《二次函数y=ax2的图象和性质》教学设计

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人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案

人教版九年级数学上册22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》教案一. 教材分析人教版九年级数学上册第22.1.2节《二次函数y=ax^2的图象和性质》是九年级数学的重要内容,主要让学生了解二次函数的图象特征和性质。

通过本节课的学习,学生能理解二次函数的一般形式,掌握二次函数的图象特征,了解二次函数的增减性和对称性,从而为后续的函数学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节课之前,已经掌握了函数的基本概念,具备了一定的函数知识。

但对于二次函数的图象和性质,可能还存在一定的困惑。

因此,在教学过程中,教师需要关注学生的学习情况,针对学生的实际问题进行讲解,引导学生理解和掌握二次函数的图象和性质。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的一般形式,掌握二次函数的图象特征。

2.让学生了解二次函数的增减性和对称性,能运用二次函数的性质解决实际问题。

3.培养学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.二次函数的一般形式和图象特征。

2.二次函数的增减性和对称性。

五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生主动探究二次函数的图象和性质。

2.利用多媒体辅助教学,直观展示二次函数的图象,帮助学生理解。

3.采用小组合作学习,培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.二次函数图象和性质的相关教学素材。

3.学生分组合作学习的材料。

七. 教学过程导入(5分钟)教师通过提问方式引导学生回顾一次函数和正比例函数的图象和性质,为新课的学习做好铺垫。

同时,教师可以利用多媒体展示二次函数的图象,让学生初步感受二次函数的特点。

呈现(10分钟)教师给出二次函数的一般形式y=ax^2,让学生观察并分析二次函数的图象特征。

学生通过观察多媒体展示的二次函数图象,总结出二次函数的开口方向、顶点坐标等特征。

操练(10分钟)教师给出几个二次函数的实例,让学生分析其图象特征。

学生通过小组合作学习,探讨并分析二次函数的增减性和对称性。

关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)

关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)

关于二次函数的图像与性质的数学教案(9篇)二次函数的图像与性质的数学教案篇1【学问与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a>0)的图象,并依据图象熟悉、理解和把握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a>0)的图象和性质解决简洁的实际问题.【过程与方法】经受探究二次函数y=ax2(a>0)图象的作法和性质的过程,获得利用图象讨论函数的阅历,培育观看、思索、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间沟通争论,到达对二次函数y=ax2(a>0)图象和性质的真正理解,从而产生对数学的兴趣,调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a>0)的图象.2.理解,把握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入,初步熟悉问题 1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么外形呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略;②列表、描点、连线.二、思索探究,猎取新知探究1 画二次函数y=ax2(a>0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象,同学们画好后相互沟通、展现,表扬画得比拟标准的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和进展趋势.误区二:并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形。

误区三:无视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延长,而并非到某些点停顿.二次函数的图像与性质的数学教案篇2一学习目标1、把握二次函数的图象及性质;2、会用二次函数的图象与性质解决问题;学习重点:二次函数的性质;学习难点:二次函数的性质与图像的应用;二学问点回忆:函数的性质函数函数图象a0a0性质三典型例题:例 1:已知是二次函数,求m的值例 2:(1)已知函数在区间上为增函数,求a的范围;(2)知函数的单调区间是,求a;例 3:求二次函数在区间[0,3]上的最大值和最小值;变式:(1)已知在[t,t+1]上的最小值为g(t),求g(t)的表达式。

