物理竞赛模拟试题(四)

物理竞赛模拟试题（四）
1.试求解以下三道估算题
（1）看电影时，常常发现银幕上的小轿车虽然在开动，但其车轮似乎并未转动设车轮的外观如图所示试估算此时轿车行进的最低非零速度v，并把v与学生百米短跑的平均速度相比，看看哪一个速度快
（2）把教室里的桌椅取走，只留下学生和教师，试估算全体师生的质量与教室内空气质量之比；
答案最接近
（3）设半径为R的圆环均匀带电，总电量为Q(Q>0)试用适当的近似方法估算圆环平面上与圆心相距r处的电场强度E r，已知r≪R
2.如图所示，半径为R、质量为m的匀质细圆环上均匀地分布着相对圆环固定不动的正电荷，总
电量为Q·t=0时，圆环在绝缘的水平地面上具有如图所示的指向正东方向的平动速度v0，且无滚动设圆环与地面之间的摩擦系数为µ，设圆环所在处及其周围有沿水平指向北方的匀强地磁场B
（1）为使圆环在尔后的运动过程中始终不会离开地面，试确定v0的取值上限，若没有上限，回答-1；
（2）为使圆环在尔后的运动过程中始终不会离开地面，试确定v0的取值下限，若没有下限，回答-1；
（3）在第1问的v0取值范围内，设圆环最后能够达到纯滚动状态，试导出此前t时刻的圆环平动速度v；
，试确定圆环刚达到纯滚动状态的时刻T
（4）设v0=mg
2QB
3.试解以下各题
（1）半径为R的圆环在水平地面上向前做纯滚动，设前进的速度为常呈v0试求圆环上任意一点P在运动过程中加速度的最大值a max与最小值a min之差
（2）只要圆环（半径为R）在水平面上始终向前做纯滚动，无论是匀速前进还是变速前进，圆环上任意点P的轨道都是相同的曲线，称为滚轮线试求滚轮线最低处的曲率半径ρ1
（3）续（2），求最高处的曲率半径ρ2
（4）如图所示，在竖直平面内取沿水平方向为x轴，半径为R的圆环在x轴下方贴着x轴做纯滚动，圆环上任意一点的运动轨迹当然也是滚轮线，又称摆线如图所示，在一光滑摆线轨道内侧的任意一个非最低位置上放一个光滑小球，小球自静止释放后，将在摆线轨道上往返运动已经证明，小球在摆线上往返运动的周期T与小球质量及小球的初始位置均无关，即T是仅由摆线参量R及重力加速度g确定的恒量试求T的大小
4.假定各国在发射卫星时都必须遵从以下规定:卫星进入轨道后不允许离开与本国领土和领海对应
的领空，即卫星与地心得连线和地球表面的交点必须落在本国的领土和领海上为了以下讨论的需要，给出同步卫星的轨道半径为R0=4.21×104km
（1）试问:一个占据北纬20◦到北纬50◦领空范围的国家，是否可能发射一颗不用动力飞行的卫星并遵从上述规定?
（2）对于另一个占据北纬15◦到南纬10◦领空范围的国家，又如何?
（3）现在讨论一个具体问题某国发射了一颗周期T0=1d的不用动力飞行的卫星，卫星的轨道平面即为赤道平面容易理解，如果卫星采取椭圆轨道，则卫星相对地心的角速度就不是恒定值，即卫星与地面上的参考点之间会发生相对运动假设这个国家仅拥有θ0=2.00◦经度范围的赤道领空，则需将卫星椭圆轨道的偏心率e限制在一个很小的范围内，以确保卫星不离开本国领空设卫星椭圆轨道的半长轴为A，半短轴为B，则椭圆焦点与椭圆中心的间距C为
C=√
A2−B2
椭圆偏心率e的定义为
e=C A
试求椭圆偏心率e的最大可取值
（4）一个没有赤道领空的国家决定发射一颗靠动力飞行的卫星，卫星定点在北纬40◦的某城市上空，卫星与地心的间距刚好是R0星进入轨道时带有燃料火箭，空载火箭的质量为
1.00×103kg，内装燃料9.0×103kg，卫星主体质量为100kg若火箭喷气速度为5km/s试求
卫星可定位的最长时间t e
5.自由长度为L0、截面积为S且面积变化可以忽略不计的柱形匀质弹性体，其杨氏模量E与弹
性系数K之间的关系为
E=KL0 s
将自由长度为L0、质量为m、弹性系数为K（常量）的匀质圆柱形弹性体垂直悬挂，设悬挂过程中柱体的圆面积保持不变，且已达到平衡伸长的静止状态
（1）试求弹性体的总伸长量∆L；
（2）取弹性体的悬挂处为坐标原点，取竖直向下的x坐标，设K=mg/L0试按弹性体伸长平衡时的位形，求出其质量线密度的分布λ(x)
6.试求解关于阻尼振动的几个小题（这里设B恒为1特斯拉）
（1）一单摆由长为l的轻质细杆和质量为m、密度为水密度α倍（α>1）的小摆球组成设单摆在水中做小角度摆动时，摆球所受阻力的大小与摆球在水中的运动速率成正比，比例系数为常量γ设细杆所受阻力可以忽略不计试给出为使摆球能做低阻尼摆动，γ的最大值
