3.3 行列式与矩阵的逆解析
行列式与矩阵的逆
行列式与矩阵的逆行列式和矩阵的逆是线性代数中重要的概念和运算。
行列式是一个数值，它与一个方阵相关联。
矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵，存在另一个矩阵与它相乘得到单位矩阵。
本文将介绍行列式和矩阵逆的定义、计算方法以及应用。
一、行列式的定义和计算行列式是一个方阵所对应的一个数值。
对于一个 n 阶方阵 A，它的行列式记作 det(A) 或 |A|。
行列式的计算方法有两种常见的方式：按行展开和按列展开。
按行展开的计算方法：将方阵 A 的第 i 行展开，可以得到如下的公式：det(A) = a1i * A1i + a2i * A2i + ... + ani * Ani其中，aij 是方阵 A 的第 i 行第 j 列的元素，Ai 是 aij 元素所在的子方阵。
按列展开的计算方法：将方阵 A 的第 j 列展开，可以得到如下的公式：det(A) = aij * Aij + aij * Aij + ... + aij * Aij其中，aij 是方阵 A 的第 i 行第 j 列的元素，Aij 是 aij 元素所在的子方阵。
二、矩阵的逆对于一个可逆矩阵 A，存在一个矩阵 B，使得 A 与 B 相乘得到单位矩阵。
这个矩阵 B 被称为矩阵 A 的逆矩阵，记作 A^-1。
逆矩阵有以下性质：1. 可逆矩阵的逆也是可逆矩阵。
2. 矩阵 A 与其逆矩阵的乘积等于单位矩阵：A * A^-1 = I。
计算可逆矩阵的逆矩阵有多种方法，其中最常见的是高斯-约旦消元法和伴随矩阵法。
这里我们以高斯-约旦消元法为例进行介绍。
高斯-约旦消元法的步骤如下：1. 将矩阵 A 与单位矩阵 I 进行拼接，得到增广矩阵 [A | I]。
2. 利用初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形矩阵 [R | E]。
3. 若矩阵 R 的主对角线上的元素都为 1，则矩阵 E 即为原矩阵 A 的逆矩阵。
三、行列式与矩阵的应用行列式和矩阵的逆在数学和物理等领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 方程组求解：对于线性方程组 A * X = B，其中 A 是系数矩阵，X 和 B 是向量。
矩阵的逆与行列式的计算
矩阵的逆与行列式的计算矩阵是线性代数中的一个重要概念，广泛应用于各个领域的数学问题中。
在矩阵运算中，矩阵的逆和行列式的计算是两个基本而关键的操作。
本文将介绍矩阵逆的定义、计算方法以及其应用，同时也会讨论行列式的计算方法和其相关性质。
一、矩阵逆的定义所谓矩阵的逆，即一个矩阵与其逆矩阵相乘等于单位矩阵。
设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称A为可逆矩阵，而B为A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^-1。
二、矩阵逆的计算方法1. 初等行变换法通过初等行变换将矩阵A化为一个上三角矩阵，即形式如下:[a b c] [a b c] [a' b' c']A= [0 d e] -> [0 d' e'] -> ... -> [0 0 f'][0 0 f] [0 0 f] [0 0 1]其中，a, b, c, d, e, f为实数，a'、b'、c'、d'、e'、f'是经过变换得到的新的实数。
然后，再通过行变换将上述上三角矩阵变为单位矩阵和一个下三角矩阵乘积的形式，即：A^-1 = [1/m 0 0 ... 0 ][0 1/n 0 ... 0 ][0 0 1 ... 0 ][... ... ][0 0 0 ... 1 ]其中m、n为非零实数。
通过这种方法，我们可以得到 A 的逆矩阵A^-1。
2. 列主元高斯-约当消元法这种方法与初等行变换法类似，通过一系列的行列变换将矩阵A化为一个上三角矩阵，然后再通过逆序消元将其变为单位矩阵。
三、行列式的计算方法行列式是矩阵的一个重要性质，用于判断矩阵是否可逆，以及计算特征值、特征向量等。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)或|A|。
1. 拉普拉斯展开法对于n阶矩阵A = [a(ij)]，如果n>1，则可以使用拉普拉斯展开法求解行列式。
矩阵的逆和行列式的计算
矩阵的逆和行列式的计算矩阵是线性代数中的重要工具，而矩阵的逆和行列式的计算是矩阵运算中常见的操作。
本文将通过介绍矩阵的逆和行列式的定义、计算方法以及其应用，来深入解析这两个概念。
一、矩阵的逆逆矩阵是指对于一个给定的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
方阵A存在逆矩阵的条件是其行列式不为零，即|A|≠0。
逆矩阵的计算可以通过伴随矩阵和行列式的关系来实现。
1. 伴随矩阵的计算伴随矩阵是指将方阵A的每个元素的代数余子式矩阵取转置得到的矩阵，记作adj(A)。
其中，代数余子式是指将矩阵元素A(i,j)所在的行和列删去后，剩余元素构成的行列式。
2. 逆矩阵的计算方阵A的逆矩阵可以通过以下公式来计算：A^(-1) = (1/|A|) * adj(A)，其中|A|为A的行列式。
通过计算伴随矩阵并乘以行列式的倒数，可以得到方阵A的逆矩阵。
3. 逆矩阵的意义矩阵的逆可以理解为它的倒数，类似于实数的倒数。
在矩阵运算中，逆矩阵在求解线性方程组、矩阵方程和求解变换等问题中具有重要的作用。
二、行列式的计算行列式是矩阵的一个标量值，用于判断矩阵的性质以及计算矩阵的逆等。
行列式的计算方法有很多种，常用的有拉普拉斯展开和三角形法则。
1. 拉普拉斯展开拉普拉斯展开是一种基于代数余子式逐步化简的计算方法。
对于一个给定的n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下公式进行展开：det(A) = a(1,1) * A(1,1) + a(1,2) * A(1,2) + ... + a(1,n) * A(1,n)，其中A(i,j)为A的代数余子式。
2. 三角形法则三角形法则是一种通过矩阵的初等变换将矩阵化为上三角矩阵或下三角矩阵，然后计算矩阵对角线元素之积得到行列式的计算方法。
三、应用案例逆矩阵和行列式的计算在实际应用中有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例。
1. 线性方程组的求解当给定一个n个未知数的线性方程组时，可以通过计算系数矩阵的逆矩阵，然后与常数矩阵相乘，得到方程组的解。
矩阵与行列式的逆与逆矩阵的应用
矩阵与行列式的逆与逆矩阵的应用在线性代数中，矩阵与行列式是非常重要的概念，它们在数学和工程学科中有着广泛的应用。
本文将探讨矩阵与行列式的逆以及逆矩阵的应用。
