多自由度系统动力学
含裂纹故障多自由度齿轮系统的动力学分析
尼 ； （） 为齿侧 间 隙非 线性 描述 函数 ， 以拟合 为 （ ＝ｙ － ｙ 其 中 为非 线性 间 隙系数 ． 可 ） ｑ ｎ 。＂ ，
式（１；ｏ２ｆｏ一—ｋ（．’ 中＝２——７＝；ｇＩ ｋｌｆ ：（）臣ｍ２＝２］ ；主 ｌ ｌｍ］／ Ｃ ｒｂ］ ｒ Ｍ：ｇ； ０ ｇ＾２ ） Ｌ ｃ ｃｌ ）一； ； ０ ］Ｉ ｍ ｏ『 ｇ ２ Ｉ ｇ Ｌ Ｆ ｇ０ Ｋ ０ 厂３ — Ｉ
謦
第 ３期
马
锐 等： 含裂 纹 故 障 多 自由度 齿 轮 系统 的动 力 学 分 析
式 中 ： 为啮合 频 率 ， 一Ｚ ， ｚ 为齿 数 ， 为 恒定 角速度 ； ｂ 为谐波 系数 ． ∞ （ 一２ ｕ ２ ｚ ，２ ２ ∞， 口 ，
转 角 ／ 。） （ （）裂纹 ２ ％时 ａ ０
依据．
关
键
词 ： 轮 传 动 系 统 ；裂纹 故 障 ；时 变 啮合 刚度 ；非 线 性 间 隙 ； 波 平 衡 法 齿 谐 文献标识码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ０—１ ９ （０ ２０ —０ １ ０ １０ ８ １ ２ １ ） ３ １ ０— ５
中图分类号： ＴＨ１ ２４ ３ ．
０ 引 言
式 中 ： ｃ ｃ ｙ Ｈｒ＝ 姐 ｚ ； 一 Ｍ
．一 ， Ｊ。ｌ一 ；生 ｃ ； Ｆ 号 ｍ 。 一
．
ｍ
选定 ６作 为标 称尺度 ， 设新 的 时 间尺度 一 ｒ ∞ 一 ｒ（ 为无 故 障单齿 啮合 的平均 刚度 ） 将 方程 并 。 ， ５ ／ ｋ ｅ ． ，
大
庆
石
油
转 角 ／ 。） （ （）裂纹 ５ ％时 ｂ Ｏ
转角 ／ ） （ （）裂纹 ７ ％时 Ｃ Ｏ
图 ２ 齿 轮 啮 合 刚度 随 裂 纹 的 变化
三自由度动力学模型
三自由度动力学模型1. 动力学模型概述动力学是研究物体运动的原因和规律的学科，而三自由度动力学模型则是一种描述物体在三个自由度上运动的数学模型。
在机器人控制、航天器姿态控制等领域中，三自由度动力学模型被广泛应用。
三自由度动力学模型通常用于描述物体在空间中的姿态变化和运动轨迹。
其中，自由度指的是物体可以沿着某个轴线或平面进行移动的数量。
对于一个具有三个自由度的系统，需要考虑它们之间的相互作用、受力情况以及运动规律等因素。
2. 动力学方程推导为了建立三自由度动力学模型，我们需要推导出系统的运动方程。
这一过程可以通过拉格朗日方法来完成。
首先，我们需要定义系统的广义坐标和广义速度。
广义坐标用来描述系统中每个独立变量所对应的位置或角度，而广义速度则表示这些变量随时间变化的速率。
接下来，我们利用拉格朗日函数来描述系统的能量，并通过最小作用量原理得到系统的拉格朗日方程。
拉格朗日方程可以写作：d dt (∂L∂q i)−∂L∂q i=Q i其中，L是系统的拉格朗日函数，q i是广义坐标，q i是广义速度，Q i是外部施加在系统上的力。
将拉格朗日方程应用到三自由度动力学模型中，我们可以得到三个关于时间变化的方程。
这些方程描述了系统在每个自由度上的运动规律。
3. 动力学模型求解一旦我们建立了三自由度动力学模型并得到了运动方程，就可以通过求解这些方程来获得系统的运动行为。
通常情况下，我们会将运动方程转化为矩阵形式，并使用数值计算方法进行求解。
其中，矩阵形式的运动方程可以写作：M(q)q̈+C(q,q̇)q̇+G(q)=τ其中，M(q)是质量矩阵，描述了物体在每个自由度上的质量分布情况；C(q,q̇)是科里奥利矩阵，表示惯性力和科里奥利力的影响；G(q)是重力矩阵，描述了物体受到的重力作用；τ是外部施加的控制力。
通过求解上述方程，我们可以得到系统在每个自由度上的加速度q̈，从而推导出物体的姿态变化和运动轨迹。
4. 动力学模型应用三自由度动力学模型在机器人控制、航天器姿态控制等领域中有着广泛的应用。
多自由度振动系统的动力学模型构建
多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。
动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。
本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。
一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。
质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。
对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。
二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。
为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。
