高中数学真题与经典题一题多解解法与解析
高中数学经典题一题多解(一)：解析几何一题多解 21题 53解
32OA OB =+第一种解题思路：把直线的方程联立椭圆3OB +，(,222M x +y)在椭圆:4C3,=(，由待定系数法求得2λ，23OB +第三步：把32OM OA OB =+椭圆上这个条件，但是只提供这就是原题的构造过程.，过(4,)5A 且斜率为k 的直线交椭圆(4)5y k x -=-与:25C +由2⎨⎪(12)k x+.又26424(1k∆=-2211,x y ⎧+=⎪3cos ||||41a a b k α==+134≤如图，设直线l 与圆222C x y R +=∶(12R <<)相切于A ，与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，当R 为何值时，||AB 取得最大值？并求最大值．初等解法：设直线l 的方程为y kx m =+，因为直线l 与圆C ：222x y R +=(12R <<)相切于A ， 所以 2||1m R k =+， 即222(1)m R k =+ ①，因为l 与椭圆2214x E y +=∶相切于点B ，由2214y kx m x y ++==⎧⎪⎨⎪⎩得224()4x kx m ++=， 即222(14)8440k x kmx m +++-=有两个相等的实数解， 则2222226416(14)(1)16(41)0k m k m k m =-+-=-+=⊿， 即22410k m -+=， ②由①、②可得2222223414R m R R k R ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩， 设11(,)B x y ，由求根公式得1228442(14)km km kx k m m=-=-=-+， ∴2211441()k k m y kx m k m m m m -+=+=-+==， ∴222221211614||5k OB m R x y +===-+=， ∴在直角三角形OAB 中，222222244||||||55()AB OB OA R R R R=-=--=-+， 因为2244R R+≥，当且仅当2(1,2)R =∈时取等号，所以2||541AB -=≤， 即当2(1,2)R =∈时，||AB 取得最大值，最大值为1．高等解法：上述解法用的是初等数学的解题方法，即解决二次曲线问题常利用的判别式及根与系数的关系(韦达定理)，包括求根公式；特别地，对于直线与圆的相切，可利用直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．-++ m x x1)()⊥．∴MA MB又 21x x +=)11(41+-λk )11(42+-λk =k 4-(2121λλλλ++2)， ，1λ+2λ=38-， (1) 21x x =216k )11(1+λ)11(2+λ=216k (211λλ+2121λλλλ++1) ，1λ+2λ=38-， (2) 由(1)得: 1λ2λ=)3(492--k ，由(2)得: 1λ2λ=)3(80)16(922-+-k k . ∴ )3(492--k =)3(80)16(922-+-k k ，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).如果考虑结论中涉及到的1λ+2λ怎样用k 表示，刚才提供的解法二可以演变为下面的解法三：1λ+2λ=441+-kx +442+-kx =-4(411+kx +412+kx )=-4×)4)(4(8)(2121++++kx kx x x k =-4×16)(48)(2121221+++++x x k x x k x x k ，然后把21x x +=238k k -，21x x =3192-k 代入上式化简得: 1λ+2λ=483962-k =38-，解得：2k =4.验知⊿>0， ∴k =±2， ∴所求Q 点的坐标是(±2，0).第7题 2012年江苏卷解析几何题的轨迹解法2012年江苏卷解析几何题的最后一问，命题组提供的答案充分利用了几何意义.之后，不少杂志上又给出了许多解法，但是这些解法都是利用几何意义找出12,PF PF 与12,AF BF 的关系.本文换一个视角，利用比较纯粹的代数法先求出P 点的轨迹方程，再判断P 点的轨迹为椭圆，然后直接求出12PF PF +是定值． 一、题目：由点B 在椭圆上知，1222BF BF +=，所以11212=(22)AF PF BF AF BF -+．同理，22112=(22)BF PF AF AF BF -+．所以12121221212122+=(22)(22)22AF BF AF BF PF PF BF AF AF BF AF BF AF BF -+-=-+++由①②得，212222(1)=2m AF BF m +++，21221=2m AF BF m ++，所以1223+=22=222PF PF -． 所以12PF PF +是定值．三、轨迹解法：（1）椭圆的方程为2212x y +=．（2）（ii ）如右图，设1AF 的延长线交椭圆于1B ， 设(,)P x y ，11()A x y ，，122()B x y ，，由对称性，22()B x y -，-，其中1200y y ><，，由（1）得1(10)F -，，2(10)F ，. 设1AF 的方程分别为1x my =-，由22221(2)21=021x y m y my x my ⎧+=⎪⇒+--⎨⎪=-⎩， 显然0>，12222m y y m +=+，12212y y m =-+， 因为2,,P F A 共线，且所在直线有斜率，所以1111y yx x =-- ①， 因为1,,P F B 共线，且所在直线有斜率，所以2211y yx x =+- ②，12111x x x =+--，122212122)2()y y m y y m y y =--+9)3(2222=+-++y x y x ，即0322=-+x y x )335(≤≤x所以，点M 的轨迹方程为0322=-+x y x )335(≤≤x ．第10题 一道1985年高考解析几何题的两个优美解已知椭圆，直线，是上一点，射线交椭圆于点，又点在上，且满足，当点在上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.优美解1(极坐标法)如图，依题意设三点的极坐标分别为.因点在椭圆上， 故有，所以①.又点在直线上，所以有，即②.又由得③ .由①②③得，即，所以，化为直角坐标方程得.又点不能是坐标原点，所以不同时为零，故点的轨迹方程是()，即，其轨迹是中心为焦点在直线上的椭圆(坐标原点除外).优美解2(向量方法)依题意设，设，则，因点在直线上，故有即①.又点在椭圆上，所以有即②. 又由得即③.由①②③得，即，下同法1略.问题是数学的心脏，问题解决是数学的核心和目标，简单优美是数学的更高追求，根据问题特点灵活选择恰当的方法使问题得以轻松解决，可从中可体验创造美、发现美、欣赏美的愉悦和成功.第11题 抛物线对称轴上五个重要点在抛物线22(0)y px p =>的对称轴上有五个重要的点，即(0,0)O ，(,0)2pK -，(,0)2p F ，(,0)M p ，(2,0)N p ，与这五点相关的高考试题非常多，本文对这五个点做一个简单的总结，其中前三个点的研究既用了代数法，又用了几何法，后两个点的研究只用了代数法，希望这个研究方法能对同学们有所启发，在遇到由此改编的试题的时候能够选用恰当的方法．为了减少作图和便于比较，我们把涉及五点的结论所需的图形全部放在一个整体的图形中，这个图我们把它叫做五点图，如右图所示：1、原点(0,0)O 处的三点共线：过(,0)2pF 任作直线交抛物线22(0)y px p =>于A B 、，过A B 、分别作准线2px =-的垂线，垂足为11A B 、，O 为坐标原点，则1A O B 、、三点共线，1A O B 、、三点共线． 证法一 几何法连结1AB 交x 轴于1O 点，由已知11AA FK BB ∥∥， 由抛物线定义11,,AA AF BB BF ==于是11111111O F BB B K O K O KBF FA BA BA B A AA FA=====，( 2FBB-∠180，∴F B F⊥解：（1）因为椭圆由184x y +=⎨⎪⎩08=≥．又+ OA OB221(1k +==OB OA OB =.,OA OB OA OB =2整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅=．设M(x,y)是以线段AB 为直径的圆上的任意一点,则MA 12)()(x x y -+22,OA OB OA OB =整理得: OA 12120x x y y ∴⋅+⋅= (1)设(x,y)是以线段AB 为直径的圆上则11(y y y y x x --⋅=--,OA OB OA OB =2整理得: OAx x⋅又因12x x⋅≠122所以圆心的轨迹方程为设圆心C到直线12x x⋅又因12∴⋅=x x24(22p p -解法3:设圆C 的圆心为1x x +⎧=12又因12x x ⋅x x ∴⋅=1|4pd ∴=5+5(14k 时，上式取等号．2-127t.()21712727t t =⨯- ()2271271227t t +-≤⨯377=. ……12分 当且仅当27127t t =-，即427t =时，等号成立. ∴ ABC ∆的面积的最大值为377． …… 14分 第 16题 一道解析几何定值题的2种解法已知曲线C 是到点)83,21(-P 和到直线85-=y 距离相等的点的轨迹，l 是过点Q （-1，0）的直线，M 是C 上（不在l 上）的动点；A 、B 在l 上，x MB l MA ⊥⊥, 轴（如图）。
高中数学真题与经典题一题多解解法与解析
高中数学真题与经典题一题多解解法与解析(总113页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-函数篇【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2-解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +．则切线分别为：111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x = 212x =-∴解得1ln 11ln 2b x =+=-解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和22(,)x y ．∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --= ∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1ln 11ln 22b =+=- 【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( )32[,1)e-33,24e -（）33[,)24e 3[,1)2e解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)xe x ax a -<-，设()(21),()xg x e x h x ax a =-=-由'()(21)xg x e x =+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，故(0)(0)(1)(1)h g h g >-≤-⎧⎨⎩得312a e≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)()1x e x g x x -=-，则22(23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32min3()()42g x g e ==，即324a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。
高中数学学习中的经典题目解析与讲解
高中数学学习中的经典题目解析与讲解随着高中数学学习的深入，经典数学题目的解析与讲解成为了学习的关键。
本文将介绍数学学习中的一些经典题目，并对其解法进行详细讲解，帮助同学们更好地掌握高中数学知识。
一、立体几何题目立体几何是数学学习中的重要内容，其中球体、圆锥体和圆柱体是常见的几何体。
下面，我们以一道经典题目来解析这三种几何体的性质。
题目：一个球形水泵中有一些水，现将水泵水倒入一个圆锥形容器中，若容器正好装满，请问水泵中的水是否用完？为什么？解析：我们需要利用几何体的性质来解答这道题目。
首先了解球体、圆锥体和圆柱体的公式。
- 球体的体积公式为V = 4/3πr³，其中r为半径。
- 圆柱体的体积公式为V = πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
- 圆锥体的体积公式为V = 1/3πr²h，其中r为底面半径，h为高度。
我们设水泵中的水体积为V1，球形水泵的半径为r1，圆锥形容器的半径为r2，圆锥形容器的高度为h2。
根据题意，水泵中的水倒入容器中后，容器正好装满，即两者的体积相等。
V1 = V24/3πr1³ = 1/3πr2²h2我们可以观察到，等式右边为圆锥体的体积公式，而左边为球体的体积公式。
由此可知，无论底面半径和高度如何变化，等式均成立。
所以，水泵中的水不会用完，无论水泵的水量多少，只要容器能装下，水泵中就还剩余一定量的水。
