平面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性
2-2 点、线、面的投影特性一、点的投影1、点的三面投影点是组成物体最基本的几何元素。
如图2-9所示，在三投影面体系中，由空间点A（x，y，z）分别向三投影面作正投影，得其三面投影a（x，y）、a′(x，z）、a″（y，z），即过点A分别作三投影面的垂线，其垂足即为点A的三面投影；展开H面和W面，得到点A的三视图：a 、a′长对正，a′、a″高平齐，a 、a″宽相等，如图2-10所示。
图2-9 点的三面投影图2-10 点的三视图例1 ：已知空间点B的两面投影b ，b′，如图2-11所示，求其第三面投影b″。
分析：空间点B的三面投影b 、b′、b″符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图： b′与b″高平齐，b与b″宽相等，则其交点即为b″。
图2-11 求点的第三面投影图2-12 求点的三面投影例2 ：已知空间点D(5,4,3)，如图2-12所示,求其三面投影。
分析：空间点D的三面投影分别为d（x，y）、d′（x，z）、d″（y，z），且符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。
作图：分别在三投影轴上取x1=5，y1=4，z1=3，按“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律分别作直线段，交点即为空间点D的三面投影（d 、d′、d″）。
2、两点的相对位置空间两点的相对位置是指空间两点间前后、左右、上下的位置关系。
两点在空间的相对位置可以根据两点的坐标值来判定，如图2-13所示。
X坐标确定两点的左右位置关系。
X坐标值大的点在左；Y坐标确定两点的前后位置关系。
Y坐标值大的点在前；Z坐标确定两点的上下位置关系。
Z坐标值大的点在上。
图2-13 两点的相对位置故A点在B点的右，后，上方，即B点在A点的左，前，下方。
3、重影点及其可见性判断若空间两点在某一投影面上的投影重合，则称这两点为该投影面的重影点。
此时，这两点位于同一投射线上，且有两个坐标的值分别相等，不等值的坐标之大小可以确定重影点的可见性，即X、Y、Z坐标值大的点分别位于左方、前方、上方，为可见点，如图2-14所示。
平面的投影
c
●
a●
● b ●b
a●
●
c
两相交直线
这几种平面的表示方法是可以互相转化的。在投影图上，可以用这些几
何元素的投影来表示平面。
平面的投影
二、平面对投影面的各种相对位置及其投影特性
平面对于三投影面的位置可分为三类：
平面分类
平面对投影面的相对位置
正平面（∥V 面）
平行于一个投
特
投影面平行面
影 面，垂直于另外
平面的投影
四、平面上的点和直线
3.平面上取点
例5：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。
解法一：
b
解法二：
b
a
k
c a
c
d
d
d
d
a
k
ca
c
b
b
四、平面上的点和直线
3.平面上取点
例6：在△ABC内取一点M，
并使其到H面V面的距离均
为10mm。
d
平面的投影
a
e m
●
c
0
1
b
X
O
a
0
1
d
平面的投影
平面的投影
平面的表示法 各种位置平面及其投影特性 平面上的点和直线
一、平面的表示法
平面的投影
平面通常用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影表示。
c
●
a● ● b
●b a●
●
c
不在同一直线 上的三个点
c
●
a●
d
●
● b
●b
a●
●
d
●
c
直线及线 外一点
2-3-2 各种位置平面的投影特性
e h
e
f
h f
f
X
g O f
QHe(f) (g)h
e(f)
g
QH
h(g)
efgh--直线; g YW 反映、角
的真实角度;
efgh和efgh --类似形。
YH
i
l
i
i
j i
(l)
