第一部分专题六微专题2 基本初等函数、函数与方程-2021届高三数学二轮专题复习课件

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高考数学大二轮复习专题六函数与不等式、导数第二讲基本初等函数、函数与方程课件理

12/11/2021
第二十页，共四十七页。
探究 1 函数零点个数或所在区间判断
(1)(2019·河南郑州质检)已知函数 f(x)＝12x－cos x，则
f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
12/11/2021
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解析：如图，作出 g(x)＝12x 与 h(x)＝cos x 的图象，可知其在 [0,2π]上的交点个数为 3，所以函数 f(x)在[0,2π]上的零点个数为 3，故选 C.
答案：C
12/11/2021
第二十二页，共四十七页。
(2)(2019·河南濮阳一模)函数 f(x)＝ln(2x)－1 的零点位于区间
() A．(2,3)
B．(3,4)
C．(0,1)
D．(1,2)
解析：∵f(x)＝ln(2x)－1 是增函数，且是连续函数， f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－1>0，∴根据函数零点的存在性定理可得，函数 f(x)的零点位于区间(1,2)上．
2．(2019·河北承德月考)已知函数 f(x)＝2xx＋－22－，1x，<0x，≥0， g(x)
x2－2x，x≥0，
＝1x，x<0，
则函数 f(g(x))的所有零点之和是( )
A．－12＋ 3
B.12＋ 3
C．－1＋
3 2
D．1＋
3 2
12/11/2021
第三十二页，共四十七页。
解析：由 f(x)＝0 得 x＝2 或 x＝－2，由 g(x)＝2 得 x＝1＋ 3，由 g(x)＝－2 得 x＝－12，所以函数 f(g(x))的所有零点之和是－12 ＋1＋ 3＝12＋ 3，故选 B.

高三数学二轮专题复习第2讲基本初等函数、函数与方程

第2讲基本初等函数、函数与方程高考定位 1.掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质；2.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理；3.能利用函数解决简单的实际问题.真题感悟1.(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A.－12B.13C.12D.1[解析] f (x )＝(x －1)2＋a (e x －1＋e 1－x )－1，令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1.∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数.∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点. 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0，∴2a －1＝0，解得a ＝12. [答案] C2.(2018·天津卷)已知a ＝log 3 72，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413，c ＝log 13 15，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a >b >c B.b >a >c C.c >b >aD.c >a >b[解析] c ＝log 1315＝log 35，a ＝log 372，由y ＝log 3x 在(0，＋∞)上是增函数，知c >a >1. 又b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<1，故c >a >b .[答案] D3.(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A.[－1，0) B.[0，＋∞) C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)[解析] 函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.[答案] C4.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.[解析] 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. [答案] 30考点整合1.指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m ·a n ＝a m ＋n ； (2)(a m )n ＝a mn ；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a MN ＝log a M －log a N ； (5)log a M n ＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog ba (注：a ，b >0且a ，b ≠1，M >0，N >0).2.指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，当a >1时，两函数在定义域内都为增函数，当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数. 3.函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标.(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合，利用两个函数图象的交点求解. 4.应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一基本初等函数的图象与性质【例1】 (1)(2018·郑州一模)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)(2018·济南质检)已知a (a ＋1)≠0，若函数f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数，且函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x >12在R 上有最大值，则a 的取值范围为()A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，－12D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12[解析] (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称. 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.(2)∵f (x )＝log 2(ax －1)在(－3，－2)上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－2a －1≥0，∴a ≤－12，∵a (a ＋1)≠0， ∴|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1，＋∞).当x ≤12时，g (x )＝4x ∈(0，2]，又g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x >12在R 上有最大值，则当x >12时，log |a |x ≤2，且|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1，∴log |a |12≤2，∴|a |2≤12，则|a |≤22，又a ≤－12，∴－22≤a ≤－12. [答案] (1)B (2)A探究提高 1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件.如求f (x )＝ln(x 2－3x ＋2)的单调区间，只考虑t ＝x 2－3x ＋2与函数y ＝ln t 的单调性，忽视t >0的限制条件. 【训练1】 (1)已知函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝c x 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a 2，4b ＝2，c 1<12，所以a >1，b ＝12，c <12，因此a >b >c .(2)若f (t )≥1，显然成立，则有⎩⎨⎧t <1，34t ＋54≥1或⎩⎪⎨⎪⎧t ≥1，2t≥1，解得t ≥－13.若f (t )<1，由f [f (t )]＝2f (t )，可知f (t )＝－1，所以34t ＋54＝－1，得t ＝－3.综上，实数t 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13.[答案] (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫t ⎪⎪⎪t ＝－3或t ≥－13 热点二函数的零点与方程考法1 确定函数零点个数或其存在范围【例2－1】 (1)函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C.(1，2)D.(2，3)(2)(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________.[解析] (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数. f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0， f (1)＝log 21－11＝0－1＜0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0，∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内.(2)由题意知，cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k ＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3. [答案] (1)C (2)3探究提高 1.函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)函数零点值大致存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定.2.判断函数零点个数的主要方法：(1)解方程f (x )＝0，直接求零点；(2)利用零点存在定理；(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题.【训练2】函数f (x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.[解析] f (x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，函数f (x )的零点个数可转化为函数y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y 1＝sin 2x 与y 2＝x 2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f (x )的零点个数为2. [答案] 2考法2 根据函数的零点求参数的取值或范围【例2－2】 (2018·天津卷)已知a >0，函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.若关于x的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________.[解析] 当x ≤0时，由x 2＋2ax ＋a ＝ax ，得a ＝－x 2－ax ；当x >0时，由－x 2＋2ax －2a ＝ax ，得2a ＝－x 2＋ax .令g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0.作出y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)，函数g (x )的图象如图所示，g (x )的最大值为－a 24＋a 22＝a 24，由图象可知，若f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，则a <a 24<2a ，解得4<a <8.[答案] (4，8)探究提高 1.求解本题的关键在于转化为研究函数g (x )的图象与y ＝a (x ≤0)，y ＝2a (x >0)的交点个数问题：常见的错误是误认为y ＝2a ，y ＝a 是两条直线，忽视x 的限制条件.2.解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.【训练3】 (2018·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是________.[解析] 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.[答案] －78热点三函数的实际应用【例3】为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值. 解 (1)当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C (x )＝403x ＋5(0≤x ≤10)，∴f (x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10).(2)由(1)得f (x )＝2(3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]，y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70(当且仅当2t ＝800t ，即t ＝20时等号成立)，此时x ＝5，因此f (x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f (x )达到最小，最小值为70万元. 探究提高解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题.(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解.【训练4】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.[解析] 由已知条件，得192＝e b ，又48＝e 22k ＋b ＝e b ·(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋b ＝192 e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.[答案] 241.指数函数与对数函数的图象和性质受底数a(a>0，且a≠1)的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约.2.(1)忽略概念致误：函数的零点不是一个“点”，而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)零点存在性定理注意两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.3.利用函数的零点求参数范围的主要方法：(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解.4.构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解.(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建f(x)＝x＋ax(a>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.一、选择题1.(2017·北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与MN 最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A.1033 B.1053C.1073D.1093[解析] M ≈3361，N ≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg1080＝361lg 3－80≈93.∴M N ≈1093. [答案] D2.(2018·潍坊三模)已知a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2323，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3423，c ＝log 3423，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a 1.因此c >b >a . [答案] A3.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0B.－2，0C.12D.0[解析] 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0. 当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0. [答案] D4.(2018·全国Ⅲ卷)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A.a ＋b <ab <0 B.ab <a ＋b <0 C.a ＋b <0<abD.ab <0<a ＋b[解析] 由a ＝log 0.20.3得1a ＝log 0.30.2，由b ＝log 20.3得1b ＝log 0.32，所以1a ＋1b ＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4，所以0<1a ＋1b <1，得0<a ＋b ab <1.又a >0，b <0，所以ab <0，所以ab <a ＋b <0. [答案] B5.(2018·北京燕博园联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x ＋1），x ≥0，x 3－3x ，x <0，若函数y ＝f (x )－k 有三个不同的零点，则实数k 的取值范围是( ) A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)[解析] 当x <0时，f (x )＝x 3－3x ，则f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，∴x ＝±1(舍去正根)，故f (x )在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，0)上单调递减，又f (x )＝ln(x ＋1)在x ≥0上单调递增.则函数f (x )图象如图所示.f (x )极大值＝f (－1)＝－1＋3＝2，且f (0)＝0.故当k ∈(0，2)时，y ＝f (x )－k 有三个不同零点.[答案] C二、填空题6.(2018·浙江卷改编)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________.[解析] 令f (x )＝0，当x ≥λ时，x ＝4.当x <λ时，x 2－4x ＋3＝0，则x ＝1或x ＝3.若函数f (x )恰有2个零点，结合如图函数的图象知，1<λ≤3或λ>4.[答案] (1，3]∪(4，＋∞)7.若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________.[解析] 由f (1)＝19，解得a ＝13，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|，由于u ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，又y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x是减函数.∴f (x )的单调递减区间为[2，＋∞).[答案] [2，＋∞)8.(2018·广州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，2x ＋1，x ≤0，若方程f (x )＝ax 有三个不同的实数根，则a 的取值范围是________.[解析] 在同一坐标系内，作函数y ＝f (x )与y ＝ax 的图象，当y ＝ax 是y ＝ln x 的切线时，设切点P (x 0，y 0)，∵y 0＝ln x 0，a ＝(ln x )′|x ＝x 0＝1x 0，∴y 0＝ax 0＝1＝lnx 0，x 0＝e ，故a ＝1e .故y ＝ax 与y ＝f (x )的图象有三个交点时，0<a <1e .[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 三、解答题9.(2018·雅礼中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3（x ＋1），x >1，log 2（5－x ），x ≤1.(1)求方程f (x )＝3f (2)的解集；(2)讨论函数g (x )＝f (x )－a (a ∈R )的零点的个数. 解 (1)f (2)＝log 33＝1，当x >1时，由f (x )＝3f (2)＝3得x ＋1＝27，即x ＝26. 当x ≤1时，由f (x )＝3得5－x ＝8，即x ＝－3. 故方程f (x )＝3f (2)的解集为{－3，26}.(2)当x >1时，f (x )＝log 3(x ＋1)递增，且f (x )∈(log 32，＋∞). 当x ≤1时，f (x )＝log 2(5－x )递减，且f (x )∈[2，＋∞). 由g (x )＝f (x )－a ＝0得f (x )＝a ，故当a ∈(－∞，log 32]时，g (x )的零点个数为0；当a ∈(log 32，2)时，g (x )的零点个数为1；当a ∈[2，＋∞)时，g (x )的零点个数为2.10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a ，b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1. 解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.11.(2018·江苏卷选编)记f ′(x )，g ′(x )分别为函数f (x )，g (x )的导函数.若存在x 0∈R ，满足f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，则称x 0为函数f (x )与g (x )的一个“S 点”. (1)证明：函数f (x )＝x 与g (x )＝x 2＋2x －2不存在“S 点”； (2)若函数f (x )＝ax 2－1与g (x )＝ln x 存在“S 点”，求实数a 的值. (1)证明函数f (x )＝x ，g (x )＝x 2＋2x －2，则f ′(x )＝1，g ′(x )＝2x ＋2. 由f (x )＝g (x )且f ′(x )＝g ′(x )，得 ⎩⎨⎧x ＝x 2＋2x －2，1＝2x ＋2，此方程组无解，因此，f (x )与g (x )不存在“S 点”. (2)解函数f (x )＝ax 2－1，g (x )＝ln x ，则f ′(x )＝2ax ，g ′(x )＝1x . 设x 0为f (x )与g (x )的“S 点”，由f (x 0)＝g (x 0)且f ′(x 0)＝g ′(x 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 0＝1x 0，即⎩⎨⎧ax 20－1＝ln x 0，2ax 20＝1， (*)得ln x0＝－12，即x0＝e－12，则a＝12⎝⎛⎭⎪⎫e－122＝e2.当a＝e2时，x0＝e－12满足方程组(*)，即x0为f(x)与g(x)的“S点”.因此，a的值为e2.。

