道路工程制图第九章 标高投影

本章内容提要
标高投影概述 直线和平面的标高投影 曲面的标高投影 标高投影在土建工程中的应用
制作：阮志刚
标高投影概述
土木工程与地形有着紧密的联系，在设计和 施工中，常常需要通过绘制地形图以便在图纸上 解决有关的工程问题。由于地面的形状往往比较 复杂，长度方向尺寸和高度方向尺寸相差很大， 用多面正投影法表示，作图困难，且不易表达清 楚，因此，在生产实践中人们对正投影理论进行 了改造，在水平投影图上加注形体上特征点、线、 面的高程，以高程数字取代立面图的作用，从而 创造出一种更适宜表达地形面的投影方法，即标 高投影。
当两点间的高差为1个单位时它的水平距离称
为平距。
平距

水平距离 高差

cot
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坡度与平距的关系
B
Aa
H
坡度的概念
i=I/L=tga
即：i 值越大，直线越陡。
i I
1单位 I
B
坡度 与 平距
的关系：
l=1/i
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Aa
H
平距的概念
l=L/I=ctga
即：l 值越大，直线越缓。
0 1 2 3 4 5m k2
例7 已知直管线两端的标高分别为21.5和23.5，求管线AB与 地面的交点。
k2
k3
k4
k1
1
a21.5 k1
23
k2
22
21
20
1
k3
24 23
k4
b23.5
22
21
20
制作：阮志刚
例8 图为带有斜坡道的一座五边形平台的标高投影。在斜山坡 地形中，带斜坡道平台的顶面为水平面，高程为31m。平台的四 周边坡和斜坡道的两侧边坡中，填方坡度为2:3，挖方坡度为1:1。 求作各边坡坡面之间的交线和它们与地形面的交线。
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地
形
图
的
特
征
1．由于地形面是不规则曲面，所以地形等高线是不规 则曲线；
2．地形面是有界的，故地形等高线均为闭合曲线，如 在本图幅内不闭合，则通过其它图幅闭合。
3．地形等高线除遇到特殊地形外一般不会相交。 4．等高线的疏密反映地形的陡缓，即等高线愈密地势 愈陡峻，反之地势平坦。
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计。
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直线和平面的标高投影
直线和平面是工程制图中最常用的两种基本 几何元素，他们的标高投影也是我们学习的主 要内容。
在标高投影中，直线的位置是由直线上的两 个点或直线上一点及该直线的方向确定。平面 的表示则有几何元素法和迹线法等表示方法， 这些方法在标高投影中仍然适用，只是转换为 用标高投影来表达。
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直 线 的 标 高 投 影
直线的表示法有两种： （1）直线的水平投影并加注直线上两点的高程
表示。 （2）直线上一个点的标高投影并加注直线的坡
度和方向表示。
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直 线 的 坡 度 和 平 距
直线上任意两点的高差与其水平距离之比称为
该直线的坡度。
坡度

