机械能守恒定律及其应用(含答案)

专题机械能守恒定律及其应用【考情分析】1．掌握重力势能、弹性势能的概念，并能计算。

2．掌握机械能守恒的条件，会判断物体的机械能是否守恒。

3．掌握机械能守恒定律的三种表达形式，理解其物理意义，并能熟练应用。

【重点知识梳理】知识点一重力做功与重力势能1．重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与初末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2．重力势能(1)公式：E p＝mgh。

(2)特性：①标矢性：重力势能是标量，但有正、负，其意义是表示物体的重力势能比它在参考平面上大还是小，这与功的正、负的物理意义不同。

②系统性：重力势能是物体和地球所组成的“系统”共有的。

③相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关。

重力势能的变化是绝对的，与参考平面的选取无关。

3．重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减少；重力对物体做负功，重力势能就增加。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量。

即W G＝E p1－E p2＝－ΔE p。

知识点二弹性势能1．定义：物体由于发生弹性形变而具有的能．2．弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加，即W ＝－ΔE P.知识点三机械能守恒定律及其应用1．机械能：动能和势能统称为机械能，其中势能包括重力势能和弹性势能.12．机械能守恒定律(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变.(2)守恒条件：只有重力或系统内弹力做功．(3)常用的三种表达式：①守恒式：E1＝E2或E k1＋E P1＝E k2＋E P2.(E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能)②转化式：ΔE k＝－ΔE P或ΔE k增＝ΔE P减.(表示系统势能的减少量等于动能的增加量)③转移式：ΔE A＝－ΔE B或ΔE A增＝ΔE B减.(表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能)【典型题分析】高频考点一机械能守恒的理解与判断【例1】（2019·浙江选考）奥运会比赛项目撑杆跳高如图所示，下列说法不正确的是( )A．加速助跑过程中，运动员的动能增加B．起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加C．起跳上升过程中，运动员的重力势能增加D．越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加【答案】B【解析】加速助跑过程中速度增大，动能增加，A正确；撑杆从开始形变到撑杆恢复形变时，先是运动员部分动能转化为杆的弹性势能，后弹性势能转化为运动员的动能与重力势能，杆的弹性势能不是一直增加，B错误；起跳上升过程中，运动员的高度在不断增大，所以运动员的重力势能增加，C正确；当运动员越过横杆下落的过程中，他的高度降低、速度增大，重力势能被转化为动能，即重力势能减少，动能增加，D正确。

2【方法技巧】1．利用机械能的定义判断(直接判断)：分析动能和势能的和是否变化．2．用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，或有其他力做功，但其他力做功的代数和为零，则机械能守恒．3．用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒．【变式探究】（2020·湖北黄冈模拟）如图所示，一轻弹簧一端固定在O点，另一端系一小球，将小球从与悬点O在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度释放，让小球自由摆下。

不计空气阻力。

在小球由A点摆向最低点B的过程中，下列说法正确的是()A．小球的机械能守恒B．小球的机械能减少C．小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变D．小球和弹簧组成的系统机械能守恒【答案】BD【解析】小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D正确。

高频考点二单物体的机械能守恒【例2】(2017·全国卷Ⅱ·19)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直．一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)()34A ．v 216gB ．v 28gC ．v 24gD ．v 22g【答案】B【解析】设小物块的质量为m ，滑到轨道上端时的速度为v 1.小物块上滑过程中，机械能守恒，有12mv 2＝12mv 21＋2mgR①小物块从轨道上端水平飞出，做平拋运动，设水平位移为x，下落时间为t，有 2R ＝12gt 2②x ＝v 1t ③ 联立①②③式整理得x 2＝(v 22g )2－(4R －v 22g)2 可得x 有最大值v 22g ，对应的轨道半径R ＝v 28g.【方法技巧】求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 1.选取研究对象——物体。

2.根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。

3.恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。

4.选取方便的机械能守恒定律的方程形式E k1＋E p1＝E k2＋E p2、ΔE k ＝－ΔE p 进进进进进【变式探究】(2020·宁夏石嘴山三中模拟)如图所示，P 是水平面上的固定圆弧轨道，从高台边B 点以速度v 0水平飞出质量为m 的小球，恰能从左端A 点沿圆弧切线方向进入。

O 是圆弧的圆心，θ是OA 与竖直方向的夹角。

已知m ＝0.5 kg ，v 0＝3 m/s ，θ＝53°，圆弧轨道半径R ＝0.5 m ，g 取10 m/s 2，不计空气阻力和所有摩擦，求：5(1)A 、B 两点的高度差；(2)小球能否到达最高点C ？如能到达，小球对C 点的压力大小为多少？【解析】(1)小球从B 到A 做平抛运动，到达A 点时，速度与水平方向的夹角为θ，则有v A ＝v 0cos θ＝5 m/s根据机械能守恒定律，有mgh ＝12mv 2A －12mv 2解得A 、B 两点的高度差h ＝0.8 m 。

