江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第15课时曲线的交点导学案(无答案)苏教版选修2-1

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高二数学第二章圆锥曲线与方程导学案

§2.1.1 曲线与方程（1）1．理解曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程．3436，找出疑惑之处）复习1：画出函数22y x = (12)x -≤≤的图象．复习2：画出两坐标轴所成的角在第一、三象限的平分线，并写出其方程．二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：到两坐标轴距离相等的点的集合是什么？写出它的方程．问题：能否写成y x =，为什么？新知：曲线与方程的关系：一般地，在坐标平面内的一条曲线C 与一个二元方程(,)0F x y =之间，如果具有以下两个关系： 1．曲线C 上的点的坐标，都是的解；2．以方程(,)0F x y =的解为坐标的点，都是的点，那么，方程(,)0F x y =叫做这条曲线C 的方程；曲线C 叫做这个方程(,)0F x y =的曲线．注意：1︒ 如果……，那么……； 2︒ “点”与“解”的两个关系，缺一不可；3︒ 曲线的方程和方程的曲线是同一个概念，相对不同角度的两种说法；4︒ 曲线与方程的这种对应关系，是通过坐标平面建立的．试试：1．点(1,)P a 在曲线2250x xy y +-=上，则a =___ ．2．曲线220x xy by +-=上有点(1,2)Q ，则b = ．新知：根据已知条件，求出表示曲线的方程．※ 典型例题例 1 证明与两条坐标轴的距离的积是常数(0)k k >的点的轨迹方程式是xy k =±．变式：到x 轴距离等于5的点所组成的曲线的方程是50y -=吗？例2设,A B 两点的坐标分别是(1,1)--，(3,7)，求线段AB 的垂直平分线的方程．变式：已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是(0,3)A ，(2,0)B -，(2,0)C ．中线AO （O 为原点）所在直线的方程是0x =吗？为什么？反思：BC 边的中线的方程是0x =吗？小结：求曲线的方程的步骤：①建立适当的坐标系，用(,)M x y表示曲线上的任意一点的坐标；②写出适合条件P的点M的集合{|()}P M p M=；③用坐标表示条件P，列出方程(,)0f x y=；④将方程(,)0f x y=化为最简形式；⑤说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．※动手试试练1．下列方程的曲线分别是什么？(1)2xyx=(2)222xyx x-=-(3) log a xy a=练2．离原点距离为2的点的轨迹是什么？它的方程是什么？为什么？三、总结提升※学习小结1．曲线的方程、方程的曲线；2．求曲线的方程的步骤：①建系，设点；②写出点的集合；③列出方程；④化简方程；⑤验证．※知识拓展求轨迹方程的常用方法有：直接法，定义法，待定系数法，参数法，相关点法（代入法），交轨法等．※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 与曲线y x=相同的曲线方程是（）．A．2xyx=B．y=C．y=D．2log2xy=2．直角坐标系中，已知两点(3,1)A，(1,3)B-，若点C满足OC=αOA+βOB，其中α，β∈R，α+β=1，则点C的轨迹为( ) ．A．射线B．直线C．圆D．线段3．(1,0)A，(0,1)B，线段AB的方程是（）．A．10x y-+=B．10x y-+=(01)x≤≤C．10x y+-=D．10x y-+=(01)x≤≤4．已知方程222ax by+=的曲线经过点5(0,)3A和点(1,1)B，则a= ，b= ．5．已知两定点(1,0)A-，(2,0)B，动点p满足12PAPB=，则点p的轨迹方程是．1．点(1,2)A-，(2,3)B-，(3,10)C是否在方程2210x xy y-++=表示的曲线上？为什么？2 求和点(0,0)O，(,0)A c距离的平方差为常数c的点的轨迹方程．§2.1.2 曲线与方程（2）1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．3637，找出疑惑之处）复习1：已知曲线C 的方程为 22y x = ，曲线C 上有点(1,2)A ，A 的坐标是不是22y x = 的解？点(0.5,)t 在曲线C 上,则t =___ ．复习2：曲线（包括直线）与其所对应的方程(,)0f x y =之间有哪些关系?二、新课导学 ※ 学习探究引入：圆心C 的坐标为(6,0)，半径为4r =，求此圆的方程．问题：此圆有一半埋在地下，求其在地表面的部分的方程．探究：若4AB =，如何建立坐标系求AB 的垂直平分线的方程．※ 典型例题例1 有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到(0,3)A 的距离的2倍，试求曲线的方程．变式：现有一曲线在x 轴的下方，曲线上的每一点到x 轴的距离减去这点到点(0,2)A ，的距离的差是2，求曲线的方程．小结：点(,)P a b 到x 轴的距离是；点(,)P a b 到y 轴的距离是；点(1,)P b 到直线10x y +-=的距离是．例2已知一条直线l 和它上方的一个点F ，点F 到l 的距离是2，一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到l 的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程．※ 动手试试练1．有一曲线,曲线上的每一点到x 轴的距离等于这点到直线10x y +-=的距离的2倍，试求曲线的方程．练2. 曲线上的任意一点到(3,0)A -,(3,0)B 两点距离的平方和为常数26,求曲线的方程．三、总结提升 ※ 学习小结1. 求曲线的方程；2. 通过曲线的方程，研究曲线的性质．※ 知识拓展圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离之比为常数e 的点的轨迹是圆锥曲线． 01e <<：椭圆； 1e =：抛物线； 1e >：双曲线．※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．方程[]2(3412)log (2)30x y x y --+-=的曲线经过点(0,3)A -，(0,4)B ，(4,0)C ，57(,)34D -中的（）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．已知(1,0)A ，(1,0)B -，动点满足2MA MB -=,则点M 的轨迹方程是（）. A ．0(11)y x =-≤≤ B ．0(1)y x =≥C ．0(1)y x =≤-D ．0(1)y x =≥ 3．曲线y =与曲线0y x +=的交点个数一定是（）．A ．0个B ．2个C ．4个D ．3个 4．若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA •=,则点P 的轨迹方程是．5．由方程111x y -+-=确定的曲线所围成的图形的面积是． 1．以O 为圆心，2为半径，上半圆弧的方程是什么？在第二象限的圆弧的方程是什么？ 2．已知点C 的坐标是(2,2)，过点C 的直线CA 与x 轴交于点A ，过点C 且与直线CA 垂直的直线CB 与y 轴交于点B ．设点M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程．§2.2.1椭圆及其标准方程(1)1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．3840，文P32~ P 34找出疑惑之处）复习1：过两点(0,1) ,(2,0)的直线方程．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以为圆心, 为半径的．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的保持不变，即笔尖等于常数．新知１：我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？当122a F F =时，其轨迹为；当122a F F <时，其轨迹为．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是．小结：应用椭圆的定义注意两点： ①分清动点和定点； ②看是否满足常数122a F F >．新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程()222210x y a b a b+=>> 其中222b a c =-若焦点在y 轴上，两个焦点坐标，则椭圆的标准方程是．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上； ⑵4,a c ==y 轴上； ⑶10,a b c +==变式：方程214x y m +=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程．※动手试试练1. 已知ABC∆的顶点B、C在椭圆2213xy+=上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC∆的周长是（）．A．B．6 C．D．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的范围．三、总结提升※学习小结1. 椭圆的定义：2. 椭圆的标准方程：※知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算※自我评价你完成本节导学案的情况为（）．A.很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．平面内一动点M到两定点1F、2F距离之和为常数2a，则点M的轨迹为（）．