地磁场和磁场中的临界极值问题
磁场中的临界极值问题
带电粒子在磁场中运动的极值问题1.解决此类问题的关键是:找准临界点.2.找临界点的方法是:以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,借助半径R 和速度v （或磁场B ）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析,确定轨迹圆和边界的关系,找出临界点,然后利用数学方法求解极值,常用结论如下:（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切.（2）当速度v 一定时,弧长（或弦长）越长,圆周角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长.（3）当速率v 变化时,圆周角大的,运动时间越长.1 如图7所示, 匀强磁场 的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF.一电子从CD 边界外侧以速率v0垂直匀强磁场射入,入射方向与CD 边界间夹角为θ.已知电子的质量为m,电荷量为e,为使电子能从磁场的另一侧EF 射 出,求电子的速率v 0至少多大?2、如图所示，环状匀强磁场围成的中空区域内具有自由运动的带电粒子，但由于环状磁场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘，设环状磁场的内半径R 1=0.5m ，外半径R 2=1.0m ，磁场的磁感应强度B=1.0T ，若被束缚的带电粒子的荷质比为 mq 4×107C/kg ，中空区域中带电粒子具有各个方向的速度。
试计算： （1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
4、如图所示一足够长的矩形区域abcd 内充满磁感应强度为B ，垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad 边的中点O 处，垂直磁场射入一速度方向与ad 边夹角30°，大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为l ，重力影响不计。
（1）试求粒子能从ab 边上射出磁场的v 0的大小范围。
（2）粒子在磁场中运动的最长时间是多少？5如图甲所示，建立Oxy 坐标系，两平行极板P 、Q 垂直于y 轴且关于x 轴对称，极板长度和板间距均为l ，第一四象限有磁场，方向垂直于Oxy 平面向里。
带电粒子在匀强磁场中的运动-临界、极值及多解问题
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例题
有些题目只告诉了磁感应的大小，而未具体 指出磁感应强度的方向，此时必须要考虑磁
感应强度方向不确定而形成多解
电场力方向一定指向圆心，而洛伦兹力方向可能指向圆心，也可能背离圆心， 从而形成两种情况.
• 2.方法界定将一半径为 的圆绕着入射点旋转， 从而探索出临界条件，这种方法称为“旋转法”.
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旋转法”模型示例
带电粒子在磁场中运动的多解问题
• 带电粒子电性不确定形成多解 • 受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电荷，也可
能带负电荷，在相同的初速度的条件下，正、负粒 子在磁场中运动轨迹不同，导致形成多解.
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“放缩圆”模型示例
“旋转法”解决有界磁场中的临界问题
• 1.适用条件（1）速度大小一定，方向不同带电粒子 进入匀强磁场时，他们在磁场中做匀速圆周运动的 半径相同，若射入初速度为v0，则圆周半径为 . 如图所示.（2）轨迹圆圆心——共圆带电粒子在磁 场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、 半径 的圆上.
临界状态不唯一形成多解
• 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场 时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此， 他可能直接穿过去了，也可能转过180°从 入射界面反向飞出，于是形成了多解.如图 所示.