一、矩阵的逆与行列式的逆1.1 矩阵的逆对于一个方阵A，如果存在另一个方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称A为可逆矩阵，而B即为A的逆矩阵。
矩阵的逆具有以下性质：- 如果A是可逆矩阵，则A的逆矩阵唯一；- 若B是A的逆矩阵，则B也是可逆矩阵，并且其逆矩阵为A；- 如果A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，并且$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。
1.2 行列式的逆对于一个n阶方阵A，如果存在另一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位阵，则称A的行列式为可逆行列式，而B即为A的逆行列式。
行列式的逆也具有类似于矩阵逆的性质。
二、逆矩阵的应用逆矩阵在数学和工程学科中有着广泛的应用。
下面以几个常见的应用举例说明：2.1 线性方程组的求解考虑一个线性方程组AX=B，其中A为一个n阶系数矩阵，X和B 分别为n维列向量。
如果A是可逆矩阵，则通过左乘A的逆矩阵，可以得到方程组的解X=A^{-1}B。
这种方法被称为矩阵法求解线性方程组。
2.2 矩阵变换的求逆在一些几何变换中，矩阵的逆可以帮助我们求解变换的逆变换。
例如，对于一个二维平面上的旋转变换矩阵R，其逆矩阵R^{-1}即为逆时针旋转相同角度的变换矩阵，通过左乘R^{-1}可以得到旋转变换的逆变换。
2.3 二次型的化简对于一个n维列向量X，其二次型表达式为X^TAX，其中A为一个对称矩阵。
如果A是可逆矩阵，则通过对矩阵进行相似变换，即乘以逆矩阵A^{-1}，可以将二次型化简为标准型，使得矩阵A的主对角线上只有非零元素。
2.4 矩阵的特征值与特征向量对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量X，使得AX=\lambda X，其中\lambda为标量，则称\lambda为A的特征值，X为A对应于特征值\lambda的特征向量。
矩阵的逆矩阵与行列式计算
矩阵的逆矩阵与行列式计算矩阵是线性代数中的一项重要概念，它在各种领域中都有广泛的应用。
矩阵的逆矩阵和行列式是矩阵理论中的两个关键概念，本文将介绍逆矩阵和行列式的计算方法及其重要性。
一、逆矩阵逆矩阵是矩阵理论中非常重要的一个概念。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I表示单位阵），那么我们称B为A的逆矩阵，记作A的倒数。
对于可逆矩阵A，它的逆矩阵是唯一的。
逆矩阵的计算方法如下：设A为一个n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB=BA=I，则B为A的逆矩阵。
求矩阵A的逆矩阵的方法有多种，以下是其中两个常用的方法：1. 初等行变换法通过利用矩阵初等行变换，将矩阵A变换成一个特殊形式，然后通过初等行变换得到B，使得AB=I。
具体步骤如下：a) 取A和单位阵I并排组成一个增广矩阵[A|I]；b) 对[A|I]做行变换，将矩阵A变换为n阶单位矩阵；c) 当[A|I]变为[I|B]时，B就是A的逆矩阵。
2. 伴随矩阵法通过伴随矩阵的概念，求解矩阵A的逆矩阵。
设A为n阶方阵，A 的伴随矩阵记作Adj(A)，则A的逆矩阵B的表达式如下：B = (1/det(A)) * Adj(A)其中，det(A)表示矩阵A的行列式，Adj(A)表示A的伴随矩阵。
二、行列式行列式是矩阵理论中用于刻画矩阵性质的一种特殊函数。
对于一个n阶方阵A，它的行列式记作det(A)，其计算方法如下：1. 二阶方阵的行列式计算：A = [[a, b], [c, d]]det(A) = ad - bc2. 三阶方阵的行列式计算：A = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh对于高阶方阵，通常使用行列式的性质和展开定理来计算。
行列式的计算过程相对繁琐，但是具有重要的应用价值。
行列式的性质有如下几个：a) 互换行列式的两行，行列式改变符号；b) 行列式某一行的公因子可以提到行列式的外面；c) 若行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为0；d) 行列式的某一行（列）可以表示成其他行（列）的线性组合。
矩阵的行列式和逆矩阵的计算
矩阵的行列式和逆矩阵的计算矩阵在数学中是一个重要的概念，广泛应用于统计学、物理学、工程学等领域。
对于矩阵的行列式和逆矩阵的计算，是矩阵理论与实践中的核心问题。
在本篇文章中，我们将对这两个问题进行详细的讨论。
1.行列式的定义在介绍矩阵的行列式之前，我们需要了解矩阵的基本概念。
矩阵是一个由m行n列元素组成的数表，用记号A=(aij)表示。
其中，i表示行号，j表示列号，aij为矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵的行和列分别称为行向量和列向量。
例如，下面是一个3行2列的矩阵：A = [1 2;3 4;5 6]行列式是一个与矩阵有关的数，在矩阵中扮演着重要的角色。
设A为一个n阶矩阵，由n行n列的元素组成，其行列式记作|A|，定义如下：当n=1时，|A|=a11;当n>1时，|A|=∑(-1)i+jaij|Mij|，其中Mij为划去第i行第j列后得到的n-1阶矩阵的行列式。
值得注意的是，行列式只与矩阵的元素有关，而与矩阵的行列顺序无关。
此外，矩阵的行列式有以下重要性质：（1）|A|=|AT|，即矩阵和其转置矩阵的行列式相等；（2）若矩阵A中某一行或某一列的元素全为0，则|A|=0；（3）若矩阵A的两行或两列成比例，则|A|=0。
2.行列式的计算方法在实际应用中，我们需要通过一定的方法来计算矩阵的行列式。
下面介绍两种常用的行列式计算方法。
（1）按行（列）展开法按行展开法是一种实际应用最广泛的行列式计算方法。
具体步骤如下：①选取矩阵的一行（列），将其展开成n个代数余子式的和，即：a11A11+a12A12+...+a1nAn1。
其中，aij为第一行（列）的元素，Ai1, Ai2, ..., Ain为它们对应的代数余子式。
②对于每个Ai1, Ai2, ..., Ain，依次递归使用按行展开法，将其展开成n-1个代数余子式的和。
③不断递归使用上述步骤，最终得到一个由每个代数余子式的积和求和得到的表达式，即为所求行列式。
矩阵的逆与行列式的应用
矩阵的逆与行列式的应用矩阵是线性代数中的重要概念，在各个领域都有广泛的应用。
其中，矩阵的逆与行列式是矩阵运算中的重要内容。
本文将介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及在实际问题中的应用。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指对于一个n×n的方阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