高差 水平距离

tan
圆
锥
面
正圆锥面的等高线都是同心圆，当高差相等时，等高 线问的水平距离相等。当锥面正立时，等高线越靠近圆 心，其标高数字越大；当锥面倒立时，等高线越靠近圆 心，其标高数字越小。圆锥面示坡线的方向应指向锥顶。 在绘制圆锥面的等高线时需要注意以下几点：
（1）必须注明锥顶高程，否则无法区分圆锥与圆台；
（2）等高线在遇到标高数字时必须断开；
27 28 29 30 31 32 33 34 35
31
26 27 28 29 30
0
5
29
30
31 32 33
34
35
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平 面 与 地 形 面 的 交 线
求平面与地形面的交线，即求平面上与地形面 上标高相同的等高线的交点，然后用平滑的曲线顺 次连撞起来即得交线。
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例6 求图中地面与坡度为2/3的坡面的交线。
36 35.5
解题步骤
36
a36 c36
me
35 35 36A
35
d35n
i=2/3
制作：阮志刚
例4 已知平台顶面标高为3及各坡面的坡度，求各坡面与地面及 坡面间的交线。
平距3=3 L1=3×3=9 平距2=3/2=1.5 L2=1.5×3=4.5
平距1=2/3 L3=2/3×3=2
分析
1、 与地面的交线即为：标高为0的等 高线。 2、求出各坡面与地面的交线后，各交 线的交点即为坡面间交线上的点。
等高线表示法 坡度比例尺表示法 平面上的一条等高线和平面的坡度表示 平面上的一条非等高线和坡度与倾向表示
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等
高
线
表
示
法
等高线表示法实质上是两平行直线表示平面， 在平面中采用高差相等，标高为整数的一系列 等高线来表示平面，并把基准面H的等高线作 为零标高的等高线，平面上的等高线是彼此平 行的直线，当高差相同时，等高线间距相等。
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例3 求图中P、Q两平面的交线。
5
要点 求出等高 线之间的距离: L= l *DH
l=1/i
分析
1、 两平面的交线为两平面上同
等高如何线交点的连线。
求2标、高P为平2面已知一条等高线，再
的求另一等条等高线即可求出交线。
高线？
i
解题步骤
1、延长P平面上等高线5，与
Q平面上等高线5相交，得交线
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坡 度 比 例 尺 表 示 法 法
坡度比例尺表示法就其实质而言就是最大坡 度线表示法，它是用一条等高线和坡度线来表 达平面。
已知平面的等高线组，可以利用等高线与坡 度比例尺的相互垂直的关系，来确定平面的方 向和位置。
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平面上的一条等高线和平面的坡度表示
知道平面上的一条等高线，就可定出坡度线 的方向，由于平面的坡度已知，该平面的方向 和位置就确定了。如果作平面上的等高线，可 利用坡度求得等高线的平距，然后作已知等高 线的垂线，在垂线上按图中所给比例尺截取平 距，再过各分点作巳知等高线的平行线，即可 作出平面上一系列等高线的标高投影。
EC
35
35
34 D
34
34
b35
34
B
33
33
k1 32
33 33
32
32
31
31
31
30
1、求出图形范围内坡 面的等高线。
2、求出地面与坡面同 等高线的交点。
3、用内插法求出标高 为35.5的等高线，并求 出交点。
4、用断面法求出交线 的最高点。
5、平滑连接各交点， 得出坡面范围。（k1、
k2可用延长等高线求得）
在实际工作中，有时遇到直线两端点的标 高并非整数，需要在直线的投影上标出各整 数标高点的位置。解决这类问题，可利用定 比分割原理作图。
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平 面 的 标 高 投 影
等 高 线 的 定 义 与 性 质
标高投影中，预定高度的水平面与所表示表面（平面、 曲面、地形面）的截交线称为等高线。
在实际应用中常取整数标高的等高线，它们的高差一般 取整数，如1m、5m等，并且把平面与基准面的交线，作 为高程为零的等高线。
2
a1
c2
坡度线
012 34 5
的整数标高点。
2、分别连接相同整数 标高点，得等高线。
倾角
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两 平 面 的 相 对 位 置
两平面在空间的相对位置可分为平行与相交 两种情况。
如果两平面平行，则它们的坡度比例尺和等 高线互相平行、平距相等、标高数字的增减方 向一致。
标高投影中求两平面的交线，是利用辅助平 面法在相交两平面上求得两共有点，其连线即 为两平面的交线。
（3）标高字头朝向高处以区分正圆锥与倒圆锥；
（4）等高线的疏密反映了坡度的大小。
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同
坡
曲
面
