第7章 随机利率模型 0讲解
随机波动率模型PPT课件
:
( 1
,
2 1
2
)=(h
,
2 h
)
则有以下：
但是，也正是因为SV 模型中包含着潜在变量，涉及的似然函 数和无条件矩要通过高维积分来计算，极大似然法不能直接求 解。
7
2.SV模型的矩条件
❖ 之所以要先介绍矩条件，是因为模型估计方法要用
❖ 原点矩
E[XP]= x p f (x)dx
性质1：GMM估计量是相合的，即ˆT P
性质2：1
T
T t i
ft ( ) d (0, S), S是N * N正定矩阵
则ˆT 渐进服从正态分布，渐进方差 — 协方差矩阵为：
A
var(ˆT
)
(GWG)
1GTWSWG(G
WG)1
,
其中G
E[
ft (
s 1 s2 2
e 2 ,s ¡
它们在计算SV模型的矩条件时使用。
9
SV模型（ =0 ）
对于 SV 模型（t =0， =0）
rhtt
eht
/2 zt , zt : iidN (0,1)
ht1 vt , 0
1, vt
:
iidN (0,1)
8)
11
❖ （3）其他矩条件（Jacquier、Polson、Rossi(1994)）：
E[rt2rt
2 i
]
exp(2h
2 h
(1
i ))
E[
rt rti
]
2
exp(h
2 h
金融数学课件--(11)随机利率
孟生旺
中国人民大学统计学院
随机利率
随机利率：利率是随机波动的， 即未来的利率是一组随机 变量。 如果能够对未来利率的概率分布作出一定假设，那么就可 以得到未来的利率水平和与之相关的现金流的一些结论。
把利率视为随机变量，并定义随机变量 it 为适用于时刻 t-1 至时刻 t 的利率。
在上例中，我们已经计算得到的期望累积值为1.1069，故
E P V n E A V n 0 .9 0 4 1 1 .1 0 6 9 1 .0 0 0 7 1
可见在本例中，期望现值乘以期望累积值并不等于1。
独立同分布假设下的累积值和现值
如果利率 i1 , i 2 , i n 是独立同分布的随机变量，它们具有
2 设诸 it 的方差为 s2，即 var( it ) s 表示累积值 AVn的方差。
，则可以用 i 和 s2来
累积值AVn的二阶原点矩为
E A Vn
2
1 i 2 1 i 2 1 i 2 E 1 2 n
t 1 n
n
2 E 1 it
n n
其中
1 v E 1 it
，t =1，2，…，n。
在通常情况下
1 1 E 1 it 1 E it
，即 v
1 1 i
。
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
2
2
随机波动率和随机利率下离散采样方差互换定价问题
02
随机波动率与随机利 率模型
随机波动率模型介绍
定义
随机波动率模型是用于描述金融 市场中资产价格波动率的模型， 其中波动率不是常数，而是随时
间随机变化。
Heston模型
一种常用的随机波动率模型，它假 设波动率是由一个均值回复过程驱 动的，能够捕捉到波动率的聚集效 应和微笑效应。
02
参数法
这种方法通过拟合波动率和利率的参数模型（如随机波动率模型、随机
利率模型等）来估计未来分布。参数法可以提供更灵活的定价框架，但
也需要对模型的参数进行准确的估计和校准。
03
蒙特卡洛模拟
这种方法通过大量模拟标的资产价格的随机路径来计算方差互换的预期
收益和价格。蒙特卡洛模拟可以处理复杂的定价问题，但计算量通常较
有限差分法
通过数值求解偏微分方程来得到方差互换价格
有限差分法是一种将偏微分方程离散化，并利用差分 近似求解的方法。在方差互换定价中，可以将随机波 动率和随机利率的偏微分方程进行离散化处理，并利 用已知的边界条件和初始条件，通过迭代计算得到方 差互换价格的数值解。有限差分法的优点是计算效率 较高，可以处理高维问题，缺点是对边界条件和初始 条件敏感，可能存在数值稳定性和收敛性问题。
SABR模型
另一种随机波动率模型，它通过使 用随机过程来模拟资产价格和波动 率之间的相关性，常用于期权定价 。
随机利率模型介绍
• 定义：随机利率模型用于描述金融市场中的利率动态，其中利率被建模为随机 过程，以捕捉利率的随机波动和期限结构效应。
• Vasicek模型：一种常用的随机利率模型，它假设利率遵循一个均值回复过程 ，通过调整参数可以拟合不同的利率期限结构。
第七章--等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理
第七章 等价鞅测度模型和无套利均衡基本定理一、等价鞅测度的基本涵义1、鞅的定义：随机过程[Z n ,n ≥0]如果满足以下两个条件： （1）∞<||n Z E ，对于n ≥0的任何n 。
（2）n n n Z Z Z Z E =+}|{01 2、等价鞅测度的定义随机过程{S （t ）,),0(+∞∈t }是一个鞅（对应于信息结构t φ和条件概率P *）如果对任意t ＞0，满足以下三个条件： （1）S （t ）在t φ信息结构下已知。