2021-2022年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案

2021年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。

在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。

以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。

考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。

②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。

③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。

四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。

届数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第7节函数的图象教学案含解析

第7节函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.知识梳理1。

利用描点法作函数的图象步骤：(1）确定函数的定义域；(2）化简函数解析式；（3）讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线。

2.利用图象变换法作函数的图象（1)平移变换（2)对称变换y＝f（x)的图象错误!y＝－f（x）的图象;y＝f（x）的图象错误!y＝f（－x)的图象；y＝f（x）的图象错误!y＝－f（－x)的图象；y＝a x（a>0，且a≠1）的图象错误!y＝log a x(a〉0,且a≠1)的图象. (3)伸缩变换y＝f（x)错误!y＝f（ax).y＝f（x)错误!y＝Af(x)。

（4）翻折变换y＝f(x)的图象错误!y＝|f（x)｜的图象；y＝f(x)的图象错误!y＝f（|x|)的图象.[常用结论与微点提醒］1.记住几个重要结论(1）函数y＝f(x）与y＝f（2a－x)的图象关于直线x＝a对称。

（2）函数y＝f(x)与y＝2b－f（2a－x）的图象关于点(a，b）中心对称.（3)若函数y＝f（x）对定义域内任意自变量x满足：f（a＋x）＝f(a－x),则函数y＝f（x)的图象关于直线x＝a对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于．．．x．而言,如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3。

图象的上下平移仅仅是相对于．．．y．而言的，利用“上减下加”进行。

诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√"或“×”）(1）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f(x）｜与y＝f（|x｜)的图象相同.（）（2)函数y＝af(x)与y＝f(ax）（a〉0且a≠1）的图象相同.（）(3)函数y＝f(x)与y＝－f（x)的图象关于原点对称.(）（4)若函数y＝f(x）满足f(1＋x)＝f（1－x)，则函数f（x)的图象关于直线x＝1对称。

高考数学二轮总复习第1篇核心专题提升多维突破专题3函数与导数第2讲基本初等函数函数与方程课件

C．a<c0 且 a≠1)，函数 y＝g(x)的图象与 y
＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称．在 P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3)，N12，14四点中，函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象的公共点只可能是( D )
A．点P C．点M
B．点Q D．点N
用函数性质比较大小是常见题型；
函数的零点有关的题目，常结合函
函数的实际应用
数的性质综合考查，注意该知识点易命制成多选题，也可以函数实际
应用呈现.
真题研究·悟高考
1. (2021·全国新高考Ⅱ卷)已知 a＝log52，b＝log83，c＝12，则下列判
断正确的是( C )
A．c<b<a
B．b<a<c
【解析】由于＝f(x)为指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)，函数 y＝g(x) 的图象与 y＝f(x)的图象关于直线 y＝x 对称．故函数 g(x)＝logax；当 x＝12 时，y＝14，整理得 a＝116，故 g(x)＝log 1 x，由于这两个函数互为反函数，
16
当 x＝14时，g14＝12，其他的都不符合．故选 D．

专题6 基本初等函数、函数与方程-2021届高三高考数学二轮复习PPT全文课件

()
● A．c<alog24＝2，所以c<a<b.
专题6 基本初等函数、函数与方程-2021届高三高考数学二轮复习 PPT全文课件
● 判断函数零点个数的方法
考向 2 根据函数的零点求参数取值(范围)
典例3 (2020·四川省绵阳市二诊 )函数 f(x)＝(2ax－1)2－
loga(ax＋2)在区间0，1a上恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是 ( D )
A．13，12 C．(1,2)∪[3，＋∞)
B．[3，＋∞) D．[2,3)
典例4 (1)(2020·辽宁模拟)人们通常以分贝(符号是 dB)为单
位来表示声音强度的等级，30～40 分贝是较理想的安静环境，超过 50
分贝就会影响睡眠和休息，70 分贝以上会干扰谈话，长期生活在 90 分贝
单调 0＜a＜1时，在R上单调递减； 0＜a＜1时，在(0，＋∞)上单调递减；
性 a＞1时，在R上单调递增
a＞1时，在(0，＋∞)上单调递增
0＜a＜1，
0＜a＜1，
当x＞0时，0＜y＜1；
当x＞1时，y＜0；
函数当x＜0时，y＞1
当0＜x＜1时，y＞0
值 a＞1，
a＞1，
当x＞0时，y＞1；
当x＞1时，y＞0；
解不等式(1－loga2)(1－loga3)≤0 可得 2≤a≤3．当 a＝3 时，函数 f(x)＝(6x－1)2－log3(3x＋2)，区间为0，－log34<0，f13＝1－log33＝0 所以在0，16内有一个零点，x＝31为一个零点．故由题意可知，不符合要求综上可知，a 的取值范围为[2,3)，故选 D．

2021高考数学(理)统考版二轮复习课件精讲17 基本初等函数、函数与方程

1 2 3 4 5 6 78
3．已知 log2a>log2b，则下列不等式一定成立的是( )
A．1a>1b
B．ln(a－b)>0
C．2a－b<1
D．13a<12b
D [由log2a>log2b可得a>b>0，故a－b>0，逐一考查所给的选项：
A项，1a<1b；B项，a－b>0，ln(a－b)的符号不能确定；
的取值范围是( )
A．－∞，1e
B．(－∞，e)
C．－1e，e
D．－e，1e
[破题关键] 函数fx＝0在0，＋∞上有解 ―逻推―辑理→
e－x＝lnx＋a在0，＋∞有解 ―直想―观象→ 求a的范围
1 2 3 4 5 6 78
B [若 f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞) 上存在零点，即 e－x＝ln(x＋a)在(0，＋∞) 上有实根，
1 2 3 4 5 6 78
令 g(x)＝kx＋k，由题意得 f(x)与 g(x)图象有 4 个交点，画出 f(x) 的图象如下：
∵g(x)＝kx＋k，过定点(－1,0)， ∴通过图象分析可得当 g(x)过(3,1)时，f(x) 与 g(x)图象有 4 个交点，∴k＝3－1－－01＝14， ∴0＜k≤14，
复习有方法
板块一高考专项突破——选择
题+填空题
命题区间精讲
精讲17 基本初等函数、函数与
方程
数学理
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01 命题点1 02 命题点2 03 命题点3
01 命题点1 基本初等函数的图象
与性质
基本初等函数解题的3个关键点 (1)指对互化：ax＝N⇔x＝logaN. (2)图象特征：指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝ logax(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y＝x对称，它们的图象和性质，分0<a<1，a>1两种情况；对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．

高考总复习二轮数学精品课件专题1 函数与导数第2讲基本初等函数、函数的应用

3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).

(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log

(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg

2023高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题六微专题2基本初等函数函数与方程课件

A．20.10 m
B．19.94 m
C．19.63 m
D．19.47 m
专题六函数与导数
解析：(1)根据题意可得 C＝57.10n，则当 I＝15 A 时， 57·10n＝15n·t，所以 t＝57·(23)n＝57·(23)log322＝57·(23)log2312＝57×12＝28.5 h，即当放电电流 I＝15 A 时，放电时间为 28.5 h，故选 B. (2)由题意可得，前轮转动了(10＋13)圈，故 A，B 两点之间的距离约为(10＋13)×2π×0.3＝6.2π≈19.47 m．故选 D. 答案：(1)B (2)D
专题六函数与导数
1．(2022·佛山二模)核酸检测分析是用荧光定量 PCR 法，通过化学物质的
荧光信号，对在 PCR 扩增进程中成指数级增加的靶标 DNA 实时监测，在
PCR 扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA 的数量 Xn 与扩增次数 n 满足 lg Xn＝nlg (1＋p)＋lg X0，其中 p 为扩增效率，X0 为 DNA 的初始数量．已知某被测标本 DNA 扩增 10 次后，数量变为原来的 100 倍，那
么该样本的扩增效率 p 约为(参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631)( )
A．36.9%
B．41.5%
C．58.5%
D．63.1%
专题六函数与导数
解析：由题意知，lg (100X0)＝10 lg (1＋p)＋lg X0，即 2＋lg X0＝10 lg (1＋p)＋lg X0，所以 1＋p＝100.2≈1.585，解得 p≈0.585. 故选 C. 答案：C
专题六函数与导数
3
1
1
2．(2022·福田区校级一模)已知 a＝24，b＝32，c＝43，则 a，b，c 的大小

高考理科数学二轮专题复习课件专题一基本初等函数函数与方程及函数的应用

设立方程求解
根据题目条件，设立方程并求解，可以得到问题的解。
利用方程根的性质
通过方程的根的性质，如判别式、韦达定理等，可以简化问题并快速找到解决方案。
转化思想
将问题转化为求解方程的问题，利用已知的方程求解方法，可以得到问题的解。
函数与方程思想综合应用
函数与方程相互转化
通过函数与方程的相互转化，可以将复杂的问题转化为简单的问题进行求解。
04 高考真题回顾与解析
历年高考真题回顾
2022年全国卷I理科数学第17题
01
考查了函数的单调性和最值问题，需要考生运用导数工具进行
求解。
2022年全国卷II理科数学第21题
02
涉及函数的零点存在性定理和函数与方程的综合应用，要求考
生具备较高的分析问题和解决问题的能力。
2021年全国卷I理科数学第12题
03
考查了函数的奇偶性和周期性，要求考生能够灵活运用函数的
性质进行求解。
高考真题解析及答题技巧
1 2 3
审题技巧
在解答函数与方程的问题时，首先要认真审题，明确题目所给条件和要求，避免因为理解错误而导致失分。
转化技巧
对于一些复杂的函数问题，可以通过转化思想将其转化为简单的函数问题进行处理，如利用换元法、构造法等。
高考理科数学二轮专题复习课件专题一基本初等函数函数与方程及函数的应用
汇报人：XX 20XX-01-13
目录
• 基本初等函数概述 • 函数与方程思想 • 函数的应用 • 高考真题回顾与解析 • 专题训练与提高
01 基本初等函数概述
定义与性质
指数函数
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数，其性质包括值域为(0,+∞)，图像恒过点(0,1)等。