《二次函数y=ax2的图象和性质》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

《二次函数y=ax2的图象和性质》教案(高效课堂)2022年人教版数学精品

22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2的图象,理解抛物线的有关概念;2.掌握二次函数y=ax2的性质,能确定二次函数y=ax2的表达式. 【过程与方法】通过画出简单的二次函数y=x2,y=-12x2等探索出二次函数y=ax2的性质及图象特征.【情感态度】使学生经历探索二次函数y=ax2图象性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯.【教学重点】1.二次函数y=ax2的图象的画法及性质;2.能确定二次函数y=ax2的解析式.【教学难点】1.用描点法画二次函数y=ax2的图象,探索其性质;2.能依据二次函数y=ax2的有关性质解决问题.一、情境导入,初步认识问题1在八年级下册,我们学习的一次函数的图象是一条直线,二次函数的图象是什么形状呢?通常怎样画一个函数的图象?【教学说明】通过对问题1的思考,可激发学生的求知欲望,想尝试运用列表法画出一个二次函数的图象.问题2 你能画出二次函数y=x2的图象吗?【教学说明】学生分组画y=x2的图象,教师巡视,对于不正确的给予指导,尤其应关注学生的列表和连线,然后给予讲评,提醒注意的问题,并让学生发表不同的意见,达成共识.二、思考探究,获取新知问题1你能说说二次函数y=x2的图象有哪些特征吗?不妨试试看,并与同伴交流.【教学说明】教师应在学生的交流过程中,听取他们各自的看法,对于通过观察而归纳出的结论表达较好的给予肯定,对不够完整的或表达欠佳的学生给予鼓励,并予以诱导.在这一活动过程中,让学生们逐步积累对二次函数y=ax2的图象及其简单性质的感性认识.问题2请在同一坐标系中,画出以下函数的图象,并通过图象谈谈它们的特征及其差异.y=12x2与y=2x2.【教学说明】在这一活动过程中,教师可将全班同学进行适当分组,分别完成两个图象的画图,并结合图象给予恰当的描述.教师巡视,适时点拨,最后在黑板上与全班同学一起进行归纳总结.问题3〔1〕在同一直面坐标系中,画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象,并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点?〔2〕当a<0时,二次函数y=ax2的图象有什么特点?【教学说明】教师在处理问题时可让学生画图后答复,可让学生从开口方向、最值、增减性三个方面作答,最后教师以课件方式展示结论.【归纳结论】1.二次函数y=ax2的图象是一条开口向上或向下的抛物线.一般地,二次函数y=ax2+bx+c 的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c.2.二次函数y=ax2的图象及其性质,如下表所示:3.二次函数y=ax2的开口大小与a的关系:|a|越大,开口越小;|a|越小,开口越大.|a|值相同,开口形状相同.【教学说明】针对师生共同完成的归纳总结,教师应着重强调两点:〔1〕a的符号决定着抛物线的开口方向,|a|的大小,影响抛物线的开口大小;〔2〕对于函数的增减性及最大〔小〕值,教师应引导学生通过图象进行分析,利用图象的直观性获得结论,切忌死记硬背,让同学感受到数形结合思想方法是函数问题中最重要的思想方法之一,增强他们的学习兴趣.三、运用新知,深化理解1.假设抛物线y=ax2与y=4x2的形状及开口方向均相同,那么a= .2.以下关于二次函数y=ax2(a≠0)的说法中,错误的选项是〔〕B.当a<0,在x=0时,y取得最大值C.a越大,图象开口越小;a越小,图象开口越大D.当a>0,在x>0时,y随x的增大而增大3.请在同一坐标系中画出函数y1=x和y2=-x2的图象,结合图象,指出当x取何值时,y1>y2;当x取何值时,y1<y2.4.一个二次函数,它的图象的顶点是原点,对称轴是y轴,且经过点〔-1,14〕.〔1〕求这个二次函数的解析式;〔2〕画出这个二次函数的图象;〔3〕根据图象指出,当x>0时,假设x增大,y怎样变化?当x<0时,假设x增大,y 怎样变化?〔4〕当x取何值时,y有最大〔或最小〕值,其值为多少?【教学说明】本环节易采用先让学生独立思考,再以小组交流的方式展开.其中题2、3、4均是集图象与性质于一体,鼓励学生用自己的语言表达,逐步渗透用数学语言进行说理的能力,同时进一步表达数形结合的思想.2.C【解析】当a>0时,a值越大,开口越小,a值越小,开口越大;当a<0时,a值越大,开口越大,a值越小,开口越小.所以C项说法不对.3.列表如下:如下图:根据图象可知,当x>0或x<-1时,y1>y2,当-1<x<0时,y2>y1.4.解:〔1〕设这个二次函数解析式为y=ax2,将〔-1,14〕代入得a=14,所以y=14x2.(2)略(3)当x>0时,y随x的增大而增大;当x<0时,y随x的增大而减小.(4)当x=0时,y有最小值,y最小值=0.四、师生互动,课堂小结1.画二次函数y=ax2的图象时,有哪些地方是你需关注的?2.你是如何理解并熟记抛物线y=ax2的性质的?3.本节课你还存在哪些疑问?【教学说明】问题1旨在提醒学生画图过程中列表时应以原点为中心,左右对称选取点,连线时应用光滑曲线连接;问题2是为了进一步突出数形结合思想在函数问题的解决过程中的重要性;而问题3是想了解学生哪局部没学好,难学,以便教师可以进行针对性辅导.1.布置作业:教材习题22.1第3、4、11题.“课时作业〞局部.本课时的设计比拟注重让学生动手操作,让学生通过画二次函数的图象初步掌握其性质,画图的过程中需注意引导学生与其他函数的图象与性质进行比照.本课的目的是要让学生通过动手操作,经历探索归纳的思维过程,逐步获得图象传达的信息,熟悉图象语言,进而形成函数思想.15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.重点难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算.2.难点:熟练地进行分式的混合运算.3.认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1.教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.2.教科书练习1:写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题.二、课堂引入1.说出分数混合运算的顺序.2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同. 三、例题讲解〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算:[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,注意有括号先算括号内的,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式. 四、随堂练习 计算:(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷--- 〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习 1.计算: (1))1)(1(yx xy x y +--+ (2)22242)44122(aaa a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xyz y x ++⋅++)111(2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值.六、答案: 四、〔1〕2x 〔2〕ba ab- 〔3〕3五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 12.原式=422--a a ,当=a -1时,原式=-31.13.3.1 等腰三角形教学目标〔一〕教学知识点1.等腰三角形的概念. 2.等腰三角形的性质.3.等腰三角形的概念及性质的应用. 〔二〕能力训练要求1.经历作〔画〕出等腰三角形的过程,•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点. 2.探索并掌握等腰三角形的性质. 〔三〕情感与价值观要求通过学生的操作和思考,使学生掌握等腰三角形的相关概念,并在探究等腰三角形性质的过程中培养学生认真思考的习惯.重点难点重点:1.等腰三角形的概念及性质. 2.等腰三角形性质的应用.难点:等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用. 教学方法 探究归纳法. 教具准备师:多媒体课件、投影仪; 生:硬纸、剪刀. 教学过程Ⅰ.提出问题,创设情境[师]在前面的学习中,我们认识了轴对称图形,探究了轴对称的性质,•并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形,•还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案.这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形.来研究:①三角形是轴对称图形吗?②什么样的三角形是轴对称图形? [生]有的三角形是轴对称图形,有的三角形不是. [师]那什么样的三角形是轴对称图形?[生]满足轴对称的条件的三角形就是轴对称图形,•也就是将三角形沿某一条直线对折后两局部能够完全重合的就是轴对称图形.[师]很好,我们这节课就来认识一种成轴对称图形的三角形──等腰三角形. Ⅱ.导入新课[师]同学们通过自己的思考来做一个等腰三角形.ABICABI作一条直线L,在L上取点A,在L外取点B,作出点B关于直线L的对称点C,连接AB、BC、CA ,那么可得到一个等腰三角形.[生乙]在甲同学的做法中,A点可以取直线L上的任意一点.[师]对,按这种方法我们可以得到一系列的等腰三角形.现在同学们拿出自己准备的硬纸和剪刀,按自己设计的方法,也可以用课本探究中的方法,•剪出一个等腰三角形.……[师]按照我们的做法,可以得到等腰三角形的定义:有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫底角.同学们在自己作出的等腰三角形中,注明它的腰、底边、顶角和底角.[师]有了上述概念,同学们来想一想.〔演示课件〕1.等腰三角形是轴对称图形吗?请找出它的对称轴.2.等腰三角形的两底角有什么关系?3.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?4.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗?•底边上的高所在的直线呢?[生甲]等腰三角形是轴对称图形.它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.因为等腰三角形的两腰相等,所以把这两条腰重合对折三角形便知:等腰三角形是轴对称图形,它的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[师]同学们把自己做的等腰三角形进行折叠,找出它的对称轴,并看它的两个底角有什么关系.[生乙]我把自己做的等腰三角形折叠后,发现等腰三角形的两个底角相等.[生丙]我把等腰三角形折叠,使两腰重合,这样顶角平分线两旁的局部就可以重合,所以可以验证等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线.[生丁]我把等腰三角形沿底边上的中线对折,可以看到它两旁的局部互相重合,说明底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴.[生戊]老师,我发现底边上的高所在的直线也是等腰三角形的对称轴.[师]你们说的是同一条直线吗?大家来动手折叠、观察.[生齐声]它们是同一条直线.[师]很好.现在同学们来归纳等腰三角形的性质.[生]我沿等腰三角形的顶角的平分线对折,发现它两旁的局部互相重合,由此可知这个等腰三角形的两个底角相等,•而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线,也是底边上的高.[师]很好,大家看屏幕.〔演示课件〕等腰三角形的性质:1.等腰三角形的两个底角相等〔简写成“等边对等角〞〕.2.等腰三角形的顶角平分线,底边上的中线、•底边上的高互相重合〔通常称作“三线合一〞〕.[师]由上面折叠的过程获得启发,我们可以通过作出等腰三角形的对称轴,得到两个全等的三角形,从而利用三角形的全等来证明这些性质.同学们现在就动手来写出这些证明过程〕.〔投影仪演示学生证明过程〕 [生甲]如右图,在△ABC 中,AB=AC ,作底边BC 的中线AD ,因为,,,AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD 〔SSS 〕. 所以∠B=∠C .[生乙]如右图,在△ABC 中,AB=AC ,作顶角∠BAC 的角平分线AD ,因为,,,AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以△BAD ≌△CAD .所以BD=CD ,∠BDA=∠CDA=12∠BDC=90°.[师]很好,甲、乙两同学给出了等腰三角形两个性质的证明,过程也写得很条理、很标准.下面我们来看大屏幕. 〔演示课件〕 [例1]如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在AC 上,且BD=BC=AD , 求:△ABC 各角的度数.[师]同学们先思考一下,我们再来分析这个题. [生]根据等边对等角的性质,我们可以得到 ∠A=∠ABD ,∠ABC=∠C=∠BDC ,•再由∠BDC=∠A+∠ABD ,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A . 再由三角形内角和为180°,•就可求出△ABC 的三个内角.[师]这位同学分析得很好,对我们以前学过的定理也很熟悉.如果我们在解的过程中把∠A 设为x 的话,那么∠ABC 、∠C 都可以用x 来表示,这样过程就更简捷. 〔课件演示〕[例]因为AB=AC ,BD=BC=AD , 所以∠ABC=∠C=∠BDC . ∠A=∠ABD 〔等边对等角〕.设∠A=x ,那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x , 从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x .于是在△ABC 中,有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°, 解得x=36°.在△ABC 中,∠A=35°,∠ABC=∠C=72°.[师]下面我们通过练习来稳固这节课所学的知识.D CA BD CABDC ABⅢ.随堂练习〔一〕课本练习 1、2、3. 练习1. 如图,在以下等腰三角形中,分别求出它们的底角的度数.(2)120︒36︒(1)答案:〔1〕72° 〔2〕30°2.如图,△ABC 是等腰直角三角形〔AB=AC ,∠BAC=90°〕,AD 是底边BC 上的高,标出∠B 、∠C 、∠BAD 、∠DAC 的度数,图中有哪些相等线段?D CAB答案:∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°;AB=AC ,BD=DC=AD .3.如图,在△ABC 中,AB=AD=DC ,∠BAD=26°,求∠B 和∠C 的度数.答:∠B=77°,∠C=38.5°.〔二〕阅读课本,然后小结. Ⅳ.课时小结这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质,并对性质作了简单的应用.等腰三角形是轴对称图形,它的两个底角相等〔等边对等角〕,等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线,并且它的顶角平分线既是底边上的中线,又是底边上的高.我们通过这节课的学习,首先就是要理解并掌握这些性质,并且能够灵活应用它们. Ⅴ.课后作业〔一〕习题13.3 第1、3、4、8题. 〔二〕1.预习课本.2.预习提纲:等腰三角形的判定. Ⅵ.活动与探究如图,在△ABC 中,过C 作∠BAC 的平分线AD 的垂线,垂足为D ,DE ∥AB 交AC 于E .求证:AE=CE .D CA BEDCAB过程:通过分析、讨论,让学生进一步了解全等三角形的性质和判定,•等腰三角形的性质. 结果:证明:延长CD 交AB 的延长线于P ,如图,在△ADP 和△ADC 中,12,,,AD AD ADP ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADP ≌△ADC . ∴∠P=∠ACD .又∵DE ∥AP ,∴∠4=∠P . ∴∠4=∠ACD . ∴DE=EC . 同理可证:AE=DE .∴AE=C E .板书设计一、设计方案作出一个等腰三角形 二、等腰三角形性质 1.等边对等角 2.三线合一 三、例题分析 四、随堂练习 五、课时小结 六、课后作业 备课资料 参考练习1.如果△ABC 是轴对称图形,那么它的对称轴一定是〔 〕 A .某一条边上的高 B .某一条边上的中线 C .平分一角和这个角对边的直线 D .某一个角的平分线 2.等腰三角形的一个外角是100°,它的顶角的度数是〔 〕 A .80° B .20° C .80°和20° D .80°或50° 答案:1.C 2.C3. 等腰三角形的腰长比底边多2 cm ,并且它的周长为16 cm .求这个等腰三角形的边长.解:设三角形的底边长为x cm ,那么其腰长为〔x+2〕cm ,根据题意,得 2〔x+2〕+x=16.解得x=4.E D C A B P所以,等腰三角形的三边长为4 cm 、6 cm 和6 cm .15.2.2 分式的加减教学目标明确分式混合运算的顺序,熟练地进行分式的混合运算.重点难点1.重点:熟练地进行分式的混合运算.2.难点:熟练地进行分式的混合运算.3.认知难点与突破方法教师强调进行分式混合运算时,要注意运算顺序,在没有括号的情况下,按从左到右的方向,先乘方,再乘除,然后加减. 有括号要按先小括号,再中括号,最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时,要把“-〞号提到分式本身的前面.教学过程例、习题的意图分析1.教科书例7、例8是分式的混合运算. 分式的混合运算需要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意最后的结果要是最简分式或整式.2.教科书练习1:写出教科书问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相照应,也解决了本节引言中所列分式的计算,完整地解决了应用问题.二、课堂引入1.说出分数混合运算的顺序.2.教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.三、例题讲解 〔教科书〕例7 计算[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.〔教科书〕例8 计算:[分析] 这道题是分式的混合运算,要注意运算顺序,式与数有相同的混合运算顺序:先乘方,再乘除,然后加减,注意有括号先算括号内的,最后结果分子、分母要进行约分,注意运算的结果要是最简分式.四、随堂练习计算:(1) x x x x x 22)242(2+÷-+- 〔2〕)11()(ba ab b b a a -÷---〔3〕)2122()41223(2+--÷-+-a a a a 五、课后练习1.计算: (1))1)(1(y x x y x y +--+(2)22242)44122(aa a a a a a a a a -÷-⋅+----+ (3)zxyz xy xy z y x ++⋅++)111( 2.计算24)2121(aa a ÷--+,并求出当=a -1的值.六、答案: 四、〔1〕2x 〔2〕ba ab - 〔3〕3 五、1.(1)22y x xy - (2)21-a 〔3〕z 1 2.原式=422--a a ,当=a -1时,原式=-31.。

