孙子定理微课的教学设计
初等数论教案
厦门大学教案__________ 学年度第—学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节: 第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材: 《初等数论》，北京大学出版社授课对象: 数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理（又称中国剩余定理）就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1:（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：70 2 21 3 15 2 =233，233 -105 2 =23。
解题步骤及理由如下：（1 ）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7] =35，35, 3=11（余2），（35 2）“3=23（余1），而（70 2）“3=46（余2），所以140符合条件。
（2 ）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
初等数论教案
厦门大学教案学年度第学期院（系）数学科学学院任课教师祝辉林课程名称初等数论授课章节：第4.3节一次同余方程组和孙子定理授课教材：《初等数论》，北京大学出版社授课对象：数学类专业一年级本科生【教学要求】1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤；2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解；3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。
【教学重点】1. 孙子定理的思想方法和计算步骤；2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。
【教学难点】理解孙子定理的思想方法。
【教学内容】第三节一次同余方程组和孙子定理本节主要讨论一次同余方程组的解法。
为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。
孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。
一、“物不知其数”问题及其解法1.1问题的提出例1：（“物不知其数”问题）大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。
1.2 问题的解法及理由明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。
七子团圆正月半，除百零五便得知。
这首诗翻译成数学算式就是：702213152233⨯+⨯+⨯=，233105223-⨯=。
解题步骤及理由如下：（1）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。
因为[5,7]35=，35311÷=(余2)，(352)323⨯÷=(余1)，而(702)346⨯÷=(余2)，所以140符合条件。
（2）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。
4.2 孙子定理
1 mod 2 的一个整数c5 1, 则 373065c5 70468 443533. 易知373065 2 746130.，故由补充定理得，所给同余式 组的解为x 443533 mod746130 .
习题
1.试解下列各题：
（ⅰ）十一数之余三，七二数之余一，十三数之余一，
1பைடு நூலகம்
数M1.因462 5 92 2,5 2 2 1,2 1 2, 故 1 5 2 2 5 462 5 92 2 462 2 5 185,
于是
462 2 5 185,462 2 1 mod5 ,462 3 1 mod5 . 取M1 3. 因385 6 64 1, 故385 1 1 mod6 .取M 1.
的k 1个整数. 例3 解同余式组 x 1 mod 2 , x 1 mod 7 , x 2 mod11 , x 2 mod15 , x 3 mod17 , x 3 mod19 .
5
x通过m个整数.下面证明这m个整数对模m两两不同余.若 M M b M M b M M b
1 1 1 2 2 2 k k k
M1M1b1 M 2M 2b2
M kM k bk mod m ,
其中M i , M i都是bi所通过的模mi的完全剩余系中的数，i 1, 2, , k，则M M b M M b mod m , i 1,2, , k.