RW
j
(k) j
X i
l Zi(l)
RW
（3）侧垂面
ijkl --直线;
K
j (k) 反映、角
O
YW 的真实角度;
l
ijkl和ijkl
jk
j
k
--类似形。
YH
投影面垂直面的投影特 性
a(b)
d (c)
b
c cb d
a
d
§2－3 平面的投影
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为直线，其与相邻投 影 轴的夹角反映平面对另两 投影 面的真实倾角；
2)另两投影为面积缩小的类似 形。
§2－3 平面的投影
2. 投影面平行面
ijkl --实形; k YW ijkl和ijkl
--直线，分别平 行于OZ、OY轴
投影面平行面的投影特 性
a
d
a(d)
b
b (c) a(b) d(c)
1)在与其平行的投影面上的投 影反映平面的实形；
2)另两个投影积聚成直线，且 分别平行于相应的投影轴。
§2－3 平面的投影
3. 投影面倾斜面
a a
一般位置平 面
§2－3 平面的投影
1. 投影面垂直面 （1）正垂面
Z
d(c) c
d
d(c)
6-平面的投影
则CD与平面P平行。
例6-4 已知直线DE∥△ABC，试完成直线DE的水平投影。
解：因为直线DE∥△ABC，所以在△ABC中必可找到 一条直线与DE平行。该直线的投影也必然与DE的同 面投影平行。
例6-5 试判别直线DE是否平行于△ABC。
解：如果在△ABC所确定的平面内能找到平行于直线DE的 直线，则直线DE∥△ABC，否则直线DE与△ABC不平行。
例6-2 已知ΔABC内一点K的水平投影k，求其正面投影k’。
解法2：运用点在平面上的条件求k’。
(1) 在平面的水平投影△ abc上，连ak与bc相交于点3； (2) 由点3作垂线与b’c’相交于点3’； (3) 连a’3’与过k所作的垂线交于k’。
直线在平面上的条件是：
若一直线通过平面上任意两 已知点，则直线在该平面上。
线AC、AD、AE等，这些直
线对投影面H的倾角各不相
同，但其中必有一条直线
AD对投影面的倾角是最大
的，该直线垂直于直线CE，
即垂直于平面P关于投影面
H的平行线，此直线称为平 面P对投影面H的最大斜度 在三投影面体系中对H、V、W面分别
线。
有三组不同的最大斜度线。最大斜度
线对投影面的倾角反映平面对该投影
n
f
c
a
m b
d
a d
f
m
c
b n
例6-14 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN
是否垂直于定平面。
a
c
m
e
f
b
d
X
n
O
b
a
m
e
d
c
n
f
平面的投影
平面的投影由初等几何学可知，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线、两相交直线可决定一平面；在投影图上可利用几何元素来表示平面。
但是形体上任何一个平面图形都有一定的形状、大小和位置。
从形状上看，常见的平面图形有三角形、矩形、正多边形等直线轮廓的平面图形。
平面的表示方法1．不在一条直线上的三点；2．一条直线和线外一点；3．两平行直线；4．两相交直线；5．任意一平面图形。
图2—21几何元素表示平面平面形在三面投影体系中的特性平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。
平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。
三角形是最简单的平面形，如图2—25所示，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。
其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。
其它多边形的作法与此类似。
又此可见，唨平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得的投影。