2021年高考数学二轮复习2.2基本初等函数、函数与方程及函数的应用课件理

6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝
1 8
，即两函数的图
象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝
1 x
的图象都在y＝f(x)
的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.选A.
答案：A
考点 3 函数的实际应用
1．应用函数模型解决实际问题的一般程序
读题
建模
求解
由yy＝＝ax2x＋，2ax＋a，消去y，整理得x2＋ax＋a＝0. 由Δ＝0，得a＝4(a＝0舍去)．综上，得4<a<8. 答案：(4,8)
4．[2018·惠州高三调研]函数f(x)是定义在R上的奇函数，当
2|x－1|－1，0<x≤2， x>0时，f(x)＝ 12fx－2，x>2，
则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，
[解析] ∵ f(x)＋f(－x)＝ln( 1＋x2－x)＋1＋ln( 1＋x2＋x)＋1 ＝ln(1＋x2－x2)＋2＝2，
∴ f(a)＋f(－a)＝2，∴ f(－a)＝－2. [答案] －2
(2)[2018·天津12 卷]已知a＝log 2 e，b＝ln
2，c＝log 1 2
13，则a，b，
c的大小关系为( ＝lo)g
若g(x)存在2个零点，则 h(x)的图象，可知当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，此时1＝－0－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意．
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
反馈
文字语言⇒数学语言⇒数学应用⇒检验作答.
2．函数实际应用题的常见类型及解题关键

2021高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数2.8函数与方程课件理

解得14<m<12. 答案：C
悟·技法确定函数 f(x)的零点所在区间的常用方法
(1)定义法：使用零点存在性定理，函数 y＝f(x)必须在区间[a， b]上是连续的，当 f(a)·f(b)<0 时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点．
(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如 f(x)＝g(x)－h(x)，作出 y＝g(x)和 y ＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数 f(x)的零点.
3．函数零点的存在性定理如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是④连__续__不__断__的一条曲线，并且⑤_f(_a_)_·f_(b_)_<_0，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得⑥_f_(c_)_＝__0__，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根． 4．二分法的定义对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0 的函数 y＝f(x)，通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间⑦_一__分__为__二__，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到⑧__零__点__近__似__值____的方法叫做二分法．
A．(0,1) B．(3,4) C．(2,3) D．(1,2)
解析：令 f(x)＝2ln x－3＋x，则函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且 f(1)＝－2<0，f(2)＝2ln 2－1＝ln 4－1>0，所以函数 f(x)在(1,2) 内有零点，即 a 在区间(1,2)内．
答案：D
2．已知实数 a>1,0<b<1，则函数 f(x)＝ax＋x－b 的零点所在的
x1 2 3 4
5
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【2021新高考数学二轮复习】第2讲基本初等函数、函数与方程

【2021新高考数学二轮复习】第2讲基本初等函数、函数与方程考点一基本初等函数的图象与性质[学生用书P87][典型例题](1)(2020·贵阳市四校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若a ＝f (20.3)，b ＝f (2)，c ＝(log 25)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞b ＞aB ．a ＞b ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a(2)(多选)若函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则( )A ．f (x )＝e x ＋e －x 2B ．g (x )＝e x －e －x 2C ．f (－2)＜g (－1)D ．g (－1)＜f (－3)【解析】 (1)因为20＜20.3＜21，即1＜20.3＜2，log 25＞log 24＝2，所以20.3＜2＜log 25.因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，所以f (20.3)＞f (2)＞f (log 25)，即a ＞b ＞c ，故选B.(2)因为函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ①，所以f (－x )＋2g (－x )＝e －x ，即f (x )－2g (x )＝e －x ②，联立①②得⎩⎨⎧f （x ）＋2g （x ）＝e x ，f （x ）－2g （x ）＝e －x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）＝e x ＋e －x 2，g （x ）＝e x －e －x 4，所以f (－2)＝e －2＋e 22，f (－3)＝e －3＋e 32，g (－1)＝e －1－e 4＜0，所以g (－1)＜f (－2)，g (－1)＜f (－3)，故选AD.【答案】 (1)B (2)AD基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．[对点训练]1．(2020·高考天津卷)设a ＝30.7，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－0.8，c ＝log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a 30.7＝a >1，所以c <a <b ，故选D.2．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23|x |－3x 2，若f (2a －1)＞f (3)，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1，2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，2)解析：选B.易知函数f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －3x 2，故函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，故f (2a －1)＞f (3)等价于|2a －1|＜3，解得－1＜a ＜2，故实数a 的取值范围为(－1，2)．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋2，x ＞1，e x －2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)考点二函数与方程[学生用书P88][典型例题]命题角度1 确定函数零点的个数或其存在情况(1)已知实数a >1，0<b <1，则函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点所在的区间是( )A ．(－2，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)(2)(2020·沈阳市教学质量监测(一))已知函数f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎩⎨⎧（x －1）2，0＜x ≤2，f （x －2）＋1，x ＞2，则函数g (x )＝f 2(x )－f (x )的零点个数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 (1)因为a >1，00，所以f (－1)·f (0)<0，则由零点存在性定理可知f (x )在区间(－1，0)上存在零点．(2)因为x ∈(0，2]时，f (x )＝(x －1)2，当x ＞2时，f (x )＝f (x －2)＋1，所以将f (x )在区间(0，2]上的图象向右平移2个单位长度，同时再向上平移1个单位长度，得到函数f (x )在(2，4]上的图象．同理可得到f (x )在(4，6]，(6，8]，…上的图象．再由f (x )的图象关于y 轴对称得到f (x )在(－∞，0)上的图象，从而得到f (x )在其定义域内的图象，如图所示：令g (x )＝0，得f (x )＝0或f (x )＝1，由图可知直线y ＝0与y ＝1和函数y ＝f (x )的图象共有6个交点，所以函数g (x )共有6个零点．故选C.【答案】 (1)B (2)C(1)判断函数在某个区间上是否存在零点的方法①解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；②利用零点存在性定理进行判断；③画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(2)判断函数零点个数的方法①直接求零点：令f (x )＝0，则方程解的个数即为零点的个数．②利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．③数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形时，常会通过分解转化为两个能画出图象的函数交点问题．命题角度2 已知函数零点的个数或存在情况求参数的取值范围(1)函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(1，2)C ．(0，3)D ．(0，2)(2)(2020·南充市第一次适应性考试)函数f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，|x |≤1，|x |，|x |＞1，若方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则实数a 满足( )A ．a ＝1B ．a ＞1C ．0≤a ＜1D ．a ＜0【解析】 (1)因为f (x )在(1，2)内单调递增，依题意有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )·(3－a )＜0，所以0＜a ＜3.(2)方程f (x )＝a 有且只有一个实数根，则直线y ＝a 与f (x )的图象有且只有一个交点，作出函数f (x )的图象如图所示，当a ＝1时，直线y ＝a 与函数f (x )的图象有且只有一个交点，故选A.【答案】 (1)C (2)A利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解．(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln （x －1），x ＞1，2x －1－1，x ≤1，则f (x )的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.当x ＞1时，令f (x )＝ln(x －1)＝0，得x ＝2；当x ≤1时，令f (x )＝2x －1－1＝0，得x ＝1.故选C.2．(2020·济南模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．{0}∪(1，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.当x ≤0时，f (x )＝e x (x ＋1)，则f ′(x )＝e x (x ＋1)＋e x ＝e x (x ＋2)，由f ′(x )>0，得函数f (x )的单调递增区间为(－2，0]，由f ′(x )<0，得函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)，且易知x <－1时，f (x )<0，f (0)＝1，x →－∞时，f(x)→0.由以上分析，可作出分段函数f(x)的图象，如图所示．要使函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则方程f(x)－b＝0，即f(x)＝b有三个不同的实数根，也就是函数y＝f(x) 的图象与直线y＝b有三个不同的公共点，结合图象可知，实数b的取值范围是(0，1]，故选D.考点三函数的实际应用[学生用书P89][典型例题](1)(2020·高考全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝K1＋e－0.23（t－53），其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)() A．60B．63C．66 D．69(2)已知投资x万元经销甲商品所获得的利润为P＝x4，投资x万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(a＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为()A. 5 B．5C. 2 D．2【解析】(1)由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，K1＋e－0.23（t*－53）＝0.95K，即10.95＝1＋e－0.23(t *－53)，e－0.23(t*－53)＝119，e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.故选C.(2)设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2x (a ＞0)，P ＝20－x 4.又因为0≤x ≤20时，P ＋Q ≥5恒成立，所以a x ≥x 2.①当x ＝0时，符合题意；②当0＜x ≤20时，a ≥x 2.要使a ≥x 2在x ∈(0，20]内恒成立，只需使a 不小于x 2的最大值．因为x 2的最大值为5，所以a ≥5，即a 的最小值为 5.故选A.【答案】 (1)C (2)A应用函数模型解决实际问题的一般程序和解题关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答. (2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．[对点训练](2019·高考北京卷)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg 10.1D ．10－10.1解析：选A.由题意可设太阳的星等为m 2，太阳的亮度为E 2，天狼星的星等为m 1，天狼星的亮度为E 1，则由m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得－26.7＋1.45＝52lg E 1E 2，52lgE 1E 2＝－25.25，所以lg E 1E 2＝－10.1，lg E 2E 1＝10.1，E 2E 1＝1010.1.故选A.[学生用书(单独成册)P156]一、单项选择题1．函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A ，则下列函数中图象不经过点A 的是( )A ．y ＝1－xB ．y ＝|x －2|C ．y ＝2x －1D ．y ＝log 2(2x )解析：选A.令x －1＝0，可得x ＝1，此时y ＝1，所以函数y ＝a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过点A (1，1)．把x ＝1，y ＝1代入各选项验证，只有A 选项中函数的图象没有经过A 点．故选A.2．设f (x )是区间[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，则方程f (x )＝0在区间[－1，1]内( )A ．可能有3个实数根B ．可能有2个实数根C ．有唯一的实数根D ．没有实数根解析：选C.因为f (x )在区间[－1，1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一的零点．所以方程f (x )＝0在区间[－1，1]内有唯一的实数根．3．若函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域与值域相同，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．±1解析：选B.因为函数f (x )＝2x －a ＋1＋x －a －a 的定义域为[a ，＋∞)，所以函数f (x )的值域为[a ，＋∞)．又函数f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，所以当x ＝a 时，f (a )＝2a －a ＋1－a ＝a ，解得a ＝1.4．若函数y ＝a －a x (a ＞0且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为当a ＞1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递减，所以a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0＜a ＜1时，函数y ＝a －a x 在[0，1]上单调递增，所以a －1＝0且a －a ＝1，此时无解．所以a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C. 5．已知函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A ．(－∞，＋∞)上的减函数B ．(－∞，＋∞)上的增函数C ．(－1，1)上的减函数D ．(－1，1)上的增函数解析：选D.由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，所以a ＝－1，所以f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A ，B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，所以f (x )在(－1，1)上是增函数，故选D.6．2018年9月，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于给定数值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x的结论．若根据欧拉得出的结论，估计10 000以内的素数个数为(素数即质数，lg e ≈0.434 29，计算结果按四舍五入取整数)( )A ．1 089B ．1 086C ．434D ．145解析：选B.由题可知，小于数字x 的素数个数大约可以表示为π(x )≈x ln x ，则10 000以内的素数的个数为π(10 000)≈10 000ln 10 000＝10 0004ln 10＝10 000lg e 4＝2 500lg e ≈0.434 29×2 500≈1 086，故选B.7．已知f (x )＝|ln(x ＋1)|，若f (a )＝f (b )(a 0B ．a ＋b >1C ．2a ＋b >0D ．2a ＋b >1解析：选A.作出函数f (x )＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由f (a )＝f (b )(a 0，又易知－1<a <0，b >0.所以a ＋b ＋4>0，所以a ＋b >0.故选A.8．对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x ＜0，－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选C.由“优美点”的定义可知，若(x 0，f (x 0))为“优美点”，则点(－x 0，－f (－x 0))也在曲线f (x )上，且(－x 0，－f (－x 0))也是“优美点”．如图所示，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，再作出函数y ＝x 2＋2x (x <0)关于原点对称的图象，即曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)，直线y ＝－x ＋2过点(2，0)，故与曲线y ＝－x 2＋2x (x ＞0)交于两点，所以曲线f (x )有4个优美点．故选C.二、多项选择题9．(2020·山东枣庄滕州一中月考)已知函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象经过点(4，2)，则下列命题正确的有( )A ．函数f (x )为增函数B ．函数f (x )为偶函数C ．若x ＞1，则f (x )＞0D ．若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22 解析：选ACD.由题意得2＝log a 4，所以a ＝2，故函数f (x )＝log 2x .对于A 项，函数f (x )＝log 2x 为增函数，故A 项正确；对于B 项，函数f (x )＝log 2x 不是偶函数，故B 项错误；对于C 项，当x ＞1时，f (x )＝log 2x ＞log 21＝0成立，故C 项正确；对于D 项，因为f (x )＝log 2x 往上凸，所以若0＜x 1＜x 2，则f （x 1）＋f （x 2）2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22成立，故D 项正确．故选ACD. 10．若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )解析：选AD.由题意知f (x )＝a x －2是指数函数，g (x )＝log a |x |是对数函数，且是一个偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上递减，此时A 选项符合题意，当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意，故选AD.11．设函数f (x )＝x ＋e |x |e |x |，则下列选项正确的是( )A ．f (x )为奇函数B ．f (x )的图象关于点(0，1)对称C ．f (x )的最大值为1e ＋1D ．f (x )的最小值为－1e ＋1解析：选BCD.f (x )＝x e |x |＋1，f (－x )＝1－x e |x |，不满足f (x )＝－f (－x )，故A 错误．令g (x )＝x e |x |，则g (－x )＝－x e|－x |＝－x e |x |＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，则f (x )关于点(0，1)对称，B 正确．设f (x )＝x e |x |＋1的最大值为M ，则g (x )的最大值为M －1，设f (x )＝x e |x |＋1的最小值为N ，则g (x )的最小值为N －1.当x ＞0时，g (x )＝x e x ，所以g ′(x )＝1－x e x .当x ∈(0，1)时，g ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＜0，所以当x ∈(0，1)时，g (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )单调递减，所以g (x )在x＝1处取得最大值，最大值g (1)＝1e ，由于g (x )为奇函数，所以g (x )在x ＝－1处取得最小值，最小值g (－1)＝－1e ，所以f (x )的最大值为M ＝1e ＋1，最小值为N＝－1e ＋1，故C ，D 正确，故选BCD.12．(2020·辽宁省实验中学东戴河分校月考)设函数f (x )＝x |x |－bx ＋c ，则下列命题正确的是( )A ．当b ＞0时，函数f (x )在R 上有最小值B ．当b ＜0时，函数f (x )在R 上是单调递增函数C ．若f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，则c ＝1 010D ．方程f (x )＝0可能有三个实数根解析：选BCD.对于A 项，当b ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，可知函数f (x )在R 上无最小值，故A 项错误；对于B 项，当b ＜0时，f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，令0＜x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 22＋b (x 2－x 1)，由x 21－x 22＜0，x 2－x 1＞0，b ＜0可知，f (x 1)－f (x 2)＜0，故函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增．同理可得f (x )在(－∞，0)上单调递增，且(x 2－bx ＋c )min ＝f (0)＝c ＞(－x 2－bx ＋c )max ，所以函数f (x )在R 上是单调递增函数，故B项正确；对于C 项，由f (2 019)＋f (－2 019)＝2 020，将x ＝2 019，x ＝－2 019分别代入f (x )＝⎩⎨⎧x 2－bx ＋c ，x ≥0，－x 2－bx ＋c ，x ＜0，解得c ＝1 010，故C 项正确；对于D 项，令b ＝2，c ＝0，则f (x )＝x |x |－2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2或x ＝－2，故D 项正确．故选BCD.三、填空题13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≤0，log 12x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (log 2 16)＝________．解析：由题可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 1214＝2，因为log 2 16<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 216＝2log 26＝6，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2 16＝8. 答案：814．已知函数f (x )＝|log 3 x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则n m＝________．解析：因为f (x )＝|log 3 x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，所以－log 3m ＝log 3n ，所以mn ＝1.因为f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，且函数f (x )在[m 2，1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，所以－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1<2，满足题意，则n m ＝9；若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可得m ＝13，n ＝3，故n m＝9. 答案：915．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[a ，b ]上同时递增或同时递减时，[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x ＋t |.因为[1，2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，所以函数y ＝|2x ＋t |和函数g (x )＝|2－x ＋t |在区间[1，2]上的单调性相同．又因为y ＝2x ＋t 和y ＝2－x ＋t 的单调性相反，所以(2x ＋t )·(2－x ＋t )≤0在[1，2]上恒成立，即2－x ≤－t ≤2x 在[1，2]上恒成立，得－2≤t ≤－12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 16．(2020·开封市模拟考试)已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝x 2，则f (1)＝________，g (x )＝f (x )－lg x ，则函数g (x )的零点共有________个．解析：依题意得f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＋f (2－x )＝0，因此f (2－x )＝f (－x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数，于是f (1)＝f (－1)＝－f (1)，2f (1)＝0，即f (1)＝0.由此可得函数f (x )的值域为(－1，1)，由g (x )＝0得f (x )＝lg x ＜1，0＜x ＜10，且函数g (x )的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝lg x 的图象在区间(0，10)内的公共点个数．在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )与函数y ＝lg x 的大致图象，如图所示，结合图象可得，它们的图象共有5个公共点，因此函数g (x )的零点共有5个．答案：0 5。