解 因2,7,11,15,17,19两两互质，故可以用补充定理来解 该同余式组.为方便，我们把同余式组（5）改写为 x 3 mod19 , x 3 mod17 , x 2 mod15 , 6 x 2 mod11 , x 1 mod 7 , x 1 mod 2 .
孙子定理教学新探
孙子定理教学新探李伟【摘要】改进了孙子定理的教学方法.%We give a new method to teach Sun Zi＇theorem.【期刊名称】《大学数学》【年(卷),期】2012(028)004【总页数】3页(P144-146)【关键词】孙子定理;教学方法【作者】李伟【作者单位】西南财经大学经济数学学院,成都610074【正文语种】中文【中图分类】O156.1孙子定理设m1，…，mn为两两互素的正整数，对任意整数a1，…，an，同余方程组有唯一解mod M，并可表示为这里M＝m1…mn，Mi＝M／mi，M′iMi≡1（modmi），i＝1，…，n.孙子定理，即中国剩余定理，是初等数论的的重要定理.一般初等数论教程给出的证明过程是：先证明解的唯一性，再验证（1）为解.初学者往往感到困惑：为什么要求m1，…，mn两两互素？能否同时求出M′1，…，M′n？其实，只要对孙子定理的证明过程作适当的教学法加工，就可以化解初学者的困惑，从而使他们更好地理解定理.下面给出作了教学法加工的孙子定理的证明过程.第一步：统一各同余方程的模.显然，统一的模为M＝［m1，…，mn］＝m1…mn.由x≡ai（modmi），知Mix≡Miai（mod Mimi），即Mix≡Miai （mod M），i＝1，…，n.第二步：用M1x，…，Mnx组合出x.我们要求出x，希望能找到M′1，…，M′n，使得这等价于1＝M′1M1＋…＋M′nMn，即（M1，…，Mn）＝1.由M1，…，Mn的作法，满足前述要求.m1，…，mn满足两两互素的条件，就是为了保证（M1，…，Mn）＝1.因此M′1，…，M′n是存在的.第三步：同时找出M′1，…，M′n.作整数矩阵如下这里整数矩阵的列初等变换有三种情形：（i）交换两列的位置；（ii）用－1乘某一列；（iii）把某一列的整数倍加到另一列.于是有第四步：给出解的表达式.我们有第五步：证明解mod M的唯一性.若y也是同余方程组的解，则【相关文献】［1］潘承洞，潘承彪.初等数论［M］.北京：北京大学出版社，1992：164－174.［2］华罗庚.数论导引［M］.北京：科学出版社，1957：32－34.。
高中数学新北师大版精品学案《孙子定理》
孙子定理【学习目标】1．掌握孙子定理。
2．学会运用孙子定理解决一些具体问题。
3．掌握孙子定理的证明思想。
【学习重难点】重点：理解并掌握孙子定理。
难点：孙子定理的证明思想、孙子定理的应用。
【学习过程】一、新课学习知识点一：孙子定理。
在我国古代著名的数学著作《孙子算经》里提出了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”“答曰：二十三。
”孙子给出解法：“术曰：三三数之剩二，置百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。
”所谓“孙子定理”，便是蕴涵在这解法中的数学原理。
根据前面的知识做一做：练习：1．孙子定理又称为_____。
2．三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？知识点二：孙子定理的应用。
设12k m m m ，，，是两两互素的正整数，那么，对任意整数1k a a ，，，一次同余方程组()()mod 1j j x a m j k ≡，≤≤必有唯一解。
根据前面的知识做一做：练习：1．解同余方程。
()256490 60x x mod ++≡2．一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？二、课程总结1．这节课我们主要学习了哪些知识？2．它们在解题中具体怎么应用？三、习题检测1．一个数，除以5余1，除以3余2。
问这个数最小是多少？2．有兵一队，若列成五行纵队，则末行1人；若列成六行纵队，则末行5人；若列成七行纵队，则末行4人；若列成十一行纵队，则末行10人。
求兵数。
3．一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？。
新课程中孙子定理的教育功能
新课程中孙子定理的教育功能
一、孙子定理的介绍
1.孙子定理是中国古代最著名的几何学定理，它是由古代著名数学家孙子云毅提出的，于公元3世纪记在孙子算经中，现存于元代古籍《七
绝笔试》中。
2.孙子定理，顾名思义，说明了三角形的内角之和是180°，内角可以
通过一条直线的夹角的长度的两倍等于三条边的长度之积来推算出来，即：两边之和大于第三边。
二、孙子定理在教育上的功能
1.孙子定理可以帮助学生理解几何图形，掌握几何学基础知识，更加深入的理解几何知识中的空间体系与关系，并且解决复杂几何问题。
2.孙子定理还能练习和活跃数学思维，提高学生解决实际问题的能力，给学生提供正确明确的数学规律。