图2—22一般位置平面的投影图2—23投影面平行面的投影特性平面形在三面投影体系中的位置可分为三种：1．一般位置平面——对于三个投影面都倾斜平面对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面，如图图2—22所示。
一般位置的三角形平面的投影情况，由于它对三个投影面都倾斜，所以三个投影仍为三角形，且不反映实形，都比实形缩小了。
由此得到一般位置平面的投影特性：（1）类似性——在三个投影面上的投影均为相仿的平面图形，且形状缩小；（2）判断——平面的三面投影都是类似的几何图形，该平面一定是一般位置平面。
2．投影面平行面——平行于一个投影面的平面平行于一个投影面也即同时垂直于其它两个投影面的平面，称为投影面平行面。
如图2—23所示，投影面平行面有三种：水平面（∥H面）、正平面（∥V面）、侧平面（∥W面）。
三种投影面平行面的投影特征：（1）真实性——如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴；（3）判断——若在平面形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平行于投影轴的直线，而只有一个投影为平面形，则此平面平行于该投影所在的那个投影面。
直线、平面在三面投影体系中的投影特性分析
直线、平面在三面投影体系中的投影特性分析【摘要】建筑制图中直线、平面相对于三个投影面的不同位置关系的分类相同，空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种：投影面平行线、投影面垂直线和投影面倾斜线。
【关键词】相对位置；投影特性；分析一、投影面平行线与投影面平行面1.定义的区别（1）投影面平行线：与一个面平行与另外两个面倾斜，按其与水平投影面、正立投影平面、侧立投影平面平行的位置分为水平线、正平线、侧平线。
（2）投影面平行面：与一个面平行与另外两个面垂直，按其与水平投影面、正立投影平面、侧立投影平面平行的位置分为水平面、正平面、侧平面。
2.投影特性的区别（1）投影面平行线：直线在所平行的投影面上的投影反映实长，此投影与投影轴的夹角反映直线与另两个投影面的夹角实形；直线在另两个投影面上的投影，平行于相应的投影轴，但不反映实长。
“开发资产管理应用程序时，我们首要任务之一是帮助客户完全掌控过程知识。
为此，我们首次允许用户灵活地借助收集的情报快速创建自己的资产模型。
”ABB设备管理和资产优化全球产品经理NeilShah说到，“包括根本原因分析在内的资产分析是帮助客户在当今工业市场中保持竞争力的另一个关键因素。
”（2）投影面平行面：平面在它平行的投影面上的投影反映实形，其它两个投影积聚成线段，并且分别平行于相应的投影轴。
3.空间位置的判别（1）投影面平行线：一斜两直线，必为平行线；斜线在哪面，平行哪个面。
（2）投影面平行面：一框两直线，必为平行面；框在哪个面，平行哪个面。
投影面平行线投影图投影面平行面投影图二、投影面垂直线与投影面垂直面1.定义的区别众所周知，信息化条件下的现代战争，武器装备的优劣在很大程度上影响战争的胜败，但是决定战场胜负的主体因素依然是人。
现代战争中的每一项军事行动，都离不开军人良好身体素质的支撑。
良好身体素质的获得自然离不开真、难、严、实的军事训练，而逼近实战的军事训练中也将不可避免的发生军事训练伤。
平面的投影
例11：试过水平线AB作一与H面成30º夹角的 平面。
作业
P23 P24 P26
4.4 直线与平面及两平面的相对位置 相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题
包 括
直线与平面平行
m
●
n
b
唯一解
⒉ 两平面平行
①若一平面上的两相 交直线分别平行于另 一平面上的两相交直 线，则这两平面相互 平行。
b
c d a c a b b d
e
f
f e f
②若两投影面垂直面 相互平行，则它们具 有积聚性的那组投影 必相互平行。
d
e
a
h
h
c
a
c
b
d
e
f