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Байду номын сангаас
带电粒子在匀强磁场中的运动临界、极值及多解问题
• 1.有界磁场中临界问题的处 理方法
• 2.带电粒子在磁场中运动的 多解问题
1.有界磁场中临界问题的处理方法
• “放缩法”解决有界磁场中的临界问题 • 1.适用条件 • （1）速度方向一定，大小不同粒子源发射速度方向一定、大小
带电粒子在有界磁场中的临界,极值,多解问题
带电粒子在匀强磁场中的运动---临界问题、极值问题与多解问题一、带电粒子在有界磁场中运动的临界和极值问题带电粒子在有界磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件，然后应用数学知识和相应物理规律分析求解．找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R和速度v(或磁场B)之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切；（2）当速率v一定时，弧长越长，轨迹对应的圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长；（3）当速率v变化时，圆心角大的，运动时间越长。
【例1】如图所示真空中狭长区域的匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，宽度为d，速度为v的电子从边界CD外侧垂直射入磁场，入射方向与CD间夹角为θ．电子质量为m、电量为q．为使电子从磁场的另一侧边界EF射出，则电子的速度v应为多大?二、带电粒子在有界磁场中运动的多解问题1. 带电粒子电性不确定形成多解.受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度下，正负粒子在磁场中的运动轨迹不同，形成多解．2. 磁场方向不确定形成多解．3. 临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧形的，它可能穿过去，也可能转过１８０°从磁场的入射边界边反向飞出，于是形成多解．4. 运动的重复性形成多解：带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有重复性，形成多解．【例2】 长为L ，间距也为L 的两平行金属板间有垂直向里的匀强磁场，如图所示，磁感应强度为B ，今有质量为m 、带电量为q 的正离子从平行板左端中点以平行于金属板的方向射入磁场。
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题
物理带电粒子在匀强磁场中运动的临界极值问题由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，所以常常出现临界和极值问题。
1．临界问题的分析思路临界问题分析的是临界状态，临界状态存在不同于其他状态的特殊条件，此条件称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破口。
2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种：(1)根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论；(2)借助几何知识确定极值所对应的状态，然后进行直观分析3．四个结论(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时，圆心角大的，运动时间长，解题时一般要根据受力情况和运动情况画出运动轨迹的草图，找出圆心，根据几何关系求出半径及圆心角等。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦长中直径最长)。
【典例】平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面（纸面）如图所示，平面OM上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m，电荷量为q（q>0）。
粒子沿纸面以大小为v的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON 只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（）【应用练习】1、如图所示，半径为r的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场边界上A点有一粒子源，源源不断地向磁场发射各种方向（均平行于纸面）且速度大小相等的带正电的粒子（重力不计），已知粒子的比荷为k，速度大小为2kBr。
则粒子在磁场中运动的最长时间为（）3．如图所示，直角坐标系中y轴右侧存在一垂直纸面向里、宽为a的有界匀强磁场，磁感应强度为B，右边界PQ平行于y轴，一粒子(重力不计)从原点O以与x轴正方向成θ角的速率v垂直射入磁场，当斜向上射入时，粒子恰好垂直PQ射出磁场，当斜向下射入时，粒子恰好不从右边界射出，则粒子的比荷及粒子恰好不从右边界射出时在磁场中运动的时间分别为( )4、如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。