广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。
三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。
通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。
四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。
对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。
固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。
特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。
五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。
通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。
动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。
六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。
通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。
振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。
结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。
ode45求解多自由度动力学方程实例
在matlab命令窗口里输入一下命令：
y0=[1 1 1 1 1 1];
tspan=[0 30];
[t,y]=ode45(@func,tspan,y0);
figure(1)
plot(t,y(:,1),t,y(:,3),t,y(:,5));
legend('x1','x2','x3');
xlabel('时间(s)','FontSize',10);
ylabel('振动位移曲线','FontSize',10);
figure(2)
plot(t,y(:,2),t,y(:,4),t,y(:,6));
legend('v1','v2','v3');
xlabel('时间(s)','FontSize',10);
ylabel(‘振动速度曲线’,’FontSize’,10);
运行结果：
Ode45函数调用形式如下：
[T,Y]=ode45(odefun,tspan,y0)un
用于存放待求解的方程的m文件名，方程必须用y’=f(t,y)的形式存放
tspan
指定自变量范围的向量，通常用[t0，tf]指定
y0
函数的边界条件，即y0=y(t0)，对于方程组，y0也可以是向量
例：若一三自由度多体动力学系统方程如下：
初始条件：
由于方程必须用y’=f(t,y)的形式存放，因此需要对方程组进行降阶处理。
令
则方程组可化为：
因此建立M函数文件来定义此方程组如下：
function dy=func(t,y)
第二章(多自由度系统的运动微分方程)详解
k11 k 21 kN1
k1 j k2 j k Nj
k1N k2 N k NN
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第i 自由度处沿着位移方向施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
【例】用影响系数法写出图示系统的刚度矩阵。
多自由度振动系统
Piezoelectric actuator
基于压电作动器的垂尾抖振主动抑制 （此系统有一、两千个自由度（3D实体单元） ）
Z Y
X
第二章： 多自由度系统的运动 微分方程
第二章:多自由度系统的运动微分方程
第一讲：
1.建立多自由度系统运动微分方程的 各种方法的概述 2.用牛顿第二定律列写系统的运动微 分方程 3.用影响系数法建立系统的运动微分 方程
F1 1
k3
m2
k2 (d11 d21 )
m1
k2 (d11 d21 ) k1d11 1
d 21 k2 (d11 d21 )
F2 0
d11
k3d21
k2 k3 k1k2 k1k3 k2 k3 k2 k1k2 k1k3 k2 k3
m2
d 21
k2 (d11 d21 ) k3d21 0
上次课内容回顾
3.刚度影响系数
刚度影响系数 kij ：第 j 个自由度产生单位位移，其他自由度位移为零时， 需要在第 i 自由度处沿着位移方向施加的力。
4.柔度影响系数
柔度影响系数 dij ：第 j 个自由度上作用单位力，其他自由度作用力为零时，
在第 自由度上产生的位移。 i
5.刚度矩阵和柔度矩阵的关系
动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
