随机存储

因 F (6) k F (7) ，故订货量应为7单位，此时损失的期望值最小。
k h
模型六：需求是连续的随机变量
设 货物单位成本为 K,货物单位售价为 P,单位存储费为 C1 ,需求 r 是连续的随机变 （r） （r）dr 表示随机变量在 r 与 r + d r 之间的概率,其分布函数 量,密度函数为 , a F (a) (r )dr , （a>0）生产或订购的数量为 Q, 问如何确定 Q 的数值, 使赢利的期 0 望值最大 ? 解 首先我们来考虑当订购数量为 Q 时, 实际销售量应该是 min [ r, Q] 。也就是当 需求为 r 而 r 小于 Q 时,实际销售量为 r; r≥Q 时,实际销售量只能是 Q。
Q 0

Q
Q
0

Q

常量（称为 因缺货失去销售机会 因滞销受到损失的 期望值（只考虑了 平均盈利） 损失的期望值
存储费）
Q
常 量
记
E[C(Q)] P (r Q) (r )dr C1 (Q r ) (r )dr KQ
Q 0

为使赢利期望值极大化,有下列等式:
求赢利极大可以转化为求 E[ C( Q) ] (损失期望值) 极小。当 Q 可以连续取值时, E[ C( Q) ]是 Q 的连续函数。可利用微分法求最小。
模型五：需求是随机离散的
报童问题:报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚 k 元。 如报纸未能售出,每份赔 h 元。每日售出报纸份数 r 的概率 P ( r) 根据以往的经验是 已知的,问报童每日最好准备多少份报纸 ? 这个问题是报童每日报纸的订货量 Q 为何值时, 赚钱的期望值最大 ? 反言之, 如何适当地选择 Q 值,使因不能售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失, 两者 期望值之和最小。 解 设售出报纸数量为 r, 其概率 P( r) 为已知, 设报童订购报纸数量为Q。 ① 供过于求时( r≤Q) ,这时报纸因不能售出而承担的损失, 其期望值为:
第三节 随机性存储模型
随机性存储模型的重要特点是需求为随机的，其概率或分布为已知。在 这种情况下，前面所介绍的模型已经不能适用了。例如商店对某种商品进货 500 件, 这 500 件商品可能在一个月内售完,也有可能在两个月之后还有剩余。 商店如果想既不因缺货而失去销售机会,又不因滞销而过多积压资金, 这时必 须采用新的存储策略。可供选择的策略主要有三种: (1 ) 定期订货, 但订货数量需要根据上一个周期末剩下货物的数量决定订 货量。剩下的数量少,可以多订货。剩下的数量多, 可以少订或不订货。 (2 ) 定点订货, 存储降到某一确定的数量时即订货,不再考虑间隔的时间。 这一数量值称为订货点,每次订货的数量不变, 这种策略可称之为定点订货法。 (3 ) 把定期订货与定点订货综合起来的方法, 隔一定时间检查一次存储, 如果存储数量高于一个数值 s, 则不订货。小于 s 时则订货补充存储,订货量要 使存储量达到 S,这种策略可以简称为( s, S)存储策略。 不允许缺货的条件只能从概率的意义方面理解。 存储策略的优劣通常以赢利 的期望值的大小作为 衡量的标准。
当订货量为 Q 时, 可能发生滞销赔损 ( 供过于求的情况) , 也可能发生因缺货而失 去销售机会的损失(求过于供的情况) 。把这两种损失合起来考虑,取损失期望值最小者 所对应的 Q 值。 当该店订购量为 2 千张时,计算其损失的可能值: 当市场需求量为 0 千张时滞销损失为: ( - 400) ×2 = - 800 (元) 当市场需求量为 1 千张时滞销损失为: ( - 400) ×1 = - 400 (元) 当市场需求量为 2 千张时滞销损失为:0 (元) (以上三项皆为供货大于需求时滞销损失。) 当市场需求量为 3 千张时缺货损失为: ( - 700) ×1 = - 700 (元) 当市场需求量为 4 千张时缺货损失为: ( - 700) ×2 = - 1400( 元) 当市场需求量为 5 千张时缺货损失为: ( - 700) ×3 = - 2100( 元) (以上三项皆为供货小于需求时, 失去销售机会而少获利的损失) 当订货量为 2 千张时,缺货和滞销两种损失之和的期望值: E[ C(2 ) ] = ( - 800 )×0. 05 + ( - 400)×0. 10 + 0×0. 25 + ( - 700)×0. 35 + ( - 1400)×0. 15 + ( - 2100)×0. 10 = - 745(元 )

