行离散化处理， 得到一个“等效”的结构比较简单的离散化模型， 便于计算机求解，运行速度较快，又称为“快速 计算方法”。 连续系统模型的离散化方法主要有替换法、 离散相似法和根匹配法。
2 1 S
TS 2TS 1 TS 1 2e e 2 STS
1Z
1 2 1
1 3 2 S TS
2 ( Z 1) TZ
2 1 2 1 T Z ( Z 1) 1 Z 3 T
连续系统离散化方法
5.2.1
连续系统离散化方法
1、反向差分变换法
对于给定的
D( s) =
U ( s) 1 = E (s) s
（5.1）
du (t ) = e(t ) ，用反向差分代替微分，得 其微分方程为 dt du (t ) u (k ) − u (k − 1) ≈ = e( k ) dt T
对（5.2）式两边取 Z 变换得： (1 − z )U ( z ) = TE ( z ) ，即
上式可以写成
1⎞ ⎛ ⎛1⎞ 2 ⎜σ − ⎟ + ω < ⎜ ⎟ 2⎠ ⎝ ⎝ 2⎠
2
2
由上式可以看出， s 平面的稳定域映射到 z 平面上以 σ = 1 / 2 ， ω = 0 为圆心， 1 / 2 为半 径的圆内，如图 5-3 所示。
jω
Im
ω =0
σ
Re
z =1
图 5-3 反向差分变换 s 平面与 z 平面的对应关系 反向差分变换方法的主要特点如下： ①变换计算简单； ②由图 5-3 看出， s 平面的左半平面映射到 z 平面的单位圆内部一个小圆内，因而，如果
⎛ z −1⎞ Re ⎜ ⎟<0 ⎝ T ⎠
令 z = σ + jω ，则上式可以写成
⎛ σ + jω − 1 ⎞ Re⎜ ⎟<0 T ⎝ ⎠
因为 T > 0 ，则有 σ − 1 < 0 即 σ < 1 ，如图 5-4 所示。
连续系统模型的离散化处理方法课件
离散系统模型是指系统的状态变化在时间上是离散的，即只在特定的时间点上 发生变化。其输入和输出信号也是离散的。这种模型通常用差分方程进行描述 。
离散化的定义及其必要性
离散化定义
离散化是将连续时间信号或系统转换为离散时间信号或系统 的过程。它涉及对连续信号的采样以及将微分方程转换为差 分方程。
数值积分法
数值积分法使用数值方法求解微分方程的解，并将连续时间微分方程转换为离散时间差分 方程。常用的数值积分法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
z变换法
z变换法是一种在复平面上进行的离散化方法。它通过将连续时间信号的拉普拉斯变换转 换为z变换，将连续系统的传递函数转换为离散系统的传递函数。
02
常用的连续系统模型离散化方 法
03
提高精度的方法
为了提高离散系统的精度，可以采用更小的离散化步长， 使用更高阶的数值积分方法，或者采用自适应离散化技术 等。此外，还可以通过增加离散点的数量和优化插值方法 来实现更高精度的离散化。
效率问题
效率定义
离散化对效率的影响
提高效率的方法
效率问题涉及离散化过程的计算复杂 度和计算资源消耗。
改进型龙格-库塔法
针对经典四阶龙格-库塔法的不足进行 改进，如变步长龙格-库塔法等，以提 高数值解的精度和稳定性。
牛顿法
基本牛顿法
利用泰勒级数展开，将非线性方程线性化，通过迭代求解线性方程组来逼近非线 性方程的解。该方法收敛速度快，但初始值选取对结果影响较大。
牛顿-拉夫逊法
结合牛顿法和拉夫逊法的特点，通过迭代过程中修改雅可比矩阵，提高求解速度 和精度。该方法适用于大规模非线性系统的求解。
THANKS。
保持稳定性的方法
常用的保持稳定性的方法包括选择合适的离散化步长、使用稳定性更好 的数值积分方法等。此外，还可以通过引入阻尼项或者采用隐式离散化 方案来提高离散系统的稳定性。
连续状态方程离散化方法
连续状态方程离散化方法
连续状态方程离散化方法是一种将连续状态方程在离散空间上进行求解的
方法,它有助于简化数学模型的复杂性,加速计算的速度,并且能够更好地理解模型的工作原理。
连续状态方程是指描述化学反应或物理过程的数学方程,它通常包含在化学或物理手册中,用于描述反应或物理过程在不同条件下的动力学行为。
然而,由于连续状态方程通常包含大量参数,因此很难通过直接数值求解得到准确的解,需
要进行离散化处理。
离散化方法可以将连续状态方程转化为一组离散变量的线性方程,这些方程在离散空间上进行求解,从而得到数值解。