基本初等函数、函数与方程及函数的应用(题型归纳)

基本初等函数、函数与方程及函数的应用【考情分析】1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.【题型一】基本初等函数的图象与性质【典例分析】【例1】（2021•焦作一模）若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则函数log ||a y x =的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】若函数||(0,1)x y a a a =>≠的值域为{|1}y y ，则1a >，故函数log ||a y x =的图象大致是：故选：B ．【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln 2xc =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a>>【答案】D【解析】因1(,1)x e -∈，且函数ln y x =是增函数，于是10a -<<；函数2x y =是增函数，1ln 0ln 1x x -<<<-<，而ln ln 1()22xx -=，则ln 11()22x <<，ln 1212x<<，即1122c b <<<<，综上得：b c a >>故选：D【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，则实数m 的取值范围为（）A ．[)3,0-B ．[)1,0-C ．[)0,1D ．[)3,-+∞【答案】A【解析】因函数f (x )在(1，+∞)上单调递增，且f (2)=0，即f (x )在(1，+∞)上有一个零点，函数()()4log 1,13,1x x x f x m x ⎧->=⎨--≤⎩存在2个零点，当且仅当f (x )在(-∞，1]有一个零点，x≤1时，()03x f x m =⇔=-，即函数3x y =-在(-∞，1]上的图象与直线y =m 有一个公共点，在同一坐标系内作出直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象，如图：而3x y =-在(-∞，1]上单调递减，且有330x -≤-<，则直线y =m 和函数3(1)x y x =-≤的图象有一个公共点，30m -≤<.故选：A【提分秘籍】1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a 的范围.2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x 2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x 2-3x+2与函数y=ln t 的单调性,而忽视t>0的限制条件.3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.【变式演练】1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数()2121x x f x -=+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 为奇函数B ．()f x 为减函数C ．()f x 有且只有一个零点D ．()f x 的值域为[)1,1-【答案】AC【解析】()2121x x f x -=+ ,x ∈R ,2121x=-+2112()()2112x xx xf x f x ----∴-===-++,故()f x 为奇函数，又()21212121x x xf x -==-++ ，()f x ∴在R 上单调递增，20x> ，211x ∴+>，20221x∴<<+，22021x∴-<-<+，1()1f x ∴-<<，即函数值域为()1,1-令()21021x x f x -==+，即21x =，解得0x =，故函数有且只有一个零点0.综上可知，AC 正确，BD 错误.故选：AC2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数()322xxf x x -=-+，则使得不等式()()2130f x f -+<成立的实数x 的取值范围是【答案】(),1-∞-【解析】函数的定义域为R ，()()322xx f x x f x --=--=-，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数原不等式可化为()()213f x f -<-，∴213x -<-，解得1x <-，∴x 的取值范围是(),1-∞-．【题型二】函数与方程【典例分析】【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数3()9x f x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【解析】由x e 为增函数，3x 为增函数，故3()9x f x e x =+-为增函数，由(1)80f e =-<，2(2)10f e =->，根据零点存在性定理可得0(1,2)x ∃∈使得0()0f x =，故选：B.【例5】（2021·北京高三一模）已知函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，则常数t 的一个取值为______．【答案】2（不唯一）．【解析】由220x x +=可得0x =或2x =-由ln 0x =可得1x =因为函数22,,()ln ,x x x t f x x x t⎧+=⎨>⎩(0)t >有2个零点，且过点(,1)e ，所以1e t >≥，故答案为：2（不唯一）【提分秘籍】1.判断函数零点个数的方法直接法直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数定理法利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点数形结合法对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.【变式演练】1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数()()()23log 111f x x x x =+->-的零点所在的大致区间是（）A ．()1,2B ．()2,3C ．()3,4D ．()4,5【答案】B【解析】易知()f x 在()1,+∞上是连续增函数，因为()22log 330f =-<，()33202f =->，所以()f x 的零点所在的大致区间是()2,3.故选：B2．（2021·天津高三二模）设函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--≥⎩，若1a =，则()f x 的最小值为______；若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________．【答案】1-112a ≤<或2a ≥【解析】当1a =时，()()211()4(1)(2)1x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，1x <，()211xf x =-<，1≥x ，()()()234124112f x x x x ⎛⎫=--=--≥- ⎪⎝⎭所以()f x 的最小值为1-.设()f x 的零点为1x 、2x ，若()1,1x ∈-∞，[)21x ∈+∞,，则20012a a a a->⎧⎪>⎨⎪<≤⎩，得112a ≤<若[)12,1,x x ∈+∞，则0201a a a >⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，得2a ≥，综上:112a ≤<或2a ≥.故答案为:1-；112a ≤<或2a ≥.【题型三】函数的实际应用【典例分析】1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅,0A 是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（）A ．0.210-B ．0.210C ．40lg39D ．4039【答案】B【解析】由0lg lg M A A =-，可得01AM gA =，即10M A A =，010M A A =⋅，当8M =时，地震的最大振幅为81010A A =⋅，当7.8M =时，地震的最大振幅为7.82010A A =⋅，所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是887.80.2017.82010101010A A A A -⋅===⋅.故选：B.2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(mg /L)P 与时间(h)t 的关系为0ktP P e -=.如果在前5个小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花的时间为（）A ．7小时B ．10小时C ．15小时D ．18小时【答案】B【解析】因为前5个小时消除了10%的污染物，所以()50010.1kP P P e -=-=，解得ln 0.95k =-，所以ln 0.950tP P e =，设污染物减少19%所用的时间为t ，则()0010.190.81P P -=()()ln 0.92ln 0.955500000.90.9t t t P P e P eP ====，所以25t=，解得10t =，故选：B 3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y （毫克/立方米）与时间t （分钟）之间的函数关系为100.1,0101,102ta t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩（a 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是A ．9:40B ．9:30C ．9:20D ．9:10【答案】9:30【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点(10,1)，代入函数的解析式，可得1121a-⎛⎫⎪⎝⎭=，解得1a =，所以1100.1,0101,102t t t y t -≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩，令0.25y ≤，可得0.10.25t ≤或11020.251t -⎛⎝≤⎫⎪⎭，解得0 2.5t <≤或30t ≥，所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9:30.故选：B.【提分秘籍】1.构建函数模型解决实际问题的失分点：(1)不能选择相应变量得到函数模型；(2)构建的函数模型有误；(3)忽视函数模型中变量的实际意义.2.解决新概念信息题的关键：(1)依据新概念进行分析；(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间()30100t t ≤≤（单位：天），增加总分数()f t （单位：分）的函数模型：()()1lg 1kPf t t =++，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且()1606f P =．现有某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（）（lg 61 1.79≈）A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分【答案】B【解析】由题意得：()1601lg 61 2.796kP kP f P ===+， 2.790.4656k ∴≈=；∴()0.465400186186100621lg1011lg100lg1.013f ⨯==≈=+++，∴该学生在高考中可能取得的总分约为40062462460+=≈分.故选：B.1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数()2ln 1xf x x =+-的零点所在的区间为（）．A ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,22⎛⎫⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数()2ln 1xf x x =+-为()0,∞+上的增函数，由()110f =>，1311112ln 21ln 21ln 2ln 0222222f e ⎛⎫=-<--=-<-=⎪⎝⎭，可得函数()f x 的零点所在的区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭．故选：D.2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数()1af x x x =+-在(0,2)上有两个不同的零点，则a 的取值范围是（）A ．1[2,]4-B ．1(2,)4-C ．1[0,]4D ．1(0,)4【答案】D【解析】函数()1a f x x x=+-在(0,2)上有两个不同的零点等价于方程10ax x +-=在(0,2)上有两个不同的解，即2a x x =-+在(0,2)上有两个不同的解.此问题等价于y a =与2(02)y x x x =-+<<有两个不同的交点.由下图可得104a <<.故选：D.3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数()()()ln 2ln 4f x x x =-+-，则（）．A ．()f x 的图象关于直线3x =对称B ．()f x 的图象关于点()3,0对称C ．()f x 在()2,4上单调递增D ．()f x 在()2,4上单调递减【答案】A【解析】()f x 的定义域为()2,4x ∈，A ：因为()()()()3ln 1ln 13f x x x f x +=++-=-，所以函数()f x 的图象关于3x =对称，因此本选项正确；B ：由A 知()()33f x f x +≠--，所以()f x 的图象不关于点()3,0对称，因此本选项不正确；C ：()()()2ln 2ln 4ln(68)x x x f x x =-+-=-+-函数2268(3)1y x x x =-+-=--+在()2,3x ∈时，单调递增，在()3,4x ∈时，单调递减，因此函数()f x 在()2,3x ∈时单调递增，在()3,4x ∈时单调递减，故本选项不正确；D ：由C 的分析可知本选项不正确，故选：A4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，则函数的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】2ln(1)ln(1)()1x x f x x +--=-，定义域为()1,1-，且()()f x f x -=-，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C ，故选：D.5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中C 为最大数据传输速率，单位为bit /s ：W 为信道带宽，单位为Hz ：SN为信噪比.香农公式在5G 技术中发挥着举足轻重的作用.当99SN=，2000Hz W =时，最大数据传输速率记为1C ；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（）A ．2B ．99C ．101D ．9999【答案】C【解析】当99S N =，2000Hz W =时，()1222log 12000log 1994000log 10S C W N ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，由228000log 102000log 1S N ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得224log 10log 1S N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以9999S N =，所以999910199=，即信噪比变为原来的101倍.故选：C .6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则函数()3y f x x =-的零点个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由()()2f x f x +=-可得()f x 关于1x =对称，由函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()[]2()(2)(2)f x f x f x f x f x +=-=-=---=-，所以()f x 的周期为4，把函数()3y f x x =-的零点问题即()30y f x x =-=的解，即函数()y f x =和3y x =的图像交点问题，根据()f x 的性质可得如图所得图形，结合3y x =的图像，由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设21()log (1)f x x a=++是奇函数，若函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，则()g x 的值域为（）A ．11(,)(,)22-∞-+∞ B ．11(,22-C ．(,2)(2,)-∞-+∞D ．(2,2)-【答案】A【解析】因为21()log (1)f x x a=++，所以1110x a x a x a+++=>++可得1x a <--或x a >-，所以()f x 的定义域为{|1x x a <--或}x a >-，因为()f x 是奇函数，定义域关于原点对称，所以1a a --=，解得12a =-，所以()f x 的定义域为11(,)(,)22-∞-+∞ ，因为函数()g x 图象与函数()f x 图象关于直线y x =对称，所以()g x 与()f x 互为反函数，故()g x 的值域即为()f x 的定义域11(,)(,)22-∞-+∞ .故选：A .8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数22log ,0,()44,0.x x f x x x x ⎧>=⎨--+<⎩若函数()()g x f x m =-有四个不同的零点1234,,,x x x x ，则1234x x x x 的取值范围是（）A ．(0,4)B ．(4,8)C ．(0,8)D ．(0,)+∞【答案】A【解析】函数()g x 有四个不同的零点等价于函数()f x 的图象与直线y m =有四个不同的交点.画出()f x 的大致图象，如图所示.由图可知(4,8)m ∈.不妨设1234x x x x <<<，则12420x x -<<-<<，且124x x +=-.所以214x x =--，所以()()212111424(0,4)x x x x x =--=-++∈，则3401x x <<<，因为2324log log x x =，所以2324log log x x -=，所以12324log log x x -=，所以341x x ⋅=，所以123412(0,4)x x x x x x ⋅⋅⋅=∈⋅.故选：A9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点，则实数a 可能取值为()A ．2B ．1C ．0D ．1-【答案】BCD【解析】函数()1x f x e =-的导数为()x f x e '=；所以过原点的切线的斜率为1k =；则过原点的切线的方程为：y x =；所以当1a 时，函数()1x f x e =-与()g x ax =的图象恰有一个公共点；故选BCD10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数()()()ln 1ln 1xxf x e e =+--，下列说法正确的是（）A ．()f x 的定义域为(0,)+∞B ．()f x 在定义域内单调递増C ．不等式(1)(2)f m f m ->的解集为(1,)-+∞D ．函数()f x 的图象关于直线y x =对称【答案】AD【解析】要使函数有意义，则10(0,)10x xe x e ⎧+>⇒∈+∞⎨->⎩，故A 正确；()()12()ln 1ln 1ln ln(111x xxx x e f x e e e e +=+--==+--，令211xy e =+-，易知其在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，故B 不正确；由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以对于(1)(2)f m f m ->，有1020(1,)12m m m m m ->⎧⎪>⇒∈+∞⎨⎪-<⎩，故C 不正确；令()ln(211x y f x e +=-=，解得11ln()11y xy y y e e e x e e ++=⇒=--，所以()f x 关于直线y x =对称，故D 正确.故选：AD11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）A ．3a =B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为31532时【答案】AD【解析】由函数图象可知()4(01)112t at t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，当1t =时，4y =，即11()42a-=，解得3a =，∴()34(01)112t t t y t -<⎧⎪=⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，故A 正确，药物刚好起效的时间，当40.125t =，即132t =，药物刚好失效的时间31()0.1252t -=，解得6t =，故药物有效时长为131653232-=小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为140.58⨯=微克，故C 错误，故选：AD ．12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数()f x ，()g x 的图象分别如图1，2所示，方程(())1f g x =，(())1g f x =-，1(())2g g x =-的实根个数分别为a ，b ，c ，则（）A ．a b c +=B ．b c a+=C ．b a c=D ．2b c a+=【答案】AD【解析】由图，方程(())1f g x =，1()0g x -<<，此时对应4个解，故4a =；方程(())1g f x =-，得()1f x =-或者()1f x =，此时有2个解，故2b =；方程1(())2g g x =-，()g x 取到4个值，如图所示：即2()1g x -<<-或1()0g x -<<或0()1g x <<或1()2g x <<，则对应的x 的解，有6个，故6c =.根据选项，可得A ，D 成立.故选AD ．13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y =a 2x +2a x -1(a >0，且a ≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a 的值为________.【答案】3或13【解析】令a x =t ，则y =a 2x +2a x -1=t 2+2t -1=(t +1)2-2.当a >1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，又函数y =(t +1)2-2在1,a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以y max =(a +1)2-2=14，解得a =3(负值舍去).当0<a <1时，因为x ∈[-1，1]，所以t ∈1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，又函数y =(t +1)2-2在1a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，则y max =211a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2=14，解得a =13(负值舍去).综上，a =3或a =13.14．（2021·北京高三一模）已知函数22,1,()log ,1,x x f x x x ⎧<=⎨-⎩则(0)f =________；()f x 的值域为_______．【答案】1(),2-∞【解析】0(0)2=1=f ；当1x <时，()()20,2=∈xf x ，当1x ≤时，()2log 0=-≤f x x ，所以()f x 的值域为(),2-∞故答案为：1；(),2-∞．15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为[4,4]-的函数()f x 的部分图像如图所示，且()()0f x f x --=，函数(lg )1f a ≤，则实数a 的取值范围为______．【答案】1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()f x f x -=，且函数()f x 的定义域为[4,4]-，所以()f x 是偶函数．由图知()11f =，且函数()f x 在[0,4]上为增函数，则不等式(lg )1f a ≤等价于(|lg |)(1)f a f ≤，即|lg |1a ≤，所以1lg 1a -≤≤，解得11010a ≤≤．故实数a 的取值范围为1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：1,1010⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数()222,034,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围是__________．【答案】41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】作出函数()f x 图像如下互不相等的实数1x ，2x ，3x 满足()()()123f x f x f x ==不妨设123x x x <<，则23,x x 关于1x =对称，所以232x x +=根据图像可得1213x -<≤-所以123413x x x <++≤，所以123x x x ++的取值范围为41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦。

