6.1点估计的概念与无偏性

课题名称、授课时数：§6.1点估计的概念与无偏性（1.5） 授课类型： 理论课 教学方法与手段： 讲授

教学目的与要求：理解参数估计中参数的意义，了解参数估计的形式，

理解点估计的概念、无偏估计、有效估计的意义，掌握总体均值、总体方差的无偏估计.

教学重点、难点：点估计的概念，无偏估计、有效估计的意义. 教学内容：

6.1.1.点估计与无偏性

定义6.1.1设12,,,n x x x 是来自总体的一个样本，用于估计未

知参数θ的统计量()12ˆˆ,,,n

x x x θθ=称为θ的估计量，或称为θ的点估计，简称估计.

统计量ˆθ如何构造并没有明确的规定，只要满足一定的合理性即可.最常见的合理性要求是所谓的无偏性.

定义6.1.2设12ˆˆ(,,,)n

x x x θθ=是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对任意的Θ∈θ，有

ˆ()E θθ

θ= （6.1.1） 则称θˆ是θ的无偏估计，否则称为有偏估计.

无偏估计的含义：无偏性要求可改写为0)ˆ(=-θθE ，表示

无偏估计没有系统偏差.在使用θˆ估计θ时，由于样本的随机性，

ˆθθ与总是有偏差的，这种偏差时而（对某些样本观测值）为

正，时而（对某些样本观测值）为负，时而大，时而小.无偏性表示把这些偏差平均起来其值为0.而若估计不具有无偏性，则无论使用多少次，其平均也会与参数真值有一定的距离，这个距离就是系统误差.

例6.1.1（1）对任意总体X ，若μ=)(X E ，2)(σ=X Var ，

12,,

,n x x x 是来自X 的样本，则()22,

()E X E S μσ==.

（2）当总体X 的k 阶矩存在时，样本的k 阶原点矩k a 是总体k 阶原点矩k μ的无偏估计.但对k 阶中心矩则不一样.

证明：（1）∵μμ====∑∑==n n

x E n x n E X E n i i n i i 1

)(1)1()(11.

∴ X μ是的无偏估计.

又因为对任意的随机变量X 有：])([)()(22X E X E X Var -=， 从而 ])([)()(22X E X Var X E +=，

且 n n n x Var n

x n Var X Var n

i i n i i 22

21

2

11)(1

)1()(σσ====∑∑==. 所以 )](11[])(11[)(21

212

2

x n x n E x x n E S E n

i i n i i --=--=∑∑==

)]()([11

21

2x nE x E n n

i i --=

∑= )]()([112212

2μσμσ+-+-=

∑=n

n n n

i 22222)(1

1

σμσμσ=--+-=

n n n n . 故 2

211()1n

i i S x x n ==--∑是2σ的无偏估计. 而 221

1()n

n

i i S x x n ==-∑不是2σ的无偏估计.

由于 22

1n n S S n

-=

， 故 222

2

11()()n n n E S E S n n

σσ--==<. 由此知：采用22S σ作为的估计量，不会产生系统偏差.

（2） ∵ n x x x ,...,,21与总体X 同分布，所以，

()()1,2,

,,

1,2,

k k i k E x E X i n k μ====，，

∴ k k n k k i n i k i k n n

x E n x n E a E μμ====∑∑==1

)(1)1()(11.

故 k k a μ是的无偏估计.

由（1）知：对于k 阶中心矩则不一样（22n S σ不是的无偏估计）.

由于22

21()n n E S n

σσ-=

<，因此用2n S 估计2σ有偏小的倾向，特别在小样本情况下要使用2S 作为2σ的估计量（当

22

2n n s ≥<时，s ）. 因此无偏估计是对小容量样本的要求.

无偏性不具有不变性.即若ˆθθ是的无偏估计，一般而言，

其函数()ˆ()g g θ

θ不是的无偏估计，除非()g θθ是的线性函数. 例6.1.2 设总体为()212,,,...,n N x x x μσ，是样本，已知

22)(σ=S E ，()E S σ≠但.

分析：由定理5.4.1知，()()22

2

11n s Y n χσ

-=-，密度为 ()1122

1

2

1

,

0.12

2n y

n p y y

e y n ----=

>-⎛⎫Γ ⎪⎝⎭

从而

()()

()111222210

02

-1--1

-1--22

2

2

2

2

1

122=2,=22=2

=22n y

n n y n n n

x

x n E Y y p y dy y e dy n y x y e dy x e d x x e dx n ∞∞---∞

∞

∞

⎛⎫== ⎪-⎛⎫⎝⎭Γ ⎪

⎝⎭

⎛⎫

Γ ⎪

⎝⎭

⎰⎰⎰⎰

⎰

令则

所以

2

12

12221222n

n n n E Y n -⎛⎫⎛⎫Γ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪-⎛⎫⎝⎭ΓΓ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

由此有