KI min C2 (r Q) (r )dr C1 (Q r ) (r )dr KQ
Q 0

Q
0

Q

例 13.9
某商店计划订购一批夏季时装，进价是 500 元，
预计售价为 1000 元。夏季未售完的要在季末进行削价处理，处 理价为 200 元。根据以往的经验，该时装的销量服从 [50,100] 上的均匀分布，求最佳订货量。
解 如果该店订货 4 千张,我们计算获利的可能数值。 当市场需求为 0 千张时获利为: ( - 400) ×4 = - 1600( 元) 当市场需求为 1 千张时获利为: ( - 400) ×3 + 700 = - 500( 元) 当市场需求为 2 千张时获利为: ( - 400) ×2 + 700×2 = 600 (元) 当市场需求为 3 千张时获利为: ( - 400) ×1 + 700×3 = 1700( 元) 当市场需求为 4 千张时获利为: ( - 400) ×0 + 700×4 = 2800( 元) 当市场需求为 5 千张时获利为: ( - 400) ×0 + 700×4 = 2800( 元) 订购量为 4 千张时获利的期望值: E[ C(4 ) ] = ( - 1600)×0. 05 + ( - 500 )×0. 10 + 600×0. 25 + 1700× 0. 35 +2800×0. 15 + 2800×0. 10 = 1315 (元)
=10 ,利用前面结论,其中 k= 20, h = 10
k 20 0.667 h k 20 10
e6 6r Q P( r ) , P(r )记作F (Q) r ! r 0
经计算
7 e6 6r e6 6r F (6) 0.6063, F (7) 0.7440 r! r! r 0 r 0 6
货物的成本为 KQ, 本阶段订购量为 Q 赢利为 W( Q) , 赢利的期望值记作 E[ W ( Q) ] 。 本阶段的赢利: ( 赢利) = ( 实际销售货物的收入) - ( 货物成本) - ( 支付的存储费用)
赢利的期望值:
E[W (Q)] Pr (r )dr PQ (r )dr KQ C1 (Q r ) (r )dr
当需求 r > Q时, 报童因为只有 Q 份报纸可供销售,赢利的期望值为 无滞销损失。由以上分析知赢利的期望值:
为使订购 Q 赢利的期望值最大,应满足下列关系式: ① C( Q + 1) ≤C( Q) ② C( Q - 1) ≤C( Q)
从①式推导，
经化简后得
进一步化简得
同理从②推导出
同样推出以下列不等式确定Q的值，
Q dE[C (Q)] d [ P (r Q) (r )dr C1 (Q r ) (r )dr KQ] Q 0 dQ dQ
C1 (r )dr P (r )dr K
0 Q
Q

令
dE[C (Q)] 0 dQ
，
记
F (Q) (r )dr
0
Q
从此式中解出 Q, 记为 Q*, Q* 为 E[ C( Q) ]的驻点。又因
d 2 E[C (Q)] C1 (Q) P (Q) 0 2 dQ
知 Q* 为 E[ C( Q) ]的极小值点,在本模型中也是最小值点。
若 P - K≤0,显然由于 F( Q) ≥0, 等式不成立,此时 Q* 取零值。即售价低于成 本时,不需要订货(或生产) 。 式中只考虑了失去销售机会的损失,如果缺货时要付出的费用 C2 > P 时, 应有
例 某店拟出售甲商品,每单位甲商品成本 50 元, 售价 70 元。如不能售出必须
减价为 40 元, 减价后一定可以售出。已知售货量 r 的概率服从泊松分布
e r P(r ) r!
（λ为平均出售数）
根据以往经验,平均售出数为 6 单位(λ= 6) 。问该店订购量应为若干单位 ?
解 该店的缺货损失,每单位商品为 70 - 50 = 20。滞销损失, 每单位商品 50 - 40
② 供不应求时( r > Q) ,这时因缺货而少赚钱的损失, 其期望值为:
综合①,②两种情况, 当订货量为 Q 时,损失的期望值为:
由于报童订购报纸的份数只能取整数, r 是离散变量, 所以不能用求导数的方法求极 值。为此设报童每日订购报纸份数最佳量为 Q, 其损失期望值应有: ① C( Q)≤C( Q+ 1 ) ② C( Q)≤C( Q - 1 ) 从①出发进行推导有：
E[C(Q)] C2 (Βιβλιοθήκη Baidu Q) (r )dr C1 (Q r ) (r )dr KQ
Q 0

Q
按上述办法推导得
F (Q) (r )dr
0
Q
C2 K C1 C2
Q
假设上一阶段未能售出的货物数量为 I,作为本阶段初的存储, 有
min E[C(Q)] K (Q I ) C2 (r Q) (r )dr C1 (Q r ) (r )dr
经化简后得
即
从②出发进行推导有：
经化简后得
(k h) P(r ) k 0
0 Q 1
即
P(r )
0
Q 1
k k h
报童应准备的报纸最佳数量Q应按下列不等式确定：
从盈利最大来考虑报童应准备的报纸数量。设订购报纸的数量为Q，获利 的期望值为C(Q),其余符号均与前面所述相同。 当需求 r≤Q 时, 报童只能售出 r 份报纸,每份赚 k(元) ,共赚 k·r(元 )。未售出的报 纸,每份赔 h( 元) , 滞销损失为 h( Q - r) (元)。 此时赢利的期望值为:
例 某商店拟在新年期间出售一批日历画片, 每售出一千张可赢利 700 元。如果在新 年期间不能售出,必须削价处理, 作为画片出售。由于削价,一定可以售完, 此时每千 张赔损 400 元。根据以往的经验,市场需求的概率见表 13-1。
每年只能订货一次,问应订购日历画片几千张才能使获利的期望值最大 ?
0 Q 0 Q Q
Pr (r )dr Pr (r )dr PQ (r )dr KQ C1 (Q r ) (r )dr
0



Q
PE (r ) P (r Q) (r )dr C1 (Q r ) (r )dr KQ