（2）+∞<|)(|t S E（3）())()(t S T S E =τ，t ＜T ，以概率为1成立。
即∑===ki t i t S S P T S E 1)(*}|)({*φ式中T 时S （T ）的可能取值S 1，S 2……S k 共k 种，P*为相应的条件概率。
则称条件概率P*为真实概率P 的等价鞅测度或等价鞅概率。
根据等价鞅测度的关系，正是表达风险中性定价原则，即各阶段依信息结构t φ决定的条件概率所求的平均价值的现值，总与初始阶段的价值相等，这样就可以求解条件概率P*，在无套利条件下作为现实世界的P ，为期权的风险中性定价服务。
为了更好地理解风险中性定价，我们可以举一个简单的例子来说明。
假设一种不支付红利证券（no-dividend-paying ）目前的市价为100元，我们知道在半年后，该股票价格要么是110元，要么是90元。
假设现在的无风险年利率等于10%，现在我们要找出一份6个月期协议价格为105元的该股票欧式看涨期权的价值。
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于半年后证券的市价。
若6个月后该股票价格等于110元，则该期权价值为5元；若6个月后该股票价格等于90元，则该期权价值为0。
为了找出该期权的价值，我们假定所有投资者都是风险中性的。
在风险中性世界中，我们假定该股票上升的概率为P*，下跌的概率为1-P*。
这种概率被称为风险中性概率，它与现实世界中的真实概率是不同的。
随机理论模型.ppt
D87.5% (89.4%)
的途径： • 习题1
9.2 报童的诀窍
报童售报： a (零售价) > b(购进价) > c(退回价)
问 售出一份赚 a-b；退回一份赔 b-c 题 每天购进多少份可使收入最大？
购进太多卖不完退回赔钱
分 析
购进太少不够销售赚钱少
应根据需求确定购进量
存在一个合 适的购进量
每天需求量是随机的
0
(
x
r
)
p(r
)dr
c3
x
(r
x)
p(r
)dr
J(u)在u+x=S处达到最小
I(x)
J(u)与I(x)相似
I(S)+c0
I(x)在x=S处达到最小值I(S) I(S)
I(x)图形 I(S)
0s
I
(x)
c 0
I
(S)
的最小正根
s
S
x
9.4 轧钢中的浪费
背 轧制钢材 • 粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形 景 两道工序 • 精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度
求 m 使浪费最小。
=l/=10
z*=-1.78
-1.0 3.477 2.0 0.420
-0.5 1.680
2.5 0.355
10 z
*= -z*=11.78 m*= *=2.36(米)
5
F(z)
z -2.0 * -1.0 0
1.0
2.0 z
9.5 随机人口模型
背景 • 一个人的出生和死亡是随机事件
PN
P
记 J (m) m P(m)
更合适的目标函数
P(m)
l
随机波动模型
含有外生因素的SV模型
金融资产收益的均值与波动常会受到一些外生解释变量的 影响，这些变量主要包括虚拟变量，季节成分，周末效应， 成交量等。Watanabe在分析东京股市收益时，将基本SV模型 扩展为： yt a b1 yt 1 b2 yt 2 c t2 dDt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1) ht ht 1 Dt yt 1 t ,t i.i.d .(0,1) 其中 t exp(ht / 2)表示测度序列的波动，Dt 是表示周末效应 的虚拟变量，在周末后的第一个交易日取1，其余时间取0。 上式中的c t2项是刻画风险溢价的，而 yt 1是刻画当期收益与 未来收益波动的相关性。实证表明，参数c，d， 和 都具有 较高的显著性，这与金融市场中的一些波动特性相一致。
长记忆SV模型（LMSV）
为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征，把ARFIMA 过程纳入到基本SV模型中，提出了一类长记忆随机波动 模型如下： yt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1)
2 (1 L) d ( L)ht ( L)t ,t i.i.N (0, )
其中参数 为自由度。当4 时，t分布的峰度大于 3, 时就变成正态分布， 4时其峰度不存在。
②SV -GED模型 另一种峰度大于3的分布是广义误差分布(GED)，在SV GED 模型下，扰动部分 t 服从均值为0方差为1的正规化GED，这时 1 cesp{ ( t )c } 2 f ( t ) ,0 c 2 11/ c (1/ c)2 2/ c (1/ c ) 1/2 其中 [2 ] (3 / c) 这里c为自由度，当c 2时，GED为正态分布，c 2时期峰度 大于3，为厚尾分布。 一些实证研究表明，这两种分布假设下的模型，能较好地描 述许多金融序列中所表现出的“高峰厚尾”与平方收益的长 记忆性。