3.孙子定理可以帮助学生增强空间思维能力，检测几何形状的内角，强化分析问题的能力以及解决复杂水平的能力。
4.在生活中，孙子定理对面积的理解也是很有帮助的。
学生在理解任何物体面积、体积等计算时，都可以通过孙子定理来很好地掌握。
5.孙子定理可以加深学生对实际应用几何的理解，比如桥、路、工程与建筑等等，都可以通过几何定理来进行计算。
三、总结
孙子定理是中国古代最著名的数学定理，它具有极其重要的现实意义。
通过孙子定理，能够有助于学生理解几何图形，让学生更深入地理解
几何知识中的空间体系与关系，强化分析问题解决复杂几何问题的能力，活跃数学思维，熟悉常见的几何问题的解决方案，尤其在实际应
用领域，孙子定理更是发挥了重要的作用。
人教版B版高中数学选修4-6(B版)孙子定理
三人同行七十希，五树梅花廿一支， 七子团圆正半月，除百零五使得知。
意思是：将除以3得到的余数乘以70，将除以5得到的余 数乘以21，将除以7得到的余数乘以15，全部加起来后除 以105，得到的余数就是答案。比如说在以上的物不知数 问题里面，按歌诀求出的结果就是23。
要点提炼
本节有三个学习要点： （1）孙子定理的定的应用 这里我们主要讲解后两个要点
谢谢观赏
例题讲解
例2：有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以 12余几？
解：除以3余2的数有： 2，5，8，11，14，17，20，23… 它们除以12的余数是： 2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有： 1，5，9，13，17，21，25，29… 它们除以12的余数是： 5，9，1，5，9… 一个数除以12的余数是唯一的。上面两行余数中只有5是 共同的，因此，这个数除以12的余数是5。
孙子定理
知识导入
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时 期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六 题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二， 五五数之剩三，七七数之剩二。 问物几何？
用白话文来说就是一个整数除以三余二，除以五余三，除 以七余二，求这个整数。
而早在宋朝，数学家秦九韶于1247年《数书九章》 卷一、二《大衍类》对“物不知数”问题就做出了完整 系统的解答。 到了明朝，数学家程大位将解法编成易于上口的《孙子 歌诀》：
孙子定理可根据下表求解
除数 余数 最小公倍数 衍数 乘率
各总 答数
m（1） m（2） mk
b（1）
M1
b（2）
m=m1m2…m M2
k
bk
MK
初中定理教学教案
初中定理教学教案一、教学目标：1. 让学生掌握本节课所要学习的定理，理解并能够运用定理解决实际问题。
2. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极探究的学习习惯，提高学生的数学素养。
二、教学内容：1. 定理的定义和特点2. 定理的证明过程3. 定理的应用举例三、教学重点与难点：1. 重点：定理的理解和运用。
2. 难点：定理的证明过程。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究定理的定义、证明和应用。
2. 利用多媒体教学，直观展示定理的证明过程，提高学生的学习兴趣。
3. 采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导。
五、教学过程：1. 导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考定理的重要性，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解定理：详细讲解定理的定义、证明过程，让学生理解并掌握定理。
3. 应用举例：给出定理的应用例子，让学生体会定理在解决问题中的作用。
4. 练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生运用定理解决问题，巩固所学知识。
5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享学习心得，互相解答疑惑。
6. 总结反馈：对本节课的学习内容进行总结，了解学生的学习情况，给予针对性的反馈。
六、课后作业：1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 查阅相关资料，了解定理的背景和应用。
3. 撰写学习心得，总结自己在学习定理过程中的收获。
七、教学反思：教师在课后要对教学效果进行反思，了解学生的学习情况，调整教学方法，以提高教学效果。
同时，关注学生的学习进度，及时给予针对性的辅导，帮助学生克服学习困难。