这种方法通常用于计算化学反应的速率、能量代谢率、热力学问题等领域。
离散化方法的基本思想是将连续状态方程转化为离散变量方程,然后通过数值求解的方法得到数值解。
离散化方法的具体方法包括差分法、插值法、拟牛顿法等。
其中,差分法是最常用的方法之一,它通过将连续状态方程离散化为一组离散变量方程,然后通过求解离散变量方程得到数值解。
除了差分法外,还有其他离散化方法,例如基于迭代法的插值法,以及基于有限元方法的拟牛顿法。
这些方法的选择取决于具体的应用场景和求解要求。
连续状态方程离散化方法的应用范围非常广泛,例如用于计算化学反应速率、热力学问题、生物分子的运动等。
此外,离散化方法还可以与其他数值方法相结合,例如有限差分法、有限元法等,用于解决更加复杂的问题。
在实际应用中,需要根据具体问题的特点选择合适的离散化方法,并进行合
理的参数设定和模型修正,才能得到准确的数值解。
因此,连续状态方程离散化方
法在实际应用中具有广泛的应用前景。
第6章 连续系统的离散化方法及近似解
K - 2M 0
EI 2 39.4784 Al 4
解得
EI 3 68.9944 Al 4
正则特征向量
a (1) 0.5742 2 0 Al 0.0048
T
a (2)
0 2 (3) 1 a Al 0
0
l
设梁上分别受到分布力f(x,t)和 x xd 处的集中力F(x,t)
当梁上有虚位移
l 0
w( x, t ) i qi 外力虚功为
i 1
n
W f ( x, t ) F (t ) ( x xd ) w( x, t )dx
l f ( x, t )i ( x)dx F (t )i ( xd ) qi 0 i 1 n
得到原来问题的模态向量
3 x ( x) sin 0.0681sin 2l 2l
(1)
x
(2) ( x) 0.1955sin
x
2l
sin
3 x 2l
例：等截面简支梁中部有集中质量，并受有集中力 设集中质量 M a 等于梁的质量
集中力的变化的频率
50 EI / Al 4
Kij EI ( x)i( x) j ( x)dx
0
得
3 0 2 Al M 0 1 0 2 2 0 3
1 0 0 EI K 0 16 0 2l 3 0 0 81
4
代入本征方程
EI 1 5.6825 Al 4
T
0.5199 2 0 Al 0.7746
T
求梁的响应时，将位移写作假设模态的线性组合
连续系统离散化
离散相似法
连续系统的离散化
首先要得到一个与被仿真系统等价的离散 模型。这个模型可以通过对连续系统的离 散化过程来获得。它分成以下五步：
① 首先对输入信号u(t)进行采样，即在输入 端加一个采样开关S1，其采样周期为T。
② 连续变化的信号u(t)经过采样开关后，变 成了一个离散信号u(kT)。为保证模型的等 价性，首先要求信号等价，因此它不能直 接进入原来的连续系统，而必须加上一只 信号重构器，它使信号u(k)重新变成一个 连续信号uh(t)， uh(t)u(t)。
环节2是一阶惯性环节，其传递函数为
X (s) k0 k0 T1 U (s) T1s 1 s 1 T1 x(k 1) eT T1 x(k ) k0 (1 eT T1 )u(k )
连续系统按结构图的离散相似法仿真
环节3也是一阶惯性环节，其传递函数为
Y (s) 1 1 T2 X (s) T2s 1 s 1 T2
对上式进行拉氏反变换，求得方程的解为
t
X (t) (t) X (0) 0 (t )BU ( )d
时域解法求取离散系统差分方程
(t) L1 (sI A)1
X (t) eAt X (0) t eA(t )ΒU ( )d 0 t
X (t) (t)X (0) 0 (t )BU ( )d
采用一阶保持器描述系统的差分方程
x(k 1)T (T )x(kT) m (T ) n (T )u(kT) n (T )u(k 1)T
e(k 1) R(k 1) y(k 1)
e(k) R(k) y(k)
x1(k
1)
x1(k
)
3 4
Te(k
)
1 4
Te(k
研究生线性系统理论题
1.为什么要对连续系统进行离散化?离散化有哪些方法?它们各自的特点是什么?因为连续系统在电脑上无法实现,只能把连续系统离散化,而离散华是将连续变化的模拟量信号，转换成数字量（脉冲）信号，但是这里的离散化是非常密集的,在误差允许的范围内,可以非常的逼近原函数.这样就能用数字电子计算机（电脑）进行计算或处理。