第七章---联立方程模型的概念和构造(金融计量学)
二、秩条件
秩条件的表述如下：对于一个由G个方程组成的联立方程 模型中的某个结构方程而言，如果模型中其他方程所 含而该方程不含的诸变量的系数矩阵的秩为G-1，则该 结构方程是可识别的，若秩小于G-1则该结构方程是不 可识别的对某结构式模型中的第i个方程利用秩条件判 断其可识别性，可按以下步骤进行：
一般的，简化式模型就是把结构式模型中的内 生变量表示为前定变量和随机误差项的函数的 联立方程模型。同结构参数矩阵的表示方法一 样，模型7.3中的简化式参数矩阵可表示为：
Qt Pt
1
Yt
Pt 1
1
0
21 12 2 2
0 1
1 1 2 2
2 2
2 2
2
2
2 2
五、联立性偏误
2 2 2 2 2 2
2 2
= 21 22Yt 23Pt 1 wt
其中 的各值表示为各变量前的系数，
根据上述关系式，若已知 11、 12、 13、 21、 22、 2 ，则可得：
= 22或
12
=
23 13
， 1 = 21 11 * 2，
但我们却无法求得 1、2、、4 的值，
表述2：在一个线性联立方程模型中，某方程可识别的 一个必要条件（阶条件）是：该方程所不包含的前定 变量的个数必须不少于方程右边所包含的内生变量的 个数。若该方程所不包含的前定变量的个数等于方程 右边所包含的内生变量的个数，则该方程是恰好识别 的；若大于，则该方程是过度识别的。
可以证明两种表述方式是等价的。下面通过一个例子说
第七章多重共线性精品课件
2i
bk xki ui
进行估计时，将 Xj从模型中排除，并不引起拟合优度 减少许多，那么，这个被排除在模型之外的解释变量 与留在模型中的解释变量多重共线，排除是应当的。
第三节、 多重共线性的的处理
一、剔除引起共线性的解释变量（这是最重要的方法， 保留在模型中变量的经济意义不再仅仅是自身的作用， 也包含了与其共线并被排除变量的作用。）
2
I n）
二、多重共线性的概念
考虑模型中只有两个解释变量的情况，此时 模型可以表示为：
Y b0 b1 X1 b2 X 2 u
若存在不全为0的常数 1 , 2 ，使下列关 系式成立：
1 X1 2 X 2 0
则称自变量 X 1 , X 2 存在完全的线性关系。
此时两者之间的相关系数为1。实际中完全多 重共线的情况并不多见，一般出现不同程度的 近似多重共线，即有以下关系成立：
第七章、多重共线性
本章内容
第一节、 多重共线性的概 念、产生的原因及其后果 第二节 、多重共线性的检 验 第三节、 多重共线性的的 处理 约瑟夫· 斯蒂格利茨 第四节 多重共线性的案例 2001年诺贝尔奖 分析
获得者
第一节、 多重共线性的概念、产生的原因 及其后果 一、单方程计量经济模型回顾 1、模型形式：
ji 0 1
1i
ˆ j 1 x j 1i ˆ j 1 x j 1i ˆ k xki
如果判定系数很大，F检验显著，则Xj可用其他解释变 量的线性组合表出，即 Xj 与其他解释变量多重共线。 应将Xj从解释变量中排除。 （2）或者，在对原模型
y b b x b x
四、多重共线性的影响
1、对于完全共线，由于矩阵逆不存在，所以参数的 OLS估计失效。
随机数学模型
天气预报基于大量的气象数据和随机过程模型。
03
随机变量的分布
随机变量的定义与性质
随机变量
在随机试验中，每个样本点被赋予一个实数值，这个 实数值称为随机变量的值。
随机变量的性质
随机变量可以是离散的、连续的、有限的、无限的。
随机变量的分类
根据不同的性质，随机变量可以分为离散型和连续型。
随机变量的分布函数
随机数学模型的重要性
预测不确定性和风
险
随机数学模型能够预测不确定性 和风险，帮助决策者制定更加科 学和合理的决策。
提高决策效率
通过随机数学模型，决策者可以 快速了解系统的动态变化和趋势， 提高决策效率。
优化资源配置
在资源有限的情况下，随机数学 模型可以帮助决策者优化资源配 置，实现资源的最优利用。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型的解。
数值法
通过数值计算方法，如迭代法、有限差分法等，求解模型的近似 解。
模拟法
通过模拟随机过程，生成样本点，然后对样本点进行分析和统计。
随机数学模型的实例分析
随机游走模型
描述随机行走的数学模型，可以应用于金融市场分析、物理系统模 拟等领域。
仿真优化
随机数学模型用于仿真 优化工程设计，降低实 验成本和风险。
在社会科学领域的应用
01
人口统计学
随机数学模型用于预测人口发展趋势，分析人口结构变化对社会的影响。
02
经济学
随机数学模型在经济学中用于分析市场行为、预测经济趋势和评估政策
效果。
03
社会网络分析
随机数学模型用于分析社会网络的结构和动态，研究人际关系和社会影
第7章 利率期限结构：动态模型