A．椭圆B．圆C．无轨迹D．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky+=表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）．A．(0,)+∞B．(0,2)C．(1,)+∞D．(0,1)3．如果椭圆22110036x y+=上一点P到焦点1F的距离等于6，那么点P到另一个焦点2F的距离是（）．A．4 B．14 C．12 D．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程是．5．如果点(,)M x y在运动过程中，总满足关系式10，点M的轨迹是，它的方程是．1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P-；⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a=；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．§2.2.1 椭圆及其标准方程(2)1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．4142，文P 34~ P 36找出疑惑之处）复习1：椭圆上221259x y +=一点P 到椭圆的左焦点1F 的距离为3，则P 到椭圆右焦点2F 的距离是．复习2：在椭圆的标准方程中,6a =,b =则椭圆的标准方程是．二、新课导学 ※ 学习探究问题：圆22650x y x +++=的圆心和半径分别是什么?问题：圆上的所有点到 (圆心)的距离都等于 (半径) ；反之,到点(3,0)-的距离等于2的所有点都在圆上．※ 典型例题例1在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？变式：若点M 在DP 的延长线上，且32DM DP =，则点M 的轨迹又是什么？小结：椭圆与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可得到椭圆．例2设点,A B 的坐标分别为()()5,0,5,0-，.直线,AM BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是49-，求点M 的轨迹方程．变式：点,A B 的坐标是()()1,0,1,0-，直线,AM BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹是什么？※ 动手试试练1．求到定点()2,0A 与到定直线8x =的距离之比的动点的轨迹方程．练2．一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程式，并说明它是什么曲线．三、总结提升 ※ 学习小结1. ①注意求哪个点的轨迹，设哪个点的坐标，然后找出含有点相关等式；②相关点法：寻求点M 的坐标,x y 与中间00,x y 的关系，然后消去00,x y ，得到点M 的轨迹方程．※ 知识拓展椭圆的第二定义：到定点F 与到定直线l 的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹．定点F 是椭圆的焦点；定直线l 是椭圆的准线；常数e 是椭圆的离心率．※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）. A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1．若关于,x y 的方程22sin cos 1x y αα-=所表示的曲线是椭圆，则α在（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．若ABC ∆的个顶点坐标(4,0)A -、(4,0)B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为（）．A ．221259x y +=B ．221259y x += (0)y ≠C ．221169x y +=(0)y ≠D ．221259x y +=(0)y ≠3．设定点1(0,2)F - ，2(0,2)F ，动点P 满足条件124(0)PF PF m m m+=+>，则点P 的轨迹是（）．A ．椭圆B ．线段C ．不存在D ．椭圆或线段 4．与y 轴相切且和半圆224(02)x y x +=≤≤内切的动圆圆心的轨迹方程是． 5. 设12,F F 为定点，|12F F |=6，动点M 满足12||||6MF MF +=，则动点M 的轨迹是． 1．已知三角形ABC 的一边长为6，周长为16，求顶点A 的轨迹方程． 2．点M 与定点(0,2)F 的距离和它到定直线8y =的距离的比是1:2，求点的轨迹方程式，并说明轨迹是什么图形．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质（1）1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形； 2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．4346，文P37~ P40找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y+=上一点P到左焦点的距离是2，那么它到右焦点的距离是．复习2：方程2215x ym+=表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．二、新课导学※学习探究问题1：椭圆的标准方程22221x ya b+=(0)a b>>，它有哪些几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：刻画椭圆程度．椭圆的焦距与长轴长的比ca称为离心率，记cea=，且01e<<．试试：椭圆221169y x+=的几何性质呢？图形：范围：x：y：对称性：椭圆关于轴、轴和都对称；顶点：（），（），（），（）；长轴，其长为；短轴，其长为；离心率：cea== ．反思：ba或cb的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？※典型例题例 1 求椭圆221625400x y+=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．变式：若椭圆是22981x y+=呢？小结：①先化为标准方程，找出,a b，求出c；②注意焦点所在坐标轴．例 2 点(,)M x y与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4l x=的距离的比是常数45，求点M的轨迹．小结：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数（小于1）的点的轨迹是椭圆．※动手试试练1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x轴上，6a=，13e=；⑵焦点在y轴上，3c=，35e=；⑶经过点(3,0)P-，(0,2)Q-；⑷长轴长等到于20，离心率等于35．三、总结提升※学习小结1 ．椭圆的几何性质：图形、范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率；2 ．理解椭圆的离心率．※知识拓展（数学与生活）已知水平地面上有一篮球，在斜平行光线的照射下，其阴影为一椭圆，且篮球与地面※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1．若椭圆2215x ym+=的离心率e=则m的值是（）．A．3B．3或253C D2．若椭圆经过原点，且焦点分别为1(1,0)F，2(3,0)F，则其离心率为（）．A．34B．23C．12D．143．短轴长为，离心率23e=的椭圆两焦点为12,F F，过1F作直线交椭圆于,A B两点，则2ABF∆的周长为（）．A．3B．6C．12D．244．已知点P是椭圆22154x y+=上的一点，且以点P及焦点12,F F为顶点的三角形的面积等于1，则点P的坐标是．5．某椭圆中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是．1．比较下列每组椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？⑴22936x y+=与2211612x y+=；⑵22936x y+=与221610x y+=．2．求适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴经过点(P-，Q；⑵长轴长是短轴长的3倍，且经过点(3,0)P；⑶焦距是8，离心率等于0.8．§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)2．椭圆与直线的关系．4648，文P40~ P41找出疑惑之处）复习1：椭圆2211612x y +=的焦点坐标是（）（）；长轴长、短轴长；离心率．复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？二、新课导学 ※ 学习探究问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？反思：点与椭圆的位置如何判定？※ 典型例题例 1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ，已知12BC F F ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =，试建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．变式：若图形的开口向上，则方程是什么？小结：①先化为标准方程，找出,a b ，求出c ； ②注意焦点所在坐标轴．（理）例2 已知椭圆221259x y +=，直线l ： 45400x y -+=。