1.前向差分法S平面左半平面得极点可能映射到Z平面单位圆外，这种方式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单；S平面得左半平面映射到Z平面得单位圆内部一个小圆内因此如果D（s）稳定则变换后的D（z）也稳定；离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器比较有一定得失真，需要较小得采样周期T。
3.双线性变换法如果D（s）稳定，则相应得D（z）也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定；所得D（z）的频率响应应在低频段与D（s）得频率响应相近，而在高频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。
4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列；若D(z)稳定，则D（s）也稳定；D(z)存在着频率失真。
该法特别适用于频率特性为锐截止型的连续滤波器的离散化。
主要应用于连续控制器D（s）具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及D（s）具有陡衰减特性，且为有限带宽得场合。
这时采样频率足够高，可减少频率混叠影响，从而保证D（z）得频率特性接近原连续控制器D（s）。
5.阶跃响应不变法若D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D(z)和D（s）得阶跃响应序列相同；6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点，计算复杂；能够保持变换前后特征频率处得增益不变；不改变系统得稳定区域，变换前后G（z）和G（s）的稳定特性不变2.多输入/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输入单输出系统中，能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G （s ）的分母与分子之间不发生因子相消。
连续系统的离散化方法及近似解课件
离散化后的控制系统可以用差分方程来描述，差分方程是连续时间微分方程在离散时间域 上的对应形式。通过求解差分方程，可以得到离散控制系统的输出响应。
Z变换
Z变换是离散时间信号和系统分析的重要工具，它可以将差分方程转换为代数方程，从而 简化离散系统的分析和设计。
电路模拟中的离散化方法及近似解应用
离散系统
离散系统是指系统状态在时间上 是离散的，即系统的状态变量只 在某些特定的时刻有定义，且在 这些时刻间不发生变化。
连续系统与离散系统的区别与联系
区别
连续系统和离散系统最主要的区别在于时间的连续性。连续系统的时间变量是连 续的，而离散系统的时间变量是离散的。
联系
两者之间存在密切的联系。实际上，许多连续系统可以通过离散化方法转化为离 散系统进行处理，这是因为数字计算机在处理问题时，只能处理离散的时间信号 。反之，离散系统的某些理论和方法也可以用来处理连续系统。
连续系统的离散化方法 及近似解课件
目 录
• 连续系统与离散系统概述 • 连续系统的离散化方法 • 离散系统的近似解法 • 连续系统离散化及近似解的应用案例 • 实验与仿真
01
连续系统与离散系统概述
连续系统与离散系统的定义
连续系统
连续系统是指系统状态在时间上 是连续的，即系统的状态变量在 任何时刻都有定义且随时间连续 变化。
感谢观看
前向差分法：前向差分法使用当前时刻及其前一时刻的输入信号来近似 计算下一时刻的输出信号。这种方法简单直观，但离散化误差相对较大 。
后向差分法：后向差分法使用当前时刻及其下一时刻的输入信号来近似 计算当前时刻的输出信号。相比前向差分法，后向差分法具有较小的离
散化误差。
以上内容即为连续系统的离散化方法及近似解课件的部分内容。在实际 应用中，可以根据具体需求和场景，选择合适的离散化方法和参数，以 实现连续系统的高效、准确离散化处理。
线性定常连续系统状态方程的离散化