超全带电粒子在有界磁场中运动的临界问题极值问题和多解问题
二．带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
QP
P
QPQ
B
S 圆心在磁场
原边界上
S
圆心在过入射点跟 边界垂直的直线上
S
圆心在过入射点跟跟速 度方向垂直的直线上
①速度较小时，作半圆 运动后从原边界飞出； ②速度增加为某临界值 时，粒子作部分圆周运 动其轨迹与另一边界相 切；③速度较大时粒子 作部分圆周运动后从另 一边界飞出
பைடு நூலகம்
后从原边界飞出；②速度在某一范
围内从上侧面边界飞；③速度较大
时粒子做部分圆周运动从右侧面边
界飞出；④速度更大时粒子做部分
圆周运动从下侧面边界飞出。
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
(1)若使电子源发射的电子能到达挡 板，则发射速度最小为多大？
(2)如果电子源S发射电子的速度为 第(1)问中的2倍，则挡扳上被电子击中 的区域范围有多大？
(2)要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速 度v0的可能值．
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态
三．带电粒子在矩形边界磁场中的运动
B
o
圆心在磁场原边界上
①速度较小时粒子作半圆 运动后从原边界飞出；② 速度在某一范围内时从侧 面边界飞出；③速度较大 时粒子作部分圆周运动从 对面边界飞出。
圆心在
过入射
点跟速
d
c 度方向
垂直的
直线上 B
θ
a
b
①速度较小时粒子做部分圆周运动
①速度较小时，作圆 周运动通过射入点； ②速度增加为某临界 值时，粒子作圆周运 动其轨迹与另一边界 相切；③速度较大时 粒子作部分圆周运动 后从另一边界飞出
第九章 微专题 巧用动态圆解磁场中的临界、极值问题
(2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图 (b)所示． 由几何关系知 R2＝ d cos 30°
由洛伦兹力提供向心力得 v22 Bqv2＝ m R2 1 由动能定理得－ qU＝ 0－ mv22 2 B2qd2 2B2qd2 解得 U＝ ＝ 2mcos230° 3m 2B2qd2 所加电压满足的条件 U≥ . 3m
目录
CONTENTS
微专题|巧用动态圆解磁 场中的临界、极值问题
考点一
“放缩法”解决有界磁场中的临界问题
1．适用条件 (1)速度方向一定、大小不同 粒子源发射的速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这 些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
(2)轨迹圆的圆心共线 如图所示 (图中只画出粒子带正电的情景 )，速度 v0 越大，运动半径也越大．可以发现这些带电粒 子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直速度 方向的直线 PP′上． 2．方法界定 以入射点 P 为定点，圆心位于 PP′直线上，将半径放缩作轨迹，从而探 索出临界条件，这种方法称为“放缩法”．
T 2πm 粒子转过的圆心角为 60° ，所用时间为 ，而 T＝ 6 Bq 因返回通过磁场所用时间相2)中的 3倍时，解得 R3＝ 2d 由几何关系可得粒子能打到 CD 边界的范围如图 (c)所示．
粒子打到 CD 边界的距离 l＝ 2×2dcos 30° ＝ 2 3d
[解析] (1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为 R1，运动速度 为 v0.粒子能从左边界射出，临界情况如图 (a)所示，由几何条件知 R1＋ R1 cos 30° ＝d mv02 又 qv0B＝ R1 2 2－ 3 Bqd Bqd 解得 v0＝ ＝ m m1＋ cos 30°
2 2－ 3 Bqd 所以粒子能从左边界射出时的最大速度为 vm＝ v0＝ m
带电粒子在磁场中运动之临界与极值问题
考点4.6 临界与极值问题考点4.6.1 “放缩圆”方法解决极值问题1、圆的“放缩”当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度v 大小或磁场的强弱B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径r 随之变化．在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件．如图所示，粒子进入长方形边界OABC 形成的临界情景为②和④.1. （多选）如图所示，左、右边界分别为PP ′、QQ ′的匀强磁场的宽度为d ，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向里.一个质量为m 、电荷量为q的微观粒子，沿图示方向以速度v 0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ ′射出，粒子入射速度v 0的最大值可能是( )A.Bqd mB.(2＋2)Bqd mC.(2－2)Bqd mD.2Bqd 2m2. (2016·全国卷Ⅲ，18)平面OM 和平面ON 之间的夹角为30°，其横截面(纸面)如图所示，平面OM 上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向外。