例：判断平面ABDC与平面EFHM是否平行, 已知AB∥CD∥EF∥MH
●
h′
●
b′ e′
n′
●
f′ a
作图
① 求交线 ② 判别可见性 点Ⅰ在MC上，点Ⅱ在FH 上，点Ⅰ在前，点Ⅱ在后， 故mc 可见。
b
n● d(e)
2 h(f) ● m 1
●
●
c
⑵
d′
空间及投影分析
h′
m′
●
b′ e′
n′
●
f′ a m
●
平面DEFH是一铅垂面， 它的水平投影有积聚性，其 与ac、bc的交点m 、n 即为 两个共有点的水平投影，故 c′ mn即为交线MN的水平投影。
对于特殊位置直线，只 有两个同名投影互相平行， 空间直线不一定平行。
平面的投影特性是什么
平面平行于投影面， 平面平行于投影面，投影 原形现 平行于投影面 平面倾斜于投影面， 平面倾斜于投影面，投影 面积变 倾斜于投影面 平面垂直于投影面， 平面垂直于投影面，投影 聚成线 垂直于投影面
投影面的平行面：
平行于一个投影面，而垂直于 其他两个投影面的平面
（1）正平面： （2）水平面： （3）侧平面：
平行于V面，垂直于H、W面的平面 平行于H面，垂直于H、W面的平面 平行于W面，垂直于H、W面的平面
V 正平面 ∥ V面 X
Z W X Y
Z
O YH
YW
V面投影反映实形，H面、W面投影聚成直线
5章平面的投影
学习要求§5.1 平面表示法§5.2 平面的投影特性第五章平面本章目录§5.3 平面内的点和直线第五章平面平面投影平面的投影有两种表现形式，一种由几何元素表示，一种由迹线来表示。
根据平面对投影面的相对位置，分为一般位置平面与特殊位置平面。
本章将讨论各种位置平面的投影特征及平面内的点和直学习基本要求1 熟悉特殊位置平面的投影特征并正确画出其投影。
2 熟练掌握在平面内取点和直线的作图方法。
3 会运用最大斜度线求平面对投影面的倾角。
5.1 平面表示方法—几何元素表示法平面投影在投影图中表示一个平面可以采用两种方式：1.几何元素表示法2.迹线表示法所谓表示平面，主要是表示平面的空间位置，而非其面积大小。
用几何元素表示平面的方法有以下几种方式：平面表示方法—用迹线表示法平面与投影面的交线称为平面的迹线。
当平面位置一定时，则平面的迹线也就唯一确定。
因此，可以用平面的迹线来表示平面在投影体系中的位置。
上面这种用平面迹线表示的平面称为“迹线面”。
平面投影图例5.2.1 一般位置平面与三个投影面均倾斜的平面称为“倾斜面”或“一般位置平面”一般位置平面的三面投影均为该平面图形的类似形。
没有积聚性，也不能反映平面实际形状。
图例5.2.2 特殊位置平面特殊位置平面是指投影面垂直面和投影面平行面。
1.投影面垂直面与一个投影面垂直的平面称为“投影面垂直面”。
在三投影面体系中，投影面垂直面有三种：正垂面、铅垂面、侧垂面。
此处以铅垂面为例分析投影面垂直面的投影特性。
分析可知，铅垂面的投影特性为：a.铅垂面的水平投影积聚为一直线，该直线与投影轴的夹角反映平面与相邻投影面的倾角；b.铅垂面的另两个投影为类似形。
正垂面、铅垂面、侧垂面的投影特征参见表5-1。
铅垂面投影特性各种投影面垂直面的投影特征平面投影图例由表5-1所列正垂面、铅垂面、侧垂面的投影情况可归纳出投影面垂直面的投影特征如下:(1) 投影面垂直面在其所垂直的投影面上的投影积聚为一直线,该直线段与投影轴的夹角反映了该平面与另两个投影面的倾角;(2) 投影面垂直面的另两个投影为类似形。
画法几何制图—平面的投影及相对位置
PRT SIX
建筑制图的投影应用
建筑平面图：表示建筑物的平面形状和尺寸
建筑立面图：表示建筑物的立面形状和尺寸
建筑剖面图：表示建筑物的剖面形状和尺寸
建筑详图：表示建筑物的细部构造和尺寸
工程制图的投影应用
建筑设计：绘制建筑平面图、立面图、剖面图等
机械设计：绘制机械零件图、装配图等
,
画法几何制图—平面的投影及相对位置
目录
Prt One
添加目录标题
Prt Two
平面投影的基本概念
Prt Three
平面投影的特性
Prt Four
平面间的相对位置关系
Prt Five
平面与投影面间的相对位置关系
