线性代数之二次曲面

8.4 空间中的曲面与曲线
曲面(曲线)方程: 1. 曲面(曲线)上的任一点的坐标都满足该 方程. 2. 坐标满足方程的点都在该曲面(曲线)上.
这一节我们主要研究： 1. 球面 2. 柱面 3. 旋转曲面
一、空间曲线的一般方程 4.空间曲线 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在平面上的投影
2
3. 旋转曲面
旋转曲面：平面曲线C 绕该平面上一条定直线L
旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面
母 线：曲线C
旋 转 轴：定直线L
旋转轴: z 轴 z 8 ( y 4)3 , 2 y 6 母 线: x 0
例
在yoz平面上给定曲线 :
f ( y, z ) 0 C: x 0 将其绕z轴旋转一周, 求此旋转曲面的方程
这些交线都是椭圆.
平面 z h (| h | c) 截割该曲面的截痕(交线)为：
x2 y2 2 1 a2 b 2 2 (c 2 h 2 ) 2 (c h ) c c2 z h 这是平面 z h 上的一个椭圆,
它的两个半轴分别为 a 2 b 2 2 c h 和 c h2 . c c 当 h 由小变到大时, 椭圆由 大变到小,最后缩成一点. 且这一系列椭圆的中心都 在 z 轴上.
求由参数方程表示的空间曲线在坐标面上的投影
到xoy、yoz坐标面的投影. 解: C到xoy坐标面的投影为 x cos t x2 y 2 1 y sin t , 即 z 0 z0 C到yoz坐标面的投影为 x 0 y sin z y sin t , 即 x0 z t
2 2 2
( x 1)2 ( y 1)2 z 2 4 故该方程表示半径为 2 , 球心在M 0 (1,1, 0) 的球面.
几何图形? 解: 原方程可写成
例：求球面x 2 y 2 z 2 4 x 0被平面x 2 y z 0所截得的
圆的半径．
解：球面( - 2) y 2 z 2 4 x 2
各种空间曲面可以相交出许多有趣的空间曲线
z a2 x2 y 2 2 2 方程组 a a 2 x y 2 2 表示一个球心在原点, 半径为 a 的上半球面与一个以圆
2 2 a a 2 x y 2 2 z0
为准线, 母线平行与z轴的圆柱 面的交线.
维维亚尼曲线
二、空间曲线的参数方程
与平面曲线一样，也可由参数方程表示空间曲线C.
x x(t ) 空间曲线参数方程的一般形式为 : y y (t ) z z (t )
例 在半径为 a 的圆柱面上，有一动点M以角速度 绕轴转动，同时又以匀速v沿母线上升，求点M 运动 轨迹的方程
M ( x, y, z )
2 2 2 x 2 y 2 z 2 2 x0 x 2 y0 y 2 z0 z x0 y0 z0 r 2 0
球面方程具有三个特点: 1. 三元二次方程. 2. 平方项的系数相同.
3. 交叉项的系数都是零.
一般说来, 满足这三个条件的方程也是球面方 程. 事实上, 这样的方程可改写成:
L'
C
准线: 定曲线C叫做柱面的准线. 母线: 动直线L叫做柱面的母线.
例 讨论方程 x y r
2 2
2
2
的图形
2 2
* 在oxy平面上, x 2 y 2 r 2 表示一个圆
* 在三维几何空间中, x y r 表示一个柱面
z
园柱面 : x 2 y 2 r 2
L
o
x
A
y
x2 y2 r 2 准线： z 0
母线平行于z轴
一般地，含有两个变量的方程在平面几何中 表示一条曲线，而在空间几何中则表示一个柱面, 母线平行于不出现的那个变量对应的坐标轴. 具体 地:
x y 双曲柱面 : 2 2 1 a b
2
2
抛物柱面 : x 2 py ( p 0)
类似可得曲线C到zox平面、 yoz平面的投影.
z 4 x2 y 2
x 2 y 2 z 2 1, ( z 0) 例 求曲线 2 x y2 x 0 在xoy, zox坐标面的投影.
解 : x 2 y 2 x 0就是以C为准线, 母线垂直于 xoy平面的柱面,C在xoy平面的投影曲线为
x2 y 2 x 0 z 0
从曲线C的方程中消去y, 得
z 2 x 1 ( x 0, z 0)
曲线C在zox面上的投影曲线为 z 2 x 1 (x 0, z 0) , 抛物线段 y 0
x cos t 例 求螺旋线C: y sin t z t
解: 在曲面上任取一点M ( x, y, z ).
zBaidu Nhomakorabea
M。
。 1 M
设点 M 位于曲线C上点M 1 (0, y1 , z1 ) 所转过的圆周上. 故 z1 z
x 2 y 2 y1
C
o
y
即 y1
x2 y 2
所求曲面方程为：
x
f ( x 2 y 2 , z ) 0
同理，曲线 : f ( y, z ) 0 C: x0 绕 y 轴旋转一周所成的旋转曲面的方程为： f ( y, x 2 z 2 ) 0
x2 y 2 z 2 1 2 2 a b
旋转双叶双曲面
x2 z 2 2 2 1 例 求双曲线 a b 绕 z 轴旋转一周所得曲面的方程 y 0 x2 z 2 2 2 1 2 2 解：z不动，用 x y 替代 a b 中的 x 得 y 0 2 2 2 x y z 2 1 2 a b
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 k
k 0 时, 表示一个球面 k 0 时, 表示一个点(点球面) k 0 时, 无图形(虚球面)
球心在坐标原点的球面方程为: x2 y 2 z 2 r 2
例: 问方程 x y z 2 x 2 y 2 0 表示什么
z
解：以圆柱面的轴为 z 轴， 取动点运动 的方向为 z 轴的正向.取 t 为参数, t 0 时, 点M 位于A(a, 0, 0)处. 经过 时间 t, 动点运动到M t ( x, y, z ).
设M '为 M t在xoy面上的投影
M '( x, y, 0)，AOM ' t
O
A
x
。M t
半径 r=2, 球心 O(2,0,0). 球心到平面的距离
2 1 0 2 0 1 12 22 (1) 2
2
r o '。 r'
o。
OO '
2 6
2 2 30 r ' r oo ' 2 ( ) 3 6
2 2
2. 柱面
柱面: 平行于给定直线并沿定曲线C移动的直线L所 形成的轨迹叫做柱面.
所以椭球面(1)完全包含在以原点为中心的一个长方体内. 为了解该椭球面的形状，先考察坐标面与与该曲面的交线. 2 2 2 2 x2 z 2 x y y z 2 2 1 2 2 1 2 2 1 c a b c a b y 0 z 0 x 0
M'
x a cos(t ) 于是 y a sin(t )
y
x a cos(t ) 该曲线参数方程为 : y a sin(t ) z vt
称此曲线为螺旋线
三、空间曲线在坐标面上的投影
投影曲线 设C是一条空间曲线, 是一个平面, 以C为 准线,作母线垂直与 的柱面, 称该柱面与平面 的交线 为C在平面 上的投影曲线,简称投影.
表示上半球面 x 2 y 2 z 2 2 (z 0) 与柱面 x2 y 2 1 的交线
注：由于过曲线C的曲面有无穷多，所以曲线的一般 方程不唯一. 上面讨论的半球面与 柱面的交线也可视为 柱面与平面的交线.
x2 y 2 1 , z0 z 1
由此方程可清楚地看出： 该交线是一个位于平面 z=1上，半径为 1 的圆
8.5 二次曲面
二次曲面：在空间解析几何中，称三元二次方程
a11 x 2 a22 y 2 a33 z 2 2a12 xy 2a13 xz 2a23 yz a14 x a24 y a34 z a44 0
表示的曲面为二次曲面.
研究路线: 1. 先研究标准方程表示的二次曲面: 椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、 椭圆抛物面、双曲抛物面、二次锥面. 2. 把二次曲面的一般方程转化成标准 方程. 截痕法: 类似与医学中CT诊断的方法, 用平行于坐 标面的平面截割所研究的曲面，考察截痕 的形状，然后综合出曲面的全貌.
C