二、代数题目代数是高中数学的核心内容之一，其中方程和不等式是重要的概念。
下面，我们以一道经典的代数题目来解析方程的求解方法。
题目：解方程2x² + 7x - 15 = 0。
解析：解一元二次方程有多种方法，我们将采用因式分解法来解答这道题目。
先观察方程的形式，可以发现2x² + 7x - 15可以分解为(2x - 3)(x + 5) = 0。
根据零乘法，只要满足(2x - 3) = 0或(x + 5) = 0两个方程中的一个即可。
全国各地高考数学一题多解：全国I卷(Word版,含答案)
全国(quán ɡuó)I卷1、【2021年高考(ɡāo kǎo)数学全国I理第5题】函数(hánshù)在单调(dāndiào)递减，且为奇函数．若，则满足(mǎnzú)的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【知识点】函数的奇偶性；单调性；抽象函数；解不等式。
【试题分析】本题主要考察了抽象函数的奇偶性，单调性以及简单的解不等式，属于简单题。
【解析】解析二：（特殊函数法）由题意，不妨设，因为2-≤≤，所以f-1()1x，化简得，故选D。
解析三：（特殊值法）假设可取，则有，又因为，所以与2-≤≤矛盾，故=01()1f-x不是不等式的解，于是排除A、B、C，故选D。
2、【2021年高考数学全国I理第11题】设xyz为正数，且，则A．B．C．D．【答案】D【知识点】比较大小；对数的运算；对数函数的单调性；【试题分析】本题主要考察了对数的比较大小，其中运用到了对数的运算公式，对数的单调性等。
属于中档题。
【解析】解析一：令，则，，，，，，要比较(b ǐji ào)与，只需比较(b ǐji ào)，，即比较(b ǐji ào)与，即比较(b ǐji ào)，，易知，故.要比较(b ǐji ào)2x 与，只需比较1lg 22，，即比较与，即比较，，易知，故.所以325y x z <<.解析二：令()2350x y z t t ===>，则2log x t =，3log y t =，5log z t =，2lg 22log 1lg 22t x t ==，3lg 33log 1lg33t y t ==，5lg 5log 1lg55tz t ==， ，所以即23x y >.，所以即52z x >.所以325y x z <<.3、【2021年高考数学全国I 理第18题】如图，在四棱锥P-ABCD 中，AB//CD ，且.（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】见解析【知识点】线面垂直的判定；面面垂直的判定；求二面角。
一题多解问题(高中数学经典题型)
1.已知y x ,为正实数，且4142=++y x xy ，则y x +的最小值为.解法一：消元因为⎪⎭⎫⎝⎛∈+-=241,04241x x x y ，所以()8644944492449424241≥-+++=++-=+++-+=+-+=+x x x x x x x x x x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法二：因式分解因为4142=++y x xy ，所以()()9424=++y x ，()()()()86242624=-++≥-+++=+y x y x y x 当且仅当5,3==y x 时，等号成立。
解法三：判别式法设0,>=+t t y x ，则x t y -=代入条件得，()()4142=-++-x t x x t x ，化简得,()041422=-+-+-t x t x ,方程有根的必要条件是0≥∆，()0016-12164-16222≥+=+-=∆t t t t 解得8≥t ，经检验，8=t 时，5,3==y x 可以取得。
2.若将函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f 的图象沿x 轴向右平移()0>ϕϕ个单位后所得的图象与()x f 的图象关于x 轴对称，则ϕ的最小值为.解法一：图象法实线是原函数()⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx x f ，虚线是新图象，很明显，当实线向右至少平移半个周期2π即可.解法二：特殊值法由图可知，要使得新图象()⎪⎭⎫⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，只要原图象的最高点对应新图象的最低点。
于是取原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 在12π=x 处取得1，此时-112=⎪⎭⎫⎝⎛πg ，即12cos 22sin 12-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛ϕϕππg ，Z k k ∈+=,22ππϕ，Z k k ∈+=,2ππϕ，所以ϕ的最小正值为2π.解法三：函数对称关系若()()x g x f -=，则函数()x f 与()x g 关于x 轴对称.新图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ϕπ232sin x x g 与原图象()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin πx x f 关于x 轴对称，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ϕππ232sin -32sin x x ，即⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+32-2sin 32sin πϕπx x 只要Z k k ∈+=,22ππϕ即可，所以ϕ的最小值正值为2π.3.在ABC ∆中，BC =+，若ABC ∆的面积的最大值为2，则边BC 的长为.解法一：建系，研究动顶点A 的轨迹建立如图坐标系，设a BC =，()y x A a C a B ,,0,2,0,2⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-，=+，所以2226a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-，即当顶点位于最远离x 轴位置时，此时高为a ，2212max ==a S ，所以2=a 。
高中数学一题多解
题目：已知等腰三角形ABC，且AD是三角形ABC的高，E为边BC的中点，AE与BC交于点F，求证：∠ACF=∠BCE。
解法1：根据题目已知，AD是三角形ABC的高，说明角BAD和角FAC互余，即∠BAD+∠FAC=90°。
又因为三角形ABC为等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，即角BAD和角FAC相等。
因此，∠FAC=∠BAD。
由已知条件，E为边BC的中点，所以BE=EC，并且连接AE。
因为E是边BC的中点，所以AE是三角形ABC的中线，所以AE平分∠BAC。
因此，∠BAE=∠CAE，即角BAD和角CAF相等。
综上所述，∠FAC=∠BAD=∠CAF，即∠ACF=∠BCE。
解法2：在△ABC中，已知等腰，所以AB=AC。
根据题目条件，AD是三角形ABC的高，所以BD=CD。
由于E为边BC的中点，所以BE=EC。
连接AE，AF，BF，CF。
由于△ABC是等腰三角形，所以∠BAC=∠BCA，所以∠ACB=∠BCA=∠BAC。
又因为AE是边BC的中线，所以AE平分∠BAC，所以∠BAC=∠CAE。
又因为AF是△ABC中△BCF的高，所以∠ACF=∠AF C。
所以∠ACF=∠AFC=∠BCF。
由于余角定理，对于任意角∠X和∠Y，若∠X+∠Y=90°，则称∠X和∠Y互余。
由题意可知∠BAC和∠BAD互余，所以∠BAD+∠FAC=90°。
又由于是等腰三角形，所以∠ACB=∠BAC。
所以∠ACB+∠FAC=90°，即∠ACF=90°-∠ACB。
由题目条件可知BE=EC，所以△BEC是一个等腰三角形，所以角BEC=角BCE。
所以∠ACF=90°-∠ACB=∠BEC=∠BCE。
综上所述，∠ACF=∠BCE。
全国各地高考数学一题多解：高考数学一题多解——山东卷 Word版含解析
山东卷1.(2017.山东文T4)已知34cosx =,则2cos x = (A)- 14 (B) 14 (C) - 18 (D) 18【考点】二倍角公式及其变形【试题分析】本题考查了倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【答案】D【解析】法一：34cosx =，cos2x =2cos 2x -1=81. 法二：由34cosx =得27sin 16x =，2141212sin 1168cos x x =-=-=. 法三：由34cosx =得27sin 16x =，229712cos sin 16168cos x x x =-=-=. 3.(2017.山东文T11)若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞ 过点（1,2），则2a +b 的最小值为____ 【知识点】基本不等式【试题分析】本题考查基本不等式的应用，考查“1”代换，考查计算能力，属于基础题． 【答案】82a +b =b b b +-22=b b b b b +-+=+-+-24224)2(2=)2.(24242244--+≥-+-+b b b b =8. 法三：直线过点(1,2),则,121=+b a ,22211abb a ≥+=即ab ≥8,当且仅当b=2a 时等号成立,所以2a +b ,822≥≥ab 当且仅当b=2a 时等号成立.(理科T7)若0a b >>，且1ab =，则下列不等式成立的是 （A ）()21log 2a b a a b b +<<+ （B ）()21log 2a b a b a b<+<+（C ）()21log 2a ba ab b +<+< （D ）()21log 2a b a b a b +<+<【知识点】函数单调性、基本不等式、比较大小【试题分析】本题考查了函数的单调性、不等式的解法与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．法二：a >b >0，且ab =1则a >1,0<b <1,所以+>>12,a b+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a又+<22log (a b)log 当a=b =1时等号成立.<<a b 012，所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2. 法三：构造,2ln 11)(),2(log )(2x x f x x x x f -='>-= ,14ln 2ln 22ln >=>x 所以,12ln 1<x 此时0)(>'x f ， 所以f （x ）在（2，+∞）上为增函数. 所以f （x ）>f (2)=1>0,所以x >log 2x ，即2a >)(log 2log 22b a a +>，所以b +<+21log (a b)a ,<<ab012，+=+>==22221log (a b)log (a )log log 21,a所以b <+<+2a b 1log (a b)a 2.。
2021年高考数学真题一题多解 - 新高考I卷解析
因此AO⊥平面BCD，
因为 平面BCD，所以AO⊥CD
(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,连FM
因为AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD, AO⊥CD
所以EF⊥BD, EF⊥CD, ,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC
因为FM⊥BC， ,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥ME
因为 ，即 ，整理可得 ，
即 ，显然 ，故 .
因此，直线 与直线 的斜率之和为 .
【解法二】参数方程法：设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
代入双曲线可得
同理
因为
即两斜率和为零。
【思维方式】本题的两种方法;一种是代数法，另一种参数法。求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．体现了函数与方程的数学思想，数学抽象及逻辑推理的数学核心素养。
（1）证明： ；
（2）若 是边长为1的等边三角形，点 在棱 上， ，且二面角 的大小为 ，求三棱锥 的体积.
答案：(1)详见解析(2)
【知识点】垂直位置关系、二面角的求法
【分析】（1）根据面面垂直性质定理得AO⊥平面BCD，即可证得结果；
（2）先作出二面角平面角，再求得高，最后根据体积公式得结果.
【解法一】（1）因为AB=AD,O为BD中点，所以AO⊥BD
所以，轨迹 是以点 、 为左、右焦点 双曲线的右支，
设轨迹 的方程为 ，则 ，可得 ， ，
所以，轨迹 的方程为 ；
（2）设点 ，若过点 的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线 无公共点，
高三数学《一题多解一题多变》试题及详解答案 .