2021版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题2 第2讲函数与方程及函数的应用

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4．(2016·四川卷，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全下年载投入研发资金 130
费
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长 12%，则该公司全年投入的研发资免金开始超过 200 万元的年
《
份是( B )
号众
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
ex，x≤0，
1．(2018·全国卷Ⅰ，9)已知函数 f(x)＝
g(x)＝f(x)＋x＋a.若 g(x)存在 2 个零点，则 a 的取值范围是
ln x，x>0，
(C)
A．[－1,0)
B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] 令 h(x)＝－x－a，
则 g(x)＝f(x)－h(x)．
(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)．
(2)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(3)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0 且 b≠1)．
Байду номын сангаас
(4)对数函数模型：y＝blogax＋c(a>0 且 a≠1)．
gx，x∈A1， (5)分段函数模型：f(x)＝
(A1∩A2＝∅)．
hx，x∈A2，
要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝1. 2
若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一．
故选 C．
3．(2017·北京卷，8)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子
总数 N 约为 1080.则下列各数中与M最接近的是( D ) N
(参考数据：lg 3≈0.48)

2021版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲函数与方程教学案理北师大版

第8讲函数与方程一、知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 的图像与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的三个结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图像通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、教材衍化1．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个解析：选B.由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1，6]上至少有3个零点．故选B.2．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致范围是( )A ．(1，2)B ．(2，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1和(3，4) D ．(4，＋∞)解析：选B.易知f (x )为增函数，由f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3－23＞0，得f (2)·f (3)＜0.故选B.3．函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是______．解析：由已知得f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．答案：1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的零点就是函数的图像与x 轴的交点．( )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图像连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在b 2－4ac <0时没有零点．( )(5)若函数f (x )在(a ，b )上连续单调且f (a )·f (b )<0，则函数f (x )在[a ，b ]上有且只有一个零点．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)错用零点存在性定理； (2)误解函数零点的定义； (3)忽略限制条件；(4)错用二次函数在R 上无零点的条件． 1．函数f (x )＝x ＋1x的零点个数是______．解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f (x )>0，当x <0时，f (x )<0，所以函数没有零点．答案：02．函数f (x )＝x 2－3x 的零点是______．解析：由f (x )＝0，得x 2－3x ＝0，即x ＝0和x ＝3. 答案：0和33．若二次函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在区间(0，4)上存在零点，则实数m 的取值范围是______．解析：二次函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝1.若在区间(0，4)上存在零点，只需f (1)≤0且f (4)>0即可，即－1＋m ≤0且8＋m >0，解得－8<m ≤1.答案：(－8，1]4．若二次函数f (x )＝x 2＋kx ＋k 在R 上无零点，则实数k 的取值范围是______．解析：由题意得Δ＝k 2－4k <0，解得0<k <4. 答案：(0，4)函数零点所在区间的判断(自主练透)1．设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，所以f (1)·f (2)＜0，因为函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，且为增函数，所以f (x )的零点所在的区间是(1，2)．2．若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：选A.因为a ＜b ＜c ，所以f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －a )(c －b )＞0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a ，b )，(b ，c )内分别存在零点，又函数f (x )是二次函数，最多有两个零点．因此函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )，(b ，c )内，故选A.3．设函数y 1＝x 3与y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是______．解析：令f (x )＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (x 0)＝0，易知f (x )为增函数，有f (1)<0，f (2)>0，所以x 0所在的区间是(1，2)．答案：(1，2)确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间．(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．函数零点的个数(师生共研)(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是______．(2)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为______．【解析】 (1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，x >－1，函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin 2x (x >－1)与 y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点，则f (x )有两个零点．【答案】 (1)2 (2)2判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f (x )＝0有几个不同的实数解就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．1．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝e x＋x －3，则f (x )的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为函数f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以0是函数f (x )的一个零点．当x ＞0时，令f (x )＝e x＋x －3＝0. 则e x＝－x ＋3.分别画出函数y ＝e x和y ＝－x ＋3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f (x )在(0，＋∞)上有一个零点．又根据对称性知，当x ＜0时函数f (x )也有一个零点．综上所述，f (x )的零点个数为3.2．函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为______．解析：由f (x )＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出函数y 1＝|log 0.5x |和y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，由右图知两函数图象有2个交点，故函数f (x )有2个零点．答案：2函数零点的应用(多维探究)角度一根据函数零点个数求参数(2020·安徽合肥二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|ln x |，x >0，e x （x ＋1），x ≤0.若函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点，则实数b 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2，0C ．(1，＋∞)∪{0}D ．(0，1]【解析】令g (x )＝f (x )－b ＝0，函数g (x )＝f (x )－b 有三个零点等价于f (x )＝b 有三个根，当x ≤0时，f (x )＝e x(x ＋1)，则f ′(x )＝e x(x ＋1)＋e x＝e x(x ＋2 )，由f ′(x )<0得e x(x ＋2)<0，即x <－2，此时f (x )为减函数，由f ′(x )>0得e x(x ＋2)>0，即－2<x <0，此时f (x )为增函数，即当x ＝－2时，f (x )取得极小值f (－2)＝－1e 2，作出f (x )的图象如图，要使f (x )＝b 有三个根，则0<b ≤1，故选D.【答案】 D 角度二根据函数有无零点求参数(1)函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．[2，＋∞)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x ＞0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( )A ．[0，1)B ．(－∞，1)C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)【解析】 (1)由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x ＞0的大致图象(图略)．观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．【答案】 (1)D (2)D角度三根据函数零点的范围求参数若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零点分别在区间(－1，0)和区间(1，2)内，则m 的取值范围是______．【解析】依题意，结合函数f (x )的图象分析可知m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f （－1）·f （0）<0，f （1）·f （2）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，[m －2－m ＋（2m ＋1）]（2m ＋1）<0，[m －2＋m ＋（2m ＋1）][4（m －2）＋2m ＋（2m ＋1）]<0，解得14<m <12.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．1．方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则a 的最小值为______．解析：若方程log 12(a －2x)＝2＋x 有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x 有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x≥1，故a 的最小值为1.答案：12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x， x ≤0ln x ， x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )＋x ＋a 存在2个零点，即关于x 的方程f (x )＝－x －a 有2个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝－x －a 有2个交点，作出直线y ＝－x －a 与函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，－a ≤1，解得a ≥－1.答案：a ≥－1[基础题组练]1．(2020·河南商丘九校联考)函数f (x )＝(x 2－1)·x 2－4的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.要使函数有意义，则x 2－4≥0，解得x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去)，即x ＝2或x ＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B.2．函数y ＝x －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选B.因为y ＝f (x )＝x －4⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2是R 上连续递增的函数，且f (1)＝1－2<0，f (2)＝2－1>0，所以f (1)·f (2)<0，故函数y ＝x －4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点所在的区间为(1，2)．故选B.3．(2020·福建晋江四校联考)设函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)解析：选C.令m (x )＝log 3x ＋x －3，则函数m (x )＝log 3x ＋x －3的零点所在的区间即为函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象的交点的横坐标所在的区间．因为m (x )＝log 3x ＋x －3递增且连续，且满足m (2)m (3)<0，所以m (x )＝log 3x ＋x －3的零点在(2，3)内，从而可知方程log 3x ＋x －3＝0的解所在的区间是(2，3)，即函数y ＝log 3x 与y ＝3－x 的图象交点的横坐标x 0所在的区间是(2，3)．故选C.4．(2020·河南焦作统考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 2，x ≥0，1－ln （x ＋6），－6<x <0，则函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由题知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x 2，x ≥0，1－ln （x ＋6），－6<x <0在(－6，＋∞)上有零点，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －x 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－6<x <0，1－ln （x ＋6）＝0，解得x ＝2或x ＝4或x ＝e －6，即函数f (x )在(－6，＋∞)上的零点个数为3.故选C.5．(2020·河北张家口模拟)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝f (x )－mx 恰有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，2eC ．(0，1)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞解析：选A.g (x )有三个零点，即y ＝f (x )与y ＝mx 的图象有三个交点，作出y ＝f (x )和y ＝mx 的图象如图．当y ＝mx 与y ＝f (x )相切时，设切点坐标为(x 0，ln x 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧mx 0＝ln x 0，1x 0＝m ，解得m ＝1e .则当0<m <1e 时，直线y ＝mx 与曲线y ＝f (x )有三个交点，即函数g (x )有三个零点．故选A.6．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)＋3x ＋m 的零点在(0，1]上，则实数m 的取值范围为______．解析：由题意知函数f (x )＝log 2(x ＋1)＋3x ＋m 在定义域上递增，又由函数f (x )在(0，1]上存在零点，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧log 2（0＋1）＋3×0＋m <0，log 2（1＋1）＋3×1＋m ≥0，解得－4≤m <0，即实数m的取值范围为[－4，0)．答案：[－4，0)7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－cos x ，则f (x )在[0，2π]上的零点个数为________．解析：如图，作出g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝cos x 的图象，可知其在[0，2π]上的交点个数为3，所以函数f (x )在[0，2π]上的零点个数为3.答案：38．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．解析：可转化为两个函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在[－4，6]上的交点的横坐标的和，因为两个函数均关于x ＝1对称，所以两个函数在x ＝1两侧的交点对称，则每对对称点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象易知两个函数在x ＝1两侧分别有5个交点，所以5×2＝10.答案：109．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0，2]上有解，求实数m 的取值范围．解：显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解，0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x ，又因为y ＝x ＋1x 在(0，1]上是减少的，在[1，2]上是增加的，所以y ＝x ＋1x在(0，2]上的取值范围是[2，＋∞)，所以1－m ≥2，所以m ≤－1，故m 的取值范围是(－∞，－1]．10．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0)．(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围．解：(1)如图所示．(2)因为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数，由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，所以1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，方程f (x )＝m 有两个不相等的正根．[综合题组练]1．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数，g (x )＝[x ]为取整函数，x 0是函数f (x )＝lnx －2x的零点，则g (x 0)等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3－23>0，故x 0∈(2，3)，所以g (x 0)＝[x 0]＝2.故选B.2．(2020·湖南娄底二模)若x 1是方程x e x＝1的解，x 2是方程x ln x ＝1的解，则x 1x 2等于( )A ．1B ．－1C ．eD ．1e解析：选A.考虑到x 1，x 2是函数y ＝e x、函数y ＝ln x 与函数y ＝1x的图象的交点A ，B的横坐标，而A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2两点关于y ＝x 对称，因此x 1x 2＝1.故选A.3．(2020·湘赣十四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋2x ＋a （x ≤0）ax －3（x >0），有且只有1个零点，则实数a 的取值范围是______．解析：当a >0时，函数y ＝ax －3(x >0)必有一个零点，又因为－1a<0，故a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＋a >0，解得a >1；当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x ≤0），－3（x >0）恰有一个零点；当a <0时，若x >0，则f (x )＝ax －3<0，若x ≤0，则f (x )＝ax 2＋2x ＋a ，此时，f (x )恒小于0，所以当a <0时，f (x )无零点，故答案为a ＝0或a >1.答案：a ＝0或a >14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．解析：在同一平面直角坐标系内画出函数y ＝f (x )和y ＝a |x |的图象可知，若满足条件，则a ＞0.当a ≥2时，在y 轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y 轴左侧，射线y ＝－ax (x ≤0)与抛物线y ＝－x 2－5x －4(－4＜x ＜－1)需相切．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－5x －4，y ＝－ax 消去y ，得x 2＋(5－a )x ＋4＝0.由Δ＝(5－a )2－16＝0，解得a ＝1或a ＝9.a ＝1与a ≥2矛盾，a ＝9时，切点的横坐标为2，不符合题意．当0＜a ＜2，此时，在y 轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则－a ＜－1，即a ＞1.故1＜a ＜2.答案：(1，2)5．已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋14x ，x >0，x ＋1，x ≤0.(1)求g (f (1))的值；(2)若方程g (f (x ))－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围．解：(1)利用解析式直接求解得g (f (1))＝g (－3)＝－3＋1＝－2.(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在(－∞，1)上有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点，作出函数y ＝g (t )(t <1)的图象如图，由图象可知，当1≤a <54时，函数y ＝g (t )(t <1)与y ＝a 有2个不同的交点，即所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54. 6．设函数f (x )＝x ＋1x －1，x ∈R 且x ≠1. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)的值； (2)就m 的取值情况，讨论关于x 的方程f (x )＋x ＝m 在x ∈[2，3]上解的个数．解：(1)根据题意，函数f (x )＝x ＋1x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋11x－1＝1＋x 1－x ＝－1＋x x －1，则f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (4)＋f (6)＋f (8)＋f (10)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＋f (10)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f (8)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋f (6)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (4)＝0. (2)根据题意，设g (x )＝f (x )＋x ＝x ＋1x －1＋x ＝(x －1)＋2x －1＋2，令t ＝x －1，又由x ∈[2，3]，则t ∈[1，2]，则设h (t )＝t ＋2t ＋2，有h ′(t )＝1－2t 2＝t 2－2t2，分析可得，在区间[1，2)上，h (t )递减，在区间[2，2]上，h (t )递增；则h (t )在[1，2]有最小值h (2)＝22＋2，且h (1)＝h (2)＝5，则函数h (t )在区间[1，2]上有最大值5，最小值22＋2，方程f (x )＋x ＝m 的解的个数即为函数g (x )与直线y ＝m 的交点个数，分析可得，当m ＜22＋2时，函数g (x )与直线y ＝m 没有交点，方程f (x )＋x ＝m 无解；当m ＝22＋2时，函数g (x )与直线y ＝m 有1个交点，方程f (x )＋x ＝m 有1个解；当22＋2＜m ≤5时，函数g (x )与直线y ＝m 有2个交点，方程f (x )＋x ＝m 有2个解；当m ＞5时，函数g (x )与直线y ＝m 没有交点，方程f (x )＋x ＝m 无解；综上可得，当m ＜22＋2或m ＞5时，方程f (x )＋x ＝m 无解；当m ＝22＋2时，方程f (x )＋x ＝m 有1个解；当22＋2＜m ≤5时方程f (x )＋x ＝m 有2个解．。