1 At 1 1 e L [(sI A) ] 0
1 0
1 2t (e 1) 2 e 2t
G e AT
1 2T (e 1) 1 3.195 2 0 7.389 e 2T
1
H
T
0
2t 1 0 . 5 ( e 1) 0 1.097 At e Bdt 0 dt 2t 1 0 e 3 . 195
13
离散化后系统的离散状态空间表达式为
1 3.195 1.097 x (k ) u (k ) x (k 1) 0 7.389 3.195 y (k ) 1 0x (k )
3
e 2t
t e Φ (t ) P
tet e t 0
t 2 t e 2 tet
e t
t n1 t e (n 1)! t n 2 t e 1 P (n 2)! t te t e
Hale Waihona Puke 14结 束15
s 1 (sI A） 0 s 2
adj(sI A) sI A
1 (sI A）
1 s 0
1 1 1 2 s 2 s 1 s2
1 s 2 1 0 s s( s 2)
例: 线性定常连续系统的状态空间表达式为
0 1 0 (t ) x (t ) u (t ) x 0 2 1 y (t ) 1 0x (t )
设采样周期T = 1s，求离散化后系统的离散状态 空间表达式。
11
解：先求连续系统状态转移矩阵
连续系统模型的离散化处理方法
B 当输入函数u（KT）在两采样 点间线性变化时（一阶保持）
u uKT ukT
p T
T e ATA Bd
0
xkT T T xkTmT U kTpT U kT
xk 1 T xkmT U kp T U k
F1=1-x4
F2=0.5x1-0.1x2+1-x4
F3=2x2-2x3
F4=10x3-10x4
Y=x4
2019/10/29
39
r
u
w
x
z
y
1
S+0.5
2
10
S
S+0.1
S域到Z域的最基本映射关系是：Z=eTS（T— 采样周期）如果直接代入G（S）求G（Z）很 麻烦，则将Z=eTS作简化处理
2019/10/29
4
一、派德近似公式（PADE）
ex
px qx
m 1 n 2
1 1 x
ex
1
2
3 x
1
x2
3 3 2!
2019/10/29
5
仿真精度主要取决于采样周期Ts的大小、 信号重构器的特性
两种形式：传递函数的离散化相似处理— 离散传递函数；连续状态方程的离散相似 处理—离散化状态方程
2019/10/29
11
二、Z域离散相似方法
1 基本方法
Gz
yz uz
zGh s Gs
1
z
sa
z exp(aT )
e TS 1 z
1 z
s
z 1
1 s * s 2019/10/29
掌握连续系统状态方程的离散化方法
半负定。
2 x13 x2 ，因此必然 x1 0 ，亦即 ( x ) 0 ，必有 x2 0 ，由于 x 若 V
且当 || x || 时，有 V ( x ) ，所以该系统大范围渐近稳定 。 1 x2 x 课堂思考：确定 平衡状态大范围渐近稳定的条件。 2 x2 (a1 x1 a2 x1 x2 ) Liaponov 函数的说明 1、构造Liaponov 函数没有确定的方法，要求有一定的技巧，一般用于 非线性系统或时变系统的稳定性判定； 2、必须是应用于稳定性判据的标量函数，且有一阶连续偏导； 3、非唯一但不影响结论的正确性； 4、最简单的形式为二次型。 作业： P666 10.39、 10.43
3. 希尔维斯特判据
1 xn ] 0
2
0 x1 x 2 n xn
实对称阵P符号性质的充分必要条件是： ① 各主子行列式的值均大于0， P正定； ② 偶数阶和奇数阶主子行列式的值分别大于0和小于0，P负定； ③ 各主子行列式的值均≥ 0，且| P |=0， P半正定； ④各主子行列式的值均≤ 0，且| P |=0， P半负定。
由
10.4.3 Liaponov 第二法 基本思想：构造虚拟广义的能量函数V(x)以此判定系统的稳定性。 适用范围：不能用传统方法判定系统的稳定性的情况下。 定义V(0)=0 的V(x) 为Liaponov函数 ，亦称能量函数， 是标量函数。
1. V(x)的符号性质
正 定： 半正定： 负 定： 半负定： 不 定：
10.4 稳定性与Liyaponov方法
要求： 1、理解Liyaponov稳定性的定义； 2、掌握稳定性的判定方法。