如果矩阵A存在逆矩阵B，则称矩阵A为可逆矩阵，否则称为奇异矩阵。
矩阵的逆可以用来解线性方程组、求解矩阵方程等。
为了求解矩阵A的逆矩阵B，可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的定义如下：设A是n×n矩阵，其中a_ij表示A的第i行第j列的元素，则称(adjA)_ij为A的代数余子式C_ij的代数余子式矩阵，即(adjA)_ij=(-1)^(i+j)·detAij，其中detAij表示Aij的行列式。
根据伴随矩阵的定义，可以得到矩阵A的逆矩阵B的表示式为B=(1/detA)·adjA，其中detA为矩阵A的行列式。
通过这种方法，我们可以求解出矩阵的逆矩阵。
二、行列式的应用行列式是矩阵运算中的一个重要工具，它可以用来判断矩阵的可逆性、计算矩阵的秩、求解线性方程组的解等。
1. 判断矩阵的可逆性对于n×n的方阵A，如果detA≠0，则A是可逆矩阵；如果detA=0，则A是奇异矩阵。
因此，通过计算矩阵的行列式，可以判断矩阵是否可逆。
2. 计算矩阵的秩对于m×n的矩阵A，其秩r表示A的行（列）向量组的极大无关组所含向量的个数。
行列式与矩阵的秩之间存在如下关系：r=min(m,n)，即矩阵的秩等于其行列式不等于0的最大子阵的阶数。
3. 求解线性方程组的解通过行列式的运算，可以求解线性方程组的解。
设A为n×n的方阵，X为n×1的列向量，B为常数项列向量，则线性方程组AX=B可以表示为X=A^(-1)B，其中A^(-1)为矩阵A的逆矩阵，B为常数项列向量。
通过计算A的逆矩阵以及常数项列向量B，可以得到线性方程组的解向量X。
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆与行列式在线性代数中，矩阵是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。
矩阵的逆和行列式是矩阵运算中的两个基本概念，对于求解线性方程组和计算矩阵的特征值等问题都具有重要意义。
本文将详细介绍矩阵的逆和行列式的定义、性质以及计算方法。
一、矩阵的逆矩阵的逆是指存在一个矩阵B，与给定的矩阵A相乘等于单位矩阵。
即有AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
只有方阵才有逆矩阵存在。
1. 逆矩阵的存在性若一个n阶矩阵A的行列式不等于零（|A|≠0），则矩阵A是可逆的，存在逆矩阵。
逆矩阵由A的伴随矩阵除以A的行列式得到。
即A的逆矩阵为A^-1 = adj(A)/|A|。
2. 逆矩阵的性质（1）逆矩阵的逆矩阵是它本身，即(A^-1)^-1=A。
（2）逆矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵的转置，即(A^-1)^T=(A^T)^-1。
（3）两个可逆矩阵的乘积的逆矩阵等于它们的逆矩阵的乘积，即(AB)^-1=B^-1*A^-1。
3. 逆矩阵的计算方法（1）对于2阶矩阵A = [a b; c d]，若AD-BC≠0，则A的逆矩阵为1/AD-BC * [d -b; -c a]。
（2）对于高阶矩阵A，计算逆矩阵的一种常用方法是利用初等变换将矩阵A化为一个单位矩阵，同时对单位矩阵进行相同的初等变换，此时矩阵A就变为了单位矩阵，对应的单位矩阵就是矩阵A的逆矩阵。
二、行列式行列式是矩阵的一个标量值，用于刻画矩阵的性质和计算相关问题。
行列式的取值与矩阵的结构和元素有关。
1. 行列式的定义对于n阶矩阵A=[a_ij]，其中a_ij表示矩阵A中第i行第j列的元素，行列式用|A|表示。
当n=1时，|A|=a_11；当n>1时，行列式的定义如下：|A| = a_11*A_11 + a_12*A_12 + ... + a_1n*A_1n，其中A_ij=(-1)^(i+j)*M_ij，M_ij表示A中除去第i行第j列后的(n-1)阶子矩阵的行列式。
矩阵的逆和行列式的关系
矩阵的逆和行列式的关系一、引言矩阵是线性代数中的基本概念之一，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的运算中，矩阵的逆和行列式是两个重要的概念。
本文将探讨矩阵的逆和行列式之间的关系，以及它们在解线性方程组和计算矩阵的秩等问题中的应用。
二、矩阵的逆2.1 定义对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称B为A的逆矩阵，记作A的逆（即A-1）。
2.2 逆矩阵的性质•若A是可逆矩阵，则A-1也是可逆矩阵，且(A-1)-1=A。
•若A是可逆矩阵，且c是一个非零标量，则cA也是可逆矩阵，且(cA)-1=(1/c)A-1。
•若A和B都是可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1。
•若A是可逆矩阵，则A的转置矩阵也是可逆矩阵，且(AT)-1=(A-1)T。
三、行列式3.1 定义对于一个n阶方阵A，它的行列式记作|A|，定义为|A| = a11·A11 + a12·A12 + … + a1n·A1n，其中aij表示A的第i行第j列元素，Aij表示A中的余子式。
3.2 行列式的性质•若A是可逆矩阵，则|A|≠0。
•若A的某行（或某列）全为零，则|A|=0。
•若A的某两行（或某两列）成比例，则|A|=0。
•若A与B是相似矩阵，即存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，则|A|=|B|。
四、矩阵的行列式和逆矩阵的关系4.1 逆矩阵的求法设A为一个可逆矩阵，若要求A的逆矩阵A-1，可以使用伴随矩阵法。
首先，计算A的余子式矩阵，然后对其进行转置，得到A的伴随矩阵adj(A)，最后，将adj(A)的每个元素除以|A|，则得到A的逆矩阵A-1。
4.2 行列式和逆矩阵的关系对于一个可逆矩阵A，有以下关系成立：A-1 = (1/|A|)·adj(A)即可通过求A的行列式|A|和伴随矩阵adj(A)来求解A的逆矩阵。
五、应用5.1 解线性方程组假设有一个线性方程组Ax=b，其中A为n阶系数矩阵，x为未知向量，b为已知向量。
矩阵的行列式和逆矩阵
矩阵的行列式和逆矩阵矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域的数学中。
在研究矩阵的性质和运算中，行列式和逆矩阵是两个关键的概念。
本文将详细介绍行列式和逆矩阵的定义、性质以及计算方法。
一、行列式的定义和性质行列式是矩阵非常重要的一个属性，它具有许多重要的性质。
一个n×n 矩阵 A 的行列式记作 |A| 或 det(A)，其中 n 表示矩阵的阶数。
行列式的定义有很多种，这里我们主要介绍按行或按列展开的定义方法。