多自由度机械系统动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4
多自由度机械系统动力学
2021年6月18日
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
本章解决的主要问题及内容
解决的问题： 解决两自由度机械系统的动力学问题。采 用方法为拉格朗日方程的分析方法。
主要的内容：
一、拉格朗日方程；
工程中的非自由质点系，受到的约束大多是稳定的完整 约束（约束方程仅与质点系的位置有关）。
确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数 目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度数。
对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独
立坐标。其自由度 为 N=3n-s 。
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
例：铅直平面内摆动的双摆。
▼确定A、B两点位置（平面问题） 需四个独立坐标 ▼系统受两个完整约束，其约束方程：
x12 y12 a2 , (x2 x1)2 ( y2 y1)2 b2
▼系统的自由度：N=2n-s=4-2=2
★两个自由度, 取广义坐标，
Qk 0 (k 1,2,, N )
机械动力学
Chapter4多自由度机械系统动力学
以广义坐标 表示的质点系的平衡条件：
Qk
n
(Xi
i 1
xi qk
Yi
yi qk
Zi
zi ) 0 qk
(k 1,2,, N)
解决质点系的平衡问题的关键是如何计算广义力
※广义力的计算
方法1：计算广义力 Qk 的步骤
N
xi
结构动力学多自由度系统振动
运用功旳互等原理可知，刚度矩阵是对称阵，即有kij＝kji， 于是上述刚度矩阵为：
k1 k2
k2
K 0
0
0
k2 k2 k3
k3 0
0
0 k3 k3 k4 k4
0
0 0 k4 k4 k5 k5
0
0
0
k5
k5
⒉ 柔度法 柔度系数aij定义为：
在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生旳位移。
K12 k2 K22 k2 k3
K32 k3 K42 0 K52 0
K13 0 K23 k3 K33 k3 k4 K43 k4 K53 0
K14 0 K24 0 K34 k4 K44 k4 k5 K54 k5
K15 0 K25 0 K35 0 K45 k5 K55 k5
(a) m1 mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
(a) m1
mi
mj mn
y1
yi yj yn
m1 y1
(b)
mi yi
1
i
j
m j y j
mn yn
ii
ji
1
(c)
ij
ij
jj
于是： 若在第j个质量上作用有力F，则在第i个质量上产
2
2
2
1 Mx 2 1 m[x 2 2Lx cos L2 2 ] 1 kx2 mgL(1 cos)
2
2
2
d dt
机械动力学-多自由度系统
所有坐标 q j ( j = 1, 2, , n ) 的运动有着相同的随时间变化 规律，即有着相同的时间函数。 规律，即有着相同的时间函数。令 q j (t ) = u j f ( t ) j = 1, 2, , n （4.2-3） ）
u j ( j = 1, 2, , n ) 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。 是一组常数，表示不同坐标运动的大小。
12
4.2 无阻尼自由振动和特征值问题
2. n自由度无阻尼系统自由振动的解的形式 ([ K ] − λ [ M ]) {u} = {0} （4.2-10） ） [ K ]{u} = λ [ M ]{u} （4.2-11） ） [K ] − λ [M ] = 0 （4.2-12） ） 系统的特征行列式，其展开式叫系统的特征多项式 系统的特征行列式， 方程（ 方程（4.2-12）叫做系统的特征方程或频率方程， ）叫做系统的特征方程或频率方程， ωn2的n阶方程 是 λ或 阶方程 2 λ1 < λ2 < < λn ωn21 < ωn22 < < ωnn 方根值 ωn1 < ωn 2 < < ωnn 叫做系统的固有频率，由方程（ 叫做系统的固有频率，由方程（4.2-12）可见，它只 ）可见， 决定于系统的物理参数，是系统固有的。 决定于系统的物理参数，是系统固有的。最低的固 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率， ω 有频率叫做系统的基频或第一阶固有频率，在许多 实际问题中，它常常是最重要的一个. 实际问题中，它常常是最重要的一个.