第二章圆锥曲线教案曲线的交点教案

第二章圆锥曲线教案曲线的交点教案教学目标1．领会研究曲线间位置关系的方法及学会弦长的求法；2．初步学会解析法，培养学生一般解题能力，渗透分类讨论的思想；3．培养学生严谨的科学态度和积极探索的精神．教学重点与难点研究曲线与直线位置关系的解析方法为教学重点；弦长公式的推导为教学难点．教学过程一、复习并引入新课师：设直线l1和l2的方程分别是：A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0，怎样通过方程来研究l1与l2的位置关系呢？生：从直线方程求出斜率；若斜率相等，则无交点；若斜率不相等则有交点．师：好！是一个好办法．但是，有局限性吗？生：有．当直线斜率不存在时，此方法不能用．师：可以改进吗？生：可以．如一条斜率存在，一条不存在，则相交；如都不存在，则平行．师：非常好．但似乎有两个小缺点，一是方法不统一；二是当判断出直线有交点时，还要再去求交点．那交点又怎样求呢？生：……(若学生答：“可解方程组”，则老师要顺水推舟，自然引出对“充要性”的谈话．)师：现在请大家考虑一下，直线上点的坐标与直线方程之间有怎样的关系？生：直线上点的坐标是方程的解；以方程的解为坐标的点在直线上．师：那两条直线的交点与两条直线的方程之间有什么关系？师：请大家更深一步地思考：方程组有唯一解是两直线有交点的什么条件？请说明理由．生：(略．)二、新课(一)直线与曲线的交点师：求两直线交点的方法能否推广到两曲线呢？大家讨论讨论．生：(回答略．主要从“曲线方程”的定义入手．)师：非常好，大家讨论得很热烈．根据大家的讨论，我想可以把大家的想法归结为3条，1．由曲线方程定义出发解释：两曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解；2．方程组有几组实数解，两条曲线就有几个交点；方程组没有实数解，两条曲线就没有交点；3．求曲线交点的代数法(或解析法)就是求它们的方程组成的方程组的实数解．下面看看具体问题：解(略．)(此例学生做．教师巡视，发现问题及时解决．)师：此题是求直线与抛物线的交点，其中直线y=3x-2是以“斜截式”表示的．请问直线经过哪个特殊点？生：经过点(0，-2)．师：好！大家对直线方程的掌握还不错，现在我把问题引申出来．生：从刚才例1可知，直线斜率为3时有两个交点．师：反应很快嘛！但是，我们是讨论所有经过(0，-2)点的直线．生：那就把经过点(0，-2)的直线方程表示出来，联立方程组，讨论方程组的实数解．师：怎样表示过点(0，-2)的直线？生：表示为“y=kx-2”，这是斜截式．情况．(演示电脑动画)师：看过演示后，大家是否受到启发？说说自己的想法．生1：直线与抛物线的交点个数可以是一个、两个或没有(即0个)．生2：图2-13，2-15，2-17都有一个交点．但是总感觉图2-15与图2-13，2-17还有些不一样．师：怎么不一样？我们再看看在这个运动过程中，点的运动特点．(再演示一遍)师：图2-15的一个交点与图2-13，2-17究竟有什么不一样呢？生：图2-13，2-17是两个交点重合为一个，图2-15是因为直线与抛物线的对称轴重合．师：好！交点个数的问题从图上是看出来了．那刚才大家指出的方法该如何修正呢？生：把过(0，-2)的直线表示为“y=kx-2”忽略了斜率不存在的情况．应分类讨论：1°当斜率存在时，设直线为y=kx-2，联立方程组，解之．2°当斜率不存在时，直线与x轴垂直，记为x=0．师：现在就请大家动手算一算，在什么条件下，过(0，-2)的直线与有唯一解(0，0)．即此时只有一个交点．解之得：k＞2或k＜-2时，有两个交点；k=±2时，有1个交点；-2＜k＜2时，无交点．例2 已知某圆的方程是x2+y2=2，当b为何值时，直线y=x+b与圆相切，相交，相离？启发提问：师：用解析法解这题应解决什么问题？生：判定由两个方程构成的方程组解的个数．师：两直线相交，相切，相离用代数语言怎样说？生：方程组有两个不同解，有两个相同解，没有解．师：那么你打算怎样做？生：方程组由一个一次，一个二次方程构成，消元后成为一个一元二次方程，想用判别式！师：设想很好．但到底行不行，请动手．(解略．学生在解题过程中教师巡视，并及时纠正错误．)的解的个数及直线与圆的位置关系三者间建立了怎样的关系？生：(答略)(演示：电脑动画——直线与圆的位置关系)师：现在请大家把例1，例2在解法上的相同之处总结一下．生：例1，例2都是把直线方程与曲线方程联立成方程组，通过消元变成一元二次方程，再通过解方程或根的判别式来解决问题．师：这两题在结果上有什么相同与不同吗？生：相同之处：直线与抛物线，圆的交点，个数都是两个，一个，0个；不同之处：直线与抛物线交点为1个时，有可能是切点，即两个重合为一个；也有可能就只有一个交点(当直线与对称轴平行时)．(二)弦长公式的推导师：通过刚才的两个例题，大家基本掌握了求交点及交点个数的方法．现在我们来看看另一个与交点密切联系的问题——弦长问题．(从“圆的弦”引入介绍一下“曲线的弦”)师：请问，怎样求线段长？师：不求出交点是否可以求出弦长？所以(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=16，(通过比较发现后一方法简捷，然后让大家动手做②③．)在解②③时，会有以下式子出现：②(y1-y2)2=(x1-x2)2×32；③(y1-y2)2＝(x1-x2)2×k2．总结①②③，并引导学生得出结论：师：若消元时消掉x，得到的是关于y的一元二次方程，求出的是(y1-y2)2．那么弦长公式又会是什么样？师：为什么？能否证明？(证略．)三、小结通过本节课我们看到，求曲线交点的问题，交点个数(或两曲线的位置关系)问题，以及求弦长的问题，都是通过研究方程组的解来解决问题．这就是解析几何的基本指导思想．四、布置作业：2．求经过两条曲线x2+y2+3x-y=0和3x2+3y2+2x+y=0交点的直线的方程．设计思想在解析几何中，求“曲线交点”的问题，并非解析几何的重要问题．但是，有很多问题要通过“求交点”才能解决；也就是说，“求交点”是解决问题的一种工具．更重要地，“求交点”的问题中蕴含了解析几何的基本思想——通过研究方程或方程组的解的问题来解决几何问题．因此，本节课的“教学目标”和“教学重点”就定在了“研究曲线与直线位置关系的解决方法”这一点上．并且在教学过程中突出了“直线(曲线)方程——方程组——方程的解——曲线的交点”这样一个转化过程来突出解析几何的基本思想．在完成这一目标的过程中，注意了能力的培养．首先再说明的是，由于还未系统学习“圆锥曲线”，因此，在设计例题和选择曲线的过程中受到很多限制．但是，本节课的主要任务并不能因为曲线类型的限制而受到制约，所以，我们选择了在学习二次函数时见过的抛物线y=ax2+bx+c和同学们都非常熟悉的图．例1设计为求交点的题目，没有什么特别的地方，主要是让学生熟悉求交点的方法．但是在解题后把问题引申为：“过定点的直线与抛物线的交点”问题，以及例2的“平行直线系与图的交点问题”就把“求交点”的问题放在了“运动变化”的图形中．这样一来，就把“求交点”的问题提高了一个高度：一方面，再一次强调了解析几何的基本思想；另一方面，通过直线的运动变化，首先说明的是“直线与曲线位置关系”在变化，同时，“解的个数”也在变化，从而体现了“数形之间”的联系，也就是数形结合思想的体现．通过自制软件的演示增强了直观性；同时，通过演示“过定点的直线系与抛物线的交点”，还让学生发现自己在处理这一问题时的漏洞，从而需“分类讨论”．从而培养了学生的能力．至于“求弦长的公式”则是“求交点”问题的应用，主要是说明“求交点”是一种工具．为了让学生自己总结出求弦长公式，特意设计了3x2)2=(y1-y2)2；第2条，k=3，从而(y1-y2)2=(x1-x2)2×32；第3条，很自并进一步提问，“若先求出(y1-y2)2，弦长公式会是什么样？”学生很容同时，“求交点”的问题作为一种工具，还反映出解析几何中的一种技巧——设而不求，这在“弦长公式”中就是一种体现；而在以后解决有关“曲线的弦的中点轨迹问题”时，就常设出交点而不求．“曲线交点”这一课，重要在于它蕴含着解析几何的基本思想．本教案的设计力图体现这一思想，并通过学生的主动参与来体现教学过程中学生的主体作用，培养学生的能力．。

