理论力学第十章

应用质心运动定理，解得
m1 Fx F r m2 cos t 2
2
显然，最大水平约束力为
Fmax
m1 F r m2 2
2
例10-6 电动机外壳不固定,地面水平,光滑,定子和外壳的质
量为m1,转子质量为m2，定子和机壳质心O1,转子质心O2, O1O2=e,角速度为常量，初始静止。
在直角坐标轴上的投影式为:
maCx Fx(e)
dvC m Ft ( e ) dt
质心运动守恒定律
若
maCy Fy(e)
2 vC
maCz Fz(e)
在自然轴上的投影式为:
m

Fn( e )
0 Fb( e )
F (e) 0
则
vC 常矢量
maC Fi
活塞上作用一恒力F。
不计摩擦及滑块 B 的质量, 求:作用在曲柄轴 A 处的最 大水平约束力Fx 。
xC ~ aC ~ F
解:列质心运动定理在 x 轴的投影式
(m1 m2 )aCx Fx F
1 r xC m1 cos m2 (r cos b) 2 m1 m2 d 2 xC r 2 m1 aCx 2 m2 cos t dt m1 m2 2
m2e sin t
2
m2e cos t
2
Skip 例10-2 流体在变截面弯管中流动,设流体不可压缩,流动 是稳定的。求管壁的附加动约束力。 解：取两截面aa与bb，在dt时间内这部分流体流到a1a1与b1b1之间 设 qV 为流体在单位时间内流过截面的体积流量 dt 内流过截面的质量为 dt 时间内动量变化为
与重心相似
mi yi yC , m
mi zi zC m
例10-4 已知:为常量,均质杆OA = AB = l ,两杆质量皆为m1,
滑块 B 质量m2
求:质心运动方程、轨迹及系统动量。
系统包含3部分：
OA 杆 AB 杆
B 滑块
解: 各组成部分的质量和质心坐标 分别为： OA 杆 质量 m1
vr lmax l0
mAv mB (vr v) 0 由动量守恒 动量定理中速度应为绝对速度 解得最大速度为
思考题10-5
mBl0 mB vr v mA mB mA mB
思考题10-5 两物块A和B，质量分别为mA和mB ，初始静止。如A沿斜面下滑 的相对速度为 v r ，如图所示。设B向左的速度为v，根据动量守 恒定律，有 对吗?
dm qV dt
p p0 pa1b1 pab ( pbb1 pa1b ) ( pa1b paa1 )
pbb1 paa1
qV dt (vb va )
流体受外力如图
P F Fa Fb
应用动量定理
由动量定理,有 即
qV dt (vb va ) ( P Fa Fb F )dt
(c)质心速度vC 0，动量为零 思考题10-1
2．冲量
物体在力的作用下引起的运动变化，不仅与力的大小和 方向有关，还与作用时间的长短有关。 用力与作用时间的乘积来衡量力在这段时间内积累的作用。 常力的冲量
I Ft
若力 F 为变Байду номын сангаас，则微小时间间隔 dt 内，力 F 的冲量称为 元冲量 在 t1 ~ t2 内的冲量 单位： N· s
i
drC d n d p mi ri mrC m mvC dt i 1 dt dt 质心速度
即
p mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
p mvC
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
1 1 (a)质心速度 vC l ，动量大小为 p ml ，方向同 vC 2 2 (b) 动量大小为 p mvC ，方向同 vC
(e)
若外力恒等于零，则质点系的质心速度保持不变。
若
F
(e) x
0
则
vCx 常量
若外力在某一坐标轴分量等于零，则质点系的质心 速度在该坐标轴的分量也保持不变。 与动量守恒定律对比
dp (e) Fi dt
例10-5 均质曲柄AB长为r,质量为m1,假设受力偶作用以不
变的角速度 转动,并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D, 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在
l xC1 cos 2
AB 杆
质量 m1
l yC1 sin 2
xC 2
B 滑块
3l cos 2
质量 m2
yC 2
l sin 2
xC 3 2l cos
yC 3 0
设
t，则质心运动方程为
l 3l m1 m1 2m2l 2 2 xC cos t 2m1 m2 2(m1 m2 ) l cos t 2m1 m2
动量求导，得力
解：机壳不动，质点系的动量就是转子的动量
分解为分量
p m2 e p x m2 e cos t
p y m2 e sin t
由动量定理的投影式
dp x Fx dt dp y Fy m1 g m2 g dt
得
Fx m2 e 2 sin t
Fy (m1 m2 ) g m2 e cos t
2.质心运动定理
n d (e) ( mv ) F 由质点系动量定理的微分形式 C i i 1 dt
得
n dvC (e) m Fi i 1 dt
或
maC Fi
i 1
n
(e)
称为质心运动定理，质点系的质量与质心加速度的乘积等 于作用于质点系外力的矢量和。 质点系质心的运动，可看成一个质点的运动，整个质点系的 质量以及所受外力都集中在质心上。 内力不影响质心的运动，只有外力才能改变质心的运动。
mAvr cos mBv
不对。动量定理中使用的是绝对速度。
mA (v vr cos ) mBv
§ 10-3
质心运动定理
——点的运动
1．质量中心（简称质心）
mi ri , m 为质点系的总质量 m m i rC m