2
(
)Leabharlann U=对于线性系统，运动是微幅的， 对于线性系统，运动是微幅的，sin θ ≈ θ 代入动能和势能方程， 代入动能和势能方程，有
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
于开平-结构动力学第五讲
k11 m1 g m2 g 0，k2 2 m2 g 0
未变形 位置
m2
k2 m1 k1
δ1 δ1+δ2 m2
x2 k2
m1 k1 x1
静平衡 位置
两个质量块分别向上运动了x1和x2 。系统动能
例 4 ：火箭振动模型
质点梁模型（30自由度）
大型商业有限元软件 精细建模
梁模型仍在采用，快速简单，
准确模拟低阶弯曲振动。
2 多自由度系统振动方程的建立
微分型（每一瞬时）
非变分的 牛顿第二定律 达朗贝尔原理 拉格朗日方程
非变分：指出真实运动的某些公共性质
积分型（有限时段）
非变分的 能量守恒定律 变分的
方程写成矩阵形式
αMx + x = 0
α称为柔度矩阵，方程两端前乘α-1
x x 1 x2
x x 1 x2
Mx + α 1 x = 0
11 12 m1 0 α , Μ 0 m 21 22 2
(3) 拉格朗日方程
T 1 1 2 m1 x12 m2 x2 2 2
系统势能参考点选为坐标原点。先假设x1< δ1，弹簧k1仍然受压，变 形量为δ1 -x1，势能为k1(δ1 -x1)2/2。弹簧k2的势能可分别讨论 (1) x1 > x2,弹簧k2受压量变大为x1 - x2 + δ2 ，势能为k2(x1 - x2 + δ2 )2/2 (2) x1 < x2, 且 (x2 -x1 )< δ2，运动使弹簧k2拉开，但仍然受压，变形量 为δ2 - (x2 -x1) ，势能为k2(δ2 - x2+x1 )2/2。 (3) x1 < x2, 且 (x2 -x1 )> δ2 ，运动使弹簧k2拉开，弹簧受拉，变形量为 x2 -x1 - δ2 ，势能为k2(x2 - x1-δ2)2/2 弹簧k2势能均为k2(x1 - x2 + δ2 )2/2。系统总势能为：
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
多自由度机械系统动力学
例：图示系统中,杆OA和AB以铰链相连,O端为圆柱绞， B端自由,杆重及摩擦不计，杆长 OA=l1，AB=l2，设二 杆均在铅垂面内,OA杆与铅垂线成φ1角，杆AB与铅垂 线成φ2角.今在点A和B分别作用铅垂向下的力F1和F2， 求在图示位置时的广义力。
解：1、定义法求广义力 此为具有二个自由度的双摆系统，选取φ1和φ2为广义 坐标，对应的广义虚位移为φ1和φ2，由定义得：
抖 yA Q1 = F1 + F2 抖 f1 抖 yA Q2 = F1 + F2 抖 f2 yB f1 yB f2
因
y A = l1 cos f 1 , y B = l1 cos f 1 + l2 cos f 2
求出相应的偏导数，代入广义力公式有：
Q1 = - ( F1 + F2 )l1 sin f 1 Q2 = - F2l2 sin f 2
2
cos ) l 2x
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面 为重力势能零点）
1 2 U kx m2 gl cos 2
拉格朗日函数：
L T U 1 1 2 m2l 2 (m1 m2 ) x 2 2
2
1 2 l cos kx m2 gl cos m2 x 2 L L (m1 m2 ) x m2l cos , kx x x
2、用虚功方法求Q1和Q2，可先令φ2=0，可得： 由于 d rA = d rB = l1df 1 代入上式得： Q1 = - ( F 1 +F 2 )l1 sin f 1 再令φ1=0，可得：
' d WF - F1 sin f 1d rA - F2 sin f 1d rB Q1 = = df 1 df 1
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。
而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。
在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。
一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。
模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。
具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。
二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。
首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。