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t 能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <40≤≤∴m变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值 解：由题意，令[]911822,∈+++=x nx mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根∴ 5==n m∴ 当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 ∴5==n m一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于014353232<<<<<>x x x x ⇒-3-或且 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 一题多变（二）已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则6396391613121121121111q q q q q q qq a q q a q q a =+=+=+⇒)≠(⇒)()()(一一一一一一 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀ 法二用公式q q a a s n n 一一11=，qq a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+ 则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 3333213654361s q q a a a s a a a s s )()(+=+++=+++=)()()(633333963633912121q q s q s s s s s q q s s ++=++⇒=+++=解得213一=q （下略）变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒ 变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在 当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01 x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x 时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法2112+=+=)-()(x x x x x f ，当01=xx -时，1=x ，此时 )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法x x x f 1+=)(212122=≥+=xxx x )()( )(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(l o g )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个（C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
一题多解 玩透复数刷百题不如解透一题之高中数学小题大做
一、典例分析，融合贯通典例1已知a ∈R ，i 为虚数单位,若i2ia -+为实数,则a 的值为 .【解法1】直接法()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数， 则20,25a a +==-。
【点睛之笔】直接法，按部就班，不费脑！ 【解法2】方程法设2a i k R i-=∈+，则()22a i k i k ki -=+=+，则2,1a k k ==-，因此2a =-。
【点睛之笔】方程思想，由思不必想!【点睛之笔】共轭法，阴阳合一，天下无敌！ 【解后反思】解法一：直接化简,根据定义确定取值; 解法二：建立方程，寻找平衡点; 解法三：利用共轭 ，寻找共同点。
典例2已知复数z 的模为2 ,求i z -的最大值． 【解法1】代数法 设)(R y x yi x z ∈+=、,yy x i z y x 25)1(.42222-=-+=-+＝则，32,2max =--=∴≤i z y y 时，当．【点睛之笔】用数据说话，直接明了！ 【解法2】三角代换法设),sin (cos 2θθi z +=则.sin 45)1sin 2cos 422θθθ-=-=-＋（i z.31sin max =--=∴i z 时，当θ【点睛之笔】三角代换，化繁为简! 【解法3】几何法2,z =∴点z 圆224x y +=上的点，z i -表示z 与i 所对应的之间的距离,图所示，可知当i z 2-=时,3max =-i z ．【点睛之笔】以形助数，直指核心！ 【解法4】三角不等式法312=+=-+≤-i z i z而当i z 2-=时，.3.3max =-∴=-i z i z【点睛之笔】三角不等式，直截了当,绝不啰嗦！【点睛之笔】共轭复数法，一体两面，各有千秋！ 【解后反思】yxO ．i ． -2iZ解法一：直接利用代数运算，较少思维量！解法二：三角代换，化繁为易，降低计算量!、解法三：利用几何法，化虚为实!解法四：利用三角不等式，直捣黄龙！解法五：共轭复数，有难共担,一对好“兄弟”!典例3.若1zz-为纯虚数，求z在复平面内对应的点的轨迹【点睛之笔】直接化简,不走弯路！【解法2】利用共轭的运算性质化简1zz-为纯虚数，∴-+-⎛⎝⎫⎭⎪=≠≠zzzzz z11001，（且）整理得：∴-+-=+---=zzzzz z zzz z11211（）（）∴+==z z zz20设(,)x yi z x y R+=∈，则有2222()00x x y y-+=≠（），即2211()(0)24x y y-+=≠它表示以1(,0)2为圆心，以12为半径的圆去掉两点0010（，），（，）【点睛之笔】共轭复数法,就属它不一样!【解后反思】解法一：直接化简，利用定义建立方程!解法二：利用共轭复数的性质，运算简单，思维灵活!二、精选试题，能力升级1．【2018河南洛阳尖子生联考】已知复数z 满足z(1−i)2=1+i （i 为虚数单位)，则|z|为( ）A. 12 B 。
全国卷Ⅰ2023年新高考数学真题及答案解析(多解版)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}2,1,0,1,2M =--，{}260N x x x =--≥，则M N = （）A.{}2,1,0,1-- B.{}0,1,2 C.{}2- D.2【答案】C 【解析】方法一：因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+，而{}2,1,0,1,2M =--，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．方法二：因为{}2,1,0,1,2M =--，将2,1,0,1,2--代入不等式260x x --≥，只有2-使不等式成立，所以M N ⋂={}2-．故选：C ．2.已知1i22iz -=+，则z z -=（）A.i -B.iC.0D.1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．3.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，若()()a b a b λμ+⊥+ ，则（）A.1λμ+=B.1λμ+=-C.1λμ= D.1λμ=-【答案】D 【解析】因为()()1,1,1,1a b ==- ，所以()1,1a b λλλ+=+- ，()1,1a b μμμ+=+-，由()()a b a b λμ+⊥+可得，()()0a b a b λμ+⋅+= ，即()()()()11110λμλμ+++--=，整理得：1λμ=-．故选：D ．4.设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞- B.[)2,0- C.(]0,2 D.[)2,+∞【答案】D 【解析】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞.故选：D5.设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则=a （）A.3B.C.D.【答案】A 【解析】由21e =，得22213e e =，因此2241134a a --=⨯，而1a >，所以233a =.故选：A 6.过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（）A.1B.154C.104D.64【答案】B 【解析】方法一：因为22410x y x +--=，即()2225x y -+=，可得圆心()2,0C ，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，因为PC ==，则PA ==可得106sin44APC APC ∠==∠=，则10615sin sin 22sin cos 2444APB APC APC APC ∠=∠=∠∠=⨯⨯=，22226101cos cos 2cos sin 0444APB APC APC APC ⎛⎫⎛∠=∠=∠-∠=-=-< ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即APB ∠为钝角，所以()15sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α；法二：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C，半径r =，过点()0,2P -作圆C 的切线，切点为,A B ，连接AB ，可得PC ==，则PA PB ===，因为22222cos 2cos PA PB PA PB APB CA CB CA CB ACB +-⋅∠=+-⋅∠且πACB APB ∠=-∠，则()336cos 5510cos πAPB APB +-∠=+--∠，即3cos 55cos APB APB -∠=+∠，解得1cos 04APB ∠=-<，即APB ∠为钝角，则()1cos cos πcos 4APB APB =-∠=-∠=α，且α为锐角，所以15sin 4α==；方法三：圆22410x y x +--=的圆心()2,0C ，半径r =，若切线斜率不存在，则切线方程为0y =，则圆心到切点的距离2d r =>，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2y kx =-，即20kx y --=，=，整理得2810k k ++=，且644600∆=-=>设两切线斜率分别为12,k k ，则12128,1k k k k +=-=，可得12k k -==所以1212tan 1k k k k -==+α，即sin cos αα=，可得cos =α，则2222sin sin cos sin 115+=+=αααα，且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0α>，解得15sin 4α=.故选：B.7.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，设甲：{}n a 为等差数列；乙：{}nS n为等差数列，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】C 【解析】方法一，甲：{}n a 为等差数列，设其首项为1a ，公差为d ，则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+，因此{}nS n为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n为等差数列，即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数，设为t ，即1(1)n nna S t n n +-=+，则1(1)n n S na t n n +=-⋅+，有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥，两式相减得：1(1)2n n n a na n a tn +=---，即12n n a a t +-=，对1n =也成立，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件，C 正确.方法二，甲：{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的首项1a ，公差为d ，即1(1)2n n n S na d -=+，则11(1)222n S n d d a d n a n -=+=+-，因此{}n S n 为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：{}nS n 为等差数列，即11,(1)1n n n S S S D S n D n n n+-==+-+，即1(1)n S nS n n D =+-，11(1)(1)(2)n S n S n n D -=-+--，当2n ≥时，上两式相减得：112(1)n n S S S n D --=+-，当1n =时，上式成立，于是12(1)n a a n D =+-，又111[22(1)]2n n a a a nD a n D D +-=+-+-=为常数，因此{}n a 为等差数列，则甲是乙的必要条件，所以甲是乙的充要条件.故选：C 8.已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（）．A.79 B.19C.19-D.79-【答案】B 【解析】因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=，而1cos sin 6αβ=，因此1sin cos 2αβ=，则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=，所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=.故选：B 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅，其中1x 是最小值，6x 是最大值，则（）A.2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数B.2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数C.2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差D.2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差【答案】BD 【解析】对于选项A ：设2345,,,x x x x 的平均数为m ，126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n ，则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=，因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系，所以无法判断,m n 的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得 3.5m n ==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2m n ==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6m n ==；故A 错误；对于选项B ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +，故B 正确；对于选项C ：因为1x 是最小值，6x 是最大值，则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性，即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差，例如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n =+++++=，标准差13s =，4,6,8,10，则平均数()14681074m =+++=，标准差2s =，显然53>，即12s s >；故C 错误；对于选项D ：不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤，则6152x x x x -≥-，当且仅当1256,x x x x ==时，等号成立，故D 正确；故选：BD.10.噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lgp pL p =⨯，其中常数()000p p >是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ，则（）．A.12p p ≥B.2310p p >C.30100p p =D.12100p p ≤【答案】ACD 【解析】由题意可知：[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈=，对于选项A ：可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为12p p L L ≥，则121220lg0p p p L L p =-⨯≥，即12lg 0pp ≥，所以121p p ≥且12,0p p >，可得12p p ≥，故A 正确；对于选项B ：可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯，因为2324010p p p L L L -=-≥，则2320lg10p p⨯≥，即231lg 2p p ≥，所以23p p ≥23,0p p >，可得23p ≥，当且仅当250p L =时，等号成立，故B 错误；对于选项C ：因为33020lg40p p L p =⨯=，即30lg 2pp =，可得3100p p =，即30100p p =，故C 正确；对于选项D ：由选项A 可知：121220lgp p p L L p =-⨯，且12905040p p L L ≤-=-，则1220lg40p p ⨯≤，即12lg2p p ≤，可得12100pp ≤，且12,0p p >，所以12100p p ≤，故D 正确；故选：ACD.11.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()22f xy y f x x f y =+，则（）．A.()00f =B.()10f =C.()f x 是偶函数 D.0x =为()f x 的极小值点【答案】ABC 【解析】方法一：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，不妨令()0f x =，显然符合题设条件，此时()f x 无极值，故D 错误.方法二：因为22()()()f xy y f x x f y =+，对于A ，令0x y ==，(0)0(0)0(0)0f f f =+=，故A 正确.对于B ，令1x y ==，(1)1(1)1(1)f f f =+，则(1)0f =，故B 正确.对于C ，令1x y ==-，(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-，则(1)0f -=，令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=，又函数()f x 的定义域为R ，所以()f x 为偶函数，故C 正确，对于D ，当220x y ≠时，对22()()()f xy y f x x f y =+两边同时除以22x y ，得到2222()()()f xy f x f y x y x y=+，故可以设2()ln (0)f x x x x =≠，则2ln ,0()0,0x x x f x x ⎧≠=⎨=⎩，当0x >肘，2()ln f x x x =，则()212ln (2ln 1)x x x x xf x x =+⋅=+'，令()0f x '<，得120ex -<<；令()0f x ¢>，得12e x ->；故()f x 在120,e -⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因为()f x 为偶函数，所以()f x 在12,0e -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在12,e -⎛⎫ ⎪⎝∞⎭-上单调递减，显然，此时0x =是()f x 的极大值，故D 错误.故选：ABC .12.下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（）A.直径为0.99m 的球体B.所有棱长均为1.4m 的四面体C.底面直径为0.01m ，高为1.8m 的圆柱体D.