二次函数y=ax2的图象和性质教案

二次函数y=ax2的图象和性质教案
教材分析:
重点
描点法画y=ax2的图象,并总结出a的作用;掌握顶点和对称轴。
难点
二次函数的对称性、增减性、极值问题。
教学方式:讲授式,观察式
教具:多媒体
知识结构
教师活动
学生活动
一、复习引入
1、让学生画出一次函数y = 3x-1的图象。(画草图)
并回想图象的形状与谁有关?
2、分析函数y=X2的解析式,回答下列问题:
2、指导学生练习画y= 2x2,y=- x2图象
结合前两个图象,引导学生总结y=ax2中a的作用。
(1)a决定着抛物线的开口方向:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下。
(2)a决定着抛物线的开口大小:
当︳a︳越大,开口越小;当︳a︳越小,开口越大。
3、介绍抛物线的顶点和对称轴。
列表,计算,看作图过程。
学生作图,给图形的名称,总结a的作用。
记忆名称。
知识结构
教师活动
学生活动
三、巩固练习
四、小结
观察图象,并完成填空:
写出两图象的顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,极值,增减性。
让学生总结本节课所学内容和收获。可从知识方面,数学方法上,情感上总结。
学生口答,其中难点—图象的增减性看课件的动画演示。
小结
(1)它的图象是否通过原点(0,0),为什么?
(2)它的图象分布在哪几个象限,为什么?
(3)它的图象是轴对称图形吗?如果来自,它的对称轴是什么?画草图,回想图象的形状与k, b有关。
理性的思考,为画图作准备。
二、新授
1、引导学生画y=x2,y= - x2的图象,
课件演示。
看图象回想前面的问题2,验证分析。
课题
二次函数y=ax2的图象和性质