高考数学文科二轮课件：专题一第二讲基本初等函数、函数与方程

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建立求解目标需要的函数解析式(数学模型),然后通过解这个函数模型(求单调性、最值、特殊的函数值等),对实际问题作出合乎要求的解释.需要注意:实际问题中函数的定义域要根据实际意义给出,而不是单纯根据函数的解析式得出.
考点聚焦栏目索引
1.某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入高.考若导该航公司2015 年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200 万元的年份是 ( ) (参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30) A.2018年 B.2019年 C.2020年 D.2021年
命题角度一:判断函数零点的个数
(2018陕西质量检测一)已知定义在R上的函数y=f高(x考)对导航任意的x都满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x<1时, f(x)=x,则函数g(x)=f(x)-ln |x|的零点个数为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5
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答案 B
解析依题意,可知函数g(x)=f(x)-ln |x|的零点个数即函数y=f(x)的
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(3)对于A,∵函数y=xe是(0,+∞)上的增函数,且π>3,∴πe>3e,A错误;
对于B,πlog3e>3logπe⇔
ln
3
3
> ln
⇔πln
π>3ln
3⇔ππ高>3考3导,B航正确;对于
C,3e-2π<3πe-2⇔3e-3<πe-3,而函数y=xe-3是(0,+∞)上的减函数,C错误;对
∴0.11+(n-1)×0.05>0.30,