(2)假设小球能到达C 点，由机械能守恒定律得 12mv 2C ＋mgR (1＋cos θ)＝12mv 2A 代入数据解得v C ＝3 m/s 小球通过C 点的最小速度为v ， 则mg ＝m v 2R ，v ＝gR ＝ 5 m/s因为v C >v ，所以小球能到达最高点C 在C 点，由牛顿第二定律得mg ＋F ＝m v 2CR代入数据解得F ＝4 N由牛顿第三定律知，小球对C 点的压力大小为4 N 。

高频考点三多物体机械能守恒【例3】(2020·山东泰安二模)如图所示，可视为质点的小球1、2由不可伸长的细绳相连，小球1悬挂在定滑轮O 的下方，小球2在半径为R 的半球形固定容器内，定滑轮O 与容器的边缘D 及球心C 在同一水平线上。

系统静止时，小球1在定滑轮正下方R 处的A 点，小球2位于B 点，BD 间的细绳与水平方向的夹角θ＝60°。

已知小球1的质量为m ，重力加速度为g ，不计一切摩擦，忽略滑轮的质量。

(结果用根号表示)(1)试求小球2的质量；6(2)现将小球2置于D 处由静止释放(小球1未触及地面)，求小球1到达A 点时的动能；(3)在第(2)问中，小球2经过B 点时，突然剪断细绳，求小球2经过容器最低点时对容器的压力。

【解析】(1)设系统静止时细绳中的拉力大小为T 。

小球受到容器的支持力F B 方向沿BC 。

由几何关系知△DBC 为正三角形，所以∠DBC ＝θ①对小球1、小球2，根据共点力的平衡条件知 T ＝mg ② T cos θ＝F B cos θ ③ T sin θ＋F B sin θ＝m 2g ④ 解得：m 2＝3m 。

⑤ (2)设经过题中图示位置时小球1的速度为v 1，小球2的速度为v 2。

v 1沿绳竖直向上，v 2沿圆弧切线斜向下。

由几何关系知，v 2与DB 延长线的夹角为90°－θ ⑥由运动关系可知，v 1与v 2应满足 v 2sin θ＝v 1⑦ 由几何关系知，BD ＝R ⑧ 根据机械能守恒定律得 m 2gR sin θ－mgR ＝12mv 21＋12m 2v 22 ⑨ 此时小球1的动能E k ＝12mv 21⑩ 解得E k ＝3mgR2(3＋43)＝43－326mgR⑪ ⎝ ⎛⎭⎪⎫v 22＝4gR 43＋3，v21＝3gR 43＋3。

(3)细绳剪断后，小球2以v 2为初速度，从B 点沿圆弧运动到最低点，设经过最低点的速度为v 3， 根据机械能守恒定律，得712m 2v 22＋m 2g (R －R sin θ)＝12m 2v 23⑫设小球2经过容器最低点时受到的支持力为N ，根据牛顿第二定律得N －m 2g ＝m 2v 23R⑬解得N ＝353－2313mg⑭由牛顿第三定律知，小球2对容器的压力大小也为 353－2313mg ，方向向下。

⑮ 【答案】(1)3m (2)43－326mgR (3)353－2313mg ，方向向下【方法技巧】解决多物体机械能守恒问题的三点注意1.对多个物体组成的系统，一般用“转化法”或“转移法”来判断系统的机械能是否守恒。

2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。

3.列机械能守恒方程时，一般选用ΔE k ＝－ΔE p 或ΔE A ＝－ΔE B 的形式。

【变式探究】 (2020·河北保定一中模拟)如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k ＝200 N/m 的轻质弹簧一端连接固定挡板C 上，另一端连接一质量为m ＝4 kg 的物体A ，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A 上，另一端与质量也为m 的物体B 相连，细绳与斜面平行，斜面足够长．用手托住物体B 使绳子刚好没有拉力，然后由静止释放．求：(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；(2)物体A 沿斜面向上运动多远时获得最大速度； (3)物体A 的最大速度的大小． 【解析】 (1)恢复原长时 对B 有mg －F T ＝ma 对A 有F T －mg sin 30°＝ma 解得F T ＝30 N.(2)初态弹簧压缩x 1＝mg sin 30°k ＝10 cm当A速度最大时mg ＝kx 2＋mg sin 30°8弹簧伸长x 2＝mg －mg sin 30°k ＝10 cm所以A 沿斜面上升x 1＋x 2＝20 cm. (3)因x 1＝x 2，故弹性势能改变量ΔE P ＝0， 由系统机械能守恒mg (x 1＋x 2)－mg (x 1＋x 2)sin 30°＝12×2m ·v 2得v ＝g ·m2k＝1 m/s. 【答案】 (1)30 N (2)20 cm (3)1 m/s 高频考点四 机械能守恒的应用【例4】（2020·新课标Ⅰ）一物块在高3.0 m 、长5.0 m 的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s 的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s 2。