江苏省宿迁市泗洪中学高中数学第二章《圆锥曲线与方程》双曲线导学案3(无答案)苏教版选修2_1

2.3.1双曲线及其标准方程（3）班级姓名教学目标：1.掌握双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的定义。

任务1：预习课本4739P P -页，根据课本内容填空复习1：双曲线的定义是：双曲线的几何性质有哪些：复习2：双曲线的方程为221914x y -=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程．探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？任务2：认真理解双曲线的定义完成下列例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？ 1AF B ∆的周长？《双曲线及其标准方程》练习反馈1若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（）．A ．212B ．84C ．3D ．21 2．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（）．1124．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，求双曲线的方程为？5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，求k 的取值范围．6．若椭圆22214x ya+=与双曲线2212x ya-=的焦点相同，求a的值.7 ．若双曲线2214x ym-=的渐近线方程为y=，求双曲线的焦点坐标．8．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为22221x ya b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A，试求此双曲线的方程．。

高中数学第2章《曲线的交点》学案(苏教版选修1-1)

课题
曲线的交点
课型
新授
时间
09/ 9 /
课程标准
1．掌握求两条曲线交点坐标的方法；
2．进一步学习方程思想与数形结合的方法。
学习重点
求两条曲线交点坐标
一、自主学习
1.如何判断两条直线的交点有几个？
怎样求直线和的交点坐标？
若把两条直线换成两条曲线，那么它们是否一样有交点？若有交点那么如何求与的交点呢？也就是如何求曲线交点？
二、问题探究
问题1：如何研究曲线交点个数？
讨论直线与双曲线的公共点的个数。
变式训练：若直线与曲线有两个公共点，则实数
的取值范围为。
小结1：
问题2：直线与圆锥曲线两点，
（1）若，求的值；（2）若，求的值。
小结2：
变式训练：
已知离心率为的椭圆与直线相交于两点，且，求椭圆的方程。
请你根据自己所掌握的知识，作一个解释。
问：椭圆与圆的交点个数为。
2.分析求解下列问题，并作一定小结：
（1）求直线＝3和曲线＋＝25的交点坐标及截得的弦长.
（2）判断直线－＋2＝0与曲线＝的交点个数，若相交，求截得的弦长。
自学小结：
自学检测：见课本P62：练习第1、2、3题，习题第1题。
三．合作交流：
例1：已知抛物线有一内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为，一条直角边所在直线的方程为，求抛物线的方程。
小结3：
例2.已知抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线与A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC// 轴，证明：直线AC经过原点O.
小结4：
四．巩固练习：
见课本P63第2题、第7题。
第2题：解：