此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。
在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。
三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。
对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。
总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。
通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。
汽车 七自由度动力学模型 作用
汽车七自由度动力学模型作用
汽车的七自由度动力学模型是一种用于描述汽车运动的数学模型，它考虑了汽车在空间中的三个平移自由度和三个旋转自由度，以及一个额外的自由度，通常用于描述车辆的垂直运动（车身的垂直加速度）。
以下是汽车七自由度动力学模型的主要作用：
仿真与建模：汽车七自由度动力学模型可以用于仿真和建模车辆在不同路况、操控条件下的运动行为。
通过模拟车辆的运动特性，可以评估车辆的稳定性、操控性和舒适性等方面的性能。
车辆控制系统设计：汽车七自由度动力学模型对于设计车辆的控制系统具有重要意义。
通过对车辆动力学特性的深入理解，可以优化车辆的悬架系统、制动系统、转向系统等，提高车辆的安全性和稳定性。
底盘调校与优化：基于七自由度动力学模型的仿真分析可以帮助工程师进行底盘调校和优化。
调校车辆的悬架几何、阻尼特性、操纵杆参数等，以实现更好的悬架调谐和操控性能。
碰撞安全评估：七自由度动力学模型可以用于评估车辆在碰撞事件中的动力学响应，包括车身的变形、乘员的受力情况等。
这有助于设计更安全的车身结构和安全气囊系统。
驾驶辅助系统设计：对车辆动力学行为的深入理解可以指导驾驶辅助系统的设计和优化，如防抱死制动系统（ABS）、电子稳定控制系统（ESC）等，提高车辆在各种路况下的稳定性和操控性。
总的来说，汽车七自由度动力学模型是汽车工程中的重要工具，对于设计、优化和评估车辆性能具有重要的作用，可以帮助提高车辆的安全性、操控性和舒适性。
1。
多自由度系统的动力学方程
T T K DT K C
m 0 MC 0 I C
me m 验证： M D 2 me I me C
me 1 e m 0 1 0 m e 1 me I me2 0 1 0 I C C
C C C C C
X D [ xD , D ]T
X C [ xC , C ]T
FD [ PD , M D ]T
FC [ PC , M C ]T
1 e T 1 T F ( T ) FC X D TX C F T F T D C D 0 1 将 X D TX C 代入D点的方程，并左乘 T T ： T T K TX T T F F T T M DTX C D C D C
多自由度系统振动 / 多自由度系统的自由振动
首先讨论正定系统的主振动
KX 0 正定系统： MX
主振动： X φa sin( t ) 将常数a并入 φ 中
X R
0
n
M 正定，K 正定
φ [1 2 n ]T
X φsin( t )
2
φ 0 代入振动方程： ( K M )
多自由度系统振动 / 多自由度系统的动力学方程
矩阵形式： D k1 k 2 me x k 2 a2 k1a1 xD PD m me I me2 k a k a k a 2 k a 2 M C 2 2 D D D 2 2 1 1 1 1
1/ 2
？
(K M ) φ 0
2
Kφ Mφ
2
汽车四轮转向四自由度动力学模型
汽车四轮转向四自由度动力学模型一、引言汽车作为现代交通工具的重要组成部分，其行驶稳定性和操控性能成为人们关注的焦点。
为了更好地理解汽车转向过程，研究者提出了汽车四轮转向四自由度动力学模型。
本文将对该模型进行介绍和分析。
二、汽车四轮转向四自由度动力学模型汽车四轮转向四自由度动力学模型是一种理论框架，用于描述汽车在转向过程中的运动规律。
该模型将汽车视为一个具有四个自由度的系统，包括纵向运动、横向运动、横摆运动和侧滑运动。
1. 纵向运动自由度纵向运动自由度是指汽车在纵向方向上的运动。
它受到引擎输出的动力和制动系统的制动力的影响。
在转向过程中，纵向运动自由度的变化可以影响汽车的加速度和制动效果。
2. 横向运动自由度横向运动自由度是指汽车在横向方向上的运动。
它受到转向系统的影响，包括前轮转向角度和转向系统的响应特性。
横向运动自由度的变化会影响汽车的横向加速度和侧向稳定性。
3. 横摆运动自由度横摆运动自由度是指汽车绕垂直轴线旋转的运动。
它受到转向系统和车身结构的影响，包括转向系统的转向角速度和车身的转动惯量。
横摆运动自由度的变化会影响汽车的横摆角度和横摆稳定性。
4. 侧滑运动自由度侧滑运动自由度是指汽车的轮胎与地面之间的相对滑动。
它受到横向运动和横摆运动的影响，包括车轮滑动角度和侧向力的变化。
侧滑运动自由度的变化会影响汽车的侧向力和侧滑稳定性。