对于 2×2 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22 - a12*a21对于 3×3 的矩阵 A，其行列式定义为：|A| = a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 -a12*a21*a33 - a11*a23*a32行列式具有许多重要的性质，包括：1. 当矩阵的某一行（或某一列）全为零时，行列式的值为零。
2. 若矩阵的两行（或两列）互换，则行列式的值变号。
3. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素成比例，则行列式的值为零。
4. 若矩阵的某一行（或某一列）的元素上下对称，那么行列式的值为零。
5. 二阶和三阶矩阵的行列式可以通过定义直接计算，高阶矩阵的行列式计算可以通过展开定理，将矩阵按任意一行（或一列）展开成余子式的乘积再求和来计算。
二、逆矩阵的定义和性质逆矩阵是矩阵论中的重要概念，用于解决线性方程组以及矩阵的运算问题。
对于 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB = BA = I (I 为单位矩阵)，则矩阵 B 称为矩阵 A 的逆矩阵，并记作 A^-1。
逆矩阵的定义表明，如果一个矩阵A 存在逆矩阵，则A 是可逆的；反之，如果矩阵 A 不可逆，则不存在 A 的逆矩阵。
逆矩阵具有一些重要的性质：1. 只有方阵才能有逆矩阵，即非方阵的矩阵不存在逆矩阵。
2. 如果矩阵 A 的逆矩阵存在，则它是唯一的。
高中数学教案矩阵的逆与行列式的计算
高中数学教案矩阵的逆与行列式的计算高中数学教案：矩阵的逆与行列式的计算矩阵是数学中重要的概念之一，而矩阵的逆和行列式的计算是矩阵运算中的关键内容。
本教案将重点介绍矩阵的逆和行列式的计算方法，帮助学生掌握矩阵运算的基础知识。
一、矩阵的逆1.1 矩阵的逆的定义在矩阵运算中，如果对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I（其中I为单位矩阵），则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，矩阵A也被称为可逆矩阵。
1.2 矩阵的逆的计算方法对于一个矩阵A，要求其逆矩阵B，可以使用以下方法进行计算：（1）利用伴随矩阵求逆矩阵：首先，计算矩阵A的伴随矩阵Adj(A)，然后将Adj(A)除以A的行列式det(A)，即可得到矩阵A的逆矩阵B，即B = Adj(A) / det(A)。
（2）利用初等变换求逆矩阵：首先，将矩阵A进行扩展，形成一个增广矩阵[ A | I ]，然后通过初等变换将矩阵A化为单位矩阵I，此时，增广矩阵变为[ I | B ]，其中B即为矩阵A的逆矩阵。
二、行列式的计算2.1 行列式的定义在矩阵运算中，行列式是一个重要的概念，用于求解矩阵的性质和方程组的解。
对于一个n阶方阵A，其行列式表示为|A|，计算公式为：|A| = a11 * a22 * ... * ann + a12 * a23 * ... * a(n-1)n + ... + a1n * a2(n-1) * ... * ann-1 * ann其中，aij表示矩阵A中的第i行第j列元素。
2.2 行列式的计算方法计算n阶方阵A的行列式的方法主要有两种：代数余子式法和按行（列）展开法。
（1）代数余子式法：首先，根据矩阵A的元素，按照某一行（列）展开，得到n个(n-1)阶子行列式，分别乘以相应的余子式，并进行加减操作，最后得到行列式的值。
（2）按行（列）展开法：首先，选择一行或一列，将矩阵展开成n个n-1阶子行列式的和，然后根据这些子行列式的值，按照正负号的规律进行计算，并最终得到行列式的值。
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆与行列式矩阵是线性代数中重要的概念之一，它用于描述和解决各种数学和工程问题。
在矩阵运算中，矩阵的逆与行列式是两个关键概念。
本文将详细介绍矩阵的逆与行列式的概念、性质以及计算方法。
一、矩阵的逆1.1 概念在线性代数中，设A是一个n阶方阵，如果存在一个n阶方阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵，那么B就被称为矩阵A的逆矩阵，记作A⁻¹。
1.2 逆矩阵的存在条件一个矩阵A存在逆矩阵的条件是其行列式不等于零，即|A| ≠ 0。
如果一个矩阵的行列式为零，则该矩阵不存在逆矩阵。
1.3 逆矩阵的性质(1) 若A存在逆矩阵A⁻¹，则A⁻¹也存在逆矩阵，且其逆矩阵为A。
(2) 对于一个n阶方阵A，如果A存在逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。
(3) 若A和B都是n阶方阵，且A和B都存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹。
1.4 逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算可以使用伴随矩阵的方法。
伴随矩阵的计算方法是：先求出矩阵A的代数余子式，然后将代数余子式按一定顺序放置在原矩阵的转置矩阵上，最后将转置矩阵中的每个元素乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别表示元素在矩阵中的行和列的编号。
最后，将得到的矩阵除以矩阵A的行列式即可得到矩阵A的逆矩阵。
二、矩阵的行列式2.1 概念在线性代数中，对于一个n阶方阵A，记为|A|，被称为矩阵A的行列式。
行列式用于表示矩阵的某些性质，例如矩阵是否可逆、线性方程组是否有唯一解等。
2.2 行列式的性质(1) 若A是n阶方阵，且k是一个常数，则kA的行列式等于k的n次方乘以A的行列式，即|kA| = k^n |A|。
(2) 若A和B都是n阶方阵，则|AB| = |A| * |B|。
(3) 若A是n阶方阵，则|A| = |A^T|，其中A^T表示矩阵A的转置矩阵。
(4) 若A是一个n阶方阵，并且存在某一行或某一列的元素全为零，则|A| = 0。
3.3 行列式与矩阵的逆
A A1 AA1 I 1
于是
且
A 0 1 1 A A
2 2 0 4 4 7 , B 0 0 3 9 1 0 5 7 2
16
例6 设
1 A 0 0
求
AB ,
A 1 ,
B 1
解
经计算
A 6 0, B 8 0
3
定理5 齐次线性方程组 3没有非零解的充要 条件中系数行列式 D 0 ；齐次线性方程组 3 有非零解的充要条件中系数行列式 D 0 ；
26
例7 用克拉默法则解方程组
2 x1 x2 5 x3 x4 8, x 3 x 6 x 9, 1 2 4 2 x2 x3 2 x4 5, x1 4 x2 7 x3 6 x4 0.
