湘教版函数和它的表示方法(一)
湘教版函数知识点总结
湘教版函数知识点总结一、函数的定义函数是一段封装好的代码块，可以反复调用。
在程序设计中，函数可以提高代码的复用性和可维护性。
在湘教版中，函数的定义方式如下：def 函数名(参数列表):函数体其中，def是函数的关键字，后面是函数名和参数列表。
函数名用于标识函数的名称，参数列表用于表示函数的参数。
在定义函数时，需要注意以下几点：1. 函数名要符合命名规范，一般以字母或下划线开头，可以包含字母、数字和下划线。
2. 参数列表是可选的，如果函数不需要参数，可以省略参数列表。
3. 函数体是函数的实际操作内容，是以冒号和缩进的方式来表示的。
例如，在湘教版中可以定义一个简单的函数，如下所示：def say_hello():print("Hello, world!")二、函数的调用函数定义好之后，可以通过函数名来调用函数。
在程序中调用函数时，需要注意以下几点：1. 函数名后面要加括号，表示函数的调用。
2. 如果函数有参数，需要在括号中传入相应的参数值。
3. 函数调用后，程序会执行函数体中的代码，并根据函数的返回值进行相应的操作。
例如，在湘教版中可以调用say_hello()函数，如下所示：say_hello()三、函数的参数传递在湘教版中，函数可以接受零个或多个参数。
参数用于在函数内部进行操作，可以是变量、常量或者表达式。
在进行函数参数传递时，需要注意以下几点：1. 函数的参数可以有默认值，也可以没有默认值。
2. 函数的参数可以是位置参数，也可以是关键字参数。
3. 在函数调用时，需要按照参数列表的顺序传入相应的参数值。
例如，在湘教版中可以定义一个带有参数的函数，并进行参数传递，如下所示：def add(a, b):return a + bresult = add(3, 4)print(result)四、函数的返回值在湘教版中，函数可以有返回值。
返回值是函数执行后返回给调用者的结果，可以是任意类型的值。
湘教版高中数学必修一课件1.2.2表示函数的方法
故 f(x)＝x2＋1.
课堂讲义
要点二 例2 换元法(或配凑法)求函数解析式
求下列函数的解析式：
1＋x 1＋x2 1 f x ＝ x2 ＋ x ，求
(1)已知
f(x)；
(2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
解
(1)法一
1＋x 1 1 (换元法)令 t＝ x ＝x ＋1，有 x＝ . t－1
1＋x 1＋x2＋2x－2x 1 (配凑法)∵f ＋x 2 x ＝ x
1＋x 2 1＋x－x 1＋x2 1＋x ＝ ＝ － － x ＋1， x x x
课堂讲义
∴f(x)＝x2－x＋1. 1＋x 1 又∵ x ＝x ＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)． (2)法一 (换元法)令 x＋1＝t(t≥1)，
课堂讲义 • 规律方法 1.作函数图象主要有三步：列表、 描点、连线．作图象时一般应先确定函数的 定义域，再在定义域内化简函数解析式，再 列表画出图象． • 2．函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是 一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图 象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的 顶点等等，特别要分清区间端点是实心点还 是空心点．Leabharlann 图象时，只需找到两个点即可．
3．函数 y＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)，所以函数与 x 轴的交点坐 标为 (－1,0) ，
(3,0)
．
预习导学 • [预习导引] • 1．表示函数的方法 对应法则 定义域 • (1) 把一个函数的和交待清楚的办法，就是表 示函数的方法； 解析法 图象法 • (2)表示函数的三种主要方法分别是：、和．
1＋x 1＋x2 1 f x ＝ x2 ＋ x ，得
湘教版初中数学八年级下册4.1.2 函数的表示法 1PPT课件
当堂练习
1.求下列函数中自变量x的取值范围：
x≠0
x≠-1
x≥0
x为一切实数
x≥2
x为一切实数
2.某人从甲地出发，骑摩托车去乙地，共用2小时.已知摩 托车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的关 系如下图所示.假设这辆摩托车每行驶100千米的耗油量 为2升，根据图中提供的信息，这辆摩托车从甲地到乙地 共耗油__0_._9___升，请你用语言简单描述这辆摩托车行驶 的过程.
三 从函数的图象中获取信息
函数关系用图象表示，直观、形象，容易从中了 解函数的一些变化情况．
下面我们来看一个实际问题
例2 王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要 活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷 爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距 离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始 爬山时计时），看图回答下列问题：
问题3：汽车刹车问题
由此你发现了什么？
表示函数关系主要有三种方法：列表法、解析法、图象法
列表法
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格来 表示函数关系的方法叫做列表法.
