六年级奥数 第二讲.比和比例.教师版

第二讲比和比例

教学目标：

1、比例的基本性质

2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题

3、能够进行各种条件下比例的转化，有目的的转化；

4、单位“1”变化的比例问题

5、方程解比例应用题

知识点拨：

比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考试的重要内容.通过本讲需要学生掌握的内容有：

一、比和比例的性质

性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；

性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；

性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)

性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)

正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；

反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．

二、主要比例转化实例

①x a

y b

=⇒

y b

x a

=；

x y

a b

=；

a b

x y

=；

②x a

y b

=⇒

mx a

my b

=；

x ma

y mb

=(其中0

m≠)；

③x a

y b

=⇒

x a

x y a b

=

++

；

x y a b

x a

--

=；

x y a b

x y a b

++

=

--

；L

④x a

y b

=，

y c

z d

=⇒

x ac

z bd

=；::::

x y z ac bc bd

=；

⑤x的c

a

等于y的

d

b

，则x是y的

ad

bc

，y是x的

bc

ad

．

三、按比例分配与和差关系

⑴按比例分配

例如：将x个物体按照:a b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x

的比分别为()

:a a b

+和()

:b a b

+，所以甲分配到

ax

a b

+

个，乙分配到

bx

a b

+

个.

⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题

例如：两个类别A、B，元素的数量比为:a b(这里a b

>)，数量差为x，那么A的元素数量为

ax

a b

-

，B的

元素数量为

bx

a b

-

，所以解题的关键是求出()

a b

-与a或b的比值．

四、比例题目常用解题方式和思路

解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：

1.题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。

2.若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。

3.应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成

反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。

4.题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。

5.赋值解比例问题

例题精讲：

模块一、比例转化

【例 1】已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的1

3

，乙等于甲、丙两数和的

1

2

，丙等于甲、乙两

数和的

57

，求::甲乙丙. 【解析】 由甲等于乙、丙两数和的13，得到甲等于三个数和的113+14=，同样的乙等于甲、丙两数和的112+13

=，同样的丙等于甲、乙两个数和的557512=+ ，所以115::::3:4:54312

==甲乙丙． 【例 2】 已知甲、乙、丙三个数，甲的一半等于乙的2倍也等于丙的23，那么甲的23

、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为多少？

【解析】 甲的一半、乙的2倍、丙的23

这三个数的比为1:1:1，所以甲、乙、丙这三个数的比为()121:12:123⎛⎫⎛⎫÷÷÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即132::22，化简为4:1:3，那么甲的23、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为()214:12:332⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即83:2:3

2，化简为16:12:9. 【例 3】 如下图所示，圆B 与圆C 的面积之和等于圆A 面积的45

，且圆A 中的阴影部分面积占圆A 面积的16，圆B 的阴影部分面积占圆B 面积的15，圆C 的阴影部分面积占圆C 面积的13

．求圆A 、圆B 、圆C 的面积之比．

【解析】 设A 与B 的共同部分的面积为x ，A 与C 的共同部分的面积为y ，则根据题意有

()()564A B C x y =

+=+，5B x =，3C y =，于是得到()56453B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭

，这条式子可化简为15B C =，所以()5204

A B C C =+=.最后得到::20:15:1A B C =. 【例 4】 某俱乐部男、女会员的人数之比是3:2，分为甲、乙、丙三组．已知甲、乙、丙三组的人数比是10:8:7，

甲组中男、女会员的人数之比是3:1，乙组中男、女会员的人数之比是5:3．求丙组中男、女会员人数之比．

【解析】 以总人数为1，则甲组男会员人数为103310873110⨯=+++，女会员为31110310

⨯=，乙组男会员为8511087535⨯=+++，女会员为1335525⨯=；丙组男会员为33113+210510⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，女会员为21393+2102550⎛⎫-+= ⎪⎝⎭；所以，丙组中男、女会员人数之比为19:5:91050

=． 【巩固】 一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的

一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率(建设速度)之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比.

【解析】 (法一)甲工程队以3倍乙工程队建设速度，仅完成了40%的承包任务，而乙工程队完成了60%，所

以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%3180%⨯=，所以甲工程队的承包的任务是乙工程队承包任务的180%40%450%÷=，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:19:2=．

(法二)两个工程队完成的工程任务(修建公路长度)之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自

任务的40%和60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为()()340%:160%9:2÷÷=．

【例 5】 某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之

和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？

【解析】 会员总人数100人，男女比例为14:11，则可知男、女会员人数分别为56人、44人；又已知甲组人