a12 a22 an 2
a1n a2 n ann
24
D1
同理可得 D x 2 D2 , , D x n Dn 因为D 0, 所以 Dn D1 D2 x1 , x2 , xn D D D 可见方程组(1)的解由公式 唯一确定。 (2)
解
2
1
5
1
r1 2r2
r4 r2
0
7
5
13
1 3 0 6 D 0 2 1 2 1 4 7 6
1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
27
7 5 13 2 1 2 7 7 12
c1 2c2
3 5
3
c3 2c2
0 1 0 7 7 2
25
齐次线性方程组的相关定理
a11 x1 a12 x 2 a1n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
矩阵的逆与行列式的计算
矩阵的逆与行列式的计算矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域都有着广泛的应用。
在矩阵的研究中，逆矩阵和行列式是其中两个重要的概念。
矩阵的逆和行列式的计算方法可以帮助我们解决很多实际问题，下面我们就来详细介绍一下。
一、矩阵的逆1. 逆矩阵的定义对于一个n阶矩阵A，如果存在一个n阶矩阵B，使得AB=BA=I （I为n阶单位矩阵），则称矩阵B是矩阵A的逆矩阵，记作A的逆矩阵为A^(-1)。
2. 逆矩阵的存在条件一个矩阵存在逆矩阵的条件是该矩阵的行列式不等于0，即|A|≠0。
3. 逆矩阵的计算方法（1）对于二阶矩阵A = [a, b；c, d]，如果|A|≠0，则A的逆矩阵A^(-1)可按如下公式计算：A^(-1) = 1/|A| * [d, -b；-c, a]（2）对于n阶矩阵A，如果|A|≠0，则A的逆矩阵A^(-1)的计算方法如下：A^(-1) = 1/|A| * Adj(A)其中Adj(A)为A的伴随矩阵，伴随矩阵的计算方法是将矩阵A的每个元素的代数余子式按一定顺序排列成一个矩阵，然后转置得到的矩阵即为A的伴随矩阵。
4. 逆矩阵的性质（1）若A为可逆矩阵，则A^(-1)也是可逆矩阵，且(A^(-1))^(-1) = A。
（2）若A、B为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且(AB)^(-1) = B^(-1)A^(-1)。
二、行列式的计算1. 行列式的定义对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，其定义为：|A| = a1n a2n ... an1a1n-1 a2n-1... an-11... ... ...a11 a21 ... an1其中aij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
2. 行列式的计算方法（1）对于二阶矩阵A = [a, b；c, d]，其行列式的计算方法为：|A| = ad - bc（2）对于n阶矩阵A，其行列式的计算方法可以通过代数余子式和余子式展开法来进行。
- 代数余子式：对于矩阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式记作Aij，定义为把元素aij所在的行和列划去后，所剩下的元素构成的(n-1)阶子矩阵的行列式。
矩阵的行列式与逆矩阵研究
矩阵的行列式与逆矩阵研究矩阵是线性代数中的重要概念之一，它在各个领域都有广泛的应用。
矩阵的行列式与逆矩阵是矩阵理论中的重要内容，它们在解线性方程组、求解特征值和特征向量等问题中起着至关重要的作用。
本文将深入探讨矩阵的行列式和逆矩阵的性质与应用。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它可以用来判断矩阵的一些重要性质。
对于一个n阶矩阵A，它的行列式记作det(A)或|A|。
行列式的计算可以通过展开定理或高斯消元法进行。
1.1 展开定理展开定理是计算行列式的常用方法之一。
对于一个n阶矩阵A，其行列式可以按照任意一行或一列展开成n个n-1阶子式的代数和。
具体来说，对于矩阵A的第i行展开，有如下公式：det(A) = a1iC1i + a2iC2i + ... + aniCni其中，aij表示矩阵A的第i行第j列的元素，Cij表示aij的代数余子式。
1.2 性质与应用行列式有一些重要的性质，如行列式与转置、行列式的倍乘、行列式的性质等。
其中，行列式与转置的关系是非常重要的。
对于一个n阶矩阵A，有det(A) = det(A^T)，即矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相等。
这个性质在证明矩阵的逆矩阵时起到了重要的作用。
行列式的应用非常广泛，其中一个重要的应用是用来求解线性方程组。
对于一个n阶方阵A和一个n维列向量b，线性方程组Ax=b的解可以表示为x=A^(-1)b，其中A^(-1)表示矩阵A的逆矩阵。
二、矩阵的逆矩阵矩阵的逆矩阵是矩阵理论中的重要内容之一，它在解线性方程组、求解特征值和特征向量等问题中起着重要的作用。
一个n阶矩阵A的逆矩阵记作A^(-1)，满足AA^(-1)=A^(-1)A=I，其中I是单位矩阵。
2.1 求解逆矩阵的方法对于一个n阶矩阵A，求解它的逆矩阵有多种方法。
其中一种常用的方法是利用伴随矩阵求解。
对于一个n阶矩阵A，它的伴随矩阵记作adj(A)，满足A·adj(A)=adj(A)·A=|A|·I，其中|A|表示矩阵A的行列式。
矩阵的行列式与矩阵的逆
矩阵的⾏列式与矩阵的逆矩阵的⾏列式只有⽅阵才能使⽤⾏列式，⾏列式可以告诉我们变换时对象被拉伸的程度det([a bc d])= ad * cb// 多阶的⾏列式拆成系数 * matrix(2x2)的形式进⾏计算det([a b cd e fg h i]) =a * det([e fh i])-b * det([d fg i])+c * det([d eg h])class Matrix {constructor(ponents) {this.rows = components}sum(arr) {return arr.reduce((el, next) => el + next, 0)}columns() {// (M * N)^T = matirx(N * M)return this.rows[0].map((_, i) => this.rows.map(row => row[i]))}mult(other) {if (this.rows[0].length !== other.rows.length) {throw new Error('该矩阵的列数不等于给定矩阵的⾏数')}const sum = this.sum// 将矩阵转置const columns = other.columns()const newRows = this.rows.map(row => (columns.map(column => (sum(row.map((element, i) => element * column[i]))))))return new Matrix(...newRows)}transpose() {return new Matrix(...this.columns())}scaleMult(number) {const newRows = this.rows.map(row => (row.map(element => element * number)))return new Matrix(...newRows)}determinant() {if (this.rows[0].length !