例如：问题1
解析法
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析法. 例如：问题3
图象法
如果把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值 分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出 它对应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图 象，用图象来表示两个变量间的函数关系的方法叫做 图象法.
优翼 课件
学练优八年级数学下（XJ） 教学课件
第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法
4.1.2 函数的表示法
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
八年级数学上册(湘教版)第二章一次函数知识点
• 4、求一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与两坐 标轴的交点的方法是； • 令x=0，则得y=b，而得与y轴的交点坐标为 （0，b）； • 令y=0，则得x=-b/k，而得与x轴的交点坐标 为（-b/k，0）
• 3．一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)性质
正比例函数 y=kx（k≠0） 一次函数 y=kx+b（k≠0，且b≠0）
一次函数知识点
一、函数和它的表示法
• 1.函数的概念 如果变量 y 随着变量 x 而变化，并且对于 x 取 得每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那 么称 y是x 的函数(function)，记作y ＝f (x). 这里的f (x)是英文a function of x ( x 的函数)的 简记. 这时把 x 叫作自变量( argument ), 把 y 叫作因变量( dependent variable). • 2. 在讨论的问题中，取值会发生变化的量称为变 量(variable)，取值固定不变的量称为常量(或常 数)(constant).
3、函数的三个表示方法：
1、列表法 ：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法。 好处是自变量的值与因变量的对应值看得很清楚。
2、公式法 :用式子来表示两个变量之间函数关系的方法. 好处是可以直观地计算函数值。
3、图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法。好处 是可以直观地看出因变量如何随着自变量而变化。
与两坐标轴的交点（0，b） 为和（－b/k，0） 必过一、三象限 。b>0,又过 一、二象限，b<0过三、四象限 必过二、四象限。b>0,又过 一、二象限，b<0过三、四象限
经过原点（0，0）
k ＞0 k ＜0
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第4章 一次函数 函数的表示法
知识要点 函数的三种表示法：图象法、列表法、公式法．
1 4 9 16 25 36 49
y = 2.88x
这样的式子称为 函数的表达式
函数三种表示方法的区别
图象法
列表法
公式法
定义 实例
用图象来表 示两个变量 间的函数关 系的方法
问题1
通过列出自变 量的值，与对 应函数值的表 格来表示函数
（4）
如右图所示.
y 40
6 35 30
16 25
20 15 10 5
O
5
10 x
做一做
已知等腰三角形的面积为 30 cm2，设它的底边
长为 x cm，底边上的高为 y cm.
(1) 求底边上的高 y 随底边长 x 变化的函数表达
式，并写出自变量的取值范围．
(2) 当底边长为 10 cm 时，底边上的高是多少?
小时，然后休息半小时，再以同样
的速度行驶半小时到达乙地.
3. 用列表法与公式法表示 n 边形的内角和 m (单位：度) 与边数 n 的函数关系. 解：∵ n 表示的是多边形的边数， ∴ n 是大于等于 3 的自然数．列表如下：
n 3 4 5 6… m(度) 180 360 540 720 …
∴ m = (n - 2)·180°（n≥3，且 n 为自然数）．
第4章 一次函数
4.1 函数和它的表示法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4.1.2 函数的表示法
回顾与思考 下列各式中的变量 y 是不是 x 的函数？
（1） y = 2x
是
（2） y + 2x = 3
是
（3） y = x (x≥0) 是
初中数学湘教版八年级下册4.1函数和它的表示法
变量与函数教学目标知识与技能：借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。
初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
过程与方法：借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
情感态度与价值观：从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。
学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
教学重难点重点:借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念难点:怎样理解“唯一对应”教学过程一、创设情境、导入新课我们生活在一个运动的世界中，周围的事物都是运动的，例如：地球在宇宙中的运动这一问题，此时地球在宇宙中的位置随着时间的变化而变化，这是生活中的常识，学生都很容易理解。
再例如，气温随着高度的升高而降低，年龄随着时间的增长而增长。
这几个问题中都涉及两个量的关系，地球的位置与时间，温度与高度，年龄与时间。