一带电粒子的质量为m ，电荷量为q (q >0)。
粒子沿纸面以大小为v 的速度从OM 的某点向左上方射入磁场，速度与OM 成30°角。
已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM 上另一点射出磁场。
不计重力。
粒子离开磁场的出射点到两平面交线O 的距离为( )A.mv 2qBB.3mv qBC.2mv qBD.4mv qB3. （多选）长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如下图所示，磁感应强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电荷量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是( )A 、使粒子的速度v <BqL 4m B 、使粒子的速度v >5BqL 4m C 、使粒子的速度v >BqL m D 、使粒子速度BqL 4m <v <5BqL 4m4. 如图所示，边长为L 的正方形ABCD 区域内存在磁感应强度方向垂直于纸面向里、大小为B 的匀强磁场，一质量为m 、带电荷量为－q 的粒子从AB 边的中点处垂直于磁感应强度方向射入磁场，速度方向与AB 边的夹角为30°.若要求该粒子不从AD 边射出磁场，则其速度大小应满足( )A ．v ≤2qBL mB ．v ≥2qBL mC ．v ≤qBL mD ．v ≥qBL m5. 如图所示，条形区域AA ′、BB ′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为B ，AA ′、BB ′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度为d .一束带正电的某种粒子从AA ′上的O 点以大小不同的速度沿着AA ′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v 0时，粒子在磁场区域内的运动时间为定值t 0；当粒子速度为v 1时，刚好垂直边界BB ′射出磁场．不计粒子所受重力．求：(1) 粒子的比荷q m；(2) 带电粒子的速度v 0和v 1.6. 如图所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电荷量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1) 图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2) 要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？7.如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C 的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值U m；(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.8.如图所示，OP曲线的方程为：y=1－0.4 6.25-x(x,y单位均为m)，在OPM区域存在水平向右的匀强电场，场强大小E1=200N/C(设为I区)，PQ右边存在范围足够大的垂直纸面向内的匀强磁场，磁感应强度为B=0.1T(设为Ⅱ区)，与x轴平行的刚上方(包括PN存在竖直向上的匀强电场，场强大小E2=100N／C(设为Ⅲ区)，PN的上方h=3.125m处有一足够长的紧靠y轴水平放置的荧光屏AB，OM的长度为a=6.25m。
第九章微专题九巧用动态圆解磁场中的临界、极值问题
[解析] (1)画出从 O 点射入磁场的粒子运 动轨迹的动态圆，能够从 ab 边射出的粒 子的临界轨迹如图所示，轨迹与 dc 边相 切时，射到 ab 边上的 A 点，此时轨迹圆 心为 O1，则轨迹半径 r1＝L，由 qv0B＝mvr012得最大速度 v0＝qBmL. 轨迹与 ab 边相切时，射到 ab 边上的 B 点，此时轨迹圆心为 O2，则 轨道半径 r2＝L3，由 qv0B＝mvr022得最小速度 v0＝q3BmL. 所以粒子能够从 ab 边射出的速度范围为： q3BmL＜v0＜qBmL.
2．(2018·四川宜宾质检)如图所示，在 0≤x≤a、0≤y≤a2范围内有垂直于 xOy 平面 向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 B，坐 标原点 O 处有一个粒子源．在某时刻发射大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在 xOy 平面内， 与 y 轴正方向的夹角分布在 0～90°范围内．已知粒子在磁场中做圆 周运动的半径介于a2到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历 的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一．求最后离 开磁场的粒子从粒子源射出时：