== this.rows.length) {throw new Error('该矩阵的列数不等于给定矩阵的⾏数')}// ⼆阶⾏列式使⽤交叉相乘if (this.rows.length === 2) {return this.rows[0][0] * this.rows[1][1] - this.rows[0][1] * this.rows[1][0] }const sum = this.sum// n阶⾏列式，拆成a * det(Matrix[2x2])的形式进⾏计算const parts = this.rows[0].map((coef,index) => {const MatrixRows = this.rows.slice(1).map(row => {return [...row.slice(0, index), ...row.slice(index + 1)]})const matrix = new Matrix(...MatrixRows)const result = coef * matrix.determinant()return index % 2 === 0 ? result : -result})return sum(parts)}}const log = console.logconst one = new Matrix([2, -3, 1],[2, 0, -1],[1, 4, 5])log(one.determinant())矩阵的逆M^-1MM^-1 = M^-1M = I奇异矩阵⾏列式为0的矩阵为奇异矩阵，不可以求矩阵的逆1. 奇异矩阵（不可逆矩阵）2. 奇异矩阵的⾏列式为03. ⾮奇异矩阵（可逆矩阵）4. ⾮奇异矩阵的⾏列式不为0标准伴随矩阵M = [-4 -3 30 2 -21 4 -1]adj M = [C(11) C(12) C(13) C(21) C(22) C(23) C(31) C(32) C(33) ]^T= [6 -2 -29 1 130 -8 -8]^T= [6 9 0-2 1 -8-2 13 -8]代数余⼦式矩阵C(11) = det([2 -24 -1]) = 6C(12) = -det([0 -21 -1]) = -2C(13) = det([0 21 4]) = -2C(21) = -det([-3 34 -1]) = 9C(22) = det([-4 31 -1]) = 1C(23) = -det([-1 -31 4]) = 13C(31) = det([3 -32 -2]) = 0C(32) = -det([-4 30 -2]) = -8C(33) = det([-4 -30 2]) = -8矩阵的逆作⽤撤销变换M^-1 = adj M / |M| (标准伴随矩阵 / 矩阵的⾏列式)(M^1)^1 = MI^-1 = I(M^T)^-1 = (M^-1)^T(AB)^-1 = B^-1A^-1(M1M2..Mn)^-1 = Mn^-1Mn-1^-1M2^-1M1^-1|M^-1| = 1 / |M|(vM)M^-1 = v(MM^-1) = vI = vclass Matrix {constructor(ponents) {this.rows = components}sum(arr) {return arr.reduce((el, next) => el + next, 0)}columns() {// (M * N)^T = matirx(N * M)return this.rows[0].map((_, i) => this.rows.map(row => row[i]))}mult(other) {if (this.rows[0].length !== other.rows.length) {throw new Error('该矩阵的列数不等于给定矩阵的⾏数')}const sum = this.sum// 将矩阵转置const columns = other.columns()const newRows = this.rows.map(row => (columns.map(column => (sum(row.map((element, i) => element * column[i]))))))return new Matrix(...newRows)}transpose() {return new Matrix(...this.columns())}scaleMult(number) {const newRows = this.rows.map(row => (row.map(element => element * number)))return new Matrix(...newRows)}determinant() {if (this.rows[0].length !== this.rows.length) {throw new Error('该矩阵的列数不等于给定矩阵的⾏数')}// ⼆阶⾏列式使⽤交叉相乘if (this.rows.length === 2) {return this.rows[0][0] * this.rows[1][1] - this.rows[0][1] * this.rows[1][0] }const sum = this.sum// n阶⾏列式，拆成a * det(Matrix[2x2])的形式进⾏计算const parts = this.rows[0].map((coef, index) => {const MatrixRows = this.rows.slice(1).map(row => {return [...row.slice(0, index), ...row.slice(index + 1)]})const matrix = new Matrix(...MatrixRows)const result = coef * matrix.determinant()return index % 2 === 0 ? result : -result})return sum(parts)}withoutElementAtIndex(arr, index) {return [...arr.slice(0, index), ...arr.slice(index + 1)]}minor(i, j) {// 根据给定i,j⾏列，去除该⾏列元素，返回⼀个去除该⾏列的矩阵 const withoutElementAtIndex = this.withoutElementAtIndexconst newRows = withoutElementAtIndex(this.rows, i).map(row => withoutElementAtIndex(row, j))// 余⼦式辅助矩阵const matrix = new Matrix(...newRows)// 返回余⼦式辅助计算结果return matrix.determinant()}// 求代数余⼦式cofactor(i, j) {// 余⼦式符号 sign(aij) = (-1)^i+jconst sign = (-1) ** (i + j)const minor = this.minor(i, j)return sign * minor}map(func) {return new Matrix(...this.rows.map((row, i) => (row.map((element, j) => (func(element, i, j))))))}// 