通过以上教学设计，希望能够提高学生的数学素养，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
同时，注重培养学生的合作意识，提高学生的团队协作能力。
高等教育 孙子定理
《孙子定理》诌议我国古代数学名著《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。
”书中不但给出了答案，而且提供了解法。
此类问题，后经历代中国数学家研究推广，就形成了通常所说的《孙子定理》（外国称中国剩余定理）。
此定理用现代数学符号表述一般都用初等数论中的同余概念，但从定理的具体内容用“带余除法”（指：被除数=除数×不定商+余数）的形式叙述更为自然易懂。
因此，该定理可表述为：某数x，用m1除余b1，用m2除余b2，…，用m k除余b k，即（1）m1, m2, …, m k是k个两个互质的正整数（k≥2），M=m1m2…m k，，，…，，（0<r<M）（2）则方程（1）的解，（k取任意整数）。
其中：，（i=1,2,…,k）（3）由（2）式可知，应用《孙子定理》的关键是求出F i(i=1,2,…k)的值。
那么怎样求出F i的值呢？因为（3）式可化为：（4）由于m1,m2,…,m k两两互质可知M i与m i也互质，故它们的最大公约数是（1），根据两数最大公约数的性质，存在F i（和q i）使得（4）式成立。
为此，先用辗转相除法求出（4）式也就是（3）式中M i与m i的最大公约数。
对M i与m i辗转相除是指下列一串等式：当r n=1（这就是M i与m i的最大公约数）时，再利用这串等式求得F i的值。
例如，设（3）式中M i=7，m i=5 则7F i=5q i+1。
首先对7与5辗转相除，求它们的最大公约数（1）。
，（这里r2=1，是7与5的最大公约数）利用上式求F i的值：即，故得F2=-2。
我们可以证明，用上述方法求（3）式中F i的值，如F i=F0，则F0+Km i（K取任意整数）都是F i的值。
本例F i=-2，那么-2+5K（K取任意整数）都满足7F i=5q i+1，但在应用《孙子定理》中只需要求出一个值即可。
《孙子定理》课件1-优质公开课-人教B版选修4-6精品
第1步：最后的模M=5*6*7*11=2310 第2步：各方程模变为M需要乘以的数=2310/7=5*6*11=330;
第3步：求出逆元Mi-1
M2=2310/6=5*7*11=385 M4=2310/11=5*6*7=210 x≡Mi-1Mibi (mod M)
找出A,B,C分别满足以下条件
A 1 (mod p) B 0 (mod p) C 0 (mod p) A 0 (mod q) B 1 (mod q) C 0 (mod q) A 0 (mod r) B 0 (mod r) C 1 (mod r)
而答案则为
x aA bB cC (mod pqr)
解：x≡4*2*2*9+1*1*5*9+2*1*5*2≡209≡29(mod 90)
想想我们本章讲了什么？
x≡385*5*1(mod 6);x≡330*4*1(mod 7); x≡210*10*1(mod 11)
第4步：求出解
考虑 x≡462*3(mod 5)：此时的x≡0(mod6)\(mod 7)\(mod 11)
所以，对于其他方程组，这个x同余于0，可以直接加 其实 x≡MibiMi-1(mod mi) 因此 下面的解满足各方程 x≡462*3+385*5*1+330*4*1+210*10*1(mod 2310) ≡6731 ≡ 2111 (mod 2310) 其他mj都|Mi
七子团圆整半月
除百零五便得知
５除余数 ０ ３ ０ ０＋３＋０＝３
233+105n均是答案
把问题一般化
如何找70、21、15
３除余数 ７０ １ ５除余数 ０ ７除余数 ０
初等数论教案9
第六节孙子定理及其应用举例教学目的：1、熟练掌握孙子定理内容及证明；2、会用孙子定理求解一次同余方程式组.教学重点：用孙子定理求解一次同余方程式组.教学课时：4课时教学过程在我国古代《孙子算经》中有：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问：物有几何？对于“物不知其数”问题，程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀：三人同行七十稀，五树梅花卄一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.如果我们设所求的物为X个，则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组x 三2(mod 3)x 三3(mod 5)(X 三2(mod 7)将上面的同余式组推广，我们可得x 三a〔(mod m1)x 三a2(mod m2)I (1)x 三a k(mod m k)本节主要讨论同余方程组(1)的解问题.