底面直径为1.2m ，高为0.01m 的圆柱体【答案】ABD 【解析】对于选项A ：因为0.99m 1m <，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；对于选项B 1.4>，所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；对于选项C 1.8<，所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；对于选项D ：因为1.2m 1m >，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过1AC 的中点O 作1OE AC ⊥，设OE AC E =I ，可知1131,=2AC CC AC ===，则11tan CC OE CAC AC AO ∠==，=，解得64OE =，且2263990.6482425⎛==>= ⎝⎭，即0.64>，故以1AC 为轴可能对称放置底面直径为1.2m 圆柱，若底面直径为1.2m 的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心1O ，与正方体的下底面的切点为M ，可知：111,0.6AC O M O M ⊥=，则1111tan CC O MCAC AC AO ∠==，10.6AO =，解得1AO =，根据对称性可知圆柱的高为2 1.732 1.21.4140.03520.01-⨯≈-⨯=>，所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有144116C C =种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述：不同的选课方案共有16242464++=种.故答案为：64.14.在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1112,1,AB A B AA ===的体积为________．【答案】6【解析】【分析】结合图像，依次求得111,,AO AO A M ，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过1A 作1A M AC ⊥，垂足为M ，易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高，因为1112,1,AB A B AA ===则1111111111222222A O A C B AO AC ==⨯⨯====故()111222AM AC A C =-=，则162A M ===，所以所求体积为1676(41326V =⨯++⨯=.故答案为：766.15.已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是________．【答案】[)2,3【解析】【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[)2,3.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上，点B 在y 轴上，11222,3F A F B F A F B ⊥=-，则C 的离心率为________．【答案】355【解析】方法一：依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，在1Rt ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-（舍去），所以124,2AF a AF a ==，213BF BF a ==，则5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯，整理得2259c a =，故355c e a ==.方法二:依题意，得12(,0),(,0)F c F c -，令()00),,(0,A x y B t ，因为2223F A F B =- ，所以()()002,,3x c y c t -=--，则00235,3x c y t ==-，又11F A F B ⊥ ，所以()1182,,33F A F B c t c t ⎛⎫⋅=-⎪⎝⎭ 2282033c t =-=，则224t c =，又点A 在C 上，则2222254991c t a b -=，整理得2222254199c t a b -=，则22222516199c c a b-=，所以22222225169c b c a a b -=，即()()2222222225169cca a c a c a --=-，整理得424255090c c a -+=，则()()22225950c a ca --=，解得2259c a =或225c a =，又1e >，所以5e =或5e =（舍去），故5e =.故答案为：355.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010（2）6【解析】【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，sin10A∴==.【小问2详解】由（1）知，10cos10A==，由sin sin()B A C=+sin cos cos sin)210105A C A C=+==，由正弦定理，sin sinc bC B=，可得255522b⨯==，11sin22AB h AB AC A∴⋅=⋅⋅，sin610h b A∴=⋅==.18.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D-中，12,4AB AA==．点2222,,,A B C D分别在棱111,,AA BB CC,1DD上，22221,2,3AA BB DD CC====．（1）证明：2222B C A D∥；（2）点P在棱1BB上，当二面角222P A C D--为150︒时，求2B P．【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】【小问1详解】以C为坐标原点，1,,CD CB CC所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A ，2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=-，2222B C A D ∴ ∥，又2222B C A D ，不在同一条直线上，2222B C A D ∴∥.【小问2详解】设(0,2,)(04)P λλ≤≤，则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---，设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =，则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令2z =，得3,1y x λλ=-=-，(1,3,2)n λλ∴=--，设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =，则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1a =，得1,2==b c ，(1,1,2)m ∴=，2263cos ,cos150264(1)(3)n m n m n m λλ⋅∴==︒=+-+- ，化简可得，2430λλ-+=，解得1λ=或3λ=，(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P ，21B P ∴=.19.已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明：当0a >时，()32ln 2f x a >+．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【小问1详解】因为()()e xf x a a x =+-，定义域为R ，所以()e 1xf x a '=-，当0a ≤时，由于e 0x >，则e 0x a ≤，故()0e 1xf x a -'=<恒成立，所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时，令()e 10xf x a '=-=，解得ln x a =-，当ln x a <-时，()0f x '<，则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减；当ln x a >-时，()0f x ¢>，则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；当0a >时，()f x 在(),ln a -∞-上单调递减，()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增.【小问2详解】方法一：（函数最值）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则202a <<；令()0g a '>，则22a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 2212ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法二：（切线放缩1x e x ≥+）令()e 1xh x x =--，则()e 1xh x '=-，由于e x y =在R 上单调递增，所以()e 1xh x '=-在R 上单调递增，又()00e 10h '=-=，所以当0x <时，()0h x '<；当0x >时，()0h x '>；所以()h x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故()()00h x h ≥=，则e 1x x ≥+，当且仅当0x =时，等号成立，因为()2ln 22()e e eln 1xx x af x a a x a a x a x x a a x +=+-=+-=+-≥+++-，当且仅当ln 0x a +=，即ln x a =-时，等号成立，所以要证3()2ln 2f x a >+，即证23ln 12ln 2x a a x a +++->+，即证21ln 02a a -->，令()()21ln 02g a a a a =-->，则()21212a g a a a a-'=-=，令()0g a '<，则02a <<；令()0g a '>，则2a >；所以()g a 在20,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()2min 1ln ln 02222g a g ⎛⎫⎛==--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()0g a >恒成立，所以当0a >时，3()2ln 2f x a >+恒成立，证毕.方法三：（切线放缩ln 1x x ≤-）由（1）得，()()()ln min 2ln ln ln e1af a a x a f a a a --+=++=+=，要证3()2ln 2f x a >+，即证2312ln 2ln a a a ++>+，即证21ln 02a a -->恒成立，又因为221110224a a a ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭，所以2112a a ->-，而ln 1a a ≤-，所以21ln 2a a ->，故3()2ln 2f x a >+成立，得证明.方法四：（同构+切线放缩）当0a >时，要证3()2ln 2f x a >+，即证明()32ln 2x a e a x a +->+，只需证：232ln 02x ae x a a -+-->，即证()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>，因为1x e x ≥+，故()ln ln 10x a e x a +-++≥，因为ln 1x x ≤-，故()2211ln 02a a --≥，又2102a >，故()()ln 22211ln 11ln 022x a e x a a a a +-+++--+>成立，即3()2ln 2f x a >+成立，得证明.20.设等差数列{}n a 的公差为d ，且1d >．令2n nn nb a +=，记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=，求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 为等差数列，且999999S T -=，求d ．【答案】（1）3n a n =（2）5150d =【解析】【小问1详解】21333a a a =+ ，132d a d ∴=+，解得1a d =，32133()6d d S a a =+==∴，又31232612923T b b b d d d d=++=++=，339621S T d d∴+=+=，即22730d d -+=，解得3d =或12d =（舍去），1(1)3n a a n d n∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列，2132b b b ∴=+，即21312212a a a =+，2323111616()d a a a a a ∴-==，即2211320a a d d -+=，解得1a d =或12a d =，1d > ，0n a ∴>，又999999S T -=，由等差数列性质知，5050999999a b -=，即50501a b -=，505025501a a ∴-=，即2505025500a a --=，解得5051a =或5050a =-（舍去）当12a d =时，501495151a a d d =+==，解得1d =，与1d >矛盾，无解；当1a d =时，501495051a a d d =+==，解得5150d =.综上，5150d =.21.甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投籃，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．（1）求第2次投篮的人是乙的概率；（2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知：若随机变量i X 服从两点分布，且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅，则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ，求()E Y ．【答案】（1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【解析】【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ，“第i 次投篮的人是乙”为事件i B ，所以，()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =，依题可知，()1i i P B p =-，则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+，即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+，构造等比数列{}i p λ+，设()125i i p p λλ++=+，解得13λ=-，则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又11111,236p p =-=，所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16，公比为25的等比数列，即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，1,2,,i n =⋅⋅⋅，所以当*N n ∈时，()122115251263185315nnnn n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- ，故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．22.在直角坐标系xOy 中，点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离，记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于【答案】（1）214y x =+（2）见解析【解析】【小问1详解】设(,)P x y ,则y =，两边同平方化简得214y x =+，故21:4W y x =+.【小问2详解】法一：设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<-，同理令0BC k b c n =+=>，且1mn =-，则1m n=-，设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥，1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+，则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >，易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,令()0f x '=，解得22x =，当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，当2,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，()0f x '>，此时()f x 单调递增，则min 227()24f x f ⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭，故122C ≥=,即C ≥.当C =时,2,2n m ==,且((b a b a -=-m n =时等号成立，矛盾，故C >得证.法二：不妨设,,A B D 在W 上，且BA DA ⊥，依题意可设21,4A a a ⎛⎫+⎪⎝⎭，易知直线BA ，DA 的斜率均存在且不为0，则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-，由对称性，不妨设1k ≤，直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++，则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=，()()222420k ka a k a ∆=--=->，则2k a≠则||2|AB k a =-，同理||2AD a =，||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a ak k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =，则(]0,1m ∈，设32(1)1()33m f m m m m m +==+++，则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=，令()0'=f m ，解得12m =，当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f m '<，此时()f m 单调递减，当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f m '>，此时()f m 单调递增，则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭，||||2AB AD ∴+≥，12|2|2|2k a a k a a k ⎫-≥-++⎪⎭，此处取等条件为1k =，与最终取等时22k =不一致，故332AB AD +>.法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''',根据对称性不妨设00t ≥.则1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+,由于A B B C ''''⊥,则()()10201t t t t ++=-.由于1020,A B t B C t ''''=-=-,且0t 介于12,t t 之间,则1020A B B C t t ''''+=-+-.令20tan t t θ+=,10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥②当ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<-,从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥,故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥，当且仅当cos 3θ=时等号成立，故332A B B C''''+>，故矩形周长大于..。
高中数学一题多解经典例题解析
【典例 6】已知向量 OA (k,2) ， OB (2,3) ， OC (3k,4) ，且 A, B,C 三点共线，则 k
.
解法一：距离公式法 A, B,C 三点共线 AB BC AC 取 O 点的坐标为 (0,0) ，则 A(k,2) ， B(2,3) ， C(3k,4)
解法二：复数有固定的表达形式，有时不妨假设出复数的表达式，然后再利用待定系数法解出 a，b 的值，这种
方法在有些时候非要有用。
y 2x
【典例 3】若变量 x，y 满足约束条件 2x y 1，则 z=3x+y 的最大值是
．
y 1
解法一：解方程法
y 2x
①
将原式的不等号看成等号，得
A.
CU CU
A B
{2,3} {3}
{3}
{2,3}
CU
B
CU
A ，A
错误
B.