求伴随矩阵adjugate() {// 将余⼦式矩阵结果进⾏转置得到伴随矩阵return this.map((_, i, j) => this.cofactor(i, j)).transpose()}// 求矩阵的逆inverse() {const determinant = this.determinant()if (determinant === 0) {throw new Error('奇异矩阵不能求矩阵的逆')}const adjugate = this.adjugate()return adjugate.scaleMult(1 / determinant)}}const log = console.logconst matrix = new Matrix([2, 3, 1],[4, 7, 2],[3, 1, 1])log(matrix.inverse())// const matrix = new Matrix(// [1, 2, 3],// [4, 5, 6],// [7, 8, 9]// )// log(matrix.cofactor(0, 1)) // const one = new Matrix( // [3, -2, 0],// [1, 4, -3],// [-1, 0, 2]// )// log(one.determinant())。
矩阵的行列式与逆矩阵的求解
矩阵的行列式与逆矩阵的求解矩阵是线性代数中的重要概念，而行列式与逆矩阵是矩阵运算中的两个重要概念。
它们在求解线性方程组、计算特征值与特征向量等问题中起着关键的作用。
本文将详细介绍矩阵的行列式与逆矩阵的求解方法与应用。
一、行列式的定义与性质行列式是一个矩阵与其对应的标量之间的关系。
对于n阶方阵A=(aij)，其中i 与j分别表示矩阵的行与列，行列式的定义如下：|A| = Σ(± a1jM1j)，其中1 ≤ j ≤ n，±表示正负号，M1j表示元素aij的代数余子式。
行列式具有许多重要的性质，包括：1. 互换行列式的行列可以改变行列式的符号；2. 行列式中的某一行（列）的元素与其对应的代数余子式相乘再求和，等于该行列式的值；3. 行列式如果有两行（列）完全相同，那么该行列式为零；4. 如果行列式中有一行（列）的元素全为0，那么该行列式也为0；5. 行列式如果有两行（列）成比例，那么该行列式也为0。
二、行列式的求解方法根据行列式的定义与性质，可以采用以下方法来求解行列式：1. 余子式法：通过逐一计算每个元素的代数余子式，并根据符号相加求和，得到行列式的值。
这种方法适用于较小的行列式，但对于较大的行列式计算过程较为繁琐。
2. 公式法：通过行列式的定义，利用公式计算行列式的值。
例如，对于二阶行列式来说，行列式的值等于ad-bc，其中a、b、c、d分别表示矩阵中的四个元素。
对于高阶行列式，也可以通过类似的公式推导来计算。
三、逆矩阵的定义与性质逆矩阵是指矩阵A的逆矩阵B，满足以下条件：A *B = B * A = I，其中I为单位矩阵。
逆矩阵存在的前提是矩阵A为非奇异矩阵，即其行列式不等于零。
逆矩阵具有以下性质：1. 矩阵的逆若存在，必定是唯一的；2. 若A、B都是非奇异矩阵，那么AB也是非奇异矩阵，并且(AB)的逆等于B的逆与A的逆的乘积。
四、逆矩阵的求解方法逆矩阵的求解方法主要有以下两种：1. 初等变换法：通过对原矩阵进行初等变换，将其转化为单位矩阵，同时对单位矩阵也进行相同的初等变换，最终得到的结果即为原矩阵的逆矩阵。
矩阵的行列式与逆矩阵
矩阵的行列式与逆矩阵矩阵在数学和物理领域中有着广泛的应用，它们可以描述线性方程组以及空间中的变换。
矩阵的行列式和逆矩阵是矩阵理论中的两个重要概念。
本文将详细介绍矩阵的行列式和逆矩阵及其相关概念，从而帮助读者更好地理解和应用矩阵运算。
一、矩阵的行列式矩阵的行列式是一个标量，它可以帮助我们判断矩阵的一些特征和性质。
对于一个 n 阶矩阵 A，其行列式通常表示为 |A| 或 det(A)。
行列式的计算方法可以通过拉普拉斯定理来进行，即通过对矩阵的某一行或某一列展开，并按照一定的规律进行求和。
具体地，对于一个 3 阶矩阵 A，其行列式计算公式如下：|A| = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 -a22a31)其中，a_ij 表示矩阵 A 的第 i 行、第 j 列的元素。
对于更高阶的矩阵，行列式的计算可以采用类似的方法展开并求和。
行列式的值可以为正、负或零，通过行列式的结果我们可以判断矩阵的线性相关性、可逆性以及体积变化等性质。
二、矩阵的逆矩阵一个 n 阶方阵 A 的逆矩阵一般表示为 A^(-1)，它满足以下条件：A^(-1)A = AA^(-1) = I，其中 I 是单位矩阵。
逆矩阵的存在与否与矩阵的行列式密切相关。
对于一个可逆矩阵 A，其逆矩阵存在且唯一。
若矩阵 A 的行列式为零，则矩阵 A 是不可逆的，即不存在逆矩阵。
在实际应用中，逆矩阵有着重要的作用。
通过求解线性方程组，我们可以利用逆矩阵求出未知数的值。
具体地，对于一个线性方程组 AX = B，其中 A 是系数矩阵，X 和 B 分别为未知数和常量向量。
通过左乘A^(-1)，我们可以得到 X 的解：X = A^(-1)B。
这一方法在解决实际问题中具有广泛的应用，例如在工程计算、物理模拟和金融分析等领域。
三、矩阵的性质与应用除了行列式和逆矩阵，矩阵还具有许多其他重要的性质和应用。
矩阵的逆与行列式
行列式
行列式的定义
行列式是一个由数字组成的数 学对象
行列式可以由矩阵的行或列组 成
行列式可以用来表示矩阵的逆 矩阵
行列式在数学和物理中有广泛 的应用
行列式的性质
代数余子式：行列式等于其所有代数余子式的乘积 行列式展开：行列式等于其主对角线上元素的乘积减去副对角线上元素的乘积 行列式转置：行列式的转置等于原行列式的相反数 行列式交换：行列式的行与列交换后，其值不变
行列式的计算方法
代数余子式法：利用代数余子 式展开行列式，然后求和得到 行列式的值
定义法：根据行列式的定义， 通过逐项展开计算行列式的值
公式法：利用行列式的展开 公式，直接计算行列式的值
递推法：利用递推关系式计 算行列式的值
行列式的应用
线性方程组求解：行列式可用来求解线性方程组 矩阵逆运算：行列式是矩阵逆运算的基础 向量空间：行列式可以用来描述向量空间中的线性变换 特征值与特征向量：行列式在计算特征值和特征阵相乘为单位矩 阵
逆矩阵的行列式等于原矩阵行 列式的倒数
逆矩阵的转置等于原矩阵转置 的逆
逆矩阵的行向量组与原矩阵的 行向量组正交
逆矩阵的求法
高斯-若尔当消元法 伴随矩阵法 逆矩阵的公式法 逆矩阵的迭代法
逆矩阵的应用
线性方程组的求解 矩阵的分解 特征值和特征向量的计算 矩阵的相似变换
矩阵的逆与行列式
汇报人：XX
目录
添加目录标题
矩阵的逆
01
02
行列式
矩阵的逆与行列式的 关系
03
04
添加章节标题
矩阵的逆
逆矩阵的定义
矩阵的逆：存在唯一的逆矩阵，使得乘积为单位矩阵 逆矩阵的性质：与原矩阵互为逆矩阵，满足交换律和结合律 逆矩阵的求法：高斯消元法、LU分解等 逆矩阵的应用：线性方程组求解、矩阵变换等
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1 A A. | A|
1
当 | A | 0 时, 称 A 为奇异矩阵, 否则称 A 为非奇异矩阵. 因此, A 为可逆矩阵当且仅当 A 为非奇异矩阵. 由定理3.11, 可得求逆矩阵的伴随矩阵法.