定理1(孙子定理)设m i, m2, ■ - , m k是正整数，(mi, m j) = 1,1" 2 k, i 订⑵记m = m1m2 m k，M i =—，1 — i — k，m i则存在整数M「( 1 < H k)，使得M i M i = 1 (mod m i)，(3) M i M i = 0 (mod m j)，1 - j k，i - j，⑷并且kX0八aiM iM i(mod m) (5)i吕是同余方程组(1)对模m的唯一解，即若有任意的x使方程组(1)成立，则x = x o (mod m). (6) 继《孙子算经》之后，南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广物不知数”的问题•德国数学家高斯〔K.F. Gauss.公元1777-1855 年〕于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理.公元1852年，英国基督教士伟烈亚士〔Alexander Wylie公元1815-1887 年〕将《孙子算经》物不知数”问题的解法传到欧洲，公元1874年马蒂生〔L.Mathiesen 〕指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理也称为中国的剩余定理”〔Chi nese rema in der theorem 〕.证明由式(2),有(M i, m i) = 1,因此利用辗转相除法可以求出M i 与y，使得M i M i ym = 1,即M i满足式(3)和式(4).由式⑶与式(4),对于仁汽k,有x b 三a i M i M i 三a i (mod m i), 1 H k.若x也使式(1)成立，则x 三x o (mod m i), 1 — i — k,因此x = x o(mod [m1, m2, , m k]).但是，由式⑵可知[m1, m2, ■" , m k] = m,这就证明了式(6).证毕.定理2在定理1的条件下，若式(1)中的a1, a2, , a k分别通过模m1,m2, ■" , m k的完全剩余系，则式(5)中的x o通过模m1m^ m k的完全剩余系.证明略.定理3同余方程组(1)有解的充要条件是a i = aj (mod (m i, m j)), 1 空i, j 乞n. (7)证明必要性是显然的.下面证明充分性.当n二2时，由前一节例8可知充分性成立.假设充分性当n二k时成立.假设式⑺当n二k 1时成立.我们来考虑同余方程组x 三a i (mod m), 1 < i 空 k 1.由前一节例8,存在b k,使得x三b k (mod [ m k, m k +1])满足同余方程组x 三a k (mod m k)，x 三a k + 1 (mod m k + i).在同余方程组x = a1 (mod m1)x 三a k」(mod m k Jx =b k(mod [m k，m k1】)中，由式(7)有a j 三a j (mod (m i, m j))，1 - i, j - k - 1，因此，若能证明a i =b k (mod (m i, [m k, m k +1]))，1 - 1. (8)则由归纳假设就可以证明充分性.由b k的定义，有a/b k (mod m k)，a k + 1 三b k (mod m k + 1) (9) 而且，由于假设式⑺当n二k 1时成立，所以，对于1乞i乞k- 1有a^ a k (mod (m i, mQ)，a^ a k + 1 (mod (m i, m k + 1))，由此及式(9)得到，对于1 - i - k - 1，有a i = bk (mod (m i, m k))，a^b k (mod (m i, m k + 1)).因此a\ =b k (mod [(m i, m k), (m i, m k + i)]).由上式及第一章的例题，就得到式(8).证毕.定理4设m二口仲2…m k ,其中m2,…，m k是两两互素的正整数，f(x)是整系数多项式，以T与T\( 1 < i < k)分别表示同余方程f(x)三 0 (mod(10)m)f(x) = 0 (mod m\) (11) 的解的个数，则T = T1T2, T k .证明因为同余方程(10)等价于同余方程组f(x)三0 (mod m\)，1 兰i(12)k.对于每i (1 < i < k)，设同余方程(11)的全部解是^x1(i),x2i) "\xT°(mod m i)，(13) 则同余方程组(12)等价于下面的T1T2, T k个方程组:(1)x 三x 片(modm<,)(14)x = x J? (mod m2)x 三x(k)(mod m k)k其中x(i)通过式(13)中的数值，即通过同余方程(11)的全部解.由孙子定理，对于选定的每一组｛x；1、；2〉,…,X：)｝，同余方程组(14)对模m有唯一解，而且，由定理2,当每个X(\)通过(13)式中的值时，所得到的T1T2, T k个同余方程组(14)的解对于模m都是两两不同余的证毕.I由定理4及算术基本定理，我们知道，解一般模的同余方程可以 转化为解模为素数幕的同余方程.