二次函数y=ax2的图像和性质教案

二次函数y=ax2的图像和性质教案

二次函数y=ax2的图像和性质教案篇一:22.1.2二次函数y=ax2图像与性质教案2123篇二:《二次函数y=ax 的图象和性质》参考教案22.1.2二次函数y?ax2的图象和性质教学目标1.知识与技能能够用描点法作出函数y=ax2的图象,并根据图象认识和理解其性质2.过程与方法经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,体会数形结合的思想和方法.3.情感、态度与价值观在初步建立二次函数表达式与图象之间的联系中,体会数形结合与转化,体会数学内在的美感.教学重点难点1.重点函数y=ax2的图象的画法,了解抛物线的含义,理解函数y=ax2的图象与性质.2.难点用描点的方法准确地画出函数y=ax2的图象,掌握其性质特征.教与学互动设计(一)创设情境导入新课导语一回忆一次函数和反比例函数的定义,图象特征,思考二次函数的图象又有何特征呢?导语二展示(用课件或幻灯片)具有抛物线的实例让大家欣赏,议一议这与二次函数有何联系呢?导语三用红色的乒乓球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考运动路线有何规律?怎样用数学规律来描述呢?(二)合作交流解读探究1.函数y=ax2的图象画法及相关名称【探究l】画y=x2的图象学生动手实践、尝试画y=x2的图象教师分析,画图像的一般步骤:列表→描点→连线教师在学生完成图象后,在黑板上示范性画出y=x2的图象,如图22-1-1.【共同探究】次函数图像有何特征?特征如下:①形状是开口向上的抛物线②图象关于y轴对称③由最低点,没有最高点.结合图象介绍下列名称:①顶点;②对称轴;③开口及开口方向.图22-1-1图22-1-22.函数y=ax2的图象特征及其性质【探究2】在同一坐标系中,画出y=12x,y=2x2的图象.2学生自己完成此题.教师做个别指导,在学生(大部分)完成后,教师可示范性地画出两函数的图象.如图22-1-2比较图中三个抛物线的异同.相同点:①顶点相同,其坐标都为(0,0).②对称轴相同,都为y 轴③开口方向相同,它们的开口方向都向上.不同点:开口大小不同.【练一练】画函数y=-x2,y=-施过程)比较函数y=-x2,y=-12x,y=-2x2的图象.找出它们的异同点.212x,y=-2x2的图象.(分析:仿照探究1的实2相同点:①形状都是抛物线.②顶点相同,其坐标都为(0,0).③对称轴相同,都为y轴④开口方向相同,它们的开口方向都向下.不同点:开口大小不同.【归纳】y=ax2的图象特征:(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线(2)抛物线y=ax2的对称轴是y轴.顶点时原点.a>0时,抛物线开口向上,顶点时抛物形的最低点.a(3)|a|越大,抛物线y==ax2的开口越小(三)应用迁移巩固提高类型之一如何画好二次函数的图象【点拨】画二次函数图象一般是按以下三个步骤进行.①列表、取值;②描点;③连线但初学者对三个步骤,易犯下列错误,注意避免. 【易错点1】表格中,取值过多或过少.画函数y=ax2图象,取对应值时,一般5组或7组有代表性的对应值即可....【易错点2】连线不是光滑曲线,有的用折线,有的画的过渡不自然,不象抛物线.例1下图是甲、乙、丙三人画得二次函数y=2x2的图象.请你帮助修改.解:图甲中有两个错误的地方.①连线不能用直尺作线段,图象中相邻两点时用光滑曲线连接.②抛物线开口应向上无限延伸,不能到两端点为止.修改见图甲中虚线.图乙中有一个错误,其中有一个点(1,-2)的位置画错.(或表格中对应值算错)修改见图乙中虚线.图丙种错误是x的值都是非负数,没有负数,导致出现其图象只是抛物线的一半,没有对称性.修改见图丙中虚线.【点评】此三类错误是初学者应注意的三个方面,以后的练习中,应提醒大家注意.类型之二函数y=ax2的图象特征的应用例2(1)填空:函数y?()2的图象是,顶点坐标是,对称轴是,开口方向是. 1(2)函数y=x2,y=x2,y=-2x2图象如图所示,请指出三条抛物线的名称.2解:(1)y?()2可化为y=2x2.它的图象是抛物线,顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴,开口方向向上.【点评】解析式需化为一般式,再根据图象特征解答,避免发生错误.(2)根据抛物线y=ax2中,a的值的作用来判断,最上面的抛物线为y=x2,中间的为y=12x,x轴下方的为y=-2x22【点评】抛物线y=ax2中a>0时,开口向上.a(四)总结反思拓展升华【总结】1.本节所学知识:①二次函数y=ax2的图象的画法.②二次函数y=ax2的图象特征及其性质.2.本节所用的方法:实践比较法【反思】函数y=ax2与y=-ax2的图象之间有何关系?(它们关于x 轴对称)【拓展】已知函数y=ax2经过(1,2).(1)求a的值.(2)当x(2)根据函数y=2x2知x【点评】①通常用待定系数法函数y=ax2中只有一个待定系数a,故知道其图象上一点坐标或x,y的一组对应值就可求出解析式.②结合图象知:x(五)当堂检测反馈1.抛物线y=4x2中的开口方向是向上,顶点坐标是(0,0),对称轴是y轴.抛物线y=-对称轴是y轴.2.二次函数y=ax2与y=2x2,开口大小,形状一样,开口方向相反,则a=2.【分析】a与-2互为相反数13.在同一坐标系中:①y=x2,②y=-x2,③y=2x2这三个函数图象开口最大212x的开口方向是向下,顶点坐标是(0,0),4的是①y?12x2,开口向下的是②y=-x21解:∵||2∵函数y=-x2中,二次项系数为-114.二次函数y=2x2,y=-2x2,y=x22点(0,0);②对称轴相同,都是y轴.5.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是y轴,且经过(-3,2).求此抛物线的解析式,并指出x>0时,y随x的变化情况.解:设此抛物线的解析式为y=ax2,∵此抛物线过点(-3,2),∴2=a·(-3)2,。

人教版九年级上册数学 22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质 教案

人教版九年级上册数学 22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质 教案

《二次函数y=ax2的图象与性质》教案一、学情分析学生已掌握了二次函数的概念,以及初二年所学的函数图象的作法:描点法。

作出二次函数的图象难度不会很大,但二次函数y=ax2图象的性质探索过程会有较大的难度,本课通过探索活动和课件演示使学生直观的发现函数的性质,大大的降低了学生理解的难度。

二、教材分析《二次函数y=ax2 的图象与性质》是初中数学九年级(上)二次函数的一节内容。

本课是在学生掌握了二次函数的概念下对二次函数y=ax2的图象与性质进一步的研究,通过作出二次函数的图象来研究它的开口方向,对称轴,顶点坐标等性质。

通过这节的学习,学生将掌握函数y=ax2 的图象与性质,它是进一步学习二次函数的基础。

二次函数的图象与性质是初中阶段所学的有关函数知识的重要内容之一。

三、教学目标根据上述学情分析和教材分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征,制定如下教学目标:(1)知识目标:会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,能根据图象观察、分析出二次函数y=ax2的开口方向,对称轴,顶点坐标等有关性质。

(2)能力目标:通过函数图象进一步理解二次函数和抛物线的有关知识,并且能应用到实际问题中;提高学生对比、发现、概括的能力;培养观察能力和分析问题的能力。

(3)情感目标:通过作函数图象,认识数形结合的数学思想方法;培养学生动手能力、勇于探索创新及实事求是的科学精神。

四、教学重点、难点1.重点(1)二次函数y=ax2的图象画法;(2)了解抛物线的相关定义;(3)根据图象观察、分析出二次函数y=ax2 的性质;2.难点二次函数y=ax2的性质的应用,渗透数形结合的数学思想方法,了解从特殊到一般的探索方法,培养观察能力和分析问题的能力。

五、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图复习旧知导入新课1、通过提问,复习函数图象的画法(列表、描点、连线)。

2、范例:画出y=x2的函数图象,结合图象介绍下列名称定义:①顶点;②对称轴;③开口及开口方向.学生回顾、口答学生通过课件学习y=x2的函数图象的画法,并学习新知:二次函数的相关的名称定义回顾原有知识,明确画图的方法与步骤,为本节课的学习奠定基础在复习图象画法的同时,引入二次函数的图像时抛物线,以及二次函数顶点、对称轴、开口及开口方向等定义探究活动1探究活动:指导学生,在同一坐标系中,画出y=x2、y=12x2,y=2x2的函数图象。