CU CU
A B
{2,3} {3}
CU
B
CU
A
{2,3}
{1,2,3}
U
，B
错误
C. CU B {3}, A {1} CU B A ，C 正确 D. CU A {2,3}, B {1,2} CU A B {2} ，D 错误 解法三：韦恩图法
解法一：图像平移法 f (x 2) x2 5x 7 是将 f (x) 的图像向右平移 2 个单位长度得到
由 AB BC AC ，解得 k 3 . 解法二：共线向量法 A, B,C 三点共线 AB // BC // AC AB OB OA (2,3) (k,2) (2 k,1) ① BC OC OB (3k,4) (2,3) (3k 2,7) ②
高三数学《一题多解_一题多变》试题及详解答案
高三《一题多解 一题多变》题目一题多解 一题多变（一）原题：482++=x mx x f )( 的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482≥++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0≤，得4≥m变1：4823++=x mx x f log )(的定义域为R ，求m 的取值范围 解：由题意0482>++x mx 在R 上恒成立0>∴m 且Δ0<，得4>m变2：)(log )(4823++=x mx x f 的值域为R ，求m 的取值范围 解：令=t 482++x mx ，则要求t 能取到所有大于0的实数，∴ 当0=m 时，t能取到所有大于0的实数当0≠m 时，0>m 且Δ0≥4≤0⇒m <变3：18223+++=x nx mx x f log )(的定义域为R,值域为[]20,，求m,n 的值解：由题意，令[]911822,∈+++=x n x mx y ，得0-8--2=+n y x x m y ）（ m y ≠时，Δ0≥016-)(-2≤++⇒mn y n m y -∴ 1和9时0162=++-)(-mn y n m y 的两个根 ∴当m y =时，08==mn x - R x ∈ ，也符合题意 一 题 多 解-解不等式523<<3-x解法一：根据绝对值的定义，进行分类讨论求解（1）当03-≥x 2时，不等式可化为53-<<x 2343<<x ⇒ （2）当03-<x 2时，不等式可化为0x -1⇒53-2x <<<+<3 综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法二：转化为不等式组求解原不等式等价于综上：解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法三：利用等价命题法 原不等式等价于-33-2x 5-53-<<<<或x 23，即0x 1-<<<<或43x 解集为}{0x 1-<<<<或43x x 解法四：利用绝对值的集合意义原不等式可化为2523<<23-x ，不等式的几何意义时数轴上的点23到x 的距离大于23，且小于25，由图得， 解集为}{0x 1-<<<<或43x x一题多解 已知n s 是等比数列的前n 想项和，963s s s ,,成等差数列，求证：852a a a ,,成等差数列法一：用公式qq a s n n 一一111)(=，因为963s s s ,,成等差数列，所以9632s s s =+且1≠q 则 所以8716141152222a q a q q a q a q a a a ===+=+)( 所以 852a a a ,,成等差数列｀法二用公式qqa a s n n 一一11=，q q a a q q a a q q a a s s s 一一一一一一12112916131963)(∴,=+=+则q a q a q a a a a 85296322=+⇒=+8522a a a =+⇒，所以 852a a a ,,成等差数列｀证法三：（用公式)(),(n n n n n n n q q s s q s s 23211++=+=） 解得213一=q （下略） 变题：已知54=αsin 且α是第二象限角，求αtan 解：α是第二象限角，54=αsin 345312一一一一===αααtan ,sin cos ⇒变1：54=αsin ，求αtan解：054>=αsin ，所以α是第一或第二象限角若是第一象限角，则3453==ααtan ,cos若是第二象限角，则3454一一==ααtan ,cos变2：已知)(sin 0>=m m α求αtan 解：由条件10≤<m ，所以当 10<<m 时，α是第一或第二象限角 若是第一象限角时2211mm αm α一一==tan ,cos 若是第二象限角2211mm αm α一一一一tan ,cos ==当1=m 时αtan 不存在 变3：已知)(sin 1≤=m m α，求αtan 解：当11一,=m 时，αtan 不存在当0=m 时， 0=αtan当α时第一、第四象限角时，21mm α一=tan 当α是第二、第三象限角时，21mm α一一=tan一题多解 一题多变（三）题目：求函数)()(01x xx x f +=的值域方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上是减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（四）题目：求函数)()(01x xx x f +=的值域 方法一：判别式法 --设xx y 1+= ，则01yx -=+2x ，由Δ2y =-204≥⇒≥y 当2=y 时，2x -012=+x 1=⇒x ， 因此当1=x 时，)()(01x xx x f +=有最小值2，即值域为[)+∞,2方法二：单调性法先判断函数)()(01 x xx x f +=的单调性 任取210x x ，则212121211x x x x x x x f x f )-)(-()(-)(=当2021≤x x 时，即)()(21x f x f ，此时)(x f 在(]10,上时减函数 当212x x 时，)()(21x f x f )(x f 在()+∞,2上是增函数由)(x f 在(]10,上时减函数，)(x f 在()∞,+1上是增函数，知 1=x时，)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法三：配方法 2112+=+=)-()(xx xx x f ，当01=xx -时，1=x ，此时)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2方法四：基本不等式法)(x f 有最小值2，即值域为[)+∞,2变 题原题：若函数1212++=x ax x f )(的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式一：函数)(log )(1222++=x ax x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围解：由题意得0122 ++x ax 在R 上恒成立，则要求0 a 且Δ1044 a a ⇒=-变式二：函数)(log )(1222++=x ax x f 的值域为R ，求实数a 的取值范围解：令=u 122++x ax 能取到所有大于0的实数，则 0=a 时，1+=zx u 能取到所有大于0的实数 0≠a 时，0 a 且Δ1a 004a -≤⇒≥= 4综上10≤≤a一题多解 一题多变（五）题目：椭圆1162522=+y x 的焦点是21F F 、，椭圆上一点P 满足21PF PF ⊥，下面结论正确的是———————————————————————（ ）（A ）P 点有两个 （B ）P 点有四个 （C ）P 点不一定存在 （D ）P 点一定不存在 解法一：以21F F 为直径构圆，知：圆的半径b c r =<==43，即圆与椭圆不可能有交点。
高中数学优质试题50道(附经典解析)149
高中数学优质试题50道（附经典解析）优质试题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP x AB y AC =+,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x yx yx y==++++,由系数和1x y x yx y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ+=<．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈． 解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了． 2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个． 答案：30个优质试题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90na n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数； 当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+,9091122na n n n +=+-,由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13．2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种优质试题31．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ．解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE =所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种优质试题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A之间的最短距离为满足条件的实数a 的所有值为 ． 解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a = （2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种优质试题51．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1yx =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令2220802y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩所以y x =+1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种优质试题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ）A ．1r 和2r 中的较大者B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r -解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C 与12,O O 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=-若C 与12,O O 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21rr >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种优质试题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by xa ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c=+，所以ON bk a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a b N b y x a c ⎧-=⎪⎛⎫⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++=所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个优质试题81． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191ab+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥又因为a b c +>，而()1991016b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种优质试题91．在平面直角坐标系xoy中，已知点A是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =时，则点C的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++-- 2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种优质试题101．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ．解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=- 在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB取得最小值为2．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种优质试题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ． 解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤< 综上可得，142k -≤≤ 2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种优质试题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ． 解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+ 所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种． 答案：31116322C C C C 种优质试题131． 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为 ．2． 若5(1)ax -的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是 ． 答案：2优质试题141．()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f =，()()()()212f f f n n f n +++=，则()2015f = ．解：()()()()212f f f n n f n +++=，()()()()()212111f f f n n f n +++-=--两式相减得()()()()2211f n n f n n f n =---所以()()111f nn f n n -=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121201512015201420131201620152014320161008f f f f f f f f =⋅⋅=⋅⋅⋅==2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种优质试题151． 若,a b 是两个非零向量，且a b a b λ==+，λ⎤∈⎥⎣⎦，则b 与a b -的夹角的取值范围是．