二、合作交流、解读探究1、气温问题：上图是北京春季某一天的气温Ｔ随时间t变化的图象，看图回答：（1）这天的8时的气温是℃，14时的气温是℃，最高气温是℃，最低气温是℃；（2）这一天中，在4时~12时，气温（），在16时~24时，气温（）。
A.持续升高B.持续降低C.持续不变思考：（1）天气温度随的变化而变化，即T随的变化而变化；（2）当时间t取定一个确定的值时，对应的温度T的取值是否唯一确定？2、当正方形的边长x分别取1、2、3、4、5、6、7……时，正方形的面积S分别是多少？3、某城市居民用的天然气，1m3收费2.88元，使用x（m3）天然气应缴纳费用y=2.88x ,当x=10时，缴纳的费用为多少？思考：上述三个问题中，分别涉及哪些量的关系？那些量是变化的？那些量是不变的？哪个量的变化导致另一个量的变化而变化？在一个问题中，当一个量取了确定的值之后，另一个量对应的能取几个值？在上面的三个问题中，其中一个量的变化引起另一个量的变化（按照某种规律变化），变化的量叫做变量；有些量的值始终不变（例如正方形的面积……）．并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。
湘教版八下数学4.1.2《函数的表示法(一)》教学设计
湘教版八下数学4.1.2《函数的表示法（一）》教学设计一. 教材分析湘教版八下数学4.1.2《函数的表示法（一）》这一节主要介绍了函数的表示方法，包括列表法、图象法和解析式法。
教材通过具体的例子让学生了解和掌握这三种表示方法，并能够根据实际情况选择合适的表示方法。
本节内容是学生学习函数知识的基础，对于学生理解函数的概念和性质具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了代数、几何等基础知识，对于数学概念和逻辑推理有一定的理解。
但函数作为一个新的数学概念，其表示方法与以往的数学知识有很大的不同，需要学生进行一定的适应和理解。
同时，学生对于函数的实际应用还不够了解，需要通过实例来加深理解。
三. 教学目标1.了解函数的表示方法，包括列表法、图象法和解析式法。
2.能够根据实际情况选择合适的表示方法。
3.理解函数的概念和性质，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.函数的表示方法，特别是图象法和解析式法的理解。
2.函数的概念和性质的理解。
五. 教学方法1.采用实例教学法，通过具体的例子让学生了解和掌握函数的表示方法。
2.采用问题驱动法，引导学生思考和探索函数的性质。
3.采用分组讨论法，让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.准备具体的例子，用于讲解和展示函数的表示方法。
2.准备相关的问题，用于引导学生思考和探索函数的性质。
3.准备分组讨论的题目，用于培养学生的合作能力。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入函数的概念，例如“一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，求行驶100公里需要的时间”。
让学生思考和讨论如何表示这个问题中的函数关系。
2.呈现（10分钟）呈现三种函数的表示方法：列表法、图象法和解析式法。
通过具体的例子进行讲解和展示，让学生了解和掌握这三种表示方法。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个例子，用三种不同的表示方法进行表示。
湘教版八下数学4.1.2《函数的表示法(一)》说课稿
湘教版八下数学4.1.2《函数的表示法（一）》说课稿一. 教材分析湘教版八下数学4.1.2《函数的表示法（一）》这一节主要介绍了函数的表示方法。
在初中阶段，学生已经学习了函数的概念和简单的函数性质，本节课是进一步引导学生学习函数表示方法的重要环节。
通过本节课的学习，学生将掌握函数的图像表示法、表示法和解析式表示法，为后续学习函数的性质和图像变换打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和空间想象力，他们对函数概念和性质有一定的了解。
但在表示方法上可能还存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要关注学生的认知水平，引导他们通过直观的图形和实际的例子来理解和掌握函数的表示方法。
三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握函数的图像表示法、表示法和解析式表示法，能根据实际问题选择合适的表示方法。
2.过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生自主探索函数的表示方法，培养学生的抽象思维能力和创新意识。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结协作、勇于探究的精神。
四. 说教学重难点1.重点：函数的图像表示法、表示法和解析式表示法的理解与应用。
2.难点：如何引导学生从实际问题中抽象出函数的表示方法，以及如何灵活运用各种表示方法解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、案例教学、合作学习等方法，引导学生主动参与、积极思考。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等工具，为学生提供丰富的学习资源，增强直观感受。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引发学生对函数表示方法的思考，激发学生的学习兴趣。
2.自主探究：让学生通过观察、分析、归纳等方法，自主探索函数的表示方法。
3.小组讨论：学生分小组讨论，分享自己的探究成果，互相学习，培养学生的合作精神。
4.教师讲解：教师针对学生的探究成果进行点评和讲解，引导学生正确理解函数的表示方法。
5.实践应用：让学生通过解决实际问题，运用所学知识，巩固对函数表示方法的理解。
湘教版八年级数学课件-函数的表示法
n個 周長 y
n 1 2 3 4 5 6 7 8… y
(2) 試用公式法表示這個函數關係. (3) 試用圖象法表示這個函數關係.