电子运动轨迹的半径 r＝|me|Bv ＝4.55 cm.由图中几何关系有 O′C ＝ r2－r－d02，O′D ＝ 2r2－d02.当 θ＝90°时，O′D 取得最小值 3r，此时 OD ＝ O′D >L2，从而有 l＝ NC ＝ ON ＋ O′C －dcos θ＝L2＋ r2－r－d02－dcos θ.当 θ＝90°时，l＝9.1 cm；当 θ＝60°时，l＝6.78 cm；当 θ＝45°时，l＝5.68 cm，当 θ ＝30°时，l＝4.55 cm.A、D 正确，B、C 错误． [答案] AD
(2)轨迹圆圆心共圆 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点 P 为圆 心、半径 R＝mqBv0的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心 圆”)上． 2．方法界定 将一半径为 R＝mqBv0的圆绕着“入射点”旋转，从而探索出临 界条示，S 处有一电子源，可向纸面内任 意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L＝ 9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d＝4.55 cm，MN 与 SO 直线的 夹角为 θ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面 向外的匀强磁场，磁感应强度 B＝2.0×10－4T，电子质量 m＝ 9.1×10－31 kg，电量 e＝－1.6×10－19 C，不计电子重力．电子 源发射速度 v＝1.6×106 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能 位置的区域的长度为 l，则( )
磁场精讲精练带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题
一带电粒子在磁场中运动的临界、极值问题临界状态是指物体从一种运动状态（或物理现象）转变为另一种运动状态(或物理现象）的转折状态,它既具有前一种运动状态（或物理现象）的特点，又具有后一种运动状态（或物理现象)的特点，起着承前启后的转折作用．由于带电粒子在磁场中的运动通常都是在有界磁场中的运动，常常出现临界和极值问题．1．临界问题的分析思路临界问题的分析对象是临界状态，临界状态就是指物理现象从一种状态变化成另一种状态的中间过程，这时存在着一个过渡的转折点，此转折点即为临界状态点．与临界状态相关的物理条件则称为临界条件，临界条件是解决临界问题的突破点．临界问题的一般解题模式：(1)找出临界状态及临界条件;（2)总结临界点的规律;（3）解出临界量;（4）分析临界量列出公式．2．极值问题的分析思路所谓极值问题就是对题中所求的某个物理量最大值或最小值的分析或计算，求解的思路一般有以下两种:一是根据题给条件列出函数关系式进行分析、讨论;二是借助于几何图形进行直观分析．例题1．平面OM和平面ON之间的夹角为30°,其横截面（纸面）如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外．一带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0）．粒子沿纸面以大小为v的速度从OM的某点向左上方射入磁场，速度与OM成30°角．已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，并从OM上另一点射出磁场．不计重力．粒子离开磁场的出射点到两平面交线O的距离为（)A.mv2qB B．错误!C。
错误! D.错误!解析：选D.如图所示,粒子在磁场中运动的轨道半径为R＝错误!.设入射点为A，出射点为B，圆弧与ON的交点为P.由粒子运动的对称性及粒子的入射方向知，AB＝R。
由几何图形知，AP＝错误!R，则AO＝错误!AP＝3R，所以OB＝4R＝错误!。
故选项D正确．例题2．(多选）如图所示,M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的任意值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力），从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板,它与N板的夹角为θ＝30°,孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上,则( )A．两板间电压的最大值U m＝错误!B．CD板上可能被粒子打中区域的长度x＝错误!LC．粒子在磁场中运动的最长时间t m＝错误!D．能打在N板上的粒子的最大动能为错误!