高中数学第二章15 两条直线的交点坐标导学案苏教版必修2

两条直线的交点坐标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标； .(1,A -，且与直线21x y +-+垂直的直线 .2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知两直线方程1111:0l A x B y C ++=，222:l A x B y +20C +=，如何判断这两条直线的位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？典型例题例1 分别判断下列直线21l l 与是否相交，若相交，求出它们的交点：（1）72:1=-y x l 0723:2=-+y x l（2）0462:1=+-y x l 08124:2=+-y x l（3）0424:1=++y x l 32:2+-=x y l变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴1:0l x y -=，2:33100l x y +-=；⑵1:30l x y -=，2:630l x y -=；⑶1:3450l x y +-=，2:68100l x y +-=.例2：直线l 经过原点，且经过另两条直线01,0832=--=++y x y x 的交点，求直线l 的方程。

变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=平行的直线方程.变式：求经过两直线2330x y --=和20x y ++=的交点且与直线310x y +-=垂直的直线方程.例3，某商品的市场需求量1y （万件），市场供求量2y （万件）与市场价格元(x 分别近似的满足下列关系： 202,7021-=+-=x y x y21y y =当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量。

（1）求平衡价格和平衡需求量；(2)若要使平衡需求量增加4万件，政府对每件商品应给与多少元补贴？※ 动手试试练1. 已知直线1l 的方程为30Ax y C ++=，直线2l的方程为2340x y -+=，若12,l l 的交点在y 轴上，求C 的值.三、总结提升：※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组11122200A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.当堂检测1. 两直线12:210,:220l x y l x y ++=-++=的交点坐标为2. 两条直线320x y n ++=和2310x y -+=的位置关系是（）A ．平行B ．相交且垂直C ．相交但不垂直D ．与n 的值有关3.光线从(2,3)M -射到x 轴上的一点(1,0)P 后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程 .4. 直线54210x y m +--=与直线230x y m +-=的交点在第四象限，求m 的取值范围.。

