电磁场第四章习题

O 0=φ 4.1 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为S ρ，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。

4.2 设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度

r

A =ρ )(b r a <<,其中a 和b 分别为内、外导体的半径，A 为常数。设内导体维持在电位0V ，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域b r a <<内的电位分布。

4.3 通过解电位的泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域b r ≤≤0，有均匀的体电荷密度0ρρ-=；在电子云外部区域b r >中，0=ρ。

4.4 一电荷量为q 质量为m 的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h 。求q 的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设m h kg m 02.0,1023=⨯=-)。

4.5 一个点电荷q 与无限大导体平面距离为d ，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？

4.6 两点电荷Q 和Q -位于一个半径为a 的导体球直径的延长线上，分别距球心D 和D -。

(1) 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为232D

Q a (2) 令D 和Q 分别趋于无穷，同时保持

2

D Q 不变，计算球外的电场

题 4.6 图

4.7 半径为a 的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别1d 和2d ，设墙和地面都视为理想导体，且a d >>1，a d >>2。试求此导线对地的单位长电容。

4.8 半径为a 的接地导体球，离球心1r (a r >1)处放置一个点电荷q ，如图所示,用分离变量法求电位分布。

4.9 在一个半径为a 的圆柱面上，给定其电位分布：

⎩

⎨⎧=00U φ 00<<-<<ϕππϕ 求圆柱内、外的电位分布。

4.10 假设真空中在半径为a 的球面上有面密度为θσcos 0的表面电荷，其中0σ是常数，求任意点的电位。

4.11 一半径为a 的细导线圆环，环与x 、y 平面重合，中心在原点上，环上总量为0Q 。证明其电位为

...])(cos )(83)(cos )(211[4442201++-=θθπεφP a

r P a r a Q )(a r ≤ ...])(cos )(83)(cos )(211[4442202++-=

θθπεφP a r P a r r Q )(a r ≥

4.12 利用有限差分法求静电场边值问题

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=====∂∂+∂∂100),20(,0),0(0

)10,()0,(02222y u y u x u x u y u x u )100,200(<<<

4.13 已知无限大导体平板由两个相互绝缘的半无限大导体平板组成,如图所示，右半部的电位为0U ，左半部的电位为零，求上半空间的电位。

4.14 已知一个半径为a 的圆柱形区域内体电荷密度为零，界面上的电位为 )(),(ϕφϕφ=a ，用格林函数法求圆柱内部的电位),(ϕφr 。

4.15 如果上题的圆柱面上的电位为ϕϕφcos ),(0U a =，求柱内的电位。

4.16 已知在0=z 的无限大导体平板上，除了b a 22⨯的一块长方形面积外，电位均为零。设此长方形平板的电位为0U ,求0>z 的上半空间的电位分布。

4.17在两个半无限大导体平板间有任意夹角为α的角形域内，有一在介电常数为ε的介质中与两导体平板交线平行的密度为l ρ的无限长直线电荷，设导体板接地，试求此角形域内的电势。

4.18有一扇形电阻片，其两极板A 与B 是成α夹角的良导体，电阻片的电导率为σ，厚度为d ，内外圆弧的半径分别为1r 和2r 。设两极板的电势为0=A φ，0φφ=B ，试求扇形电阻片的电阻。

4.19利用保角变换法求平行双导线间单位长度的电容。导线半径为a ，线间距离

为d 2，两条导线上的电位分别为20U 、2

O U -，求单位长度的电容0C 。 4.20内外半径分别为1R 以及2R 的同轴圆筒电容器，其中电介质的电容率为ε，两圆筒之间的电压为0U ，试求电容器内的电场分布及单位长度的电容。

4.21薄金属弧片的厚度为h ，电导率为r ，A,B 两端加电压0U 。计算弧片中电势的分布及导电片两端A,B 间的电导。

4.22导体曲面2=xy 的电势为200伏，

)0(0>=y x 以及)0(0>=x y 的两导体平面的电势为零，求p 点)5.0,5.1(m y m x ==的电场强度。