例1求整数n ,它被3，5, 7除的余数分别是1，2, 3. 解n 是同余方程组n 三 1 (mod 3)， n 三 2 (mod 5)， n 三 3 (mod 7)的解.在孙子定理中，取m i = 3， m 2 = 5，m 3 = 7， m = 357 = 105,M i = 35, M 2 = 21， M 3 = 15, M i = -1， M 2 = 1, M 3 = 1,则n 二 1 35(-1) 2 211315 1 二 52 (mod 105),因此所求的整数n 二52 + 105t , t Z .例2解同余式组x 三 1(mod 5) x 三 2(mod 6) x 三—1(mod7 ). x = 2(mod 11)练习：解同余式组x = 1(mod 4) x 三 2(mod 7) x 三 1(mod15 ).x = 2(mod 13) 例3解同余式组x 三1(mod 15) x 三2(mod 8) x 三1 (mod25 )I练习：判别同余式组x 三1(mod 3)x 三1(mod 6)x = 1(mod15 )三2(mod 13)是否有解？若有解，求出其解.例4解同余式19x三556 (mod1155 ).例5解同余式组2x = 3(mod 15)I3x 三5(mod 8)4x 三13(mod25 )例6解同余方程5x2 6x 49 二0 (mod 60). (15) 解因为60 = 3 4 5,所以，同余方程(15)等价于同余方程组5x2+ 6x + 49 三0 (mod 3) (16)25x + 6x + 49 三0 (mod 4) (17)5x2+ 6x + 49 三0 (mod 5). (18) 分别解同余方程(16)，(17)，(18)得到解冷⑴三1，X2⑴三1 (mod 3)，X i⑵三1, X2⑵三1 (mod 4),xi⑶-1 (mod 5),这样，同余方程(15)的解x可由下面的方程组决定：x = (mod 3), x = a2 (mod 4), x=a3 (mod 5),其中a1 = 1或-1, a2 = 1或-1, a3 = 1•利用孙子定理，取m1 = 3, m2 = 4, m3 = 5, m = 60,M1 = 20, M2 = 15, M3 = 12,M1 = 2, M2 = -1, M3 = 3,则x 三40a1 - 15a2 36a3 (mod 60).将a1, a2, a3所有可能的取值代入上式，得到方程(15)的全部解是x1三401 - 151 361 三1 (mod 60),计 40(-1)- 151 36 1 二-19 (mod 60),x s 二401 - 15(-1) 36 1 二31 (mod 60),x4 二40(-1) - 15(-1) 361 二11 (mod 60).7、小结8 作业P62：ex22。
《中国剩余定理(孙子定理)》教案
《中国剩余定理（孙子定理）》教案教学目标：1.理解中国剩余定理（孙子定理）的原理和概念。
2.掌握中国剩余定理（孙子定理）的证明方法和应用。
3.培养学生分析问题和解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣和热情。
教学内容：1.中国剩余定理（孙子定理）的背景和历史。
2.中国剩余定理（孙子定理）的数学原理和证明。
3.中国剩余定理（孙子定理）的应用实例。
教学重点与难点：重点：中国剩余定理（孙子定理）的证明和应用。
难点：理解中国剩余定理（孙子定理）的数学原理和应用方法。
教具和多媒体资源：1.黑板和粉笔。
2.PPT演示文稿。
3.教学视频和网络资源。
教学方法：1.激活学生的前知：通过提问和讨论，了解学生对中国剩余定理（孙子定理）的认知情况。
2.教学策略：采用讲解、示范、小组讨论和案例分析相结合的方法，帮助学生理解中国剩余定理（孙子定理）的原理和应用。
3.学生活动：设计小组讨论和案例分析活动，让学生通过合作探究的方式掌握中国剩余定理（孙子定理）的应用方法。
教学过程：1.导入：介绍中国剩余定理（孙子定理）的历史背景和概念，激发学生对课题的兴趣。
2.讲授新课：通过讲解、示范和PPT演示，让学生了解中国剩余定理（孙子定理）的数学原理和证明方法。
3.巩固练习：设计小组讨论和案例分析活动，让学生通过合作探究的方式掌握中国剩余定理（孙子定理）的应用方法。
4.归纳小结：总结中国剩余定理（孙子定理）的原理、证明和应用方法，强调重点和难点。
评价与反馈：1.设计评价策略：采用小组讨论和案例分析活动，观察学生在课堂上的表现，评价学生对中国剩余定理（孙子定理）的理解和应用能力。
2.为学生提供反馈：根据学生的表现，给予及时的反馈和建议，帮助学生改进学习方法和提高应用能力。
3.课后作业：布置相关练习题和思考题，让学生进一步巩固所学知识和提高应用能力。
初中定理的教案
初中定理的教案教学目标：1. 让学生理解并掌握所学的数学定理；2. 培养学生运用定理解决实际问题的能力；3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。