Prt Six
平面投影的实际应用
添加章节标题
PRT ONE
平面投影的基本概念
PRT TWO
平面的表示方法
投影面：将物体投影到平面上形成平面图形
投影线：连接物体与投影面的直线
投影点：物体与投影面的交点
投影方向：投影线与投影面的夹角
投影面法线：垂直于投影面的直线
投影面坐标：表示平面图形在投影面上的位置和方向
投影面与平面的关系
投影关系：物体与投影面之间的相对位置关系
投影面：将物体投影到平面上形成投影面
特点：平面与投影面之间没有交点且平行于投影面
垂直关系
垂直关系：平面与投影面之间的一种相对位置关系
垂直关系特点：平面与投影面之间的夹角为90度
垂直关系应用：在工程制图中垂直关系常用于表示物体的高度、宽度和深度
垂直关系判断：通过测量平面与投影面之间的夹角判断是否满足垂直关系
倾斜关系
倾斜角度：平面与投影面之间的夹角
《画法几何》第2章 点、直线、平面的投影
相交（或交 叉）成直角 的两直线， 只要其中有 一条直线平 行于某投影 面，则它们 在该投影面 上的投影仍 反映直角
水平线
Ｂ
b a
Ａ Ｃ
c
反之，两直线之一是某投影面平行线，且两直线在该投影面 上的同名投影互相垂直，则在空间两直线互相垂直
[例2-7]已知过点A作线AB平行于EF，问AB与CD是否相 交(习题P25-4)
Ⅰ∈AB Ⅱ∈CD
Ⅲ∈AB Ⅳ∈CD
3 4） （
1
b
判断重影点重 合投影的可见性 时，要在其他投 影中比较它们坐 标的大小。
直角投影定理
当两直线都平行于某投影面对，其夹角在该投影 面上的投影反映实形。
当两直线都不平行于某投影面时，其夹角在该投 影面上的投影一般不反映实形。
a b
a c b
c
b0
c
b
d
[例2-11]作一直线与AB和CD相交，并与它们垂直（即 求两直线的公垂线），并标明其真实距离
c´ b´
f´
a´
e´
d´ c (d) e
a
真ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ距离
f
b
点的投影
直线的投影
两直线的相对位置
平面的投影（自学）
平面的投影
平面的投影
平面的投影性质
P
A D C B
q p H d
根据一般位置直线的投影求其实长和倾角 （直角三角形法）
b´
m
V
a´
α
b´
B
C
X
a´
1、过A点作 AC//ab 2、过b点作 O bb ⊥ab,且 0 bb0=BC
A b
a
α
平面的投影
PH
上海理工大学《机械制图》课件
H
[例4] 已知ABC 平面，试过点C 作该平面的正平线， 过点A 作该平面的水平线。
b
m a n c
X
b n m c
a
上海理工大学《机械制图》课件
[例5] 已知点E 在ABC 平面上，且点E 距离H 面15，距离V 面10，试求点E 的投影。
b
m
上海理工大学《机械制图》课件
二、平面上的点和直线
1．点和直线在平面上的几何条件 ①直线在平面上的几何条件是： 直线必通过平面上的两点；或直 线通过平面上的一点，且平行于平面上的另一条直线。
b
e
B F E D
f c
d
a
C
a
A
c d b
f
e
上海理工大学《机械制图》课件
②点在平面上的几何条件是：点必在该平面的某条直线上。
铅垂面----垂直于H面，倾斜于V、W面的平面； 正垂面----垂直于V面，倾斜于H、W面的平面； 侧垂面----垂直于W面，倾斜于V、H面的平面。
上海理工大学《机械制图》课件
(1) 铅垂面
V P B A a a b C PH c c a c a b b c
W
H 投影特性： b 1. abc积聚成一直线； 2. abc、 abc为ABC的类似形； 3 . abc与OX、 OY的夹角，反映对V、W面的倾角、。
§2-4
平面的投影
平面投影一般仍为平面，在特殊情况下才积聚为直线， 称这种性质为积聚性。不在同一直线上的三点或多点可确 定一个平面。 c c c c c ● ● ● ●
●
a●
X
●
a● b ●b
各位置直线和平面投影特性总结
13
直角三角形法