(1) 當只有1個等邊三角形時，圖形的周長為3， 每增加1個三角形，周長就增加1，因此填表如下：
n 1 2 3 4 5 6 7 8… y 3 4 5 6 7 8 9 10 …
練習
3. 如圖是A 市某一天內的氣溫隨時間而變化的函數圖象， 結合圖象回答下列問題：
（1）這一天中的最高氣溫是多少？是上午時段，還是 下午時段？
（2）最高氣溫與最低氣溫相差多少？ （3）什麼時段，氣溫在逐漸升高？什麼時段，氣溫在
逐漸降低？
答：（1）24℃，下午時段； （2）16℃；
（3）2:00—14:00時段，氣溫逐漸升高； 0:00—2:00和14:00—24:00時段， 氣溫逐漸降低.
x
1234
y
32 14
這個表給出了y是x的函數.畫出它的圖象，它 的圖象由幾個點組成？
x
1234
y
3214
y
答：圖象由4個點組成. 4
3 2 1
O 12 3 4
x
練習
2. 等腰三角形的底角的度數為x，頂角的度數為y，寫出y 隨x 而變化的函數運算式，並指出引數x的取值範圍.
答： y = 180°-2x（ 0°＜x ＜ 90°）.
(2) n是引數，y是因變數，周長y與三角形個數n 之間的函數運算式是y = n+2（n為正整數）.
(3) 因為函數y = n+2中，引數n的取值範圍是正整數集， 因此在平面直角坐標系中可以描出無數個點，這些點 組成了y = n+2的函數圖象，如圖4-4.
八年级数学下册4.1.2函数的表示法一课件新版湘教版
3.为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收 费标准：每户每月的用水不超过10吨时，水价为每吨 1.2元；超过10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费，该 市某户居民5月份用水x吨（x >10），应交水费y元，求 y关于x的函数解析式？y=10×1.2+(x-10)×1.8=1.8x-6 想一想:去掉条件x >10，结果又将如何?
老师没提了一个问题，同学们就应当立即主动地去思考，积极地寻找答案，然后和老师的解答进行比较。通过超前思考，可以把注意力集中在对这些“难点”的理解 上，保证“好钢用在刀刃上”，从而避免了没有重点的泛泛而听。通过将自己的思考跟老师的讲解做比较，还可以发现自己对新知识理解的不妥之处，及时消除知识 的“隐患”。
二、同步听课法
有些同学在听课的过程中常碰到这样的问题，比如老师讲到一道很难的题目时，同学们听课的思路就“卡壳“了，无法再跟上老师的思路。这时候该怎么办呢？
如果“卡壳”的内容是老师讲的某一句话或某一个具体问题，同学们应马上举手提问，争取让老师解释得在透彻些、明白些。
如果“卡壳”的内容是公式、定理、定律，而接下去就要用它去解决问题，这种情况下大家应当先承认老师给出的结论（公式或定律）并非继续听下去，先把问题记 下来，到课后再慢慢弄懂它。
列表法
n 1 2 3 4 5 6 7 8…
y 3 4 5 6 7 8 9 10 …
(2) 试用公式法表示这个函数关系.
y=n+2(n为正整数) 公式法
图像法
(3) 试用图象法 表示这个函数关系.