教学内容：1. 定理的定义和特点；2. 定理的证明过程；3. 定理的应用举例。
教学步骤：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的数学知识，让学生思考定理在数学中的重要性；2. 向学生介绍本节课要学习的定理。
二、定理的定义和特点（15分钟）1. 给出定理的定义，让学生理解定理的含义；2. 分析定理的特点，让学生了解定理的构成要素；3. 通过示例，让学生学会如何表述定理。
三、定理的证明过程（20分钟）1. 引导学生了解定理的证明过程，让学生明白定理的证明是建立在逻辑推理基础上的；2. 通过示例，让学生学会如何证明一个定理；3. 让学生分组讨论，每组选定一个定理进行证明，并展示证明过程。
四、定理的应用举例（15分钟）1. 通过示例，让学生学会如何运用定理解决实际问题；2. 让学生分组讨论，每组选定一个实际问题，运用所学定理进行解决，并展示解题过程；3. 引导学生总结定理在解决实际问题中的应用规律。
五、课堂小结（5分钟）1. 让学生回顾本节课所学的内容，总结定理的定义、特点及证明过程；2. 强调定理在数学学习中的重要性，鼓励学生在日常生活中多运用定理解决问题。
六、课后作业（课后自主完成）1. 复习本节课所学定理，做好课堂笔记；2. 完成课后练习题，巩固所学知识；3. 选择一个实际问题，运用所学定理进行解决，并将解题过程写成小论文。
教学评价：1. 课后收集学生的课堂笔记，检查学生对定理的理解和掌握程度；2. 批改学生的课后作业，检查学生对定理的应用能力；3. 在下一节课开始时，让学生分享自己课后解决问题的经历，以此评价学生的学习效果。
介绍小学数学定理教案模板
一、教学目标1. 知识与技能目标：让学生掌握并理解相关数学定理，提高学生的数学逻辑思维能力。
2. 过程与方法目标：通过探究、讨论、实践等活动，培养学生的合作精神、探究能力和创新意识。
3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：使学生掌握并理解相关数学定理，能够熟练运用定理解决实际问题。
2. 教学难点：引导学生深入理解定理，培养他们的逻辑推理能力。
三、教学准备1. 教师准备：相关教材、课件、教具等。
2. 学生准备：预习教材，了解相关定理。
四、教学过程1. 导入新课（1）教师通过提问、故事等形式，激发学生对新知识的兴趣。
（2）引导学生回顾旧知识，为新知识的学习做好铺垫。
2. 探究新知（1）教师展示相关数学定理，引导学生阅读并理解。
（2）通过小组合作、探究等活动，让学生亲自体验定理的应用。
（3）教师引导学生总结定理的特点、适用范围和证明方法。
3. 巩固练习（1）教师设计一系列练习题，让学生巩固所学知识。
（2）鼓励学生互相交流、讨论，提高解题能力。
4. 应用新知（1）教师提供实际生活案例，让学生运用所学定理解决实际问题。
（2）引导学生反思，总结定理在生活中的应用价值。
5. 总结反思（1）教师引导学生回顾本节课所学内容，总结重点、难点。
（2）学生分享学习心得，教师给予评价和指导。
6. 布置作业（1）布置课后练习题，巩固所学知识。
（2）布置探究性作业，引导学生深入思考。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与度、合作精神、探究能力等。
2. 作业完成情况：检查学生课后作业的完成质量，了解学生对知识的掌握程度。
3. 评价方式：教师评价、学生互评、自我评价相结合。
六、教学反思1. 教师在课后总结教学效果，反思教学过程中的优点和不足。
2. 针对不足之处，调整教学策略，提高教学质量。
本教案模板适用于小学数学定理教学，教师可根据实际情况进行修改和调整。
对话中分享“孙子定理”——“孙子定理”的设计意图及课堂教学实录
对话中分享“孙子定理”——“孙子定理”的设计意图及课
堂教学实录
华应龙;宋征
【期刊名称】《小学教学：数学版》
【年(卷),期】2006(000)009
【总页数】3页(P8-10)
【作者】华应龙;宋征
【作者单位】
【正文语种】中文
【中图分类】G623.5
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1.对话中分享"孙子定理"——"孙子定理"的设计意图及课堂教学实录 [J], 华应龙;宋征
2.对话中分享"孙子定理" [J], 华应龙;宋征
3.互素模一般线性同余方程式组中推广的孙子定理 [J], 杜凤英;朱伟义
4.孙子定理在通信编码中的一种应用 [J], 杨凯
5.孙子定理在复合伪码测距中的应用 [J], 王彬
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孙子定理教案
2.3 孙子定理一、教学目标：1.掌握孙子定理2.掌握孙子定理的证明思想3.掌握孙子定理的应用二、教学重点：孙子定理的证明，孙子定理的应用三、教学难点：孙子定理的证明思想、孙子定理的应用四、课时安排：2个课时五、教学手段：采用多媒体演示与讲授相结合的方法，用多媒体边演示边讲解。