解析：选BCD.M、N两板间电压取最大值时,粒子恰垂直打在CD板上，所以其轨迹圆心在C点，CH＝QC＝L,故半径R1＝L,又因Bqv1＝m错误!，qU m＝错误!mv错误!，可得U m＝错误!，所以A错误．设轨迹与CD板相切于K点，半径为R2，在△AKC中sin 30°＝错误!＝错误!,可得R2＝错误!，CK长为错误!R2＝错误!L,则CD板上可能被粒子打中的区域即为HK的长度，x＝HK＝L－CK＝错误!L，故B正确．打在QE间的粒子在磁场中运动的时间最长，周期T＝错误!，所以t m＝错误!，C正确．能打到N板上的粒子的临界条件是轨迹与CD 相切，由B选项知，r m＝R2＝错误!，可得v m＝错误!，动能E km＝错误!,故D正确．例题3．如图甲所示，在空间中存在垂直纸面向里的磁感应强度为B的匀强磁场，其边界AB、CD相距为d，在左边界的Q点处有一质量为m、带电量为q的负粒子沿与左边界成30°的方向射入磁场,粒子重力不计．求：（1）带电粒子能从AB边界飞出的最大速度;（2）若带电粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图乙所示的匀强电场中减速至零且不碰到负极板，则极板间电压U应满足什么条件？整个过程粒子在磁场中运动的时间是多少？（3）若带电粒子的速度是(2)中的3倍，并可以从Q点沿纸面各个方向射入磁场,则粒子能打到CD边界的距离大小？解析：(1）带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，设半径为R1，运动速度为v0.粒子能从左边界射出，临界情况如图甲所示，由几何条件知R1＋R1cos 30°＝d又qv0B＝错误!解得v0＝错误!＝错误!所以粒子能从左边界射出时的最大速度为v m＝v0＝错误!（2)带电粒子能从右边界垂直射出，如图乙所示．由几何关系知R2＝错误!由洛伦兹力提供向心力得Bqv2＝m错误!由动能定理得－qU＝0－错误!mv错误!解得U＝错误!＝错误!所加电压满足的条件U≥错误!。
带电粒子在磁场中地临界极值问题
带电粒子在磁场运动的临界与极值问题考点解读解决此类问题的关键是：找准临界点． 找临界点的方法是：以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径R 和速度v (或磁场B )之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，常用结论如下：(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．(2)当速度v 一定时，弧长(或弦长)越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长．(3)当速率v 变化时，圆周角越大，运动时间越长．典例剖析1．磁感应强度的极值问题例1 如图所示，一带正电的质子以速度v 0从O 点垂直射入，两个板间存在垂直纸面向里的匀强磁场．已知两板之间距离为d ，板长为d ，O 点是板的正中间，为使质子能从两板间射出，试求磁感应强度应满足的条件(已知质子的带电荷量为e ，质量为m )．2．偏角的极值问题例2 在真空中，半径r ＝3×10－2m 的圆形区域内有匀强磁场，方向如图所示，磁感应强度B ＝0.2 T ，一个带正电的粒子以初速度v 0＝1×106 m/s 从磁场边界上直径ab 的一端a 射入磁场，已知该粒子的比荷q m＝1×108C/kg ，不计粒子重力．(1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射时v 0与ab 的夹角θ及粒子的最大偏转角．3．时间的极值问题例3 如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝45°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，求：(1)两板间电压的最大值Um；(2)CD板上可能被粒子打中的区域的长度x；(3)粒子在磁场中运动的最长时间t m.4．面积的极值问题例4 如图12所示，一带电质点，质量为m，电量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。
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地磁场和磁场中的临界极值问题问题一、地磁场1、下列关于地磁场的描述正确的是（）A.指南针总是指向南北是因为受到地磁场的作用B.地磁两极与地理两极完全重合C.地球周围的地磁场的磁感线是从地磁南极出发到地磁北极D.我国宋代学者沈括正确找到了地磁场产生的原因2、科考队进入某一磁矿区域后，发现指南针原来指向正北的N极逆时针转过30°（如图的虚线），设该处的地磁场磁感应强度水平分量为B，则磁矿所产生的磁感应强度水平分量的最小值为（）A．B B．2B3、指南针是我国古代的四大发明之一。
当指南针静止时，其N极指向如图1虚线(南北向)所示，若某一条件下该指南针静止时N极指向如图实线(N极北偏东向)所示。
则判断正确的是()A．可能在指南针上面有一导线东西放置，通有东向西的电流B．可能在指南针上面有一导线东西放置，通有西向东的电流C．可能在指南针上面有一导线南北放置，通有北向南的电流D．可能在指南针上面有一导线南北放置，通有南向北的电流4、已知龙岩市区地磁场磁感应强度B约为4.0×10－5T，其水平分量约为3.0×10－5T。