dB B r , t , T dt B r , t , T dz t B PDE或者鞅测度方法为利率产品定价B。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
9/18/2018 固定收益证券 8
第一节 动态利率模型概述
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
即期利率与瞬时利率
给定瞬时利率在t时刻的初始值及其动态过程， t时刻的任意期限即期利率（利率期限结构）及其 动态的时变特征， 利率产品价格。
9/18/2018 固定收益证券 4
~ 1 R t,T ln E t [e t T t
T
r s ds
]
第一节 动态利率模型概述
9/18/2018
固定收益证券
11
第一节 动态利率模型概述
偏微分方程法（无套利法）
构造PDE 构造无风险组合（无风险组合在无套利条件下只 能获得无风险利率） dW 卖空债券1：T1 时刻到期，价值 W r, t , T1 dz t 1 W1 B r , t , T1 dt W 1 B 1； r , t , T2 dz t 买入债券2：TdW W 2 W2 B r , t , T2 dt W 2 2时刻到期，价值 2B。 dW W(t)=W (t ) (W2 B 2 r, t, T -W W1B r, t , T1 )dt t时刻总价值： 12
等价测度：对于概率为0和概率为1的事件看法是一 致的。 称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一 个测度下； 在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度 下必然也是无风险组合； 等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的 ，不同的只是发生的概率。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
第四节 期权定价的鞅方法
• 一、问题 • 前述B-S微分方程解法很复杂，不实用
• 二、鞅方法的提出
• 是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于 现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测 度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测 度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可 是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的 价格，如期权，而不用解偏微分方程了。
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
• 则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
)dt
G x
bdz
• 证明如下：
• 由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
G
G x
x
G t
• BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差， 但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳 模型之一，应用广泛，影响深远
• BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 定价公式建立在众多假定的基础上
BS 期权定价公式的缺陷与拓展
• 无交易成本假设的放松 • 常数波动率假设的放松 • 参数假设的放松 • 资产价格连续变动假设的放松
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即B S微分方程
三、风险中性定价原理
四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式
五、 对BS 定价公式的理解之一
六、 对BS 定价公式的理解之二
第七章第三节 自回归模型的构建
（3）
0 i X ti
ut
Yt 0 i X ti ut （3） i0
将（3）式滞后一期，得
Yt1 0 i X ti1 ut1 i0
0
X i1 t i
ut 1
i 1
上式两端同乘以，得：
局部调整模型是构造自回归模型的另一种方法。这种方法早先是用来研究
物资贮备问题。例如，企业为了保证生产或供应，必须保持一定的原材料贮备。
对于一定的产量或销售量Xt ，存在着预期的最佳库存Yt*
t 时刻被解释变量的期望值是同期解释变量的线性函数：
Y * X u
t
t
t
假定： Yt Yt1 (Yt* Yt1 )
X
* t 1
(Xt
X
* t 1
)调低;