（2）在水平面上有如图所示的导电回路，R和L已知，其余部分的电阻、电感等均可忽略，质量为m、长为l的导体棒放在框架上向右以初速v0运动，摩擦力可略框架所在区域有方向如图所示的均匀磁场试证明:导体棒运动速度随时间的变化与阻尼振动类似，并给出临界阻尼时，电阻R应满足的表达式；
（3）试讨论受迫振动的暂态过程解和稳态解为了讨论的需要，提供如下数学知识常系数线性二阶齐次微分方程
¨x+p˙x+qx=0
的特征方程为
r2+pr+q=0
它的两个根表示为r1和r2i)若r1和r2为不相等的实根，则微分方程的通解为
x=C1e r1t+C2e r2t
ii)若r1和r2为相等的实根，均表示为r，则微分方程的通解为
x=(C1+C2)e rt
iii)若r1=a+bi，r2=a−bi，则微分方程的通解为
x=C e at cos(bt+ϕ0)
常系数线性二阶非齐次方程
¨x+p˙x+qx=f(x)
的通解为相应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解x∗之和若
f(t)=h cos pt
且±i p不是相应的齐次特征方程的根，则一个特解可表示为
x∗=A cos(pt+ϕ)
受迫振动的动力学方程的标准形式为
x=h cos pt
¨x+2β˙x+ω2
其中的常量β，ω0，h，p均不为零试导出并讨论x的通解，此即暂态过程解
（4）续（3），试给出t→∞时的x，此为稳态解
7.试求解以下三小题
（1）小孩猜糖过节时，常有大人将双手放在背后，把糖块藏在一只手中，然后伸手到小孩面前让猜若小孩猜对了，得到糖块，若猜错了，重新藏后再猜，在这一游戏中，小孩往往因为多次猜错急得要哭，有些大人却以此为乐.试为孩子设计一种简易可行的猜糖方法，使大人在这个游戏中难以逗引孩子而兴味索然
（2）“盲”人打靶如图所示，取x 轴的原点O 为靶心，在靶心前方h 处为枪架，放置在枪架上的步枪枪管与x 轴在同一平面上用布蒙住打靶者的双眼，打靶者因看不见靶心在何方位，致使图中枪管的θ角取值不定为防止误伤后面的裁判，采用锁定装置限制θ角只能在−π/2到π/2之间取值设打靶者所取θ值具有等概率分布，试求子弹在x 轴上的概率分布p (x )
（3）二维理想气体的麦克斯韦分布一维概率正态分布函数为
p (x )=1√2πσ
e −x 2/(2σ2)(σ>0)一维理想气体处在温度为T 的平衡态时，其速度分布为一维正态分布，即
F 1(v x )=1√2πσ
e −v 2x /(2σ2)
式中
σ=√kT
m
其中:k 为玻尔兹曼常量;m 为分子质量二维理想气体处在温度为T 的平衡态时，其v x 和v y 各自具有一维正态分布特性因v x 和v y 互相独立，由概率乘法规则，合成的二维速度分布为
F 2(v x ,v y )=F 1(v x )F 1(v y
)F 2即为二维理想气体的麦克斯韦速度分布试导出二维理想气体的麦克斯韦速率分布f 2(v )
（4）续（3），试求二维理想气体分子的最概然速率v p
（5）续（3），试求二维理想气体分子的平均速率v （6）续（3），试求二维理想气体分子的方均根速率√v 2
8.设仿照三相交流发电机设计出四相交流发电机，在四个线圈内分别产生交变电动势ε1、ε2、ε3和ε4，它们的峰值均为ε0，角频率均为ω，ε1、ε2、ε3和ε4的相位依次超前π/2（即ε2超前ε1，ε3超前ε2，等等）设再仿照三相电路中负载的星形连接，设计四相五线制的星形连接如图
所示其中各相的负载相应于角频率ω的复阻抗分 Z
A 、 Z
B 、 Z
C 、 Z
D ，四个交变电动势ε1、ε2、ε3、ε4分别通过A 、B 、C 、D 四个端点及公共点O 与负载连接设ε1、ε2、ε3、ε4不会因与负载连接而发生变化
（1）设ε1=ε0cosωt，试求图中A点与B点、A点与C点、A点与D点之间线电压的瞬时值u AB、u AC、u AD若ε1的有效值为220V，试问u AB的峰值为多少？
（2）续（1），试问u AC的峰值为多少？
（3）续（1），试问u AD的峰值为多少？
（4）将ε1改用复电动势 ε1=ε0e jωt，在此不考虑ε0的具体数值，假设图中的x点和y点均被切断试求图中所示方向的复电流 I A的实部本小问中可认为 Z A、 Z B、 Z C取实数值；
（5）续（4），求 I A的虚部本小问中可认为 Z A、 Z B、 Z C取实数值
（6）在第（4）问的基础上，进一步假设 Z A为纯电阻R， Z B为L=R/ω的纯电感， Z C为C=1/(ωR)的纯电容试再求 I A之实部
（7）续（6），求 I A之虚部。