图像上的点可以用直 线连结吗？为什么？
例. 某天7时，小明从家骑自行车上学，途中因 自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑 行，按时赶到了学校. 图反映了他骑车的整个过 程，结合图象，回答下列问题：
3.1.2表示函数的方法 课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
简明，全
面
准确
解析法
缺点
抽象，不
直观
知讲授
[例]某地在山区修建水库大坝，坝高随山势起伏在10米到50米之
间。已知坝体的横断面为梯形，上底a为30米，下底b与坝高x之间
满足关系式：b=30+4x。为估计修建大坝的土方量，需要把横截面
积表示为坝高的函数y=S(x),试着写出该函数的解析式及其定义域，
2 = 4
所以：
+1 =8
= 2 + + 1
= 4 + 8
8
所以f(x)=2x+
3
=2
8
=
3
或f(x)=-2x+8
或
= −2
=8
巩固练习
解: (3)因为： f x − 1 = x 2 − 2x = − 1
2
−1
所以 = 2 − 1
(4)已知 f
x−1 =x−2 x
3.1函数
3.1.2表示函数的方法
新课导入
在初中阶段我们学习过用数学表达式、函数表或者函数图像来
表示函数，这是表示函数的主要三种方法，分别叫作：解析法、列
表法和图像法。
下面让我们一起来学习这三种方法是如何表示函数的。
新课讲授
解析法
把常量和表示自变量的字母用一系列的运算符号
连接起来得到的式子。
优点
（4）已知f
x − 1 = x − 2 x,求f(x)的解析式。
巩固练习
解: (1) 由于f x = 2x 2 + 1
所以f x + 1 = 2( + 1)2 +1 = 2 + 4 + 3
最新湘教版初中数学下册 4.1.2 函数的表示法1(1)
4．1.2 函数的表示法1．了解函数的三种不同的表示方法；(重点)2．在实际情境中，会根据不同的需要，选择恰当的函数的表示方法；(重点)3．函数三种表示方法的优点的认识．(难点)一、情境导入 问题：(1)某人上班由于担心迟到所以一开始就跑，等跑累了再走完余下的路程，可以把此人距单位的距离看成是关于出发时间的函数，想一想我们用怎样的方法才能更好的表示这一函数呢？(2)生活中我们经常遇到银行利率、列车时刻、国民生产总值等问题，想一想，这些问题在实际生活中又是如何表示的？二、合作探究探究点：函数的表示方法【类型一】 用列表法表示函数关系有一根弹簧原长10厘米，挂重物后(不超过50克)，它的长度会改变，请根据下面表格中的一些数据回答下列问题：(1)要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物多少克？(2)当所挂重物为x 克时，用h 表示总长度，请写出此时弹簧的总长度的函数表达式；(3)当弹簧的总长度为25厘米时，求此时所挂重物的质量为多少克？解析：(1)根据挂重物每克弹簧伸长0.5厘米，可知要伸长5厘米需挂重物质量；(2)根据挂重物与弹簧伸长的关系，可得函数解析式；(3)根据题意求出函数值，可得所挂重物质量．解：(1)5÷0.5×1＝10(克)，答：要想使弹簧伸长5厘米，应挂重物10克；(2)函数的表达式为h ＝10＋0.5x (0≤x ≤50)；(3)当h ＝25时，25＝10＋0.5x ，x ＝30. 答：当弹簧的总长度为25厘米时，此时所挂重物的质量为30克．方法总结：列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用．如成绩表、银行的利率表等．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习 【类型二】 用图象法表示函数关系 如图所示，修建高速公路的过程迫停工几天，暴雨过后施工队加快了施工进度，按时完成了工程任务，下面能反映该工程未修建的公路里程y (千米)与时间x (天)之间的函数关系的大致图象是( )解析：∵y表示未修建的公路里程，x 表示时间，∴y由大变小，∴选项A、D错误；∵施工队在工作了一段时间后，因暴雨被迫停工几天，随后加快了施工进度，∴y随x 的增大减小得比开始的快，线段与x轴夹角变大．∴选项C错误，选项B正确．故选B.方法总结：在选择合适图象时，要先弄清横纵坐标表示的意义，再根据描述找出关键转折点，分析转折前后是否都均匀变化，确定图象的线条是直线还是曲线．变化的趋势是快是慢，则可用与x轴的夹角来表示出来．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习如图描述了一辆汽车在某一直路上的行驶过程，汽车离出发地的距离s(km)和行驶时间t(h)之间的关系如图，请根据图象回答下列问题：(1)汽车共行驶的路程是多少？(2)汽车在行驶途中停留了多长时间？(3)汽车在每个行驶过程中的速度分别是多少？(4)汽车到达离出发地最远的地方后返回，则返回用了多长时间？解：(1)由纵坐标看出汽车最远行驶路程是120千米，往返共行驶的路程是120×2＝240(千米)；(2)由横坐标看出，2－1.5＝0.5(小时)，汽车在行驶途中停留了0.5小时；(3)由纵坐标看出汽车到达D点时的路程是120千米，由横坐标看出到达D点时的时间是3小时，由此算出平均速度120÷3＝40(km/h)；由纵坐标看出返回的路程是120千米，由横坐标看出，4.5－3＝1.5(小时)，汽车返回家用了1.5小时，由此算出平均速度是120÷1.5＝80(km/h)；(4)由横坐标看出4.5－3＝1.5(小时)，返回用了1.5小时．方法总结：图象法的优点：直观形象地表示自变量与相应的函数值变化的趋势，有利于我们通过图象来研究函数的性质．图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习【类型三】用解析法表示函数关系一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)．(1)写出y与x的关系式；(2)这辆汽车行驶35km时，剩油多少升？汽车剩油12升时，行驶了多千米？解析：(1)根据总油量减去用油量等于剩余油量，可得函数解析式；(2)根据自变量，可得相应的函数值，根据函数值，可得相应自变量的值．解：(1)y＝－0.6x＋48；(2)当x＝35时，y＝48－0.6×35＝27，∴这辆车行驶35千米时，剩油27升；当y ＝12时，48－0.6x＝12，解得x＝60，∴汽车剩油12升时，行驶了60千米．方法总结：解析法有两个优点：一是简明、精确地概括了变量间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．变式训练：见《课堂点睛》本课时练习三、板书设计1．函数的三种表示方法及其优点：(1)解析法：可以方便地计算函数值；(2)列表法：自变量取的值与因变量取的值看得很清楚；(3)图象法：直观看出因变量如何随自变量变化．函数表示法这节课的难点在于针对不同的问题如何对这三种方法进行选择．针对这个问题，通过让学生对例子进行比较来解决．这样学生通过对不同例子的比较就能很好的区分这三种方法，并学会选择合适的方法.。
湘教版八年级下册4.1函数和它的表示法课件(共23张PPT)
4.1 函数和它的表示法
(4)图像上最高点的坐标是____, 最低点的 坐标是____. (5)当x=______时, 函数有最大值是______； 当x=_______时, 函数有 最小值是_______. (6)当x=________时, 函数值y=0； 当x=____时, 函数值y=-2.