解：令1a b ==，则1a b λ+=设,a b θ=，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=-又λ⎤∈⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦2． 若(nx 的展开式中第三项系数等于6，则n = ． 答案：12优质试题161．函数()22fx xx=+，集合()()(){},|2A xy f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B的元素构成的图形的面积是 ．解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种优质试题171． 在棱长为1的正方体1111A B C D A B C D -中，112A E AB =，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +最小，则这个最小值为 ． 解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD于一点，即为所求点F ，使1E F F C +最小．其最小值就是2EC ．连接212,AC B C ，计算可得2121,,AC B C AB =，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++ 且123663a a a a ++++=，则实数m的值为 ． 答案：1或-3优质试题181． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ．解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又点P 为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224ac =，所以2e =解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线， 所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,Q F c a m b m =---，()2,QF c am bm =-- 由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭所以22b b ac a-=-⋅，即2c a =，所以2e =2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：18优质试题191． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC 满足：24OA OB ==，0OA OB =，()()20OC OAOC OB --=，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅的最大值为 ． 解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=，得22220x y x y +--=(cos 2sin OC OA OB x θθ-⋅-⋅=等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{na }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12na C +33na C ++1n n na C += ． 答案：23n n+优质试题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=，PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN的长度满足FN MN FN ≤即55MN ≤2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48优质试题211． 已知函数是定义在R上的偶函数，当x ≥时，()()()2502161122x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()2g t t a t b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<< 所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩ 综上， 5924a -<<-或914a -<<- 2．在24的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有项． 答案：5优质试题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ．解：由题意22:4Cy x=设:(2)1ABlx m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x=，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,ym m=--+∈-∞-+∞2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72优质试题231． 数列{}na 是公比为23-的等比数列，{}nb 是首项为12的等差数列．现已知99ab >且1010ab >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号） ①9100a a<；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}na 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即： 当10a>时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a>时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910b b >当10a<时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}nb 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的．故知：910bb >综上可知，①③一定是成立的． 2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150优质试题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ． 解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧MPN（红色）．此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（ABO 与ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
第14讲 立体几何知多少(含解析)-【高中数学】一题多解拔尖训练
一题多解第14讲立体几何知多少，位置关系空间角典型例题【例1】如图141 ,在矩形ABCD 中,E 为边AB 的中点,将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ,若M 为线段1A C 的中点,则在ADE 的翻转过程中,正确的命题是________.(1)BM 是定值;(2)点M 在球面上运动;(3)一定存在某个位置,使1DE A C ;(4)一定存在某个位置,使MB ∥平面1A DE .【例2】如图145 ,在Rt ABC中,4,3,,2AB AC A ,AP mPB AQ nQC (,0)m n ,且满足111,2M m n 是BC 的中点,对任意的,QP QM R 的最小值记为 f m ,则对任意的0,m f m 的最大值为________.【例3】如图147 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,,,2,ABCD AD BC AD CD BC ED AE F ∥为PC 上一点,且2CF FP (I)求证:PA ∥平面;BEF (证明略)(II)若PE ,求二面角F BE C 的平面角的大小.【例4】已知,a b 是异面直线,,,,,,A B a C D b AC b BD b ,且2,1AB CD ,则异面直线,a b 所成的角等于________.【例5】已知三棱锥P ABC 满足60APB BPC CPA ,三个侧面,,APB BPC CPA 的面积分别为,2,12,则这个三棱锥的体积是________.【例6】已知在四棱柱1111ABCD A B C D 中,侧棱1AA 底面1,2ABCD AA ,底面ABCD 的边长均大于2,且45DAB,点P 在底面ABCD 内运动且在,AB AD 上的射影分别为,M N ,若2PA ,则三棱锥1P D MN 体积的最大值为________.强化训练1.在四棱锥S ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,SA BD 上的点.有下列命题：(1)若SM DN MA NB,则MN ∥平面SCD ;(2)若SM DN MA NB ,则MN ∥平面SCB ;(3)若平面SDA 平面ABCD ,且平面SDB 平面ABCD ,则SD 平面ABCD .其中正确命题的序号为________.2.如图1426 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,ABCD //,AD BC AD ,CD 22,BC ED AE 3,EB F 为PC 上一点,且2CF FP .(I)求证://PA 平面BEF ;(II)若二面角F BE C 的平面角的大小为60,求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小.3.如图1427 ,在三棱锥A BCD 中,3,2,AB AC BD CD AD BC M 是AD的中点,则异面直线,CM AB 所成角的大小为________.4.已知三棱锥P ABC 的体积为16,点,D E 分别在侧棱,PB PC 上,且2,PD DB 3PE EC ,则三棱锥P ADE 的体积为________.5.过凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ,使SO 3 ,若22,S AOD S BOC V a V b ,当S ABCD V 最小时,ABCD 的形状为________.一题多解第14讲立体几何知多少，位置关系空间角典型例题【例1】如图141 ,在矩形ABCD 中,E 为边AB 的中点,将ADE 沿直线DE 翻转成1A DE ,若M 为线段1A C 的中点,则在ADE 的翻转过程中,正确的命题是________.(1)BM 是定值;(2)点M 在球面上运动;(3)一定存在某个位置,使1DE A C ;(4)一定存在某个位置,使MB ∥平面1A DE .【解析】【解法1】设CD 中点为S ,则111=2MS A D MS A D ,∥,且MS 为定值,又因为,,DS BE DS BE ∥,所以四边形DSBE 是平行四边形,所以BS DE ∥且BS 为定值.由余弦定理可得2222212cos 2cos MB MS SB MS SB MSB MS SB MS SB A DE ,所以MB 是定值,(1)正确.因为B 是定点,所以点M 是在以B 为圆心,MB 为半径的球面上,所以(2)正确.若当DE EC 时,如图14-2:1110DE A C DE A E EC DE A E DE EC ,(3)错误因为1,SB DE MS A D ∥∥,又因为1,SB SM S DE A D D ∩∩,所以平面MSB ∥平面1A ED ,所以MB ∥平面1A ED ,(4)正确.【点拨】利用向量数量积判定线线的垂直关系.【解法2】如图 143,1 正确,由余弦定理可知MB 为定值,同【解法1】;(2)正确,同【解法1】；(3)错误,若2AB AD ,则DE EC .若1DE A C ,又因为1A C 在平面ABCD 的射影在AC 上,所以.DE AC 由题意知AC 与DE 不垂直,所以(3)不正确.(4)正确,取DC 中点F ,则11,,,FB DE MF A D FB MF F A D DE D ∩∩∥∥,所以平面//MFB 平面1A ED ,所以MB ∥平面1A ED .【点拨】先利用假设反证法证明不垂直再利用面面平行证明线段平行.【解法3】如图144 ,(1)正确,延长DE 交CB 的延长线于点N ,连结,AN DAN 绕着DN旋转,因为1A N 为定值,所以MB 为定值;(2)正确,点M 在以B 为圆心,MB 为半径的球面上运动;(3)错误,同【解法2】;(4)正确,取EC 中点P ,可以类似【解法2】证明平面MPB ∥平面1A ND ,所以MB ∥平面1.A ED 【点拨】从不同角度构造辅助线.【赏析】本题涉及立体几何的考点比较多,如线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直.熟练掌握线面、面面平行及垂直的判定和性质定理、线面角、二面角的定义及求法是解立体几何题的关键.【例2】如图145 ,在Rt ABC中,4,3,,2AB AC A ,AP mPB AQ nQC (,0)m n ,且满足111,2M m n 是BC 的中点,对任意的,QP QM R 的最小值记为 f m ,则对任意的0,m f m 的最大值为________.【解析】【解法1】设 ,0,0,P a Q b ,以A 为坐标原点,,AB AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图146 所示的平面直角坐标系.则 4,,3,a m a AP mPB b n b AQ nQC因为1112m n ,所以4312a b a b ,所以86551a b,所以直线PQ 过点86,55N ,结合向量模长的几何意义可知QP QM 可等价视为点0430,22M ,即32,2M与直线PQ 上点连线的距离,所以最大值 f m 就是点M 到直线PQ 的距离的最大值,当MN PQ 时,M 到直线PQ 距离最大.所以max 1()2f m MN.【点拨】依据题意建立平面直角坐标系,使向量坐标化,从而实现数量化运算.【解法2】由,AP mPB AQ nQC 可知1111AP AB m AQ AC n,取点N 使得45AN AM ,所以2121211555AP AQ AB AC AN m n ,因为21212111215552m n,所以,,P Q N 三点共线,下同【解法1】,可知max 11()52f m MN AM .【点拨】利用向量运算,添加必要的辅助线实现向量的转化.【赏析】本题考查向量坐标形式的运算及点到直线距离公式,【解法1】利用向量坐标运算,【解法2】添加必要的辅助线实现向量的转化,【解法1】是常用的基本方法,易上手好操作.【解法2】巧妙构造,要求对重要结论熟练掌握并能灵活运用.【例3】如图147 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,,,2,ABCD AD BC AD CD BC ED AE F ∥为PC 上一点,且2CF FP (I)求证:PA ∥平面;BEF (证明略)(II)若PE ,求二面角F BE C 的平面角的大小.【解析】【解法1】连结CE ,在平面PCE 内,过点F 作FH CE 于点H .因为FH PE ∥,所以FH 平面ABCD .过点H 作HM BE 于点M ,连结FM .由三垂线定理得FM BE ,所以FMH 为二面角F BE C 的平面角.因为FH 平面ABCD ,PE 平面ABCD ,所以FH PE ∥,所以23FH CF PE CP ,所以22333FH PE AE ,同理1233MH BC AE ，所以在Rt FHM 中,tan 3FH FMH HM所以3FMH ,即二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它就和这条斜线垂直,当点F 在一个半平面上时,通常用三垂线定理法求二面角的大小.