2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.62.6.3曲线的交点学案苏教版选修2_1

2.6.3 曲线的交点学习目标：1.掌握求两条曲线的交点的方法，会判断直线与圆锥曲线公共点的个数．(重点)2.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系，掌握求弦长、弦中点的有关问题．(难点)3.直线与圆锥曲线公共点个数的讨论．(易错点)[自主预习·探新知]教材整理两条曲线的交点与相交弦长阅读教材P 65的部分，完成下列问题． 1．两条曲线的交点对于曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和曲线C 2：f 2(x ，y )＝0， (1)P 0(x 0，y 0)是C 1与C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0，f 2(x 0，y 0)＝0.(2)求两条曲线的交点坐标，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．2．弦长公式设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，l 与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长公式为AB 3．代点法设直线l 与圆锥曲线C ：f (x ，y )＝0交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则可将A ，B 两点坐标代入方程f (x ，y )＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧f (x 1，y 1)＝0，f (x 2，y 2)＝0，两式作差，变形，即可得到弦AB 的斜率与中点坐标的关系，这种研究问题的方法称为代点法，也称点差法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过椭圆上一点P 的直线与该椭圆必有两个公共点．( )(2)过双曲线上一点，与双曲线只有一个公共点的直线只有一条．( ) (3)与抛物线只有一个公共点的直线必与抛物线相切．( )(4)当直线与圆锥曲线相交时，若交点坐标方便求出，也可用两点间距离公式求弦长．( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2＝________. [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0.由题意得Δ＝64m 2－12(1＋4m 2)＝0，解得m 2＝34.[答案] 343．曲线x 2＋2xy ＋y 2－2＝0与x 轴的交点坐标为______．[解析] 在曲线方程中，令y ＝0，得x 2－2＝0，解得x ＝±2，则曲线与x 轴的交点坐标为(±2，0)．[答案] (±2，0)4．直线y ＝x ＋1与曲线x 2＝2y 交于A ，B 两点，则AB ＝________.【导学号：71392135】[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 2＝2y ，得x 2－2x －2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2，由弦长公式得AB ＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2·22－4×(－2) ＝2 6. [答案] 2 6[合作探究·攻重难](1)l 与C 无公共点； (2)l 与C 有唯一公共点； (3)l 与C 有两个不同的公共点.【导学号：71392136】[精彩点拨] 直线与圆锥曲线公共点的个数就是直线与圆锥曲线方程所组成的方程组解的个数，从而问题可转化为由方程组的解的个数来确定参数k 的取值．[自主解答] 将直线与双曲线方程联立消去y ，得(1－4k 2)x 2－16kx －20＝0. ① 当1－4k 2≠0时，有Δ＝(－16k )2－4(1－4k 2)·(－20)＝16(5－4k 2)．(1)当1－4k 2≠0且Δ<0，即k <－52或k >52时，l 与C 无公共点． (2)当1－4k 2＝0，即k ＝±12时，显然方程①只有一解．当1－4k 2≠0，Δ＝0，即k ＝±52时，方程①只有一解．故当k ＝±12或k ＝±52时，l 与C 有唯一公共点．(3)当1－4k 2≠0，且Δ>0时，即－52<k <52，且k ≠±12时，方程有两解，l 与C 有两个公共点．1．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？图266[解] (1)当k ＝0时，直线l 与x 轴平行，易知与抛物线只有一个交点．(2)当k ≠0时，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋2)＋1，y 2＝4x ，消去x ，得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0， Δ＝16－4k ×4(2k ＋1)．①当Δ＝0，即k ＝－1或12时，直线l 与抛物线相切，只有一个公共点；②当Δ>0，即－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线相交，有两个公共点；③当Δ<0，即k <－1或k >12时，直线l 与抛物线相离，没有公共点．综上，当k ＝－1或12或0时，直线l 与抛物线只有一个公共点；当－1<k <12且k ≠0时，直线l 与抛物线有两个公共点；当k <－1或k >12时，直线l 与抛物线没有公共点．已知斜率为2的直线经过椭圆5＋4＝1的右焦点F 1，与椭圆相交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[精彩点拨] 先求出直线与椭圆的两个交点，再利用两点间的距离公式，也可以从公式上考查A ，B 坐标间的联系，进行整体运算．[自主解答] ∵直线l 过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 1(1，0)，又直线的斜率为2.∴直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0. 法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. 则AB ＝(x A －x B )2＋(y A －y B )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋⎝⎛⎭⎪⎫－2－432＝1259＝553. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 的坐标为方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1的公共解．对方程组消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1＋x 2＝53，x 1x 2＝0，∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2(1＋k 2AB )＝(1＋k 2AB )[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝()1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 法三：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1，消去y ，得3x 2－5x ＝0，则x 1，x 2是方程3x 2－5x ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝53.由圆锥曲线的统一定义，得AF 1＝15×(5－x 1)，F 1B ＝15×(5－x 2)，则AB ＝AF 1＋F 1B ＝15×[10－(x 1＋x 2)]＝15×253＝553.2．如图267，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．图267[解] 由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.由c ＝7知F 1(－7，0)，F 2(7，0)，又直线l 的斜率k ＝tan 45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0，x 216＋y 29＝1.法一：消去y ，整理得 25x 2＋327x －32＝0，∴x 1＋x 2＝－32725，x 1x 2＝－3225，∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－327252＋4×3225＝14425.又点F 2到直线l 的距离d ＝|7－0＋7|2＝14，∴S △ABF 2＝12AB ·d ＝12×14425×14＝721425.法二：消去x ，整理得 25y 2－187y －81＝0， ∴y 1＋y 2＝18725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫187252＋4×8125＝72225， ∴S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×27×72225＝721425.已知椭圆a 2＋b 2＝1(a ＞b ＞0)，过点A (－a,0)，B (0，b )的直线倾斜角为π6，焦距为2 2.(1)求椭圆的方程；(2)已知直线过D (－1,0)与椭圆交于E ，F 两点，若ED →＝2DF →，求直线EF 的方程； (3)是否存在实数k ，直线y ＝kx ＋2交椭圆于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆过D (－1,0)？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.[精彩点拨] (1)根据直线的倾斜角求得a ，b 的关系式，又2c ＝22，结合a 2＝b 2＋c2可得a 2和b 2，即得方程；(2)设出直线方程，利用ED →＝2DF →及韦达定理可求EF 的方程；(3)假设存在，利用PD ⊥QD 建立方程推导．[自主解答] (1)由b a ＝33，a 2－b 2＝c 2＝2，得a ＝3，b ＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设EF ：x ＝my －1(m ≠0)，代入x 23＋y 2＝1，得(m 2＋3)y 2－2my －2＝0，设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，由ED →＝2DF →，得y 1＝－2y 2. 由y 1＋y 2＝－y 2＝2m m 2＋3， y 1y 2＝－2y 22＝－2m 2＋3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋32＝1m 2＋3，∴m ＝1或m ＝－1.直线EF 的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.(3)将y ＝kx ＋2代入x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋12kx ＋9＝0.(*)记P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 3k 2＋1，x 1x 2＝93k 2＋1，PQ 为直径的圆过D (－1,0)，则PD ⊥QD ，即(x 1＋1，y 1)·(x 2＋1，y 2)＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，又y 1＝kx 1＋2，y 2＝kx 2＋2，得(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝－12k ＋143k 2＋1＝0，解得k ＝76，此时(*)方程Δ＞0，∴存在k ＝76满足题设条件．3．设双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，若PA →＝512PB →，求a 的值.[解] (1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a－y 2＝1(a >0)中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a2a＝1a 2＋1，所以e >62，且e ≠ 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (0,1)，因为PA →＝512PB →，所以(x 1，y 1－1)＝512(x 2，y 2－1)．由此得x 1＝512x 2.由于x 1，x 2是方程(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0的两根，且1－a 2≠0，所以1712x 2＝－2a21－a2，512x 22＝－2a21－a2，消去x 2，得－2a 21－a 2＝28960.由a >0，解得a ＝1713.[解决直线与圆锥曲线的相交弦问题要注意什么？[提示] (1)“设而不求”的方法，若直线l 与圆锥曲线C 有两个交点A 和B ，一般地，首先设出交点坐标A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中有四个参数x 1，y 1，x 2，y 2，它们只是过渡性符号，通常是不需要求出的，但有利于用根与系数关系等解决问题，是直线与圆锥曲线位置关系中常用的方法．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2·|y 1－y 2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．已知椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线方程．[精彩点拨] 设出直线的斜率，联立直线与椭圆方程，消去y ，得关于x 的方程，用根与系数的关系和弦中点坐标，得斜率的方程，求解即可，也可用“点差法”求解．[自主解答] 法一：由题意，弦所在直线存在斜率，设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0. 又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上面的方程的两个根，所以x 1＋x 2＝8(2k 2－k )4k 2＋1，因为P 为弦AB 的中点，所以2＝x 1＋x 22＝4(2k 2－k )4k 2＋1，解得k ＝－12，所以所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.法二：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为P 为弦AB 的中点，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，又因为A ，B 在椭圆上，所以x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16，两式相减，得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0，即(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－(x 1＋x 2)4(y 1＋y 2)＝－12，即k AB ＝－12. 所以所求直线的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0. [再练一题]4．过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长AB .[解] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. ① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2).因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2. ②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[k (x 1－x 2)]2＝1＋k2(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋14·243＝303. [当堂达标·固双基]1．过点(0,1)且与抛物线y 2＝x 只有一个公共点的直线有________条．[解析] 点(0,1)在抛物线y 2＝x 的外部，过点(0,1)与抛物线相切的直线有两条．过点(0,1)平行于对称轴的直线有一条，因此，只有一个公共点的直线共有3条．[答案] 32．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a 等于________.【导学号：71392139】[解析] 由题意知a ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x ＋1＝0，该方程的判别式Δ＝(－1)2－4×a ×1＝1－4a ，令Δ＝0，即1－4a ＝0，解得a ＝14.[答案] 143．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为________．[解析] 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交，故有2个交点．[答案] 211 4．若直线y ＝2x ＋b 被曲线y 2＝4x 截得的弦AB 的长为35，则实数b 等于________．[解析] 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋b ，y 2＝4x ，得4x 2＋(4b －4)x ＋b 2＝0，(*) 设两个交点的坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝1－b ，x 1x 2＝b 24. 故AB ＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋22·(1－b )2－4·b 24 ＝3 5.化简得1－2b ＝3，于是b ＝－4，当b ＝－4时，方程(*)的判别式为Δ＝(4b －4)2－16b 2＝－32b ＋16＝－32×(－4)＋16＝144>0.故直线与曲线有两个交点，于是所求的b 的值为－4.[答案] －45．对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系. 【导学号：71392140】[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y 得x 24＋(x ＋m )2＝1，整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0，Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)．当－5<m <5时，Δ>0，直线与椭圆相交；当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0，直线与椭圆相切；当m <－5或m >5时，Δ<0，直线与椭圆相离．。