2）如果上一期预期值偏低,
即( X t
X
* t 1
)
0
新的预期会通 过 :
X
* t
X
* t 1
(Xt
X
* t 1
)调高;
例如：X t 120 ,
X
* t 1
100
预期误差：( X t
X
* t 1
)
20
新的预期调整：
投资取决于预期的利润；
长期利率取决于预期的短期利率与预期的通货膨胀率之和
即影响被解释变量的因素不是Xt，而是预期值
X
t
Y X * u (H)
t
t
t
由于X t是无法直接观察的量，我们总希望预期值与实际值误差很小，这很难
中国精算师金融数学考试资料合集
中国精算师《金融数学》考试资料合集内容简介本书特别适用于参加中国精算师考试的考生。
本书是一本中国精算师资格考试科目“金融数学”过关必做习题集。
基本遵循中国精算师资格考试指定教材《金融数学》（徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社）的章目编排，共分11章，根据最新《中国精算师资格考试-考试指南》中“金融数学”的考试内容和要求精心编写了约1000道习题，其中包括了部分历年真题、样题和教材习题，所选习题基本覆盖了考试指南规定需要掌握的知识内容，并对全部习题进行了详细的分析和解答。
本题库是详解中国精算师资格考试《金融数学》科目的题库，包括历年真题、章节题库和考前押题三部分。
具体如下：第一部分为历年真题。
该题库包括两套真题，分别是2011年春季和2011年秋季，我们邀请专家对2011年春季的每道真题进行了详细解析，2011年秋季真题只有答案还未有解析。
同时，系统自动评分，既可以体验真实考试，也可以测试自己的水平。
如有最新历年真题，可免费升级获得。
第二部分为章节题库。
遵循最新版中国精算师资格考试教材《金融数学》的章目编排，共分为11章。
根据《中国精算师资格考试指南》中“金融数学”部分的要求及相关法律法规对题库每一道试题详细解析。
第三部分为考前押题。
完全遵循实际的中国精算师考试《金融数学》科目的命题规律，其试题数量、试题难度完全仿真中国精算师资格考试。
目录第一部分历年真题2011年秋季中国精算师《A2金融数学》真题及答案2011年春季中国精算师《A2金融数学》真题及详解第二部分章节题库第一章利息的基本概念第二章年金第三章收益率第四章债务偿还第五章债券及其定价理论第六章利率期限结构理论第七章随机利率模型第八章金融衍生工具介绍第九章金融衍生工具定价理论第十章投资组合理论第十一章CAPM和APT第三部分考前押题中国精算师《金融数学》考前押题及详解（一）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（二）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（三）第一篇利息理论第1章利息的基本概念第2章年金第3章收益率第4章债务偿还第5章债券及其定价理论第二篇利率期限结构与随机利率模型第6章利率期限结构理论第7章随机利率模型第三篇金融衍生工具定价理论第8章金融衍生工具介绍第9章金融衍生工具定价理论第四篇投资组合理论第10章投资组合理论第11章CAPM和APT附录2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇利息理论第1章利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。
随机利率的三因子模型及其参数估计
随机利率的三因子模型及其参数估计本文在分析利率期限结构模型的基础上，将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型。
并且对模型参数进行了有效矩估计，比较几个同类模型，结果表明三因子模型对我国国债回购利率具有较好的拟合能力。
关键词：随机利率三因子模型有效矩估计随机利率模型概述利率作为金融市场上最重要的价格变量之一，一直是金融学研究的重点，特别是短期利率，它直接影响着资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等金融活动。
因此，学者们提出了许多利率期限结构模型来刻画利率的随机行为，例如，Merton(1973)、Vasicek(1977)、Cox(1985)、CKLS(1992)模型等，这些模型假设利率的动态变化都遵循扩散过程，即瞬时利率可用下列随机微分方程的一般形式来表达：drt=m(rt)dt+s(rt)dWt其中，m(rt)为漂移项，表示利率变化的瞬时期望；s(rt)为扩散项；s2(rt)为利率变化的瞬时方差；dWt为布朗运动的微分增量。
当漂移项或波动率函数选择不同形式时，就能得到已有的各个著名随机利率模型，它们都属于单因子利率参数模型。
但金融市场自身的复杂性决定了仅仅用单因子模型来描述是不完全的，国内外大部分的实证研究表明，瞬时利率变动的总体方差绝大部分来自于两到三个因素的贡献，并且三个主要因素基本上能解释短期利率曲线80%以上的动态特征。