【解法2】排除多余信息,若我们只考虑二面角F BE C ,我们很快发现,直四棱锥P EBCD 可以补成长方体,如图149所示.连结EC ,在平面PEC 内,过点F 作FO EC 于点O ,过点O 作OM BE 于点M ,连结FM ,如图1410 .因为PE 平面EBCD ,PE 平面PEC ,所以平面PEC 平面EBCD ,且平面PEC 平面EBCD EC .因为FO 平面,PEC FO ED ,所以FO 平面EBCD ,所以FMO 是二面角F BE C 的平面角,设AE a,则2,(0)ED a PE a,因为PE 平面ACD ,FO 平面ACD ,所以PE FO ∥,所以23FO CO CF PE CE CP ,所以233FO a ,又因为OM BC ∥,所以13OM EO BC CE ,得23OM a ,所以3tan 23FO FMO OM a 所以3FMH ,所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】利用图形的特征,采用补形方法解决问题.【解法3】如图1411 ,连结CE ,在平面PCE 内过点F 作FH CE 于点H .因为PE 平面ABCD ,CE 平面ABCD ,所以FH PE ∥,所以FH 平面ABCD .过点H 作HM BE 于点M ,连结FM .由三垂线定理得FMBE ,所以FMH 为二面角F BE C 的平面角.设(0)AE a a ,则2,BC ED a PE ,所以24,.33MH a FM a (同【解法2】)由射影面积法得Δ112cos ,1232HEB FEBBE MH S FMH FMH S BE FM 所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】利用射影面积法求解.【解法4】延展平面BEF 为平面BEMF ,如图1412 所示,则平面BEF ∩平面PAD EM ,在平面PAD 中,作MO 平面ABCD 于点O ,如图1413.因为PE 平面ABCD ,所以MO PE ∥,所以MO 与PE 共面,因为M 平面PAD ,所以.O AD 则OE BE ,由三垂线定理知MEBE ,所以MEO 是所求二面角的平面角.由（I )可知//ME PA ,所以2DM DE MP EA,又因为MO PE ∥,所以23MO DO DM PE ED PD ,不妨设(0)AE a a ,则2,ED a PE,因此得2,,tan 3a MO MO OE MEO OE 3MEO ,所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】延展平面BEF 为平面BEMF ,将过点F 作平面EBCD 垂线的间题转化为过点M 作平面EBCD 垂线的问题.如图1414 ,延长CB 至点M ,使得2MB BC ,所以,,MB BC AE MB AE MB AE ED∥,所以AEMB 是平行四边形.因为,AM EB AM ∥平面EFB ,EB 平面EFB ,所以AM ∥平面EFB .由 I 得PA ∥平面,EFB AM PA A ,所以平面PAM ∥平面FEB ,则二面角P AM C 的平面角即为二面角F EB C 的平面角,因为PE 平面,EBCD EA AM ,所以PAE 是二面角P AM C 的平面角.不妨设(0)AE a a ,由三垂线定理得PA AM ,则,tan PE PE PAE AE.所以二面角P AM C 的平面角是3,即二面角F EB C 的平面角是3.【点拨】寻找二面角的平面角较困难,根据平面平移不改变与另一个平面构成的角的大小的原理,如果能把二面角中的一个平面平移,找出辅助平面与另一个平面的交线,就可以作出二面角的平面角.【解法6】以E 为坐标原点,分别以,,EA EB EP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图14-15所示的空间直角坐标系.不妨设(0),EA a a EB b ,则22,BC ED AE a PE易知0,0,0,,0,,0E P B b ,设平面ABCD 的法向量 1111,,n x y z ,因为2CF FP所以 223223,,,,,,0,,0,333333b b F a a EF a a EB b因为2200EF EB n n,即222220,3330,b ax y az by 令21z,则2x ,可得平面EBF的一个法向量2 n .设二面角F BE C 的平面角为 ,所以12121211cos cos ,22 n n n n n n ,所以3.所以二面角F BE C 的平面角为3.【点拨】设12,n n 分别是二面角l 的面, 的法向量,则向量12,n n 的夹角,即为l 的平面角或其补角（需要根据具体情况判断相等或互补).【赏析】本题主要考查与二面角有关的立体几何综合知识.推荐【解法5】为最佳解答.求二面角的平面角的常用方法有定义法、三垂线定理法、射影面积法、平移平面法、补形法、空间向量的坐标法等,以下对各个解法进行分析.【解法1】应用三垂线定理法解题.联系到PE 平面ABCD ,有的同学大胆猜想(像一个魔术师,下子从帽子里变出一只兔子),得出了正确的结论;相应地,还有很大一部分同学被复杂的空间图形吓退,找不到二面角的确切位置,无从下手.【解法2】应用构造补形法解题,联系到长方体,比【解法1】更易得出.FO EBCD 平面【解法3】应用射影面积法解题,联系到点F 在底面EBCD 的射影,依据射影公式求二面角.【解法4】应用垂线平移法解题,联系【解法3】,过F 点作垂线,那么垂足落在哪里?有很多同学是含糊不清、模棱两可的,那么我们为什么不换一个点呢?将过点F 作平面EBCD 垂线的问题转化为过点M 作平面EBCD 垂线的问题.【解法5】应用平面平移法解题,将求二面角F BE C 的平面角的问题转化为求二面角P AM C 的平面角的问题.【解法6】应用空间向量求解法,是一种十分简捷且传统的解法.当题目条件中垂直关系明显时,利用空间坐标系不失为一种更有效的方法.【例4】已知,a b 是异面直线,,,,,,A B a C D b AC b BD b ,且2,1AB CD ,则异面直线,a b 所成的角等于________.【解析】【解法1】如图1416 ,在长方体中,因为//BE CD ,所以ABE 就是异面直线,a b 所成的角,又因为,,,,A B a C D b BD b ,所以,,CE b AC b AC CE C ,所以b 平面ACE ,所以b AE ,所以BE AE ,所以ABE 是直角三角形.又因为2,1AB CD ,所以1BE ,所以1cos 2BE ABE AB ,所以60.ABE 【点拨】构造长方体求解.【解法2】如图1417 所示,过点A 作AE CD ∥,=AE CD ,连结BE ,则EAB 是异面直线,a b 所成的角,由题意知ACDE 是矩形,所以,AE DE AE BD ,因为DE BD D ,所以AE平面BED ,所以AE BE .所以ABE 是直角三角形,又因为2,1AB CD ,所以1cos 2EAB ,所以60EAB.【点拨】利用平移法把异面直线平移为相交直线.【解法3】以A 为坐标原点,分别以,,AC AE CD 方向为x 轴,y 轴,z 轴正方向,建立如图1418 所示的空间直角坐标系,所以 0,0,0,,0,0,0A C a a ,则,0,1,D a B ,所以,0,0,1AB CD ,所以1cos 2AB CD AB CD 又因为 0,90,所以异面直线,a b 所成的角为60.【点拨】在构造长方体的基础上建立空间直角坐标系解决问题.【赏析】本题是一道典型的异面直线成角间题,与常见问题不同的是,本题中的异面直线不是直接出现在立体几何图形中.【解法1】和【解法3】都是将两条异面直线放置在长方体中求解.【解法1】将直线CD 平移到BE 处,从而易解.【解法3】则借助空间向量的方法求解.【解法2】利用异面直线所成角的概念,将CD 平移至AE 处后,在Rt BAE 中求解.在求两条异面直线所成角的大小时,要注意异面直线所成角的范围是0,2.利用中位线或平行四边形来添加辅助线的方法,有时也可对空间图形使用.【例5】已知三棱锥P ABC 满足60APB BPC CPA ,三个侧面,,APB BPC CPA 的面积分别为3,2,12,则这个三棱锥的体积是________.【解析】【解法1】由各侧面的面积可得13sin6022APB S PA PB ,所以2PA PB ,同理8343,33PB PC PA PC ，所以833PA PB PC ,构造三棱锥P A B C ,使得60A PB A PC B PC ,2,PA PB PC 所以13P A B C V ，因为P ABC P A B C V PA PB PC V PA PB PC，所以269P ABC P A B C PA PB PC V V PA PB PC【点拨】由三角形面积公式求得三棱锥的侧棱长,构造一个特殊的三棱锥,利用体积关系解决问题.【解法2】由题意得1sin60242APB S PA PB PA PB (1)，1sin60224BPC S PC PB PB PC (2)13sin60124CAP S PA PC PA PC (3)由(1)(2)(3)联立解得431,2,3PA PB PC.如图1420 ,过点B 作BD 平面APC 于点D ,作DE PA 于点E ,连结BE ,易证AP 平面BDE ,所以AP BE ,在Rt BPE 中,2,60PB BPA,所以1PE .因为60APB APC BPC,所以点D 在APC 的平分线上,即30APD CPD,所以在Rt PDE 中,易得233PD ,同理,3BD ,所以111114332626sin601332323239P ABC APC V S BD PA PC BD .【点拨】求出三条棱长,过某一顶点作高,直接法求解体积.【解法3】设,,PA PB PC 的长度分别为,,a b c ,同【解法2】,则易得431,2,3a b c .如图1421 ,设点A 在平面BPC 上的射影为点O ,因为60APB APC BPC,所以30BPO CPO,所以3cos 3 ,所以26sin 1cos 3,所以点A 到平面PBC 的距离6sin 3AO PA,所以11161626sin602.3323339P ABC PBC V S AO PB PB 【点拨】作出点A 在平面PBC 上的投影,利用三余弦定理解题.注:三余弦定理证明:如图14-22,在三棱锥A BCD 中,AO 平面BCD ,过点O 作OE BC 交BC 于点E ,连结AE ,易得BC 平面AOE ,所以BEAE .在Rt AOB 中,cos OB ABO AB ,在Rt ABE 中,cos BE ABE AB,在Rt BOE 中,cos BE OBE BO,所以cos cos cos BE OB BE OBE ABO ABE BO AB AB,所以cos cos cos .ABE OBE ABO 【赏析】【解法1】巧妙地补形成一个特殊的三棱锥,利用一个平面 截三棱锥P ABC ,分别交三棱锥的棱,,PA PB PC 于点,,D E F ,则.P ABC P DEF V PA PB PC V PD PE PF解法23、实质相同,都是求底面和高,【解法3】利用三余弦定理求出三棱锥的高.【例6】已知在四棱柱1111ABCD A B C D 中,侧棱1AA 底面1,2ABCD AA ,底面ABCD 的边长均大于2,且45DAB,点P 在底面ABCD 内运动且在,AB AD 上的射影分别为,M N ,若2PA ,则三棱锥1P D MN 体积的最大值为________.【解析】【解法1】如图1423 ,设AP ,0,45N ,所以sin 2sin ,sin 452sin 45PN PA PM PA ,所以1sin135sin 45,2PMN S PM PN111212sin 45sin 245333P D MN D PMN V V ,所以当22.5 时,1P D MN V 取得最大值1.3【点拨】引入角度为变量﹐建立体积的三角函数式,利用三角函数法求最值.【解法2】因为2PA ,知点P 在以点A 为圆心,半径为2的圆弧上,因为45,90,90,DAB PMA PNA所以,,,A M P N 四点在以AP 为直径的圆F 上,如图14-24,所以1190,2122MFN FM FN AP ,所以MN在PMN 中,2222||||2cos135MN PM PN PM PN 因为22||2PM PN PM PN ,当且仅当222PM PN 时取等号,所以22PN PM PN所以2PM PN 所以1112121223323D PMN PMN V S .所以1D PMN V 的最大值为213.【点拨】利用平面几何法求得MN 的值,进而可利用均值不等式法求得PMN 面积的最大值,最后求得体积的最大值.【解法3】1112233P D MN D PMN PMN PMN V V S S 如图1425 所示,设,BAP DAP ,122sin 2sin sin135cos cos 22PMN Scos 12222,当且仅当22.5 时取等号,所以1P D MN V 的最大值为13.【点拨】引入两个角度,建立体积的代数表达式，结合积化和差公式可由两角和与差的余弦公式解决问题.【赏析】本题依托立体几何背景﹐涉及线面垂直﹑线线垂直和棱锥体积的求法.如何求解PMN 的面积的最大值是本题的关键.【解法1】从角度出发,将各边长转为为三角函数形式,利用三角函数值的有界性解答.【解法2】从平面几何的角度出发,利用基本不等式取得最值.这两种方法都是处理解三角形问题的基本方法.【解法3】从两角的关系出发,使用积化和差公式,实质是利用角的变换,和【解法1】有异曲同工之妙.强化训练1.在四棱锥S ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,,M N 分别是,SA BD 上的点.有下列命题：(1)若SM DN MA NB,则MN ∥平面SCD ;(2)若SM DN MA NB ,则MN ∥平面SCB ;(3)若平面SDA 平面ABCD ,且平面SDB 平面ABCD ,则SD 平面ABCD .其中正确命题的序号为________.【解析】答案：①③2.如图1426 ,在四棱锥P ABCD 中,E 为AD 上一点,PE 平面,ABCD //,AD BC AD ,CD 22,BC ED AE 3,EB F 为PC 上一点,且2CF FP .(I)求证://PA 平面BEF ;(II)若二面角F BE C 的平面角的大小为60,求直线PB 与平面ABCD 所成角的大小.【解析】（Ⅰ）证明：连结AC 交BE 于点M ，连结FM .因为//EM CD ，所以12AM AE PF MC ED FC，所以//FM AP ，又因为FM 平面,BEF PA 平面BEF ，所以//PA 平面BEF（Ⅱ）解：以E 为坐标原点，EB ，EA ，EP 所在直线分別为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如答图141 所示.设点(0,0,)P t ，因为PE 平面ABCD ，则向量(0,0,PE ，t )即为平面BEC 的法向量.因为//,,22,3AD BC AD CD BC ED AE EB ，所以四边形BCDE 为矩形，(3,0,0),(3,2,0)B C ，因为F 为PC 上一点，且2CF FP ，则有22221,,,1,,,(3,0,0)3333F t EF t EB设平面BEF 的法向量(,,)n x y z ，则n EF ，即有n .0EF ，即22033x y zt ，又0EB n ，即30x ，所以10,1,n t.因为二面角F BE C 的平面角大小为60，则PE 与n 的夹角为120 ，所以21cos1202||||11n PE n PE t t ，解得t 33),933P PB .因为PE 平面ABCD ，所以PBE 即为直线PB 与平面ABCD 所成的角.在Rt PBE 中，3cos 223BE PBE PBE PB 6，所以直线PB 与平面ABCD 所成角为6.3.如图1427 ,在三棱锥A BCD 中,3,2,AB AC BD CD AD BC M 是AD的中点,则异面直线,CM AB所成角的大小为________.【解析】取BD 中点N ，连结MN ，CN ，如答图14-2因为3,2,AB AC BD CD AD BC M 是AD 的中点，所以//MN AB ，且1322MN AB ，所以(CMN 或其补角）是异面直线CM ，AB 所成的角.因为CM 2227cos 29BD CD BC BDC BD CD 所以222172cos 4CN DN CD DN CD BDC .所以2222cos 22MN CM CN CMN MN CM .所以4CMN .所以异面直线CM ，AB 所成角的大小为4.4.已知三棱锥P ABC 的体积为16,点,D E 分别在侧棱,PB PC 上,且2,PD DB 3PE EC ,则三棱锥P ADE 的体积为________.【解析】由答图143 可知:P ABC P ADE V PA PB V PA PD .34223PC PE ，所以8P ADE V .5.过凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ,使SO 3 ,若22,S AOD S BOC V a V b ,当S ABCD V 最小时,ABCD 的形状为________.【解析】由已知，易得22,AOD DOC S a S b .设,AOB COD S x S y ，则22.S ABCD V a b x y 因为22AOD COD AOB DOC S S a DO y x S OB S b，所以22xy a b .而2(x y xy ab 设0,0a b )，于是222()a b x y a b ，当且仅当x y ab 时取等号，这时2.AOD DOC S AO a a OC S y b 同理，DO a OB b ，所以AO OC DO OB，所以//AD BC .另一方面：当x y ab 时，2,AOD DOC S AO a a BO OC S y b OD 2DOC DOC S b b S y a(1)当a b b a ，即22,AOD COD a b S S 时，AO BO OC OD，所以//AB CD .此时，四边形ABCD 是平行四边形.(2)当a bb a，即22,AOD Da b S S时，AO BOOC OD，所以AB与CD不平行.此时，四边形ABCD是梯形.。