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点学案苏教版选修2-1(202

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2.6。

2 求曲线的方程 2。

6。

3 曲线的交点学习目标1。

了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程。

2。

掌握求两条曲线交点的方法。

3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形,选取的坐标系唯一吗？答案不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理（1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法．（2)解析几何研究的主要问题:①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程．②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质．知识点二求曲线的方程的步骤1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M的坐标为(x，y)．3．列式：列出符合条件p（M)的方程f（x，y)＝0.4．化简:化方程f（x，y)＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．知识点三曲线的交点已知曲线C1：f1（x,y）＝0和C2：f2（x，y)＝0。

江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第13课时圆锥曲线的共同性质导学案(无答案)苏教版选修1_1

第13课时圆锥曲线的共同性质【学习目标】了解圆锥曲线统一定义，掌握根据标准方程求圆锥曲线准线方程的方法．【问题情境】问题1：我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P 的轨迹又是什么曲线呢？问题2：在推导椭圆的标准方程时，我们曾得到这样一个方程：a 2－cx ＝a (x －c )2＋y 2，将其变形为：(x －c )2＋y2a2c－x ＝ c a，你能解释这个方程的几何意义吗？【合作探究】已知点P （x ，y ）到定点F （c ，0）的距离与到定直线l ：x ＝a 2c 的距离之比是常数ca（a >c >0），求点P 的轨迹．可以发现圆锥曲线可以统一定义为：平面内到一个定点F 和到一条定直线l （F 不在l 上）的距离的比等于常数e 的点的轨迹．当0＜e ＜1时，它表示椭圆；当e ＞1时，它表示双曲线；当e ＝1时，它表示抛物线．其中e 是圆锥曲线的离心率，定点F 是圆锥曲线的焦点，定直线l 是圆锥曲线的准线．思考1：（1）椭圆和双曲线有几条准线？（2）准线方程分别是什么？思考2：椭圆 y 2a 2＋x 2b 2 = 1 （a ＞b ＞0）和双曲线y 2a 2－x 2b2＝1 （a ＞0，b ＞0）的准线方程分别是什么？【展示点拨】例1．求下列曲线的准线方程：（1）221259x y +=；（2） 22416x y += ；（3）32822=-y x ；（4）422-=-y x ；（5）216y x = ；（6）23x y =-．例2．已知椭圆上一点P 到左焦点的距离为4，求P 点到左准线的距离．变式1 如何求求点P 到右准线的距离．例3．已知双曲线1366422=-y x 上一点P 到左焦点的距离为14，求P 点到右准线的距离．例4．已知点(1,1)A -，点(1,0)B ，点P 在椭圆22143x y +=上运动，求2PA PB +的最小值.【学以致用】 1．已知动点P 到直线40x +=的距离比到定点(2,0)M 的距离大2，则动点P 的轨迹方程为．2．双曲线的渐近线为023=±y x ，两条准线间的距离为131316，双曲线标准方程___ ____．3．已知点()03，A ，()02，F ，点P 在双曲线1322=-y x 上，PF PA 21+的最小值为______，此时点P 的坐标为____________．4．在椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则椭圆的离心率为．已知双曲线 13622=-x y 上一点P 到一个焦点的距离为4，求P 点到此焦点相应准线的距离． 5．求下列曲线的准线方程：（1）224936x y += ；（2）22981x y -=；（3）22941x y +=；（4）22194x y -=.第13课时圆锥曲线的共同性质【基础训练】1．椭圆221259x y +=的准线方程为． 2．已知椭圆192522=+y x 上一点P 到左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆的右准线的距离是．3．双曲线221x y m-=上的点到左焦点的距离与到左准线的距离的比是3，则m 等于．4．已知椭圆的焦点到相应准线的距离为长半轴长，则椭圆的离心率是． 5．双曲线C 为等轴双曲线，它的一条准线方程为4x =-，则双曲线的方程为．6．若抛物线的顶点在原点，准线与椭圆18422=+y x 的上准线重合，则抛物线的方程为．【思考应用】7．根据下列条件求圆锥曲线的标准方程：（1）准线方程是4y =±，离心率为12；（2）准线方程是163x =±．8．.已知点A （1，2）在椭圆2211612x y +=内，点P 在椭圆上，F 的坐标为（2，0），求使2PA PF +取最小值时P 点的坐标．9．已知抛物线214y x =上的一点P 到顶点和准线的距离相等，求P 点坐标．10．点P 到定点（0，10）与到定直线518=y 的距离之比是35，则求点P 的轨迹方程．【拓展提升】11．已知椭圆22110036x y +=上一点P ，到其左．右焦点的距离之比为13，求P 到两条准线的距离及P 点坐标．12．椭圆14922=+y x 的焦点为21F F 、．点P 为其上的动点，当21PF F ∠ 为钝角时．点P 横坐标的取值范围为多少？第13课时圆锥曲线的共同性质作业12x <。