行列式与矩阵的逆
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1 2 3 例3.5 求矩阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3
行列式与矩阵的逆
13/22
1 7 0 例3.7 计算行列式 | A | 0 0 0
2 6 0 0 0 0
3 5 1 3 5 9
4 4 2 4 6 8
5 3 0 0 7 7
6 2 0 . 0 8 6
解 将| A | 分块, 再应用推论3.13, 得
1 1 2 3 | A| 7 6 5 9
2 4 6 8
称为 A 的伴随矩阵, 记作 A . 于是对二阶可逆矩阵 A, 有
1 A A. | A|
1
行列式与矩阵的逆
5/22
定理3.11 设 A 为 n 阶矩阵, 则当 n 2时, 有
AA A A | Α | E .
进一步, A 可逆的充要条件是 | A| 0. 且当 n 2时, 有
| Α|| B | .
Pl B Pl B
注 1815年 Cauchy 得到推广的矩阵乘积的行列式公式. 1812年 Binet 曾叙述过上述公式但没有给出证明.
行列式与矩阵的逆
10/22
例3.6 设 A 是三阶可逆矩阵, 且 | A| a, 求行列式
|( 2 A)1 Α | .
第3章 行列式
3.1 n 阶行列式的概念 3.2 行列式的性质
3.3 行列式与矩阵的逆
3.4 行列式的计算 3.5 行列式与矩阵的秩
3.3 行列式与矩阵的逆
3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆 3.3.2 行列式乘积法则 3.3.3 Cramer 法则
内容小结
行列式与矩阵的逆
3/22
3.3.1 伴随矩阵与矩阵的逆
解 因 A 可逆, 故 | A| a 0, 且
从而
1 1 (2 A) A , Α | A | A1 aA1 , 2
1
1 1 1 1 1 | (2 A) Α | A aΑ a A 2 2
1
3 (1 2 a ) 1 . a | A1 | 8a 2
于是 因此
6 4 2 A 3 6 5 . 2 2 2 6 4 2 1 1 1 5 . A A 3 6 2 | A| 2 2 2
行列式与矩阵的逆
8/22
3.3.2 行列式乘积法则
定理3.12 设 A, B 均为 n 阶矩阵, 则 | AB | | A | | B | . 证 对于矩阵 A, 必有初等矩阵 P1, P2, , Pl 和阶梯矩 阵 H, 使得 A P1P2 Pl H. 若 A不可逆, 则 H 的最后一行全为零, 从而 HB 的最后 一行全为零, 故 | H | 0, | HB | 0, 于是
0 0 7 7
0 1 2 7 8 0 (8) 224. 8 3 4 7 6 6
行列式与矩阵的逆
14/22
3.3.3 Cramer 法则
定理3.14 (Cramer 法则) 若 nn 线性方程组 Ax b 的 系数行列式 | A| 0, 则方程组有唯一解
A1 A2 x1 , x2 , A A An , xn , A
予上式右端的矩阵一个名称.
行列式与矩阵的逆
4/22
定义3.2 设 A [aij] 为 n 阶矩阵, n 2, 行列式 | A| 中各
元 aij 的代数余子式 Aij 所构成的如下矩阵
A11 A 12 A1n
A21 A22 A2 n
An1 An 2 Ann
3
行列式与矩阵的逆
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已知: 三角行列式等于主对角元之积.
问: 分块三角行列式是否也有类似的性质呢?
推论3.13 对任意 m 阶矩阵 A 和任意 n 阶矩阵 B, 有
A C
0 B
| A|| B | ,
A D 0 B
| A|| B | .
证 应用按行(列)展开法则, 可得
A C
0 En
| A |,
Em C
0 B
| B|.
行列式与矩阵的逆
12/22
因此由行列式乘积法则及前面两个式子, 可得
A 0 A 0 Em C B C E n 0
A C 0 Em En 0
0 B
0 A B . B
根据上式及定理3.10即得
A D | A|| B | . 0 B
“两调一除”法求二阶矩阵 A [aij] 的逆矩阵的公式:
a22 a12 1 A a a a11a22 a12 a21 21 11
1
1 A11 | A A12
A21 . A22
为了将逆矩阵的这种表达式推广到 n 阶矩阵, 首先给
解 因 | A | 2
2 1 2 0, 故 A1存在. 3 4 3
2 2 2 1 2 1 2, A11 2, A12 3, A13 3 4 4 3 3 3
同理可得Biblioteka 行列式与矩阵的逆7/22
A21 6, A22 6, A23 2, A31 4, A32 5, A33 2.
A P 1 P 2 Pl H 0,
行列式与矩阵的逆
9/22
AB P 1 P 2
Pl HB 0,
即
| AB | | A | | B | .
若 A 可逆, 则 H E, 于是
AB P 1 P 2 ( P 1 P 2
其中 | Aj| 是用常数项向量 b 替代 A 中第 j 列得到的 n 阶 行列式.