直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、 倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。 解题
时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长 度来作直角边不能搞错。 如图所示，在各个直角三角形中，实长与水平投影的夹角是α， α的对边长一定是Z坐标差；实长与正面投影的夹角是，的 对边长一定是Y坐标差；实长与侧面投影的夹角是， 的对边 一定是X坐标差。直线对H、V、W三投影面的倾角为α、、 。
3、一般位置平面
——与三个投影面都倾斜的平面。
16
（1）正垂面
投影特性：（一线两框）
1、正面投影abcd积聚为一倾斜于投影OX、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性，PH OX轴，PWO轴 3、abcd与OX、OZ轴的夹角反映α、 角的真实大小
Z V
Z
γ
14
（二）各种位置平面的投影特性
在三面投影体系中，根据平面与投影面所处的相 对位置不同有如下分类:
平面
特殊位置平面 一般位置平面
投影面平行面 投影面垂直面
15
各种位置平面的三面投影
平面对H、V、W三投影面的倾角是指平面与投影面之间的
夹角，分别用α、、
1、投影面的垂直面
——与一个投影面垂直，而与另两个倾斜的平面。
X
O
βγ
β γ
H Y
YH
18
（3）侧垂面
投影特性：（一线两框）
1、侧面投影 abcd积聚为一倾斜于投影OYW、OZ的直线。 2、abcd、abcd 具有类似性,PH OYH,PVOZ轴 3、 abcd与OZ、OYW轴的夹角反映、α角的真实大小
投影特性(精)
3. 投影特性：（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为一斜直线，并且该投影与投影轴的夹角等于该平面与相应投影面的倾角；（2）平面的其它两个投影不是实形，但有相仿性。
4. 垂直面空间位置的判别：两框一斜线，定是垂直面；斜线在哪面，垂直哪个面。
3.3.2.3 一般位置平面1. 定义：与三个投影面均倾斜的平面，称为一般位置面。
2. 投影图：一般位置面的三个投影都呈倾斜位置，如图3-32所示。
图3-32 一般位置平面的投影因为一般位置平面与三个投影面都倾斜，所以平面图形的三个投影均不反映实形，也无积聚性，但具有原图形的相仿性。
在图3-31（b）中，三面投影Δa′b′c′、Δa bc、Δa″b″c″均比原几何图形ΔABC小。
3. 投影特性：平面的三个投影既没有积聚性，也不反映实形，而是原平面图形的类似形。
4. 一般位置线的判别：三个投影三个框，定是一般位置面。
3.3.3 平面上的点和直线3.3.3.1平面上的点3.3.3.2平面上的直线一直线若通过平面内的两点，则此直线必位于该平面上，由此可知，平面上直线的投影，必定是过平面上两已知点的同面投影的连线。
若点在直线上，直线在平面上，则点必定在平面上。
在平面上取点，首先要在平面上取线。
而在平面上取线，又离不开在平面上取点。
【例3-14】已知ΔABC平面上点M的正面投影m′，求它的水平投影图m（图3-33（a））。
分析：点M在ΔABC平面上，必然经过平面上一直线；m′和m应分别位于该直线的同名投影上。
因此，要补全点M的投影，需先在ΔABC内作出过点M的辅助线。
作图方法一：（a）已知条件（b）在正面投影上过a′和（c）自m′向下引OX轴的m′作辅助线a′m′，并延长垂线，与ad相交于m，与b′c′相交于d′；自d′向下m即为所求。
引OX轴的垂线，与bc相交于d，连ad；图3-33 补出平面上点M的水平投影作图方法一作图方法二（图3-35（c））（a）已知条件（b）过m′作辅助线e′f′，使（c）自m′向下引OX轴的e′f′∥a′c′；并与b′c′相交于垂线，与ef相交于m，me′；自e′向下引OX轴的垂即为所求。
平面的投影——精选推荐