六、教学过程：课程导入：《孙子算经》、《周髀算经》与《九章算术》这三部著作是我国古代三大数学名著。
新课内容： 1. 孙子问题在公元三世纪前的《孙子算经》中记载着一道世界闻名的“孙子问题”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？” 这道题的意思是：有一批物品，不知道有多少件。
如果三件三件地数，就会剩下两件；如果五件五件地数，就会剩下三件；如果七件七件地数，也会剩下两件。
问这批物品有多少件？它可表示成解同余式组：x ≡2(mod 3), x ≡3(mod 5), x ≡2(mod 7)其中x 是所求物品数。
我国明朝数学家程大位在其著作《算法统综》（1593年）中用诗歌概括了这个问题的解法：三人同行七十稀、五树梅花二一枝、七子团圆正半月，除百零五便得知。
它的意思是：把用3除所得余数乘上70，加上用5除所得余数乘上21，再加上用7除所得余数乘上15，结果如果比105多，则减去105的倍数，即得所求之数。
列成算式就是：70⨯2+21⨯3+15⨯2-2⨯105=23。
这种解法，实际上是特殊的一次同余式组的求解定理。
真正从完整的计算程序和理论上解决这个问题的，是南宋时期的数学家秦九韶。
秦九韶在他的《数书九章》中提出了一个数学方法“大衍求一术”，系统地论述了一次同余式组解法的基本原理和一般程序。
1801年，德国数学家高斯在《算术探究》中明确提出一次同余式组的求解定理。
西方数学著作中将一次同余式的求解定理称为中国剩余定理。
这个方法的巧妙之处就在70，21，15这三个数上。
70可被5和7整除，而且是用3除余1的最小正整数；21可被3和7整除，而且是用5除余1的最小正整数；15可被3和5整除，而且是用7除余1的最小正整数。
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Байду номын сангаас教学类型
讲授型 ，自主学习型 ，探究学习型
适用对象
学生课后自学，教师课堂教学
设计思路
首先通过故事引入，增强学生学习的兴趣，激发学生的好奇心。然后在学生掌握同余式的概念及基本性质的基础上，给出孙子定理，通过孙子定理的证明让学生了解一次同余式组的求解过程，从而使得学生能够应用孙子定理解决一些数学问题。整个微课设计思路是：故事导入——提出问题——分析问题——解决问题——问题总结——设疑铺垫。
该微课设计环节包括“故事导入——提出问题——分析问题——解决问题——问题总结——设疑铺垫”。设计环节紧凑，内容严谨，主线清晰，重难点突出，逻辑性强。能够仅仅围绕“孙子定理”这个知识点有效进行讲授、演算、分析、推理、设疑答疑。充分利用了现代信息技术，使教学过程深入浅出，形象生动，精彩有趣，启发引导性强。有利于提升学生学习积极主动性，提高学生数学思维能力，将“枯燥复杂”的数学理论变得“生动有趣”。
教学过程
讲解内容
画面
时间
1、片头
（2分30秒以内）
内容：通过时空穿越到楚汉相争，有这一故事韩信点兵取胜引出“孙子问题”，以此增加数学课堂的趣味性，激发学生好奇心。
第1至10张PPT
2分20秒以内
2、正文讲解
（7分20秒以内）
知识点1.孙子定理的数学发展史。
第11至16张PPT
1分以内
知识点2.韩信快速点兵的方法即采用了孙子定理，给出孙子定理及其证明。
第28至28张PPT
10秒以内
教学反思
（自我评价）
孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，也是比较难的一个定理。要想让学生掌握该定理并能灵活运用该定理解答相关问题，就必须引起学生的注意力，激发学生学习的兴趣。因此，在设计该微课时，我们采用时空穿越，来到古代楚汉相争，韩信点兵，通过故事场景引出“孙子问题”，并介绍孙子定理的历史由来。这也便于学生了解数学史，扩展学生知识面，提高学生的数学修养。通过剖析解决孙子问题的关键所在，进一步让学生掌握孙子定理的证明。学生不仅要知道孙子定理，还要能应用孙子定理解决相关问题。通过解答《孙子算经》中的孙子问题，使学生加深理解，巩固孙子定理。
《孙子定理》微课设计
录制时间：2019年010月14日 微课时间：10分钟
本微课名称
孙子定理
知识点描述
孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，又称“中国剩余定理”。
知识点来源
√学科：理科年级：大一
教材：《初等数论》闵嗣鹤编，高等教育出版社
章节：第四章第二节页码：76-79
基础知识
第17至23张PPT
4分10秒以内
知识点3.应用孙子定理求解《孙子算经》中的问题及对前述问题答案进一步阐述。
第25至27张PPT
2分10秒以内
技能点1.剖析孙子问题的关键所在。
第20至24张PPT
2分以内
3、结尾
（10秒以内）
内容：最后强调孙子定理中的关键前提条件是“两两互质”，如若不然，又将如何？这位下一个微课讲解做一铺垫链接。