4.1 函数和它的表示法
(3)y=
型, 被开方数1-2x为非负数且
不能为0,
即1-2x>0.
4.1 函数和它的表示法
题型三 从函数的图像中获取信息
例题3 图4-1-8是一个函数的图像, 观察图 像, 回答下列问题： (1)函数自变量x的取值范围是____. (2)函数值y的取值范围是______. (3)图像与y轴的交点坐标是______, 与x轴的 交点坐标是______.
4.1 函数和它的表示法
A．小莹的速度随时间的增大而增大 B．小梅的平均速度比小莹的平均速度大 C．在起跑后180秒时, 小梅追上小莹 D．在起跑后50秒时, 小梅在小莹的前面
答案:D
4.1 函数和它的表示法
分析
选项
A
B
C
D
要点 分析
速度大, 即函 数 “追上”表 示
OA是直 线,
在前面, 表
值变化大, 图像 两人走的 路程
4.1 函数和它的表示法
分析 (1)易得m=20n. (2)令20n=1000, 解得 n=50. (3)要求自变量n的取值范 围, 因为每分钟可写 20个字, 所以n是 的整数倍, 自变量n的最大值就 是该 同学完成这篇文章所用的时间. (4)当m=660时, 由20n=660解出n的值就是该 同学写完660个字所用 的时间. (5)当20n=800时, 求出n的值, 用50减去该值 就得到该同学写了800个字后还需要的时间.
湘教版函数和它的表示方法(一)
③ y要通过与x之间的关系求得，并且有唯一的值与x相 对应; ④ 取值的变量叫自变量，通过一定的关系随自变量变化 而变化的变量叫自变量的函数.
⑤自变量与函数是可以互相转化的，是相对的，但一般 情况下约定y是函数，x是自变量.
例2、写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常
量与变量 (1)圆的周长C 与半径 r 的关系式;
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变 化，相应地气温T（℃）也随之变化。
问题2:2002年7月中国工商银行为“整存整取”
的存款方式规定的利率（如下表）
这道题中哪些量是变化的？是如何变化的？
随着存期x的增长，相应的利率y也增大。
问题3: 圆面积s与半径r的关系：
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r 表示圆的半径，S表示圆的面积。 πr2 则S与r之间满足下列关系：S＝______。
解：C = 2πr 2π是常量; C 与 r是变量
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它 驶过的路程
s (千米） 和所用时间 t （时）的关系式;
解：S = 60t
60是常量; S与t是变
量. (3) n 边形的内角和S 与边数 n 的关系式.