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解2---基本初等函数、函数与方程

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解第2讲基本初等函数、函数与方程[考情分析] 1.基本初等函数的图象与性质是高考考查的重点，利用函数性质比较大小、解不等式是常见题型.2.函数零点的个数判断及参数范围是常考题型，常以压轴题的形式出现.3.函数模型及应用是近几年高考的热点，通常考查指数函数、对数函数模型．考点一基本初等函数的图象与性质核心提炼指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两种函数图象的异同．例1 (1)(2022·杭州模拟)已知lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)，则函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx的图象可能是( )答案 B解析 ∵lg a ＋lg b ＝0(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)， ∴ab ＝1，∴a ＝1b ，∴g (x )＝1log bx ＝log a x ，∴函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝1log bx 互为反函数，∴函数f (x )＝a x 与g (x )＝1log bx 的图象关于直线y ＝x 对称，且具有相同的单调性．(2)若对正实数x ，y 有log 2x －log 2y <3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)>0B ．ln(y －x ＋1)<0C ．ln|x －y |>0D ．ln|x －y |<0 答案 A解析设函数f (x )＝log 2x －3－x .因为y ＝log 2x 与y ＝－3－x 在(0，＋∞)上均单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，原不等式等价于log 2x －3－x <log 2y －3－y ，即f (x )<f (y )，所以y >x >0，即y －x >0，所以A 正确，B 不正确；又|x －y |与1的大小关系不确定，所以C ，D 不正确．规律方法 (1)指数函数、对数函数的图象与性质受底数a 的影响，解决与指数函数、对数函数有关的问题时，首先要看底数a 的取值范围．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．跟踪演练1 (1)(2022·山东名校大联考)若a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝e 0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．b <a <c B ．c <a b ，又根据指数函数的单调性可得c ＝e 0.2>e 0＝1，所以b <a <c .(2)(2022·邯郸模拟)不等式10x －6x －3x ≥1的解集为________．答案 [1，＋∞)解析由10x －6x －3x ≥1，可得⎝⎛⎭⎫110x ＋⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫310x ≤1. 令f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x ＋⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫310x ，因为y ＝⎝⎛⎭⎫110x ，y ＝⎝⎛⎭⎫35x ，y ＝⎝⎛⎭⎫310x 均在R 上单调递减，则f (x )在R 上单调递减，且f (1)＝1，所以f (x )≤f (1)，即x ≥1.故不等式10x －6x －3x ≥1的解集为[1，＋∞)．考点二函数的零点核心提炼判断函数零点个数的方法 (1)利用函数零点存在定理判断． (2)代数法：求方程f (x )＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点个数的判断例2 已知f (x )是定义在R 上周期为2的偶函数，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数是( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D解析当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，函数y ＝f (x )的周期为2且为偶函数，其图象关于y 轴对称，可作出函数f (x )的图象．函数y ＝log 5|x |的图象关于y 轴对称，函数y ＝g (x )的零点，即为两函数图象交点的横坐标，当x >5时，y ＝log 5|x |>1，此时两函数图象无交点，如图，又两函数的图象在x >0上有4个交点，由对称性知两函数的图象在x <0上也有4个交点，且它们关于y 轴对称，可得函数g (x )＝f (x )－log 5|x |的零点个数为8. 考向2 求参数的值或范围例3(2022·河北联考)函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，则k 的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞解析因为函数f (x )＝e x 和g (x )＝kx 2的图象有三个不同交点，所以方程e x ＝kx 2有三个不同的实数根，显然x ＝0不是方程的实数根，所以方程e xx 2＝k (k >0)有三个不同的非零实数根，令h (x )＝e xx 2，则h ′(x )＝(x －2)e x x 3，所以当x <0时，h ′(x )>0，当0<x <2时，h ′(x )<0，当x >2时，h ′(x )>0，所以函数h (x )＝e xx2在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减，因为当x 趋近于－∞时，h (x )趋近于0，当x 趋近于＋∞时，h (x )趋近于＋∞，当x 趋近于0时，h (x )趋近于＋∞，所以函数h (x )的大致图象如图所示，h (2)＝e 24，所以当方程e x x 2＝k (k >0)有三个不同的实数根时，k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫e 24，＋∞. 规律方法利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法跟踪演练2 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，若关于x 的方程f (x )＝a (x ＋1)有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．答案⎝⎛⎭⎫0，12 解析作出函数f (x )的图象，又直线y ＝a (x ＋1)过定点P (－1,0)，如图，当直线y ＝a (x ＋1)与y ＝x 的图象有两个交点时满足题意，需满足a >0，由⎩⎨⎧y ＝a (x ＋1)，y ＝x ，得ax －x ＋a ＝0，令t ＝x ，则at 2－t ＋a ＝0有两个正根，所以Δ＝1－4a 2>0，解得－12<a <12，此时t 1t 2＝1>0，t 1＋t 2＝1a >0，所以0<a <12.(2)函数f (x )＝sin πx 2－12－x 在区间[－4,8]上的所有零点之和为________．答案 16解析由题意得函数f (x )＝sin πx 2－12－x 在区间[－4,8]上的零点，即方程sin πx 2－12－x ＝0的根，作出函数y ＝sin πx 2和y ＝12－x的图象，如图所示，由图可知，两个函数的图象有8个不同的交点，且两两关于点(2,0)对称，故8个点横坐标之和为16，所以函数f (x )＝sin πx 2－12－x 在区间[－4,8]上的所有零点之和为16.考点三函数模型及其应用核心提炼解函数应用题的步骤(1)审题：缜密审题，准确理解题意，分清条件和结论，理清数量关系．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)求模：求解数学模型，得出数学结论．(4)反馈：将得到的数学结论还原为实际问题的意义．例4 (1)(2022·衡阳模拟)2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富3名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功，火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d (x )(单位：dB)与声强x (单位：W/m 2)满足d (x )＝10lg x10－12.若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为()A．130 dB B．140 dBC．150 dB D．160 dB答案 B解析当人交谈时的声强级约为50 dB，50＝10lg x10－12⇒x10－12＝105⇒x＝10－7，即人交谈时的声强为10－7 W/m2，因为火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，所以火箭发射时的声强为10－7×109＝100 W/m2，因此火箭发射时的声强级为10lg 10010－12＝10lg 1014＝10×14＝140(dB)．(2)(2022·福州模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝GGL D0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到0.05以下(不含0.05)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 3≈0.477 1)()A．11 B．22 C．227 D．481答案 D解析由于L＝GGL D0，所以L＝0.5×22GD，依题意0.45＝0.5×2222D⇒D＝910，则L＝0.5×22910G⎛⎫⎪⎝⎭，由L ＝0.5×22910G⎛⎫⎪⎝⎭<0.05得22910G ⎛⎫⎪⎝⎭<110，22g 910l G ⎛⎫⎪⎝⎭<lg 110，G 22lg 910<－1， G ·(lg 9－lg 10)<－22，G ·(lg 10－lg 9)>22，所以G >22lg 10－lg 9，G >221－2lg 3≈221－2×0.477 1＝220.045 8≈480.35，所以所需的训练迭代轮数至少为481轮．易错提醒构建函数模型解决实际问题的失分点 (1)不能选择相应变量得到函数模型． (2)构建的函数模型有误．(3)忽视函数模型中变量的实际意义．跟踪演练3 (1)(2022·荆州联考)“绿水青山就是金山银山”，党的十九大以来，城乡深化河道生态环境治理，科学治污．某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)河水污染质量指数为m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝e kt r r m k k 0⎛⎫+- ⎪⎝⎭-v (m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)( ) A ．1个月 B ．3个月 C ．半年 D ．1年答案 C解析由题可知，m (t )＝180e t m 0-＝0.1m 0，∴180et -＝0.1，∴－180t ＝ln 0.1≈－2.30，∴t ≈184(天)，∴要使河水的污染水平下降到初始时的10%，结合选项知需要的时间大约是半年．(2)(2022·广东大联考)水果采摘后，如果不进行保鲜处理，其新鲜度会逐渐流失，某水果产地的技术人员采用一种新的保鲜技术后发现水果在采摘后的时间t (单位：小时)与失去的新鲜度y 满足函数关系式：y ＝220301,10,11·2,1010020tt t t +⎧0<⎪000⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤，为了保障水果在销售时的新鲜度不低于85%，从水果采摘到上市销售的时间间隔不能超过(参考数据：log 23≈1.6)( ) A ．20小时 B ．25小时 C ．28小时 D ．35小时答案 C解析由题意可知当t <10时，失去的新鲜度小于10%，没有超过15%，当t ≥10时，则有20301·220t +≤15%，即20302t+≤3， ∴20＋t 30≤log 23≈1.6，∴t ≤48－20＝28.