因此本文将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型；并利用上海证交所国债回购利率数据，对模型参数进行了有效矩估计，比较已有的同类模型，说明该模型具有较好的拟合能力。
三因子模型的建立在已有的期限结构模型中，CKLS模型对短期利率的动态行为特点的研究具有推动作用，现今几乎所有与期限结构相关的实证大都基于CKLS 模型或与其有关，其具体形式为：drt=(α+βrt)dt+σrtγdWt（1）式中，(α+βrt)dt为漂移项，α为短期利率的长期均值水平。
随机利率课件
平均绝对误差（MAE）
R^2值
平均每个预测值与实际值之间的绝对误差 。
衡量预测模型对数据的拟合程度，R^2越 接近于1表示模型拟合越好。
CHAPTER
05
随机利率的未来发展
随机利率理论的完善与创新
随机利率理论的深入研究
随着金融市场的不断发展和复杂化，随机利率理论需要进一步深 入研究，以更好地描述和预测利率的随机波动。
创新研究方法
引入新的研究方法，如机器学习和大数据分析，以提高随机利率模 型的预测能力和准确性。
考虑更多影响因素
在构建随机利率模型时，应考虑更多的经济和金融因素，以更全面 地反映利率的变动。
随机利率在金融市场的应用拓展
衍生品定价
利用随机利率模型对衍生品进行定价，如债券、 期权等，以更准确地评估其内在价值和风险。
来走势。
机器学习方法
利用机器学习算法（如支持向量 机、神经网络等）对历史数据进
行训练，预测未来随机利率。
统计学习方法
基于统计学习理论，构建预测模 型，对随机利率进行预测。
随机利率模拟与预测的准确性评估
均方误差（MSE）
均方根误差（RMSE）
衡量预测值与实际值之间的平均平方误差 。
均方误差的平方根，用于衡量预测结果的 波动性。
在金融衍生品定价中的应用
衍生品定价
随机利率模型用于评估衍生品（如债券、期货、期权等）的价格，考虑了利率 波动对衍生品价值的影响。
利率风险
在衍生品定价中，随机利率模型可以帮助确定利率风险，即利率变动对衍生品 价格的影响程度。
在投资组合管理中的应用
资产配置
随机利率模型用于确定投资组合中不同资产的配置比例，以实现预期收益并控制 风险。
金融学精讲讲义 第七章 货币需求理论
第七章货币需求理论第一节货币需求概述西方货币需求理论第二节一、货币需求概述（一）货币需求的含义在一定时期内，社会各阶层（个人、企业单位、政府）愿以货币形式持有财产的需要。
社会各阶层对执行流通手段、支付手段和价值储藏手段需要的货币数量。
①货币需求是有条件限制的，是一种能力与愿望的统一。
②现实中的货币需求不仅包括对现金的需求，而且包括对存款货币的需求。
③对货币的需求包括执行流通手段和支付手段职能的货币需求，也包括了执行价值贮藏手段职能的货币需求。
（二）货币需求的种类微观货币需求微观主体在既定的收入水平、利率水平和其他经济条件下，保持多少货币最为合适。
宏观货币需求一个国家在一定时期内的经济发展与商品流通所必需的货币量，这种货币量既能够满足社会各方面的需要，又不至于引发通货膨胀。
名义货币需求个人或家庭、企业等经济单位或整个国家在不考虑价格变动时的货币持有量。
实际货币需求各经济单位或整个国家所持有的货币量在扣除物价因素之后的余额，因而也称为实际货币余额。
等于名义货币需求除以物价指数。
（三）影响货币需求的主要因素①收入状况货币需求量与收入水平成正比。
货币需求量与收入的时间间隔成正比。
②全社会商品和劳务量③市场商品供求结构变化④价格水平商品和劳务量既定的条件下，价格越高，货币需求越多。
价格和货币需求，尤其是交易性的货币需求同方向变动。
⑤金融资产选择各种金融资产与货币需求之间有替代性。
各金融资产的收益率、安全性等因素影响货币需求量的增减。
⑥货币流通速度指一定时期内货币的转手次数。
货币流通速度的加快会减少现实的货币需求量。
⑦其他因素体制变化。
信用发展状况。
金融服务技术与水平等。
二、货币需求的测量规模变量财富、收入机会成本变量利率、物价变动率随机变量制度因素等第二节西方货币需求理论一、古典货币数量论基本命题货币数量决定货币价值及商品价格，货币价值与货币数量成反比，商品价格与货币数量成正比。
1.现金交易数量说：费雪交易方程式内容要点从货币供应和货币流通的角度看待货币需求。
随机模型
G(n) = ∑[(a − b)r − (b − c)(n − r)] f (r ) + ∑ (a − b)nf (r)
r =0 r =n+1
n
∞
求 n 使 G(n) 最大
求解
n
将r视为连续变量 视为连续变量
f (r ) ⇒ p (r ) (概率密度）
n
= −(b − c) ∫ p(r )dr + (a − b) ∫ p(r )dr
0 n
n
∞
dG =0 dn
∫ p ( r ) dr = a − b b − c ∫ p ( r ) dr
0 ∞ n
n
结果解释
n
∫ p ( r ) dr = a − b b − c ∫ p ( r ) dr
0 ∞ n
n