一个正圆锥沿一条空间曲导线运动且轴线方向保持不 变，其包络曲面被称作同坡曲面，即各处坡度皆相等的 曲面。同坡曲面具有以下特征：
1）运动的正圆锥在任何位置都和同坡曲面相切，切线 即为曲面在该处的最大坡度线，故曲面上各处坡度均等 于运动正圆锥的坡度；
平面上的等高线是一组互相平行的直线，当相邻等高线 的高差相等时，其水平间距也相等，这是平面上的等高线 特性。若相邻等高线的高差为1m，它们的水平间距就是平 距。
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坡
度
线
的
定
义
平面上的最大坡度线既平面上对某个投影面倾 角最大的直线。平面的坡度线和平面上的水平线 垂直，根据直角投影定理，它们的水平投影应互 相垂直。坡度线的坡度就是该平面的坡度。
地
形
断
面
图
用铅垂面剖切地形面，剖切平曲与地形面的截交线就 是地形断面，并画上相应的材料图例，称为地形断面图。
制作：阮志刚
标高投影在工程中的应用
求解构造物表面与地面的交线是土建工程实践 中经常遇到的问题，如估算土石方量时首先要知道 交线。由于建筑物的表面可能是平面或曲面，地形 面也可能是水平地面或是不规则地面，因此，它们 的交线性质也不一样，但是求解交线的基本方法仍 然足采用水平辅助平面来求两个面的共有点，如果 交线是直线，只需求出两个共有点并连以直线；如 果交线是曲线，则应求出一系列共有点，然后依次 光滑连接，即得交线。
2
上一点a5。
2、求出P平面上的另一等高线，
并求出其与Q平面上同等高线
的交点。
3、连接a5、b5，得两平面的
交线。
制作：阮志刚
坡面交线、坡脚线或开挖线
在工程中，把建筑物相邻两坡面的交线称为 坡面交线，坡面与地面的交线称为坡脚线（填方） 或开挖线（挖方）。
在工程中，坡面倾斜情况可用示坡线表示。示 坡线由长短相间的细实线构成，它与等高线垂直， 用来表示坡面，短画画在高的一侧。
制作：阮志刚
例2 已知A、 B 、 C三点的标高投影，求平面ABC的平距和倾 角。
6 5 4
平行于a1b6， 如何标确高为1的 6 定间基距线？。 5
4
3
3
2
2
分析
目的1 相邻等高线之间 的距离为平距，最大坡
目的2 度线的倾角为平面倾角。
1
b6
5
5
解题步骤
4
4
1、连接a1、b6、c2，
3
3
任取两边，求出各边
2）两个相切曲面与同一水平面的交线必然相切，即同 坡曲面与运动正圆锥的同高程等高线必然相切。
工程上常用到同坡曲面，道路在弯道处，无论路面有 无纵坡，其边坡均为同坡曲面。
制作：阮志刚
地
形
图
地形面是非规则曲面，假想用一组高差相等的水平面截 割地面，截交线便是一组不同高程的等高线。画出地面 等高线的水平投影并标注其高程，即得地形面的标高投 影，地形面的标高投影也称地形图。
解题步骤
1、求各边对应的标高为0的等高线。
2、求各坡面间的交线。
3
要点 求出等高线之间的距离: L= l *DH l=1/i
例5 一斜坡道与主干道相连，设地面标高为零，主干道路面标 高为5，斜坡道路面的坡度及各坡面的坡度如图所示，求它们的 填筑范围及各坡面的交线。
L1=l×5 =1/i×5 =1/(1/5) ×5 =5×5=25
L2=1/(2/3) ×5 =3/2×5=7.5
L3 =1×5=5
+5
i=1
i=1/5
i=1
0 制作：阮志刚
i=2/3 0
i=2/3 0
曲面的标高投影
在标高投影中，曲面也是用一系列等 高线来表示，即假想用水平面与曲面相截， 画出截交线的标高投影。工程上常见的曲 面有锥面、同坡曲面和地形面等。
制作：阮志刚
制作：阮志刚
平面上的一条非等高线和坡度与倾向表示
知道平面过一条直线可以作无数个平面，但
如果平面的坡度给定后，又指出了平面向某一
侧倾斜，并要包含直线，则此平面的位置就可
以确定。
虚线只表明该平面向直线 的某一侧倾斜，井不代表平面 的坡度线方向，坡度线的准确 方向需作出平面上的等高线后 才能确定 。
制作：阮志刚
标 高 投 影 的 相 关 概 念
标高投影 指在物体的水平投影上加注某些特征面、线 及控制点的高程数值和比例来表示空间物体 的方法称为标高投影法。
基准面 在标高投影中，水平投影面H被称为基准面。
标高
标高就是空间点到基准面H的距离。一般规
定：H面的标高为零，H面上方的点标高为正
值；下方的点标高为负值，标高的单位以m
例题1 求AB直线的坡度和平距，并求C点的标高。
a20 cc15
坡度 i=I/L =(20-10)/30 =1/3
0
5
b10 平距 l=L/I=3
C点标高=15×1/3+10 =5+10
10 15 20m
制作：阮志刚
=15
直线的实长及整数标高点
在标高投影中求直线的实长，仍然采用正 投影中的直角三角形法。以直线的标高投影 为一条直角边，另一条直角边为直线两端点 的高差，则斜边为实长，高差所对内角为直 线对基准面的倾角。
制作ห้องสมุดไป่ตู้阮志刚
坡
度
比
例
尺
工程上常将坡度线的投影附以整数标高，并 画成一粗一细的双线，称为平面的坡度比例尺。 如P平面的坡度比例尺用字母Pi表示。
制作：阮志刚
平
面
的
表
示
方
法
平面有几何元素法、最大坡度线法和迹线法 等表示方法，这些方法在标高投影中仍然适用， 只是转换为用标高投影来表达。如由三点表示 的平面，在标高投影中则为由三点的标高投影 来表示。在标高投影中，平面常用如下方法表 示。