人教版九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学设计

人教版九年级数学上册22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质教学设计
b.设计具有梯度的问题,引导学生逐步掌握二次函数y=ax^2的性质,培养其观察、分析、归纳能力。
c.结合实际例子,让学生感受二次函数在生活中的应用,提高学生解决问题的能力。
2.针对教学难点,采取以下措施:
a.采用小组合作学习,让学生在讨论、交流中共同突破难点,互相启发,共同提高。
b.教师适时给予引导,通过提问、解答等方式,帮助学生理解对称性、最值等概念。
3.对于选做题,学生可根据自己的兴趣和能力进行选择,不做硬性要求。
作业反馈:
1.教师应及时批改学生作业,给予评价和反馈,关注学生的进步与问题。
2.针对作业中的共性问题,教师应进行总结和讲解,帮助学生巩固知识点。
3.鼓励学生在作业中提出疑问,教师给予解答,促进师生互动。
2.选做题:
a.探究二次函数y=ax^2+bx+c的图像和性质,与y=ax^2进行对比,总结异同点。
b.查阅资料,了解二次函数在生活中的其他应用,如经济学、物理学等,撰写一篇小短文,分享你的发现。
作业要求:
1.学生独立完成作业,注重解题过程的表达,保持字迹清晰、工整。
2.鼓励学生在解决实际问题时,运用数形结合思想,将图像与性质相结合。
3.举例说明:通过具体例题,讲解二次函数在实际问题中的应用,如求解最大(小)值、确定物体的运动轨迹等。
(三)学生小组讨论
1.分组讨论:将学生分成小组,让每个小组讨论并总结二次函数y=ax^2的性质。
2.交流分享:各小组汇报讨论成果,其他小组进行补充、质疑,教师适时给予引导。
3.疑难解答:针对学生在讨论过程中遇到的问题,教师进行解答,帮助学生理解和掌握二次函数y=ax^2的性质。
c.设计具有挑战性的练习题,让学生在课后巩固所学知识,逐步克服难点。

《二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学

《二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质》教案 (公开课)2022年湘教版数学

1.2 二次函数的图象与性质第1课时 二次函数y =ax 2(a >0)的图象与性质1.会用描点法画二次函数y =ax 2(a >0)的图象,理解抛物线的概念;(重点)2.掌握形如y =ax 2(a >0)的二次函数的图象和性质,并会应用其解决问题.(重点)一、情境导入自由落体公式h =12gt 2(g 为常量),h 与t 之间是什么关系呢?它是什么函数?它的图象是什么形状呢?二、合作探究探究点一:二次函数y =ax 2(a >0)的图象y =(k +2)xk 2+k 是二次函数. (1)求k 的值;(2)画出函数的图象.解析:根据二次函数的定义,自变量x 的最高次数为2,且二次项系数不为0,这样能确定k 的值,从而确定表达式,画出图象.解:(1)∵y =(k +2)xk 2+k 为二次函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2+k =2,k +2≠0,解得k =1;(2)当k =1时,函数的表达式为y =3x 2,用描点法画出函数的图象.列表:x -1-12121…y =3x 2 3 34 0 343 … 描点:(-1,3),(-12,34),(0,0),(12,34),(1,3). 连线:用光滑的曲线按x 的从小到大的顺序连接各点,图象如下列图.方法总结:列表时先取原点(0,0),然后在原点两侧对称地取四个点,由于函数y =ax 2(a ≠0)图象关于y 轴对称的两个点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,所以先计算y 轴右侧的两个点的纵坐标,左侧对应写出即可.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第7题探究点二:二次函数y =ax 2(a >0)的性质点(-3,y 1),(1,y 2),(2,y 3)都在函数y =x 2的图象上,那么y 1、y 2、y 3的大小关系是________.解析:方法一:把x =-3,1,2分别代入y=x2中,得y1=9,y2=1,y3=2,那么y1>y3>y2;方法二:如图,作出函数y=x2的图象,把各点依次在函数图象上标出.由图象可知y1>y3>y2;方法三:∵该图象的对称轴为y轴,a>0,∴在对称轴的右边,y随x的增大而增大,而点(-3,y1)关于y轴的对称点为(3,y3).又∵3>2>1,∴y1>y3>y2.方法总结:比较二次函数中函数值的大小有三种方法:①直接把自变量的值代入解析式中,求出对应函数值进行比较;②图象法;③根据函数的增减性进行比较,但当要比较的几个点在对称轴的两侧时,可根据抛物线的对称轴找出某个点的对称点,转化到同侧后,然后利用性质进行比较.变式训练:见《学练优》本课时练习“课后稳固提升〞第2题探究点三:二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质的简单应用函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.(1)求满足条件的m的值;(2)m为何值时,抛物线有最低点?求出这个最低点,这时当x为何值时,y随x 的增大而增大?解析:由二次函数的定义知:m2+m -4=2且m+2≠0;抛物线有最低点,那么抛物线开口向上,即m+2>0.解:(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m2+m-4=2,m+2≠0,解得⎩⎪⎨⎪⎧m=2或m=-3,m≠-2,∴当m=2或m=-3时,原函数为二次函数;(2)假设抛物线有最低点,那么抛物线开口向上,∴m+2>0,即m>-2,∴取m =2.∴这个最低点为抛物线的顶点,其坐标为(0,0).当x>0时,y随x的增大而增大.方法总结:二次函数必须满足自变量的最高次数是2且二次项的系数不为0;函数有最低点即开口向上.变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练〞第9题三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,在操作中探究二次函数y=ax2(a>0)的图象与性质,培养学生动手、动脑、探究归纳问题的能力.第2课伟大的历史转折1教学分析【教学目标】知识与能力知道中共十一届三中全会召开时间;了解它的背景,理解其重大意义;了解拨乱反正加强了民主与法制建设,推动了社会主义现代化建设;学会在历史开展的进程中认识历史人物、历史事件的地位和作用过程与学会运用原因与结果、联系与综合等概念,理解中共十一届三中全会的召开方法背景与历史意义情感态度与价值观认同中国共产党完全有能力领导中国人民取得社会主义建设事业的成功识改革开放是我国的强国之路【重点难点】教学重点:中共十一届三中全会教学难点:中共十一届三中全会在政治上、思想上、组织上的转变以及历史意义2教学过程一、导入新课“文化大革命〞时期,我国教育遭到了很大破坏,高考中断了十年。

《二次函数的图像和性质》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版1

《二次函数的图像和性质》公开课教案 (省一等奖)2022年人教版1

二次函数y=ax 2的图像和性质教学目标知识与技能 1会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象,了解抛物线的有关概念。

2通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质过程与方法 经历、探索二次函数y=ax 2的图象性质的过程,养成观察、思考、归纳的思维习惯。

情感态度与价值观注重学生参与,联系实际,丰富学生的感性认识,培养学生的良好的学习习惯。

重点 观察二次函数y=ax 2的图象,探索它的图像特征和性质 难点 分段讨论二次函数y=ax 2的增减性 教法、学法 引导、启发 自主学习、合作交流 课型新授课教学准备 直尺、导学案 教学流程教师活动学生活动 二次备课 一、自主学习 知识回忆用描点法画函数图象的一般步骤是什么? 我们是如何研究一次函数的图象和性质的?二次函数的一般形式是什么?对各项系数有何要求? 你认为最简单的二次函数形式是什么? 回忆出示学习目标1、会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象,了解抛物线的有关概念。

2、通过观察图象探索二次函数y=ax 2的图象特征和性质。

明确目标出示自学提纲1、在同一直角坐标系中,画出函数y=x 2 、y=2x2、y =12x 2 的图象2、观察并比拟三个图象,答复以下问题。

⑴图象形状是一条________,⑵图象是轴对称图形,对称轴为______。

⑶图象与对称轴的交点坐标是_______.此点也是抛物线的最_____点。

⑷图象的开口方向________.⑸当x >0时,y 的值随着x 的增大而______,当x <0时,y 随着x 的增大而________.⑹三个图象中________开口最大,________开口最小。