若龙岩市区一高层建筑安装了高50 m的竖直金属杆作为避雷针，在某次雷雨天气中，当带有正电的乌云经过避雷针的上方时，经避雷针开始放电，某一时刻的放电电流为1.0×105 A，此时金属杆受到地磁场对它的安培力方向和大小分别为()A．方向向东，大小约为150 N B．方向向东，大小约为200 NC．方向向西，大小约为150 N D．方向向西，大小约为200 N5、每时每刻都有大量宇宙射线向地球射来，地磁场可以改变射线中大多数带电粒子的运动方向，使它们不能到达地面，这对地球上的生命有十分重要的意义。
假设有一个带正电的宇宙射线粒子正垂直于地面向赤道射来，在地磁场的作用下，它将( )A．向东偏转B．向南偏转C．向西偏转D．向北偏转6、2010年地球再次受到“太阳风暴”袭击，如图所示，在“太阳风暴”中若有一个质子以3.6×105 km/h速度垂直射向北纬60°的水平地面，经过此地面上空100 km处时，质子速度方向与该处地磁场方向间的夹角为30°，该处磁感应强度B＝6×10－5T(e＝1.6×1019C)，则()A．该质子在此处受洛伦兹力方向向东，大小约为5×10－19NB．该质子一定会落到北纬60°的地面上C．“太阳风暴”中射向地球的大多数带电粒子可被地磁场“挡住”而不落到地面上D．该质子的运动轨迹与磁感线方向相同7、在高纬度地区的高空，大气稀薄，常出现五颜六色的弧状、带状或幕状的极其美丽壮观的发光现象，这就是我们常说的“极光”．“极光”是由太阳发射的高速带电粒子受地磁场的影响，进入两极附近时，撞击并激发高空中的空气分子和原子引起的．假如我们在北极地区忽然发现正上方的高空出现了射向地球的沿顺时针方向生成的紫色弧状极光(显示带电粒子的运动轨迹)．则关于引起这一现象的高速带电粒子的电性及弧状极光的弯曲程度的说法正确的是() A．高速粒子带负电B．高速粒子带正电C．轨迹半径逐渐减小D．轨迹半径逐渐增大8、科学研究经常需要猜想与假设。
合理的猜想与假设不是主观臆测，它总伴随着理性的分析和科学的思考，并有待进一步的实验检验。
19世纪20年代，以塞贝克为代表的科学家已经认识到：温度差会引起电流。
安培考虑到地球自转造成了太阳照射后地球正面与背面的温度差，于是提出如下假没：地球磁场是由绕地球的环形电流引起的。
若规定地磁场N极与S极在地球表面的连线称为“磁子午线”，如图所示，则安培假设中电流方向应该是( )A．由西向东垂直磁子午线B．由东向西垂直磁子午线C．由南向北沿磁子午线D．由北向南沿磁子午线9．在赤道上某处有一支避雷针。
当带有负电的乌云经过避雷针上方时，避雷针开始放电，不考虑地磁偏角，则地磁场对避雷针的作用力的方向为（）A．正东B．正西C．正南D．正北10、[2011·课标全国卷] 为了解释地球的磁性，19世纪安培假设：地球的磁场是由绕过地心的轴的环形电流I引起的．在下列四个图中，正确表示安培假设中环形电流方向的是()11、极光是由来自宇宙空间的高能带电粒子流进入地极附近的大气层后，由于地磁场的作用而产生的．如图所示，科学家发现并证实，这些高能带电粒子流向两极做螺旋运动，旋转半径不断减小．此运动形成的原因是（）A．可能是洛伦兹力对粒子做负功，使其动能减小B．可能是介质阻力对粒子做负功，使其动能减小C．可能是粒子的带电量减小D．南北两极的磁感应强度较强12、在北半球有一架飞机正沿着纬度线由西向东平行地面飞行，飞机的两翼作切割地磁感线运动，在其左右两端产生感应电动势。
则（）A．左端电势高于右端电势B．右端电势高于左端电势C．若飞机改为沿经度线飞行，则机翼右端电势将高于左端电势D ．若飞机在南半球飞行，则机翼右端电势将高于左端电势 问题二、磁场的临界和极值问题 ①两个结论1、如图所示，两导体板水平放置，两板间电势差为U ，带电粒子以某一初速度v 0沿平行于两板的方向从两板正中间射入，穿过两板后又垂直于磁场方向射入边界线竖直的匀强磁场，则粒子射入磁场和射出磁场的M 、N 两点间的距离d 随着U 和v 0的变化情况为( )A ．d 随v 0增大而增大，与U 无关B ．d 随v 0增大而增大，随U 增大而增大C ．d 随U 增大而增大，与v 0无关D ．d 随v 0增大而增大，随U 增大而减小2、如图所示，在半径为R ＝mv 0/qB 的圆形区域内有水平向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，圆形区域右侧有一竖直感光板，从圆弧顶点P 以速率为v 0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为m ，电荷量为q ，粒子重力不计。
正确的是（ ） A ．若粒子对准圆心射入，则它在磁场中运动的时间为πm/2qB B ．若粒子对准圆心射入，则它在磁场中运动的时间为πm/qBC ．若粒子以速率3v 0对准圆心射入，则打到感光板上时其速度垂直分量为3v 0/2D ．若粒子以速度v 0从P 点以任意角入射，则离开磁场后均垂直打在感光板上 ②动态分析通用解法：①第一步，找准轨迹圆圆心可能的位置，②第二步，按一定顺序．．．．．尽可能多地作不同圆心对应的轨迹圆，请务必认真作图（一般至少画5个轨迹圆），③第三步，根据所作的图和题设条件，找出临界轨迹圆，从而抓住解题的关键点。