求由一般方程表示的空间曲线到坐标面的投影
F1 ( x, y, z ) 0 设曲线C的方程为 F2 ( x, y, z ) 0
x yz 3
消去z， 得方程F ( x, y) 0.
F ( x, y )代表的柱面包含以C为准 线, 母线垂直于xoy面的柱面.
F ( x, y ) 0 从而, 曲线 包含曲线 C 在 z0 xoy 面上的投影
总之，在坐标面上的曲线绕其上一个轴旋转 一周得到的旋转曲面方程可以这样得到： 将曲线方程中与转轴相同的变量不动， 把另一个变量换为它自己的平方与方程中未出现 的变量的平方和的平方根即可.
z ky 例 求直线 , 绕 z 轴旋转一周得到的曲面的方程 x 0
解：z不动，用 x 2 y 2 替代 z ky 中的 y 得 z k x y
一、椭球面
x2 y 2 z 2 由方程 2 2 1 (a, b, c 0) (1) 2 a b c 确定的曲面， 称为椭球面， a, b, c 称为椭球面的三个半轴. x2 y2 z2 由方程(1)知 2 1, 2 1, 2 1. a b c 即 | x | a, | y | b, | z | c
2 2
z
即
z2 x2 y 2 2 0 k
圆锥面：直线L绕另一条与L相交的直
o
x
y
半顶角：两直线的夹角 （0 ） 2
线旋转 一周所得的旋转面
x2 z 2 2 2 1 例 求双曲线 a b 绕 x 轴旋转一周所得曲面的方程 y 0 x2 z 2 2 2 1 2 2 解：x不动，用 y z 替代 a b 中的 z 得 y0
1. 球面
已知一个球面的球心在点M 0 ( x0 , y0 , z0 ), 半径是 r , 求该球面的方程.
在球面上任取一点M ( x, y, z )
则 M 0M r,
M 0 ( x0 , y0 , z0 )

从而该球面的方程为:
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 r 2
F ( x, y , z ) 0 G ( x , y , z ) 0
x2 y2 1 例如 x y z 3 2 2 表示圆柱面x y 1 与平面 x y z 3 的相交曲线
再比如,方程组 x2 y2 1 2 x y 2 z 2 2, z 0
旋转单叶双曲面
x2 y 2 2 2 1 椭圆 a 绕 x 轴旋转一周得 b z 0
x2 y 2 z 2 1 2 2 a b
旋转椭球面
y 2 2 pz 抛物线 绕z轴旋转一周得 x0
x y 2 pz
2 2
旋转抛物面
4. 空间曲线 一、空间曲线的一般方程