第七章-自旋与全同粒子 lt

第七章例题剖析

1求自旋角动量在任意方向n

[方向余弦是(cos α，cos β，cos γ)]的投影γβαc o s c o s c o s z y x n s s s s ++=的本征值和本征矢。

[解] 自旋算符的矩阵表示为

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10012;002;01102 z y x s i i s s ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴γβαcos 10

01

cos 00cos 01102i i s n ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-+-=γβαβ

αγ

c o s c o s c o s c o s c o s c o s 2i i

令s n 的本征矢为 ⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=ηξψ

它必然是一个两行两列的矩阵，s n 的本征方程为

λψψ2

=n s

则

⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

-+-ηξληξγβαβ

αγ2cos cos cos cos cos cos 2 i i

就有 ⎩⎨⎧=+-+=-+-)

2(0)(cos )cos (cos )

1(0)cos (cos )(cos ηλγξβαηβαξλγi i

ηξ,不同时为零的条件是其系数行列式为零，即

0)(cos cos cos cos cos cos =+-+--λγβαβ

αλγi i

展开得： 0)c o s (c o s )(c o s 2222=+---βαλγ

1012±==-∴λλ

因此 n S 的本征值为2

±

下面求本征矢：

（1）当2

=n S 时，即1=λ时，由①式得

ηβαξγ)cos (cos )1(cos i --=-

ηγβ

αξcos 1cos cos --=i

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛--=ηηγβαψcos 1cos cos i

利用归一化条件

11)cos 1(cos cos 2222=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡+-+=*ηγβαψψ ,2cos 1γη-= ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---=1cos 1cos cos 2cos 12γβαγψi （2）当 1,2

-=-=λ即 n S 时； ηγ

βαξcos 1)cos (cos +--=i ⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+--=ηηγβαψcos 1cos cos i 利用归一化条件2

cos 1,1γηψψ+==*可求出 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=∴-γβαγψcos 1cos cos 2cos 12

i 讨论：算符z S ˆ的本征值为2 ±，而z 方向为空间的任意方向。现在把z 方向特别选为沿n 方向（这相当于作一个坐标旋转），则n S ˆ 的本征值也应为2

±。另外我们知道，本征值和表象的先取无关。这样选择n z //并不影响结果的普遍性。

同理y x S S ˆˆ和的本征值也都是2 ±。 我们也可以在n S ˆ为对角矩阵的表象中（n

S 表象）求本征矢。显然这时n S ˆ 的知阵为 ⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝

⎛-2002

所以本征矢为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001及 注意到本征矢是随着表象选取的不同而改变的。现在是在n S ˆ 表象，而上面算出的z S 是在2 ψ表象，算出的结果应用所不同，这是合理的。

2. 设两个自旋为3/2的全同粒子组成一个体系，求体系对称的自旋波函数有几个？反对称的

自旋波函数有几个。

[解] 对于自旋为3/2的粒子，其自旋角动量沿某轴的分量可以取四个数值，即 2

3,2,2,23

4321==-=-=λλλλ

相应的波函数用)4,3,2,1()(=j s x j j 表示。

则)()(ˆj

j j z j z S x S x S λ= 两个粒子组成体系的自旋波函数形式一般为)()(21z j z i S x S x 。

当i=j 时，构成对称波函数，有4个。

当i ≠j 时，其中

{})()()2()(2

1121z i z i z j z i S x S x S x S x + 也就是对称波函数，它有62

3424=⋅=C 个 而{})()()()(211221z j z i z j Z i S x S x S x S x -则是反对称波函数有6个。 故自旋为3/2的二个全同粒子可组成10个对称自旋波函数，6个反对称自旋波函数。 讨论：对子自旋为S 的二个全同粒子组成的体系，对称自旋波函数共有（2S+1）（S+1）个。反对称自旋波函数有（2S+1）S 个。

3．求由三个相同中的玻色子组成的体系的所有可能状态。

[解] 可以分三种情况

（1）三个粒子状态都相同，则组成对称波函数

)()()(321x x x a a ψψψψα=

1!

3!3==C （2）三个粒子中有2个处于相同状态，另一个处于不同状态

{})()()()()()()()()(123231321x x x x x x x x x C βααβααβααψψψψψψψψψψ++=

其中 31!3!2==

C （3）三个粒子的状态都不相同，这时体系的波函数为

{)()()()()()()()()(312231321x x x x x x x x x C r r r ψψψψψψψψψψβαβαβα++=

})()()()()()()()()(123213132x x x x x x x x x r r r ψψψψψψψψψβαβαβα+++ 其中 61!31==

C