高考数学试卷逐题详细解答
一、选择题1. 题目：已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，求f(x)的对称轴。
解答：对称轴的公式为x = -b/2a。
将f(x) = x^2 - 2x + 1的系数代入公式，得到对称轴为x = 1。
2. 题目：在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 30°，∠C = 90°，BC = 6，求AB的长度。
解答：由三角函数可知，sinB = BC/AB。
代入已知数据，得到sin30° = 6/AB，解得AB = 12。
3. 题目：若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，求证：an^2 + an-1^2 + ... + a1^2 = (n+1)a1^2 - (n(n-1)d/2)。
解答：根据等差数列的性质，有an = a1 + (n-1)d。
将an代入题目中的式子，得到：an^2 + an-1^2 + ... + a1^2 = (a1 + (n-1)d)^2 + (a1 + (n-2)d)^2 + ... +a1^2= (a1^2 + 2a1(n-1)d + (n-1)^2d^2) + (a1^2 + 2a1(n-2)d + (n-2)^2d^2) + ... + a1^2= na1^2 + 2a1d(n-1 + n-2 + ... + 1) + d^2(n-1)^2 + d^2(n-2)^2 + ... +d^2= na1^2 + 2a1d(n(n-1)/2) + d^2(n(n-1)(n-2)/6)= na1^2 + a1d(n^2 - n) + d^2(n(n-1)(n-2)/6)= (n+1)a1^2 - (n(n-1)d/2)。
二、填空题1. 题目：已知等比数列{an}的首项为a1，公比为q，求证：an^2 + an-1^2 + ... + a1^2 = (n+1)a1^2 - (n(n-1)d/2)。
解答：证明过程与选择题2相同，此处省略。
2020年高中数学真题与经典题一题多解
则 a 的取值范围是( )
A. [
3
,1) B（
3
, 3）C.[
3
3 , ) D. [
3
,1)
2e
2e 4 2e 4 2e
解法一：由题意可知存在唯一的整数 x0 使得 ex0 (2x0 1) ax0 a ，设 g(x) ex (2x 1), h(x) ax a 由
g '(x) ex (2x 1) ，可知 g(x) 在 (, 1 ) 上单调递减，在 ( 1 , ) 上单调递增，故
同理可得：当 x (, 0) 时， g(x) 单调递增，当 x (0,1) 时， g(x) 单调递减
所以 g(x)max g(0) 1 ，即 a 1 ，满足题意。
又因为存在唯一的整数
x0
，则
a
g (1)
3 2e
此时 a [ 3 ,1) 2e
综上所述， a 的取值范围是 [ 3 ,1) 2e
函数篇
【试题 1】（2016 全国新课标 II 卷理 16）若直线 y kx b 是曲线 y ln x 2 的切线，也是曲线 y ln (x 1) 的切
线， b
．
【标准答案】1 ln 2
解法一：设直线 y kx b 与曲线 y ln x 2 和 y ln (x 1) 切点分别是 (x1, ln x1 2) 和 (x2 , ln (x2 1)) ．
44
4
增，又 f (0) 1 3 0 ， f (1) 3e1 3 0 ， f (1) e 0 ，易判断存在唯一的整数 0，使得 f (0) 0 ，故 a 3 成
4
2
4
立，排除答案 C.
解法四： x 0 带入 f (x) 中可以得到 f (0) a 1 ，由题意可知 a 1 ，所以 f (0) 0 ，满足题目中存在唯一的整数，
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函数篇【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln2-解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +．则切线分别为：111ln 1y x x x =⋅++，()22221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122122111ln 1ln 11xx x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩解得112x =212x =- ∴解得1ln 11ln 2b x =+=-解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和22(,)x y ．∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --=∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1ln 11ln 22b =+=-【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e-B 33,24e -（）C.33[,)24eD.3[,1)2e解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)xg x e x =+，可知()g x 在1(,)2-∞-上单调递减，在1(,)2-+∞上单调递增，故(0)(0)(1)(1)h g h g >-≤-⎧⎨⎩得312a e ≤<解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)()1x e x g x x -=-，则22(23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2x ∈+∞时，()g x 单调递增所以32min 3()()42g x g e ==，即324a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。
③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21)()1x e x g x x -=-同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。
又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e≥-= 此时3[,1)2a e∈ 综上所述，a 的取值范围是3[,1)2e解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。
当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2-∞-递减，在1(,)2-+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B.当34a =时，33()(21)44x f x e x x =--+，3'()(21)4x f x e x =+-，因为3'()(21)4x f x e x =+-为增函数，且31'(0)1044f =-=>，13'(1)04f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3(0)104f =-+<，13(1)302f e --=-+>，(1)0f e =>，易判断存在唯一的整数0，使得(0)0f <，故34a =成立，排除答案C. 解法四：0x =带入()f x 中可以得到(0)1f a =-，由题意可知1a <，所以(0)0f <，满足题目中存在唯一的整数，使得0()0f x <，所以只需要(1)0(1)0f f >⎧⎨->⎩即可，得到312a e ≤<【试题3】（2016年全国Ⅰ卷文科第12题）若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()+∞∞-,单调递增，则a 的取值范围是（ ）[]1111.1,1.1,.,.1,3333A B C D ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦解法一：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 321)('+-=由题意可得0)('≥x f 恒成立，即为0cos 2cos 321≥+-x a x即有0cos cos 34352≥+-x a x设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452+-≥0，当0=t 时，不等式显然成立；当01t ≤<时，534a t t≥-，由tt 54-在]1,0(递增，可得1=t 时，取得最大值1-，可得13-≥a ，即31-≥a ；当01＜t ≤-时，tt a 543-≤，由54t t-在[1,0)-递增，可得1t =-时，取得最小值1，可得13≥a ，即31≤a ．综上可得a 的范围是]31,31[-．故选：C ．解法二：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 321)('+-=由题意可得0)('≥x f 恒成立，即为0cos 2cos 321≥+-x a x即有0cos cos 34352≥+-x a x ≥0，设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452+-≥0，由于二次函数)11(534)(2≤≤-++-=t at t t g 的开口方向向上,因此只需要⎩⎨⎧≤-≤0)1(0)1(g g解得,即1133a -≤≤,故选：C ．解法三：应用结论“奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数”由题可得,因为函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的定义域为()+∞∞-,且)()(x f x f -=-,所以)(x f 是奇函数. 根据结论可得,)('x f 是偶函数.又因为函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=在()+∞∞-,单调递增则0)('≥x f 在()+∞∞-,上恒成立因而必须满足3100cos 0cos 3210)0('-≥⇒≥+-⇒≥a a f因而根据选项,只有C 符合题意 故选C【试题6】（2014年全国课标1理科数学第11题） 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）解法一:求导得()()23632f x ax x x ax '=-=-，若0a =，则()231f x x =-+，不合题意，舍去；若0a ≠，令()0f x '=解得0x =或2x a=。
当0a <时，易知()f x 在2,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,0a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,+∞上单调递减，结合()f x 的图像，只需有20f a⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得2a <-。
当0a >时，易知()f x 在(),0-∞上单调递增，由()120f a -=--<，()010f =>，知()f x 在()1,0-上有零点，不合题意，舍去；综上所述，a 的取值范围为(),2-∞-，选B 。
解法二:由题意知，方程33310ax x -+=有唯一正根0x ，显然0x ≠，则313a x x=-+，令10t x=≠，等价于方程33a t t =-+（0t ≠）有唯一正根，作出33y t t =-+（0t ≠）的图像，数形结合，a 的取值范围为(),2-∞-，选B 。
解法三:取3a =，()32331f x x x =-+，检验知不合题意，排除A ，C ；取43a =-，()324313f x x x =--+，检验知不合题意，排除D ，故选B 。
【试题7】：（2015江苏高考13）．已知函数()()20,01ln ,42,1x f x x g x x x <≤⎧⎪==⎨-->⎪⎩，则方程()()1f x g x +=实根的个数为▲ ．解法1：：()()1()1ln f x g x g x x +=⇔=±-，所以方程方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数即为曲线()y g x =和曲线1ln y x =±-的公共点个数之和。
曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =-显然有2个公共点，又因为(101ln1(221ln 2g g ⎧=>--⎪⎨=-<--⎪⎩）），所以曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =--也有2个公共点，如图2所示所以方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个。
解法2：：（1）当01x <≤时，()ln ln ,()0f x x x g x ==-=，原方程即为1ln 10x x e-+=⇒=，所以当01x <≤时，原方程有一个实根； （2）当12x <≤时，2()ln ,()2f x x g x x ==-，原方程即为2ln 21x x +-= 令21()ln 2(12),()20F x x x x F x x x'=+-<≤=-<， 所以()(1,2]F x x ∈在上单调递减，得()[ln 22,1)F x ∈-，得2ln 21x x +-=只有一个实根。
（3）当2x >时，2()ln ,()6f x x g x x ==-，原方程即为222ln 61ln 7ln 5x x x x or x x +-=⇒+=+=。
令2()ln (2,)G x x x x =+∈+∞在上单调递增，所以()(ln 24,)G x ∈++∞，因此22ln 7ln 5x x or x x +=+=各有一个实根。
综上，方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4。