平⾯的投影平⾯的投影由初等⼏何学可知，不在⼀条直线上的三点、⼀条直线和线外⼀点、两平⾏直线、两相交直线可决定⼀平⾯；在投影图上可利⽤⼏何元素来表⽰平⾯。
但是形体上任何⼀个平⾯图形都有⼀定的形状、⼤⼩和位置。
从形状上看，常见的平⾯图形有三⾓形、矩形、正多边形等直线轮廓的平⾯图形。
平⾯的表⽰⽅法1．不在⼀条直线上的三点；2．⼀条直线和线外⼀点；3．两平⾏直线；4．两相交直线；5．任意⼀平⾯图形。
图2—21⼏何元素表⽰平⾯平⾯形在三⾯投影体系中的特性平⾯形的投影⼀般仍为平⾯形，特殊情况下为⼀条直线。
平⾯形投影的作图⽅法是将图形轮廓线上的⼀系列点（多边形则是其顶点）向投影⾯投影，即得平⾯形投影。
三⾓形是最简单的平⾯形，如图2—25所⽰，将△ABC三顶点向三投影⾯进⾏投影的直观图和三⾯投影图。
其各投影即为三⾓形之各顶点的同⾯投影的连线。
其它多边形的作法与此类似。
⼜此可见，唨平⾯形的投影，实质上仍是以点的投影为基础⽽得的投影。
图2—22⼀般位置平⾯的投影图2—23投影⾯平⾏⾯的投影特性平⾯形在三⾯投影体系中的位置可分为三种：1．⼀般位置平⾯——对于三个投影⾯都倾斜平⾯对三个投影⾯都倾斜的平⾯，称为⼀般位置平⾯，如图图2—22所⽰。
⼀般位置的三⾓形平⾯的投影情况，由于它对三个投影⾯都倾斜，所以三个投影仍为三⾓形，且不反映实形，都⽐实形缩⼩了。
由此得到⼀般位置平⾯的投影特性：（1）类似性——在三个投影⾯上的投影均为相仿的平⾯图形，且形状缩⼩；（2）判断——平⾯的三⾯投影都是类似的⼏何图形，该平⾯⼀定是⼀般位置平⾯。
2．投影⾯平⾏⾯——平⾏于⼀个投影⾯的平⾯平⾏于⼀个投影⾯也即同时垂直于其它两个投影⾯的平⾯，称为投影⾯平⾏⾯。
如图2—23所⽰，投影⾯平⾏⾯有三种：⽔平⾯（∥H⾯）、正平⾯（∥V⾯）、侧平⾯（∥W⾯）。
三种投影⾯平⾏⾯的投影特征：（1）真实性——如平⾯⽤平⾯形表⽰，则在其所平⾏的投影⾯上的投影，反映平⾯形的实形；（2）积聚性——在另外两个投影⾯上的投影为直线段（有积聚性）且平⾏于相应的投影轴；（3）判断——若在平⾯形的投影中，同时有两个投影分别积聚成平⾏于投影轴的直线，⽽只有⼀个投影为平⾯形，则此平⾯平⾏于该投影所在的那个投影⾯。
平面的投影
水平线 正平线
第五章 直线与平面 平面与平面的相对位置
§5-1 平行问题
§5-2 相交问题 §5-3 垂直问题 §5-4 综合问题解题示例
§5-1 平行问题
一、直线和平面平行
二、平面与平面平行
一、直线和平面平行
几何条件
如果平面P 外的一条直线AB 与平面内的一条直线 平行,那么这条直线AB 和这个平面P 平行。 ∵ L∈P ；
1’ a' 3’ b' X a O c 4
2’
c’
4’
否
3
1
2
b
三、平面内的点
点在平面上的几何条件： 点在平面内的一条直线上。
在平面内定点时，一般要通过包含点在平面 内取辅助线求解。
三、平面内的点
例1 已知点K 在平面ABCD 内，据k 求k’。
d‘
k’ a‘ c‘ 1’
作图分析： 在平面内取一条过K 点 的直线，如AI 。使k’ 在 a’ 1’上，则K 在平面内。 作图：
b'
1’
2’ 2
a' a b
1.作1' 3' ∥a'b' ； 13 ∥ab ；
X
1 3
O
2.任作12 ，1’2’ 。
则平面ⅠⅡⅢ平行 于直线AB 。
一、直线和平面平行
例2 判断直线AB 与平面△ⅠⅡⅢ是否平行。
分析： 只要判断能否在平面内找到一条与AB 直线平行的 直线即可，有则平行，否则不平行。 作图： 2' 1.在平面内取直线ⅠD ， d' 使1’d' ∥a'b' ； 3' b' 2.连接1d ； 1’ a' O ∵1d 与ab 不平行， X 2 ∴平面ⅠⅡⅢ 与直线 a b d AB 不平行。 3 1
平面的投影特性
第八讲
•尺寸标注的注意点•组合体读图•教材P48-55
• P65-67
•预习P69-82
• P54-57
•习题P25(114、115）•P28、 P 31(133)
• P33（141、142）
实体形成过程
形成实体
原始长方体
切去前块
切去左块
切去右块
3
平面投影特性小结