解：S = (n-2)· 0 =1800 · 180 n-3600
课堂检测：
1、在y=3x+1中，如果x 是自变量， y _____是x的函数。
2、下列说法中，不正确的是（ C ） A、函数不是数，而是 一种关系 B、多边形的内角和是边数的函数 C、一天中时间是温度的函数 D、一天中温度是时间的函数 3、正方形的边长为5 cm,当边长减少x cm 时，周长为y cm，求y与x的函数关系式。
例1：
(2) y
新湘教版必修1高中数学表示函数的方法
第fi m /lol YIZH ANG集令身国数1. 2.2表示函数的方法rrw函数的表示法问題创设1 .在初中我们就已经学过函数的三种表示方法，你能说出是哪三种方法吗？下表给出3 •通过以上实例，你能描述出函数的这三种表示法的特点吗？并且能说出它们的优劣吗？知识捜索 函数的表示法表示法 定义解析法 用解析式来表示函数的方法列表法 列出表格来表示两个变量之间的对应关系的方法 图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法尝试应用1 •同一函数是否可以同时用以上三种方法表示？［提示］不一定，如函数 y = x + 1, x € R ，不可能用列表法来表示. 2 .某教师每周的课时数列表如下：X （星期） 1 2 3 4 5 Y （节次）24531［提示］定义域是｛1,2,3,4,5｝，值域为｛2,4,5,3,1｝.抽象问題情境了 y 与x 的关系，是函数关系吗？若是，使用的是哪种表示方法?函数的表示法［例1］某商场新进了10台彩电，每台售价 3 000元，试求售出台数的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.［解］⑴列表法:X/台12345y/元 3 000 6 0009 00012 00015 000X/台678910y/元18 00021 00024 00027 00030 000⑵图象法:“元30 0003 000 *⑶解析法：y= 3 000x, x € {1,2,3,…，10}.理解函数的表示法3个关注点(1) 列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论用哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念.⑵判断所给图象、表格、解析式是否表示函数的关键在于是否满足函数的定义.(3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主.1 .已知函数f(x), g(x)分别由下表给出.x与收款数y之间借题发挥高频若点题组化.名师一点就通则f(g(1))的值为当 g(f(x ))= 2 时，x = _________ .解析：由于函数关系是用表格形式给出的，知g(l) = 3,二 f(g(1)) = f(3)= 1•由于 g(2)= 2,••• f(x) = 2,.・.x = 1. 答案：11(1)f( x - 1) = x + 2 x ，求 f(x); ⑵已知f(x)是一次函数，且 f[f(x)] = 4x + 3,求f(x).[思路点拨]⑴令x - 1~得x =(t + 1)J 代入已知条件 T 得f(x).⑵设f(x)解析式T 代入已知条件 T 比较系数T 得f(x). [解](1)令 t = x - 1，则•.x = t + 1 , • x =(t + 1)2,• f(t)= (t + 1)2+ 2(t + 1) = t 2 + 4t + 3, 又 t + 1= x > 0,二 t > — 1,故所求解析式为f(x)= x 2 + 4x + 3(x > — 1). (2)设 f(x) = ax + b(a ^ 0),则 f[f(x)] = f(ax + b) = a(ax + b) + b = a 2x + ab + b = 4x + 3,2 .求下列函数的解析式：(1)已知 f x —x = x 2+ 負+ 1，求 f(x). ⑵已知 f(x) + 2f(— x) = x 2 + 2x ，求 f(x). ⑶已知f(x)是二次函数，且满足f(0) = 1, f(x + 1) — f(x) = 2x ，求f(x)解析式.[例2]求下列函数的解析式:a 2= 4, ab + b = 3,广a = 2, 解得*b = 1,故所求的函数为 f(x)= 2x + 1或f(x) = — 2x — 3. 求函数解析式的4种常用求法 (1)配凑法：由已知条件 f(g(x)) = F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以 代g(x)，便得f (x )的表达式；⑵待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；⑶换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；⑷解方程组法：已知关于f(x)与f :或f(— x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).b =— 3.借题 发 挥解：⑴f a x r 卜 X )+2+1=A x )+3./• f(x)= x 2+ 3.(2) •/ f(x) + 2f(-x) = x 2+ 2x ，①•••将 x 换成—x ,得 f(- x)+ 2f(x) = x 2- 2x.② •••由①②得 3f(x) = x 2- 6x ,「. f(x)= 3x 2- 2x.⑶设 f(x) = ax 2 + bx + c(a z 0)，: f(0) = 1,二 c = 1. •/ f(x + 1)-f(x) = 2x ,2 2• a(x + 1) + b(x + 1)+ 1 — (ax + bx + 1) = 2x , • 2ax + (a + b)= 2x , 2a = 2, 七a +b = 0,［例3］作出下列各函数的图象： (1) y = 1 — x ， x € Z ; 2(2) y = 2x - 4x - 3,0< x v 3; (3) y = |x - 1|.［思路点拨］根据定义域，结合解析式的特征描点作图. ［解］(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线 y = 1- x 上，••• x € Z ,从而y € Z ,这些点称为整点(如图(1)). (2) •/ 0< x v 3, •这个函数的图象是抛物线y = 2x 2- 4x - 3介于O w x v 3之间的一部分(如图(2)).E7-SH函数的图象的作法及应用a = 1,b =- 1(3)所给函数可写成分段函数 (称为“羊角”)，如图(3). x - 1, 1 - x , x > 1 , x v 1 ,I23 .已知函数f(x)的图象关于y 轴对称，当x > 0时，f(x)= x — 2x. (1)画出函数f(x)的图象.⑵依据函数f(x)的图象比较f(— 3)与f(4)的大小. ⑶当X 1VX 2V — 1时能否确定f(X 1)与f(X 2)的大小.解：(1) f(x)的图象如图所示。
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创设情境：
大千世界处在不停的运动变化之中,如何 用数学来研究这些运动变化并寻找规律呢？
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
在日常学习和生活中，我们常要研究一些数 量关系： 小明到商店买练习簿，每本单价2元，购买的
总数x（本）与总金额y（元）的关系式，可以表
y=2x 示为_____________。 其中y随x的变化而变化。
2、函数的概念：
一般地，在一个变化过程中有两个变量x与y， 如果对于x每 一个值，y都有唯一的值与它对应， 那么就说x是自变量，y是因变量，此时也称 y 是x的函数。 记作y=f（x）.