专题强化练一、单项选择题1．幂函数f (x )满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝⎛⎭⎫12等于( ) A.13 B. 3 C. －13 D. －3 答案 A解析设幂函数f (x )＝x α，则4α＝3×2α，解得α＝log 23，所以f (x )＝2log 3x，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝2log 32－＝13. 2．(2022·泸州模拟)若log a b >1，其中a >0且a ≠1，b >1, 则( ) A ．0<a <11，则log a b <0，与log a b >1矛盾，故a >1，由log a b >1得log a b >log a a ，则b >a ，故b >a >1. 3．函数f (x )＝sin x25－x2的零点有( ) A ．2个 B ．3个 C ．5个 D ．无数个答案 B解析 f (x )的定义域为(－5,5)，令f (x )＝0，得sin x ＝0，∴x ＝k π，k ∈Z ，又x ∈(－5,5)，∴x ＝0或x ＝±π，故f (x )有3个零点．4．朗伯比尔定律(Lambert －Beer law)是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为A ＝lg 1T ＝Kbc ，其中A 为吸光度，T为透光度，K 为摩尔吸光系数，c 为吸光物质的浓度，单位为mol/L ，b 为吸收层厚度，单位为cm.保持K ，b 不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的T 变为( ) A ．2T B ．T 2 C.12T D ．10T 答案 B解析由A ＝lg 1T ＝Kbc ，得1T＝10A ，所以T ＝⎝⎛⎭⎫110A ，保持K ，b 不变，当吸光物质的浓度增加为原来的两倍时，透光度变为T ′，则Kb ·2c ＝2A ＝lg 1T ′，所以1T ′＝102A ，所以T ′＝⎝⎛⎭⎫1102A ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫110A 2＝T 2，所以透光度由原来的T 变为T 2.5．(2022·十堰统考)已知a ＝ln 3，b ＝30.5，c ＝lg 9，则( )A ．a >b >cB ．c >a >bC ．b >a >cD ．b >c >a答案 C解析因为0＝lg 1<c ＝lg 9<lg 10＝1，a ＝ln 3>ln e ＝1，所以a >c ，又e 3>2.53>32，所以32e >3，则32>ln 3，则b ＝30.5>32>ln 3＝a . 故b >a >c .6．(2022·聊城模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染物排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 C解析设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意得1.2×0.8n ≤0.2，即⎝⎛⎭⎫54n ≥6，两边取以10为底的对数可得lg ⎝⎛⎭⎫54n ≥lg 6，即n lg ⎝⎛⎭⎫5×28≥lg 2＋lg 3，所以n ≥lg 2＋lg 31－3lg 2，因为lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以lg 2＋lg 31－3lg 2≈0.30＋0.481－3×0.30＝7.8，所以n ≥7.8，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．7．(2022·湖南联考)已如函数f (x )＝2x －12x ＋lg x ＋33－x，则( ) A ．f (1)＋f (－1)<0B ．f (－2)＋f (2)>0C ．f (1)－f (－2)<0D ．f (－1)＋f (2)>0答案 D解析因为f (－x )＝2－x －12－x ＋lg －x ＋33＋x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＋lg x ＋33－x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，所以f (x )＋f (－x )＝0，故A ，B 错误；又因为f (x )＝2x －12x ＋lg x ＋33－x＝2x －12x ＋ lg ⎝⎛⎭⎫－1－6x －3，且x ＋33－x>0，即(x ＋3)(3－x )>0，解得－3<x <3，根据单调性的结论可知f (x )在(－3,3)上单调递增，所以当x ∈(0,3)时，f (x )>0，当x ∈(－3,0)时，f (x )<0，所以f (1)－f (－2)＝f (1)＋f (2)>0，C 错误；f (－1)＋f (2)＝f (2)－f (1)>0，D 正确．8．设x 1，x 2分别是函数f (x )＝x －a －x 和g (x )＝x log a x －1的零点(其中a >1)，则x 1＋4x 2的取值范围为( )A ．(4，＋∞)B ．[4，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)答案 C解析令f (x )＝0，得x 1＝1x a －，即1x 1＝1x a ，所以x 1是y ＝1x与y ＝a x (a >1)图象的交点的横坐标，且显然0<x 1<1. 令g (x )＝0，得x 2log a x 2－1＝0，即log a x 2＝1x 2，所以x 2是y ＝1x与y ＝log a x (a >1)图象的交点的横坐标，因为y ＝a x 与y ＝log a x 关于y ＝x 对称，所以交点也关于y ＝x 对称，所以有x 1＝1x 2，所以x 1＋4x 2＝x 1＋4x 1，令y ＝x ＋4x ，易知y ＝x ＋4x 在(0,1)上单调递减，所以x 1＋4x 2>1＋41＝5. 二、多项选择题9．记函数f (x )＝x ＋ln x 的零点为x 0，则关于x 0的结论正确的为( )A ．0<x 0<12B.12<x 0<1 C ．0e x －－x 0＝0 D ．0e x －＋x 0＝0答案 BC解析由于函数f (x )＝x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝12－ln 2<0，f (1)＝1>0，∴12<x 0<1. 由于x 0是函数f (x )＝x ＋ln x 的零点，则x 0＋ln x 0＝0，即ln x 0＝－x 0，∴x 0＝0ex －，即0e x －－x 0＝0，则0e x －＋x 0＝20e x －>0，故A ，D 选项错误，B ，C 选项正确．10．已知实数a ，b 满足等式2 022a ＝2 023b ，下列式子可以成立的是( )A ．a ＝b ＝0B ．a b >0，或a <b <0，或a ＝b ＝0.11．(2022·济宁模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且周期为2，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.若函数g (x )＝f (x )－x －a 恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围可以是( )A.⎝⎛⎭⎫－54，－1B.⎝⎛⎭⎫－14，0 C.⎝⎛⎭⎫34，1D.⎝⎛⎭⎫74，2答案 BD解析 f (x )是周期为2的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2.则当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，函数g (x )＝f (x )－x －a 恰有3个不同的零点，即f (x )的图象与y ＝x ＋a 的图象有3个不同的交点，作出函数f (x )的图象，作出直线y ＝x ＋a 的图象，如图，当直线过A (1,1)时，a ＝0，当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2相切时，由x 2＝x ＋a ，即x 2－x －a ＝0，得Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14，由图可得，当－14<a <0时，满足题意，再由周期性，可知四个选项中，只有B ，D 正确．12．(2022·长沙模拟)已知正数x ，y ，z 满足3x ＝4y ＝12z ，则( )A.1x ＋1y ＝1zB ．6z <3x <4yC ．xy <4z 2D ．x ＋y >4z答案 ABD解析设3x ＝4y ＝12z ＝t ，t >1，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ，所以1x ＋1y ＝1log 3t ＋1log 4t＝log t 3＋log t 4 ＝log t 12＝1z，A 正确；因为6z 3x ＝2log 12t log 3t ＝2log t 3log t 12＝log 129<1，则6z <3x ，因为3x 4y ＝3log 3t 4log 4t ＝3log t 44log t 3＝log t 64log t 81＝log 8164<1，则3x <4y ，所以6z <3x <4y ，B 正确；因为1x ＋1y ＝1z，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·z ＝⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ＋2·z ≥4z ，当且仅当x ＝y 时，等号成立，又x ≠y ，故x ＋y >4z ，D 正确；因为1z ＝1x ＋1y ＝x ＋y xy ，则xy z＝x ＋y >4z ，所以xy >4z 2，C 错误．三、填空题13．(2022·成都模拟)已知两个条件：①a ，b ∈R ，f (a ＋b )＝f (a )·f (b )；②f (x )在(0，＋∞)上单调递减．请写出一个同时满足以上两个条件的函数____________．答案f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x (答案不唯一)解析由题意知，是指数函数里的减函数，故可以是f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x .14．(2022·广州模拟)据报道，某地遭遇了70年一遇的沙漠蝗虫灾害．在所有的农业害虫中，沙漠蝗虫对人类粮食作物危害最大．沙漠蝗虫繁殖速度很快，迁徙能力很强，给农业生产和粮食安全构成重大威胁．已知某蝗虫群在适宜的环境条件下，每经过15天，数量就会增长为原来的10倍．该蝗虫群当前有1亿只蝗虫，则经过________天，蝗虫数量会达到4 000亿只．(参考数据：lg 2≈0.30) 答案 54解析由每经过15天，蝗虫的数量就会增长为原来的10倍，设每天的增长率为a ，则有(1＋a )15＝10，解得a ＝1510－1，设经过x 天后，蝗虫数量会达到4 000亿只，则有1×(1＋a )x ＝4 000，所以1510x ＝4 000，即lg 1510x ＝lg 4 000，故x 15＝3＋lg 4＝3＋2lg 2≈3＋2×0.3＝3.6，所以x ≈54，故经过54天，蝗虫数量会达到4 000亿只．15．已知函数f (x )＝|ln x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值是2，则n m的值为________．答案 e 2解析由题意以及函数f (x )＝|ln x |的性质可得－ln m ＝ln n ，所以1m＝n ，且0<m <1<n ，因为函数f (x )＝|ln x |在(0,1)上单调递减，所以f (m 2)>f (m )＝f (n )，f (m 2)＝|ln m 2|＝2，解得m ＝1e，又因为1m ＝n ，所以n ＝e ，所以n m＝e 2. 16．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )，x <0，x (2－x )，x ≥0，若关于x 的方程2f 2(x )－af (x )＋1＝0有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________．答案 (22，3)解析函数f (x )的图象如图所示，令t ＝f (x )，则关于x 的方程2f 2(x )－af (x )＋1＝0有6个不相等的实数根，等价于关于t 的方程2t 2－at ＋1＝0在[0,1)上有2个不相等的实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝a 2－8>0，0<a 4<1，3－a >0，解得22<a <3.。