江苏省宿迁市高中数学第二章圆锥曲线与方程第16课时曲线与方程(2)导学案(无答案)苏教版选修2-1

第15课时曲线与方程（2）【学习目标】1.通过具体实例的研究，掌握求曲线方程的一般步骤，会求简单的曲线方程；2.掌握求动点的轨迹方程（曲线的方程）的三种常用方法．【问题情境】1.回忆求椭圆，双曲线，抛物线方程的过程．2．求曲线的方程的一般步骤是什么？【合作探究】求曲线方程的一般步骤：步骤简记为：建坐标系→设点→列式→化简→证明．【展示点拨】例1．长为2a(a是正常数)的线段AB的两端点,A B分别在相互垂直的两条直线上滑动，求线段AB中点M的轨迹．例2．求平面内到两定点,A B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹方程．变式：求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．例3．过点(2,1)A 的直线l 与椭圆2212x y +=相交，求l 被截得的弦的中点的轨迹方程.例4．已知⊙Ｏ：422=+y x ，点A （4，0），B 为⊙O 上任意一点，若2=,求动点P 的轨迹方程【学以致用】1．△ABC 一边的两个端点是B(0，6)和C(0，-6)，另两边斜率的积是49，求顶点A 的轨迹．2．两定点的距离为6，点M 到这两个定点的距离的平方和为26，求点M 的轨迹方程．3．已知点M 与x 轴的距离和点M 与点F (0，4)的距离相等，求点M 的轨迹方程.4．中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x ＋y －1=0相交于两点M ．N ，且OM ⊥ON ．求椭圆的方程．5．过定点()0,3-M 作直线与椭圆13422=+y x 相交于Ａ．Ｂ两点，Ｏ为原点，求AOB ∆面积的最大值，并求出此时的直线方程．第15课时曲线与方程（2）【基础训练】1、已知ABC ∆中，B(-3,0),C(3,0),周长为16，则顶点A 的轨迹方程为．2．将圆922=+y x 上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程．3．已知点M 与椭圆112132222=+y x 的左焦点和右焦点的距离之比为2：3，则点M 的轨迹方程．4．直线032=+-y x 关于点P （1，1）对称的直线方程是．5．动点P （x ，y ）到定点A （3，0）的距离比它到定直线x= -5的距离少2．则动点P 的轨迹方程为．6．（2，0）是⊙Ｏ：1622=+y x 内的一点，经过点A 作⊙O 的弦BC,则线段BC 的中点的轨迹方程是．【思考应用】 7．设P 为双曲线1422=-y x 上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，求点M 的轨迹方程．8．两条直线ax+y+1=0和x-ay-1=0(a≠±1)的交点的轨迹方程是9．若一直线l 被直线064:1=++y x l 和0653:2=--y x l 截得的线段中点为（1，-2），求直线l 的方程．10．等腰直角三角形ABC 中，斜边BC 长为24，一个椭圆以C 为其中一个焦点，另一个焦点在线段AB 上，且椭圆经过点A ，B ．求该椭圆方程．【拓展提升】11．已知一条长为6的线段的两端点A,B 分别在x 轴．y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ：MB=1：2，求动点M 的轨迹方程．12．已知直角坐标平面上点Q (2，0) 和圆O : 122=+y x ，动点M 到圆O 的切线长与|MQ |的比等于常数 ()0>λλ，求动点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？。

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第16课时曲线的交点
【学习目标】
1、会求两条曲线的交点；
2、会判断直线与圆锥曲线的位置关系；
3、能解决有关直线与圆锥曲线的综合问题.
【问题情境】
问题：探究点P(X o ,y °)是曲线C i : f i (x, y) 0和曲线f 2(x, y) 【合作探究】 1.判定下列各组曲线是否有公共点，若有，求出公共点的坐标:
2x 5y 5 0, y 10
交点在曲线 y 2 1上则
5、已知直线 y x m 与曲线
2有两个公共点，求 m 的取值范围。

【展示点拨】
反射光线过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的
Q 点，试确定点例2在长、宽分别为18m ,10m 的矩形地块内，欲开凿一花边水池，池边由两个椭圆组成，这两个椭圆的对称轴是矩形的对称轴且和矩形的边相切于长轴顶点。

试确定两个椭圆的交点的位置。

x 2
2,y x 6;(3) y x 4,x 2 y 2 1;(4) 2 x ,y 1. 2、曲线 x 2 1与x 轴的交点是与y 轴的交点是 3、曲线 4y 2 52与曲线 37的交点个数是 0的交点的充要条件。

条直线2x y
例1、已知探照灯的轴截面是抛物线
y 2 x ,平行于轴的光线照射到抛物线上的点
P(1, 1)， Q 的坐标。

例3已知直线I : y=x+m, m€ R。

(I )若以点M( 2,0 )为圆心的圆与直线I相切与点P,且点P在y轴上，求该圆的方程;
(II )若直线I关于x轴对称的直线为I，问直线I与抛物线C: x24y是否相切？说明
理由。

例4、已知椭圆C :
(1)请具体给出k,b的一组值，使直线I : y kx b和椭圆相交;
(2)若k b 1试确定直线I和椭圆C的位置关系。

【学以致用】
1、“直线与抛物线有唯一公共点”是“直线与抛物线相切”的 ___________________________ 条件
2、若直线mx ny 3 0与圆x2 y2 3没有公共点，贝U m n满足的关系式为___________________________
3、直线y x b与抛物线x 2y相交于A B两点，O是抛物线的顶点，若OA OB ,
则b的值为_________ •_
4•若曲线G : x2 y2 2x 0与曲线C2:y(y mx m) 0有四个不同的交点，求实数m 的取值范围。

5、.若椭圆ax 2 by 2 1与直线x y 1的交点为A,B ,点M 为AB 的中点，直线 OM(C 为原
第16课时曲线的交点
【基础训练】
2 2
1.若直线y = kx + 1与焦点在x 轴上的椭圆X + - = 1总有公共点，贝U m 的取值范围是
5 m
2.已知直线I ： y = x + b 与曲线C: y = yj 1 — x 2有两个公共点,则b 的取值范围为 ________________
2
x 2
3•过点M(3,— 1)且被点M 平分的双曲线-—y 2= 1的弦所在直线方程为 __________________________ .
4. _____________________________________________________ 抛物线y 2 = 12x 截直线y = 2x + 1所得的弦长为 ____________________________________________________ .
2 2 2
5•椭圆审+ y = 1和双曲线x — y 2= 1的公共焦点为
R 、F a , P 是两曲线的一个交点，那么 6 2 3
COS /F 1PF 2 的值是 __________ .
2
6 .已知抛物线 y = — x 与直线 y = k(x + 1)相交于 A 、B 两点，则△ AO B 的形状是
点)的斜率为，又 OA
2
OB ，求a,b 的值
【思考应用】
7、当a,b 变化时，直线h：(2a b)x (a b)y (a b) 0与直线l2: m2x 2y n 0都
过同一个定点，问：点(m, n)应该在什么样的曲线上？
8、直线l : y kx 1与双曲线C ：2x2 y21的右支交于不同的两点A B,求实数k的取值范围.
9.若抛物线y =—x2-2x + m及直线y = 2x相交于不同的两点A、B.
(1)求m的取值范围；(2)求ABo
2 2
10、已知椭圆x6+ = = 1，过点P(2,i)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.
【拓展提升】
11.若直线y = x + b与曲线y = 3 —,4x —x2有公共点，求b的取值范围.
12.已知抛物线C:y = 2x2,直线y= kx + 2交C于A, B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交抛物线C于点N.
(1)证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
(2)是否存在实数k使NA・NB= 0?若存在，求k的值；若不存在，说明理由.。