•当平面的三个投影只有一个线框时，该平面一定平行于线框所在的投影面，而线框反映平面实形
•当平面的三个投影有两个线框时，该平面一定垂直于无线框的那个投影面，而两线框都是平面的类似形
•当平面的三个投影都是线框时，该平面一定与三个投影面都倾斜，而三个线框都是平面的类似形
读图归纳（一）•视图上的每一条线可
以是物体上：
•两表面交线
•投影面垂直面
•曲面轮廓线
之一的投影
根据三视图想象形体
视图分解逐块分析（一）
长圆形孔圆柱孔底部开槽
搭子
物体的视图
原有线段消失
肋和圆
肋柱的交线
原有线段消失。
平面的投影
1、正面投影 反映实形
（显实性）；
b"
2、 其余投
Y 影平行于投
影轴。
（ 反映同一
Y坐标）。
侧平面的投影：
Z
V
c'
c"
a'
b'
X
b
c
O b"
投影规律：
W
1、侧面投影
反映实形
a"
（显实性）；
2、 其余投影平
Y
行于投影轴。
（ 反映同一X
坐标）。
Ha
Y
土木制图技术
投影面平行面的投影特性：
1、平面在其平行的投影面上的投影反映实形 （显实性） ； 2、平面的其它两个投影积聚成线段，且平行 于相应的投影轴（ 反映同一坐标） 。
例 已知△ABC给定一平面，试过A点作属于该平面的 水平线，过C作属于该平面的正平线。
b'
e' a'
e a
土木制图技术
d'
c' b
d c
注意： 水平线的正面投 影平行于OX轴； 正平线的水平投 影平行于OX轴。
例 直线MN在平面内，求作其另一投影。
土木制图技术
例 完成平面图形的投影。
土木制图技术
土木制图技术
O cA
b a
H
向下翻
a" Y
一般位置平面：
V
c'
a'
X ax cx
c
Ha
土木制图技术
Z
cz c" b' bz
az bx O cy
cy
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平面对一个投影面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性
1
Байду номын сангаас
平面对一个投影面的投影特性
P
平面//P 反映实形
实形性
平面P 积聚成直线
积聚性
平面 P 类似图形 类似性
2
平面在三投影面体系中的投影特性 平面相对于三投影面的位置
V
平面相于投影
面的位置可归 纳为几类？
W
H
平面对三投影面均倾斜 — 一般位置面
3
一般位置面用迹线如何表示？
V
X Px
Z
Pz
W
PV
P
PW
Px
O
PH
Py
H
Y
PZ
PV
Pw
Py
PH
Py
4
V
H V
H
V
W
W
H
V 正垂面
H 铅垂面
W
平面某一投影面
投影面垂直面
W 侧垂面
5
铅垂面用迹线如何表示？
Z
V
PV
Pw
PV
P
W Px
Py
X Px
PW
O
PH
PH
Py
Py
H
Y
6
V
H V
H
V
W
W
H
且反映平面与投影面的倾角
另二投影为类似图形
11
投影面平行面 平行于某一投影面的平面
//OX轴
a'
a
//OY轴
b' c' c" a" b" 是什么面？ 水平 为面什么？
c V
W
反映实形
b
H
投影特性
在所平行的投影面内的投影反映实形
另二投影分别积聚成直线且平行于相应的投影轴
12
9
一般位置平面 对H、V、W 均倾斜的平面
b'
b"
a' c'
b
a" c"
P
c a
投影特性
在H、V、W面内的投影均为空间平面图形的 类似图形
10
投影面垂直面
积聚性
c'
a'
类似图形
c
仅垂直于一个投影面的平面
b'
b"
c"
类似图形
是什么面？正垂面
a" 为什么？
V
W
a
b
H
投影特性
在所垂直的投影面内的投影积聚成直线，
// V 正平面
// H 水平面
W
平面//某一投影面
投影面平行面
// W 侧平面
7
水平面用迹线如何表示？
Z
V
PV
PV
Pz
PW W
P
X
O
H
Y
Pz PW
8
归纳 平面相对于投影面的位置
一般位置面
投影面垂直面
铅垂面：H面 正垂面：V面 侧垂面：W面
投影面平行面
特殊位置面
水平面：∥H面 正平面：∥V面 侧平面：∥W面