对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应 值称为函数值，记作f(a)
【对于函数的概念的理解】
① 在某个变化过程中有变量且应为两个； ② 对于x的每一个值是指在 x 允许的取值范围内取值；
1800与3600是常量;S与n是变量.
例3、根据所给的 条件，写出y与x的函数关系式：
1 1、y 比 x的 少2。 3
y 1 3 x2
4 x
2、y 是 x的 倒数的4倍。
y
3、矩形的周长是18 cm ,它的长是 y cm，宽是x cm。 y 1 (1 8
2
x)
4、等腰三角形的顶角度数y与底角x 的关系。 y 180 2 x
问题1：某地一天内的气温变化如图。
这张图告 诉我们哪 些信息？
图 17.1.1 看图回答： （1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻， 说出这一时刻的气温． （2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ （3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
y=4(5-x) 即: y=20-4x
小结
1、变量、常量的概念。 2、函数的概念。
作业：P32说一说 P36习题第1，2题
课堂检测：
1、在y=3x+1中，如果x 是自变量， y _____是x的函数。
2、下列说法中，不正确的是（ C ） A、函数不是数，而是 一种关系 B、多边形的内角和是边数的函数 C、一天中时间是温度的函数 D、一天中温度是时间的函数 3、正方形的边长为5 cm,当边长减少x cm 时，周长为y cm，求y与x的函数关系式。
解：C = 2πr 2π是常量; C 与 r是变量
(2)火车以60千米/时的速度行驶,它 时）的关系式;
解：S = 60t
60是常量; S与t是变
量. (3) n 边形的内角和S 与边数 n 的关系式.
解：S = (n-2)· 0 =1800 · 180 n-3600
请填表并思考：圆的面积与半径的关系？
3.14 7.07 12.56 21.23 32.15
可以看出：圆的半径越大，它的面积就 越大。
概括
1、常量与变量：
在某一变化过程中始终保持不变的量，称为常量。
在某一变化过程中可以取不同数值的量，叫做变量。
注意：常量与变量必须存在与一个变化 过程中。判断一个量是常量还是变量， 需这两个方面：①看它是否在一个变化 的过程中；②看它在这个变化过程中的 取值情况。
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变 化，相应地气温T（℃）也随之变化。
问题2:2002年7月中国工商银行为“整存整取”
的存款方式规定的利率（如下表）
这道题中哪些量是变化的？是如何变化的？
随着存期x的增长，相应的利率y也增大。
问题3: 圆面积s与半径r的关系：
圆的面积随着半径的增大而增大．如果用 r 表示圆的半径，S表示圆的面积。 πr2 则S与r之间满足下列关系：S＝______。
③ y要通过与x之间的关系求得，并且有唯一的值与x相 对应; ④ 取值的变量叫自变量，通过一定的关系随自变量变化 而变化的变量叫自变量的函数.
⑤自变量与函数是可以互相转化的，是相对的，但一般 情况下约定y是函数，x是自变量.
例2、写出下列各问题中的关系式,并指出其中的常
量与变量 (1)圆的周长C 与半径 r 的关系式;
例1：
(2) y
指出下列关系式中的变量与常量：
(1) y 5 x 6
6 x
(3)
y 4x 5x 7
2
(4) S r
2
解：（1）5和-6是常量，x和y是变量。 （2）6是常量，x、y是变量。 （3）4、5、-7是常量，x、y是变量。
（4）兀是常量，s、r是变量。
概括