3、归纳:当a >0时,二次函数y=ax 2的图象和性质。

x … -3 -2 -10 1 2 3 …y=x 2… 9 4 1 0 1 4 9 …y=2x 2… … y =12x 2… … 阅读提纲, 〔1〕~〔4〕y=ax 2开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 a >0a 越大,抛物线的开口越______.4、在同一直角坐标系中,画出函数y=-x 2、y=-2x2y =-12x 2的图象,并思考这些抛物线有什么共同点和不同点? x … -2 -1 0 1 y=-x 2… y=-2x 2 … y =-12x 2…5、归纳:当a <0时,二次函数y=ax 2的图象和性质。

第22章 人教版数学九年级上册教案2 二次函数y=ax2的图象和性质

第22章 人教版数学九年级上册教案2 二次函数y=ax2的图象和性质

22.1.2 二次函数y =ax 2的图象和性质课题22.1.2 二次函数y =ax 2的图象和性质授课人知识技能会用描点法画出二次函数y =ax 2的图象,能根据图象理解其有关性质.数学思考通过类比一次函数的探究方式得到研究特殊的二次函数图象及其性质的探究方式,并根据数形结合的思想探究函数之间的联系和区别.问题解决经历探索二次函数y =ax 2的图象和性质的过程,体会数形结合的思想与方法.教学目标情感态度通过画函数图象,认识数形结合的数学方法,体会数学中的特殊与一般的辩证关系,体会数学的内在美.教学重点画出二次函数y =x 2的图象,根据函数的图象分析其性质.教学难点用描点法准确画出二次函数的图象.授课类型新授课课时教具多媒体教学活动教学步骤师生活动设计意图回顾1.回忆二次函数的定义.教师提出问题,学生进行回答.定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.2.我们该如何研究一个函数呢?从哪些方面入手呢?探究结论:学习一次函数时,先研究正比例函数,同样在学习二次函数时,也是从最简单的二次函数入手,先研究b,c都等于0的情况,即研究最简单的二次函数y=ax2的图象和性质.让学生回忆学习函数的过程和方法,引导学生在学习过程中发现研究问题的一般规律.活动一:创设情境导入新课【课堂引入】问题:如何画出二次函数y=x2的图象呢?师生活动:师生共同讨论,得到画函数图象的一般步骤:列表、描点、连线.1.列表:问题:自变量该如何取值呢?学生交流、讨论,得到结论.二次函数y=x2中自变量的取值范围是全体实数,而且当自变量互为相反数时,对应的函数值相等,因此,以原点为中心在原点的左右两侧均匀地选取便于计算的x值即可.x…-3-2-10123…y=x2…9410149…画二次函数y=ax2的图象是本节课的重点与难点,因此,需要逐步引导,而列表是三个步骤中最为关键的环节,要分析透彻,鼓励学生发表自己的看法.2.描点:请同学们把表格中的点在坐标纸上描出来.3.连线:用平滑的曲线顺次连接各点,在连线过程中,观察图象的形状.活动二:实践探究交流新知1.二次函数y=x2的图象总结师生活动:学生在坐标纸上画出图象,教师巡视,及时发现问题,并予以纠正、指导.教师利用展台展示学生的优秀作品,并引导学生大胆说出图象的特征.二次函数y=x2的图象是一条曲线,它的形状类似于投篮球或掷铅球时球在空中所经过的路线,这条曲线叫做抛物线.抛物线开口方向向上或向下,是轴对称图形,它与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.2.观察类比,探究异同在同一个平面直角坐标系中画出二次函数y=12x2和y=2x2的图象,并观察图象有哪些特征.师生活动:请同学们在同一平面直角坐标系中画出两个二次函数的图象,完成后观察并分组讨论图象之间的异同点,总结出当a>0时,二次函数y=ax2的图象特征.探究二次函数y=-x2,y=-12x2和y=-2x2的图象,并思考这些抛物线有什么共同点和不同点.师生活动:教师利用几何画板进行画图演示,学生观察三个函数图象,并比较异同,独自总结规律.教师进行个别提问,学生独立作答,师生共同确定规律.1.在同一平面直角坐标系中画函数图象,使得对比更加强烈,小组讨论的学习方式可以使个人想法得到纠正和补充.2.利用几何画板进行动态演示,所画抛物线准确,对比明显,结论易得,使学生感受深刻.3.在分析总结过程中,把所得结论填进表格,对学生思路起到了引导作用,更直观易懂.4.设置同步练习,可以巩固新知,促进理解.3.总结归纳,形成规律总结二次函数y=ax2(a≠0)的图象的特征.学生独立归纳二次函数y=ax2的图象特征,并填表:二次函数图象的形状开口方向对称轴顶点坐标y=ax2a>0a<0归纳:一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大.练习:在平面直角坐标系中画出二次函数y=0.2x2的图象,并填空.二次函数y=0.2x2的图象是一条开口向 上 的抛物线,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 (0,0) ,当x= 0 时,y有最 小 值,为 0 .活动三:开放训练体现【应用举例】例1 下列说法错误的是( C )A.在二次函数y=2x2中,当x>0时,y随x的增大而增大B.在二次函数y=-6x2中,当x=0时,y有最大值0C.a越大,抛物线y=ax2(a≠0)的开口越小;a越小,抛物线y=ax2(a≠0)的开口越大1.例1复习了二次函数y=ax2的图象及其特点.2.例2培养学生用数形结合的思想解决问题的能力.D .不论a是正数还是负数,抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是坐标原点例2 已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)均在抛物线y=-4x2上,下列结论正确的是( D )A.y1<y2<y3B.y2<y1<y3C.y3<y1<y2D.y3<y2<y1学生自主解答问题后,分组展开讨论,待学生充分交流后,教师组织学生展示自己的答案,共同得到正确的结论.变式练习:1.关于函数y=-23x2的图象及性质,描述错误的是( D )A.它的图象关于y轴对称B.当x<0时,y随x的增大而增大C.原点是该抛物线上的最高点 D.当x为任意实数时,函数值y总是负数2.对于二次函数y=mxm2-1,在其图象对称轴的左侧,y随x的增大而增大,则m= -3 .应用【拓展提升】例3 已知a≠0,b<0,则一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2的图象可以是图22-1-11中的( C )图22-1-11例3、例4是一次函数与二次函数相结合的数形结合问题,让学生体会参数对图象的作用.例4 若抛物线y=ax2与直线y=-x交于点(1,m),求m的值及抛物线的函数解析式.[答案:m=-1,y=-x2]给予学生一定的时间去思考,充分讨论,争取让学生自己得到正确答案,并对学习有困难的学生适当引导、点拨.【达标测评】1.函数y=-x2的图象是一条 抛物 线,开口向 下 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 (0,0) .2.已知抛物线y=ax2(a≠0)和直线y=kx(k≠0)的交点是P(-1,2),则a= 2 ,k= -2 .3.已知函数y=mxm2+1的图象是不经过第一、二象限的抛物线,则m= -1 .4.已知二次函数y=-14x2,当x1<x2<0时,y1与y2的大小关系是 y1<y2 (用“<”连接).5.已知函数y=(m+2)xm2+m-4是关于x的二次函数.(1)求满足条件的m的值;(2)当m为何值时,抛物线有最低点?并求出这个最低点.这时当x为何值时,y随x的增大而增大?(3)当m为何值时,函数有最大值?最大值是多少?这时当x为何值时,y随x的增大而减小?学生进行当堂检测,完成后,教师进行批阅、点评、讲解.从简单的应用开始,及时巩固新知,让学生获得对二次函数y=ax2(a≠0)的图象和性质的深层次的理解,从多个角度进行检测,达到学有所成的目的.活动四:课堂总结反思1.课堂总结:请同学们回顾本课的学习内容,思考以下问题:小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯,提高学生(1)二次函数y=ax2的图象是什么样子的?(2)二次函数y=ax2中的a对函数图象有什么影响?教师提示:明确二次函数图象的开口方向、顶点坐标及对称轴,能够分析函数的增减性.2.布置作业:(1)教材第41页习题22.1第3,4题.(2)补充题:已知直线y=kx与抛物线y=ax2都经过点(-1,6).①求直线及抛物线的函数解析式;②判断点(k,a)是否在抛物线上;③若点(m,a)在抛物线上,求m的值.的学习能力.【知识网络】提纲挈领,重点突出.【教学反思】①[授课流程反思]在创设情境环节中,教师应给予充分的时间让学生交流、讨论、作图,学生通过自己作图得到函数图象;在探究新知环节中,在学生总结自己的想法和结论后,教师及时做反思教学过程和教师表现,进一步优化操作流程和提升自身素质.好总结和归纳,学生接受较快,效果明显.②[讲授效果反思]教师引导学生在分析二次函数的图象时从以下几点进行考虑:(1)开口方向;(2)对称轴;(3)顶点坐标;(4)函数增减性.③[师生互动反思]在教学过程中,学生充分发挥主动性,每个学生都能积极主动参与,成为课堂的主人.④[习题反思]好题题号 错题题号 典案二导学设计一、阅读课本:二、学习目标:1.知道二次函数的图象是一条抛物线;2.会画二次函数y=ax2的图象;3.掌握二次函数y=ax2的性质,并会灵活应用.三、探索新知:画二次函数y=x2的图象.【提示:画图象的一般步骤:①列表(取几组x、y的对应值;②描点(表中x、y的数值在坐标平面中描点(x,y);③连线(用平滑曲线).】列表:x…-3-2-10123…y=x2……描点,并连线由图象可得二次函数y=x2的性质:1.二次函数y=x2的图象是一条曲线,把这条曲线叫做______________.2.二次函数y=x2中,二次函数a=_______,抛物线y=x2的图象开口__________.3.自变量x的取值范围是____________.4.观察图象,当两点的横坐标互为相反数时,函数y值相等,所描出的各对应点关于________对称,从而图象关于___________对称.5.抛物线y=x2与它的对称轴的交点(,)叫做抛物线y=x2的_________.因此,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________.6.抛物线y=x2有____________点(填“最高”或“最低”).四、例题分析例1 在同一直角坐标系中,画出函数y=12x2,y=x2,y=2x2的图象.解:列表:x…-4-3-2-101234…y=x2……x…-4-3-2-101234…y=12x2……x…-2-1.5-1-0.500.51 1.52…y=2x2……描点、连线归纳:抛物线y=12x2,y=x2,y=2x2的二次项系数a_______0;顶点都是__________;对称轴是_________;顶点是抛物线的最_________点(填“高”或“低”).例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的图象.列表:x…-4-3-2-101234…y=-x2……x…-4-3-2-101234…y=-12x2……x…-4-3-2-101234…y=-2x2……归纳:抛物线y=-x2,y=-12x2,y=-2x2的二次项系数a______0,顶点都是________,对称轴是___________,顶点是抛物线的最________点(填“高”或“低”).五、理一理1.抛物线y=ax2的性质图象(草图)开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a>0当x=____时,y有最_______值,是______.a<0当x=____时,y有最_______值,是______.2.抛物线y=x2与y=-x2关于________对称,因此,抛物线y=ax2与y=-ax2关于_______对称,开口大小_______________.3.当a>0时,a越大,抛物线的开口越___________;当a<0时,|a|越大,抛物线的开口越_________;因此,|a|越大,抛物线的开口越________,反之,|a|越小,抛物线的开口越________.六、课堂训练1.填表:开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值y=23x2当x=____时,y有最_______值,是______.y=-8x22.若二次函数y=ax2的图象过点(1,-2),则a的值是___________.3.二次函数y=(m-1)x2的图象开口向下,则m____________.4.如图,①y=ax2②y=bx2③y=cx2④y=dx2比较a、b、c、d的大小,用“>”连接.___________________________________七、目标检测1.函数y=37x2的图象开口向_______,顶点是__________,对称轴是________,当x=___________时,有最_________值是_________.2.二次函数y=mx有最低点,则m=___________.3.二次函数y=(k+1)x2的图象如图所示,则k的取值范围为___________.4.写出一个过点(1,2)的函数解析式_________________.。

