第 9 章 可靠性数据检验与分 布参数 估 计
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单一截尾与多重截尾：单一截尾是只有一个截尾点。如果100个传感器置于一个检测台上，检 测在1000小时后完成，在1000小时处有一个截尾点。如果在测试1000小时后有20个没有失 效，测试1200小时后还有15个未失，这时就有2个截尾点，结果数据是多重截尾的。如果确 切的失效时间未知，但是在一个时间区间内失效的次数被记录到了，那么这就是区间数据或 成组数据。
实验室试验是在实验室内模拟现场情况进行的试验。在实验室中也可以进行影响寿命的 单项因素试验，还可以进行加速试验。
第9章 可靠性数据检验与分布参数估计
9.1.1 可靠性试验
无论通过那种途径获取可靠性数据，要等到全部观测对象失效，都需要很长的时间。根据统计学理 论，在只有部分试样失效时，也能获得有关的可靠性指标。因而，视可靠性试验的目的不同，有些 试验可以在进行到一定时间即可停止。按试验截止情况，可分为定数截尾和定时截尾试验两种。
定数截尾试验是试验到预定的失效样品数时停止试验。定时截尾试验是试验到规定的时间时停止试 验。
根据试验中试样失效后是否用新试样替换，可分为有替换试验和无替换试验。
截尾数据以可划分为：
Ⅰ型截尾（定时截尾）：在一项试验中，对多件样品同时进行试验，出现失效后也可以补充新 样品，试验在一段预定时间后结束。例如，在试验台上同时测试100个轴承，并且在1000小时 后结束测试，而不管发生失效的轴承数量有多少，这样的试验就是定时截尾试验。在这个例子 当中，试验时间是固定的，而失效数据数量为随机变量。
所需矩的数目取决于被估计的参数的数目。
2.极大似然估计
极大似然估计法是一种应用广泛的估计参数的方法。其基本原理是，通过使已知样本出现的概 率最大化的方法来确定参数值。
令
是服从概率密度函数 的独立随机变量，其中 是唯一的分布参数。那么
x1, x2 ,..., xn
f (x, )
(9-4)
就是随机变量的联合分布或似然函数。 分布参数的极大似然估计值 ，是使似然函数取最大值的 。
对于概率密度函数为f(x, )，累积分布函数为F(x, )的随机变量，如果只知道其样本中 的前k个顺序统计量x(1), x(2), …, x(k)，而关于其它n-k个样本的已知信息只是大于x(k)，这 种情况下的似然函数形式为
(9-7)
k
L(x1, x2,...xn; )
f ( x(i), )[1 F ( x(k ), )]nk
样品序号 1 2 3 4 5 6 7 8
失效时间 35 45 55 ＞60 ＞60 ＞60 ＞60 ＞60
很明显，只用三个失效样本平均值及标准偏差不能用来估算这个案例中的分布参数。这三个 样本平均值为（35+45+55）/3=45。存活下来的五个数据中每个对应的失效时间都大于60， 因此真实的样本均值要比45大的多。
i 1
如果只知道第i个样本在运行时间段[0-xi]（xi为已知量）内是否失效，不知道准确的失效时间， 则有如下似然函数
L(x1, x2 ,... xn ; ) f (x1, ) f (x2 , )... f (xn , )
ˆ
为了便于计算，通常先将似然函数取自然对数，即
n
ln L(x1, x2,...xn; ) ln f (xi, )
(9-5)
解方程
i 1
(9-6)
即可求得分布参l数n L的(估wenku.baidu.com1计,值x。2,..., xn , ) 0
四种组合形式：
⑴ 有替换定时截尾寿命试验； ⑵ 有替换定数截尾寿命试验； ⑶ 无替换定时截尾寿命试验； ⑷ 无替换定数截尾寿命试验。
9.1.2 可靠性试验数据
可靠性数据多种多样，很重要的一类是截尾数据。通过试验或现场记录获得的数据可能 既包括失效数据，也包括不失效数据。以下表种的数据为例，在试验台上进行八个产品 的试验；其中的三个失效了，五个到试验结束时还没有失效。