※按边界分类（带电粒子出发点在边界上和磁场里）：1、单直线边界2、双直线边界（锐角、直角、平行）例、如图所示，在真空中坐标xOy 平面的x>0区域内，有磁感应强度B=1.0×10-2T 的匀强磁场，方向与xOy 平面垂直，在x 轴上的P(10，0)点，有一放射源，在xOy 平面内向各个方向发射速率v=104m/s 的带正电的粒子，粒子的质量为m=1.6×10-25kg ，电荷量为q=1.6×10-18C ，则（ ）A.带电粒子打到y 轴上的最高点坐标为10cmB.带电粒子打到y 轴上的最高点坐标为103cmC.带电粒子打到y 轴上的最低点坐标为-10cmD.若将x=10cm 右侧的磁场去掉，带电粒子打到y 轴上的最高点坐标为10cm3、封闭边界（三角形、长方形、圆形边界）例1、在边长为2a 的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的D 垂直AB 方向进入磁场，如图所示，若粒子能从AC 间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC 间什么范围内射出．例2、据有关资料介绍，受控核聚变装置中有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束带电粒子运动使之束缚在某个区域内．现按下面的简化条件来讨论这个问题：如图所示的是一个截面为内径R 1=0.6m 、外径R 2=1.2m 的环状区域，区域内有垂直于截面向里的匀强磁场．已知氦核的荷质比q/m=4.8×107C/kg ，磁场的磁感应强度B=0.4T ，不计带电粒子重力．（1）若氦核沿磁场区域的半径方向平行于截面从A 点射人磁场，求氦核在磁场中运动而不穿出外边界的最大速度．（2）若氦核在平行于截面从A 点沿各个方向射人磁场都不能穿出磁场外边界，求氦核的最大速度．例3、如图所示，在正方形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B 的匀强磁场。
在t =0时刻，一位于ad 边中点O 的粒子源在abcd 平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与Od 边的夹角分布在0～180°范围内。
已知沿Od 方向发射的粒子在t =t 0时刻刚好从磁场边界cd 上的p 点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L ，粒子重力不计，求：（1）粒子的比荷q /m ；（2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比； （3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。
bc※按可能变化的参量分类：1、已知入射点和入射速度方向，但入射速度大小不确定（伸缩圆）2、已知入射点和入射速度大小，但入射速度方向不确定（旋转圆、圆心圆）3、已知初速度的大小和方向，但入射点不确定（所有轨迹圆圆心均在将入射点组成的边界沿垂直入射速度方向平移一个半径距离的曲线上）例、如图所示，长方形abcd 的长ad =0.6m ，宽ab =0.3m ，O 、e 分别是ad 、bc 的中点，以e 为圆心eb 为半径的圆弧和以O 为圆心Od 为半径的圆弧组成区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb 边界上无磁场)磁感应强度B =0.25T 。
一群不计重力、质量m =3×10-7kg 、电荷量q =+2×10-3C 的带正电粒子以速度v =5×l02m/s 沿垂直ad 方向且垂直于磁场射入磁场区域，则正确的是（ ） A. 从Od 边射入的粒子，出射点全部分布在Oa 边 B. 从aO 边射入的粒子，出射点全部分布在ab 边 C. 从Od 边射入的粒子，出射点分布在ab 边 D. 从ad 边射人的粒子，出射点全部通过b 点4、已知入射点和出射点，但未知初速度大小和方向（所有轨迹圆心均在入射点和出射点连线的中垂线上）例、如图所示，无重力空间中有一恒定的匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于xOy 平面向外，大小为B ，沿x 轴放置一个垂直于xOy 平面的较大的荧光屏，P 点位于荧光屏上，在y 轴上的A 点放置一放射源，可以不断地沿平面内的不同方向以大小不等的速度放射出质量为m 、电荷量+q 的同种粒子，这些粒子打到荧光屏上能在屏上形成一条亮线，P 点处在亮线上，已知OA＝OP ＝l ，求：（1）若能打到P 点，则粒子速度的最小值为多少？（2）若能打到P 点，则粒子在磁场中运动的最长时间为多少？5、已知初、末速度的方向（所在直线），但未知初速度大小（所有轨迹圆圆心均在初、末速度延长线形成的角的角平分线上）例、在xOy 平面上的某圆形区域内，存在一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B .一个质量为m 、带电量为+q 的带电粒子，由原点O 开始沿x 正方向运动，进入该磁场区域后又射出该磁场；后来，粒子经过y 轴上的P 点，此时速度方向与y 轴的夹角为30°（如图所示），已知P 到O 的距离为xLPL，不计重力的影响。