22.1.1二次函数y=ax2的图象和性质(教案)

22.1.1二次函数y=ax2的图象和性质(教案)
此外,在课堂总结环节,我对本节课的重点内容进行了回顾,希望学生能够掌握二次函数y=ax2的图象和性质。但从学生的提问来看,他们对某些知识点的理解仍不够透彻。因此,我计划在课后加强个别辅导,针对学生的疑问进行解答,帮助他们巩固所学知识。
3.通过对二次函数y=ax2的探究,培养直观想象和数据分析素养,提高解决实际问题的能力;
4.在小组合作与交流中,提升数学交流与团队合作能力。
数y=ax2的定义及其图象特点:重点讲解a的取值对图象的影响,包括开口方向(a>0时开口向上,a<0时开口向下)和开口大小(|a|越大,开口越小)。
(二)新课讲授(用时10分钟)
1.理论介绍:首先,我们要了解二次函数y=ax2的基本概念。二次函数是形如y=ax2的函数,其中a为常数。它是描述抛物线形状的重要数学工具,广泛应用于物理、工程等领域。
2.案例分析:接下来,我们来看一个具体的案例。通过分析物体抛掷的轨迹,了解二次函数在实际中的应用,以及如何帮助我们解决问题。
例:针对难点内容,设计具体案例,如求解抛物线与坐标轴的交点、物体抛掷的最高点等问题,通过图形演示、公式推导和实际操作,帮助学生突破难点。
四、教学流程
(一)导入新课(用时5分钟)
同学们,今天我们将要学习的是《22.1.1二次函数y=ax2的图象和性质》这一章节。在开始之前,我想先问大家一个问题:“你们在生活中是否见过抛物线形状的事物?”(如拱桥、抛掷物体等)这个问题与我们将要学习的二次函数密切相关。通过这个问题,我希望能够引起大家的兴趣,让我们一同探索二次函数的奥秘。
3.重点难点解析:在讲授过程中,我会特别强调a的取值对图象的影响、顶点位置及性质、对称性和单调性、最值问题等。对于难点部分,我会通过举例和图形分析来帮助大家理解。

二次函数y=ax2的图象和性质教案中的案例讲解及教学方法

二次函数y=ax2的图象和性质教案中的案例讲解及教学方法

二次函数y=ax2的图象和性质教案中的案例讲解及教学方法。

案例描述:小明是一名初三学生,他正在学习二次函数的图象和性质。

他很好奇,如果将二次函数中的参数a取不同的值,会对函数其图象造成什么影响。

他请教了数学老师,并得到了以下问题:已知二次函数y=ax^2 的参数 a 的不同取值分别为 1/2、1、2,画出它们的函数图象,并分析它们的性质。

教学方法:1.让学生探究让学生自行根据题目中的要求,搜索资料,画出三个函数的图象,并分析它们的性质。

老师可以引导学生思考如下问题:(1)三个函数的图象有何相似之处,何不同之处?(2)三个函数都有什么最高点或最低点,这个点的坐标分别为多少?这个点对函数有什么影响?(3)三个函数在什么位置上与x轴相交,这对函数有何影响?(4)三个函数在什么位置上与y轴相交,这对函数有何影响?(5)三个函数的开口方向有何不同之处?这对函数有何影响?2.总结性讲解根据学生自己探究的结果,老师可以进行总结性讲解,介绍二次函数 y=ax^2 的图象和性质:(1)二次函数 y=ax^2 的图象都是开口朝上或开口朝下的抛物线。