三、应用与研究进展汽车四轮转向四自由度动力学模型在汽车工程领域具有广泛的应用价值。
它可以用于汽车设计和操控性能评估，帮助工程师改进汽车的转向系统和悬挂系统，提高汽车的稳定性和操控性能。
研究者们在汽车四轮转向四自由度动力学模型的基础上进行了许多深入的研究。
他们通过理论模拟和实验验证，对汽车转向过程中的动力学特性进行了深入分析，为汽车操控性能的提升提供了重要的理论支持。
随着自动驾驶技术的发展，汽车四轮转向四自由度动力学模型也得到了进一步的应用。
研究者们通过建立更加精确的模型，优化汽车的自动驾驶算法，提高汽车的驾驶安全性和舒适性。
多自由度机械系统建模与动力学分析
多自由度机械系统建模与动力学分析简介多自由度机械系统在工程中具有广泛的应用。
它由多个刚体组成，每个刚体可以沿着多个坐标轴进行运动。
对于这样的系统，建立准确的数学模型和进行动力学分析是非常重要的。
本文将介绍多自由度机械系统的建模方法和动力学分析。
一、刚体运动的描述在多自由度机械系统中，刚体的运动可以用欧拉角、角速度和角加速度来描述。
具体来说，一个刚体可以绕固定坐标轴的旋转和平动，因此需要考虑旋转和平动的自由度。
1. 旋转自由度欧拉角是描述刚体旋转的重要工具。
通常，一个刚体的旋转可以用绕固定坐标轴的三个角度（俯仰角、滚动角和偏航角）来描述。
欧拉角能够提供完全的刚体姿态信息，因此在多自由度机械系统的建模中广泛使用。
2. 平动自由度刚体的平动可以通过位置矢量来描述。
对于一个多自由度机械系统，每个刚体都有自己的位置矢量，从而描述其在空间中的运动。
二、多自由度机械系统的建模建立多自由度机械系统的模型是理解和分析系统行为的关键。
建模的过程可以通过使用拉格朗日方程和哈密顿原理来完成。
1. 拉格朗日方程拉格朗日方程是多自由度机械系统建模中的重要工具。
该方程基于拉格朗日函数，通过最小化系统的运动方程得到。
对于一个n自由度的系统，拉格朗日方程可以表示为：L = T - V其中，L是系统的拉格朗日函数，T是系统的动能，V是系统的势能。
通过对拉格朗日函数求导并应用欧拉-拉格朗日方程，可以得到系统的广义力和运动方程。
2. 哈密顿原理哈密顿原理是另一种用于建模多自由度机械系统的方法。
它基于变分原理，通过最小化系统的作用量来得到系统的动力学方程。
哈密顿原理可以表示为：δS = 0其中，S是系统的作用量，δ表示变分。
通过对作用量的变分，可以导出系统的广义力和运动方程。
三、多自由度机械系统的动力学分析动力学分析是研究多自由度机械系统运动规律和受力情况的过程。
它涉及到求解系统的运动方程和分析系统的稳定性。
1. 运动方程的求解多自由度机械系统的运动方程可以通过拉格朗日方程或哈密顿原理来求解。
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
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一、建立两自由度系统运动微分方程
例 1：
由隔离体受力分析和达朗贝尔原理得到两个方程
1 k1 x1 k2 ( x1 x2 ) P x m1 1 (t ) 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2 P2 (t ) x m2
耦合：作用在第一个质点上的刚度力包含 有第二个质点的位移信息
四、多自由度系统动力方程的建立及求解
采用影响系数法求系统 刚度矩阵、阻尼矩阵与质量矩阵
由此可得系统的刚度系数为：
求多自由度动力系统运动微分方程
例 4：
取脱离体并采用达朗贝尔原理 与影响系数法结果比较
例 5：
例6
多自由度系统无阻尼自由振动，特征值问题
例 2：
二、坐标变换与坐标耦合 即使是对于同一个两自由度系统， 也可以选取不同的独立坐标来描述它 的运动，从而得到不同的运动微分方 程。当采用不同的坐标时，运动方程 表现为不同的耦合方式，甚至表现为 耦合的有无。
例 3：
比较系统不同坐标下的两组方程可见： 1）耦合的方式是依所选取的坐标而定的，并非系统的 本质特性。 2）对于某系统，应存在一组特定的坐标，使得运动方 程既无弹性耦合，又无惯性耦合。 这一组特定的坐标称为“自然坐标”。
例7 :
模态向量的正交性与正则化
1）正交性
2）模态质量与模态刚度
3）正则化
4）模态矩阵
多自由度有阻尼动力系统的自由振动
多自由度系统系统上附加特殊的子系统，以 转移或消耗主系统的振动能量，从而抑制主系统的振动， 减振方式主要有动力减振、阻尼减振等。 动力减振是将主系统的振动能量转移到附加的减振 器系统上，而实现减小主系统振动的目的。
第二讲 多自由度动力系统（建模及求解）
工程中大量的复杂动力系统往往需要简化为 多自由度系统才能反映实际问题的物理本质。 （高阶固有频率、振动模态问题） 一个n自由度系统，具有n个固有频率（有可 能出现重值）。可转化为对n个单自由度系统的动 力学问题来研究，然后通过叠加还原到原系统的 动力学问题，这种分析方法称为振型叠加法。 先从两自由度动力系统作手，引入新的概念， 以此作为研究多自由度动力系统的基础。