线性代数第四讲_矩阵的概念及其加减乘运算

b11 b12 b1j … b1n b21 b22 b2j … b2n
bs1 bs2 bsj … bsn
=
c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn
cij = A 的第 i 行与 B 的第 j 列的乘积
m×n
其中 cij ai1b1jai2b2j aisbsj
数量矩阵是特殊的对角矩阵a11a22ann
例如
2 0
0 2
0 0
0 0 2
8 0 0 0 0 8 0 0
0 0
0 0
8 0
80
6 单位矩阵：
如下形式的n阶矩阵称为单位矩阵,记为 I 或E
1 0 0 I 0 1 0
0 0 1
单位矩阵是特殊的数量矩阵：a11a22anna1
1 0 0
(i1, 2, , m；j1, 2, , n)
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
3 1 32
23
23
解： AB 1 2
31
1 2 3 2 1 0
8 7 6
3×3
23
例1 设 A 1 2 ， B = 1 2 3 求AB及BA
2 1 0
3 1 32
B
b21
b22 b2n
bm1 bm2 bmn
A±B=
a11±b11 a21± b21 … am1±bm1
a12±b12 … a22 ±b22 …
…
…
am2±bm2 …
a1n±b1n a2n±b2n
amn±bmn
例1
设
1 A 3
2 4
B
5 7
6 8
求A+B=?
解
A
B
1 3
2 5 4 7
42
2 5 3 B33 1 2 2
7 4 4
3 行矩阵与列矩阵： 只有一行的矩阵称为行矩阵
只有一列的矩阵称为列矩阵
也可以用小写黑体字母 , , 表示
例如
1, 2, 3, 4
5
2
7
4 对角矩阵： 如下形式的n阶矩阵称为对角矩阵
a11 0 0
=
0 a22 0
0 0 ann
例如
I3 E3 0
1
0
0 0 1
1 0 0 0
I4
E4
0
0 0
1 0 0
0 1 0
0
0 1
7 三角形矩阵：
如下形式的 n 阶矩 如下形式的 n 阶矩
阵称为上三角形矩阵 阵称为 下三角形矩阵
a11 a12 a1n
A
0
a22
a2n
0 0 ann
例如
1 A 0
2 4
3 7
记为 =diag(a11, a22, , ann)
例如
diag(1,2,3)
1 0
0
0 2 0
0 0 3
2 0 0 0
diag(2,1,3,4)
0 0 0
2 0 0
0 3 0
0
0 4
5 数量矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为数量Baidu Nhomakorabea阵
a 0 0 A 0 a 0
0 0 a
0 0 6
b11 0 0 B b21 b22 0
bn1 bn2 bnn
1 0 0 0
B
5 4 3
5 6 2
0 6 4
0
0 3
8 对称矩阵：
如果n阶矩阵A满足 ATA 即 aijaji ) ,则称A
为对称矩阵
A
aa1112
aa1222
aa12nn
a1n a2n ann
am1 am2 amn
只能用[ ]或( ), 不能用{ }
一 部分特殊矩阵
1 零矩阵
所有元素均为 0 的矩阵称为零矩阵，记为O
0 0 0
例如 0
O22 0
0 0
O23
0 0
0 0
00
O33 0 0 0
0 0 0
2 方阵 若矩阵A的行数与列数都等于n，
则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵
例如
1 A22 3
B= 5 8 6 为同型矩阵
25 3
A= 1 2 3 9 B= 5 8 6
45 68
25 3
（2）同型矩阵才能相加减
不同型
（3）加法与减法法则:
同型矩阵对应元素相加减
矩阵加法和减法定义:
设A与B为两个mn矩阵
a11 a12 a1n
A
a21
a22 a2n
am1 am2 amn
b11 b12 b1n
例 (1)
A=
1 5
3 7
4 2
12 B=
25
则AB无意义
12 9
15 8 (2) C=
57 2
D= 2 5 2 764
则 CD有意义，且CD是2×3的矩阵
矩阵的乘法定义
设A是一个ms矩阵，B是一个sn矩阵
a11 a12 a1s a21 a22 a2s AB= ai1 ai2 ais am1 am2 ams
第二部分 矩阵理论
1850年西尔维斯特首先使用矩阵这个词.1855 年以后,英国数学家凯莱创立了矩阵理论,至二 十世纪,矩阵论已成为一个独立的数学分支,出 现了矩阵方程论,矩阵分解论,广义逆矩阵等矩 阵的现代理论.由于许多线性或非线性问题都可 以转化为对矩阵的讨论,所以它在物理、化学、 经济、工程以及现代科技的许多领域都有着广 泛的应用,矩阵部分主要讨论三个问题
6 8
1+5 3+7
2+6 4+8
6 8 10 12
(二)矩阵的数乘 a11 a12 a1n
给定矩阵
A
a21
a22 a2n
am1 am2 amn
规定
ka11 ka12 ka1n
kA
ka21 ka22
ka2n
kam1 kam2
kamn
实数k遍乘A的所有
元素
1 0 3 B 4 5 2
12 3 例如 2 5 8
3 86
23 8 6 37 4 2 84 9 7 6 2 7 10
二 矩阵的运算
(一) (二) (三) (四)
矩阵的加法,减法 矩阵的乘法 矩阵的转置 方阵的行列式
(五) 几种特殊矩阵
(一) 矩阵的加法,减法
（1）同型矩阵: 二矩阵行相同，列相同
例 A= 1 2 3
45 6
0 2 1
3 0 9 3B 12 15 6
0 6 3
（三） 矩阵的乘法 准备：矩阵乘积有意义的条件
(1) 不是任意二矩阵乘积AB都有意义 （2） 二矩阵乘积AB有意义的条件是： 左边的矩阵A的列数与右边的矩阵B的行数相等
A B 即 m×s t×n 有意义的条件是 s=t
且 Am×s Bs×n= Cm×n
一 矩阵的概念及四则运算 二 矩阵的初等变换与矩阵的秩
三 逆矩阵
第四讲 矩阵的概念及其运算
一 矩阵的定义：
由 mn 个数 aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成 的一个 m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵
a11 a12 a1n
记作
Amn=
a21
a22 a2n