其中参数 a 的正负决定了开口的朝向。

当 a>0 时,开口朝上;当 a<0 时,开口朝下。

(2)二次函数 y=ax^2 的最高点或最低点为抛物线的对称轴上的点,称为抛物线的顶点。

顶点的坐标为(0,a/4)或(0,-a/4)。

(3)二次函数 y=ax^2 与x轴相交的点称为根,也称为零点或解。

当 a>0 时,抛物线与x轴有两个根,分别为x1=(-∞,0)、x2=(0,+∞);当 a<0 时,抛物线与x轴无根。

(4)二次函数 y=ax^2 与y轴相交于点(0,0)。

这表示二次函数总是通过原点。

(5)二次函数 y=ax^2 的参数 a 的变化,会导致抛物线形状的变化。

当参数 a 的值越大,抛物线的开口越宽,曲线愈平缓;当参数a 的值越小,抛物线的开口越窄,曲线愈陡峭。

二次函数y=ax2的图象与性质教学设计

二次函数y=ax2的图象与性质教学设计

精讲点拨例、已知y =(m+1)x是二次函数且其图象开口向下(1)求m的值和函数解析式。

(2)x在何范围内,y随x的增大而增大?y随x的增大而减小?
自我测评
1、函数y=2x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;在对
称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y 随x的增大而。

2、函数y=-3x2的图象的开口,对称轴是,顶点是;在对称轴的左侧,y随x的增大而,在对称轴的右侧,y随x 的增大而。

3、已知 y=(k+2)x k2+k-4是二次函数,且当x>0时,y 随x增大而增大,则k=;
达标训练1、抛物线y=-3x2,开口,对称轴是,当x时,y随着x的增大而减小,当x时,函数y有最值,此时y=。

2、观察函数y=x2的图象,则下列判断中错误的是()
A、开口向上
B、对称轴是y轴
C、当x>0时,y随x的增大而增大
D、当x<0时,y随x的增大而增大
3、已知函数是二次函数,且开口向上。

求:m的值及二次函数的解析式,并回答y随x的变化规律
小结提升通过本节课的学习,你收获了什么?
课后作业1、说出下抛物线的开口方向、对称轴和顶点
(1)y=2x2 (4)y=-1|3x2
2、抛物线y=-3x2,开口,对称轴是,顶点坐标,当x时,y随着x的增大而减小。

3、已知 y=(k+2)x k2-3k-2是二次函数,且当x>0时,y随x增大而增大,则k=;
2
m m
+
()()
222
12
m m
y m x m x
-+
=-+-
y
x
o。

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①图象形状:抛物线(由教师给出)②与x、y轴交点;③y随x的增减性;
④图象的对称性。及系数与图象的关系。
活动3
一、归纳分析 的性质
二、练一练:
若正方形的边长为a,面积为s,试求出面积s与边长a的关系式,并画出图象。
学生互相交流,讨论,然后举手回答:
当 a<0 时,抛物线y=ax2开口向下,在对称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降。顶点是抛物线上位置最高的点。当 a<0 时,二次函数y=ax2具有这样的性质:当 x <0 时,函数值 y 随 x 的增大而增大;当 x>0 时,函数值 y 随 x 的增大而减少;当x=0 时,函数取最小值y=0。
学生独立完成以后,让他们发表自己的看法,辨证出图象只在第一象限存在。
学生对比前面的总结,归纳方式概括出当 a<0 时函数图象的性质,既让学生掌握了知识,又提高了学生归纳,总结的能力。在语言问题上,为了规范化,教要给以纠正。
在实际应用的问题上,教师先不要进行过多的提醒,让学生进一步体会自变量“x”的取值范围的特殊性。
活动4
反思评价:
本节课只是学习二次函数y=ax2的图像和性质,并用其性质解决实际问题,在教学过程中让学生通过观察说明性质,向学生渗透了数形结合的思想:让学生自主探索函数的开口方向,对称轴和顶点坐标。同时,鼓励学生拓展思路,注重方法的多样性。
我认为这节课有两方面的突破:
一是学生的思维得到了很好的训练和发展。以往解决这类问题,常常教师讲解例题,学生模仿练习。这节课中,我从学生能做的简单问题入手,逐步深入,通过观察、讨论和交流,归纳出 图像的性质。①、图象——“抛物线”是轴对称图形;②、与x、y轴交点——(0,0)即原点;
问题与情景
师生行为
设计意图
活动1
创设情景
在研究一种函数时,它的图象和性质对我们来说非常重要。今天我们就来结识二次函数的图象。请同学们自己先试着画出二次函数y=x2的图象。
(1)引导学生画出函数 y=x2的图像。
(2)请学生展示所画的图形,肯定学生的表现,然后用直尺板演作图过程,画出规范的图像,同时指出自变量x可以取任意实数,只需要画出图像的一部分即可,而且描的点越多图像越精确。
(1)让学生概括图像的特点,提示学生从开口方向、对称性等方面考虑。
(2)肯定学生的表现,讲解:这样的曲线通常叫做抛物线。他有一条对称轴,抛物线于它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
(3)提示学生从图像开口方向,顶点坐标,对称轴几方面分析函数图象的共同点和不同点。
在此问题上,不需要按课本上的问题一一叠列给学生,而是尽量充分发挥学生的观察能力;再者学生已研究过正比例函数、一次函数、反比例函数,已经积累了一定的研究函数图象的方法和能力,积累了研究函数图象要“研究什么”的经验,有了一定“模式”,
③、a的绝对值越大抛物线开口越大,a﹥0,开口向上,
当x﹤0时,(对称轴左侧),y随x的增大而减小(y随x的减小而增大) 当x﹥0时,(对称轴右侧),y随x的增大而增大(y随x的减小而减小)a﹤0,开口向下,当x﹤0时,(对称轴左侧),y随x的增大而增大(y随x的减小而减小)当x﹥0时,(对称轴右侧),y随x的增大而减小(y随x的减小而增大)
三、情感态度价值观:
学生经历观察、发现、探究等数学活动,感受到二次函数图像的对称美,曲线的平滑美。渗透由特殊到一般的辩证唯物主义观点;
渗透数形结合的数学思想方法,培养观察能力和分析问题的能力;
培养学生勇于探索创新及实事求是的科学态度.
教学重点
二次函数 的图象的作法和性质
教学难点
根据图象认识和理解二次函数表达式与图象之间的联系
教学设计方案
贵州省六盘水市水城县猴场中学朱启娥
课程名称
《二次函数y=ax2的图象和性质》
教学目标
一、知识技能:
1、会用描点法画出二次函数 的图象;
2、根据图象观察、分析出二次函数 的性质;
3、理解二次函数和抛物线的有关知识
二、过程与方法:
培养学生用数形结合的思想研究二次函数y=ax2的图象、性质,提高学生观察、分析、比较、概括等能力。
学生们过去已熟知了画函数图象的方法:①列表、②描点、③连线。因此在这一问题上教师不作过多提示,完全把这跳一跳,摸得着的问题完全交给学生。
活动2
议一议:
请同学们观察y=x2的图象的性质,然后分组探讨。
做一做:
(1)教师问:二次函数y=-x2的图象是什么形状?先想一想,然后作出它的图象,它与二次函数y=x2的图象有了什么变化?
二是学生自主学习得到了很好的落实,发挥了学生的主体作用。本节课的一些知识方法和实际问题的解决,都是由学生来完成的,教师只是在关键性和概括性的语言表达上给与点拨和帮助。小组合作和探究真正落实到实处,发挥了很好的作用。
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