对均值的二阶矩等于分－布的方差：
其中
E
(x
)2
i
xi2 f (xi ) 2
是分布均值。
x2
f
( x)dx
2
如果X 是离散的 如果X 是连续的
(9-3)
对于正态 分布等，这些矩提供了参数的直接估计量。
对于威布尔、对数正态和伽玛分布等，分布参数需要通过令样本矩等于理论矩来解出分布参数。
II型截尾（定数截尾）：试验中最初有多个样品，试验到指定数量的样品失效时结束。例如， 在在试验台上同时对100个轴承进行试验，并且在出现30个失效后终止试验。这样的试验就是 定数截尾试验。在这个例子中，失效样品的数量是事先指定的，而试验时间是随机变量。
以上属于右截尾的情况，即如果一个样品失效的时间未知的原因是，该样品在试验结束时还 没有失效，那么就产生了右侧被截尾的数据。如果一个样品已经失效，但不能确定准确失效 时间的原因是不知道该样品是何时投入试验的，那么就产生了左截尾数据。
要根据这样的观测数据估计样本的可靠度，有如下的Kaplan-Meier公式：
(9-1)
R(t) (1 1 )
{i:ti t}
ni
9.1.4 参数估计 1.矩估计
一阶原点矩等于分布的平均值：
xi f (xi ) 如果x是离散随机变量
E(x) ｛ i
(9-2)
xf (x)dx 如果x是连续随机变量
第9章 数据检验与分布参数估计
9.1 可靠性试验与可靠性数据 9.1.1 可靠性试验
可靠性分析需要可靠性数据。 可靠性数据可以通过记录现场失效获得，也可以通过可靠性试验获得。 可靠性试验是指为了获得可靠性数据、验证及提高产品的可靠性水平而进行的试验。
现场试验反映的是产品在使用条件下实际失效情况，最能说明产品的可靠性水平。
因此，需要处理截尾试验数据的方法。
9.1.3 截尾数据统计推断
假设观测母体包括n个样本，在t0=0时投入运行。运行过程中，有些样本发生了失效，也 会有样本退出运行。记录的数据包括每个失效产品的失效时间和各失效发生前仍在运行 的样本数量。
令发生失效的时间为t1,t2, ……, tk按从不到大的顺序排列，ni为时刻ti之前仍在运行的样本 数，wi为在(ti-1)－ti时间段内退出运行（并未发生失效）的样本数。显然，n1=n-w1, n2=n1-1-w2，以此类推。
实验室试验是在实验室内模拟现场情况进行的试验。在实验室中也可以进行影响寿命的 单项因素试验，还可以进行加速试验。
第9章 可靠性数据检验与分布参数估计
9.1.1 可靠性试验
无论通过那种途径获取可靠性数据，要等到全部观测对象失效，都需要很长的时间。根据统计学理 论，在只有部分试样失效时，也能获得有关的可靠性指标。因而，视可靠性试验的目的不同，有些 试验可以在进行到一定时间即可停止。按试验截止情况，可分为定数截尾和定时截尾试验两种。
定数截尾试验是试验到预定的失效样品数时停止试验。定时截尾试验是试验到规定的时间时停止试 验。
根据试验中试样失效后是否用新试样替换，可分为有替换试验和无替换试验。
截尾数据以可划分为：
Ⅰ型截尾（定时截尾）：在一项试验中，对多件样品同时进行试验，出现失效后也可以补充新 样品，试验在一段预定时间后结束。例如，在试验台上同时测试100个轴承，并且在1000小时 后结束测试，而不管发生失效的轴承数量有多少，这样的试验就是定时截尾试验。在这个例子 当中，试验时间是固定的，而失效数据数量为随机变量。
所需矩的数目取决于被估计的参数的数目。
2.极大似然估计
极大似然估计法是一种应用广泛的估计参数的方法。其基本原理是，通过使已知样本出现的概 率最大化的方法来确定参数值。
令
是服从概率密度函数 的独立随机变量，其中 是唯一的分布参数。那么
x1, x2 ,..., xn
f (x, )
(9-4)
就是随机变量的联合分布或似然函数。 分布参数的极大似然估计值 ，是使似然函数取最大值的 。