质心位置反映出质点系质量分布情况
投影形式为
mi xi xC , m
0 , 则 p = 恒矢量
若外力恒等于零，则质点系的动量保持不变。 若 Fx
(e)
0 , 则 px = 恒量
若外力在某一坐标轴分量等于零，则质点系的动量在 该坐标轴的分量也保持不变。
例10-3 物块 A可沿光滑水平面自由滑动，其质量mA； 小球 B的质量为mB，以细杆与物块铰接，如图所示。设杆长 为l，质量不计，初始时系统静止，并有初始摆角0；释放后， 细杆近似以 =0cost 规律摆动 (为已知常数) 。 求：物块 A 的最大速度。 水平方向受合外力为零， 所以水平方向动量守恒。 小球向左，A 向右。 小球有最大速度，对应于 物块 A 有最大速度。
(i )
内力冲量的矢量和
质
点:
d(mi vi ) Fi dt Fi dt
(e) (i )
质点系:
d(mi vi ) Fi (e)dt Fi (i )dt d (mi vi ) dp Fi dt
(e)
=0
得
dp Fi ( e) dt dIi( e)
l 2m1 m1 2 yC sin t l sin t 2m1 m2 2m1 m2
消去 t 得轨迹方程
xC yC 1 2(m1 m2 )l /(2m1 m2 ) m1l /(2m1 m2 )
轨迹为椭圆
2
2
系统动量沿 x , y 轴的投影为:
C 2(m1 m2 )l sin t px mvCx mx
C m1l cos t p y mvCy my
系统动量的大小为:
p
p p l 4(m1 m2 ) sin t m cos t
2 x 2 y 2 2 2 1 2
动量的方向沿质心轨迹的切线方向，可用其方向余弦表示。
2
Fx m2 e sin t
2
Fy (m1 m2 ) g m2 e 2 cos t
电机不转时(即 = 0),Fx = 0 ,Fy = (m1 + m2)g ,称静约束力,
电机转动时的约束力称动约束力,上面给出的是动约束力 动约束力 - 静约束力 = 附加动约束力 本题的附加动约束力为 x方向: y方向:
在爆破山石时，土石碎块向各处飞落，如图所示。在尚无 碎石落地前，全部土石碎块的质心运动与一个投射质点的 运动一样，设想这个质点的质量等于质点系的全部质量， 作用在这个质点的运动轨迹，可以在定向爆破时，预先估 计大部分土石块堆落的地方。
质点系质心的运动，可以看 成为一个质点的运动，设想 此质点集中了整个质点系的 质量及其所受的外力 。
p2 p1 I i( e )
i 1
n
称为质点系动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内， 质点系动量的改变量等于在这段时间内作用于质点系外力 冲量的矢量和。 动量定理微分形式的投影式
dpx Fx( e ) dt
形如 max
dp y dt
ma y
F
y
(e) y
dp z Fz( e ) dt
dp Fi ( e ) dt
动量求导，得力
或
d(mv ) dv m 本质上等同于 dt dt
F
(e) i
称为 质点系动量定理的微分形式 ，即质点系动量的增量 等于作用于质点系的外力元冲量的矢量和；或质点系动 量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和。
在 t1 ~ t2 内, 动量 p1 ~ p2 , 有
称为质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内，质点 动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。
t1
t2
2.质点系的动量定理
外力:
Fi ,
(e)
内力:
Fi
(i )
内力性质: （1） Fi
(i )
0
内力成对出现，等值反向
(i ) M ( F （ 2） O i )0
（3） Fi dt 0
dI Fdt
I Fdt
t1 t2
§10-2 动量定理
1.质点的动量定理 d (mv ) F 牛顿第二定律 dt 或 d(mv ) Fdt
称为质点动量定理的微分形式，即质点动量的增量 等于作用于质点上的力的元冲量。
在 t1 ~ t2 内, 速度由 v1 ~ v2 , 有
mv2 mv1 Fdt I
第十章 动 量 定 理
§10-1 动量与冲量
1．动量
质点的动量
n
mv
n
单位
kg m / s
质点系的动量
dri d n p mi vi (mi ) mi ri dt dt i 1 i 1 i 1
mi ri 与重心相似， 定义质心 rC ， 其中 m m
m
F ,
x
F ,
maz
F
z
动量定理积分形式的投影式
p 2 x p1x I x(e)
(e) p2 y p1 y I y
p2 z p1z I z(e)
例10-1 电动机外壳固定在水平基础上,定子和外壳的质量为
m1,转子质量为m2。定子和机壳质心O1,转子质心O2,O1O2=e, 角速度为常量。求基础的水平及铅直约束力。
qV (vb va ) P Fa Fb F
设
F F F
F 为附加动约束力
F 为静约束力；
由于
P Fa Fb F 0
F qV (vb va )
得
3．质点系动量守恒定律
由
dp (e) Fi dt
(e)
若
F
解: 系统水平方向不受外力作用，则沿水平方向动量守恒 细杆角速度
0 sin t
0
因为 0 cos t
当 sin t 1 ，其绝对值最大，此时应有 cos t 0 ，即 类似于谐振动规律 x=x0cost, 在x=0处速度v最大。 铅垂时小球相对于物块有最大的水平速度，其值为 当此速度 v r 向左时，物块应向右的绝对 速度，设为 v ，而小球向左的绝对速度 值为 va vr v v 相当于 ve