J(u)在u+x=S处达到最小 在 处达到最小 J(u)与I(x)相似 与 相似 I(x)在x=S处达到最小值 在 处达到最小值I(S) 处达到最小值 I(x)图形 图形 I(S)
I(x) I(S)+c0 I(S) 0 s
S
x
I ( x) = c0 + I (S ) 的最小正根 s
排队等候服务现象：在车站售票处乘客依次购买车票； 排队等候服务现象：在车站售票处乘客依次购买车票；医院里病人 按挂号顺序等候就珍；超级市场售款台前顾客排队验货付款等。 按挂号顺序等候就珍；超级市场售款台前顾客排队验货付款等。在 服务过程中，把乘客、病人等称为“顾客” 售票员、 服务过程中，把乘客、病人等称为“顾客”，售票员、把医生等称 服务员” 顾客到达的时间和服务员服务时间都是随机的。 为“服务员”。顾客到达的时间和服务员服务时间都是随机的。 收款台前的队伍问题——随机服务 随机服务 收款台前的队伍问题
《随机数学模型》课件
将实际问题转化为数学语言，运用数学符号和公式来表示问题中的 变量、参数和关系。
确定随机因素
识别问题中的随机因素，并将其引入模型中，以反映模型的随机性 。
随机数学模型的求解方法
解析法
通过数学公式和定理，直接求解模型中的未 知数。适用于具有明确解的简单模型。
蒙特卡罗模拟法
利用随机抽样的方法，通过大量模拟实验来估计模 型的解。适用于难以解析求解的复杂模型。
集成学习
将多个模型集成在一起，通过综合各个模型的优点来提高整体性能 。可以通过集成多种模型、特征或数据来实现。
05 随机数学模型的 应用案例
在金融领域的应用案例
1 2
风险评估
随机数学模型用于评估投资组合的风险，通过模 拟市场波动和价格变化，帮助投资者制定风险管 理策略。
衍生品定价
随机数学模型用于确定衍生品的公允价值，如期 权、期货等，为市场参与者提供定价参考。
流体动力学模拟
随机数学模型用于模拟流体动力学现象，如湍流、流体阻力等，为流 体机械和流体控制系统的设计提供依据。
在社会科学领域的应用案例
人口统计学研究
随机数学模型用于预测 人口发展趋势和分布， 分析人口结构变化对社 会经济的影响。
社会网络分析
随机数学模型用于分析 社会网络的结构和演化 规律，揭示网络中个体 和群体的互动关系。
多维随机变量的概率分布
高斯分布
描述n维实数空间中服从正态分布的随机变 量的概率分布。
联合概率分布
描述多个随机变量之间相互关联的概率分布 。
条件概率分布
在给定其他随机变量值的条件下，一个随机 变量的概率分布。
随机变量的函数变换
线性变换
01
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7.4 Vasicek模型 Vasicek模型及模型求解 Vasicek模型下的债券的定价 7.5 CIR模型 CIR模型及模型求解 CIR模型下债券的定价 7.6 单因素模型的局限性 单因素模型的局限 多因素模型简介
【要点详解】 §7.1 引言
1．相关概念 （1）银行账户过程 定义 (t)为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程：
5
5
B(0,5)
100e
0
f (0,t )dt
100e0 (0.050.01t )dt
68.73（美元）
2．利率模型的评价标准 利率模型能够满足一些优良的性质，这些优良的性质包括： （1）模型应该是无套利的。即利率应该是非负的。 （2）利率应该具有均值回复特征。即利率围绕某一均值波动，如利率超过均值，则在未来有下降的趋势；反 之，如低于均值，则未来有上升的趋势。 （3）被用于计算债券以及利率衍生品价格时应较为简单。 （4）应该是动态的，能充分反映市场利率的变化。 （5）参数容易估计，且模型能较好的拟合历史数据。 （6）有明显的经济意义。 说明：许多常用的随机利率模型只具有上面的部分性质，但在实际应用中往往忽略模型的某些缺陷。
第7章 随机利率模型 【考试要求】 7.1 引言 相关概念 利率模型的评价标准 均衡模型与无套利模型 7.2 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型的应用 7.3 连续时间随机利率模型下零息债券的定价 随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 利率风险的市场价格 零息债券价格满足的偏微分方程 基于鞅方法的零息债券定价公式
§7.2 Ho-Lee模型 1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第n期市场的状态空间；
Di(n) (T )（贴现函数）：第n期、状态 i sn 出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。 在任意时刻n、状态i，利率期限结构由一系列贴现函数来完全描述。其中贴现函数 Di(n) ( )满足：
图7-1 零息债券价格的二叉树模型