对于概率密度函数为f(x, )，累积分布函数为F(x, )的随机变量，如果只知道其样本中 的前k个顺序统计量x(1), x(2), …, x(k)，而关于其它n-k个样本的已知信息只是大于x(k)，这 种情况下的似然函数形式为
(9-7)
k
L(x1, x2,...xn; )
f ( x(i), )[1 F ( x(k ), )]nk
样品序号 1 2 3 4 5 6 7 8
失效时间 35 45 55 ＞60 ＞60 ＞60 ＞60 ＞60
很明显，只用三个失效样本平均值及标准偏差不能用来估算这个案例中的分布参数。这三个 样本平均值为（35+45+55）/3=45。存活下来的五个数据中每个对应的失效时间都大于60， 因此真实的样本均值要比45大的多。
i 1
如果只知道第i个样本在运行时间段[0-xi]（xi为已知量）内是否失效，不知道准确的失效时间， 则有如下似然函数
L(x1, x2 ,... xn ; ) f (x1, ) f (x2 , )... f (xn , )
ˆ
为了便于计算，通常先将似然函数取自然对数，即
n
ln L(x1, x2,...xn; ) ln f (xi, )
(9-5)
解方程
i 1
(9-6)
即可求得分布参l数n L的(估wenku.baidu.com1计,值x。2,..., xn , ) 0
四种组合形式：
⑴ 有替换定时截尾寿命试验； ⑵ 有替换定数截尾寿命试验； ⑶ 无替换定时截尾寿命试验； ⑷ 无替换定数截尾寿命试验。
9.1.2 可靠性试验数据
可靠性数据多种多样，很重要的一类是截尾数据。通过试验或现场记录获得的数据可能 既包括失效数据，也包括不失效数据。以下表种的数据为例，在试验台上进行八个产品 的试验；其中的三个失效了，五个到试验结束时还没有失效。
对均值的二阶矩等于分－布的方差：
其中
E
(x
)2
i
xi2 f (xi ) 2
是分布均值。
x2
f
( x)dx
2
如果X 是离散的 如果X 是连续的
(9-3)
对于正态 分布等，这些矩提供了参数的直接估计量。
对于威布尔、对数正态和伽玛分布等，分布参数需要通过令样本矩等于理论矩来解出分布参数。
II型截尾（定数截尾）：试验中最初有多个样品，试验到指定数量的样品失效时结束。例如， 在在试验台上同时对100个轴承进行试验，并且在出现30个失效后终止试验。这样的试验就是 定数截尾试验。在这个例子中，失效样品的数量是事先指定的，而试验时间是随机变量。
以上属于右截尾的情况，即如果一个样品失效的时间未知的原因是，该样品在试验结束时还 没有失效，那么就产生了右侧被截尾的数据。如果一个样品已经失效，但不能确定准确失效 时间的原因是不知道该样品是何时投入试验的，那么就产生了左截尾数据。
要根据这样的观测数据估计样本的可靠度，有如下的Kaplan-Meier公式：
(9-1)
R(t) (1 1 )
{i:ti t}
ni
9.1.4 参数估计 1.矩估计
一阶原点矩等于分布的平均值：
xi f (xi ) 如果x是离散随机变量
E(x) ｛ i
(9-2)
xf (x)dx 如果x是连续随机变量
第9章 数据检验与分布参数估计
9.1 可靠性试验与可靠性数据 9.1.1 可靠性试验
可靠性分析需要可靠性数据。 可靠性数据可以通过记录现场失效获得，也可以通过可靠性试验获得。 可靠性试验是指为了获得可靠性数据、验证及提高产品的可靠性水平而进行的试验。
现场试验反映的是产品在使用条件下实际失效情况，最能说明产品的可靠性水平。
因此，需要处理截尾试验数据的方法。
9.1.3 截尾数据统计推断
假设观测母体包括n个样本，在t0=0时投入运行。运行过程中，有些样本发生了失效，也 会有样本退出运行。记录的数据包括每个失效产品的失效时间和各失效发生前仍在运行 的样本数量。
令发生失效的时间为t1,t2, ……, tk按从不到大的顺序排列，ni为时刻ti之前仍在运行的样本 数，wi为在(ti-1)－ti时间段内退出运行（并未发生失效）的样本数。显然，n1=n-w1, n2=n1-1-w2，以此类推。