（2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率 在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：
drt a(t)dt dWt 其中，a(t) 为时间t的函数，描述了 rt 变动的趋势； 为一常数，描述了利率的波动幅度；Wt 为标准布朗运动。
R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。 说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个 随机变量。
（4）远期单利和远期复利 t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期单利 Fl (t,T , S ) 的定义为：
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利Fc (t,T , S) 的定义为：
说明：当期限[T，S]无限小时单利和复利相等。
【例题7.1】零息债券的远期利率由表达式f(0，T)=0.05+0.01T给出，其中T为年数。面值为100美元，到期以面 值赎回，则到期日为5年的零息债券的价格为（ ）。
A．94.65 B．88.69 C．68.73 D．36.79 E．25.36 【答案】C 【解析】到期日为5年的零息债券的价格为：
第一个条件表明零息票债券的价格非负，第二个条件表明到期时零息票债券的价格为1，第三个条件表明期限 无限长的零息债券的价格为零。
（1）Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况 Ho-Lee模型的贴现函数在二叉树模型下的变动情况为：在第n期，贴现函数有n+1中可能状态。贴现函数的每个 状态都都独立于通向该节点的路径，仅由初始点到该节点之间的向上移动和向下移动的次数决定。 在该二叉树模型中，每个节点对应一组折现率，因此每个节点都对应一组与之关联的各种零息债券的价格。
d (t) rt (t)dt 其中 rt 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出：
说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程 (t)也是随机的。
（2）随机折现因子 ①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：
②随机折现因子的含义 假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有 A 单(t )位货币。若希望在T(T>t)时银行账户
有1单位货币，即
A
(T
ห้องสมุดไป่ตู้
)
1
，需在0时刻投入
A
1 (T
)
单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为：A
(t)
(t) (T )
所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为 (t) 。 (T )
（3）连续复利收益率 用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为： 由这个等式可以推出：
3．均衡模型与无套利模型 （1）均衡利率模型（绝对定价模型） 可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一 般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。 单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源； 多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。 说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到； （2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型） 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的 利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。 说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。
说明：Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t,t) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
这个式子结合 R(t,T ) ln B(t,T ) 可以推出： T t